【步步高】2017版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.3 函数的奇偶性与周期性课件 理

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.5指数与指数函数理1．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是正数的负分数指数幂的意义是0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：asat＝as＋t，(as)t＝ast，(ab)t ＝atbt，其中a>0，b>0，s，t∈Q.2．指数函数的图象与性质【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)＝()n＝a.( ×)(2)分数指数幂可以理解为个a相乘．( ×)(3) ( ×)(4)函数y＝a－x是R上的增函数．( ×)(5)函数 (a>1)的值域是(0，＋∞)．( ×)(6)函数y＝2x－1是指数函数．( ×)1．若a＝(2＋)－1，b＝(2－)－1，则(a＋1)－2＋(b＋1)－2的值是________．答案解析∵a＝(2＋)－1＝2－，b＝(2－)－1＝2＋，∴(a＋1)－2＋(b＋1)－2＝(3－)－2＋(3＋)－2＝＋＝.2．函数f(x)＝ax－(a>0，a≠1)的图象可能是______．(填图象序号)答案④解析函数f(x)的图象恒过(－1,0)点，只有图象④适合．3．(教材改编)已知0.2m<0.2n，则m________n(填“>”或“<”)．答案>解析设f(x)＝0.2x，f(x)为减函数，由已知f(m)<f(n)，∴m>n.4．若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________________．答案(－，－1)∪(1，)解析由y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，得0<a2－1<1，∴1<a2<2，即1<a<或－<a<－1.5．函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是________．答案[0,8)解析∵x≥0，∴－x≤0，∴3－x≤3，∴0<23－x≤23＝8，∴0≤8－23－x<8，∴函数y＝8－23－x的值域为[0,8).题型一指数幂的运算例1 化简：(1)(2)解(1)原式＝＝(2)原式＝＝＋10－10－20＋1＝－.思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．(1) _________________________.(2)＝________.答案(1)0 (2)解析(1)原式＝－－1＝－－1＝－－1＝0.(2)原式＝＝.题型二指数函数的图象及应用例2 (1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是________．①a>1，b<0；②a>1，b>0；③0<a<1，b>0；④0<a<1，b<0.(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．答案(1)④(2)[－1,1]解析(1)由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<a<1.函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.(2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．思维升华(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．(1)如图，面积为8的平行四边形OABC，对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E.某指数函数y＝ax (a>0，且a≠1)经过点E，B，则a＝________.(2)已知函数f(x)＝|2x－1|，a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是________．①a<0，b<0，c<0; ②a<0，b≥0，c>0；③2－a<2c; ④2a＋2c<2.答案(1) (2)④解析(1)设点E(t，at)，则点B坐标为(2t,2at)．因为2at＝a2t，所以at＝2.因为平行四边形OABC的面积＝OC×AC＝at×2t＝4t，又平行四边形OABC的面积为8，所以4t＝8，t＝2，所以a2＝2，a＝.(2)作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，∵a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，结合图象知0<f(a)<1，a<0，c>0，∴0<2a<1.∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，∴f(c)<1，∴0<c<1.∴1<2c<2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，又∵f(a)>f(c)，∴1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2.题型三指数函数的图象和性质命题点1 比较指数式的大小例3 (1)下列各式比较大小正确的是________．①1.72.5>1.73;②0.6－1>0.62；③0.8－0.1>1.250.2; ④1.70.3>0.93.1.(2)设则a，b，c的大小关系是________．答案(1)②④(2)a>c>b解析(1)①中，∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2．5<3，∴1.72.5<1.73，错误；②中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2，∴0.6－1>0.62，正确；③中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误；④中，∵1.70.3>1,0<0.93.1<1，∴1.70.3>0.93.1，正确．(2)∵y＝x为减函数，∴即b<c，又＝＝>0＝1，∴a>c，故a>c>b.命题点2 解简单的指数方程或不等式例4 设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是__________．答案(－3,1)解析当a<0时，不等式f(a)<1可化为a－7<1，即a<8，即a<－3，因为0<<1，所以a>－3，此时－3<a<0；当a≥0时，不等式f(a)<1可化为<1，所以0≤a<1.故a的取值范围是(－3,1)．命题点3 和指数函数有关的复合函数的性质例5 设函数f(x)＝kax－a－x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．(1)若f(1)>0，试求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)>0的解集；(2)若f(1)＝，且g(x)＝a2x＋a－2x－4f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值．解因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，所以k－1＝0，即k＝1，f(x)＝ax－a－x. (1)因为f(1)>0，所以a－>0，又a>0且a≠1，所以a>1.因为f′(x)＝axln a＋a－xln a＝(ax＋a－x)ln a>0，所以f(x)在R上为增函数，原不等式可化为f(x2＋2x)>f(4－x)，所以x2＋2x>4－x，即x2＋3x－4>0，所以x>1或x<－4.所以不等式的解集为{x|x>1或x<－4}．(2)因为f(1)＝，所以a－＝，即2a2－3a－2＝0，所以a＝2或a＝－(舍去)．所以g(x)＝22x＋2－2x－4(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－4(2x－2－x)＋2.令t(x)＝2x－2－x(x≥1)，则t(x)在(1，＋∞)为增函数(由(1)可知)，即t(x)≥t(1)＝，所以原函数为ω(t)＝t2－4t＋2＝(t－2)2－2，所以当t＝2时，ω(t)min＝－2，此时x＝log2(1＋)．即g(x)在x＝log2(1＋)时取得最小值－2.思维升华指数函数的性质及应用问题解题策略(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法．(2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论．(1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．(2)如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a的值为________．答案(1)(－∞，4] (2)或3解析(1)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间[，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，]上单调递减．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．(2)令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.当a>1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈[，a]，又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去)．当0<a<1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈[a，]，又函数y＝(t＋1)2－2在[a，]上单调递增，则ymax＝(＋1)2－2＝14，解得a＝(负值舍去)．综上知a＝3或a＝.4．换元法在和指数函数有关的复合函数中的应用典例(1)函数y＝x－x＋1在区间[－3,2]上的值域是________．(2)函数的单调减区间为_____________________________________．思维点拨(1)求函数值域，可利用换元法，设t＝x，将原函数的值域转化为关于t的二次函数的值域．(2)根据复合函数的单调性“同增异减”进行探求．解析(1)因为x∈[－3,2]，所以若令t＝x，则t∈，故y＝t2－t＋1＝2＋.当t＝时，ymin＝；当t＝8时，ymax＝57.故所求函数值域为.(2)设u＝－x2＋2x＋1，∵y＝u在R上为减函数，∴函数的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，∴f(x)的减区间为(－∞，1]．答案(1) (2)(－∞，1]温馨提醒(1)解决和指数函数有关的复合函数的单调性或值域问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题；(2)换元过程中要注意“元”的取值范围的变化．[方法与技巧]1．通过指数函数图象比较底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值，再进行比较．2．指数函数y＝ax (a>0，a≠1)的性质和a的取值有关，一定要分清a>1与0<a<1.3．对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成．[失误与防范]1．恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来．2．复合函数的问题，一定要注意函数的定义域．3．对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围.A组专项基础训练(时间：40分钟)1．函数f(x)＝ax－2＋1(a>0且a≠1)的图象经过定点的坐标为__________．答案(2,2)解析∵a0＝1，∴f(2)＝2，故f(x)的图象必过点(2,2)．2．已知a＝22.5，b＝2.50，c＝()2.5，则a，b，c的大小关系是__________．答案a>b>c解析a>20＝1，b＝1，c<()0＝1，∴a>b>c.3．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是____________．答案[2，＋∞)解析由f(1)＝得a2＝，所以a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝()|2x－4|.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．4．若关于x的方程|ax－1|＝2a (a>0且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是__________．答案解析方程|ax－1|＝2a (a>0且a≠1)有两个实数根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点．①当0<a<1时，如图(1)，∴0<2a<1，即0<a<.②当a>1时，如图(2)，而y＝2a>1不符合要求．综上，0<a<.5．计算：×0＋8×－＝________.答案2解析原式＝6．已知函数y＝ax＋b (b>0)的图象经过点P(1,3)，如图所示，则＋的最小值为______．答案解析由函数y＝ax＋b (b>0)的图象经过点P(1,3)，得a＋b＝3，所以＋＝1，又a>1，则＋＝＝2＋＋＋≥＋2＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，所以＋的最小值为.7．已知正数a满足a2－2a－3＝0，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)>f(n)，则m、n的大小关系为________．答案m>n解析∵a2－2a－3＝0，∴a＝3或a＝－1(舍)．函数f(x)＝3x在R上递增，由f(m)>f(n)，得m>n.8．已知函数f(x)＝2x－，函数g(x)＝则函数g(x)的最小值是________．答案0解析当x≥0时，g(x)＝f(x)＝2x－为单调增函数，所以g(x)≥g(0)＝0；当x<0时，g(x)＝f(－x)＝2－x－为单调减函数，所以g(x)>g(0)＝0，所以函数g(x)的最小值是0.9．已知函数(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值．解(1)当a＝－1时，令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2]上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝t在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2]上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2]．(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝g(x)，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，因此必有解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.10．已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R，且e为自然对数的底数)．(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R 都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．解(1)∵f(x)＝ex－x，∴f′(x)＝ex＋x，∴f′(x)>0对任意x∈R都成立，∴f(x)在R上是增函数．∴f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)存在．由(1)知f(x)在R上是增函数和奇函数，则f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立，⇔f(x2－t2)≥f(t－x)对一切x∈R都成立，⇔x2－t2≥t－x对一切x∈R都成立，⇔t2＋t≤x2＋x＝2－对一切x∈R都成立，⇔t2＋t≤(x2＋x)min＝－⇔t2＋t＋＝2≤0，又2≥0，∴2＝0，∴t＝－.∴存在t＝－，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立．B组专项能力提升(时间：20分钟)11．函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的大小关系是____________．答案f(－4)>f(1)解析由题意知a>1，∴f(－4)＝a3，f(1)＝a2，由单调性知a3>a2，∴f(－4)>f(1)．12．已知实数a，b满足等式a＝b，下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有________个．答案2解析函数y1＝x与y2＝x的图象如图所示．由a＝b得a<b<0或0<b<a或a＝b＝0.故①②⑤可能成立，③④不可能成立．13．关于x的方程x＝有负数根，则实数a的取值范围为__________．答案解析由题意，得x<0，所以0<x<1，从而0<<1，解得－<a<.14．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是________．答案(－1,2)解析原不等式变形为m2－m<x，因为函数y＝x在(－∞，－1]上是减函数，所以x≥－1＝2，当x∈(－∞，－1]时，m2－m<x恒成立等价于m2－m<2，解得－1<m<2.15．已知定义在实数集R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0,1)时，f(x)＝.(1)求函数f(x)在(－1,1)上的解析式；(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性；(3)当λ取何值时，方程f(x)＝λ在(－1,1)上有实数解？解(1)∵f(x)是x∈R上的奇函数，∴f(0)＝0.设x∈(－1,0)，则－x∈(0,1)，f(－x)＝＝＝－f(x)，∴f(x)＝－，∴f(x)＝(2)设0<x1<x2<1，f(x1)－f(x2)＝＝，∵0<x1<x2<1，∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x)在(0,1)上为减函数．(3)∵f(x)在(0,1)上为减函数，∴<f(x)<，即f(x)∈.同理，f(x)在(－1,0)上时，f(x)∈.又f(0)＝0，当λ∈∪，或λ＝0时，方程f(x)＝λ在x∈(－1,1)上有实数解.【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.5指数与指数函数理1．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是正数的负分数指数幂的意义是0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质：asat ＝as ＋t ，(as)t ＝ast ，(ab)t ＝atbt ，其中a>0，b>0，s ，t∈Q.2．指数函数的图象与性质【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)＝()n ＝a.( × )(2)分数指数幂可以理解为个a 相乘．( × )(3) ( ×)(4)函数y＝a－x是R上的增函数．( ×)(5)函数 (a>1)的值域是(0，＋∞)．( ×)(6)函数y＝2x－1是指数函数．( ×)1．若a＝(2＋)－1，b＝(2－)－1，则(a＋1)－2＋(b＋1)－2的值是________．答案解析∵a＝(2＋)－1＝2－，b＝(2－)－1＝2＋，∴(a＋1)－2＋(b＋1)－2＝(3－)－2＋(3＋)－2＝＋＝.2．函数f(x)＝ax－(a>0，a≠1)的图象可能是______．(填图象序号)答案④解析函数f(x)的图象恒过(－1,0)点，只有图象④适合．3．(教材改编)已知0.2m<0.2n，则m________n(填“>”或“<”)．答案>解析设f(x)＝0.2x，f(x)为减函数，由已知f(m)<f(n)，∴m>n.4．若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________________．答案(－，－1)∪(1，)解析由y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，得0<a2－1<1，∴1<a2<2，即1<a<或－<a<－1.5．函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是________．答案[0,8)解析∵x≥0，∴－x≤0，∴3－x≤3，∴0<23－x≤23＝8，∴0≤8－23－x<8，∴函数y＝8－23－x的值域为[0,8).题型一指数幂的运算例1 化简：(1)(2)解(1)原式＝＝(2)原式＝＝＋10－10－20＋1＝－.思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．(1) _________________________.(2)＝________.答案(1)0 (2)解析(1)原式＝－－1＝－－1＝－－1＝0.(2)原式＝＝.题型二指数函数的图象及应用例2 (1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是________．①a>1，b<0；②a>1，b>0；③0<a<1，b>0；④0<a<1，b<0.(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．答案(1)④(2)[－1,1]解析(1)由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<a<1.函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.(2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．思维升华(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．(1)如图，面积为8的平行四边形OABC，对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E.某指数函数y＝ax (a>0，且a≠1)经过点E，B，则a＝________.(2)已知函数f(x)＝|2x－1|，a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是________．①a<0，b<0，c<0; ②a<0，b≥0，c>0；③2－a<2c; ④2a＋2c<2.答案(1) (2)④解析(1)设点E(t，at)，则点B坐标为(2t,2at)．因为2at＝a2t，所以at＝2.因为平行四边形OABC的面积＝OC×AC＝at×2t＝4t，又平行四边形OABC的面积为8，所以4t＝8，t＝2，所以a2＝2，a＝.(2)作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，∵a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，结合图象知0<f(a)<1，a<0，c>0，∴0<2a<1.∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，∴f(c)<1，∴0<c<1.∴1<2c<2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，又∵f(a)>f(c)，∴1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2.题型三指数函数的图象和性质命题点1 比较指数式的大小例3 (1)下列各式比较大小正确的是________．①1.72.5>1.73;②0.6－1>0.62；③0.8－0.1>1.250.2; ④1.70.3>0.93.1.(2)设则a，b，c的大小关系是________．答案(1)②④(2)a>c>b解析(1)①中，∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2．5<3，∴1.72.5<1.73，错误；②中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2，∴0.6－1>0.62，正确；③中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误；④中，∵1.70.3>1,0<0.93.1<1，∴1.70.3>0.93.1，正确．(2)∵y＝x为减函数，∴即b<c，又＝＝>0＝1，∴a>c，故a>c>b.命题点2 解简单的指数方程或不等式例4 设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是__________．答案(－3,1)解析当a<0时，不等式f(a)<1可化为a－7<1，即a<8，即a<－3，因为0<<1，所以a>－3，此时－3<a<0；当a≥0时，不等式f(a)<1可化为<1，所以0≤a<1.故a的取值范围是(－3,1)．命题点3 和指数函数有关的复合函数的性质例5 设函数f(x)＝kax－a－x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．(1)若f(1)>0，试求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)>0的解集；(2)若f(1)＝，且g(x)＝a2x＋a－2x－4f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值．解因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，所以k－1＝0，即k＝1，f(x)＝ax－a－x.(1)因为f(1)>0，所以a－>0，又a>0且a≠1，所以a>1.因为f′(x)＝axln a＋a－xln a＝(ax＋a－x)ln a>0，所以f(x)在R上为增函数，原不等式可化为f(x2＋2x)>f(4－x)，所以x2＋2x>4－x，即x2＋3x－4>0，所以x>1或x<－4.所以不等式的解集为{x|x>1或x<－4}．(2)因为f(1)＝，所以a－＝，即2a2－3a－2＝0，所以a＝2或a＝－(舍去)．所以g(x)＝22x＋2－2x－4(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－4(2x－2－x)＋2.令t(x)＝2x－2－x(x≥1)，则t(x)在(1，＋∞)为增函数(由(1)可知)，即t(x)≥t(1)＝，所以原函数为ω(t)＝t2－4t＋2＝(t－2)2－2，所以当t＝2时，ω(t)min＝－2，此时x＝log2(1＋)．即g(x)在x＝log2(1＋)时取得最小值－2.思维升华指数函数的性质及应用问题解题策略(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法．(2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论．(1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．(2)如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a的值为________．答案(1)(－∞，4] (2)或3解析(1)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间[，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，]上单调递减．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．(2)令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.当a>1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈[，a]，又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去)．当0<a<1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈[a，]，又函数y＝(t＋1)2－2在[a，]上单调递增，则ymax＝(＋1)2－2＝14，解得a＝(负值舍去)．综上知a＝3或a＝.4．换元法在和指数函数有关的复合函数中的应用典例(1)函数y＝x－x＋1在区间[－3,2]上的值域是________．(2)函数的单调减区间为_____________________________________．思维点拨(1)求函数值域，可利用换元法，设t＝x，将原函数的值域转化为关于t的二次函数的值域．(2)根据复合函数的单调性“同增异减”进行探求．解析(1)因为x∈[－3,2]，所以若令t＝x，则t∈，故y＝t2－t＋1＝2＋.当t＝时，ymin＝；当t＝8时，ymax＝57.故所求函数值域为.(2)设u＝－x2＋2x＋1，∵y＝u在R上为减函数，∴函数的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，∴f(x)的减区间为(－∞，1]．答案(1) (2)(－∞，1]温馨提醒(1)解决和指数函数有关的复合函数的单调性或值域问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题；(2)换元过程中要注意“元”的取值范围的变化．[方法与技巧]1．通过指数函数图象比较底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值，再进行比较．2．指数函数y＝ax (a>0，a≠1)的性质和a的取值有关，一定要分清a>1与0<a<1.3．对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成．[失误与防范]1．恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来．2．复合函数的问题，一定要注意函数的定义域．3．对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围.A组专项基础训练(时间：40分钟)1．函数f(x)＝ax－2＋1(a>0且a≠1)的图象经过定点的坐标为__________．答案(2,2)解析∵a0＝1，∴f(2)＝2，故f(x)的图象必过点(2,2)．2．已知a＝22.5，b＝2.50，c＝()2.5，则a，b，c的大小关系是__________．答案a>b>c解析a>20＝1，b＝1，c<()0＝1，∴a>b>c.3．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是____________．答案[2，＋∞)解析由f(1)＝得a2＝，所以a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝()|2x－4|.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．4．若关于x的方程|ax－1|＝2a (a>0且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是__________．答案解析方程|ax－1|＝2a (a>0且a≠1)有两个实数根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点．①当0<a<1时，如图(1)，∴0<2a<1，即0<a<.②当a>1时，如图(2)，而y＝2a>1不符合要求．综上，0<a<.5．计算：×0＋8×－＝________.答案2解析原式＝6．已知函数y＝ax＋b (b>0)的图象经过点P(1,3)，如图所示，则＋的最小值为______．答案解析由函数y＝ax＋b (b>0)的图象经过点P(1,3)，得a＋b＝3，所以＋＝1，又a>1，则＋＝＝2＋＋＋≥＋2＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，所以＋的最小值为.7．已知正数a满足a2－2a－3＝0，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)>f(n)，则m、n的大小关系为________．答案m>n解析∵a2－2a－3＝0，∴a＝3或a＝－1(舍)．函数f(x)＝3x在R上递增，由f(m)>f(n)，得m>n.8．已知函数f(x)＝2x－，函数g(x)＝则函数g(x)的最小值是________．答案0解析当x≥0时，g(x)＝f(x)＝2x－为单调增函数，所以g(x)≥g(0)＝0；当x<0时，g(x)＝f(－x)＝2－x－为单调减函数，所以g(x)>g(0)＝0，所以函数g(x)的最小值是0.9．已知函数(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值．解(1)当a＝－1时，令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2]上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝t在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2]上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2]．(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝g(x)，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，因此必有解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.10．已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R，且e为自然对数的底数)．(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．解(1)∵f(x)＝ex－x，∴f′(x)＝ex＋x，∴f′(x)>0对任意x∈R都成立，∴f(x)在R上是增函数．∴f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)存在．由(1)知f(x)在R上是增函数和奇函数，则f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立，⇔f(x2－t2)≥f(t－x)对一切x∈R都成立，⇔x2－t2≥t－x对一切x∈R都成立，⇔t2＋t≤x2＋x＝2－对一切x∈R都成立，⇔t2＋t≤(x2＋x)min＝－⇔t2＋t＋＝2≤0，又2≥0，∴2＝0，∴t＝－.∴存在t＝－，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立．B组专项能力提升(时间：20分钟)11．函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的大小关系是____________．答案f(－4)>f(1)解析由题意知a>1，∴f(－4)＝a3，f(1)＝a2，由单调性知a3>a2，∴f(－4)>f(1)．12．已知实数a，b满足等式a＝b，下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有________个．答案2解析函数y1＝x与y2＝x的图象如图所示．由a＝b得a<b<0或0<b<a或a＝b＝0.故①②⑤可能成立，③④不可能成立．13．关于x的方程x＝有负数根，则实数a的取值范围为__________．答案解析由题意，得x<0，所以0<x<1，从而0<<1，解得－<a<.14．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是________．答案(－1,2)解析原不等式变形为m2－m<x，因为函数y＝x在(－∞，－1]上是减函数，所以x≥－1＝2，当x∈(－∞，－1]时，m2－m<x恒成立等价于m2－m<2，解得－1<m<2.15．已知定义在实数集R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0,1)时，f(x)＝.(1)求函数f(x)在(－1,1)上的解析式；(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性；(3)当λ取何值时，方程f(x)＝λ在(－1,1)上有实数解？解(1)∵f(x)是x∈R上的奇函数，∴f(0)＝0.设x∈(－1,0)，则－x∈(0,1)，f(－x)＝＝＝－f(x)，∴f(x)＝－，∴f(x)＝(2)设0<x1<x2<1，f(x1)－f(x2)＝＝，∵0<x1<x2<1，∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x)在(0,1)上为减函数．(3)∵f(x)在(0,1)上为减函数，∴<f(x)<，即f(x)∈.同理，f(x)在(－1,0)上时，f(x)∈.又f(0)＝0，当λ∈∪，或λ＝0时，方程f(x)＝λ在x∈(－1,1)上有实数解.。

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.6 对数与对数函数 理1．对数的概念一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b＝N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，N 叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log m n a M ＝n mlog a M (m ，n ∈R ，且m ≠0)． (2)对数的性质 ①log a Na＝__N __；②log a a N＝__N __(a >0且a ≠1)．(3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .3．对数函数的图象与性质a >1 0<a <1图象性质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0(4)当x>1时，y>0当0<x<1时，y<0(5)当x>1时，y<0当0<x<1时，y>0(6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数4.指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若MN>0，则log a(MN)＝log a M＋log a N.( ×)(2)log a x·log a y＝log a(x＋y)．( ×)(3)函数y＝log2x及13log＝3y x都是对数函数．( ×)(4)对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ×)(5)函数y＝ln1＋x1－x与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( √)(6)对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图象只在第一、四象限．( √)1．(2015·湖南改编)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则有关f(x)的性质判断正确的是________．(填序号)①奇函数，且在(0,1)上是增函数；②奇函数，且在(0,1)上是减函数；③偶函数，且在(0,1)上是增函数；④偶函数，且在(0,1)上是减函数．答案①解析易知函数定义域为(－1，1)，f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，又f(x)＝ln1＋x1－x＝ln⎝⎛⎭⎪⎫－1－2x－1，由复合函数单调性判断方法知，f(x)在(0,1)上是增函数．2．已知1213113log log232＝，＝，＝，a b c则a，b，c的大小关系为________．答案a>b>c解析131131,0log log2log log3023322＝＝＝1，＝＝－，a b c><<<故a>b>c.3．函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是________．(填图象序号)答案②解析由函数f(x)＝lg(|x|－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，值域为R.又当x>1时，函数单调递增，所以只有②正确．4．(2015·浙江)若a＝log43，则2a＋2－a＝________.答案4 33解析23loglog3log3log3222222244－－＋＝＋＝＋a a＝3＋33＝4 33.5．(教材改编)若log a34<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________________．答案⎝⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)解析当0<a<1时，log a34<log a a＝1，∴0<a<34；当a>1时，log a34<log a a＝1，∴a>1.∴实数a的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞).题型一对数式的运算例1 (1)设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝________.(2)lg 5＋lg 20的值是________． 答案 (1)10 (2)1解析 (1)∵2a ＝5b＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. ∴m ＝10.(2)原式＝lg 100＝lg 10＝1.思维升华 在对数运算中，要熟练掌握对数的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算．(1)计算：1－log 632＋log 62·log 618log 64＝________.(2)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n＝________.答案 (1)1 (2)12 解析 (1)原式 ＝1－2log 63＋log 632＋log 663·log 66×3log 64＝1－2log 63＋log 632＋1－log 631＋log 63log 64＝1－2log 63＋log 632＋1－log 632log 64＝21－log 632log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.(2)∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m＝2，a n＝3， ∴a2m ＋n＝(a m )2·a n ＝22×3＝12.题型二 对数函数的图象及应用例2 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是________．(填序号)(2)当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是____________．答案 (1)③ (2)(22，1) 解析 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除①、②； 又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除④.故③正确． (2)构造函数f (x )＝4x和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的图象，可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 即2<log a 12，则a >22，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. 思维升华 应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．(1)已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是________．(2)设方程10x＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则________． ①x 1x 2<0 ②x 1x 2＝1 ③x 1x 2>1④0<x 1x 2<1答案 (1)② (2)④解析 (1)∵lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∵g (x )＝－log b x 的定义域是(0，＋∞)，故排除①. 若a >1，则0<b <1，此时f (x )＝a x是增函数，g (x )＝－log b x 是增函数，②符合，排除④.若0<a <1，则b >1，g (x )＝－log b x 是减函数，排除③，故填②. (2)构造函数y ＝10x与y ＝|lg(－x )|， 并作出它们的图象，如图所示．因为x 1，x 2是10x＝|lg(－x )|的两个根，则两个函数图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，不妨设x 2<－1，－1<x 1<0，则0lg()111＝－－，x x 0lg()221＝－，x x 因此()00lg 21121－1＝，x x x x 因为000211－1，x x <所以lg(x 1x 2)<0，即0<x 1x 2<1，④正确． 题型三 对数函数的性质及应用 命题点1 比较对数值的大小例3 设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则a ，b ，c 的大小关系为__________． 答案 a >b >c解析 由对数运算法则得a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，由对数函数图象得log 32>log 52>log 72，所以a >b >c . 命题点2 解对数不等式例4 若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是__________． 答案 (12，1)解析 由题意得a >0，故必有a 2＋1>2a ， 又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1， 同时2a >1，所以a >12.综上，a ∈(12，1)．命题点3 和对数函数有关的复合函数 例5 已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由． 解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立． ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数． ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a 3－a＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 思维升华 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．(1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则a ，b ，c 的大小关系为____________．(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为__________． (3)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，12log ()0－，，x x <若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是__________．答案 (1)c >a >b (2)[1,2) (3)(－1,0)∪(1，＋∞) 解析 (1)∵3<2<3,1<2<5，3>2， ∴log 33<log 32<log 33，log 51<log 52<log 55，log 23>log 22， ∴12<a <1,0<b <12，c >1，∴c >a >b . (2)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g 1>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．(3)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，212log log a a >或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，12log ()log ()2－－，a a >解得a >1或－1<a <0.2．比较指数式、对数式的大小典例 (1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是__________． (2)设a ＝log 2π，12log ＝，b π c ＝π－2，则a ，b ，c 的大小关系为____________．(3)已知log 3.4log 3.6log 0.3155()5243＝，＝，＝，a b c 则a ，b ，c 大小关系为__________．思维点拨 (1)可根据幂函数y ＝x 0.5的单调性或比商法确定a ，b 的大小关系，然后利用中间值比较a ，c 大小．(2)a ，b 均为对数式，可化为同底，再利用中间变量和c 比较．(3)化为同底的指数式．解析 (1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性， 可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1；根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1. 所以b <a <c .(2)∵a ＝log 2π>log 22＝1，b ＝log 12π＝log 21π<log 21＝0,0<c ＝1π2<1，∴b <c <a .(3)33310log log 0.3log 0.331()55.5－＝＝＝c 方法一 在同一坐标系中分别作出函数y ＝log 2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 4x 的图象，如图所示． 由图象知：log 23.4>log 3103>log 43.6.方法二 ∵log 3103>log 33＝1，且103<3.4，∴log 3103<log 33.4<log 23.4.∵log 43.6<log 44＝1，log 3103>1，∴log 43.6<log 3103.∴log 23.4>log 3103>log 43.6.由于y ＝5x为增函数，32410log log 3.4log 3.63555.∴>>即324log 0.3log 3.4log 3.615()55，>>故a >c >b . 答案 (1)b <a <c (2)a >c >b (3)a >c >b温馨提醒 (1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.[方法与技巧]1．对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且0<b <1时，log a b >0； 当a >1且0<b <1或0<a <1且b >1时，log a b <0. 2．对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论．3．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性． 4．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定． [失误与防范]1．在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N *，且α为偶数)．2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1.若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是________(填序号)．答案 ②解析 由题图可知y ＝log a x 的图象过点(3,1)， ∴log a 3＝1，即a ＝3.①中，y ＝3－x＝(13)x 在R 上为减函数，错误；②中，y ＝x 3符合；③中，y ＝(－x )3＝－x 3在R 上为减函数，错误； ④中，y ＝log 3(－x )在(－∞，0)上为减函数，错误．2．已知x ＝ln π，y ＝log 52，12＝e ，z -则x ，y ，z 的大小关系为____________． 答案 y <z <x解析 ∵x ＝ln π>ln e，∴x >1. ∵y ＝log 52<log 55，∴0<y <12.∵z ＝12e-＝1e>14＝12，∴12<z <1.综上可得，y <z <x .3．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x x ≥4，f x ＋1 x <4，则f (log 23)＝________.答案124解析 ∵1<log 23<log 24＝2，∴3＋log 23∈(4,5)， ∴f (log 23)＝f (log 23＋1)＝f (log 23＋2)＝f (log 23＋3)＝f (log 224)22log 24log 24122－＝＝⎛⎫ ⎪⎝⎭ 21log 2412.24＝＝ 4．设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是__________． 答案 (－1,0) 解析 由f (x )是奇函数可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x 1－x，定义域为(－1,1)． 由f (x )<0，可得0<1＋x 1－x<1，∴－1<x <0. 5．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝________. 答案 －1解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x )＝f (x ＋4)，因为4＜log 220＜5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f (log 245)＝24log 51(2) 1.5－＋＝－ 6．函数f (x )＝log 2x(2x )的最小值为________．答案 －14 解析 显然x >0，∴f (x )＝log 2x ·log(2x )＝12log 2x ·log 2(4x 2)＝12log 2x ·(log 24＋2log 2x )＝log 2x ＋(log 2x )2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14.当且仅当x ＝22时，有f (x )min ＝－14. 7．设函数f (x )满足f (x )＝1＋f (12)log 2x ，则f (2)＝_____________________________. 答案 32解析 由已知得f (12)＝1－f (12)·log 22，则f (12)＝12，则f (x )＝1＋12·log 2x ，故f (2)＝1＋12·log 22＝32. 8．(2015·福建)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是_________________________． 答案 (1,2] 解析 由题意f (x )的图象如右图，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，3＋log a 2≥4，∴1＜a≤2. 9．已知函数212log ()＝－＋y x ax a 在区间(－∞，2)上是增函数，求a 的取值范围．解 函数212log ()＝－＋y x ax a 是由函数12log ＝y t 和t ＝x 2－ax ＋a 复合而成．因为函数12log ＝y t 在区间(0，＋∞)上单调递减，而函数t ＝x 2－ax ＋a 在区间(－∞，a2)上单调递减，又因为函数212log ()＝－＋y x ax a 在区间(－∞，2)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2≤a2，22－2a ＋a ≥0，解得⎩⎨⎧ a ≥22，a ≤22＋1，即22≤a ≤2(2＋1)．10．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间[0，32]上的最大值．解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1,3)， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在[0，32]上的最大值是f (1)＝log 24＝2.B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．(2015·陕西改编)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则p 、q 、r 的大小关系是____________．答案 p ＝r <q解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b 2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p ， 故p ＝r ＜q .12．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (2)的大小关系是______________．答案 f (12)<f (13)<f (2) 解析 由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x 2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大，∵|2－1|>|13－1|>|12－1|， ∴f (12)<f (13)<f (2)． 13．函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为________．答案 23解析 由题意可知求b －a 的最小值即求区间[a ，b ]的长度的最小值，当f (x )＝0时x ＝1，当f (x )＝1时x ＝3或13，所以区间[a ，b ]的最短长度为1－13＝23，所以b －a 的最小值为23. 14．已知函数f (x )＝ln x1－x ，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 解析 由题意可知ln a 1－a ＋ln b1－b ＝0，即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14， 又0<a <b <1，∴0<a <12，故0<－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14<14. 15．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值． 解 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2) ＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12(log a x ＋32)2－18. 当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32. 又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)．∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．若12(log a 2＋32)2－18＝1，则a ＝132,- 此时f (x )取得最小值时，1332(2)＝x --＝2∉[2,8]，舍去．若12(log a 8＋32)2－18＝1，则a ＝12，此时f (x )取得最小值时，[]321()2,82＝＝，x - 符合题意，∴a ＝12.。

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学专题2 函数概念与基本初等函数 16 函数中的易错题文1．若f(x)，则f(x)的定义域为________．2．函数y＝e| ln x|－|x－1|的图象大致是________．3．(2015·湖北浠水实验高中期中)设f (x )＝1－(x －a )(x －b )(a <b )，m ，n 为y ＝f (x )的两个零点，且m <n ，则a ，b ，m ，n 的大小关系是________．4．(2015·广东汕头澄海凤翔中学段考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋1，x ≥0，a －2e x，x <0是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是________．5．设函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)．若f (x 1x 2…x 2 013)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 013)＝________.6．(2015·湖南娄底高中名校联考)对于函数f (x )，使f (x )≤n 成立的所有常数n 中，我们把n 的最小值G 叫做函数f (x )的上确界．则函数f (x )＝122,0,1log (),02x x x x -⎧≥⎪⎨-<⎪⎩的上确界是________．7．(2015·青海西宁第四高级中学月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 0.5x ，x >1.若对于任意x ∈R ，不等式f (x )≤t 24－t ＋1恒成立，则实数t 的取值范围是________．8．定义在R 上的函数f (x )既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期，若将该函数在区间[－T ，T ]上的零点个数记为n ，则n ＝________.9．已知y ＝f (x )在(0,2)上是增函数，y ＝f (x ＋2)是偶函数，则f (1)，f (52)，f (72)的大小关系是____________．(用“<”连接)10．若关于x 的方程22x－2xa ＋a ＋1＝0有两个不同的正实根，则实数a 的取值范围为________．11．(2015·四川成都新都一中月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0满足f (0)＝1，且有f (0)＋2f (－1)＝0，那么函数g (x )＝f (x )＋x 的零点有________个．12．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )且f (x )在[－1,0]上是增函数，给出下列四个命题： ①f (x )是周期函数；②f (x )的图象关于直线x ＝1对称； ③f (x )在[1,2]上是减函数； ④f (2)＝f (0)．其中正确命题的序号是________．(请把正确命题的序号全部写出来)13．设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是________．14．已知f (x )＝|log a |x －1||(a >0，a ≠1)，若x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则1x 1＋1x 2＋1x 3＋1x 4＝________.答案解析1.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 2.④ 3.m <a <b <n 4．(2,3] 5.16 6.17．(－∞，1]∪[3，＋∞) 8.5 9．f (72)<f (1)<f (52)10．(2＋22，＋∞) 11.2 12.①②④13．f (π)>f (－3)>f (－2)解析∵f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，又∵f(x)在[0，＋∞)上是增函数，∴f(2)<f(3)<f(π)，即f(π)>f(－3)>f(－2)．14．2解析如图所示，f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，即|log a|x1－1||＝|log a|x2－1||＝|log a|x3－1||＝|log a|x4－1||，因为x1<0,0<x2<1，所以1－x1>1,0<1－x2<1，所以log a|x1－1|＋log a|x2－1|＝0，即log a(1－x1)＋log a(1－x2)＝0，即(1－x1)(1－x2)＝1，x1x2－(x1＋x2)＝0，所以1x1＋1x2＝1.同理可得1x3＋1x4＝1，所以1x1＋1x2＋1x3＋1x4＝2.。

【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第2章 函数的概念与基本初等函数 第3节 二次函数与幂函数高考AB 卷 理幂函数的图象与性质(2016·全国Ⅲ，6)已知a ＝243，b ＝323，c ＝2513，则( ) A.b ＜a ＜cB.a ＜b ＜cC.b ＜c ＜aD.c ＜a ＜b解析 a ＝243＝316，b ＝323＝39，c ＝2513＝325，所以b ＜a ＜c .答案 A二次函数的综合应用1.(2015·四川，9)如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( ) A.16B.18C.25D.812解析 当m ＝2时，∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减. ∴0≤n ＜8，∴m ·n ＝2n ＜16.当m ≠2时，令f ′(x )＝(m －2)x ＋n －8＝0， ∴x ＝－n －8m －2，当m ＞2时，对称轴x ＝－n －8m －2， 由题意，－n －8m －2≥2，∴2m ＋n ≤12， ∵2mn ≤2m ＋n2≤6，∴mn ≤18，由2m ＋n ＝12且2m ＝n 知m ＝3，n ＝6， 当m ＜2时，抛物线开口向下，由题意－n －8m －2≤12，即2n ＋m ≤18， ∵2mn ≤2n ＋m 2≤9，∴mn ≤812，由2n ＋m ＝18且2n ＝m ，得m ＝9(舍去)，∴mn 最大值为18，选B. 答案 B2.(2013·重庆，3)（3－a ）（a ＋6）(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A.9B.92C.3D.322 解析 设f (a )＝（3－a ）（a ＋6）＝－a 2－3a ＋18＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋814，∵－6≤a ≤3，∴f (a )max ＝92，故选B.答案 B3.(2014·辽宁，16)对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，3a －4b ＋5c的最小值为________.解析 设2a ＋b ＝t ，则2a ＝t －b ，因为4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0，所以将2a ＝t －b 代入整理可得6b 2－3tb ＋t 2－c ＝0①，由Δ≥0解得－85c ≤t ≤85c ，当|2a ＋b |取最大值时t ＝85c ，代入①式得b ＝c 10，再由2a ＝t －b 得a ＝32c10，所以3a －4b ＋5c＝210c－410c ＋5c ＝5c －210c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5c －22－2≥－2，当且仅当c ＝52时等号成立.答案 －24.(2013·重庆，15)设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________.解析 由8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立， 得Δ＝(－8sin α)2－4×8cos 2α≤0， 即64sin 2α－32(1－2sin 2α)≤0， 得到sin 2α≤14，∵0≤α≤π，∴0≤sin α≤12，∴0≤α≤π6或5π6≤α≤π，即α的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π5.(2012·江苏，13)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________.解析 ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24的最小值为b －a 24，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )<c ，即x 2＋ax ＋b <c ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22<c ，∴c >0且－a 2－c <x <－a2＋c ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＋c －⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2－c ＝6，∴2c ＝6，∴c ＝9.答案 9幂函数的图象与性质6.(2014·浙江，7)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x >0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )解析 当a >1时，函数f (x )＝x a(x >0)单调递增，函数g (x )＝log a x 单调递增，且过点(1，0)，由幂函数的图象性质可知C 错；当0<a <1时，函数f (x )＝x a(x >0)单调递增，函数g (x )＝log a x 单调递减，且过点(1，0)，排除A ，因此选D. 答案 D7.(2012·山东，3)设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析 ∵f (x )＝a x为减函数，∴0<a <1，∵g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数，0＜a ＜1或1＜a ＜2， ∴a ∈(0，1)⇒a ∈(0，1)∪(1，2)，故选A. 答案 A。