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二阶积—微分方程边值问题解的存在性
二阶积—微分方程边值问题是一类公认的重要问题，主要用于描述物理现象和分析时变系统，在物理科学和工程科学领域常见的求解方法是二阶积—微分方程边值问题解。
一、定义：
二阶积—微分方程边值问题是指在b(t)给定的边界上，研究边界值问题：
其中：u(t)是时变系统的未知函数，是满足微分方程：
二、存在性：
求解二阶积-微分方程边值问题的存在性的研究通过推理出给定问题的充分条件，如果充分条件全部满足，则满足问题存在性；如果不满足充分条件，则问题不存在解。
三、唯一性：
一般问题的唯一性可以表示为：
其中上标表示为满足边界值条件的u(t)的唯一解，表示该边值问题的解的唯一性。
四、具体方法：
综上所述，关于二阶积—微分方程边值问题解的存在性，可以采用相关理论和技术，以满足充分条件，来检验其是否存在解，及其唯一性，并利用拉普拉斯变换、参数外推、数值解法等方法求解，实现二阶积—微分方程边值问题更准确的求解。
摘要分数阶微积分已有很长的历史. 早在1695年，在Leibniz 和L’Hospital 的往来书信中就已经提到了分数阶微分的概念. 在近三个世纪内，人们对分数阶微积分理论的研究主要集中在数学的纯理论领域. 然而在最近几十年内，许多学者纷纷指出分数阶微积分非常适合于刻画具有记忆和遗传性质的材料和过程，这些性质在经典模型中是常常被忽视的．如今，分数阶微分方程模型越来越多地被用于描述声学、热学系统、材料力学、信号处理、系统辨识、控制理论、机器人科学以及其它应用领域中的问题．本文的工作如下：第一部分是绪论，主要简要介绍了分数阶微积分和分数阶微分方程的研究历史和发展现状，以及分数阶微分方程正解存在性方面的研究工作.第二部分研究了一类奇异的非线性semipositone Sturm-Liouville 边值问题正解的存在性. 我们的主要方法是对非线性部分()f y 进行重新定义，使其转化成非奇异的p ositone 边值问题， 然后应用锥上的不动点定理以及泛函分析的知识证明该奇异非线性s emipositone Sturm-Liouville 边值问题的正解的存在性.第三部分讨论了一类奇异的非线性分数阶微分方程Dirichlet 边值问题正解的存在性. 我们的主要思想是重新研究非线性部分0(,(),())f t x t D x t β+，使其转化为非奇异的分数阶微分方程边值问题，然后再对每一个重新定义的非线性部分为0(,(),())n f t x t D x t β+(N n ∈)的边值问题，证明其存在正解n x ，最后通过紧集上函数列极限的性质给出原奇异非线性分数阶微分方程Dirichlet 边值问题的正解的存在性.关键词：微分方程，分数阶微分方程，边值问题，正解，奇异性，不动点.AbstractFractional calculus has a long history. As early as in 1695, the concept of fractional differential was already mentioned in the correspondence of Leibniz and L'Hospital. During the past three centuries, the research of fractional calculus theory was mainly concentrated in the pure theoretical field of mathematics. However, in the recent several decades many scholars in succession pointed out that fractional calculus is very suitable to characterize materials and processes with memory and hereditary properties, which were often neglected in the classical models ．Nowadays, fractional differential equation models are increasingly used to describe the problems in acoustics, thermal systems, material mechanics ，signal processing, system identification, control theory, robotics and other applied fields ．This thesis is divided as follows:The first part is an introduction, briefly presents the research history and development status of the fractional calculus and fractional differential equations, and some past research works about the existence of positive solutions of the fractional differential equations.The second part studies a singular nonlinear semipositone Sturm-Liouville boundary value problem. We redefine the nonlinear part ()f y , and make the singular boundary value problem transform into a nonsingular positone boundary value problem, and then prove the existence of a positive solution for the original singular nonlinear boundary value problem by using the cone fixed point theorem as well as knowledge of functional analysis.The third part discusses the positive solution existence for Dirichlet boundary value problem of a singular nonlinear fractional differential equation. We study itsnonlinear part 0(,(),())f t x t D x t β+, and have it transform into a nonsingular boundaryvalue problem, and then prove the existence of a positive solution n x for eachboundary value problem with redefined nonlinear part 0(,(),())n f t x t D x t β+(N n ∈), andfinally we give the existence of a positive solution for the original Dirichlet boundary value problem via the limit properties of a sequence of functions on compact sets. Keywords: Differential equation, fractional differential equation, boundary value problem, positive solution, singularity, fixed point.目录摘要 (1)Abstract........................................................................................................I I 第一章绪论 (1)1.1分数阶微积分的历史 (1)1.2分数阶微分方程的研究现状 (2)第二章带有奇异的非线性Semipositone Sturm-Liouville边值问题解的存在性52.1 引言 (5)2.2 预备知识 (6)2.3 主要结果 (7)第三章带有奇异的非线性分数阶微分方程Dirichlet边值问题正解的存在性 173.1 引言 (17)3.2 预备知识 (19)3.3 主要结果 (29)参考文献 (31)攻读硕士期间发表的论文 (34)后记 (35)第一章 绪论1.1分数阶微积分的历史牛顿和莱布尼茨发明的微积分是现代数学和古典数学的分水岭，数学的发展和应用自此发生了根本性的变化，分析、几何和代数一同成为数学的三个基本研究方向和工具.对大多数研究人员和工程师而言，分数阶微积分也许还是一个新奇的概念和数学工具，但它实际上早在300多年前就已被提出，和传统的整数阶微积分有着一样久远的历史.莱布尼茨最先引入/n n d y dx 来表示导数，也正是因为这个符号的出现，促使了L’Hospital 对分数阶导数问题的思考.1695年9月，L’Hospital 在写给莱布尼茨的信中问到：“一个函数()f x 的n 阶导数可以表示为()n n d f x dx ，如果当12n =时会有怎样的结果.” 莱布尼茨在回信中写道：“这显然是一个悖论，但总有一天会得出有用的结论.”由此，分数阶微积分诞生了，在之后300多年的学习研究过程中，莱布尼茨的这句话已经得到了验证，至少他说对了一半,尤其是在二十世纪，大量有关分数阶微积分的应用被人们所发现.尽管分数阶微积分有了这些应用以及一些数学背景，然而它的物理意义却很难把握，分数阶微积分的定义也不像整数阶微积分那样完善.历史上，莱布尼茨、欧拉、拉普拉斯、Lacroix 和傅里叶都曾对分数阶导数做出过重要贡献，其中,欧拉迈出了关键的第一步.他注意到，当n 时非整数时，幂函数a x 的导数na n d x dx在数学上有意义.1812年，拉普拉斯提出了积分形式的的函数()x T t t dt -⎰的分数阶导数的思想.1819年，Lacroix 第一次给出了1/21/21/2d x dx =1823年，Abel 在求解等时曲线的积分方程时，第一次使用分数阶算子并用分数阶微积分来表示该方程的解.1832年，Liouville 成功的应用了自己提出的分数阶导数的定义，解决了势理论问题，此后，Liouvile 发表的一系列文章使他成为分数阶微积分理论的创始人.19世纪末，物理学家Heaviside发表的一系列文章表明，分数阶算子可以应用于求解特定的整数阶微分方程，从数学角度看，他的方法并不严格，但被证明对电缆中电流的传输这类问题非常有效.后来Heaviside的结果被证明是正确的，但他的处理过程在数学上并不完善，直到1919年Bromwich才把这一工作完善，Heaviside的想法极大的促进了分数阶算子的发展，但当时分数阶微积分还没有被应用于科学和工程的物理和力学建模.20世纪40年代，力学家Scott和Gerasimov分别独立的提出了介于牛顿流体和胡克定律表征的分数阶导数模型.地理学家Caputo和Mainardi将分数阶微积分方法运用到复杂黏弹性和流变介质，发展了若干的力学模型，更为重要的是，Caputo发展了一个不同于传统的Riemann-Liouville分数阶导数的新定义（被人们称为Caputo定义），克服了前者的强奇异性，并且自然的将初始条件含在定义中，在解决实际问题时得到了非常广泛的应用.1965年，美国耶鲁大学的Mandelbrot教授提出分形的概念，并首次指出自然界和工程中存在大量分数维的事实，并且整体与部分之间存在自相似现象，他认为分数阶布朗运动与Riemann-Liouville提出的分数阶微积分定义有紧密的内在联系.从此，作为分形几何和分形动力学的基础，分数阶算子理论特别是分数阶微分方程的研究开始得到广泛关注，分数阶微积分的研究重点也逐渐从纯数学领域转移到其它学科领域.20世纪末至今，由于反常扩散、多孔介质力学、非牛顿流体力学、黏弹性力学等研究的需要，分数阶导数的研究和应用再度引起广泛重视，成为多个领域学者研究的热点.1.2分数阶微分方程的研究现状现实的世界本质上是分数阶的.过去用整数阶微积分描述自然界中的事物，但自然界中许多现象依靠传统的整数阶微积分是不能精确描述的，必须对传统的微积分进行拓展才能更好的描述与研究这样的现象.分数阶微分方程是扩展传统微积分学的一种直接方式，即允许微分方程中对函数的导数阶次选择分数，而不是现有的整数.目前，分数阶算子的定义主要有Riemann-Liouville型、Caputo型、Grunwald-Letnikov型，Weyl型、Erdelyi-Kober型、Riesz型以及Marchaud-Hadamard型分数阶微积分[]23，前面三种定义用的最为广泛，同时这三种定义还存在着一定关系:Riemann-Liouville型分数阶微分定义和Caputo型分数阶微分定义都是在Grunwald-Letnikov型分数阶微分定义的基础上进行改进而得到的，但是它们同时又有各自的侧重点，其中对于Riemanna-Liouville 型定义是从数学角度出发，在计算时初始条件是必要的，但这个定义在应用方面缺乏物理背景，是得它在很大程度上不能适用于具体模型;而对于Caputo 型定义，它正好弥补了Riemanna-Liouville 型定义可以很好的应用到数学模型中去，因为此时的初始条件恰好是整数阶的导数，这样连带的初始条件就可以很好的描述一些物理现象的特征，并能准确的对它进行计算，它还比较适用于拉普拉斯变换，有利于分数阶微分方程的进一步讨论随着分数阶微积分定义的出现，分数阶微分方程的求解就成为数学家至今仍在研究的主要课题,在分数阶微分方程的解析解研究方面：Agarwal []26,29,30研究了分数常微分方程解的存在性、唯一性；Miller 和Ross []21给出了一种分数阶微分方程的求解方法；Wyss []36等人给出了分数阶Black-Scholes 方程的一个完整解；Zhanbin Bai []40,41, Chuanzhi Bai []11等研究了分数微分方程正解的存在性;然而，由于分数阶微分方程的解析解以及基本解大多带有特殊函数(如多变量的Mittag-Lemer 函数)，这些特殊函数的计算是相当困难的，而且并非所有的分数阶微分方程都能得到其解析解.因此，建立分数阶微分方程的数值方法是非常必要的，在分数阶微分方程的数值解研究方面：Diethelm []1314，等人对于Adams类型的分数阶微分方程，提出用预测校正法来得到微分方程的数值解并且讨论了分数阶非线性微分方程的求解问题，在特定初值和Riemann-Liouville 型分数阶微积分定义的条件下求解分数阶微分方程的数值解；Diethelm 和Ford []15在分数阶微积分的Caputo 定一下给出了给出了一种求解分数阶微积分的数值算法；Sayed []33等人对于线性分数阶微分方程给出了一种计算其近似的数值解的算法，该算法需要很大的计算量来得到计算权数；Agrawal []4等人在Caputo 型分数阶微积分的基础上，求解了分数阶漫射波方程，数值解在实际问题中得到了广泛的应用，数学家们给出了自己的解法，每种解法都随着计算机技术的快速发展得到了验证.在最近的十多年里，有关分数阶微分方程的论文和著作相继出现，在这些论文和著作当中，也有很大一部分文章是关注不同边值条件和不同阶数取值范围下的分数阶微分方程正解存在性和唯一性问题，在不同的边值条件和阶数条件范围下，可以采用不同方法来求解分数阶微分方程的解以及证明其正解的存在性.已知的求解方法中较多是采用各种推广的特殊函数来直接求解，其中Green 函数是研究的重点内容，不同的边值条件和阶数的取值范围会产生不同的Green函数以及相应的Green函数值的有所不同，进而导致在后续估计分数阶微分方程正解的存在的条件以及在证明正解存在性的方法上出现显著差别.本文主要利用非线性泛函分析中的不动点理论,把解的存在性转化为某个非线性算子不动点的存在性.研究了一类分数阶微分方程在边值条件下正解的存在性.第二章 带有奇异的非线性SemipositoneSturm-Liouville 边值问题解的存在性2.1 引言近年来，带有奇异的或非奇异的positone 问题(其中非线性项()f y 为非负值)的研究已引起了很多的学者的关注，详见文献[17，25,26,28].最近，文章[19,20]开始讨论了Semipositone 非奇异问题. 这里Semipositone 问题指的是非线性项()f y 可能在0y =处奇异并且f 可以取负值.本章主要研究了带有奇异的非线性Semipositone Sturm-Liouville 边值问题(2.1.1)解的存在性.0μ>这里是常数，1[0,1],q L ∈:(0,)f R ∞→连续并且在0y =处奇异, ,,,0:0.αβγδργβαγαδ≥=++>及在文献[27]中作者研究了带有奇异的Semipositone Dirichlet 边值问题 ()()(())0,01(0)(1)0;y t q t f y t t y y μ''+=<<⎧⎨==⎩解的存在性.受以上文献启发，本文讨论了带有奇异的Semipositone Sturm-Liouville 边值问题(2.1.1)解的存在性.本章主要利用锥上的不动点理论来建立边值问题解的存在性，本章第二部分首先介绍了一些基本定义和引理,给出我们后面用到的基本定理，第三部分是我们的主要定理并给出了(2.1.1)式当==1αγ，==0βδ特殊情形时的一个例子，边值问题(1)0,01(0)(1)0,0,0p q y y y t y y p q μ-''⎧++-=<<⎨==>>⎩ 当μ充分小时，有一个解()2[0,1](0,1),()0,0,1y C C y t t ∈⋂>∈且有()()(())0,01(0)(0)0,(1)(1)0;y t q t f y t t y y y y μαβγδ''+=<<⎧⎪'-=⎨⎪'+=⎩2.2 预备知识定理 2.2.1[]27(,)E E K E =⋅∈设是一个Banach 空间，是一个锥，,r R 都是常数且有r R <<0.{}(=:)R R A K K x E x R Ω⋂→Ω∈<假设:这里，A 是一个连续的紧映射并且假设下列条件成立：(1) (),[0,1)E r x A x x K λλ≠∈∈∂Ω⋂且， (2) ,E R Ax x x K >∈∂Ω⋂， 那么算子{}:A K x E r x R ⋂∈≤≤在集合上有一个不动点.引理 2.2.1[]27设{}[0,1]()0,[0,1]()[0,1]K y C y t t y t ∈≥∈＝:并且是上的凸函数，如果y ,K ∈那么 01()(1),[0,1];=max ()t y t t t y t y y t ≤≤≥-∈这里. 引理2.2.2 1[0,1],()0,(0,1),q L q t t ∈>∈假设那么边值问题()()=0,01(0)(0)0,(1)(1)0;y t q t t y y y y αβγδ''+<<⎧⎪'-=⎨⎪'+=⎩(2.2.1) 的解0()(),[0,1]w t w t G t t C t ≤∈满足(,);G t t 其中(,)为边值问题 =0,(0)(0)0,(1)(1)0;y y y y y αβγδ''⎧⎪'-=⎨⎪'+=⎩其中1()(),01,1()(),01,t s s t G t s s t t s γδγβαργδγβαρ⎧+-+≤≤≤⎪⎪⎨⎪+-+≤≤≤⎪⎩(,)= 100[0,1]11max ()()()()()()t t t C s q s ds s q s ds t t ψϕψϕ∈⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭⎰⎰ 记 ():,():,01t t t t t ϕγδγψβα=+-=+≤≤.证明：因为(2.2.1)式的解Green G t s 的函数(,)当t=s 的情形,1011()()()()()()()t t w t t s q s ds s t q s ds γδγβαγδγβαρρ=+-+++-+⎰⎰10()()1()()()()t t t t s q s ds s q s ds ϕψβαγδγρρρ=+++-⎰⎰ 10()()()()()()t t t t t t q s ds q s ds ϕψϕψρρ≤+⎰⎰ 所以有00()()()(,)t t w t C G t t C ϕψρ≤=. 引理2.2.3 :(0,)f R M ∞→>设的连续函数并且存在一个常数0,使得 ()0,f u M +≥(0,)u ∀∈∞，若边值问题*()()(()())0,01(0)(0)0,(1)(1)0;y t q t f y t t t y y y y μφαβγδ''⎧+-=<<⎪'-=⎨⎪'+=⎩（2.2.2） 211[0,1](0,1)()(),(0,1),y C C y t t t φ∈⋂>∈有一解且 ()=(),t Mw t φμ这里 *()(),0f v f v M v =+>.1()()()u t y t t φ=-那么 为(1.1.1).式的一个非负解证明：因为1()()()u t y t t φ''''''=-=*1()(()())()q t f y t t Mq t μφμ--+ []1()(()())()q t f y t t M Mq t μφμ=--++1()(()())()(())q t f y t t q t f u t μφμ=--=-所以有()u t ''=()(())q t f u t μ-，即1()()()u t y t t φ=-是(2.1.1).式的一个非负解2.3 主要结果假设下列条件成立:(H1):(0,)f R M ∞→>的连续函数并且存在一个常数0,使得()0,f u M +≥ (0,)u ∀∈∞.(H2)()()()f u M g u h u +=+,(0,)u ∀∈∞，其中0g ∞为（，）上正的连续递减函数 并且存在000()()(),0,0K g ab K g a g b a b >≤∀>>使得. h ∞为[0,）上的连续非负函数并且有0hg∞为（，）上的递增函数. (H3) 存在常数,(,)(1),L G t t Lt t ≤-使得 存在0,r MLC μ>使得00001,()11()r du K b gu MLC h r g r g r μμ>⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰ 1021002max 2(1)(),2(1)(),b t t q t dt t t q t dt ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭⎰⎰其中，100[0,1]11max ()()()()()()t t t C s q s ds s q s ds t t ψϕψϕ∈⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭⎰⎰. (H4)11((1))(0,),()(,)2()((1))((1))a a Rg a a R a R r q s G s ds g R g a a R h a a R εμσεε--∈>≤-+-⎰存在有这里 00MLC Rμεε>≥是任意常数且满足1-，11[0,1]01()(,)sup ()(,)a aaat q s G s ds q s G t s ds ξξ--∈≤≤=⎰⎰满足.定理2.3.1 假设条件(H1)、(H2)、(H3)和 (H4)成立，那么边值问题(2.1.1) 式有一个解2[0,1](0,1)(0,1)()0.y C C t y t ∈⋂∈>且有当时证明：记0*0001:(1)m N m N a a R m ηηε⎧⎫=∈<<-⎨⎬⎩⎭且. 我们首先证明边值问题0,()()(()())0,011(0)(0),1(1)(1),m y t q t f y t t t y y m y y m N m μφαβγδ⎧''⎪+-=<<⎪⎪'-=⎨⎪⎪'+=∈⎪⎩（2.3.1） 对0m N ∀∈有一个解m y ，()0,()(),[0,1],,m m m y t y t t t r y R φ≥≥∈≤≤这里1()()(),()11()(),0.m f v M g v h v v mf vgh v v mm ⎧+=+≥⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩欲证（2.3.1）式，我们接下来看下式*0,()()(()())0,011(0)(0),1(1)(1),m y t q t f y t t t y y m y y m N m μφαβγδ⎧''⎪+-=<<⎪⎪'-=⎨⎪⎪'+=∈⎪⎩（2.3.2） *1()()(),11()()(),01()(0),0.m f v M g v h v v m f v g h v v mm g h v m ⎧+=+≥⎪⎪⎪=+≤≤⎨⎪⎪+≤⎪⎩这里所以我们有*()0,(,).m f v v ≥∀∈-∞∞0,([0,1],){[0,1]()0,[0,1]()[0,1]}.m N E C y C y t t y t ∈=∈≥∈固定并且Ｋ＝:且是上的凸函数()():[0,1]y t y t A K C →是边值问题（2.3.2）式的解当且仅当是算子1*01()()(()())(()())m Ay t G t s q s f y s s ds t t mμφϕψρ=-++⎰(,) （2.3.3）的不动点.:[0,1]A K C →由文献[27]知算子是连续的并且是全连续算子.:A K K →接下来验证*()0,(,)()0.m u K f v v Au t ∀∈≥∀∈-∞∞≥对,因为，所以有同时也容易看出()0A u t ''≤，(0,1),.t ∈ {}{}12=[0,1]:,[0,1]:.u C u r u C u R Ω∈<Ω=∈<设1,[0,1).y Ay y K λλ≠∈∈⋂∂Ω我们首先证明且=0.(0,1)=y Ay y Ay λλλλ≠∈当时，显然成立当时，假设成立，我们有*()()(()())0,01m y t q t f y t t t λμφ''+-=<< （2.3.4）00[0,1](0,1),(0,)()0,y t t t y t '∈∈≥由是凸函数可知，在区间上存在点使得当时有000(,1)()0,().t t y t t y t y r '∈≤==时有并且在处有0(,)()(1)=()(1)()(,),0,1(1)G t t y t t t y y t t t r w t G t t C L t t t ≥-≥-≤≤∈-因为以及,（）0()()()=()1()1()MLC Mw t y t t y t y t y t r μμφ⎡⎤⎡⎤--≥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以 0,r MLC μ>由于所以有0()()()10,0,1MLC y t t y t t r μφ⎡⎤-≥->∈⎢⎥⎣⎦（） （2.3.5） *11()=()()()0m v f v g v h v v v m m≥+∞≤≤当时，，因为g 在(0,)上递减，所以当时，*1()()()()()m f v g h v g v h v m=+≤+，*(()())(()())(()()),(0,1)m f y t t g y t t h y t t t φφφ-≤-+-∈故有(0,1)(2.3.4)x ∈因此当时，由式我们有()()(()())(()())y x q x g y x x h y x x μφφ''≤-+--(()())()(()())1(()())h y x x q x g y x x g y x x φμφφ⎧⎫-=-+⎨⎬-⎩⎭(2.3.5)由式，我们有0(()())()()()11(()())MLC h y x x y x q x g y x r g y x x μφμφ⎧⎫-⎡⎤''≤-+⎨⎬⎢⎥-⎣⎦⎩⎭-（） 00()1)1()())(MLC h r K gq x g y x rg r μμ⎧⎫≤-+⎨⎬⎩⎭（（） （2.3.6） 不等式00()t t t t ≤两边从到积分得，00()()(())1)1()(t t MLC h r y t K g y t g q x dx rg r μμ⎧⎫'≤-+⎨⎬⎩⎭⎰（） （2.3.7） =y Ay λ由知，1*01()()(,)()(()())(()())m y t Ay t G t s q s f y s s ds t t mμφϕψρ≤=-++⎰ 1*1(,)()(()())(()())m G t t q s f y s s ds t t mμφϕψρ≤-++⎰1*1(1)()(()())(()())m Lt t q s f y s s ds t t mμφϕψρ≤--++⎰ 因此++(0)(1)y y m mγδβαδβρρ++≤≤有，. 取++=max ,m mm γδβαδβηρρ⎧⎫++⎨⎬⎩⎭0(2.3.7)t ，对式两边从0到积分,以及由分部积分得00+00()1)1()()(rt mMLC duh r K g xq x dx g u r g r γδβρμμ+⎧⎫≤-+⎨⎬⎩⎭⎰⎰（） 有 0000()11)11)()()(1mrt MLC duh r K g x x q x dx g u r g r t ημμ⎧⎫≤-+-⎨⎬-⎩⎭⎰⎰（（）000(2.3.6()1t t t t t ≥类似的，如果我们对）式两边先从到积分，然后再对不等式两边从到积分得m1000()11)11)()()(rt MLC duh r K g x x q x dx g u r g r t ημμ⎧⎫≤-+-⎨⎬⎩⎭⎰⎰（（）有 000()1)1()(mrMLC duh r K b g g u r g r ημμ⎧⎫≤-+⎨⎬⎩⎭⎰（） （2.3.8） 其中0b 为条件（H3）中所定义，又因为由条件（H3）有00001()11()r du K b gu MLC h r g r g r μμ>⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰ 所以当η充分小时有0001()11()r du K b gu MLC h r g r g r ημμ>⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰ 与（2.3.8）式产生矛盾.接下来我们证明，当 2y K Ay y ∈⋂∂Ω>时，有，2K ⋂∂Ω因为当时， 有()(1),[0,1]y t t t R t ≥-∈.0(0,1)()()()1()(1)MLC t y y t t y t y t t t R r μφεε⎡⎤∈∈-≥-≥≥-⎢⎥⎣⎦当时, [],1t a a ∈-因此，当时，我们有 ()()(1),y t t a a R φε-≥-1()()(1)y t t a a R m φε-≥->由 有 []*(()())=(()())(()()),,1mf y t tg y t th y t t t a a φφφ--+-∈- 1*01()()(()())(()())m Ay G s q s f y s s ds mξμξφϕξψξρ=-++⎰(,) 1*()(()())a m a G s q s f y s s dsμξφ-≥-⎰(,)1(()())()(()())1(()())a ah y s s G s q s g y s s ds g y s s φμξφφ-⎧⎫-=-+⎨⎬-⎩⎭⎰(,)1((1))()1()((1))aa h a a R g R G q s ds g a a R εμξε-⎧⎫-≥+⎨⎬-⎩⎭⎰(,s)(),(2.9).Ay R y ξ≥=由条件(H4)知因此式成立211.2.1(\),(1),[0,1]m m m A y r y R y t t r t ∈ΩΩ≤≤≥-∈由定理知有不动点并且有.0(1)(1)()()m y t t r MLC t t Mw t t μμφ≥->-≥=因为m y 所以是边值问题(2.3.1)式的解.{}0[0,1].m m N y ∈下证是定义在区间上的有界，等度连续的函数族因为 *(()())(()())(()()),(0,1).m m m m f y t t g y t t h y t t t φφφ-≤-+-∈(()())()()(()())1(()())m m m m h y t t y x q x g y t t g y t t φμφφ⎧⎫-''≤-+⎨⎬-⎩⎭所以我们有-00()()1)1()())()m m MLC h R y x K g q x gy x rg R μμ⎧⎫''≤-+⎨⎬⎩⎭-（（ （2.3.9） 0(),()()()1()1,(0,1)()m m m m m MLC Mw s r y R y s s y s y s s y s r μμφ⎡⎤⎡⎤≤≤-=-≥-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦又因为，(0,1),(0,)()0,(,1)()0,m m m m m t t y t t y t ''∈≥≤同时存在使得在区间上在区间上 (2.3.9)()m m t t t t ≤对式两边从到积分得00()()1)1()())(mt m t m y t MLC h R K g q x dx g y t r g R μμ'⎧⎫≤-+⎨⎬⎩⎭⎰（（） （2.3.10）(2.1.9)()m m t t t t ≥另一方面式两边从到积分得00()()1)1()())(m tm t m y t MLC h R K g q x dx g y t r g R μμ'⎧⎫-≤-+⎨⎬⎩⎭⎰（（）（2.3.11） 由（2.3.10）、（2.3.11）式可知'00()()1)1(),(0,1)())(m m y t MLC h R K g v t t g y t rg R μμ⎧⎫≤-+∈⎨⎬⎩⎭（（）（2.3.12） 其中{}{}10max ,min ,()()t a t a v t q x dx =⎰，{}{}00010inf :sup :1m m a t m N t m N a <<∈≤∈<<.注：这里0,1()0m m m t y t '=是区间（）上唯一的一点，满足,有{}0inf :0m t m N ∈>. 倘若不成立，那么存在0N 的子列，使得0m m t →∞→当时，有. 对（2.3.10）式两边从0m t 到积分可得()00000()1)1()()(()m m m m y t t MLC duh R du K g xq x dx g u r g R g u ημμ⎧⎫≤-++⎨⎬⎩⎭⎰⎰⎰（） （2.3.13） 因为0,0m m m t η→∞→→当时，有，由（2.3.13）式可知m →∞当时有()0m m y t →，然而因为()m m y t 在区间[0,1]的最大值在m t 处取得，所以当0m m y →∞→当时，有这与()(1),[0,1]m y t t t r t ≥-∈矛盾 故有{}0:m 0m inf t N ∈>.类似的可以证明{}0sup :1m t m N ∈<. 定义映射0:[0,)[0,),()()y duI I y g u ∞→∞=⎰，显然{}0)m m N I y ∈（是有界的.(())(())m m I y t I y s -()()()()(())m m y t t my s sm y x dudx g u g y x '==⎰⎰00()1)1()(ts MLC h R K g v x dx rg R μμ⎧⎫≤-+⎨⎬⎩⎭⎰（） 可知{}0)m m N I y ∈（是等度连续的. 由，[]1()I I R -在区间0,上的一致连续性以及11())(()=((()))((()))m m m m y t I y s I I y t I I y s ----知{}0[0,1]m m N y ∈是定义在区间上的有界，等度连续的函数族.由Arzela Ascoli -定理知，存在0[0,1],N N y C ∈的子列以及函数 m →∞当时m y y 有在区间[0,1]上一致收敛到同时有(0)(0)0y y αβ'-=(1)(1)0y y γδ'+=，r y R ≤≤，()(1),[0,1]y t t t r t ≥-∈，且有0()(1)(1)()()y t t t r MLC t t Mw t t μμφ≥->-≥=. 固定(0,1)t ∈，不失一般性，我们假设12t >，固定(0,1),x x t ∈>满足，对1[,]2s x ∀∈ 0()()()()1()1()MLC Mw s y s s y s y s y s r μμφ⎡⎤⎡⎤-=-≥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦00(1)(1)112MLC MLC x s s r r r r μμ-⎡⎤⎡⎤≥--≥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦选择0001(1)12MLC x n N r n r μ-⎡⎤∈<-⎢⎥⎣⎦使得，，设{}10:.N m N m n =∈≥ 当1,m y m N ∈时，由泰勒公式有12111()()()222x m m m y x y y x f s x s ds⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=+-+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰=[]12111()(()())(()()()222x m m m m y y x q s g y s s h y s s s x ds μφφ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'+-+-+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰因为(1)()m rs s y s R -≤≤，所以11,2my m N ⎧⎫⎛⎫'∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭为有界序列，[]0,1s ∈. 故112m m N y ∈⎧⎫⎛⎫'⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭有一个收敛的子列，不妨设子列的极限收敛到0r R ∈， 在1N 中当m →∞时，我们有，[]10211()()(()())(()()()22x y x y r x q s g y s s h y s s s x ds μφφ⎛⎫⎛⎫=+-+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰（2.3.14）对（2.3.14）式两边求二阶导有[]()()(()())(()())0y x q x g y x x h y x x μφφ''+-+-=所以有 [][]()()(()())(()())0,0,1y t q t g y t t h y t t t μφφ''+-+-=∈*()()(()())0,01y t q t f y t t t μφ''+-=<<.因此y 为（2.2.2）式的解并且有()()y t t φ>，(0,1)t ∈. 下面我们通过一个实例来给出了定理2.3.1的一个应用. 例：考虑边值问题(1)0,01(0)(1)0,p q y y y t y y μ-''⎧++-=<<⎨==⎩ (2.3.15) 这里0(0,)μμ∈且满足()100(1)12pp μμ++≤. (2.3.16)那么边值问题(1.3.15)式有一个解()0,(0,1)y y t t ≥∈且.我们将应用定理 2.3.1来证明，边值问题(2.3.15)式是(2.1.1)式当==1αγ，==0βδ的特殊情形. 设01,(),(),1p q M g y y h y y K -====,1L =，14a =，其中 100[0,1]11max ()()()()()()t t t C s q s ds s q s ds t t ψϕψϕ∈⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭⎰⎰10[0,1]111max 112t t t sds sds t t ∈⎧⎫=+-=⎨⎬-⎩⎭⎰⎰. 11210021max 2(1),2(1)6b t t dt t t dt ⎧⎫=--=⎨⎬⎩⎭⎰⎰.01122r MLC r μμμ==<≤=取时有，，()1001112121121()11()ppp r p q du r gu r rp p MLC h r g r g r μμμ++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-= ⎪+++⎛⎫⎛⎫⎝⎭-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰ (2.3.16)由式有()()00000011122222121()11()p pr du K b p p gu MLC h r g r g r μμμμμμ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤<≤≤=++⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰ 取01111222MLC R R R μμε=>=-≥,当时有，1- . 最后当,1R q →∞>时有，13((1))320()((1))((1))333232pq p qp qR Rg a a R g R g a a R h a a R Rεεε-+-+⎛⎫⎪-⎝⎭=→-+-⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因此定理2.3.1的条件（H1）、（H2）、（H3）、（H4）均满足，故边值问题(2.3.15)式有一个解()0,(0,1)y y t t ≥∈且.第三章 带有奇异的非线性分数阶微分方程D i r i c h 边值问题正解的存在性3.1 引言近年来，人们开始并越来越多的关注、研究分数阶微分方程，主要是因为分数阶微积分自身理论的发展以及在多种学科中的应用，例如物理学，化学，工程学等等，详见文献[8,23,30,31].分数阶微分方程的Dirichlet 边值问题是很多学者研究是的焦点，在文献[40]中作者研究了边值问题()(),()0(0)(1)0D y t f t y t y y α+===正解的存在性和多解性，这里[][]()12,0,1,0,f C α<≤∈∞为非负函数，Bai Zhanbin 通过Krasnosel’skii 不动点定理和Leggett-Williams 不动点定理得到了相关结论.在文献[32]中，Zhang 研究了边值问题()(2)()(),,0,01,1n D u t q t f u u u t n n αα-'+=<<-<≤， (3.1.1)(2)(2)(0)(0)(0)(1)0,n n u u u u --'===== (3.1.2)这里0D α+是标准的Riemann-Liouville 分数阶导数，q 可能在t=0处奇异，f 可能在(2)0,0,0n u u u -'===处奇异.在此基础上Goodrich 在文献[42]中研究了边值问题()0(),(),01,1,vD y t f t y t t n v n +-=<<-<≤ (3.1.3) ()0,02,i y i n =≤≤-（0） (3.1.4)00()0,12,t D y t n αα+=⎡⎤=≤≤-⎣⎦ (2.1.5)这里的3n >,可以看出边值条件(3.1.2)式是边值条件(3.1.4)和(3.1.5)式的特殊情形，文献[42]在Zhang 研究的基础上进一步阐述了Green 函数的有关性质Harnack-like 不等式，这是在锥上寻找正解存在性的一个重要性质.文献[28]中Agarwal 等研究了边值问题()(),(),()0,D u t f t u t D u t αμ+= (3.1.6) (0)(1)0,u u == (3.1.7)正解的存在性，这里12,0,1αμαμ<<>-≥，0D α+是标准的Riemann-Liouville 分数阶导数.f 是正的Caratheodory 函数并且(,,)0f t x y x =在处奇异，通过锥上的不动点定理以及函数列的相关性质证明了边值问题(3.1.6)、(3.1.7)式正解的存在性.本章主要在文献[28,42]的基础上研究下面的带有奇异的非线性分数阶微分方程Dirichlet 边值问题00()(,(),())0,01D x t f t x t D x t t αβ+++=<< (3.1.8) ()(0)0,02i x i n =≤≤- (3.1.9)01()0,02t D x t n μμ+=⎡⎤=≤≤-⎣⎦ (3.1.10)正解的存在性.这里1n n α-<≤，01βα<≤-，f 是正的Caratheodory 函数并且在[0,1],(0,)B B ⨯=∞⨯上满足Caratheodory 条件(([0,1]f C a r B ∈⨯，(,,)0f t x y x =在处奇异，0D α+是标准的Riemann-Liouville 分数阶导数.我们说函数f 在集合[0,1],(0,)B B R ⨯=∞⨯上满足Caratheodory 条件，如果函数f 满足下面三个条件：[]()(,,):0,1(,)a f x y x y B →∀∈是可测函数，成立， [](b)(,,):0,1f t B t →∈是连续的，a.e.成立， []1()0,1,c B L κκϕ∈对中的任一紧集，存在函数使得[](,,),0,1(,)f t x y t x y B κϕ≤∈∀∈a.e.，成立，函数[]0,1u C ∈称为边值问题(2.1.8)-(2.1.10)的一个正解，如果x 在区间(0,1)上有0x >，[]00,1D x C β+∈，[]100,1D x L μ+∈且满足边值条件(3.1.9)、(3.1.10)式和等式(3.1.8),对几乎所有的[]0,1t ∈成立.本文中假设函数f 满足下列条件：[]()1():0,1,(0,),H f Car C B B ∈⨯=∞⨯[]0lim (,,),..0,1,x f t x y a e t y +→=∞∈∀∈(3.1.11)并存在正整数m 满足(,,)(1)f t x y m t μ≥-，[]..0,1,(,)a e t x y ∈∈∀∈(3.1.12)()[]2():(,,)()()()(),..0,1,(,)H f t x y t q x p x y a e t x y B γω≤++∈∈∀∈这里[]()[)1()0,1,0,1,,0,1t L q C p C γω∈∈∈都是正的函数，其中q 单调递减，,p ω单调递增，且有[]10()((1))s q K s s ds αγ-<∞⎰，()1mK α=Γ+ (3.1.13)()()lim0x p x x xω→∞+= (3.1.14)因为(3.1.8)式是一个奇异方程，故我们定义1(,,)11(,,)0n f t x y x n f f t y x n n⎧≥⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩有[]()[)**0,1,0,n f Car C B B ∈⨯=∞⨯，n ∈，由条件1()H 和2()H 可得[]*1(,,)()()()(),..0,1,(,)n f t x y t q p x y a e t x y B n γω⎛⎫≤++∈∈∀∈ ⎪⎝⎭ (3.1.15)[]1(,,)()()()(),..0,1,(,)n f t x y t q p x y a e t x y B n γω⎛⎫≤++∈∈∀∈ ⎪⎝⎭(3.1.16)接下来我们首先讨论一般的分数阶微分方程00()(,(),())0,01n D x t f t x t D x t t αβ+++=<< (3.1.17) 3.2预备知识定义2.1[]40空间[]0,1C 上的范数[]{}max ():0,1x x t t =∈，空间[]10,1L 上的 的范数1()Lxx t dt =⎰.定义 3.2[]40函数:(0,)(0)y R Riemann Liouville α∞→>-，阶数为的分数阶积分由以下公式给出：1001I ()()()()ty t t s y s ds ααα-+=-Γ⎰ (3.2.1) 上式右端在(0,)∞上有定义，其中10()s e s ds αα∞--Γ=⎰.定义3.3[]40函数:(0,)(0)y R Riemann Liouville α∞→>-，阶数为的分数阶微分由以下公式给出：0101()()()()n tn d y s D y t ds n dt t s ααα+-+⎛⎫= ⎪Γ--⎝⎭⎰ (3.2.2)上式右端在(0,)∞上有定义，其中[]1n α=+，[]α表示实数α的整数部分.引理3.1[]28关于分数阶微积分有如下性质：（1）00I ()()D y t y t αα++=，..(0,1]a e t ∈, 1(0,1)y L ∈, 0α>（2）如果0α>，0λ>，那么110()()D ttαλλαλλα---+Γ=Γ- (3) []10()(,1),0,1tt s s ds t B t βααβαβ----=-∈⎰,其中B 为Beta 函数1110(,)(1),0,0p q B p q x x dx p q --=->>⎰，()()(,)()p q B p q p q ΓΓ=Γ+(4) [][]1()(),0,1,()0,1.I I f t I f t t f t L αβαβ+=∈∈ 由性质(4)可知()111()()()(,)()()t s tt s s f d ds B t s f s ds αβαβττταβ+-----=-⎰⎰⎰引理3.2[]40设0α>，如果(0,1)(0,1)y C L ∈⋂，那么分数高阶微分方程0()0D y t α+=有唯一解1212()N N y t C t C t C t ααα---=+++，,1,2,,i C R i N ∈=,其中N 是大于或等于α的最小整数.引理 3.3[]40设0α>，如果(0,1)(0,1)y C L ∈⋂且关于α的分数阶导数0()(0,1)(0,1)D yt C L α+∈⋂，那么120012I ()()N N D u t u t C tC t C t ααααα---++=++++ (3.2.3)其中，,1,2,,i C R i N ∈=，N 是大于或等于α的最小整数.引理3.4[]42设[]0,1f L ∈，那么边值问题0()()0,01,1D u t f t t n n αα++=<<-<≤， ()(0)0,02i u i n =≤≤-01()0,02t D u t n ββ+=⎡⎤=≤≤-⎣⎦有唯一的解1()(,)()y t G t s y s ds =⎰，其中11111(1)(),01()(,)=(1),01()t s t s s t G t s t s t s ααμαααμαα-------⎧---≤≤≤⎪Γ⎪⎨-⎪≤≤≤⎪Γ⎩证明：由引理2.3知，边值问题的解为12120()I ()n n u t C t C t C t f t αααα---+=+++- (3.2.4)由边值条件（1.4）式知230n C C C ====，对上式两边求μ阶导数，由引理2.1以及边值条件(2.1.5)式知11010()1()()()()()tD u t C t t s y s ds μαμαμααμαμ----+Γ=--Γ-Γ-⎰ 当1t =时有，1110()10(1)()()()C s y s ds αμααμαμ--Γ=--Γ-Γ-⎰，故有 11101(1)()()C s y s ds αμα--=-Γ⎰ 1111001()(1)()()()()()t t y t s y s ds t s y s ds ααμααα----=---ΓΓ⎰⎰111111011((1)())()(1)()()()t tt s t s y s ds t s y s ds ααμαααμαα-------=---+-ΓΓ⎰⎰ 设[][]{}0,1:0,1X x C D x C β=∈∈，给空间X 赋以范数{}*max ,x x D x β=，由文献[14]知X 是Banach 空间.定义空间X 中的锥P ，[]{}:()0,0,1.P x X x t t =∈≥∈为了证明边值问题(3.1.9)、（3.1.10）、(3.1.17)有一个正解，我们首先通过公式定义锥上的算子n T ，10()(,)(,(),())n n T x G t s f s x s D x s ds β=⎰ (3.2.5)引理3.5如果条件1()H 和2H （）成立，那么:n T P P →是一个全连续算子. 证明：设x P ∈，因为[]*(0,1)n f Car B ∈⨯，所以[]10,1n f L ∈，故有10()(,)(,(),())n n T x G t s f s x s D x s ds β=⎰1110(1)(,(),())()n t s f s x s D x s ds ααμβα---=-Γ⎰ 101()(,(),())()t n t s f s x s D x s ds αβα---Γ⎰ []10()(,(),())0,1(,)0tn t s f s x s D x s ds C G t s αβ--∈≥⎰由以及，可知()()[]()()0,1,0n n T x t C T x t ∈≥ (3.2.6)接下来由引理3.1的性质（3）、（4）可知()()()()()()101nn tn n d D T x t t s T x s ds n dt βββ--⎛⎫=- ⎪Γ-⎝⎭⎰()()()111(,)(,(),())nn t nd t s G s f x D x d ds n dt ββτττττβ--⎛⎫=- ⎪Γ-⎝⎭⎰⎰=()()1111001s (1)(,(),())()nn tn d t s f x D x d ds n dt αβαμβτττττβα-----⎛⎫-- ⎪Γ-Γ⎝⎭⎰⎰()()110011()(,(),())()nn t s n d t s s f x D x d ds n dt βαβτττττβα---⎛⎫--- ⎪Γ-Γ⎝⎭⎰⎰()()111101s (1)(,(),())()nn t n d t s ds f x D x d n dt βααμβττττταβ-----⎛⎫=-- ⎪ΓΓ-⎝⎭⎰⎰ ()()()+101,(,(),())()nn t n d B n t f x D x d n dt αββαβττττταβ--⎛⎫--- ⎪ΓΓ-⎝⎭⎰()()1+1101,(1)(,(),())()nn n d t B n f x D x d n dt αβαμβαβττττταβ----⎛⎫=-- ⎪ΓΓ-⎝⎭⎰ ()()()+101,(,(),())()n n t n d B n t f x D x d n dt αββαβττττταβ--⎛⎫--- ⎪ΓΓ-⎝⎭⎰ ()()(11101,(1)(,(),())()i n n B n it f x D x d n αβαμβαβαβττττταβ----≤≤--∏-+=-ΓΓ-⎰()10(,(),())tn t f x D x d αββτττττ--⎫--⎪⎭⎰所以有()()()(11101(1)(,(),())i n nn iD T x t ts f s x s D x s ds n βαβαμβαβαβ----≤≤-∏-+=-Γ+-⎰()1(,(),())tn t s f s x s D x s ds αββ--⎫--⎪⎭⎰ (3.2.7)因此有[]0,1,:n n D T x C T P P β∈→.为了证明n T 是一个连续算子，设{}m x P ⊂是一个收敛序列而且有*lim 0m m x x →∞-=,可知*,m x M m ≤∀∈对，M 是一个正的常数，因为[]*(0,1)n f Car B ∈⨯，我们有[]lim (,(),())(,(),()),..0,1n m m n m f t x t D x t f t x t D x t a e t ββ→∞=∈由(2.1.15)、(2.1.16)式可知，10(,(),())()()()()n m m f t x t D x t t q p M M n βγω⎛⎫<≤++ ⎪⎝⎭(3.2.8)由Lebesgue 控制收敛定理有1lim (,(),())(,(),())0n m m n m f t x t D x t f t x t D x t dt ββ→∞-=⎰ (3.2.9)()10()()()()(,)(,(),())(,(),())n m n n m m n T x t T x t G t s f s x s D x s f s x s D x s ds ββ-=-⎰ ()1(1,)(,(),())(,(),())n m m n G s f s x s D x s f s x s D x s ds ββ≤-⎰10(,(),())(,(),())n m m n f s x s D x s f s x s D x s ds ββ≤-⎰()()()11101()()()()(1)(,(),())(,(),())i n n m n n m m n iD T x t D T x t ts f s x s D x s f s x s D x s dsn ββαβαμββαβαβ----≤≤-∏-+-≤--Γ+-⎰()()()101(,(),())(,(),())ti n nmm n it s f s xs D x s f s x s D x s dsn αβββαβαβ--≤≤-∏-++--Γ+-⎰()1012(,(),())(,(),())i n n m m n if s x s D x s f s x s D x s ds n ββαβαβ≤≤-∏-+≤-Γ+-⎰故有lim 0n m n m T x T x →∞-=，所以n T 是连续算子.最后，设P X Ω⊂是中的有界集，*,x x L ∀∈Ω≤有，L 是一个正的常数，由于[]*(0,1)n f Car B ∈⨯，所以存在[]10,1L ϕ∈使得()[]0(,(),())..0,1,n f t x t D x t t a e t x βϕ<≤∈∀∈Ω对[],0,1x t ∀∈Ω∈有，11()()(,)(,(),())(,(),())n n n L T x t G t s f s x s D x s ds f s x s D x s ds ββϕ=≤≤⎰⎰()11101()()(1)(,(),())i n n n iD T x t t s f s x s D x s ds n 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《分数阶微分方程边值问题解的存在性》篇一摘要：本文探讨了分数阶微分方程边值问题的解的存在性。
利用分数阶微分方程的理论、不动点定理以及一些新近发展的分析技巧，我们证明了在一定的条件下，该类问题存在至少一个解。
这不仅扩展了分数阶微分方程的理论应用范围，也为解决实际问题提供了理论支持。
一、引言分数阶微分方程作为数学领域中的一个重要分支，在物理学、工程学、生物学等多个领域有着广泛的应用。
近年来，随着分数阶微分方程理论的不断完善，其边值问题的研究也日益受到关注。
本文旨在研究分数阶微分方程边值问题解的存在性，为相关领域的实际应用提供理论支持。
二、问题描述与预备知识设我们的分数阶微分方程边值问题为：D^αu(x) = f(x,u(x))，其中x属于闭区间[a,b]，D^α表示某种形式的分数阶导数，f(x,u(x))是定义在相应区间上的函数。
边值条件根据问题的实际情况可能包括多种形式。
为了分析该问题的解的存在性，我们需要引入一些预备知识，如分数阶微分方程的基本理论、不动点定理以及一些分析技巧。
三、解的存在性证明为了证明该分数阶微分方程边值问题解的存在性，我们首先构造一个适当的算子L和一个相应的映射T。
算子L负责处理分数阶导数部分，而映射T则负责将非线性部分纳入考虑。
我们的目标是证明算子T是一个压缩映射或存在不动点，这样我们就可以利用不动点定理来证明问题的解的存在性。
具体地，我们定义算子L为解决与D^α无关的边值问题后的部分，然后构造映射T将f(x,u(x))代入L的解中。
接着，我们利用一系列的放缩、估计和转换技巧来证明T是一个压缩映射或存在不动点。
在这个过程中，我们还需要考虑函数的连续性、可微性等性质。
四、结论通过上述的证明过程，我们得出了该分数阶微分方程边值问题解的存在性。
我们的方法不仅适用于特定的边值条件和函数形式，而且具有一定的普遍性，可以推广到更广泛的分数阶微分方程边值问题中。
这不仅扩展了分数阶微分方程的理论应用范围，也为解决实际问题提供了理论支持。
二阶微分方程组边值问题解的存在性引言：微分方程是数学探究中的一个重要分支，广泛应用于物理学、工程学等领域。
对于二阶微分方程组来说，探究其边值问题解的存在性具有重要意义。
本文将从理论和实例两个方面探讨。
一、理论基础1. 边值问题的定义对于二阶微分方程组，我们可以给出边值条件，通常包括一阶导数和二阶导数的边界条件。
边值问题的目标是找到满足这些条件的解。
2. 确定性理论通过分析微分方程组的性质和边界条件的要求，可以得到存在性的定理。
其中，广义极值原理是常用的分析工具之一。
这个原理告知我们，在特定条件下，方程组解的存在和非存在性是由边界条件的详尽形式所决定的。
3. 上下解的构造对于一些特殊的微分方程组，我们可以使用上下解的构造方法来证明边值问题解的存在性。
这种方法涉及到将原方程组转化为帮助方程组的形式，并通过比较上下解的大小干系来确定解的存在性。
二、实例分析思量如下的边值问题：$\begin{cases}y''(t) + p(t)y'(t) + q(t)y(t) = 0\\y(0) = y(T) = 0\end{cases}$我们假设$p(t)$和$q(t)$在闭区间$[0,T]$上连续。
为了证明边值问题的解的存在性，我们起首将其转化为帮助方程组：$\begin{cases}z''(t) + p(t)z'(t) + q(t)z(t) = 0\\z(0) = z(T) = 0\end{cases}$其中$z(t)$是未知函数。
依据广义极值原理，我们期望找到帮助方程组的上解$u(t)$和下解$v(t)$，满足条件$u(t)\geq z(t) \geq v(t)$。
为了构造上解和下解，我们思量方程$y''(t) + p(t)y'(t) + q(t)y(t) = 0$的震荡特征。
令$\lambda_1$和$\lambda_2$为方程特征方程的两个根，由于$p(t)$和$q(t)$在闭区间$[0,T]$上连续，我们可以得到两个实数$\mu_1$和$\mu_2$，使得$\mu_1 < \lambda_1 < \mu_2$。
二阶微分方程多点边值问题正解的整体性
非线性泛函是现代分析数学的一个重要分支，它的许多问题来源于化学反应、人口生态、传染病、经济以及其它系统的模型。
由于其能很好的解释许多自然现象，从而受到了越来越多的数学工作者的关注。
二阶线性常微分方程多点边值问题的研究首先是由Illin和Moiseev开始的，Gupta讨论了一类二阶非线性常微分方程三点边值问题的可解性。
此后，许多作者用Leray-Schauder连续定理、选择定理，以及拓扑度理论对更一般的多点边值问题的可解性进行了研究，并获得了很多结果[3-6]。
然而很少见文献讨论其正解的结构。
最近文献[7]利用不动点指数理论研究了一类二阶非线性三点边值问题正解的结构。
本文受到文献[7]的启发，运用不动点定理、不动点指数定理以及锥理论，分别研究了两种不同边值条件下二阶微分方程三点边值问题正解的整体性。
针对非线性函数为超线性和次线性两种情形，得到了两类边值问题正解集中存在一个闭联集-非空的、连通的闭子集。
本文的第一节主要阐述了相关问题的历史背景及发展现状，第二节和第三节是本文的核心部分，主要研究了同一二阶微分方程在两种不同的边值条件下正解的结构。
最后，对这样一类解的结构问题的进一步研究进行了展望，提出了一些设想，希望能得出更多更好的结果。
