阶常微分方程边值问题
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边值问题的数值解法
估计式
M b a 2 y xk y k h ，k 1， 2， ，n 1。 96
2
y 4 x 。因此，当 h 0 时，差分方程的解收敛到微分方 其中 M max a x b
y f x，y，y， y x，y sk，
这里的 s k 为
（8.6.3）
y
在 处的斜率。令 z y ，上述二阶方程可降为一阶方程组
y z， z f x，y，z ，
（8.6.4）
y a ，z a sk。
计算结果表明打靶法的效果是很好的，计算精度取决于所选取的初值问题数
值方法的阶和所选取的步长 h 的大小。不过，打靶法过分依赖于经验，选取试射 值，有一定的局限性。
第八章常微分方程数值解法
8.6.2 差分方法
差分方法是解边值问题的一种基本方法，它利用差商代替导数，将微分方程 离散化为线性或非线性方程组（即差分方程）来求解。 先考虑线性边值问题（8.6.2）的差分法。将区间 a，b 分成 n 等分，子区间的
s2
，同理得到 yb，s2 ，再判断它是否满足精度要求
y b，s2 。如此重复，直到某个 s 满足 y b，sk ，此时得到 k
的 y xi 和 yi z xi 就是边值问题的解函数值和它的一阶导数值。上述方程 好比打靶， s k 作为斜率为子弹的发射，y b 为靶心，故称为打靶法。
y xy 4 y 12 x 2 3x， 0 x 1， y 0 0，y 1 2，
其解的解析表达式为 y
x x 4 x 。来自解 先将该线性边值问题转化为两个初值问题
xy1 4 y1 12 x 2 3 x， y1 1 0， y1 0 0，y1 xy2 4 y2 0， y2 1 1。 y2 0 0，y2
M b a 2 y xk y k h ，k 1， 2， ，n 1。 96
2
y 4 x 。因此，当 h 0 时，差分方程的解收敛到微分方 其中 M max a x b
y f x，y，y， y x，y sk，
这里的 s k 为
（8.6.3）
y
在 处的斜率。令 z y ，上述二阶方程可降为一阶方程组
y z， z f x，y，z ，
（8.6.4）
y a ，z a sk。
计算结果表明打靶法的效果是很好的，计算精度取决于所选取的初值问题数
值方法的阶和所选取的步长 h 的大小。不过，打靶法过分依赖于经验，选取试射 值，有一定的局限性。
第八章常微分方程数值解法
8.6.2 差分方法
差分方法是解边值问题的一种基本方法，它利用差商代替导数，将微分方程 离散化为线性或非线性方程组（即差分方程）来求解。 先考虑线性边值问题（8.6.2）的差分法。将区间 a，b 分成 n 等分，子区间的
s2
，同理得到 yb，s2 ，再判断它是否满足精度要求
y b，s2 。如此重复，直到某个 s 满足 y b，sk ，此时得到 k
的 y xi 和 yi z xi 就是边值问题的解函数值和它的一阶导数值。上述方程 好比打靶， s k 作为斜率为子弹的发射，y b 为靶心，故称为打靶法。
y xy 4 y 12 x 2 3x， 0 x 1， y 0 0，y 1 2，
其解的解析表达式为 y
x x 4 x 。来自解 先将该线性边值问题转化为两个初值问题
xy1 4 y1 12 x 2 3 x， y1 1 0， y1 0 0，y1 xy2 4 y2 0， y2 1 1。 y2 0 0，y2
一族高阶常微分方程边值问题解的存在性
的 日 （）， ｉ ｎ使 得 （ ） ｕ （ ￣２ ） ７能表 示 成
ＩＶ ）［（） （） Ｖ ） （ 卜 ｒ［ 】 （ （ ）
：
ａ （） （） ｌ ｖ＋
）
（） ｖ ＋… ＋Ｂ （） ：（ ） ｖ．
（ ８
这 方 面的 内容可 参见 文献【】 ２．
引理 １ 如 果 齐次边 值 问题 （ ） 在一个 非 平凡解 ， 么共 轭齐 次边值 问题 （） 存在 一个 非平 凡解 ． ． ３存 那 ６也 证明： 这个 结论 容 易从 文献 ［，ｈｐｅ ］ 出 ． ２ Ｃ ａｔｒ３中导 下 面我们 引人广 义格 林 函数来 导 出一般 边值 问题 （） 的存 在 性定理 ． ４解 定理 ２ 齐次边 值 问题 （ ） 在一解 ．非 ４存
一
族 高阶常微 分方程边值 问题解 的存在 性
岑 仲 迪
（ 江 万 里 学 院 ，宁 波 浙 ３５０ ） １ １０
摘 要 ：文章利用格林函数 导 一 族高阶常 微分 方程边值问题解的存在性定理． 特别是利 用广 义格 林函数证 明了高 阶齐次方程存 在非平凡解 的情况下对应的高阶非齐次边 值问题存在一解的充耍条件．
Ｌｕ＝ 厂 ，＜ ＜ ， ，“ ＝ ｕ ＝ 【】一 （ ａ ｘ ｂ Ｂ （ ） …Ｂ （ ） ０ ） （） ４
有关 这方 面 的研究 工作 已经做 了许 多 ， 可参 见 文献 ｉ，】 里我们 给 出一个 利 用格 林 函数来 表 示解 的存 １２， 这 在惟 一性 的定Байду номын сангаас ， 见 文献【 ， ｈ ｐｅ １ 参 １Ｃ ａ ｔ ３． ｒ
（） １
其 中 （ （ Ｏ ， ，） 区间【，】 的连 续 函数 ， ）ｉ ， … ｎ 是 ＝ ｎ６上 并且 在 区间【，】 （） ， 厂 ） 区间【，】 ｎ６上 ≠Ｄ 而 （ 在 ｎ６上是 分片 连续 函数 ． 分方 程 （） 微 １的解 ｕ 满 足如 下 ｎ个边 值条 件 ： （）
两点边值问题方程
两点边值问题方程两点边值问题是一种求解微分方程的方法，它涉及到两个边界条件。
假设我们有一个一阶常微分方程dy/dx = f(x,y)，我们需要找到满足两个边界条件y(a) = alpha 和y(b) = beta 的解。
两点边值问题的解法通常包括以下步骤：1. 定义一个初始猜测值y0(x)。
2. 使用数值方法（如欧拉法、龙格-库塔法等）求解微分方程，得到新的解y1(x)。
3. 检查新的解是否满足边界条件。
如果满足，则找到了解；否则，返回步骤2，使用新的解作为初始猜测值继续求解。
下面是一个使用Python实现两点边值问题的示例代码：```pythonimport numpy as npfrom scipy.integrate import odeint# 定义微分方程dy/dx = f(x,y)def f(x, y):return x * y - 1# 定义两个边界条件y(a) = alpha 和y(b) = betaa, b, alpha, beta = 0, 1, 1, 0# 定义初始猜测值y0(x)y0 = np.array([0.5, 0.5])# 使用数值方法求解微分方程def solve_two_point_boundary_value_problem(f, a, b, alpha, beta, y0, tol=1e-6, max_iter=100): for i in range(max_iter):y = odeint(f, y0, [a, b])if np.allclose(y[:1], alpha) and np.allclose(y[-1], beta):return y[1:-1]y0 = y[1:-1]raise ValueError("Solution not found within the specified tolerance and maximum iterations.")# 求解两点边值问题solution = solve_two_point_boundary_value_problem(f, a, b, alpha, beta, y0)print("Solution:", solution)```在这个示例中，我们使用`odeint`函数求解微分方程，并使用`np.allclose`检查新的解是否满足边界条件。
二阶常微分方程边值问题求解的常数变易法
二阶常微分方程边值问题求解的常数变易法数学物理方程与特殊函数复习资料二阶常微分方程边值问题求解的常数变易法20XX年-8-31数理方程所解决的问题与高等数学（微积分）教科书中的常微分方程有很大区别，其中最显著的特点是多数微分方程的条件是边值问题，即知道未知函数在自变量变化区域的边界上的取值。
这就是所谓的边值问题。
最简单的是二阶常微分方程的两点边值问题。
二阶常微分方程的解是一个一元函数，关于这个一元函数的信息，知道的不多，除了微分方程本身提供的之外，还有未知函数在一个区间的两个端点处的值。
微积分所教给我们的技巧是先求出常微分方程的通解，再根据两个条件确定通解中的两个任意常数。
进入这门课之初，先回顾初值问题，再思考边值问题。
在边值问题中，数理方程课程内容中出现了一个历史上非常著名的函数，即格林函数。
对力的分析中普遍使用一个方程：F=ma。
这是著名的牛顿第二定律，其中，F表示力，m表示物体的质量，而a表示物体运动的加速度。
由于加速度的物理意义可解释为物体运动时位移变量对时间的二阶导数，再结合使用虎克定律，就得出简单的振动所满足的二阶常微分方程y 2y 0如果考虑外力作用，该方程化为更一般的情况y 2y f(x)y(0) ,y(0)两个初始条件可解释为已经知道初始位移和初始速度。
求解上面方程需要用常数变易法。
先回顾一阶常微分方程求解的方法，然后再讨论二阶常微分方程的常数变易法。
一、一阶常微分方程初值问题的常数变易法一阶常微分方程常数变易法，用于解源函数不为零的常微分方程问题y (x) ry(x) f(x),x 0y(0)先求解简化的（源函数为零）的方程：y (x) ry(x) 0由分离变量：dydyrdx ry，ydx积分：lny rx c，y(x) Cexp( rx)应用常数变易法，假设简化前的方程的解具有与简化后方程的解有相同形式，将常数替换为待定的函数，即y(x) u(x)exp( rx)求导数，得y (x) u (x)exp( rx) ru(x)exp( rx)u (x)exp( rx) ry(x)数学物理方程与特殊函数复习资料将其代入化简前的方程，得等式u (x)exp( rx) f(x)，u (x) exp(rx)f(x)积分，得u(x)xexp(r )f( )d C代入表达式y(x) u(x)exp( rx)，得y(x) [ exp(r )f( )d C]exp( rx)x应用初始条件，得解函数y(x) exp( rx) exp[ r(x )]f( )dx从两部分解读解函数的意义。
一类非线性四阶常微分方程边值问题正解的存在性
摘
要：
用 一 种 较 简 单 的 方 法 建 立 了 非 线 性 四 阶 常 微 分 方 程 边 值 问 题
ｇ
部 条件．
正的 对线项 只求满一局 解祧巨 非性 厂要其足个
文献标 识码 ： Ａ
关键 词 ： 边值 问题 ； 解 ； ｃ ａ ｄ ｒ 动点 定理 正 Ｓ ｈｕ ｅ 不
可知 ｌ ［ ，］上 的 非 负 上 凸 函数．下面 我 们 ‘ ）是 Ｏ １ （
分 两种情 况证 明 ：
（ ｉ ｔ Ｅ ，３ 则 ）若 ∈ ｏ ｃ ，
（）一 （ － ｔ ｆ ６－ ｏ＋ ）≥ （ ）＋ ｔ （） ０ ｆ
定理 ， 打靶 法 ，以及 上下 解方 法 ． 本文试 图用 一 种 较 简 单 的 方 法 建 立 问 题 （ ） １ 正解 的存在 性结 果 ，对 非 线 性 项 ，只要 求 其 满 足 个局 部条 件 即可 ， 文 的工作 受 到文 献［ ３ 本 ７ 的启
这 里
一 ｍａ ＩＧ（，） ｓｒｄｄ ， ｘＩ ￡ｓＧ（，）ｒｓ
Ｏ ≤ｌ Ｊｏ ≤ｔ Ｊｏ
Ｇ
二
㈤
惫一 Ａ ｍａ ＩＧ（，） ｓ ｘ ￡ｓ ｄ 则 Ａ～ ， 为大 于 ０的常 数． 七均
（） ５
证 明 容 易 验 证 （ ）定 义 的 ｌ ｔ 为 问 题 ３ ‘ ）确 （ （ ）的解 ， 由 Ｇ（，）≥ ０可得 （）≥ ０ ｔ ［ ， ２ 且 ｔ ， ∈ Ｏ
１． ］ 下证对 Ｖｔ （ ，） ｔ ＞ ０ ∈ Ｏ１，（ ） ． 由 （ 在［ ，］ ￡ ） Ｏ １ 上不恒 为 。可得 。 不是 问题 （ ） ２
① 收藕 日期 ：Ｏ Ｏ １ ２ ２ １ 一０ — ８
２ 主 要 结 果 及 证 明
一阶常微分方程无穷点边值问题的上下解方法
方程边值 问题 在常微 分 方程理 论 中有 十 分重 要 的地 位， 因此对常微分方程在无 穷点边值 条件 下解 的存在
ｔ＜…＜ｔ ２ ＜…＜Ｔ口＜０ 及一１ ， ＾ 以 ＜∑ 的
Ｉ １ ＝
性 问题进行深入地研究是 非常必要 的． 文献 ［］ Ｍａ ８中
Ｒ ｙ ｎ建立 了一阶常微分方程 ｍ＋ １ ｕｕ 点边值 问题
ＹＡＮ Ｄｏｎ － ｉ ｇ ｍ ｎｇ
（ ｏｌ ｅ ｆ Ｍａｈｍ ｔ ｓ ｎ ｎ ｏｍ ｔ ｎＳ ｉ ｃ ， ｒ ｗｅｔ ｒ ｌＵ ｉｅｓ ｙ，ａ ｚ ｏ ３ ０ ０ Ｃ ｉａ Ｃ ｌ ｇ ｔｅ ａ ｉ ｄ Ｉｆ ｒ ｉ ｃｅ ｅ Ｎｏｔ ｓＮｏｍ ｎｖ ｒｉ Ｌ ｎｈ ｕ７ ０ ７ ，ｈｎ ） ｅ ｏ ｃａ ａ ｏ ｎ ｈ ａ ｔ
（ １ ）
记 Ａ ） 定义 在 －上 的绝 对 连 续 函数 构 成 的集 Ｃ（ 为 ，
广
合． Ｌ （ ） 设 － 为定义在 ． 厂 ， 上满足Ｉ （ ． ｄ ＜＋。 Ｉ ￡ ４ ｔ ｚ ） Ｐ 。
收 稿 日期 ：０ ７１＿６ ２ ０ —ｌ２ 基 金 项 目 ： 北 师 范大 学 科 教 创 新 工 程 （ 西 ＮＷ ＮＵ—Ｊ Ｘ － １ ） Ｋ Ｃ ＧＣ ２２
近 ２ 年来 ， 常微 分方 程 非局 部 问 题解 的存 在 Ｏ 对
性 问题 的研 究 ， 已经 取 得 了重 大 的进 展 ． 常微 分
引进 上下 解 的概 念 并 发 展 上 下 解 方 法 ． 中 Ｊ 一 其
［ ， ］ Ｃ Ｒ， ，＾忌＝ １２ … ） ０ Ｔ ，。∈ ｔ ａ （ ＾ ，， 为满 足 ０＜ ｔ ＜ ｌ
给定 常数 ， ＪＸ －Ｒ为 Ｃ ｒｔ ６ｄ ｒ ，： Ｒ－ － ＊ ａａｈ ｏ ｏｙ函数．
一类4阶常微分方程系统边值问题正解的存在性
考虑 ４阶常微分 方程 系统边值 问题
“
¨ （）＝ ｔｕ ｔ ，（） Ｕ（） （ ） ，∈（ ， ） ｔ （ ， （） ｔ ，”ｔ ，”ｔ ） ｔ ０ １ ，
（） １
‘ （ ） ／ （ ， （） ， ， （） ，∈（ １ ￡ ＝ ｆ“ ｆ ，（ ） ｕ （） ） ￡ ０，） ’ ｕ０ “ １ （ ）＝ （ ）＝“（ ）＝ （ ）＝ ， ０ １ ０
词： 边值 问题 ；系统 ；正解 ； ｃ ａｄ ｒ Ｓ ｈｕ ｅ 不动 点定理
对非线性 项只要 求其 满足局部 条件 ．
中图分类 号 ： １５ Ｏ ７
献标识码 ： Ａ
文章编 号 ：６ ４—８ ２ （ ０ ０ ０ ０ １ ０ １７ ４ ５ ２ １ ）２－ １４— ４
Ｅｘｓｅ ｃ ｆＰｏ ｉｉｅ Ｓ ｌ ｔｏ ｏ Ｃｌ ｓ ｆ ｉｔ ｎ ｅ ｏ ｓｔ ｏ ｕ ｉｎ ｆ ｒ Ａ ａ ｓｏ ｖ
ｔｒ ｏ ｌ ｅ ｄ ｏ ｓ ｔｓｙ ａ ｌｃ ｌｃ ｎ ｉ ｏ ． ｅ ｍ ｎ ｙ ｎ ｅ ｓ ｔ ａｉｆ ｏ ａ ｏ ｄｔ ｎ ｉ Ｋｅ ｒ ｓ：ｂ ｕｎ ａ ｙ ｖ ｌ ｒ ｂ ｅ ；ｓ ｓｅ ｙ ｗｏ ｄ ｏ ｄ ｒ ａｕｅ ｐ ｏ ｌｍ ｙ ｔ ｍｓ；ｐ ｓｔ ｅ ｓ ｌｔｏ ｏ ｉｉ ｏｕ ｉ ｎ；Ｓ ｈ ｕ ｅ ｘ ｄ ｐ ｉｔｔ ｅ ｒ ｍ ｖ ｃ ａ ｄ ｒｆ ｅ ｏｎ ｈ ｏ ｅ ｉ
Ｆｏ ｔ － ｏ ｄｅ ｙ ｔ ｍ ｓＢｏ ｎ ｒ ｌ ｅ Ｐｒ ｂ ｅ ｓ ｕｒｈ — ｒ ｒ Ｓ ｓｅ ｕ ｄａ ｙ Ｖａ ｕ ｏ ｌｍ
Ｗ ＡＮＧ Ｊｎ —Ｘｉｎ ｉ － ａ ｇ
（ ｏ ｅｅｏ ｔｅ ａ ｃ ｎ ｎ ｒ ａｉ ｃｅｃ ， ｏｔ ｅｔ ｏｍ ｌ ｎｖｒｔ， ａｚｏ ３０ ０ Ｃ ｉ Ｃ ｌｇ ｆ ｈｍ ｔ ｓ ｄＩｆ ｍ ｔ ｎＳｉ ｅ Ｎ ｒ ｗ ｓ Ｎ ｒ ａ Ｕ ｉｅ ｉ Ｌ ｎｈｕ７ ０ ７ ， ｈｎ ｌ Ｍａ ｉ ａ ｏ ｏ ｎ ｈ ｓｙ ａ）
带非齐次边界条件的二阶常微分方程边值问题正解的存在性
Ｖ０． １２５ Ｎｏ． ４
０ｅ ．２ １ ｔ ０２
文章 编号 ：０ ４ ８２ （０ ２ ０ － ２ １０ １０ － ８ ０ ２ １ ）４ ０ ５ － ５ －
带 非 齐 次 边 界 条 件 的 二 阶 常 微 分 方 程 边值 问题 正解 的存 在 性
谢 春 杰
（ 西北师范大学数 学与统计 学院 ， 甘肃 兰州 ７ ０７ ） ３ ００
（ ¨ ｄ ＝１ ｙ ｓ ｃ ） ｃ Ａ Ｉ ㈩州 ＋
由 （ ）知 ｐ ＋６ Ｈ１ ：＝ ｃ＋伽 ＞０ 则 ，
ｄｙ ） Ｍ ＋・ Ｊ（ Ｄｓ ＋ ］
解 的 Ａ。 Ｂ值 如下 ：
算 子． 引理 １１ 设 Ｐ为 Ｂ ｎｃ 间 Ｘ中 的体 锥 ， ［ ａａｈ空 ０
摘要 ： 运用 一凸算子理论研究了带非齐次边界条件的二阶常微分方程边值 问题 ｆＰ ｔ （） ＋ｈ ｔＩ ）＝０ ｔ∈ （ ， ） （ （） ｔ ） （）（ 厂 ， ０１， Ｌｕ Ｏ ａ （ ）一６ （ ） （ ） ＝ ［ ｐ Ｏ ０ ］十Ａ， Ｃ（ ）－ （ ） （ ） ＝卢 Ｍ Ｕ １ Ｉ １ １ － ［ ］＋
（ （）， ｔ ） Ｐ ｔ １（ ） ＋Ｙ ｔ ２ （ ）＝０ ｔ∈ （ ， ） （ ） ， ０ １ ， ５
１ 预 备 知 识
本文 总假定 ：
（ ） ∈ Ｃ ［ ，］ （ Ｈ１ Ｐ （ ０ １ ，０，＋∞ ） ， ∈ Ｃ（０， ） ｈ ［
１ ，０ ＋∞） ， ］［ ， ） 并且 （） ０ １ ￡ 在［ ，］的任意子区间
的文献 研 究 了非 齐 次 边 值 问 题
，特 别 地 ，文
［ ， ］分别 考 虑 了方 程 （ ）在 非齐 次边 界条件 ８ ９ １
Ｍ０ （）＝０Ｍ１ ∑ｂｔ 和 ｕ（）＝０ ，（）＝ ｉｔ ｌ ）＋ （ ０ ，
一类二阶常微分方程两点边值问题多个正解的存在性
ｄ ｆｅ ｅ ｉ ｌｅ ａ ｉ ｎ ｎ ｔ － ｉ ｔｂ ｕ ａ ｙ ｖ ｌｅ ｐ ｏ ｌｍ ｉｆｒ ｎｔａ ｑｕ ｔｏ ｓｉ ｗｏ ｐｏ ｎ ｏ ｎｄ ｒ ａ ｕ ｒ ｂ ｅ
ＡＮ Ｌｅ
（ ｌ ｇ ａｈ ｍａ ｉｓａ ｄ Ｓｔｔｓｉｓ Ｃｏｌ ｅｏｆＭ ｔｅ ｔｃ ｎ ａ ｉｔｃ ，Ｔｉｎ ｈ ｉ ｒ ａ ｎｖ ｒｉｙ，Ｔｉｎ ｈ ｉ ７ ０ ，Ｃｈｎ ） ｅ ａ ｓ ｕ Ｎｏ ｍ ｌ ｉｅｓｔ Ｕ ａ ｓ ｕ ４１ ０１ ｉａ
一
类二阶常微分方程两点边值 问题 多个正解 的存在性
安 乐
（ 天水师范学院 ， 数学与统计学 院， 甘肃 天水 ７１０） ４０１
摘要 ： 运用 Ｋ ａｎｓ ｓｉ不动 点定理 ， ｒ ｏｅｋｉ ｓ ｌ 讨论 一类二 阶常微分 方程两 点边值 问题正解 的存在 性． 所得 结果涵盖参 数
的所有取值 范围， 因此更具有 一般性． 关键词 ：二阶常微分方程 ； 正解 ；存在 性； ａｎ ｓｔ ｉ不 动点定理 Ｋｒｓｏｅｓ ｉ ｋ
Ａｂ ｔａ ｔ ｓｒ ｃ ：Ｋｒ ｓ ｏ ｅｓ ｉ ｆｘ ｄｐ ｉｔｔ ｅ ｒ ｍ ｓｕ ｅ ｏｓ ｕ ｙｔ ｅｅ ｉｔ ｎ ｅｏ ｌ ｐ ｅｐ ｓｔ ｅｓ ｌｔ ｎ ａ ｎ ｓ ｌｋｉ ｉｅ ｏｎ ｈ ｏ ｅ Ｗａ ｓ ｄｔ ｔ ｄ ｈ ｘｓｅ ｃ ｆ ｍｕ ｔ ｌ ｏ ｉ ｖ ｏ ｕ ｉ ｓ ｉ ｉ ｏ
ｏ ｔ ｉｅ ｕ ｄ ｃ ｖ ｒａｌ ａｕ ｓｉ ｎ ｎ ａ ｇ ｆ ａ ａ ｔｒ ，Ｓ ｈ ｔｉ ｗｏ ｌ ｅｍｏ ｅｇ ｎ ｒ １ ｂ ａｎ ｄｗｏ ｌ ｏ ｅ ｌ ｖ ｌ ｅａ ｓｇ ｍｅ ｔｒ ｎ ｅｏ ｒ ｍｅ ｅ ｓ Ｏ ｔ ａ ｔ ｕ ｄ ｂ ｒ ｅ ｅ ａ． ｐ Ｋｅ ｒ ｓ ｓｃ ｎ － ｒ ｅ ｒ ｉａ ｙ ｄｆｅｅ ｔ ｌ ｑ ａ ｉｎ； ｐ ｓｔ ｅ ｓ ｌｔｏ ｓ ｅ ｉｔｎ ｅ Ｋｒ ｓ ｏ ｅｓ ｉ ｙ ｗｏ ｄ ： ｅ ｏ ｄｏ ｄ ｒ ｏ ｄ ｎ ｒ ｉｆｒ ｎ ｉ ｅ ｕ ｔｏ ａ ｏ ｉ ｖ ｏ ｕ ｉｎ ； ｘｓｅ ｃ ； ｉ ａ ｎ ｓ ｌｋ ｉ
ＡＮ Ｌｅ
（ ｌ ｇ ａｈ ｍａ ｉｓａ ｄ Ｓｔｔｓｉｓ Ｃｏｌ ｅｏｆＭ ｔｅ ｔｃ ｎ ａ ｉｔｃ ，Ｔｉｎ ｈ ｉ ｒ ａ ｎｖ ｒｉｙ，Ｔｉｎ ｈ ｉ ７ ０ ，Ｃｈｎ ） ｅ ａ ｓ ｕ Ｎｏ ｍ ｌ ｉｅｓｔ Ｕ ａ ｓ ｕ ４１ ０１ ｉａ
一
类二阶常微分方程两点边值 问题 多个正解 的存在性
安 乐
（ 天水师范学院 ， 数学与统计学 院， 甘肃 天水 ７１０） ４０１
摘要 ： 运用 Ｋ ａｎｓ ｓｉ不动 点定理 ， ｒ ｏｅｋｉ ｓ ｌ 讨论 一类二 阶常微分 方程两 点边值 问题正解 的存在 性． 所得 结果涵盖参 数
的所有取值 范围， 因此更具有 一般性． 关键词 ：二阶常微分方程 ； 正解 ；存在 性； ａｎ ｓｔ ｉ不 动点定理 Ｋｒｓｏｅｓ ｉ ｋ
Ａｂ ｔａ ｔ ｓｒ ｃ ：Ｋｒ ｓ ｏ ｅｓ ｉ ｆｘ ｄｐ ｉｔｔ ｅ ｒ ｍ ｓｕ ｅ ｏｓ ｕ ｙｔ ｅｅ ｉｔ ｎ ｅｏ ｌ ｐ ｅｐ ｓｔ ｅｓ ｌｔ ｎ ａ ｎ ｓ ｌｋｉ ｉｅ ｏｎ ｈ ｏ ｅ Ｗａ ｓ ｄｔ ｔ ｄ ｈ ｘｓｅ ｃ ｆ ｍｕ ｔ ｌ ｏ ｉ ｖ ｏ ｕ ｉ ｓ ｉ ｉ ｏ
ｏ ｔ ｉｅ ｕ ｄ ｃ ｖ ｒａｌ ａｕ ｓｉ ｎ ｎ ａ ｇ ｆ ａ ａ ｔｒ ，Ｓ ｈ ｔｉ ｗｏ ｌ ｅｍｏ ｅｇ ｎ ｒ １ ｂ ａｎ ｄｗｏ ｌ ｏ ｅ ｌ ｖ ｌ ｅａ ｓｇ ｍｅ ｔｒ ｎ ｅｏ ｒ ｍｅ ｅ ｓ Ｏ ｔ ａ ｔ ｕ ｄ ｂ ｒ ｅ ｅ ａ． ｐ Ｋｅ ｒ ｓ ｓｃ ｎ － ｒ ｅ ｒ ｉａ ｙ ｄｆｅｅ ｔ ｌ ｑ ａ ｉｎ； ｐ ｓｔ ｅ ｓ ｌｔｏ ｓ ｅ ｉｔｎ ｅ Ｋｒ ｓ ｏ ｅｓ ｉ ｙ ｗｏ ｄ ： ｅ ｏ ｄｏ ｄ ｒ ｏ ｄ ｎ ｒ ｉｆｒ ｎ ｉ ｅ ｕ ｔｏ ａ ｏ ｉ ｖ ｏ ｕ ｉｎ ； ｘｓｅ ｃ ； ｉ ａ ｎ ｓ ｌｋ ｉ
常微分方程的边值问题
常微分方程的边值问题
常微分方程的边值问题（也称为常微分方程的定边值问题）是求解一个微分方程在一个给定的时间段上的特定解的问题，其中方程的解需要满足一些给定的边界条件。
这些边界条件通常指定了方程在时间间隔的起点和终点处的值，或者其他一些特定的时刻或位置上的值。
例如，一个常见的常微分方程的边值问题是求解一个二阶常微分方程：
y''(t) = f(t, y(t))
其中，y(t) 是未知函数，f(t, y) 是一个已知的函数。
这个问题需要在给定的时间段 [a, b] 上求解，并且需要满足以下的边界条件：
y(a) = y_a
y(b) = y_b
这里，y_a 和 y_b 是给定的数值。
这些边界条件指定了方程在时间间隔的起点和终点处的值。
常微分方程的边值问题在物理学、工程学、经济学等领域中都有广泛的应用。
解决常微分方程的边值问题需要使用数值解法或者解析解法，其中数值解法通常更为实用，因为它可以通过计算机程序来求解。
二阶常微分方程边值问题数值方法
其中 p( x),q( x)为,r已( x知) 函数，则由常微分方程的理论知，通过
变量替换总可以消去方程中的 项，不妨y设 变换后的方程为
y( x) q( x) y( x) r( x)
y(a) ,
y(b)
则近似差分方程成离散差分方程为
yi 1
2 yi h2
yi 1
qi
yi
ri
其中 qi q( xi ), ri r( xi ), i 1,2, , n. y0 ,
第一边界问题：
y0 , yn1
(8.9)
第二边界问题：
y1 y0 h , yn1 yn h
(8.10)
第三边界问题：
y1 (1 0h) y0 1h,
(1 0h) yn1 yn 1h
(8.11)
若 f ( x, y,是y) 的y线, y性 函数时，f 可写成
f (x, y, y) p(x) y( x) q( x) y(x) r( x)
以
y
为待定参数。
0
对第三类边界问题，仍可转化为考虑初值问题(8.5)，取
y0 ,
y0 1 0 y0 ，以 y为0 待定参数。
8.2 有限差分法
将区间[a,b]进行等分：
h
ba, n1
xi
a ih, i 0,1,
,n 1,
设在
x xi , i 0,1, , n 1处的数值解为 。 yi 用中心差分近似微分，即
而且还有误差估
计：
Ri
y( xi )
yi
M 24
h2
(
xi
a)(b xi )
其中 M max y(4。) ( x)
x[a ,b]
第8章常微分方程边值问题的数值解法
第8章常微分方程边值问题的数值解法8.1 引言第7章介绍了求解常微分方程初值问题的常用的数值方法；本章将介绍常微分方程的边值问题的数值方法。
只含边界条件(boundary-value condition)作为定解条件的常微分方程求解问题称为常微分方程的边值问题(boundary-value problem). 为简明起见，我们以二阶边值问题为例介绍常用的数值方法。
一般的二阶常微分方程边值问题(boundary-value problems for second-order ordinary differential equations)为, (8.1.1)其边界条件为下列三种情况之一：(1) 第一类边界条件 (the first-type boundary conditions)：(2) 第二类边界条件 (the second-type boundary conditions)：(3) 第三类边界条件 (the third-type boundary conditions)：定理8.1.1 设(8.1.1)中的函数及其偏导数在上连续. 若(1) 对所有，有；(2) 存在常数，对所有，有,则边值问题(8.1.1)有唯一解。
推论若线性边值问题(8.1.2)满足(1)和上连续；(2) 在上,,则边值问题(8.1.1)有唯一解。
求边值问题的近似解，有三类基本方法：(1) 差分法(difference method)，也就是用差商代替微分方程及边界条件中的导数，最终化为代数方程求解；(2) 有限元法(finite element method)；(3) 把边值问题转化为初值问题，然后用求初值问题的方法求解。
8.2 差分法8.2.1 一类特殊类型二阶线性常微分方程的边值问题的差分法设二阶线性常微分方程的边值问题为其中在上连续，且用差分法解微分方程边值问题的过程是：(i) 把求解区间分成若干个等距或不等距的小区间，称之为单元；(ii) 构造逼近微分方程边值问题的差分格式. 构造差分格式的方法有差分法, 积分插值法及变分插值法；本节采用差分法构造差分格式；(iii) 讨论差分解存在的唯一性、收敛性及稳定性；最后求解差分方程.现在来建立相应于二阶线性常微分方程的边值问题(8.2.1), (8.2.2)的差分方程.( i ) 把区间等分，即得到区间的一个网格剖分：,其中分点，并称之为网格节点(grid nodes)；步长.( ii ) 将二阶常微分方程(8.2.2)在节点处离散化：在内部节点处用数值微分公式(8.2.3)代替方程(8.2.2)中，得, (8.2.4)其中.当充分小时，略去式(8.2.4)中的，便得到方程(8.2.1)的近似方程, (8.2.5)其中,分别是的近似值, 称式(8.2.5)为差分方程(difference equation)，而称为差分方程(8.2.5)逼近方程(8.2.2)的截断误差(truncation error). 边界条件(8.7.2)写成(8.2.6)于是方程(8.2.5), (8.2.6)合在一起就是关于个未知量，以及个方程式的线性方程组：(8.2.7)这个方程组就称为逼近边值问题(8.2.1), (8.2.2)的差分方程组(system of difference equations)或差分格式(difference scheme)，写成矩阵形式. (8.2.8)用第2章介绍的解三对角方程组的追赶法求解差分方程组(8.2.7)或(8.2.8), 其解称为边值问题(8.2.1), (8.2.2)的差分解(difference solution). 由于(8.2.5)是用二阶中心差商代替方程(8.2.1)中的二阶微商得到的，所以也称式(8.2.7)为中心差分格式(centered-difference scheme).( iii ) 讨论差分方程组(8.2.7)或(8.2.8)的解是否收敛到边值问题(8.2.1), (8.2.2)的解，估计误差.对于差分方程组(8.2.7)，我们自然关心它是否有唯一解；此外，当网格无限加密，或当时，差分解是否收敛到微分方程的解. 为此介绍下列极值原理：定理8.2.1 (极值原理) 设是给定的一组不全相等的数，设. (8.2.9)(1) 若, 则中非负的最大值只能是或；(2) 若, 则中非正的最小值只能是或.证只证(1)的情形，而(2)的情形可类似证明.用反证法. 记，假设, 且在中达到. 因为不全相等，所以总可以找到某个，使，而和中至少有一个是小于的. 此时因为，所以, 这与假设矛盾，故只能是或. 证毕！推论差分方程组(8.2.7)或(8.2.8)的解存在且唯一.证明只要证明齐次方程组(8.2.10)只有零解就可以了. 由定理8.7.1知，上述齐次方程组的解的非负的最大值和非正的最小值只能是或. 而，于是证毕！利用定理8.2.1还可以证明差分解的收敛性及误差估计. 这里只给出结果：定理8.2.2 设是差分方程组(8.2.7)的解，而是边值问题(8.2.1), (8.2.2)的解在上的值，其中. 则有(8.2.11)其中.显然当时，. 这表明当时，差分方程组(8.2.7)或(8.2.8)的解收敛到原边值问题(8.7.1), (8.7.2)的解.例8.2.1 取步长，用差分法解边值问题并将结果与精确解进行比较.解因为，, 由式(8.2.7)得差分格式,, 其结果列于表8.2.1.表8.2.1准确值0 1 0 01 0.1 －0. 0332923 －0.03336562 0.2 －0. 0649163 －0.06506043 0.3 －0. 0931369 －0.09334614 0.4 －0. 1160831 －0.11634825 0.5 －0. 1316725 －0.13197966 0.6 －0. 1375288 －0.13785787 0.7 －0. 1308863 －0.13120878 0.8 －0. 1084793 －0.10875539 0.9 －0. 0664114 －0.066586510 1.0 0 0从表8.2.1可以看出, 差分方法的计算结果的精度还是比较高的. 若要得到更精确的数值解，可用缩小步长的方法来实现.8.2.2 一般二阶线性常微分方程边值问题的差分法对一般的二阶微分方程边值问题(8.2.12)假定其解存在唯一.为求解的近似值，类似于前面的做法，( i ) 把区间等分，即得到区间的一个网格剖分：,其中分点，步长.( ii ) 对式(8.2.12)中的二阶导数仍用数值微分公式代替，而对一阶导数，为了保证略去的逼近误差为，则用3点数值微分公式；另外为了保证内插，在2个端点所用的3点数值微分公式与内网格点所用的公式不同，即(8.2.13)略去误差，并用的近似值代替，，便得到差分方程组(8.2.14)其中,是的近似值. 整理得(8.2.15)解差分方程组(8.2.15)，便得边值问题(8.2.12)的差分解.特别地, 若，则式(8.2.12)中的边界条件是第一类边值条件：此时方程组(7.7.16)为(8.2.16)方程组(8.2.16)是三对角方程组，用第2章介绍的解三对角方程组的追赶法求解差分方程组(8.2.16)，便得边值问题(8.2.12)的差分解.( iii ) 讨论差分方程组(8.2.16)的解是否收敛到微分方程的解，估计误差. 这里就不再详细介绍.例8.2.2 取步长，用差分法求下列边值问题的近似解，并将结果与精确解进行比较.精确解是.解因为，, 由式(8.2.17)得差分格式,, 其结果列于表8.2.2.表8.2.2准确值0 0 -0.3 -0.31 /16 -0.3137967 -0.31374462-0.3154982 -0.3154322 2/163-0.3050494 -0.3049979 3/1644-0.2828621 -0.2828427/1655-0.2497999 -0.2498180/1666-0.2071465 -0.2071930/167-0.1565577 -0.15660567/168 /2 -0.1000000 -0.10000008.3 有限元法有限元法(finite element method)是求解微分方程定解问题的有效方法之一，它特别适用在几何、物理上比较复杂的问题. 有限元法首先成功地应用于结构力学和固体力学，以后又应用于流体力学、物理学和其他工程科学. 为简明起见，本节以线性两点边值问题为例介绍有限元法.考虑线性两点边值问题其中,.此微分方程描述了长度为的可变交叉截面(表示为)的横梁在应力和下的偏差.8.3.1 等价性定理记, 引进积分. (8.3.3)任取，就有一个积分值与之对应，因此是一个泛函(functional)，即函数的函数. 因为这里是的二次函数，因此称为二次泛函.对泛函(8.3.3)有如下变分问题(variation problem)：求函数，使得对任意, 均有, (8.3.4) 即在处达到极小, 并称为变分问题(8.3.4)的解.可以证明：定理8.3.1(等价性定理)是边值问题(8.3.1), (8.3.2)的解的充分必要条件是使泛函在上达到极小，即是变分问题(8.3.4)在上的解.证 (充分性) 设是变分问题的解；即使泛函在上达到极小，证明必是边值问题(8.3.1), (8.3.2)的解.设是任意一个满足的函数，则函数，其中为参数. 因为使得达到极小，所以，即积分作为的函数，在处取极小值，故. (8.3.5)计算上式，得利用分部积分法计算积分代入式(8.3.6)，得因为是任意函数，所以必有. (8.3.8) 否则，若在上某点处有，不妨设，则由函数的连续性知，在包含的某一区间上有.作显然，且，但，这与式(8.3.7)矛盾. 于是式(8.3.8)成立，即变分问题(8.3.4)的解满足微分方程(8.3.1), 且故它是边值问题(8.3.1), (8.3.2)的解.。
具有积分边界条件的常微分方程边值问题的数值解
具有积分边界条件的常微分方程边值问题的数值解
具有积分边界条件的常微分方程边值问题是一种复杂的问题，要求通过
数值方法求解这种边值问题，可以有效地求解出其解，并获得非常好的精度。
首先，我们需要了解该问题的描述。
这类问题要求求解的是一个带有积
分边界条件的微分方程组。
其标准形式是： y' = f(x,y)，从x0到xn的范围，其中低端为α（α为积分边界条件），高端点为β，β也被称为另一
个边界条件。
接下来，为了解决这个问题，我们首先要建立一个数值模型。
对该模型
来说，我们需要将[x0,xn]区间划分为若干等距离的子区间，并将该区间拆
分成N个等距离的点，即x1,x2,...,xn-1，它们能够完全表示该区间的函
数的取值，它们被称为子网格点。
接着，我们将把原微分方程组分解为若干
份子问题，并引入一个方程来表示积分的解的变化，求解该方程，以得到积
分边界条件的解。
最后，我们可以使用常用的数值方法求解这一模型。
一般来说，用有限
差分法求解最贴近于实际解决问题，其优点是计算量小，准确性好，不受精
度的限制。
另外，需要注意，积分边界条件可能将确定它们对应的解，有时
尤其是对于带有多个积分边界条件的情况，需要引入改进算法来获得更准确
的结果。
总而言之，具有积分边界条件的常微分方程边值问题可以通过使用数值
解的方法得到满足边界条件的数值解，有助于更好地理解微分方程的解和积
分边界条件的作用。
三阶常微分方程边值问题解的存在性
１１ １
（ ４）
．
我们 有如下 引理 ：
引理 １ 对 于 （）∈ Ｌ Ｅ ，］ 问题 （ ）４ 在 ｃ ［ ， ］中存在 唯一 解 ｆ ｏ １ ， ３ （） ０ １
．
ｚ ＝ — ｃ —： ＝ ： — ｃ Ｊ
ｔ ０ １． Ｅ［ ．］
解的存在性．
关 键 词 ： 值 问题 ； ｅａ —ｃ ａｄ ｒ 理 ； ａａｈ ｏ ｏｙ条 件 ； 动 点 边 Ｌ ｒｙＳ ｈ ｕ ｅ 原 Ｃ ｒｔｅｄ ｒ 不
中图 分 类 号 ： ７ ． Ｏ １ ５８ 文献标识码 ： Ａ
１ 预 备 知识
三 阶微 分 方程 因其 在天 文学 、 体力 学等 学科 的研 究 中有 着 广泛 的 应用 ， 很 多 作者 做 过 研究 ． 流 有 特 别 是 三 阶非 线 性 常 微 分 方 程 两 点 边 值 问题 解 的存 在 性 问题 ， 已有 众 多 文献 作 了探 讨 ： 葛渭 高［ 利 用 １ Ｌ ｒｙＳ ｈ ｕ ｅ 度 理论 讨论 了三 阶常 微 分方 程各 类 边 值 问题解 的存 在性 与唯 一性 ； 达 清 讨 论 了三 ｅａ — ｃ ａ ｄ ｒ 蒋 阶非线 性常 微分方 程正解 的存 在性 ； 庆六［讨 论 了三 阶常微 分 方程 的某 些非线 性 特征 值 问题 的正 解 ； 姚 ３ 冯 育 强 ， 三阳［ 利用 上下解 的方法 讨论 关 于三 阶边值 问题解 的存在性 等 ． 刘 ４ 本文 试 图考 察
一
ｈｆ ｆ ， （） ”ｆ） （， ） ｆ， （） ， （
（ ０）一 （ １）＝ ０
ｔ ［ ，］ ｏ１， Ｅ
（） １
（ ２）
（ ０）＝
解 的存 在性 ， 与上述 方法 不 同．
一类n阶常微分方程周期边值问题的可解性
１ 引
言
高阶周期边值问题是高阶常微分方程边值问题领域 中的非常重要的研究课题 ， 因此很多作者对它进 行了研究 ， 获得 了较好的结果 。 ． 但从 目前已有的文献看 ， 很多成果是关于三阶或 四阶周期边值问题的 ， 而且非线性项中只含有未知函数及其二阶导函数 ， 而对一般的 阶周期边值问题 的结果较少见到． 本文 主要 研究 较一般 形式 的非 线性 ｎ阶常微分 方程 ’＋ ‘ ） ‘ ＋ｈ （ ｘ ‘ ） ‘ ’＝ｇ （ ｔ ， ， ， …， ‘ ）一ｅ （ ｔ ） （ １ ）
（ ｉ ｉ ） 对于所有的 ∈
， 函数 ｇ （ ・ ， ） ： ［ ０ ， １ ］
是可测的；
（ ｉ ｉ ｉ ） 对于每个ｒ ＞０ ， 都存在实值函 数ｇ ， （ ｔ ）∈Ｌ ［ ０ ， １ ］ ， 使得当 忆 ≤ｒ 时， 有
收稿 日期 ： ２ ０ １ ２ － ０ ７ — １ ３ 基金项 目： 国家 自然科学基金项 目（ １ １ １ ２ ６ ３ ３ ９ ） ． 作者简介 ： 刘雪婷（ １ ９ ８ ７一 ） ， 女， 硕 士研究生 ， 主要从事微 分方程边值 问题研究 ； 通信作者 ： 裴明鹤 （ １ ９ ６ ３ 一） ， 男， 教授 ， 博士 ， 主要从事微分方程定性理论研究
Ｆ ｅ ｂ ． ２ ０ １ ３
文章编号 ： １ ０ ０ ９ － ４ ８ ２ ２ （ ２ ０ １ ３ ） ０ １ － ０ ０ ２ ２ － ０ ６
ＯＯ Ｉ ： １ ０ ． １ １ ７ １ ３ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ９ － ４ ８ ２ ２ ． ２ ０ １ ３ ． ０ １ ． ０ ０ ４
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｔ ｈ ｅ ｅ ｘ ｉ ｓ ｔ ｅ ｎ ｃ ｅ ａ ｎ ｄ ｕ ｎ ｉ ｑ ｕ ｅ ｎ ｅ ｓ ｓ ｏ ｆ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｆ ｏ ｒ ａ ｋ ｉ ｎ ｄ ｏ ｆ ｐ ｅ ｒ ｉ ｏ ｄ ｉ ｃ ｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ａ ｒ ｙ ｖ ａ ｌ ｕ ｅ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍｓ ｏ ｆ ｎ ｏ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ
二阶常微分方程边值问题的数值解法
摘要本文主要研究二阶常微分方程边值问题的数值解法。
对线性边值问题，我们总结了两类常用的数值方法，即打靶法和有限差分方法，对每种方法都列出了详细的计算步骤和Matlab程序代码，通过具体的算例对这两类方法的优缺点进行了细致的比较。
关键字：常微分方程边值问题；打靶法；差分法；ABSTRACTThis article mainly discusses the numerical methods for solving Second-Order boundary value problems for Ordinary Differential Equations. On the one hand, we review two types of commonly used numerical methods for linear boundary value problems, i.e. shooting method and finite difference method. For each method, we give both the exact calculating steps , we compare the advantages and disadvantages in detail of these two methods through a specific numerical example.Key words：Boundary-Value Problems for Ordinary Differential Equations；Shooting Method；Finite Difference Method；目录第一章引言................................................................................................................... - 1 -第二章二阶线性常微分方程.................................................................................. - 2 -2.1试射法（“打靶”法） ............................................................................................ - 3 -2.1.1简单的试射法............................................................................................ - 3 -2.1.2 基于叠加原理的试射法........................................................................... - 4 -2.2 有限差分法......................................................................................................... - 10 -2.2.1 有限差分逼近的相关概念...................................................................... - 11 -2.2.2 有限差分方程的建立............................................................................. - 13 -2.2.3 其他边值条件的有限差分方程............................................................. - 14 -2.2.4 有限差分方程的解法............................................................................. - 16 -第三章二阶非线性微分方程........................................................ 错误!未定义书签。
偶数阶常微分方程组边值问题的正解
第 ３ 卷 第 ５期 １
偶 数 阶 常 微 分 方 程 组 边 值 问题 的正 解
何 江 宏 胡 玲 ， 良龙 ， 王
（． １安徽大 学 数学与计算科学学 院 ， 安徽 合肥 ２ 黄 山学 院 数学系 ， ． 安徽 黄山 ２０３ ； ３０ ９ ２５ ４ ） ４ ０ １
摘 要 ： 研究偶 数阶非 线性常 微分方程 组边值 问题 的正解存在性 ． 利用 Ｇ ｅｎ函数 的性 质 ， ｒｅ 将原方 程组 转化为一个积分方 程． 定义一个解算 子 ， 析解 算子的性质 ． 分 通过抽象不 动点 定理和分 析技巧 ， 出 给
维普资讯
ｚ
— — — — — — — — — — — —
— — — — — — — — — — — — — — —
安徽大学学报 （ 自然科学 版）
— —
第 ３ 卷 １
— — — 一 — —
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—
—
—
： Βιβλιοθήκη ＝ 若 Ｇ（ ，） 下 面非线 性 ２ 阶 Ｌｄｔｎ 值 问题 的格林 函数 ｋｘ） 是 ， ｉｓ ｅ边 ｏ
维普资讯
２０ ０ ７年 ９月
安徽大学学报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕｎ ｌ ｆＡｎ ｕ ｎｖ ｒｉ ｔｒｌＳ ｉｎ ｅＥ ｉｏ ｏ ｒ ａ ｈ ｉＵ ｉｅｓｔ Ｎａｕａ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎ ｏ ｙ ｉ
Ｓｅ ｔｍ ｂ ｒ２ ０７ ｐｅ ｅ ０ Ｖｏ ． Ｎｏ． １ ３１ ５
引理 １ Ｇ（ ） ；， ）满足
（ ５ ）
（）Ｇ （ ） ｉ ，）≤ ，
Ｇ（ ，）＝ＮＧ ｙ） ， ，）∈ Ｅ １ ）） ，， （ ，） （ ） ， ， ｏ，］×［ ， ］ ０１；
二阶线性常微分方程的两点边值问题的新解法
摘 要 ：基 于 变 分 原 理 ，将 二 阶线 性 常 微 分 方 程 的 两 点 边值 问题 转 化 为 等 价 的变 分 问 题 （ 即泛 函 极 值 问 题 ） ，利 用 两 点 三次 Ｈｅｍｉ 插 值 构 造一 个 逼 近可 行 函数 的 近 似 函 数 ，从 而将 问 题 转 化 为一 个 多 元 单 目标 优 化 问 题 ，最后 运 用 ｒ ｔ ｅ
第３ ５卷 第 ４期
Ｖｏ ．３ １ ５
ＮＯ ４．
西 南 师 范 大 学 学 报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｏ ｔｗｅ ｔ ｈｎ ｒ ｌＵｎｖｒｉ Ｎａｕ ａ Ｓ ｉｎ ｅＥ ｉｏ ） ｏ ｒ ａ ｏ ｕｈ ｓ Ｃ ｉａＮｏｍａ ｉｅｓ ｙ（ ｔｒｌ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎ Ｓ ｔ ｉ
单 目标 优化 问题 ，最后运 用粒 子群优 化算 法来求解 该优 化 问题 ．
１ 两点 边 值 问题 等 价 的 变 分 问题
考 虑二 阶线性 常微分方 程 的两点边 值 问题 ：
＋ ｐ（ ｙ ＋ ｑ ｘ ｙ— ｆ ｚ） ｘ） ； （） （、
ｌ ａ （ ）一 Ｙ ， （ ）一 ６ 。 ６ 对于微 分方程 ＋ ｐ ｘ ｙ ＋ ｑｘ） （ ） （ ｙ一 － ） 厂 ，以待 定 因子 （ 乘 等式两 边得 ： （ ）
二 阶线 性 常微 分方 程的 两点边值 问题转 化为 自共轭 的 常微 分 方程的 两点边值 问题 ：
ｆ Ｐ（ ） ） （ １ ＋ Ｑ（ — Ｆ（ ｚ ｚ） ）
１ ）一 Ｙ Ｊ ｎ （
，
（ ） 一 Ｙ ６ ６
收 稿 日期 ：２ ０ ０ ９—０ —１ ５ １
作 者 简 介 ：马
一
ｅｐ ） ，以此 式乘 以 ＋ｐ（ ） ｑ ｘ ｙ一 厂 ． 两 端有 Ｊ（ｄ ｘｚ ｘｙ ＋ （ ） （） ｚ
几类二阶常微分方程组边值问题解的存在性研究的开题报告
几类二阶常微分方程组边值问题解的存在性研究的开题报告题目：几类二阶常微分方程组边值问题解的存在性研究一、研究背景与意义常微分方程是数学中非常重要的一个分支，其应用涵盖了物理、工程、生物等领域的许多问题。
二阶常微分方程组作为常微分方程中较为复杂的一类，其解的存在性和唯一性一直是研究的重点和难点。
为了更好地探究二阶常微分方程组边值问题的解的存在性和唯一性，进一步提高数学领域对实际问题的解决能力，本文将对几类二阶常微分方程组边值问题的解的存在性进行研究。
二、研究内容和方法本文将主要研究以下几类二阶常微分方程组边值问题的解的存在性：1. 带变系数的常微分方程组边值问题；2. 具有非线性项的常微分方程组边值问题；3. 带分数阶导数的常微分方程组边值问题。
对上述不同类型的边值问题，将采用不同的数学方法和技巧进行求解。
主要方法将包括变分法、上下解法、格里昂函数法等。
三、研究计划1. 对二阶常微分方程组边值问题的基本概念和解的存在性定理进行深入掌握。
2. 系统整理和总结二阶常微分方程组边值问题解的求解方法，包括变分法、上下解法、格里昂函数法等。
3. 根据不同类型的二阶常微分方程组边值问题，采用相应的方法和技巧求解。
4. 进行数值模拟，验证所得解的存在性和唯一性。
5. 对研究结果进行总结、归纳，并提出相应的应用建议。
四、研究成果和意义本文主要研究几类二阶常微分方程组边值问题的解的存在性和唯一性，进一步丰富了常微分方程相关的理论体系。
同时，本文提供了不同类型边值问题的求解方法和技巧，为实际问题的解决提供了参考。
此外，通过对研究结果进行数值模拟，对解的存在性进行验证，从而更加可靠地推广研究成果。
总之，本文的研究结果对于提高数学领域对实际问题的解决能力，推动科学技术、工程技术、生命科学等领域的发展都具有重要的意义。
一类二阶常微分方程m点边值问题的解法
．
程
数学物理学报
ｈｔ： ａｔｍｓ ｉ ａ． ｔ ／ ｃａ ． ｐ ｃ ｎ ｐ／ ｗ ｍ． ｃ
一
类二阶 常微 分 方程 ｍ 点边 值 问题 的解 法
李兴昌 赵增勤
（ 曲阜师范大学数学科学学院 山东曲阜 ２ ３ ６ ） ７ １ ５
摘要 ：该文 研 究 一类 二 阶 常 微分 方 程 ，给 出了 所述 线性 方 程 在 几 种 ｍ 点边 界 条件 下解 的 存在
由 （．） （． ） ２６ 、 ２１ 式得到 ０
（． ） ２１ ０
ｕａ ＝ ｅ。 ｅ ， ｕｂ ＝Ｏｅ ＋ ｅ 。 （） ＋ 一。 （） Ｌ 一
６： ）
Ｌ ｉ ＝１
・
有惟 一解
ｕｔ＝ ／ Ｆ（ｓｆｓｄ， （ ） １，） （ ｓ ｔ ）
其 中
仃 ２ 一
Ｒ （，） ｃ（ ｓ ＋ ｔ８ 一 ｔ ） ，
ｍ
—
—
２
∑ ＆ （ ） （） ｓ Ｇ ， ２ ． ２
ｓ ｈ ｋｓ－ ｉ （（ ｎ
＝
ａ（ｔ ）ｋ） ）（薯 ｓｂ ｉ－ ｎ ） ｈ
７９ １
在第 ２节 ，我 们研 究二 阶方程 （．） 有边 界条 件 （ 的边值 问题 ，得 到解 的存在 惟 一 １１ 具 ｉ ） 性 及其解 的表 达式 ，体 现 了求解 这类 问题 的一般 性方 法 ．在第 ３节 中，对 另几 种边界 条件 ， 直 接 给 出所 述 线性 问题 惟 一解 的格 林 函数 积分 表示 及其 对 非线性 问题 的推论 ，略去 了推 导 的细节 ．关 于所 述惟 一解 的正 确性 ，只要直 接计 算验 证即 可．在第 ４节 ，我们利 用得 到的结 果 ，研 究 了一类奇 异 非线性 边值 问题 的迭 代求解 ． 本文 中所 出现 的双 曲函数 符号 为
程
数学物理学报
ｈｔ： ａｔｍｓ ｉ ａ． ｔ ／ ｃａ ． ｐ ｃ ｎ ｐ／ ｗ ｍ． ｃ
一
类二阶 常微 分 方程 ｍ 点边 值 问题 的解 法
李兴昌 赵增勤
（ 曲阜师范大学数学科学学院 山东曲阜 ２ ３ ６ ） ７ １ ５
摘要 ：该文 研 究 一类 二 阶 常 微分 方 程 ，给 出了 所述 线性 方 程 在 几 种 ｍ 点边 界 条件 下解 的 存在
由 （．） （． ） ２６ 、 ２１ 式得到 ０
（． ） ２１ ０
ｕａ ＝ ｅ。 ｅ ， ｕｂ ＝Ｏｅ ＋ ｅ 。 （） ＋ 一。 （） Ｌ 一
６： ）
Ｌ ｉ ＝１
・
有惟 一解
ｕｔ＝ ／ Ｆ（ｓｆｓｄ， （ ） １，） （ ｓ ｔ ）
其 中
仃 ２ 一
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ｓ ｈ ｋｓ－ ｉ （（ ｎ
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ａ（ｔ ）ｋ） ）（薯 ｓｂ ｉ－ ｎ ） ｈ
７９ １
在第 ２节 ，我 们研 究二 阶方程 （．） 有边 界条 件 （ 的边值 问题 ，得 到解 的存在 惟 一 １１ 具 ｉ ） 性 及其解 的表 达式 ，体 现 了求解 这类 问题 的一般 性方 法 ．在第 ３节 中，对 另几 种边界 条件 ， 直 接 给 出所 述 线性 问题 惟 一解 的格 林 函数 积分 表示 及其 对 非线性 问题 的推论 ，略去 了推 导 的细节 ．关 于所 述惟 一解 的正 确性 ，只要直 接计 算验 证即 可．在第 ４节 ，我们利 用得 到的结 果 ，研 究 了一类奇 异 非线性 边值 问题 的迭 代求解 ． 本文 中所 出现 的双 曲函数 符号 为
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阶常微分方程边值问题
课程名称：数值代数课程设计
指导教师：刘兰冬
班级：
姓名：
学号：
实验项目名称：
二阶常微分方程边值问题
实验目的及要求：
二阶常微分方程边值问题
，
（该问题真解为： ）步长h自己选定，利用差分法求出近似解，利用MATLAB函数画出比较图形。
实验原理：
一、微分方程：
微分方程是现代数学中一个很重要的分支，从早期的微积分时代起，这个学科就成为了理论研究和实践应用的一个重要领域。在微分方程理论中，定解条件通常有两种提法：一种是给出了积分曲线在初始时刻的性态，相应的定解条件称为初值问题；另一种是给出了积分曲线首末两端的性态，这类条件则称为边界条件，相应的定解问题称为边值问题。
(2.26a)
或者
其中， .
可得一阶导数 的差分近似表达式为
由此可知，差商逼近微商 的精度为二阶，即为 。
类似地，我们还可以给出二阶微商 和高阶微商的差分近似表达式。例如将和两式相加可得
进而有
其中 .
因此，二阶导数 的差分近似表达式[8]为
实验内容（方法和步骤）：
差分法代码如下
clc;
clear all
实验结果与分析：
差分法结果如下：
从图上我们可以看到，可以得到函数图像确实十分接近理论上的解答，差分二阶导数比起差分一阶导数来说，更加接近原函数。差分二阶导数在后面几乎能跟原函数重合，是非常好的求边值问题的方法。
我们在整个实验中，感觉最困难的就是对于差分法的理解以及程序的编写上面。我们查询了各种有关于常微分方程边值问题、有限差分法、二阶常微分方程的资料以及论文，差分法实际上就是用离散的、只含有有限个未知量的差分方程去近似代替连续变量的微分方程和定解条件。有一点要注意，我们这个算法只适合用于等间隔差分。
做了这道题之后，感觉我们对于常微分边值问题有了更进一步的理解，尤其是各种思维之间的转换尤其重要，在今后的数学学习中，希望我们能够灵活的运用。
定解问题往往不具有解析解，或者其解析解不易计算。所以要采用可行的数值解法。有限差分方法就是一种数值解法，它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分，然后在网格点上，按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商，从而把原问题离散化为差分格式，进而求出数值解。此外，还要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的数值稳定性、差分格式的解与原定解问题的真解的误差估计、差分格式的解当网格大小趋于零时是否趋于真解（即收敛性），等等。
许多物理现象随着时间而发生变化、如热传导过程、气体扩散过程和波的传播过程都与时间有关。描述这些过程的偏微分方程具有这样的性质；若初始时刻t=t0的解已给定，则t>t0时刻的解完全取决于初始条件和某些边界条件。利用差分法解这类问题，就是从初始值出发，通过差分格式沿时间增加的方向，逐步求出微分方程的近似解。
常微分方程边值问题在应用科学与工程技术中有着非常重要的应用，例如工程学、力学、天文学、经济学以及生物学等领域中的许多实际问题通常会归结为常微分方程边值问题的求解。虽然求解常微分方程边值问题有很多解析方法可以求解，但这些方法只能用来求解一些特殊类型的方程，对从实际问题中提炼出来的微分方程往往不再适用，因而对常微分方程边值问题的数值方法的研究显得尤为重要。经典的数值方法主要有：试射法（打靶法）和有限差(ⅰ) ；
(ⅱ) 在 内有界，即存在常数 ，使得
， ，
则边值问题-的解存在且唯一。
我们假设函数 可以简单地表示成
，
即边值问题-为具有如下形式的二阶线性边值问题
三、有限差分法：
有限差分方法是用于微分方程定解问题求解的最广泛的数值方法，其基本思想是用离散的、只含有有限个未知量的差分方程去近似代替连续变量的微分方程和定解条件，并把相应的差分方程的解作为微分方程定解问题的近似解。
h=;
%x属于【a,b】
a=-1;b=1;
x=a:h:b;
n=length(x);
%定义y
syms y;
y=(((x+2).*(x+2)).^(-1));
hold on
grid on
yx=zeros(1,n);
yxx=zeros(1,n);
for i=2:n-1
yx(i-1)=(y(i+1)-y(i-1))/(2*h);
有限差分逼近的相关概念
设函数 光滑，且 ，利用Taylor展开，可得
由可以得到一阶导数的表达式
(2.21a)
或者
同理由式可得
(2.22a)
或者
其中 表示截断误差项.因此，可得一阶导数的 的差分近似表达式为
由和可知，差商和逼近微商 的精度为一阶，即为 ，为了得到更精确的差分表达式，将减可得
从而可以的到
有限差分方法具有简单、灵活以及通用性强等特点，容易在计算机上实现。
二、二阶常微分方程
二阶常微分方程一般可表示成如下的形式：
，
边值条件有如下三类[9]：
第一类边值条件
，
第二类边值条件
，
第三类边值条件[19]
，
其中 ， ， ， 。
在对边值问题用数值方法求解之前，应该从理论上分析该边值问题的解是否存在，若问题的解不存在，用数值方法计算出来的数据没有任何意义。下面的定理给出了边值问题存在唯一解的充分条件。
legend('原函数','差分一阶导数','差分二阶导数')
xlabel('$$x$$','Interpreter','latex','color','r','fontsize',28);
ylabel('$$y$$','Interpreter','latex','color','r','fontsize',28);
微分方程的定解问题就是在满足某些定解条件下求微分方程的解。在空间区域的边界上要满足的定解条件称为边值条件。如果问题与时间有关，在初始时刻所要满足的定解条件，称为初值条件。不含时间而只带边值条件的定解问题，称为边值问题。与时间有关而只带初值条件的定解问题，称为初值问题。同时带有两种定解条件的问题，称为初值边值混合问题。
yxx(i-1)=(y(i+1)+y(i-1)-2*y(i))/h^2;
end
plot(x,y,'r','linewidth',2)
plot(x(2:n-1),yx(1:n-2),'g','linewidth',2);
plot(x(2:n-1),yxx(1:n-2),'b','linewidth',2);
课程名称：数值代数课程设计
指导教师：刘兰冬
班级：
姓名：
学号：
实验项目名称：
二阶常微分方程边值问题
实验目的及要求：
二阶常微分方程边值问题
，
（该问题真解为： ）步长h自己选定，利用差分法求出近似解，利用MATLAB函数画出比较图形。
实验原理：
一、微分方程：
微分方程是现代数学中一个很重要的分支，从早期的微积分时代起，这个学科就成为了理论研究和实践应用的一个重要领域。在微分方程理论中，定解条件通常有两种提法：一种是给出了积分曲线在初始时刻的性态，相应的定解条件称为初值问题；另一种是给出了积分曲线首末两端的性态，这类条件则称为边界条件，相应的定解问题称为边值问题。
(2.26a)
或者
其中， .
可得一阶导数 的差分近似表达式为
由此可知，差商逼近微商 的精度为二阶，即为 。
类似地，我们还可以给出二阶微商 和高阶微商的差分近似表达式。例如将和两式相加可得
进而有
其中 .
因此，二阶导数 的差分近似表达式[8]为
实验内容（方法和步骤）：
差分法代码如下
clc;
clear all
实验结果与分析：
差分法结果如下：
从图上我们可以看到，可以得到函数图像确实十分接近理论上的解答，差分二阶导数比起差分一阶导数来说，更加接近原函数。差分二阶导数在后面几乎能跟原函数重合，是非常好的求边值问题的方法。
我们在整个实验中，感觉最困难的就是对于差分法的理解以及程序的编写上面。我们查询了各种有关于常微分方程边值问题、有限差分法、二阶常微分方程的资料以及论文，差分法实际上就是用离散的、只含有有限个未知量的差分方程去近似代替连续变量的微分方程和定解条件。有一点要注意，我们这个算法只适合用于等间隔差分。
做了这道题之后，感觉我们对于常微分边值问题有了更进一步的理解，尤其是各种思维之间的转换尤其重要，在今后的数学学习中，希望我们能够灵活的运用。
定解问题往往不具有解析解，或者其解析解不易计算。所以要采用可行的数值解法。有限差分方法就是一种数值解法，它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分，然后在网格点上，按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商，从而把原问题离散化为差分格式，进而求出数值解。此外，还要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的数值稳定性、差分格式的解与原定解问题的真解的误差估计、差分格式的解当网格大小趋于零时是否趋于真解（即收敛性），等等。
许多物理现象随着时间而发生变化、如热传导过程、气体扩散过程和波的传播过程都与时间有关。描述这些过程的偏微分方程具有这样的性质；若初始时刻t=t0的解已给定，则t>t0时刻的解完全取决于初始条件和某些边界条件。利用差分法解这类问题，就是从初始值出发，通过差分格式沿时间增加的方向，逐步求出微分方程的近似解。
常微分方程边值问题在应用科学与工程技术中有着非常重要的应用，例如工程学、力学、天文学、经济学以及生物学等领域中的许多实际问题通常会归结为常微分方程边值问题的求解。虽然求解常微分方程边值问题有很多解析方法可以求解，但这些方法只能用来求解一些特殊类型的方程，对从实际问题中提炼出来的微分方程往往不再适用，因而对常微分方程边值问题的数值方法的研究显得尤为重要。经典的数值方法主要有：试射法（打靶法）和有限差(ⅰ) ；
(ⅱ) 在 内有界，即存在常数 ，使得
， ，
则边值问题-的解存在且唯一。
我们假设函数 可以简单地表示成
，
即边值问题-为具有如下形式的二阶线性边值问题
三、有限差分法：
有限差分方法是用于微分方程定解问题求解的最广泛的数值方法，其基本思想是用离散的、只含有有限个未知量的差分方程去近似代替连续变量的微分方程和定解条件，并把相应的差分方程的解作为微分方程定解问题的近似解。
h=;
%x属于【a,b】
a=-1;b=1;
x=a:h:b;
n=length(x);
%定义y
syms y;
y=(((x+2).*(x+2)).^(-1));
hold on
grid on
yx=zeros(1,n);
yxx=zeros(1,n);
for i=2:n-1
yx(i-1)=(y(i+1)-y(i-1))/(2*h);
有限差分逼近的相关概念
设函数 光滑，且 ，利用Taylor展开，可得
由可以得到一阶导数的表达式
(2.21a)
或者
同理由式可得
(2.22a)
或者
其中 表示截断误差项.因此，可得一阶导数的 的差分近似表达式为
由和可知，差商和逼近微商 的精度为一阶，即为 ，为了得到更精确的差分表达式，将减可得
从而可以的到
有限差分方法具有简单、灵活以及通用性强等特点，容易在计算机上实现。
二、二阶常微分方程
二阶常微分方程一般可表示成如下的形式：
，
边值条件有如下三类[9]：
第一类边值条件
，
第二类边值条件
，
第三类边值条件[19]
，
其中 ， ， ， 。
在对边值问题用数值方法求解之前，应该从理论上分析该边值问题的解是否存在，若问题的解不存在，用数值方法计算出来的数据没有任何意义。下面的定理给出了边值问题存在唯一解的充分条件。
legend('原函数','差分一阶导数','差分二阶导数')
xlabel('$$x$$','Interpreter','latex','color','r','fontsize',28);
ylabel('$$y$$','Interpreter','latex','color','r','fontsize',28);
微分方程的定解问题就是在满足某些定解条件下求微分方程的解。在空间区域的边界上要满足的定解条件称为边值条件。如果问题与时间有关，在初始时刻所要满足的定解条件，称为初值条件。不含时间而只带边值条件的定解问题，称为边值问题。与时间有关而只带初值条件的定解问题，称为初值问题。同时带有两种定解条件的问题，称为初值边值混合问题。
yxx(i-1)=(y(i+1)+y(i-1)-2*y(i))/h^2;
end
plot(x,y,'r','linewidth',2)
plot(x(2:n-1),yx(1:n-2),'g','linewidth',2);
plot(x(2:n-1),yxx(1:n-2),'b','linewidth',2);