二阶常微分方程边值问题

估计式
M b a 2 y xk y k h ，k 1， 2， ，n 1。 96
2
y 4 x 。因此，当 h 0 时，差分方程的解收敛到微分方 其中 M max a x b
y f x，y，y， y x，y sk，
这里的 s k 为
（8.6.3）
y
在 处的斜率。令 z y ，上述二阶方程可降为一阶方程组
y z， z f x，y，z ，
（8.6.4）
y a ，z a sk。
计算结果表明打靶法的效果是很好的，计算精度取决于所选取的初值问题数
值方法的阶和所选取的步长 h 的大小。不过，打靶法过分依赖于经验，选取试射 值，有一定的局限性。
第八章常微分方程数值解法
8.6.2 差分方法
差分方法是解边值问题的一种基本方法，它利用差商代替导数，将微分方程 离散化为线性或非线性方程组（即差分方程）来求解。 先考虑线性边值问题（8.6.2）的差分法。将区间 a，b 分成 n 等分，子区间的
s2
，同理得到 yb，s2 ，再判断它是否满足精度要求
y b，s2 。如此重复，直到某个 s 满足 y b，sk ，此时得到 k
的 y xi 和 yi z xi 就是边值问题的解函数值和它的一阶导数值。上述方程 好比打靶， s k 作为斜率为子弹的发射，y b 为靶心，故称为打靶法。
y xy 4 y 12 x 2 3x， 0 x 1， y 0 0，y 1 2，
其解的解析表达式为 y
x x 4 x 。来自解 先将该线性边值问题转化为两个初值问题
xy1 4 y1 12 x 2 3 x， y1 1 0， y1 0 0，y1 xy2 4 y2 0， y2 1 1。 y2 0 0，y2

引理 ２． 设 条 件 ＨＩ 立 ． １ 成 若存 在 常数 Ｍ ＞ ０使 得 （ ， ＃ ｔ Ｙ， ）∈ ｎ 时 ｌ （ ， ｚ ≤ Ｍ ， 边 值 问题 ， ｔ Ｙ， ）ｌ 则 （ ． ）（ ． ）至少 存 在 一个解 １ １ ，１ ２ 证 明 求 （ ．）和 （ ． ）的解 等 价 于求 Ｙ ∈ Ｃ ［ ６ １１ １２ “， ］使 满足 ：
（ ．） ［ ， ］ 的下解 ， 中 仲 （ ＝ １１ 在 ｎ ６ 上 其 ）
ｐ２ ， ｙ Ｐ＞ ｌ 若存 在 卢 ｔ ∈ ｃ ［ ， ］ 即 （ ） Ｏ ｎ ｂ 使 ； （） ｎ ６ ， ∈ （ ，）
得（ （ ） ）≤ ， ， ， ）则称 卢 为方 程 （ ．） ［ ６ 上 的上 解 ． （ 卢 ， （） １ １ 在 ｎ， ］
在函数 ： ， 一 （ ， ， 在［ ， 上任何有界区间上可积， Ｖ（，） Ｅ和 一∞ ＜ｚ＜＋ ［ ∞］ ｎ ∞）使｛ ｎ ｎ ∞］ 且对 ∈
ｃ有 ｌ（，，）≤ １ ．满足： （ ） （； “）ｕ ｏ ， Ｙｚ ｌ （ｚＩ ） Ｉ “／ ’ ） ＝∞， 。 的反函 （ ｄ 其中 为 数．
＝
Ａ＋ Ｉ（ （ ， 如 ） Ｉ ｃ一 ） 出，
（ １ ２．） （ ２ ２．）
其 中 ｃ 满足
Ｂ Ａ ｆ （一 — ＝ ｃ
，如 ）
我 言，积 方 （． 有 时 常 存 且 一设Ｈ ｚ ＝１ （ — Ｏ ） 其中Ｑｓ； 们断 当 分 程 ２ ） 解 ，数ｃ 在 唯 １ （） ｚ Ｑ ） ｍ， （ ）
首 先证 Ｎ ： ［ ， ］ ｃ ［ ， ］ 连续 的 ． 在 ［ ， ］ Ｃｂ ｎ ６ 一 ｎ ６ 是 设 ｎ ６ 上一 致有 一 Ｙ． 一 Ｙ ， 证 一 致有 ： 往 ＾
— Ｎｙ，Ｎｙ ）（ ） （ ）（ ． 时有 ｛ （ ． ￡ 一 ）此

＼ Ｊ Ｊ ，
Ｂ ｎ ｃ 间． 令 ｃ ， ］ ｛ ： ａ ａｈ空 Ｕ Ｅ 一 Ｕ Ｊ— Ｅ Ｉ 续 ｝ Ｕ连 ， 则 ｃ ｊ， ］ ［ Ｅ 在范 数 Ｉ Ｉ 一ｍａ Ｉ （）ｌ ｘｌ ￡ ｌ ｕ 下也是 Ｂ ｎ ｃ ａａｈ 空 间．令 ｃ ［ ， 一 ｛ ： 。 － Ｅ］ “ Ｊ— 厂
第 ４ ６卷 ２ １ ０ ０年 第 ５期
Ｖ ０１ ４ ２ ０ Ｎｏ．５ ．６ ０１
西
北 师 范 大 学
学
报 自然 科 学 版 ） （
１ ３
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｒｈ ｓ ｏ ｒ ａ ｆＮｏ ｔ ｗｅｔＮｏｒ ａ ｎｉｅ ｓｔ （ ｔ ｒ ｌ ｃｅ ｃ ） ｍ ｌＵ ｖ ｒ ｉｙ Ｎａ ｕ ａ ｉｎ ｅ Ｓ
ｄｉｆ ｒ ｎｔａ ｑ ａ ｉ ｎ ｗｉｈ ｄｉｃ ｎｔｎｏ ｅ ｍ ｓ ｉ ｎ ｃ ｐａ ｅ ｒ ｂｔ ｉ ｄ ｆ ｅ ｅ ｉｌｅ ｕ ｔｏ ｔ ｓ ｏ ｉ ｕｓ ｔ ｒ ｎ Ｂａ ａ ｈ ｓ ｃ ｓ ａ ｅ ｏ ａｎｅ ．
ｒｓ ｌ ｉ ； ｎｏ ｏ ｔ ｒ ｔｖ ｅ ｈｎ ｑ Ｋｅ ｒ ｓ： ｉ ｃ ｅ ｓｎ ｅ ａ ｏ ｙ ｗｏ ｄ ｎ ｒ ａ ｉ ｇ ｏｐ ｒ ｔ ｒ； ｆｘ ｄ ｐ ｎｔ ｕ —ｏｗ ｅ ｏ ｕｔｏｎｓ ｍ ｏ ｔ ｎｅ ｉｅ ａ ｉ ｅ ｔ ｃ ｉ ｕｅ ｉ ｅ ｏｉ ； ｐ ｌ
近 年来 ，非 线 性常 微分 方程 周期 边 值 问题解 的
一
存 在性 、唯一性 和 多解 性一 直 是微 分方 程领 域非 常 引人关 注 的 问题 Ｌ ］ １ ，但 现 有 文 献 大 都 要 求 非 线 性
项 ｆ ｔ 连续 ．本 文 在 Ｂ ｎ ｃ （， ） ａ ａ ｈ空 间 中 ，就非 线 性 项 ｆ（ ， 在 较 弱 的连 续 性 条 件 下 ，利 用 上 下 解 方 ｔ ） 法 与增 算 子不 动点 定理 ，讨 论 二 阶非线 性 常微分 方 程周期 边 值 问题 ｆ 一 （）一 ｆ ｔ ，ｔ Ｊ一 ［ ，丁 ， … ￡ （， ） ∈ Ｏ ２ｃ ］

常微分方程基本概念常微分方程（Ordinary Differential Equations，简称ODE）是数学分析中的一个重要分支，研究的是一元函数的导数与自变量之间的关系。

它在物理学、工程学、生物学等领域具有广泛的应用。

本文将介绍常微分方程的基本概念和相关知识。

一、常微分方程的定义常微分方程是描述未知函数的导数与自变量之间关系的方程。

一般形式可以表示为：dy/dx = f(x, y)其中，y是未知函数，x是自变量，f(x, y)是已知函数。

二、常微分方程的阶数常微分方程根据未知函数的最高阶导数的阶数不同，可以分为一阶、二阶、高阶等不同阶数的微分方程。

1. 一阶微分方程一阶微分方程是指含有一阶导数的方程。

一般形式可以表示为：dy/dx = f(x, y)例如，y' = 2x + 1就是一个一阶微分方程，其中y'表示y对x的一阶导数。

2. 二阶微分方程二阶微分方程是指含有二阶导数的方程。

一般形式可以表示为：d²y/dx² = f(x, y, dy/dx)例如，y'' + y = 0就是一个二阶微分方程，其中y''表示y对x的二阶导数。

三、常微分方程的初值问题和边值问题常微分方程除了描述函数的导数与自变量之间的关系外，还可以给出一些初始条件或边界条件，从而确定唯一的解。

1. 初值问题初值问题是指在微分方程中给出了函数在某一点的初值条件，要求求解出满足该条件的解。

一般形式可以表示为：dy/dx = f(x, y)，y(x₀) = y₀其中，y(x₀) = y₀表示在点(x₀, y₀)处给定了函数的初始值条件。

2. 边值问题边值问题是指在微分方程中给出了函数在多个点的边界条件，要求求解出满足这些条件的解。

一般形式可以表示为：dy/dx = f(x, y)，y(a) = y_a，y(b) = y_b其中，y(a) = y_a和y(b) = y_b表示在点(a, y_a)和(b, y_b)处给定了函数的边界条件。

线 无 的 1(x)与y2 (x)称 方 L[ y] = 0 性 关 y 为 程
的基础解系.
15
二阶微分方程
线性方程的通解, 为了求 齐次 线性方程的通解 只要求它的两个线性无关的特解. 只要求它的两个线性无关的特解 如 y ′′ + y = 0, y1 = cos x , y 2 = sin x , y2 , 且 = tan x ≠ 常数 通解 y = C1 cos x + C2 sin x. y1
2
3
二阶微分方程
例2. 设有一个电阻 R , 自感L ,电容 C 和电源 E 串
联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 , 求电容器两两极板间电压 uc 所满足的微分方程 . 解: 设电路中电流为 i(t), 极板上 R 的电量为 q(t) 自感电动势为 EL , , 由电学知
‖ +q q Q 根据回路电压定律: 在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0 di q E L Ri = 0 dt C
如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 则得 2 di q d uC duC 2 E + 2β +ω0 uC = 0 L d t C Ri = 0 5 dt d t2
二阶微分方程
例1 例2 方程的共性 — 可归结为同一形式:
d y dy 形如 (x + Q( x) y = f ( x) 2 + P( x) dx dx
= C 1 cos x + C 2 sin x + x 2 2
非齐次方程的通解 方程的通解. 是非齐次方程的通解
22
二阶微分方程
定理5 定理5
(线性叠加原理2) (线性叠加原理2) 线性叠加原理

问题：一维均匀介质稳态导热问题。设其一端绝热，
另一端恒温为T1，求此均匀介质上的温度分布？
(x0, T1)
xL此处绝热
x1
温度？
x2
x3
温度？ 温度？
T=f(x)？
d
(k dT ) 0
dx f (0)
dx T1
dT
0
dx xL
2020/6/19
化工应用数学
3
边值问题是指在自变量x的某一区间[a,b]的两个端点
常微分方程数值解
常微分方程边值问题
问题：一维均匀介质稳态导热问题。设其一端绝热，
另一端恒温为T1，求此均匀介质上的温度分布？
(x0, T1)
xL此处绝热
x1
温度？
x2
温度？
x3
温度？
T=f(x) 其中x代表均匀介质上某一位置距离端点的距离； T代表x处的温度。
2020/6/19
化工应用数学
2
常微分方程边值问题
二阶方程的 y'' f (x, y, y' ),a＜x＜b
第一边值问题：
y(a)
;
y(b)
二阶方程的 y'' f (x, y, y' ),a＜x＜b
初值问题：
y(a)
;
y
'
(a)
m
2020/6/19
化工应用数学
任务：寻找 m，使得 y(b)=β
6
y
m=m1
(b,β) m=m3
m=m2
(a,α) x
F(m)
F (m2 )
(F (m2 ) ) (F (m1) )
m2 m1

二阶非齐次系统的边值问题二阶非齐次系统的边值问题是数学中经常研究的重要问题之一。

本文将介绍该问题的定义、解决方法、应用和展望等方面，探讨该问题在数学和物理等领域中的重要性和应用价值。

一、问题定义所谓二阶非齐次系统的边值问题，是指形如下式的二阶微分方程的求解问题：$$y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=f(x)$$其中，$p(x)$、$q(x)$和$f(x)$均为已知函数，$y(x)$为待求函数。

边值问题的具体形式为：$$y(a)=A, y(b)=B$$其中，$a$和$b$均为已知常数，$A$和$B$均为已知常数。

二、解决方法为了解决二阶非齐次系统的边值问题，常常采用常系数线性齐次微分方程的解法，即假设$y(x)=e^{\lambda x}$，代入原方程中可得：$$(\lambda^2 + p\lambda + q)e^{\lambdax}=f(x)$$由此可得到关于$\lambda$的方程：$$\lambda^2 + p\lambda + q=0$$解出$\lambda_1$和$\lambda_2$后，原方程的通解为：$$y(x)=c_1e^{\lambda_1 x}+c_2e^{\lambda_2x}+y_p(x)$$其中，$c_1$、$c_2$为待定常数，$y_p(x)$为原方程的特解。

对于二阶非齐次系统的边值问题，要求满足给定边界条件$y(a)=A$和$y(b)=B$。

因此，需要将常数$c_1$和$c_2$确定下来。

常常采用格林函数的方法求解，即构造边值问题的格林函数$G(x,\xi)$，利用格林函数可以表示出待求函数$y(x)$与边界条件$y(a)=A$和$y(b)=B$之间的关系。

三、应用二阶非齐次系统的边值问题被广泛应用于工程和物理学领域。

通过求解二阶非齐次系统的边值问题，可以得到一系列数学模型的解，例如热传导、弹性力学和电路等问题的分析结果。

第一章1 误差相对误差和绝对误差得概念 例题:当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时, 一般要经历哪几个阶段? 在哪些阶段将有哪些误差产生? 答: 实际问题-数学模型-数值方法-计算结果 在这个过程中存在一下几种误差:建立数学模型过程中产生:模型误差 参数误差选用数值方法产生:截断误差 计算过程产生:舍入误差 传播误差6．设937.0=a 关于精确数x 有3位有效数字，估计a 的相对误差. 对于x x f -=1)(，估计)(a f 对于)(x f 的误差和相对误差.解 a 的相对误差：由于 31021|)(|-⋅≤-≤a x x E . x ax x E r -=)(, 221018110921)(--⋅=⨯≤x E r . （1Th ）)(a f 对于)(x f 的误差和相对误差.|11||)(|a x f E ---==()25.021011321⨯⋅≤-+---ax x a =310-33104110|)(|--⨯=-≤a f E r . □2有效数字基本原则:1 两个很接近的数字不做减法:2: 不用很小得数做分母(不用很大的数做分子)例题:4．改变下列表达式使计算结果比较精确：（1） ;1||,11211<<+--+x xxx 对（2） ;1,11>>--+x xx xx 对（3）1||,0,cos 1<<≠-x x xx对.解 (1) )21()1(22x x x ++. (2) )11(2x x x x x-++.(3) xxx x x x x cos 1sin )cos 1(sin cos 12+≈+=-. □ 第二章拉格朗日插值公式（即公式（1））∑==ni i i n x l y x p 0)()(插值基函数（因子）可简洁表示为)()()()()()(0i n i n nij j j i j i x x x x x x x x x l ωω'-=--=∏≠= 其中: ()∏∏≠==-='-=nij j j i i nnj jn x x x xx x 00)(,)()(ωω. 例1 n=1时，线性插值公式 )()()()()(010110101x x x x y x x x x y x P --⨯+--⨯=， 例2 n=2时，抛物插值公式))(())(())(())(())(())(()(1202102210120120102102x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x P ----⨯+----⨯+----⨯= 牛顿（Newton ）插值公式由差商的引入，知（1） 过点10,x x 的一次插值多项式为)()()(0101x x c x f x p -+=其中],[)()(1001011x x f x x x f x f c =--=⇒ )](,[)()(01001x x x x f x f x p -+=（2） 过点210,,x x x 的二次插值多项式为))(()()(10212x x x x c x p x p --+=其中],,[)()()()(21002010112122x x x f x x x x x f x f x x x f x f c =------=⇒ ))(](,,[)()(1021012x x x x x x x f x p x p --+=))(](,,[)](,[)(102100100x x x x x x x f x x x x f x f --+-+=重点是分段插值: 例题:1. 利用Lagrange 插值公式求下列各离散函数的插值多项式（结果要简化）：（1）（2）解(2)：方法一. 由 Lagrange 插值公式)()()()()(332211003x l f x l f x l f x l f x L ⋅+⋅+⋅+⋅= 可得： )21()(23-=x x x L 方法二. 令)()21()(3B Ax x x x L +-=由 23)1(3-=-L ， 21)1(3=L ， 定A ，B （称之为待定系数法） □15.设2)(x x f =，求)(x f 在区间]1,0[上的分段线性插值函数)(x f h ，并估计误差，取等距节点，且10/1=h .解 2)(x x f =， ih x i = ， 10,,1,0 =i ， 101=h设 1+≤≤i i x x x ，则： ii ii i i i i h x x x x x f x x x x x f x f --+--⋅=++++1111)()()(h ihx h i h h i x h i -++-+-⋅=22))1(()1()( 100)1(10)12(+-+=i i x i 误差估计： ))1(()(!2|)()(|max)1(h i x ih x f x f x f hi x ix h +--''≤-+≤≤. □第三章最佳一致逼近:(了解) 最佳平方逼近 主要分两种情形：1. 连续意义下在空间],[2b a L 中讨论2. 离散意义下在n 维欧氏空间n R 中讨论，只要求提供f 的样本值1. 最佳逼近多项式的法方程组设],[2b a L 的1+n 维子空间 n P =span },,,1{2n x x x , 其中 n x x x ,,,12 是],[2b a L 的线性无关多项式系.对],[2b a L f ∈∀，设其最佳逼近多项式*φ可表示为: ∑==ni i i x a 0**φ由 n P f ∈∀=-φφφ ,0),(*⇒ ∑===-ni j i i n j x x a f 0*)1(0,0),(即 ∑===nj ij j i n i x f a x x 0*)1(0),,(),(（*2） 其中⎰⎰⎰⋅==⋅=+b ab abai iji jijidx x x f x f dx x dx x x x x)(),( ,),(称(*2)式为最佳逼近多项式的法方程组（或正规方程组）. 由n i i x 0}{=的线性无关性，可证明G 正定，即 上述法方程组的解存在且唯一 .11、 求x x f πcos )(= ，]1,0[∈x 的一次和二次最佳平方逼近多项式. 解： 设 x a a x P 10*1)(+= ， 2210*2)(x b x b b x P ++= 分别为)(x f 的一次、二次最佳平方逼近多项式。

y(a)
(a x b)
y(b)
例 3：传热问题 建立微分方程：
d 2T 1 dT f (r) dr2 r dr
对流传热
建立边界条件：
a1T(b) b1T(b) T1
r=b
T1
●第三类边界条件
－给定边界处函数和导数共同满足的条件
●第三类边值问题
y f (x, y, y) (a x b)
●● ● ●●
y(x)
x =a
x =b
打靶法的几何说明
对于初值问题
y f x, y, y a x b
y(a)
y(a) m
m
m0
m1
mn
y(b) y(b)m0 y(b)m1 y(b)mn
y(b)m F(m)
合适的 m 值应满足：
y(b)m
即： F(m)
化标准形式：f (m) F(m) 0
1T
2
解： 第一步：明确需要确定哪些函数值 u0,u1,u2,,uN,uN1
将
Ti
ui1
2ui h2
ui1
代入离散化方程
h2 ui1 2ui ui1 k g(Zi )
u0 2u1 u2
u1 2u2 u3 uN 1 2uN
h2
k
h2 k
u N 1
g (Z1 )
g(Z2 ) h2
●第一类边值问题
y f (x, y, y) (a x b)
y(a) y(b)
例 2：传热问题
绝热 r=b
建立微分方程：
d 2T 1 dT f (r) dr2 r dr
建立边界条件：
T (b) 0
●第二类边界条件 －给定边界处导函数满足的条件

（） ２ （） ３
ｐｏ ＝ｐ２ｒ， ｐ（） ｌ ７ （） （７ ） ／ ≤ｐ（ ｒ ０ ２）
其 中 Ｍ ＞０ ，Ｎ ０为常数 。若 Ｍ ， 满足 Ⅳ
４ 。Ｍ ＋２ｒ ｏ １ ７（ ｒ ７ Ｎｋ）
（） ４
则 ｐｔ ０ ∈， （ ，Ｖｔ 。 ）
证 明 假 设结论不 成立 ，则有两种情形 ：
分析．
基金项 目： 国家 自然科学基金（Ｏ ７ １７． １６ ｌ６ ）
维普资讯
１６ ０６
工
程
数
学
学
报
第２ 卷 ４
情形（） 由（） Ｉ ２式知，一 ）≥ ０Ｖｔ∈， ｐ（ ， ，而又 由于 ｐ（ ｐ（ ｒ ） ０ ７ ，所 以有 ｐ ２） ）： ｐ（）Ｖｔ∈， ， ０ ，这 时必 有 ｐ ＝ ｐ（） （ ） ＋Ｃ （ 为某一 常数） ０ Ｃ 。因为 ｐ０ ｐ２ｒ，故 ｐ ） （）＝ （７ ） ： Ｐ（） ＝０和 ｐｔ＝Ｃ ＞０ ０ （ ） ，由（） ２式得
文章编￣： ０—０５２０ ）６１６—５ －０５３８（０ ７０—０５０ １
二 阶积 分微 分方程 的周期边值 问题木
邹玉梅 崔玉军
（ 山东科技大学信息学院 ，青岛 ２ ６ １ ） ６ ５ ０
摘 要 ：本 文 研 究 了 二 阶 积 分 微 分 方 程 的 周 期 边 值 问题 ， 在 反 向上 下 解 的 条 件 下 ，利 用 Ｆ ｅ ｈ ｔ 定 理 和 ｒｄ ｏｍ 比较 原 则得 到其 极 解 的存 在 性 。 关 键 词 ： 期 边 值 问题 ；Ｆ ｅ ｈ ｌ 定 理 ；上 下 解 周 ｒｄ ｏｍ
维普资讯
第２卷 第６ ４ 期 ２ ０ 年 １ 月 ０７ ２
工

（5.2.6）
由于方程关于 uk +1 是隐式形式，所以式（5.2.6）称为隐式 Euler 公式。前面显式和隐式 Euler 公式在计
u '(tk ) ≈
得到的递推公式：
u (tk +1 ) − u (tk −1 ) 2h
（5.2.7）
uk +1 ≈ uk −1 + 2hf (tk , uk )
在计算 uk +1 时，需要用到前两步结果 uk −1 , uk ，称为两步法公式。 （2）积分近似方法 将（5.2.1）式的微分方程写成 du = f (t , u )dt ，在区间 [tk , tk +1 ] 上积分，有：
5.2.2 Runge-Kutta 方法 Euler 方法比较简单，但它的收敛阶数低。可以利用 Taylor 展开式构造高阶的单步方法。Euler 公式 可以看成是由一阶 Taylor 展开式得到的，所以应用高阶 Taylor 展开就可以得到高阶单步法。例如：将 u (tk +1 ) 在 tk 处作 q 阶 Taylor 展开：
dy = a − by (t ) dt
是一阶常微分方程，而
2 ∂ 2 u ( x, t ) 2 ∂ u ( x, t ) a = ∂t 2 ∂x 2
（5.1.1）
（5.1.2）
是二阶偏微分方程。 所有使微分方程成为等式的函数，都是微分方程的解；在 n 阶微分方程中，将微分方程的含有 n 个任 意常数的解称为该微分方程的通解。为确定微分方程通解中的任意常数而需要的条件称为定解条件；定解 条件可以分为初始条件和边界条件两类。由微分方程和定解条件一起构成的问题称为微分方程定解问题。 根据定解条件的不同，常微分方程分为初值问题和边值问题；若定解条件是描述函数在一点（或初始 点）处状态的，则称为初值问题，一阶常微分方程初值问题的一般形式为：

常微分方程的基本概念与解法常微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是描述变化规律的方程中出现的微分项。

本文将介绍常微分方程的基本概念和解法。

一、常微分方程的基本概念常微分方程是指未知函数的导数和自变量之间的关系方程。

一般形式可以表示为：\[F(x, y, y', y'', ..., y^{(n)}) = 0\]其中，y为未知函数，x为自变量，y'，y''，...，y^(n)为y的一阶、二阶，...，n阶导数，n为正整数。

常微分方程的阶数指的是方程中最高阶导数的阶数。

例如一阶常微分方程只包含y'，二阶常微分方程包含y'和y''，依此类推。

常微分方程可以分为常系数微分方程和变系数微分方程。

常系数微分方程中的系数是常数，变系数微分方程中的系数可以是关于自变量x 的函数。

二、常微分方程的解法常微分方程的解法可以分为初值问题和边值问题。

1. 初值问题初值问题是指在方程中给定自变量x的某个初始值和未知函数y在该点的初值。

对于一阶常微分方程，求解初值问题的基本步骤如下：(1) 将一阶常微分方程改写成dy/dx = f(x, y)的形式；(2) 使用分离变量、全微分或变量代换等方法将方程转化为可分离变量的形式；(3) 对变量进行积分，得到通解；(4) 将初始条件代入通解中，求解常数，得到特解。

对于高阶常微分方程，可以通过转化为一阶常微分方程组的形式，然后利用类似的方法求解。

2. 边值问题边值问题是指在方程中给定自变量x在两个不同点上的值，要求找到满足这些条件的未知函数y。

对于二阶线性常微分方程的边值问题，可以使用常数变易法或格林函数法等求解方法。

三、常微分方程的应用常微分方程在科学和工程领域中具有广泛的应用。

以下是常见的几个应用领域：1. 物理学常微分方程在描述物理系统的运动规律中起着重要的作用。

例如，牛顿第二定律可以表示为二阶线性常微分方程。

填空题（50）1、 曲线上任一点(,)x y 处的切线斜率等于(1)yx-+,且过点(2,1),则该曲线方程是 .答案：142y x x=-+ 难度等级：2；知识点：一阶线性常微分方程.分析 直接由切线斜率的定义及过定点可得一阶线性微分方程的初值问题111dy y y dx x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭及初始条件(2)1y = ，由通解公式可得142y x x =-+。

2、 一潜水艇在下沉力P (含重力)的作用下向水底下沉，已知水的阻力与下沉速度成正比(比例系数为k ),开始下沉速度为零，则速度与时间的函数关系是 . 答案：()kt me v t k kP P -=- 难度等级：2；知识点：一阶非齐次线性常微分方程. 分析 由牛顿第二定律可得一阶微分方程的初值问题()()dv t m P kv t dt=- 可得一阶线性微分方程的初值问题()()dv t kv t Pdt m m-=+ 及初始条件(0)0v = ，由通解公式可得()ktme v t k kP P-=-。

3、 曲线上任一点的切线斜率恒为该点的横坐标与纵坐标之比，则此曲线的方程是 . 答案：22y x C -=难度等级：2；知识点：一阶线性常微分方程.分析 直接由切线斜率的定义及过定点可得一阶线性微分方程的初值问题dy x dx y= ，即有0ydy xdx -= ，2202y x d ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故可得曲线方程为22y x C -=。

4、 满足方程21,(1)1,(1)0x y y y '''==-=的解为 . 答案：ln 2y x x =-+-难度等级：2；知识点：可降阶的二阶常微分方程.分析 将方程变形为2221d y dx x= ，连续积分两次可得通解为12ln y x C x C =-++ ，再代入初始条件可解得121,2C C ==-，故可得解为ln 2y x x =-+-。

5、 当λ等于 时，0y y λ''+=存在满足(0)(1)0y y '==的非零解。

微分方程是数学中非常重要的一类方程，广泛应用于物理、工程、经济等领域。

在求解微分方程时，我们通常需要找到其特解，以满足特定的初始条件或边界条件。

本文将介绍微分方程中的特解求法。

微分方程是包含未知函数及其导数的方程。

常见的微分方程包括常微分方程和偏微分方程。

常微分方程是只包含一元未知函数及其导数的方程，而偏微分方程则包含多元未知函数及其偏导数。

求解微分方程的一般方法是通过积分和代数操作来消去导数项，最终得到等式中只含有未知函数及其低阶导数的方程。

我们先从常微分方程中的特解求法入手。

常微分方程的特解分为两类：初值问题和边值问题。

初值问题是在微分方程中给定某一点的函数值以及其导数值，求解满足这些条件的特解。

边值问题是在微分方程中给定一些边界条件，求解满足这些条件的特解。

对于初值问题，我们可以使用分离变量、变量代换、常数变易法等方法来求解微分方程。

以一阶常微分方程为例，假设方程为dy/dx=f(x)，同时给定y(x0)=y0的初始条件。

我们可以首先将方程两边同时乘以dx，然后再两边积分，得到∫dy=f(x)dx。

再对两边同时求定积分，即可得到特解y=f(x)+C，其中C为常数。

代入初始条件，得到具体的特解。

对于边值问题，我们可以使用分离变量、变量代换、极值原理等方法来求解微分方程。

以二阶常微分方程为例，假设方程为d²y/dx²=g(x)，同时给定y(x0)=y0和y(x1)=y1的边界条件。

我们可以首先将方程两边同时乘以dx²，然后再两边积分两次，得到∫∫d²y=g(x)dx²。

然后，我们可以使用边界条件来确定积分常数，从而得到特解。

对于偏微分方程的特解求法稍有不同。

由于偏微分方程包含多元未知函数及其偏导数，所以特解形式较复杂。

在求解偏微分方程的特解时，我们常常需要使用提升技巧、变量分离法、特征方程法等方法。

这些方法的具体步骤较为复杂，在此不一一赘述。

总之，微分方程中的特解求法是数学中重要且复杂的问题。

目录1 引言 (1)2 二阶常系数常微分方程的几种解法 (1)2.1 特征方程法 (1)2.1.1 特征根是两个实根的情形 (2)2.1.2 特征根有重根的情形 (2)2.2 常数变异法 (4)2.3 拉普拉斯变化法 (5)3 常微分方程的简单应用 (6)3.1 特征方程法 (7)3.2 常数变异法 (9)3.3 拉普拉斯变化法 (10)4 总结及意义 (11)参考文献 (12)二阶常微分方程的解法及其应用摘要：本文通过对特征方程法、常数变易法、拉普拉斯变换法这三种二阶常系数常微分方程解法进行介绍，特别是其中的特征方程法分为特征根是两个实根的情形和特征根有重根的情形这两种情况，分别使用特征值法、常数变异法以及拉普拉斯变换法来求动力学方程，现今对于二阶常微分方程解法的研究已经取得了不少成就，尤其在二阶常系数线性微分方程的求解问题方面卓有成效。

应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。

关键词：二阶常微分方程;特征分析法；常数变异法；拉普拉斯变换METHODS FOR TWO ORDER ORDINARY DIFFERENTIALEQUATION AND ITS APPLICATIONAbstract:This paper introduces the solution of the characteristic equation method, the method of variation of parameters, the Laplasse transform method the three kind of two order ordinary differential equations with constant coefficients, especially the characteristic equation method which is characteristic of the root is the two of two real roots and characteristics of root root, branch and don't use eigenvalue method, method of variation of constants and Laplasse transform method to obtain the dynamic equation, the current studies on solution of ordinary differential equations of order two has made many achievements, especially in the aspect of solving the problem of two order linear differential equation with constant coefficients very fruitful. Application of the theory of ordinary differential equations has made great achievements, however, the existing theory it is still far from meeting the need, needs further development, to make the discipline theory more perfect.Keywords:second ord er ordinary differential equation; Characteristic analysis; constant variation method; Laplasse transform1 引言数学发展的历史告诉我们，300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程又是数学分析的心脏，它还是数学分析里大部分思想和理论的根源。