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常微分方程基本概念常微分方程（Ordinary Differential Equations，简称ODE）是数学分析中的一个重要分支，研究的是一元函数的导数与自变量之间的关系。
它在物理学、工程学、生物学等领域具有广泛的应用。
本文将介绍常微分方程的基本概念和相关知识。
一、常微分方程的定义常微分方程是描述未知函数的导数与自变量之间关系的方程。
一般形式可以表示为：dy/dx = f(x, y)其中，y是未知函数，x是自变量，f(x, y)是已知函数。
二、常微分方程的阶数常微分方程根据未知函数的最高阶导数的阶数不同，可以分为一阶、二阶、高阶等不同阶数的微分方程。
1. 一阶微分方程一阶微分方程是指含有一阶导数的方程。
一般形式可以表示为：dy/dx = f(x, y)例如，y' = 2x + 1就是一个一阶微分方程，其中y'表示y对x的一阶导数。
2. 二阶微分方程二阶微分方程是指含有二阶导数的方程。
一般形式可以表示为：d²y/dx² = f(x, y, dy/dx)例如，y'' + y = 0就是一个二阶微分方程，其中y''表示y对x的二阶导数。
三、常微分方程的初值问题和边值问题常微分方程除了描述函数的导数与自变量之间的关系外，还可以给出一些初始条件或边界条件，从而确定唯一的解。
1. 初值问题初值问题是指在微分方程中给出了函数在某一点的初值条件，要求求解出满足该条件的解。
一般形式可以表示为：dy/dx = f(x, y)，y(x₀) = y₀其中，y(x₀) = y₀表示在点(x₀, y₀)处给定了函数的初始值条件。
2. 边值问题边值问题是指在微分方程中给出了函数在多个点的边界条件，要求求解出满足这些条件的解。
一般形式可以表示为：dy/dx = f(x, y)，y(a) = y_a，y(b) = y_b其中，y(a) = y_a和y(b) = y_b表示在点(a, y_a)和(b, y_b)处给定了函数的边界条件。
二阶非齐次系统的边值问题二阶非齐次系统的边值问题是数学中经常研究的重要问题之一。
本文将介绍该问题的定义、解决方法、应用和展望等方面，探讨该问题在数学和物理等领域中的重要性和应用价值。
一、问题定义所谓二阶非齐次系统的边值问题，是指形如下式的二阶微分方程的求解问题：$$y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=f(x)$$其中，$p(x)$、$q(x)$和$f(x)$均为已知函数，$y(x)$为待求函数。
边值问题的具体形式为：$$y(a)=A, y(b)=B$$其中，$a$和$b$均为已知常数，$A$和$B$均为已知常数。
二、解决方法为了解决二阶非齐次系统的边值问题，常常采用常系数线性齐次微分方程的解法，即假设$y(x)=e^{\lambda x}$，代入原方程中可得：$$(\lambda^2 + p\lambda + q)e^{\lambdax}=f(x)$$由此可得到关于$\lambda$的方程：$$\lambda^2 + p\lambda + q=0$$解出$\lambda_1$和$\lambda_2$后，原方程的通解为：$$y(x)=c_1e^{\lambda_1 x}+c_2e^{\lambda_2x}+y_p(x)$$其中，$c_1$、$c_2$为待定常数，$y_p(x)$为原方程的特解。
对于二阶非齐次系统的边值问题，要求满足给定边界条件$y(a)=A$和$y(b)=B$。
因此，需要将常数$c_1$和$c_2$确定下来。
常常采用格林函数的方法求解，即构造边值问题的格林函数$G(x,\xi)$，利用格林函数可以表示出待求函数$y(x)$与边界条件$y(a)=A$和$y(b)=B$之间的关系。
三、应用二阶非齐次系统的边值问题被广泛应用于工程和物理学领域。
通过求解二阶非齐次系统的边值问题，可以得到一系列数学模型的解，例如热传导、弹性力学和电路等问题的分析结果。
第一章1 误差相对误差和绝对误差得概念 例题:当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时, 一般要经历哪几个阶段? 在哪些阶段将有哪些误差产生? 答: 实际问题-数学模型-数值方法-计算结果 在这个过程中存在一下几种误差:建立数学模型过程中产生:模型误差 参数误差选用数值方法产生:截断误差 计算过程产生:舍入误差 传播误差6．设937.0=a 关于精确数x 有3位有效数字，估计a 的相对误差. 对于x x f -=1)(，估计)(a f 对于)(x f 的误差和相对误差.解 a 的相对误差：由于 31021|)(|-⋅≤-≤a x x E . x ax x E r -=)(, 221018110921)(--⋅=⨯≤x E r . （1Th ）)(a f 对于)(x f 的误差和相对误差.|11||)(|a x f E ---==()25.021011321⨯⋅≤-+---ax x a =310-33104110|)(|--⨯=-≤a f E r . □2有效数字基本原则:1 两个很接近的数字不做减法:2: 不用很小得数做分母(不用很大的数做分子)例题:4．改变下列表达式使计算结果比较精确：（1） ;1||,11211<<+--+x xxx 对（2） ;1,11>>--+x xx xx 对（3）1||,0,cos 1<<≠-x x xx对.解 (1) )21()1(22x x x ++. (2) )11(2x x x x x-++.(3) xxx x x x x cos 1sin )cos 1(sin cos 12+≈+=-. □ 第二章拉格朗日插值公式（即公式（1））∑==ni i i n x l y x p 0)()(插值基函数（因子）可简洁表示为)()()()()()(0i n i n nij j j i j i x x x x x x x x x l ωω'-=--=∏≠= 其中: ()∏∏≠==-='-=nij j j i i nnj jn x x x xx x 00)(,)()(ωω. 例1 n=1时，线性插值公式 )()()()()(010110101x x x x y x x x x y x P --⨯+--⨯=， 例2 n=2时，抛物插值公式))(())(())(())(())(())(()(1202102210120120102102x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x P ----⨯+----⨯+----⨯= 牛顿（Newton ）插值公式由差商的引入，知（1） 过点10,x x 的一次插值多项式为)()()(0101x x c x f x p -+=其中],[)()(1001011x x f x x x f x f c =--=⇒ )](,[)()(01001x x x x f x f x p -+=（2） 过点210,,x x x 的二次插值多项式为))(()()(10212x x x x c x p x p --+=其中],,[)()()()(21002010112122x x x f x x x x x f x f x x x f x f c =------=⇒ ))(](,,[)()(1021012x x x x x x x f x p x p --+=))(](,,[)](,[)(102100100x x x x x x x f x x x x f x f --+-+=重点是分段插值: 例题:1. 利用Lagrange 插值公式求下列各离散函数的插值多项式（结果要简化）：（1）（2）解(2)：方法一. 由 Lagrange 插值公式)()()()()(332211003x l f x l f x l f x l f x L ⋅+⋅+⋅+⋅= 可得： )21()(23-=x x x L 方法二. 令)()21()(3B Ax x x x L +-=由 23)1(3-=-L ， 21)1(3=L ， 定A ，B （称之为待定系数法） □15.设2)(x x f =，求)(x f 在区间]1,0[上的分段线性插值函数)(x f h ，并估计误差，取等距节点，且10/1=h .解 2)(x x f =， ih x i = ， 10,,1,0 =i ， 101=h设 1+≤≤i i x x x ，则： ii ii i i i i h x x x x x f x x x x x f x f --+--⋅=++++1111)()()(h ihx h i h h i x h i -++-+-⋅=22))1(()1()( 100)1(10)12(+-+=i i x i 误差估计： ))1(()(!2|)()(|max)1(h i x ih x f x f x f hi x ix h +--''≤-+≤≤. □第三章最佳一致逼近:(了解) 最佳平方逼近 主要分两种情形：1. 连续意义下在空间],[2b a L 中讨论2. 离散意义下在n 维欧氏空间n R 中讨论，只要求提供f 的样本值1. 最佳逼近多项式的法方程组设],[2b a L 的1+n 维子空间 n P =span },,,1{2n x x x , 其中 n x x x ,,,12 是],[2b a L 的线性无关多项式系.对],[2b a L f ∈∀，设其最佳逼近多项式*φ可表示为: ∑==ni i i x a 0**φ由 n P f ∈∀=-φφφ ,0),(*⇒ ∑===-ni j i i n j x x a f 0*)1(0,0),(即 ∑===nj ij j i n i x f a x x 0*)1(0),,(),(（*2） 其中⎰⎰⎰⋅==⋅=+b ab abai iji jijidx x x f x f dx x dx x x x x)(),( ,),(称(*2)式为最佳逼近多项式的法方程组（或正规方程组）. 由n i i x 0}{=的线性无关性，可证明G 正定，即 上述法方程组的解存在且唯一 .11、 求x x f πcos )(= ，]1,0[∈x 的一次和二次最佳平方逼近多项式. 解： 设 x a a x P 10*1)(+= ， 2210*2)(x b x b b x P ++= 分别为)(x f 的一次、二次最佳平方逼近多项式。
课程名称： 数值代数课程设计 指导教师： 刘兰冬 班级： 姓名： 学号：
实验项目名称： 二阶常微分方程边值问题
实验目的及要求： 二阶常微分方程边值问题 d4 — U 0, 1x1
dx2 (x 2)2
1 u( 1) 1,u⑴ 3
1 (该问题真解为：()x 2 )步长h自己选定，利用差分法求出近似解，利
用MATLA函数画出比较图形。 实验原理： 一、微分方程： 微分方程是现代数学中一个很重要的分支，从早期的微积分时代起，这个 学科就成为了理论研究和实践应用的一个重要领域。在微分方程理论中，定解 条件通常有两种提法：一种是给出了积分曲线在初始时刻的性态，相应的定解 条件称为初值问题；另一种是给出了积分曲线首末两端的性态，这类条件则称 为边界条件，相应的定解问题称为边值问题。 常微分方程边值问题在应用科学与工程技术中有着非常重要的应用，例如 工程学、力学、天文学、经济学以及生物学等领域中的许多实际问题通常会归 结为常微分方程边值问题的求解。虽然求解常微分方程边值问题有很多解析方 法可以求解，但这些方法只能用来求解一些特殊类型的方程，对从实际问题中 提炼出来的微分方程往往不再适用，因而对常微分方程边值问题的数值方法的 研究显得尤为重要。经典的数值方法主要有：试射法（打靶法）和有限差分法。 许多物理现象随着时间而发生变化、如热传导过程、气体扩散过程和波的 传播过程都与时间有关。描述这些过程的偏微分方程具有这样的性质；若初始 时刻t=to的解已给定，则t>to时刻的解完全取决于初始条件和某些边界条件。 利用差分法解这类问题，就是从初始值出发，通过差分格式沿时间增加的方向, 逐步求出微分方程的近似解。 微分方程的定解问题就是在满足某些定解条件下求微分方程的解。在空间 区域的边界上要满足的定解条件称为边值条件。如果问题与时间有关，在初始 时刻所要满足的定解条件，称为初值条件。不含时间而只带边值条件的定解问 题，称为边值问题。与时间有关而只带初值条件的定解问题，称为初值问题。 同时带有两种定解条件的问题，称为初值边值混合问题。 定解问题往往不具有解析解，或者其解析解不易计算。所以要采用可行的 数值解法。有限差分方法就是一种数值解法，它的基本思想是先把问题的定义 域进行网格剖分，然后在网格点上，按适当的数值微分公式把定解问题中的微 商换成差商，从而把原问题离散化为差分格式，进而求出数值解。此外，还要 研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的数值稳定性、差分格 式的解与原定解问题的真解的误差估计、差分格式的解当网格大小趋于零时是 否趋于真解（即收敛性），等等。 有限差分方法具有简单、灵活以及通用性强等特点，容易在计算机上实现
二、二阶常微分方程 二阶常微分方程一般可表示成如下的形式: y (x) f(x,y,y) a x b (2.1)
边值条件有如下三类[9]: 第一类边值条件
y(a) y(b) (2.2) 第二类边值条件 y (a) y(b) (2.3) 第三类边值条件[19]
oy(a) iy (a) oy(b) 1y (b) (2.4)
其中 0 1 0 0 1 0
0 1 0 0 1
0
o
在对边值问题用数值方法求解之前，应该从理论上分析该边值问题的解是 否存在，
若问题的解不存在，用数值方法计算出来的数据没有任何意义。下面 的定理给出了边值问题存在唯一解的充分条件。
定理：设方程（2.1）中的函数f及y , y在区域 ｛（x,y,y）|a x b, y,y ｝内连续，并且 f(x, y,y) (ii) y 在内有界，即存在常数M，使得
」(x，y，y). M
y (x, y, y )
则边值问题(2.1)-(2.4) 的解存在且唯一。 我们假设函数f(x,y,y)可以简单地表示成 f(x, y, y ) p(x)y q(x)y r(x) 即边值问题(2.1)-(2.2) 为具有如下形式的二阶线性边值问题 y P(x)y q(x)y r(x), y(a) , y(b)
三、有限差分法: 有限差分方法是用于微分方程定解问题求解的最广泛的数值方法，其基本 思想是用离散的、只含有有限个未知量的差分方程去近似代替连续变量的微分 方程和定解条件，并把相应的差分方程的解作为微分方程定解问题的近似解。 有限差分逼近的相关概念 设函数f(x)光滑，且Oh 1，利用Taylor展开，可得 2 h3 y(x) hy(x) 2y(x) 3
八"
h2 h3 y(x) hy(x) 2y(x) 3y (x)
由(2.19)可以得到一阶导数的表达式 2 y(x h) y(x) h h
y (x) — y (x) c y (x) h 2 3
或者
f(x,y,y) 0
(i) y
(x, y, y)
(2.5) y(x h) y(x h) (2.19)
(2.20)
(2.21a) y(x)y(x h) y(x) o(h) h (2.21b)
同理由(2.20)式可得 h / 、 h2 / 、 —y (x) — y (x) 2 3
y(x) y(x) y(x h)
h
或者
y(x) y(x) y(x h) O(h) h (2.22b)
(2.22a)
其中O(h)表示截断误差项.因此，可得一阶导数的 y (x)
的差分近似表达式为
y(x) y(x h) y(x) h (2.23)
y(x) y(x) y(x h) h (2.24)
由(2.21)和(2.22)可知，差商(2.23)和(2.24) 逼近微商y(x)的精度为一阶,
即为O(h)，为了得到更精确的差分表达式，将(2.19)减(2.20)可得 2h?
y(x h) y(x h) 2hy (x) y (x)
(2.25)
从而可以的到
y(x) y(x h) y(x h) S()
6 2h (2.26a)
或者 y(x) y(x h) y(x h) o(h2)
2h (2.26b)
其中，x
可得一阶导数 y (x)的差分近似表达式为
y(x) y(x h) y(x h) 2h (2.27)
2 由此可知，(2.16)差商逼近微商y(x)的精度为二阶，即为O(h)。 类似地，我们还可以给出二阶微商 y(X)和高阶微商的差分近似表达式。例 如将(2.19)和(2.20)两式相加可得 h2
y(X h)y(X h)2y(X)h2y(X)12y(4)(X)
进而有 2 y (X) y(X h) 2y(x) y(X h) h、，⑷() y (X) ------------------------ 2 12 y (丿 h2 (2.28)
其中X h X h
.
因此，二阶导数y (X)的差分近似表达式［8］为 y (X) y(X h) 2y(X) y(X h) O(h2) h
(2.29)
实验内容(方法和步骤)： 差分法代码如下 clc; clear all h=0.05;
%x属于【a,b ]
a=-1;b=1; x=a:h:b; n=le ngth(x); %定义y syms y; y=(((x+2).*(x+2))“(-1)); hold on grid on yx=zeros(1, n); yxx=zeros(1, n); for i=2: n-1 yx(i-1)=(y(i+1)-y(i-1))/(2*h); yxx(i-1)=(y(i+1)+y(i-1)-2*y(i))/hA2; end
plot(x,y,'r','li newidth',2) plot(x(2: n-1),yx(1: n-2),'g','li newidth',2); plot(x(2: n-1),yxx(1: n-2),'b','li newidth',2);-1
5 4 3 2 1 0
|| 1 I 1 P 1 h ■ 1 ■ » 1 II | | 1 li d 1 fe i ■ a i ■ I I 4 1 h II 1 1 1 1 ..■■■■ ■ ■■■ ■ ■
----- 原函数 ——差外一阶导数 ----- 菱分二阶导数 ci ■ a i ■
I ・ — | p II 1 1 1 1
1 P ! 1 P i i i i ■ 1 f a 1 f
1 i 1 1 1
I ! 1 ii ■ 1 V I 1 U 1
legend('原函数','差分一阶导数','差分二阶导数') xlabel('$$x$$','l nterpreter','latex','color','r','fo ntsize',28); ylabel('$$y$$','l nterpreter','latex','color','r','fo ntsize',28);
实验结果与分析: 差分法结果如下:
0 2 0.4 0.6 0.8 1 0.8 -0 6 04 -0 2
