1．(1)设集合 A＝{x|y＝x }，B＝{(x，y)|y＝x }， 则 A∩B＝______； (2)集合 A＝{(x，y)|x＋y≤1，x∈N，y∈N}中元素 的个数是( ) A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
2
2
解析： (1)集合 A 中的元素为数，即表示二次函 数 y＝ x2 自变量的取值集合； 集合 B 中的元素为点， 2 即表示抛物线 y＝x 上的点的集合．这两个集合不 可能有相同的元素，故 A∩B＝∅. (2)集合 A 中的元素是点集， ∵x∈ N， y∈N，x＋ y≤1 ∴满足条件的点为 (0,0)、(0,1)、(1,0)共 3 个．即集 合 A 中元素的个数为 3. 答案： (1)∅ (2)C
(3)单调性与奇偶性应用的注意点 ①若一个函数在两个不同的区间上具有相同的单 调性，则区间之间应用“和”连接，而不能用 “∪”． ②函数奇偶性的判断中应先求定义域，若定义域 关于原点对称，再依据定义判断奇偶性． ③对于奇函数，若它在 x＝0 处有意义，则它的图 象必过原点，即 f(0)＝0.
集合表示方法及集合中元素的特性 【点拨】 常用的集合表示方法有列举法、描述法和 图示法，有限集常用列举法表示，而无限集常用描述 法．描述法表示集合时，集合中元素的意义取决于它 的“代表”元素，如： A＝{y|y＝2x＋3}中的元素为函数 y＝2x＋3 的函数值， A 为值域； B＝{x|y＝2x＋3}中的元素为函数 y＝2x＋3 的自变量 的取值，B 为定义域； C＝{(x， y)|y＝2x＋3}中的元素为方程 y＝2x＋3 的解， 也可以看作函数 y＝2x＋3 图象上的点，C 是解集或 点集．
集合的关系及运算
【点拨】 集合间的关系及运算是集合的核心，解 决此类问题，应从元素入手，弄清元素与集合、集 合与集合之间的关系，对于含有参数的问题经常进 行等价转化，一般先化简集合，然后利用数形结合 来解决．
已知集合 A＝{x|x<－1 或 x≥1}， B＝{x|2a<x≤a＋1， a<1}，若 B⊆A，求实数 a 的取值范围． [思维点击] 欲求参数 a 的取值范围， 需建立关于 a 的不等式．由 B⊆A 可得端点之间的不等关系，进 而求 a 的范围．
(2)函数 f(x)在 (－ ∞，－1]上为增函数，在(－ 1,0)上 为减函数． 证明如下： 2x2＋ 2 2x 2 由 (1)可知 f(x)＝ ＝ ＋ . 3 3x 3x 设 x1<x2<0， 1 2 则 f(x1)－ f(x2)＝ (x1－ x2)1－ 3 x1x2 x1x2－ 1 2 ＝ (x1－ x2)· . 3 x1x2
[规范解答] ∵ a<1，∴2a<a＋1.∴ B≠∅ . 在数轴上表示集合 A， B 如图所示．
由 B⊆A 知，a＋1<－ 1 或 2a≥1， 1 即 a<－2 或 a≥ . 2 1 又∵a<1，∴a<－2 或 ≤a<1. 2 故所求 a
1 的取值范围是 (－∞，－2)∪ ，1. 2
函数图象及应用
【点拨】 函数的图象是函数的重要表示方法，它 具有明显的直观性， 通过函数的图象能够掌握函数 重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好 函数的性质，有助于图象的正确画出．
7．分段函数的深入理解 (1)分段函数是一个函数， 而它的解析式表现为多个， 依据定义域来分段． 分段函数的定义域是各段定义 域的并集，值域是各段值域的并集． (2)分段函数的图象由几个不同部分组成， 画分段函 数的图象要将各段图象画在同一坐标系中， 并注意 各图象端点的虚实． (3)求函数值要“对号入座”， 即先确定自变量所在 定义域，再按对应解析式求值；求函数值对应的 x 值，要将函数值代入各解析式一一确定．
4．集合之间的关系与运算的注意点 (1)正确判断元素与集合、集合与集合之间的关系． 元素与集合之间的关系是属于与不属于的关系，集 合与集合之间的关系是包含、 真包含、 相等的关系， 要按照定义仔细区别． (2)灵活运用集合与集合之间关系与运算的判断方 法． 可将集合中的元素一一列举，直接观察得到；也可 以根据定义判断； 还可以借助数轴 (集合中元素以不 等式形式描述时 )或 Venn 图判断．
2． 已知 A＝{x|－2≤x≤5}， B＝{x|k－1≤x≤2k＋1}， 求使 A∩B＝∅ 的实数 k 的取值范围． 解析： 当 B＝∅，即 k－1>2k＋1 时，k<－2； 当 B≠∅时，由 A∩B＝∅， 2k＋ 1<－ 2， k－ 1>5， 得 或 k－ 1≤2k＋1 k－ 1≤ 2k＋1. 3 解得－2≤k<－ 或 k>6. 2 3 综上所述， k 的取值范围为kk<－ 或k>6 . 2
1．集合中元素特征的认识 确定性、互异性、无序性是集合中元素的三个特征． (1)确定性是指一个对象 a 和一个集合 A，a∈A 和 a∉ A 必居其一．它是确定一组对象能否构成集合的依据． (2)互异性是指同一个集合中的元素是互不相同的． 相 同的对象归入同一集合时只能算作集合的一个元 素．在解答含参集合问题时，互异性是一个不可或缺 的检验工具． (3)无序性是指任意改变集合中元素的排列次序， 它们 仍然表示同一个集合．
已知集合 M＝{y|y＝x2＋1， x∈R}， N＝{y|y＝x＋1， x∈R}，则 M∩N 等于( ) A．(0,1)，(1,2) B．{(0,1)，(1,2)} C．{y|y＝1 或 y＝2} D．{y|y≥1} [思维点击] 解答本题首先要分清集合中的代表 元素，然后求出其取值范围，再求交集． [规范解答] 正确理解描述法是解题的关键． M＝{y|y＝ x2＋1，x∈ R}＝{y|y≥1}， N＝ {y|y＝ x＋1，x∈ R}＝{y|y∈ R}， ∴ M∩N＝{y|y≥1}∩{y|y∈ R}＝ {y|y≥1}，∴选 D. 答案： D
3．已知函数f(x)，x∈R对任意的实数a，b都有 f(ab)＝f(a)＋f(b)，且当x>1时，f(x)>0，f(2)＝1. (1)试判断函数f(x)的奇偶性； (2)求证：函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
解析： (1)设 a＝b＝1，根据题意可得 f(1)＝ f(1) ＋ f(1)， 所以 f(1)＝ 0. 设 a＝b＝－1，则 f(1)＝ f(－1)＋ f(－1)，所以 f(－ 1)＝0， 又设 a＝－1，b＝x，则 f(－x)＝ f(－1)＋ f(x)， 即 f(－ x)＝ f(x)，所以函数 f(x)是偶函数．
2．解读集合表示的三种方法 集合常用的表示方法有三种，即列举法、描述法和 图示法， 其中图示法包括 Venn 图法和数轴法两种． (1)列举法是把集合的元素一一列举出来，并用花括 号“{ }”括起来表示集合的方法． 使用列举法要注意：元素间用分隔号“，”且元素 不能重复． (2)描述法是用集合所含元素的共同特征表示集合 的方法． 使用描述法要注意： 写清楚该集合中元素的代号 (字 母或用字母表示的元素符号 )， 准确说明该集合中元 素的特征．
(3)巧用性质简化解题过程： ①关系：A⊆A；A⊆B，B⊆A⇔A＝B；A⊆B，B ⊆C⇒A⊆C； A B， B C⇒ A C. ②并集：A⊆B∪A，B⊆B∪A；A∪A＝A；A∪∅ ＝∅ ∪A＝A； A⊆B⇔A∪B＝B. ③交集：A∩B＝B∩A；A∩A＝A；A∩∅＝∅ ∩A＝ ∅；A⊆B⇔A∩B＝A. ④补集：∁ UU＝∅，∁ U∅ ＝U；∁ U(∁ UA)＝A；A∪(∁ UA) ＝U， A∩(∁ UA)＝∅； A⊆B⇔∁ UA⊇∁ UB； A＝B⇔∁ UA ＝∁ UB.
5．把握函数概念，重视构成要素 函数的三要素是定义域、对应关系、值域． (1)定义域是使函数表达式有意义的自变量的取值 集合． (2)对应关系 f 可以是解析式、表格、图象，对应函 数的三种表示方法 ——解析法、列表法、图象法． (3)函数的值域由自变量和对应关系确定．
6．求函数定义域的注意点 (1)不对解析式化简变形，以免定义域变化． (2)求定义域的相关准则：①分式中分母不为零； ②偶次根式中被开方式非负；③x0 中 x≠0；④解 析式由几个式子构成时，定义域是使各式子有意 义的自变量的取值集合的交集． (3)由实际问题建立的函数解析式，定义域要符合 实际．
当 x1<x2≤－ 1 时， x1－ x2<0，x1x2>0，x1x2－ 1>0， ∴ f(x1)－ f(x2)<0， 即 f(x1)<f(x2)， ∴函数 f(x)在 (－ ∞，－1]上为增函数； 当－1<x1<x2<0 时， x1－ x2<0，x1x2>0，x1x2－ 1<0， ∴ f(x1)－ f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)， ∴函数 f(x)在 (－ 1,0)上为减函数．
[规范解答] (1)∵ f(x)是奇函数， ∴ f(－ x)＝－f(x)， 2 2 2 mx ＋ 2 mx ＋ 2 mx ＋ 2 ∴ ＝－ ＝ . －3x＋n 3x＋ n －3x－n 比较得 n＝－n，n＝0. 5 又 f(2)＝ ， 3 4m＋ 2 5 ∴ ＝ ，解得 m＝2. 6 3 即实数 m 和 n 的值分别是 2 和 0.
(3)Venn图法是指对给定的集合用封闭曲线的内部 (常见的有圆和矩形)表示的方法． Venn图表示集合时，要清楚集合中的元素是什么． (4)数轴通常用来表示不等式的解集．使用时要注意 空心点与实心点的区别．
3．空集的透析 空集是不含有任何元素的集合．除了它本身的实际 意义外，在研究集合与集合之间的关系和运算时， 必须予以单独考虑． (1)空集是任何一个集合的子集，是任何一个非空集 合的真子集．因此∅⊆{0}和∅ {0}都成立． (2)对于任意集合 A，都有 A∩∅ ＝∅，A∪∅＝A，∁ AA ＝∅ ，∁ A∅＝A 成立．
②函数的单调性反映了图象的增减变化；函数的 奇偶性反映了图象的对称性：奇函数的图象关于 原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称． ③函数的单调性是在一定区间上讨论的，而对函 数的奇偶性而言，其定义域可能是区间，也可能 是离散的点． (2)单调性与奇偶性的联系 奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上 的单调性相同，偶函数在其定义域内关于原点对 称的两个区间上的单调性相反．
