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例:α=0.05时的接受域和拒绝域
7.1.2 假设检验的一些基本概念
5.双侧检验与单侧检验 双侧检验与单侧检验 假设检验根据实际的需要可以分为 : 双侧检验(双尾) 指只强调差异而不强调方向性的检验. 双侧检验(双尾): 指只强调差异而不强调方向性的检验.
H 0 : 1 = 0 H 1 : 1 ≠ 0 只关注 1, 0 是否有差异,不关心
7.2
总体均值的检验
7.2.1 7.2.2
Z-检验 T-检验
7.2.1 Z-检验 -
1,当总体分布为正态分布,总体标准差为已知时,检验原 ,当总体分布为正态分布,总体标准差为已知时, 假设. 成立时, 假设.当H0成立时,由于总体 X ~N( 0 , ) ;所以样本均 从而统计量为: 值 .从而统计量为:
Z=
X 0
σ/ n
~ N (0,1)
[例7-2]某市历年来对 岁男孩的统计资料表明,他们的 例 某市历年来对7岁男孩的统计资料表明 某市历年来对 岁男孩的统计资料表明, 身高服从均值为1.32米,标准差为 米的正态分布. 身高服从均值为 米 标准差为0.12米的正态分布.现从 米的正态分布 各个学校随机抽取25个 岁男学生 测得他们平均身高1.36 岁男学生, 各个学校随机抽取 个7岁男学生,测得他们平均身高 若已知今年全市7岁男孩身高的标准差仍为 岁男孩身高的标准差仍为0.12米,问与 米,若已知今年全市 岁男孩身高的标准差仍为 米 α 历年7岁男孩的身高相比是否有显著差异 岁男孩的身高相比是否有显著差异(取 历年 岁男孩的身高相比是否有显著差异 取 =0.05). .
2 可以证明,若 X 1 ~ N ( 1 , σ 12 / n1 ), X 2 ~ N ( 2 , σ 2 / n2 ),则 可以证明,
( X 1 X 2 ) ~ N ( 1 2 ,
σ 12
n1
+
2 σ2
n2
)
所以, 成立的前提下, 所以,在H0成立的前提下,有
Z=
X1 X 2
σ 12
n1
第七章 假设检验
第七章 假设检验
学习目标: 学习目标 1.理解假设检验的基本思想和基本步骤 ; 理解假设检验的基本思想和基本步骤 2.理解假设检验的两类错误及其关系; 理解假设检验的两类错误及其关系; 理解假设检验的两类错误及其关系 3.熟练掌握总体平均数,总体成数和总体方差的各 熟练掌握总体平均数, 熟练掌握总体平均数 种假设检验方法; 种假设检验方法; 4.利用 - 值进行假设检验. 利用P 值进行假设检验. 利用
7.1.2 假设检验的一些基本概念
6.假设检验中的两类错误 假设检验中的两类错误 假设检验是依据样本提供的信息进行推断的 即由部分来推 假设检验是依据样本提供的信息进行推断的,即由部分来推 是依据样本提供的信息进行推断的 断总体,因而假设检验不可能绝对准确 是可能犯错误的. 因而假设检验不可能绝对准确,是可能犯错误的 断总体 因而假设检验不可能绝对准确 是可能犯错误的. 两类错误: 两类错误: 错误(I型错误 型错误): 为真时却被拒绝,弃真错误 弃真错误; α错误 型错误 H0为真时却被拒绝 弃真错误 错误(II型错误 型错误): 为假时却被接受,取伪错误 取伪错误. β错误 型错误 H0为假时却被接受 取伪错误. 假设检验中各种可能结果的概率: 假设检验中各种可能结果的概率: 接受H 拒绝 拒绝H 接受 0 ,拒绝 1 1- α(正确决策 正确决策) - 正确决策 取伪错误) β(取伪错误 取伪错误 拒绝H 接受H 拒绝 0,接受 1 弃真错误) α(弃真错误 弃真错误 1- β(正确决策 正确决策) 正确决策
7.2.1 Z-检验 -
2.对来自两个正态总体的两个独立样本,已知样本容量, 2.对来自两个正态总体的两个独立样本,已知样本容量, 对来自两个正态总体的两个独立样本 2 Байду номын сангаас用Z检验法 均值和总体方差分别为 n1 , X 1 , σ 12 和 n2 , X 2 , σ 2 ,可用 检验法 检验零假设H 检验零假设 0:1 = 2.
7.1.2 假设检验的一些基本概念
2.检验统计量 检验统计量 用于假设检验问题的统计量称为检验统计量 检验统计量. 用于假设检验问题的统计量称为检验统计量. 与参数估计相同,需要考虑: 与参数估计相同,需要考虑: 总体是否正态分布; 总体是否正态分布; 大样本还是小样本; 大样本还是小样本; 总体方差已知还是未知 未知. 总体方差已知还是未知.
1比 0 大还是小
单侧检验(单尾) 强调某一方向性的检验. 单侧检验(单尾):强调某一方向性的检验.
H 0 : 1 ≥ 0 左侧检验 H 1 : 1 < 0 H 0 : 1 ≤ 右侧检验 H 1 : 1 >
假设检验中的单侧检验示意图
拒绝域
拒绝域
(a)右侧检验
(b)左侧检验
(3)Z的分布:Z～N(0,1) 的分布: ～ 的分布 (4)对给定的α =0.05确定临界值.因为是双侧备择假设所以 对给定的 确定临界值. 确定临界值 查表时要注意.因概率表是按双侧排列的,所以应查1-0.05 查表时要注意.因概率表是按双侧排列的,所以应查 的值, =0.95的值,查得临界值 Z1α / 2=1.96. 的值 . (5)检验准则.|Z|<1.96,接受 0,反之,拒绝 0. 检验准则. 检验准则 ,接受H 反之,拒绝H (6)决策:因Z=1.67<1.96;落在了接受域,因此认为今年 决策: 决策 = < ;落在了接受域,因此认为今年7 岁男孩平均身高与历年7岁男孩平均身高无显著差异 岁男孩平均身高无显著差异, 岁男孩平均身高与历年 岁男孩平均身高无显著差异,即不能 拒绝零假设. 拒绝零假设.
7.1.2 假设检验的一些基本概念
3.显著性水平 显著性水平 用样本推断H 是否正确,必有犯错误的可能. 用样本推断 0是否正确,必有犯错误的可能. 原假设H 正确,而被我们拒绝,犯这种错误的概率用α表示. 原假设 0正确,而被我们拒绝,犯这种错误的概率用α表示. 称为假设检验中的显著性水平 显著性水平( 把α称为假设检验中的显著性水平 Significant level), 即决 策中的风险. 策中的风险. 显著性水平就是指当原假设正确时人们却把它拒绝了的概率 显著性水平就是指当原假设正确时人们却把它拒绝了的概率 或风险. 或风险. 通常取α 那么, 通常取α=0.05或α=0.01或α=0.001, 那么 接受原假设时正 或 或 确的可能性(概率 为:95%, 99%, 99.9%. 确的可能性 概率)为 . 概率
X 解:从题意可知, =1.36米, 0=1. 32米, =0.12米. 从题意可知, 米 米 σ 米 (1)建立假设:H0: =1.32,H1: ≠ 1.32 建立假设: 建立假设 , (2)确定统计量: 确定统计量: 确定统计量
X 1.36 1.32 = = 1.67 Z= σ / n 0.12 / 25
α与β
(3)要想减少α与β,一个方法就是要增大样本容量 . 要想减少α 一个方法就是要增大样本容量n. 要想减少 一个方法就是要增大样本容量
σ σ
若增大 n ,在样本平均数的分布 变小,
X ～ N ( ,
2
2
σ
n
)中,
n
就会
变小,则分布就瘦长,
从而减少了两种错误的
n 概率 α 与 β .
7.1.3 假设检验的步骤
+
2 σ2
~ N (0,1)
n2
[例7-4]由长期积累的资料知道,甲,乙两城市 岁男 例 由长期积累的资料知道, 乙两城市20岁男 由长期积累的资料知道 青年的体重都服从正态分布,并且标准差分别为14.2公斤和 青年的体重都服从正态分布,并且标准差分别为 公斤和 10.5公斤,现从甲,乙两城市各随机抽取 名20岁男青年, 公斤, 岁男青年, 公斤 现从甲,乙两城市各随机抽取27名 岁男青年 则测得平均体重分别为65.4公斤和 公斤和54.7公斤,问甲,乙两城 公斤, 则测得平均体重分别为 公斤和 公斤 问甲, 岁男青年平均体重有无显著差异( 市20岁男青年平均体重有无显著差异 α = 0.05)? 岁男青年平均体重有无显著差异 解:从题意可知,1 = 65.4 公斤,σ 1=14.2公斤,X 2= 54.7公 公斤, 公斤, 从题意可知, 公斤 公 X σ 公斤; 斤, 2=10.5公斤; 1 = n2 = 27 . 公斤 n (I)建立假设:H0: 1 = 2 , 建立假设: 建立假设 H1: 1 ≠ 2 . :
7.1.2 假设检验的一些基本概念
1.原假设和备择假设 原假设和备择假设 原假设: 表示, 原假设:用H0表示,即虚无假设,零假设,无差异假设; 表示 即虚无假设,零假设,无差异假设; 备择假设: 表示, 备择假设:用H1表示,是原假设被拒绝后替换的假设. 表示 是原假设被拒绝后替换的假设. 若证明为H0为真, 为假; 为假, 为真. 若证明为 为真,则H1为假; H0为假,则H1为真. 为真 为假 为假 为真 对于任何一个假设检验问题所有可能的结果都应包含在两 对于任何一个假设检验问题所有可能的结果都应包含在两 所有可能的结果都应包含在 个假设之内,非此即彼. 个假设之内,非此即彼. 之内
1,建立原假设和备择假设; ,建立原假设和备择假设 2,确定适当的检验统计量 ,确定适当的检验统计量; 3,指定检验中的显著性水平 ,指定检验中的显著性水平; 4,利用显著性水平根据检验统计量的值建立拒绝原假设的规则 ,利用显著性水平根据检验统计量的值建立拒绝原假设的规则; 5,搜集样本数据 计算检验统计量的值 计算检验统计量的值; ,搜集样本数据,计算检验统计量的值 6,作出统计决策 两种方法 两种方法) ,作出统计决策:(两种方法 (1) 将检验统计量的值与拒绝规则所指定的临界值相比较 确定是 将检验统计量的值与拒绝规则所指定的临界值相比较,确定是 否拒绝原假设; 否拒绝原假设 (2)由步骤 的检验统计量计算 值,利用 值确定是否拒绝原假设. 由步骤5的检验统计量计算 利用p值确定是否拒绝原假设 由步骤 的检验统计量计算p值 利用 值确定是否拒绝原假设.
