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解答
(1)建立检验假设
H0 : 62 H1 : 62 (2)0 62, 0 10.2, X 68, n 90, Z X 0 68 62 5.58
0 n 10.2 / 90 (3)由已给出的显著性水平 0.05,查表得到Z 2 1.96
假设检验中各种可能结果的概率
H0为真 H0为伪
接受H0
拒绝H0，接受H1
1－(正确决策) (弃真错误)
(取伪错误) 1- (正确决策)
2. 总体均值的显著性检验
2.1 总体正态且总体方差己知
已知样本x1, x2, xn来自正态总体X ~ N 0, 2 ,
其均值与总体均值0是否有显著差异？ Z检验
• 虚无假设 H0 null hypothesis
– 又叫零假设 zero hypothesis，原假设，与研究假 设对立的假设，一般假设差异不显著
• H1：1 0 • Z检验
• 取=0.05
• 接受H0：X 0 1.96 0
拒绝H0：X 0 1.96 0
或Z 1.96,或Z 1.96
t0.05(n) 2.042 2.009 1.984 1.976 1.972 1.965 1.962 1.960
t0.01(n) 2.750 2.678 2.626 2.609 2.601 2.586 2.581 2.577
小结
¼Ù Éè
× Ü Ìå Õý ̬ £¬ · ½ ²î 2 ÒÑ × Ü Ìå Õý ̬ £¬ · ½ ²î 2 δ Öª £¬
(
2
,
2 2
n2
)
D X
X
1
X
的分布
2
仍为
正态分
布，
D
X
＝1
，不同
2
条
件下
标
准误
公式不
同
3.1.1 总体方差已知，独立样本
X，Y独立，则
2 (X
Y
)
2 X
2 Y
,
X
与
1
X
独
2
立
时,
2 D
X
SED2 X
SE2 X1
SE2 X2
2 1
Öª £¬ Z ¼ì Ñé
t ¼ì Ñé
H0
H1
ÁÙ ½ç Öµ ¾Ü ¾ø H0 ÁÙ ½ç Öµ
¾Ü ¾ø H0
Ë« ²à ¼ì Ñé µ¥ ²à ¼ì Ñé
= 0
¡Ù 0 Z/2
¡Ü 0 > 0
Z
|Z| > Z/2 Z > Z
t/2(n-1) t(n-1)
|t| > t/2(n-1) t > t(n-1)
S
2 p
(n1
1)S12 (n2 1)S22 n1 n2 2
,
SEDX
S
2 p
1 n1
1 n2
,
t
X1 X2 SEDX
~ tn1 n2
2
• 例：某校进行一项智力速度测验，共有19 名学生参加，其中男生12人，女生7人。测 验共200道题目，在规定时间里，答对一题 记1分，测验结束后，得到以下的测验成绩
n1
2 2
,
n2
SEDX
2 1
2 2
,
n1 n2
则Z ( X1 X 2 ) (1 2 )
SEDX
当H 0
: 1
2假设成立时，Z
X1 X2 SEDX
X1 X2
2 1
2 2
n1 n2
• 例： 某地区的六岁儿童中随机抽取男生30 人，其平均身高为114cm，抽取女生27人， 平均身高112.5cm。根据以往资料，该区六 岁男女儿童身高的标准差男童为5cm，女童 为6.5cm，问该区六岁男女儿童身高有无显 著差异? (=0.05)
例子：
• 学生的学习成绩与教师的教学方法有关。 某校一教师采用了一种他认为新式有效的 教学方法。经过一学年的教学后，从该教 师所教班级中随机抽取了6名学生的考试成 绩，分别为48.5, 49.0, 53.5, 49.5, 56.0, 52.5, 而在该学年考试中，全年级的总平均分数 为52.0，试分析采用这种教学方法与未采用 新教学方法的学生成绩有无显著的差异 （已知考试成绩服从正态分布，取=0.05）
(4)显然 Z 5.58 1.96,即拒绝原假设H0 可以认为该校的学生考试成绩与全市的平均成绩有 显著差异。
2.2总体正态但总体方差未知
已知样本x1, x2, xn来自正态总体X ~ N 0, 2 ,
问样本均值与总体均值之间是否有显著差异？ t检验
1 建立假设
H0 : 0 H1 : 0
t分布的特点: (1)对称。左侧为负,右侧为正,均值为0; (2)-<t<+; (3)n 时, t分布为正态分布,方差为1;
n-1>30时, t分布为接近正态分布,方差>1, n-1<30时, t分布与正态分布相差较大,随n-1减小方差越大
n>45时, t分布与正态分布没有多大差异 在小样本n<30时, t分布具有重要作用。
2
接
受
假
设H
，两
0
种
教
学方法无
显
著差异
Z检验和t检验
• 两种检验的前提之一
– 总体正态分布
• 当n≥50时，两种检验的临界值差不多相等， 即 Z/2 t/2 (n) (Z0.05/2 1.960, Z0.01/2 2.576
n
30 50 100 150 200 500 1000 5000
假设检验
本章基本内容
• 假设检验的基本原理和步骤
– 虚无假设和备择假设 – 错误和错误 – 单侧检验和双侧检验
• 差异的显著性检验
– 均值 – 方差 – 比例、相关系数
1.1 假设检验和参数估计
• 参数估计
– 用样本统计量估计总体参数
• 假设检验
– 先对总体参数提出一个假设，然后利用样本信 息检验这个假设是否成立
3.2两总体方差未知
3.2.1 两总体方差相等独立样本
D ＝X X
1－X
的
2
标准误为SED
X
＝
2 1
2 2
,
n1 n2
两总体方差相等
12＝
22＝
2 0
SEDX ＝
2 1
2 2
＝
n1 n2
2 0
1 n1
1 n2
,
02未知, 用S12和S22的加权平均代替,
2
X i X 445.82,
S22
17 7 1 i1
Yi
Y
2
425.33,
由于S12和S22差不多，可以认为方差相等,
t
120 101
1.91
12 1445.82 7 1425.33 1 1
解：
X 51.5，S 2.98, (1)建立假设
H0 : 0
H1 : 0
(2)t X 0 51.5 52.0 0.41
S n 2.98 6
(3)临界值t (5) 2.571
2
(4) t 0.41 0.41 2.571 t (5)
2 计算统计量 t X 0
Sn
3 查临界值t n 1
2
4若
t
t
,
拒绝H
，
0
t t , 接受H0
2
2
T统计量的分布 设X1，X2，…,Xn是来自正态总体N(,2)的一个样本,
X
1 n
n i 1
Xi,S2
1 n 1
n
(Xi
i 1
X )2,
称 T n( X ) 为T统计量,它服从自由度为n-1
– 男生12人：83、146、119、104、120、161、 134、115、129、99、123
– 女生7人：70、118、101、85、107、132、94试 确定男、女生的平均成绩有无显著的差异（取 ＝0.05）
解: X
120,Y
101, S12
1 12 1
12 i 1
Sn
3. 两总体均值差异的显著性检验 3.1 两总体方差已知
两个正态总体,均值为1, 2 ,两个样本均值为X1, X 2, 由X1 X 2的差异验证1 2的差异。
如果两个总体方差已知：
X X
1～N
(
1,
2 1
)
2～N
(
2
,
2 2
)
X1
~
N (1,
2 1
n1
)
X2
~
N
• 某校一个班进行比奈智力测验，X=110，班 级人数n=50，该测验常模0=100，0=16。 该班智力水平1（不是这一次测验结果） 是否与常模水平有差异?
研究假设和虚无假设
• 研究假设 H1 research hypothesis
– 又叫备择假设 alternative hypothesis，指待验证的 假设，一般假设差异显著
