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第五章 微扰理论本章介绍：在量子力学中，由于体系的哈密顿算符往往比较复杂，薛定谔方程能严格求解的情况不多（一维谐振子，氢原子）。
因此，引入各种近似方法就显得非常重要，常用的近似方法有微扰论，变分法，WKB （半经典近似），Hatree-Fock 自恰场近似等。
本章将介绍微扰论和变分法。
本章将先讨论定态微扰论和变分法，然后再讨论含时微扰以及光的发射和吸收等问题。
§5.1 非简并定态微扰论 §5.2 简并定态微扰论§5.3 氢原子的一级Stark 效应§5.4 变分法§5.5 氦原子基态§5.6 含时微扰§5.7 跃迁几率和黄金费米规则§5.8 光的发射与吸收§5.9 选择定则附录： 氦原子基态计算过程非简并定态微扰论本节将讨论体系受到外界与时间无关的微小扰动时，它的能量和波函数所发生的变化。
假设体系的哈密顿量不显含时间，能量的本征方程ˆH E ψψ= 满足下列条件： ˆH 可分解为 0ˆH 和 ˆH '两部分，而且 0ˆH 远大于ˆH'。
00ˆˆˆˆˆ H H H H H ''=+ 0ˆH 的本征值和本征函数已经求出，即 0ˆH 的本征方程(0)(0)(00ˆn n n H E ψψ=中，能级(0)n E 和波函数(0)n ψ都是已知的。
微扰论的任务就是从0ˆH 的本征值和本征函数出发，近似求出经过微扰ˆH ' 后，ˆH 的本征值和本征函数。
3. 0ˆH 的能级无简并。
严格来说，是要求通过微扰论来计算它的修正的那个能级无简并的。
例如我们要通过微扰计算ˆH '对 0ˆH 的第n 个能级(0)n E 的修正，就要求(0)nE 无简并，它相应的波函数只有(0)n ψ一个。
其他能级既可以是简并的，也可以是无简并的。
4. 0H 的能级组成分离谱。
严格说来，是要求通过微扰来计算它的修正的那个能级(0)n E 处于分离谱内，(0)n ψ是束缚态。
微扰简并一级二级公式微扰理论是量子力学的基本理论之一，用于描述在存在微弱外场扰动时量子系统的变化。
在微扰理论中，有两个重要的概念：简并和微扰。
简并是指系统在没有外场时存在多个具有相同能量的态，而微扰是指一个小的外场或势能对系统的影响。
微扰理论的目标是计算简并一级和二级能量修正。
简并一级能量修正是指精确到一阶微扰的能量修正，而简并二级能量修正是指精确到二阶微扰的能量修正。
在计算简并一级和二级能量修正时，我们需要通过微扰理论中的一些重要公式进行计算。
首先，考虑一个简并的量子态，我们用，n>表示这个态，E_n表示其能量。
在没有微扰时，简并态之间的能量差为零，即E_n-E_m=0，其中n 和m都表示简并态的标号。
微扰理论中一个重要的基本公式是微扰哈密顿量的矩阵元公式。
对于一个微弱的外场H'，微扰哈密顿量的矩阵元可以表示为：<H'，H'，n>=<n，H'，n>+Σ<n，H'，m><m，H'，n>/(E_n-E_m)其中，<H'，H'，n>表示微扰哈密顿量H'在简并态，n>上的期望值，<n，H'，n>表示一级能量修正项，第二项Σ<n，H'，m><m，H'，n>/(E_n-E_m)表示二级能量修正项。
对于简并一级能量修正的计算，我们可以用以下公式进行计算：ΔE_n^(1)=<n，H'，n>其中，ΔE_n^(1)表示简并一级能量修正项，<n，H'，n>表示微扰哈密顿量在简并态，n>上的期望值。
对于简并二级能量修正的计算，我们可以用以下公式进行计算：ΔE_n^(2)=Σ<n，H'，m><m，H'，n>/(E_n-E_m)其中，ΔE_n^(2)表示简并二级能量修正项，<n，H'，m><m，H'，n>表示微扰哈密顿量在简并态，n>和，m>之间的矩阵元，而E_n和E_m分别表示态，n>和，m>的能量。
微扰简并一级二级公式微扰理论是量子力学中处理哈密顿量微小修正的一种方法。
在一些情况下，系统的哈密顿量可能会包含简并态，即存在具有相同能量的多个态。
微扰理论提供了一种处理这种简并的方法，通过引入微小的扰动来破坏简并性，使其能够得到更精确的处理。
一级微扰理论假设系统的哈密顿量可以写成两个部分的和：H=H0+V，其中H0是已知的简并哈密顿量，V是微小的扰动。
我们希望求解含有扰动的哈密顿量的本征值和本征态。
首先，我们可以用未扰动哈密顿量的本征态，n>来展开含有扰动哈密顿量的本征态，ψ>，即，ψ>=Σc(n)，n>，其中c(n)是展开系数。
然后，我们将含有扰动的哈密顿量作用在展开系数上，得到近似的能量E和系数c(n)的关系。
在一级微扰理论中，我们只考虑V的线性项，即：E(c(n)) = En(0) + Σ[V(nm)/[En(0) - Em(0)]]c(m)，其中En(0)和Em(0)分别是未扰动哈密顿量的第n个和第m个本征态的能量，V(nm)是扰动哈密顿量在第n个和第m个本征态之间的矩阵元。
一级微扰理论的本征能量和本征态可以通过迭代计算得到。
首先，我们可以通过简并微扰定理来估计被破坏简并的能级之间的能量差。
然后，我们可以用这个能量差来修正本征能量，并利用修正后的能量计算展开系数c(n)。
最后，我们可以将修正后的能量和展开系数代入能量和系数的关系式中，再次计算得到更精确的结果。
这个过程可以进行多次，直到达到所需的精度。
二级微扰理论在一级微扰理论中，我们只考虑了V的线性项对能量和系数的影响。
然而，在一些情况下，线性项的修正可能不够准确，此时可以使用二级微扰理论考虑二次项的修正。
二级微扰理论的计算过程类似于一级微扰理论，但是在能量和系数的关系式中添加二次项的修正。
能量修正项为：E(c(n)) = En(0) +Σ[V(nm)/[En(0) - Em(0)]]c(m) + Σ[V(nm)(V(mk)/[[En(0) -Em(0)][En(0) - Ek(0)]]]c(k)。
第17讲 第五章 微扰理论§5.2 简并情况下的定态微扰论氢原子的一级斯塔克效应(简并微扰理论的应用举例)。
氢原子第n 个能级n E 的简并度为2n ，当加入外电场后，能级发生分裂现象，这现象称为氢原子的斯塔克(Stark)效应。
一级斯塔克效应即考虑能级一级修正的Stark 效应，这时简并部分被消除。
本节以第二个能级［即第一激发态］为例。
1. 系统特征当n=2时，()02s224s 028e 22e E a -=-= μ，2s 20e μ =a 为第一玻尔轨道半径，简并度为4n 2=。
这时：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∇-=r e 2H ˆ2s 220μ （32-9） θr e εr ε e Hcos ˆ=⋅=' （32-10） （H ˆ'为氢原子中电子e 处于外电场ε中的势能，即 e -q H ˆ⋅=⋅='εε，设匀强外电场ε 的方向沿oz 方向，以r表示电子的位矢量。
取球坐标系，则θεεcos r r =⋅)()02E 对应的4个简并态如下：()()ϕθψφ，00202001Y r R == ()()ϕθψφ，10212102Y r R == ()()ϕθψφ，11212113Y r R == ()()ϕθψφ，11211214Y r R --== （具体形式见课本）2. 微扰矩阵元为了解久期方程，求能量的一级修正，须先求n m H '。
从⎰⎰⎰⎰='='ϕθθθφεφτφφd drd sin r rcos e d H ˆH 2n *mn *m n m ，其中对θ的积分为⎰πθθθφφ0n *m d cos sin ，可看出，除了2112H H '='外，其余矩阵元为零。
例如0cos 41d sin cos H 04322=-=∝'⎰ππθθθθ，=∝'⎰πθθθθ031d cos sin sin H 0sin 31dsin sin 032==⎰ππθθθ等等。
第七章：粒子在电磁场中的运动[1]证明在磁场B中，带电粒子的速度算符的各分量，满足下述的对易关系：[]zy x cq i v v B ˆ,2μ= （1） []xz y cq i v v B ˆ,2μ= （2） []y xz cq i v v B ˆ,2μ= （3） [证明]根据正则方程组：x x p H x v ∂∂== ˆ ，Φ+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=q A c qp H 221ˆ μ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x A c q p vˆˆ1ˆμ 同理 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y y y A c q p v ˆˆ1ˆμ ()z y x p p p pˆ,ˆ,ˆˆ 是正则动量，不等于机械动量，将所得结果代入（1）的等号左方： []⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=y y x xyxA c q p A c q p v v ˆˆ,ˆˆ1,2μ =[][][][]y x y x y x y x A A cq p A c q A p c qp pˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆ122222μμμμ+-- （4） 正则动量与梯度算符相对应，即∇=ipˆ ，因此 []0ˆ,ˆ=y x p p又A ˆ仅与点的座标有关[]0ˆ,ˆ=yxA A[]z x y x y yxB c iq y A x A i c q x i A c q A x i c q v v 2222,,,μμμμ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-= （因A B ⨯∇=ˆˆ）其余二式依轮换对称写出。
[2]利用上述对易式，求出均匀磁场中，带电粒子能量的本征值（取磁场方向为Z 轴方向） （解）设磁场沿Z 轴方向，B B B B z y x ===00矢势A ˆ 的一种可能情形是022=-=-=z y x A x B A y BA在本题的情形，哈密顿算符是：（前题）{})2(2)1(2221ˆ222222z y x z y x v v v p x c qB p y c qB p H ++=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=μμ速度算符间的对易式是：()()())5(0,)4(0,)3(,2===x z zyyxv v v v B ci q v v μ 根据（54⨯），z v 分别和x v ，y v 对易，因此z v 与22yx v v +对易，而： ()2212ˆyx v v H +=μ 与22ˆ2ˆx v H μ=有共同的本征函数，H ˆ的本征值是21ˆ,ˆH H 本征值之和。
第17讲 第五章 微扰理论
§5.2 简并情况下的定态微扰论—简并微扰理论
零级近似波函数的确定和能级的一级修正
()()∑==k
1i i 0i 0n
C φψ (32-2) 代入()()()()()()
()00101n n n n ˆˆH E E H 'ψψ-=- (31-8b )
式就可以确定()
0i C ，并求出()1n E 。
即求出波函数的零级近似()
0n ψ和能量一级修正()1n E 。
具体计算如下： 把(32-2)式代入()()()()()()()0110
ˆˆn
n
n
n
H E E H ψψ'-=-（31-8b ）
得：
()()()()()()()∑∑=='-=-k
i i
i
k
i i
i
n
n
n
H C C E ψE H 1
1
110
ˆˆφφ （32-3）
以*i φ左乘上式两边并对整个空间积分，得：
()()()
()()()()∑⎰∑⎰⎰=='-=-k
1
i i *0i k 1i i *0i 1n 1n 0n 0*d H ˆC d C E d E H ˆτφφτφφτψφ
左边=()()(
)[]
()0d E H ˆ1n *0n 0=-⎰τψφ (利用厄米算符的定义式)
定义
⎰
'='i
i *H d H ˆ
τφφ (微扰矩阵元) (32-5) 则 ()(
)
()0C E H k
1
i 0i i 1n i =-'∑
= δ( =1，2，3，…，k ) (32-4)
上式是关于()0i C (i =1,2,3…,k )的齐次线性方程组，它有非零
解（()0i C 不全为0的解）的充要条件为(零解时()00n =ψ，无意义)：
()()
()0
1212
12221112111=-''''-''''-')
E H (H H H )E H (H H H )E H (n kk k k k n k
n
(32-7)
这是数学中关于方阵k k ]H [H ⨯'='ij 的特征方程，量子力学中称
为久期方程，由(32-7)式求出的特征根()1n E (k 个)就是能量的一级修正。
因为=n E ()0n E () ++1n
E ，故若()1n E 的k 个值不相等，则一级修正可使n E 的k 度简并完全消除；若()
1n E 中有若干个重根，则一级修正只能使k 度简并部分消除，必须进一步考虑
能量的二级修正，才有可能使简并完全消除。
把各个()1n E 代入(32-4)式，解出相应的H '的特征矢量
()()()()()0k
03
02
1
C C C C ，，。
再代回(32-2)式就可得到每一个
()()1n 0n n E E E +=所对应的零级近似波函数()0n ψ。
