精解三角函数的周期性
一、正弦函数的周期
三角函数，以正弦函数y = sin x为代表，是典型的周期函数.
幂函数y = xα 无周期性，指数函数y = a x无周期性，对数函数y =log a x 无周期，
一次函数y = kx+b、二次函数y = ax2+bx+c、三次函数y = ax3+bx2 + cx+d
无周期性.
周期性是三角函数独有的特性.
1、正弦函数y=sin x的最小正周期
在单位圆中，设任意角α的正弦线为有向线
段MP.
正弦函数的周期性
动点P每旋转一周，正弦线MP的即时位置
和变化方向重现一次.
同时还看到，当P的旋转量不到一周时，正
弦线的即时位置包括变化方向不会重现.
因此，正弦函数y=sin x的最小正周期2π.
2、y=sin（ωx）的最小正周期
设ω>0，y =sin（ωx）的最小正周期设为L .
按定义y= sin ω（x+L）= sin（ωx+ ωL）= sinωx .
令ωx = x则有sin （x+ ωL）= sin x
因为sin x最小正周期是2π，所以有
例如sin2x的最小正周期为
sin的最小正周期为
3、正弦函数y=sin（ωx+φ）的周期性
对正弦函数sin x的自变量作“一次替代”后，成形式y = sin （ωx+φ）.
它的最小正周期与y = sinωx的最小正周期相同，都是.
如的最小周期与y = sin（3x）相同，都是.
于是，余弦函数的最小正周期与sin x的
最小正周期相同，都是2π.
二、复合函数的周期性
将正弦函数y = sin x进行周期变换x→ωx，sin x→sinωx
后者周期变为
而在以下的各种变换中，如
（1）初相变换sinωx→si n（ωx+φ）；
（2）振幅变换sin（ωx+φ）→A sin（ωx+φ）；
（3）纵移变换A si n（ωx+φ）→A si n（ωx+φ）+m；
后者周期都不变，亦即A si n（ωx+φ）+m与si n（ωx）的周期相同，都是
.
而对复合函数f（sin x）的周期性，由具体问题确定.
1、复合函数f（sin x）的周期性
【例题】研究以下函数的周期性：
（1）2 sin x；（2）
（2）的定义域为［2kπ，2kπ+π］，值域为［0，1］，作图可知，它是最小正周期为
2π的周期函数.
【解答】（1）2sin x的定义域为R，值域为，作图可知，它是最小正
周期为2π的周期函数.
【说明】从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，还可确定，log a
x，sin x，，
sin（sin x）都是最小正周期2π的周期函数.
2、y= sin3x的周期性
对于y = sin3x =(sin x)3，L=2π肯定是它的周期，但它是否还有更小的周期呢？
我们可以通过作图判断，分别列表作图如下.
图上看到，y = sin3x没有比2π更小的周期，故最小正周期为2π.
3、y= sin2x的周期性
对于y = sin2x = (sin x)2，L=2π肯定是它的周期，但它的最小正周期是否为2π？
可以通过作图判定，分别列表作图如下.
图上看到，y = sin2x的最小正周期为π，不是2π.
4、sin2n x和sin2n-1x的周期性
y = sin2x的最小正周期为π，还可通过另外一种复合方式得到.
因为cos2x的周期是π，故sin2x的周期也是π.
sin2x的周期，由cos x的2π变为sin2x的π. 就是因为符号法“负负得正”所致.
因此，正弦函数sin x的幂符合函数sin m x，当m=2n时，sin m x的最小正周期为π；m = 2n–1时，
sin m x的最小正周期是2π.
5、幂复合函数举例
【例1】求y =|sin x|的最小正周期.
【解答】最小正周期为π.
【例2】求的最小正周期.
【解答】最小正周期为2π.
【例3】求的最小正周期.
【解答】最小正周期为π.
【说明】正弦函数sin x的幂复合函数.
当q为奇数时，周期为2π；q为偶数时，周期为π.
三、周期函数的和函数
两个周期函数，如sin x和cos x，它们最小正周期相同，都是
2π. 那么它们的和函数，
即si nx + cos x的最小正周期如何？
和函数的周期与原有函数的周期保持不变. 这个结论符合一般情况.
对于另一种情况，当相加的两个函数的最小正周期不相同，情况将
会如何？
1、函数sin x + sin2 x的周期性
sin x的最小正周期为2π，sin2x的最小正周期是π，它们之间谁依谁，或依赖一个第三者？
列表如下.
表上看到函数sin x+sin2x的最小正周期是2π.
2、函数sin x + sin2x的周期性
依据上表，作sin x+sin2x的图像如右.
从图上看到，函数的最小正周期为2π. 由si nx，
sin2x的最小正周期中的大者决定，因为前者是后
者的2倍.从图上看到，sin x+sin2x仍然是个“振动
函数”，但振幅已经不是常数了.
3、函数sin x+sin x的周期性
sin x的最小正周期为2π，sin x的最小正周期是3π.
们之间的和sin x + sin x的最小正周期也由“较大的”决定吗？即“和函数”的周期为3π吗？
不妨按周期定义进行检验. 设
则x0+3π=
因此3π不是sin x + sin x的最小正周期.
通过作图、直观看到，sin x+sin x的最小正周期为6π，即sin x和sin x最小正周期的最小倍数.
特别解析：三角函数周期的几种求法 1．定义法： 定义：一般地对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，ｆ（x ＋T ）＝ｆ（x ）都成立，那么就把函数ｙ＝ｆ(ｘ)叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小正周期。 例1．求函数y=3sin （3 32π+x ）的周期 解：∵y=f （x ）=3sin （3 32π+x ）=3sin （332π+x +2π） =3sin （3232ππ++x ）=3sin[3 )3(32ππ++x ] = f （x+3π） 这就是说，当自变量由x 增加到x +3π，且必增加到x +3π时，函数值重复出现。 ∴函数y=3sin （ 332π+x ）的周期是T=3π。 例2：求f （x ）=sin 6x+cos 6x 的周期 解∵f （x+ 2π）= sin 6（x+2π）+ cos 6（x+2 π）= cos 6x +sin 6x= f （x ） ∴f （x ）=sin 6x+cos 6x 的周期为T=2 π 例3：求f （x ）=x x x x 3cos cos 3sin sin ++的周期 解：∵f （x+π）=)cos()cos()(3sin )sin(ππππ++++++x x x x =x cox x x 3cos 3sin sin ---- = x x x x 3cos cos 3sin sin ++= f （x ） ∴求f （x ）=x x x x 3cos cos 3sin sin ++的周期：T=π
三角函数公式大全 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) = tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A = A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3 π +a)·tan( 3 π -a) 半角公式 sin( 2A )= 2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )= A A sin cos 1-=A A cos 1sin +
sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2 b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2 b a +sin 2 b a - tana+tanb= b a b a cos cos ) sin(+ 积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2 π -a) = cosa cos(2 π -a) = sina sin(2 π +a) = cosa cos( 2 π +a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina c os(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin
三角函数的公式 一、扇形的公式 若扇形的圆心角为a （a 为弧度制），半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l=______________;C=___________________;S=________________ 二、三角函数的定义 （1）设a 是一个任意大小的角，a 的终边上任意一点R 的坐标是（x, y ），它与原点的距离是 r,则sin a=_________;cosa =________;tana=____________. （2）设a 是一个任意大小的角，a 的终边与单位圆的交点R 的坐标是（x, y ），它与原点的距 离是r,则sin a=_________;cosa =________;tana=____________. 三、 同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin α cos α ＝tan α. 四、诱导公式 诱导公式（一） tan )2tan(cos )2(cos sin )2sin(ααπααπααπ=+=+=+k k k 诱导公式（二） )tan()cos( sin )sin(=+= +-=+απαπααπ 诱导公式（三） )tan(cos )cos( )sin(=-=-=-αα αα 诱导公式（四） tan )tan()cos( )sin(ααπαπαπ-=-=-=-
诱导公式（五） =-=-)2 cos( cos )2sin( απ ααπ 诱导公式（六） =+=+)2 cos( cos )2sin(απ ααπ 【方法点拨】 把α看作锐角 前四组诱导公式可以概括为：函数名不变，符号看象限 符号。 看成锐角时原函数值的前面加上一个把三角函数值，的同名的三角函数值，等于它ααπαπααπ ,, , ),Z (2-+-∈+k k 公式（五）和公式（六）总结为一句话：函数名改变，符号看象限 口诀： 变 不变，符号看象限 五：求特殊角的三角函数值 特殊角的三角函数值 1、,0sin tan >θθ则θ在 ( )
三角函数·函数的周期性 教学目标 1．使学生理解函数周期性的概念，并运用它来判断一些简单、常见的三角函数的周期性． 2．使学生掌握简单三角函数的周期的求法． 3．培养学生根据定义进行推理的逻辑思维能力，提高学生的判断能力和论证能力． 教学重点与难点 函数周期性的概念． 教学过程设计 师：上节课我们学习了利用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象．今天我们将利用正弦函数图象，研究三角函数的一个重要性质．请同学们观察y=sinx，x ∈R的图象： （老师把图画在黑板左上方．） 师：通过观察，同学们有什么发现？ 生：正弦函数的定义域是全体实数，值域是［-1，1］．图象有规律地不断重复出现． 师：规律是什么？ 生：当自变量每隔2π时，函数值都相等．
师：正弦函数的这种性质叫周期性．我们将会发现，不但正弦函数具有这种性质，其它的三角函数和不少的函数也都具有这样的性质，因此我们就把它作为今天研究的课题：函数的周期性．（老师在黑板左上方写出课题） 师：我们先看函数周期性的定义．（老师板书） 定义对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期． 师：请同学们逐字逐句的阅读定义，找出定义中的要点． 生：首先T是非零常数，第二是自变量x取定义域内的每一个值时都有f （x+T）=f（x）． 师：找得准！那么为什么要这样规定呢？ 师：如果T=0，那么f（x+T）=f（x）恒成立，函数值当然不变，没有研究价值；如果T为变数，就失去了“周期”的意义了．“每一个值”的含义是无一例外． 师：除这两条外，定义中还有一个隐含的条件是什么？ 生：如果x属于y=f（x）的定义域，则T+x也应属于此定义域． 师：对．否则f（x+T）就没有意义． 师：函数周期性的定义有什么用途？ 生：它为我们提供判定函数是否具有周期性的理论依据． 师：下面我们看例题． （老师板书） 例1 证明y=sinx是周期函数． 生：因为由诱导公式有sin（x+2π）=sinx．所以2π是y=sinx是一个周期．故它就是周期函数． 例2
1.4.1三角函数的周期性 一、导学目标 1.引导学生从单位圆中，得出正弦、余弦函数值呈现周期性变化 2.函数周期性定义 3．能求三角函数的周期 二、知识回归 1.任意角的三角函数 sin y α= cos x α= 2.终边与α角相同 2απ+ 2απ- L L 2()k k Z απ+∈ 三角函数值相同 三、新知导学 由观察可知 1.三角函数值出现周期性变化的特点 sin(2)sin cos(2)cos x k x x k x ππ+=+= （k Z ∈） 2.函数定义 对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使定义域内每一个x ,都有()()f x T f x +=,则函数()f x 叫周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 3.正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =的周期 2,4,6,2,4,6,ππππππ---L L 2(,0)k k Z k π∈≠ 都是它们的周期 2π是所有周期中最小的正数，是sin ,cos x x 的最小的 正周期 周期函数()f x ，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，这个最小正数就是()f x 的最小正周期，一般，函数周期都是指最小正周期 sin ,cos y x y x ==的周期是T=2π 四、例题分析与巩固训练
(1)()sin 3f x x = 1(2)()2cos()23 g x x π=- 分析：由sin ,cos x x 周期都是2π，设周期T 即可 （1） 设()f x 周期为T ，()()f x T f x += ∴sin3()sin3x T x += sin(33)sin 3x T x += 32T π∴= 23 T π= （2） 设()g x 周期为T ()()g x T g x += 2cos()2cos()2323 x T x ππ+-=- 即2cos ()2cos()23223x T x ππ??- +=-???? 22 T π∴= 巩固训练 A 1. 求下列函数的周期 （1）2sin 2y x =- （2）cos 3 x y = 2.判断下列说法是否正确，并说明理由 （1）76x π=时，2sin()sin 3x x π+=，则23 π一定是函数sin y x =的周期 B 思考 sin()cos() y A x y A x ω?ω?=+=+ （其中,,A ω?为常数，0,0A ω≠>） 的周期为2T π ω= 例2 若钟摆高度()h mm 与时间()t s 之间的函数关系如图所示 （1） 求该函数的周期
高中常用三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 半角公式 sin(2A )=2 cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2π+a) = cosa
cos( 2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2 (tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 其它公式 a?sina+b?cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc= a b ] a?sin(a)-b?cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2 a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2 a )2 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）= sinα cos （2kπ＋α）= cosα tan （2kπ＋α）= tanα cot （2kπ＋α）= cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -sinα cos （π＋α）= -cosα tan （π＋α）= tanα cot （π＋α）= cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
三角函数经典解题方法与考点题型(教师) 1．最小正周期的确定。 例1 求函数y =s in (2co s|x |)的最小正周期。 【解】 首先，T =2π是函数的周期（事实上，因为co s(-x )=co s x ，所以cos |x |=co s x ）；其次，当且仅当x =k π+ 2 π 时，y =0（因为|2co s x |≤2<π）, 所以若最小正周期为T 0，则T 0=mπ, m∈N +，又s in (2co s0)=s in 2≠s in (2co sπ)，所以T 0=2π。 过手练习 1.下列函数中，周期为 2π 的是 （ ） A ．sin 2x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4 x y = D ．cos 4y x = 2.()cos 6f x x πω?? =- ?? ? 的最小正周期为 5 π ，其中0ω>，则ω= 3.（04全国）函数|2 sin |x y =的最小正周期是（ ）. 4.（1）（04北京）函数x x x f cos sin )(=的最小正周期是 . （2）（04江苏）函数)(1cos 22R x x y ∈+=的最小正周期为（ ）. 5.(09年广东文)函数1)4 (cos 22 -- =π x y 是 ( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为 2 π的奇函数 D. 最小正周期为2π 的偶函数 6.（浙江卷2）函数的最小正周期是 . 2．三角最值问题。 例2 已知函数y =s inx +x 2cos 1+，求函数的最大值与最小值。 【解法一】 令s inx =??? ??≤≤=+ππ θθ4304 sin 2cos 1,cos 22 x , 则有y =).4 sin(2sin 2cos 2π θθθ+ =+ 因为 ππ 4304≤≤，所以ππ θπ≤+≤4 2， 所以)4 sin(0π θ+≤≤1， 所以当πθ43=，即x =2k π-2 π (k ∈Z )时，y m in =0， 当4 π θ= ，即x =2k π+ 2 π (k ∈Z )时，y m ax =2. 2 (sin cos )1y x x =++
1 1、角 ：（1）、正角、负角、零角：逆时针方向旋转正角，顺时针方向旋转负角，不做任何旋转零角； 2）、与 终边相同的角，连同角 在内，都可以表示为集合 { | k 360 ,k Z } （ 3）、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限， 就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限。 2、弧度制 ：（ 1）、定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。 2）、度数与弧度数的换算： 180 弧度， 1 弧度 (180) 57 18 3）、弧长公式： l | |r 是角的弧度数） x 2 P (x 0 y y ) 2 y sin cos y r x r tan cot y x x y sec csc r x r y + y + y + y + O x O x + O + x （3）、 特殊角的三角函数值 sin cos tan 的角度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 的弧度 0 2 3 5 3 2 6 4 3 2 3 4 6 2 sin 1 2 3 1 3 2 1 0 10 2 2 2 2 2 2 cos 1 3 2 1 0 1 2 3 1 01 2 2 2 2 2 2 tan 3 1 3 3 1 3 0 —0 3 3 扇形面积： 0 x 各象限的符号： 3、三角函数 2）、 4式 １）平方关系： ２）商数关系： 倒数关 系： ３） S 1lr 2 （1）、定 义： 2| |r 2 如图) sin 2 cos 2 1 tan sin tan cot cos 1 tan 2 2 sec cot cos sin sin csc 1 cot 2 2 csc cos sec cot 4）同角三角函数的常见变 形： 活用 1” ) ①、 sin 2 2 cos sin 1 cos 2 2 cos 2 sin cos 1 sin 2 ； ② tan cot cos 2 sin 2 sin cos sin2 2 ， cot tan cos 2 sin 2 sin cos 2cos2 2cot2 sin2
如何用初等方法求三角函数的最小正周期 在三角函数中，求最小正周期是一个重要内容，有关求三角函数最小正周期的问题，供大家参考。 一 公式法 函数f(x)＝Asin(ωx+φ)和f(x)=Acos(ωx+φ)(A ≠0,ω＞0）的最小正周期都是ω π2；函数f(x)＝Atan(ωx+φ)和f(x)=Acot(ωx+φ)(A ≠0,ω＞0）的最小正周期都是ω y=Af(ωx+φ)(A ≠0,ω＞0）一类三角函数的最小正周期（这里“f ”表示正弦、余弦、正切或余切函数）。 例1 求下列函数的最小正周期： （1） f(x)＝2sin （53πx ＋1）。 （2） f(x)＝1-31cos(4x 3π-）。 （3） f(x)＝51tan(31x 3 π-). f(x)＝)6 2cot(21π--x 解：用T 表示各函数的最小正周期，则： （1）T=5 32ππ =310 T=42π=2 π T=3 1 π=3π f(x ）的最小正周期和y 1=1－2cot(2x －6π)的最小正周期相同，为T=2 π 二 定义法 根据周期函数和最小正周期的定义，确定所给函数的最小正周期。 例2 求函数f(x)＝2sin （21x －6 π）的最小正周期。 解：把2 1x －6 π看成是一个新的变量z,那么2sinz 的最小正周期是2π。由于z ＋2π＝21x-6π=(21x ＋4π)-6π。所以当自变量x 增加到x ＋4π且必须增加到x ＋4π时，函数值重复出现。 ∴函数y=2sin(21x-6 π)的最小正周期是4π。 例3 求函数f(x)＝|sinx|－|cosx|的最小正周期。
解：根据周期函数的定义，易知2π、π都是这个的周期，下面证明π是这个函数的最小正周期。 设0＜T ＜π是这个函数的周期，则|sin(x ＋T )|－|cos(x ＋T )|=|sinx|－|cosx| ① 对于任意x ∈R 都成立，特别的，当x=0时也应成立。 ∴ |sinT|－|cosT|＝|sin0|－|cos0|＝－1。 但当0＜T ＜π时，0＜|sinT|≤1，0＜|cosT|＜1，故有－1＜|sinT|－|cosT|≤1， 矛盾，所以满足①且小于π的正数T 不存在。故函数f(x)＝|sinx|－|cosx|的最小正周期是π。 三、最小公倍数法 求几个正弦、余弦和正切函数的最小正周期，可以先求出各个三角函数的最小正周期，然后再求期最小公倍数T,即为和函数的最小正周期。 例4 求下列函数的最小正周期： （1）f(x)＝sin3x+cos5x （2）f(x)＝cos 34 x －sin 2 1x. （3）f(x)＝sin 53x ＋tan 7 3x. 解：（1）∵sin3x 的最小正周期为T 1=π32,cos5x 的最小正周期为T 2=π52。而π32和π5 2的最小公倍数是2π. ∴f(x)的最小正周期为T=2π. （2) ∵cos 34x 的最小正周期为T 1=π23，-sin 2 1x 的最小正周期为T 2=4π。而π2 3和4π的最小公倍数是12π。 ∴f(x)＝cos 34 x －sin 2 1x 的最小正周期为T=12π. （3）∵sin 53x 的最小正周期为T 1=π310，tan 73x 的最小正周期为T 2=π37。而π310和π3 7的最小公倍数是70π。 ∴f(x)＝sin 53x ＋tan 7 3x 的最小正周期为T=70π. 说明：几个分数的最小公倍数，我们约定为各分数的分子的最小公倍数为分子，各分母的最大公约数为分母的分数。 四 图象法 作出函数的图象，从图象上直观地得出所求的最小正周期。 例5 求下函数的最小正周期。 （1）y=|sin(3x ＋3 π)|
如何求三角函数的周期 三角函数的的周期是三角函数的重要性质，对于不同的三角函数式，如何求三角函数的周期也是一个难点，下面通过几个例题谈谈三角函数周期的求法． 1、根据周期性函数的定义求三角函数的周期 例1 求下列函数的周期 x y 2sin )1(= , 3 2tan )2(x y =． (1)分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使x T x 2sin )(2sin ＝+成立，同时考虑到正弦函数x y sin =的周期是π2． 解：∵ )(2sin )22sin(2sin ππ+=+=x x x , 即 x x 2sin )(2sin =+π． ∴ 当自变量由x 增加到π+x 时，函数值重复出现，因此x y 2sin =的周期是π． (2) 分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使 3 2tan )(32tan x T x =+成立，同时考虑到正切函数x y tan =的周期是π． 解：∵ )23(32tan )32tan(32tan ππ+=+=x x x , 即3 2tan )23(32tan x x =+π． ∴ 函数32tan x y =的周期是π2 3． 注意：1、根据周期函数的定义，周期T 是使函数值重复出现的自变量x 的增加值， 如),2()2(x f T x f =+周期不是T ，而是T 21； 2、”“)()(x f T x f =+是定义域内的恒等式，即对于自变量x 取定义域内的每个值时，上式都成立． 2、根据公式求周期 对于函数B x A y ++=)sin(?ω或B x A y ++=)cos(?ω的周期公式是| |2ωπ=T ， 对于函数B x A y ++=)tan( ?ω或B x y ++=)cot(?ω的周期公式是||ωπ=T ． 例3 求函数)623sin( 3π-=x y 的周期 解： 3 42 32ππ==T ． 3、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期 例4 求函数x x x y 2sin 2cos sin 32-=的周期 解：12cos 2sin 3sin 2cos sin 322-+=-=x x x x x y
三角函数定义及其三角函数公式汇总 1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切 值 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ A 90 B 90 ∠ - ? = ∠ ? = ∠ + ∠ 得 由B A 对 边 邻边 A C A 90 B 90 ∠ - ? = ∠ ? = ∠ + ∠ 得 由B A
6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。依据： ①边的关系：2 22c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注 意：尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 仰角水平线 视线 视线俯角 :i h l =h l α
(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。用字母i 表示，即h i l =。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α= =。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。 sin （α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin （α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos （α＋β）＝cosαcosβ－s inαsinβ cos （α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ 三角函数公式汇总1 ⒈L 弧长=αR=nπR 180 S 扇=21L R=21R 2 α=3602R n ?π ⒉正弦定理： A a sin =B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） ⒊余弦定理：a 2 =b 2 +c 2 -2bc A cos b 2 =a 2 +c 2 -2ac B cos c 2 =a 2 +b 2 -2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= ⒋S ⊿=21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin = R abc 4=2R 2A sin B sin C sin
求三角函数最小正周期的五种方法 一、定义法 直接利用周期函数的定义求出周期。 例1. 求函数（m≠0）的最小正周期。 解：因为 所以函数（m≠0）的最小正周期 例2. 求函数的最小正周期。 解：因为 所以函数的最小正周期为。 二、公式法 利用下列公式求解三角函数的最小正周期。 1. 或的最小正周期。 2. 的最小正周期。
3. 的最小正周期。 4. 的最小正周期 例3. 求函数的最小正周期。 解：因为 所以函数的最小正周期为。 例4. 求函数的最小正周期。 解：因为， 所以函数的最小正周期为。 三、转化法 对较复杂的三角函数可通过恒等变形转化为等类型，再用公式法求解。 例5. 求函数的最小正周期。 解：因为
所以函数的最小正周期为。 例6. 求函数的最小正周期。 解：因为 其中， 所以函数的最小正周期为。 四、最小公倍数法 由三角函数的代数和组成的三角函数式，可先找出各个加函数的最小正周期，然后找出所有周期的最小公倍数即得。 注： 1. 分数的最小公倍数的求法是：（各分数分子的最小公倍数）÷（各分数分母的最大公约数）。 2. 对于正、余弦函数的差不能用最小公倍数法。 例7. 求函数的最小正周期。 解：因为csc4x的最小正周期，的最小正周期，由于和 的最小公倍数是。 所以函数的最小正周期为。 例8. 求函数的最小正周期。
解：因为的最小正周期，最小正周期，由于和的最小公倍数是， 所以函数的最小正周期为T＝。 例9. 求函数的最小正周期。 解：因为sinx的最小正周期，的最小正周期， sin4x的最小正周期，由于，的最小公倍数是2。 所以函数的最小正周期为T＝。 五、图像法 利用函数图像直接求出函数的周期。 例10. 求函数的最小正周期。 解：函数的图像为图1。 图1 由图1可知：函数的最小正周期为。
高中三角函数公式大全[ 图] 1 三角函数的定义三角形中的定义 图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图 在直角三角形 ABC，如下定义六个三角函数： 正弦函数 余弦函数 正切函数 余切函数 正割函数 余割函数
直角坐标系中的定义 图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图在直角坐标系中，如下定义六个三角函数： 正弦函数 r 余弦函数 正切函数 余切函数 正割函数 余割函数 2 转化关系倒数关系
平方关系 2和角公式 3倍角公式、半角公式倍角公式 半角公式
万能公式 4积化和差、和差化积积化和差公式 证明过程
首先， sin( α+β)=sin αcosβ+sin β（cos已证α。证明过程见《》）因为 sin( α+β)=sin αcosβ+sin β（cos正弦α和角公式）则 sin( -αβ) =sin[ α-β+( )] =sin α cos(-β )+sin(-β )cos α =sin α cos-sinβ β cos α 于是 sin( -αβ )=sin α cos-sinββ cos（α正弦差角公式） 将正弦的和角、差角公式相加，得到 sin( α +β )+sin(-β )=2sinα α cos β 则 sin α cos β =sin( α +β )/2+sin(-β（“α积化和差公式”之一）同样地，运用诱导公式cosα=sin( π-/2α)，有 cos( α +β )= sin[ π-/2(α +β )] =sin( π-/2α-β) =sin[(π-α/2 )+(-β )] =sin( π-/2α )cos(-β )+sin(-β )cos( π-α)/2 =cos α cos- βsin α sin β 于是 cos( α +β )=cos α-cossin βα sin（β余弦和角公式） 那么 cos( α-β) =cos[ α-+(β )] =cos α cos(-β)-sin α sin(-β) =cos α cos β +sin α sin β cos( α-β )=cos α cos β +sin （α余sin弦β差角公式） 将余弦的和角、差角公式相减，得到 cos( α +β)-cos( α-β )=-2sin α sin β
关于《三角函数的周期性》的教案 一、目标与自我评估 1掌握利用单位圆的几何作函数的图象 2结合的图象及函数周期性的定义了解三角函数的周期性，及最小正周期 3会用代数方法求等函数的周期 4理解周期性的几何意义 二、学习重点与难点 “周期函数的概念”，周期的求解。 三、学法指导 1、是周期函数是指对定义域中所有都有 ，即应是恒等式。 2、周期函数一定会有周期，但不一定存在最小正周期。 四、学习活动与意义建构 五、重点与难点探究 例1、若钟摆的高度与时间之间的函数关系如图所示 （1）求该函数的周期； （2）求时钟摆的高度。 例2、求下列函数的周期。 （1）（2） 总结：（1）函数（其中均为常数，且 的周期T=。
（2）函数（其中均为常数，且 的周期T=。 例3、求证：的周期为。 例4、（1）研究和函数的图象，分析其周期性。 （2）求证：的周期为（其中均为常数， 且 总结：函数（其中均为常数，且 的周期T=。 例5、（1）求的周期。 （2）已知满足，求证：是周期函数 课后思考：能否利用单位圆作函数的图象。 六、作业： 七、自主体验与运用 1、函数的周期为（） A、B、C、D、 2、函数的最小正周期是（） A、B、C、D、 3、函数的最小正周期是（） A、B、C、D、 4、函数的周期是（） A、B、C、D、 5、设是定义域为R,最小正周期为的函数，
若，则的值等于（） A、1 B、 C、0 D、 6、函数的最小正周期是，则 7、已知函数的最小正周期不大于2，则正整数 的最小值是 8、求函数的最小正周期为T，且，则正整数 的最大值是 9、已知函数是周期为6的奇函数，且则 10、若函数，则 11、用周期的定义分析的周期。 12、已知函数，如果使的周期在内，求 正整数的值 13、一机械振动中，某质子离开平衡位置的位移与时间之间的 函数关系如图所示： （1）求该函数的周期； （2）求时，该质点离开平衡位置的位移。 14、已知是定义在R上的函数，且对任意有 成立， （1）证明：是周期函数； （2）若求的值。 分类计数原理与分步计数原理、排列 一.教学内容：分类计数原理与分步计数原理、排列
高中阶段三角函数公式大全 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2A )=2cos 1A - tan(2 A )=A A cos 1cos 1+- cos( 2A )=2cos 1A + cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2 b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -2 1[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)]
三角函数的公式+五点作图+奇偶性+周期性 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
三角函数的公式 一、扇形的公式 若扇形的圆心角为（为弧度制），半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l=______________;C=___________________;S=________________ 二、三角函数的定义 （1）设是一个任意大小的角，的终边上任意一点?的坐标是（x, y ），它与原点的距离是r,则 sin =_________;cos?=________;tan?=____________. （2）设是一个任意大小的角，的终边与单位圆的交点的坐标是（x, y ），它与原点的距离是r, 则sin =_________;cos?=________;tan?=____________. 三、 同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin α cos α＝tan α. 四、诱导公式 诱导公式（一） tan )2tan(cos )2(cos sin )2sin(ααπααπααπ=+=+=+k k k 诱导公式（二） )tan()cos( sin )sin(=+=+-=+απαπααπ 诱导公式（三） )tan(cos )cos( )sin(=-=-=-αα αα 诱导公式（四） tan )tan()cos( )sin(ααπαπαπ-=-= -=- 诱导公式（五） =-=-)2 cos( cos )2sin( απ ααπ 诱导公式（六） =+=+)2cos( cos )2sin( απ ααπ 【方法点拨】 把α看作锐角 前四组诱导公式可以概括为：函数名不变，符号看象限 符号。 看成锐角时原函数值的前面加上一个把三角函数值，的同名的三角函数值，等于它ααπαπααπ ,, , ),Z (2-+-∈+k k 公 式（五）和公式（六）总结为一句话：函数名改变，符号看象限 口诀： 变 不变，符号看象限
ｙ ｘ Ｏ π ２π － π －２π ｙ ｘ Ｏ π ２π －π －２π 三角函数周期的常用求法 河南 陈长松 三角函数的周期是三角函数的一个重要性质，也是高考的热点．本文通过实例介绍求三角函数周期的几种常用方法，供参考． 一、公式法 例1 函数)2 3sin( x y -=π的最小正周期是 （ ） Ａ．π Ｂ．２π Ｃ．－４π Ｄ．４π 解：由公式，得ππ42 12=-=T ，故选Ｄ． 评注：对于函数)sin(?ω+=x A y 或)cos(?ω+=x A y 可直接利用公式ωπ 2=T 求得；对于)tan(?ω+=x A y 或)cot(?ω+=x A y 可直接利用公式ωπ= T 求得。 二、图像法 例２ 求下列函数的最小正周期 ① x y sin = ②x y sin 解：分别作出两个函数的图像知 ①x y sin =的周期π=T ②x y sin =不是周期函数 评注：对于一 些含有绝对值的三角函数周期问题，常可借助于三角函数的图 像来解决． 三、定义法 x x y cos sin +=的最小正周期 例３ 求函数 解：∵ 2 cos()2sin(ππk x k x +++＝x x cos sin + （Z k ∈） ∴ 2πk 是函数x x y cos sin +=的周期．显然2πk 中最小者是2 π 下面证明2 π是最小正周期 假设2π不是x x y cos sin +=的最小正周期，则存在<
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ+α）= sinα cos（2kπ+α）= cosα tan（2kπ+α）= tanα cot（2kπ+α）= cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π+α）= -sinα cos（π+α）= -cosα tan（π+α）= tanα cot（π+α）= cotα 公式三： 任意角α与-α的三角函数值之间的关系： sin（-α）= -sinα cos（-α）= cosα tan（-α）= -tanα cot（-α）= -cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinα cos（π-α）= -cosα tan（π-α）= -tanα cot（π-α）= -cotα 公式五： 利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinα cos（2π-α）= cosα tan（2π-α）= -tanα cot（2π-α）= -cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2+α）= cosα cos（π/2+α）= -sinα tan（π/2+α）= -cotα cot（π/2+α）= -tanα sin（π/2-α）= cosα cos（π/2-α）= sinα tan（π/2-α）= cotα cot（π/2-α）= tanα sin（3π/2+α）= -cosα cos（3π/2+α）= sinα tan（3π/2+α）= -cotα cot（3π/2+α）= -tanα sin（3π/2-α）= -cosα
三角函数常用公式(表格) -标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α诱导公式 sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα sin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanα sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα sin（3π/2－α）＝－ cosα cos（3π/2－α）＝－ sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－ cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－ cotα cot（3π/2＋α）＝－ tanα sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα (其中k∈Z) 两角和与差的三角函数公式万能公式 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ tanα＋tanβ 2tan(α/2) sinα＝—————— 1＋tan2(α/2) 1－tan2(α/2) cosα＝—————— 1＋tan2(α/2)