因式定理与余式定理优秀课件

初二数学竞赛培训专题:余式定理及因式定理的应用初二( )班姓名：______________________________ 学号：_一、知识要点：1、f X的意义：已知多项式f x，若把x用c带入所得到的值，即称为f x在x = c的多项式值，用f C表示。

2、被除式、除式、商式、余式之间的关系：设多项式 f X除以g x所得的商式为q x，余式为r x，则：f x =g x x q x +r x3、余式定理：多项式f(x)除以x-b之余式为f(b)；多项式f(x)除以ax-b之余式f(b)。

a4、因式定理：设a, b R , a=0 , f (x)为关于x的多项式，则x「b为f (x)的因式=f(b)=0;bax -b 为f(x)的因式=f ( )=0。

a二、余式定理应用：1、( 1)已知f(x) =2x33x -1 ,求f (x)除以(x -1)、2x 1 所得的余式；(2)设f (x)=2 x2+kx+10 除以2x - 1 余5，求k 的值；(3)以x2- 3x - 4除多项式f(x)与g(x)，分别得余式3x+2与-4x+7,求以x - 4除f(x)+g(x) 所得的余式。

2、设f (x) = x5- 6x4- 4x3- 25x230x - 6，求f ⑺。

3、计算：(1)125 -7 124-58 12316 122-460 12 -200 ；(2)115 - 4 114- 72 113-56 11215 11-L 5，则以 2x+1 除 f (x ).g (x ) 2 2 之余式是什么？2 2(2) f (X )除以x -1之余式为3x 2，且g(x)除以x ，2x-3之余式为5x 2，则x-1 除(x 3) f (x) (5x 2 1) g(x)的余式是什么？三、因式定理应用：1、设x - 2为f (x )=3x 3+x 2 - kx +5的因式，试求 k 的值。

2、已知x +1与x - 2都是x 4「3ax 2 • bx • 4的因式，试求a 与b 的值。

餘式定理、因式定理除法原理：f (x)= g (x)⋅q(x) + r(x)，deg r(x)<deg g(x) 或r(x) = 0餘式定理：多項式f(x)除以x -a 的餘式等於f (a)。

有關f (a)的求值我們可以利用綜合除法得到。

餘式定理推廣：多項式f (x)除以ax+b 的餘式等於f (- b a)。

f (a)的雙重意義：(1)多項函數f(x)在x=a 的函數值。

(2) 多項式f (x)除以x -a 的餘式。

範例：二次式ax 2+bx -4以x +1除之，得餘式3，以x -1除之，得餘式1，若以x -2除之，所得的餘式為 。

解：f(x) = ax 2+bx -4，f(-1) =3且f(1) =1由此解得a 與b ，再求f(2)=18即為所得。

範例：試求115-4⋅114-72⋅113-56⋅112+15⋅11+7之值為 。

解： f(x) = x 5-4x 4-72x 3-56x 2+15x +7利用綜合除法求f(11) = 51範例：設二多項式f(x),g(x)以2x 2-3x -2除之，餘式分別為3x+2,-4x+7，則f(x)+g(x)以2x+1除之，其餘式為何？ Ans ：192解：f(x) = (2x 2-3x -2)× p(x) + (3x+2)g(x) = (2x 2-3x -2)× q(x) + (-4x+7)f(x)+g(x) = (2x 2-3x -2)(p(x)+q(x)) + (-x+9)= (2x+1)(x-2) (p(x)+q(x)) + (-x+9)F(x) = f(x)+g(x) , F(12-) = -(12-) +9 = 192範例：求多項式(x2+3x+2)3被x2+2x+3除之餘式為何？解：x2+3x+2 = (x2+2x+3) + (x-1)(x2+3x+2)3= ( (x2+2x+3) + (x-1) )3= (x2+2x+3)3+ 3(x2+2x+3)2(x-1) + 3 (x2+2x+3)(x-1)2+ (x-1)3求多項式(x2+3x+2)3被x2+2x+3除之餘式= 求多項式(x-1)3被x2+2x+3除之餘式= 10x+14範例：多項式f(x)以x2-3x-4，2x2-3x+1除之餘式各為4x-1，2x+7，試求f(x)以2x2-9x+4除之餘式為何？解：f(x) = (x2-3x-4) ×p(x) + 4x-1 = (x-4)(x+1) ×p(x) + 4x-1f(x) = (2x2-3x+1) ×q(x) + 2x+7 = (x-1)(2x-1) ×q(x) + 2x+7f(4) = 15 且f(12) =8f(x) = (2x2-9x+4) ×S(x) + ax +b = (x-4) (2x-1) ×S(x) + ax +b利用f(4) = 15 = 4a +b 及f(12) = 8 = 12a +b我們可解得a = 2，b =7，故f(x)以2x2-9x+4除之餘式為2x + 7範例：多項式f(x)以x(x-1)除之，餘式為-x+3，以x(x+1)除之餘式為-3x+3，則f(x) 除以x(x2-1)之餘式為何？解：f(x) = x(x-1) ×p(x) + (-x+3)f(x) = x(x+1) ×q(x) + (-3x+3)f(x) = x(x2-1) ×S(x) + ax2+ bx + c我們有f(0) = 3，f(1) = 2，f(-1)= 6分別代入f(x) = x(x2-1) ×S(x) + ax2+ bx + c。

因式定理和余式定理数学作为一门学科，有着悠久的历史，历经时代的变迁，发展至今。

其中，因式定理和余式定理都是数学史上非常重要的定理，被誉为“二定理”。

本文就因式定理和余式定理进行具体介绍，以加深我们对它们的了解。

因式定理，又称费马小定理，它的发现者是德国数学家孔因斯费马，他于1824年发明了该定理。

它的正式名称叫做“一个整数的N 次方等于一个循环的形式的定理”。

该定理定义为：对于给定的质数p和正整数a满足ap a mod p（其中，a≠0 mod p），若x是正整数，设X x mod p，则满足下列关系：ax X mod p说明，如果知道了一个质数p和一个满足ap a mod p（其中，a ≠0 mod p）的整数a，那么我们就可以通过X（即x mod p）来计算ax mod p的值，当X为非常大的时候，计算成本也会非常高，因式定理能够解决这一问题。

余式定理也是一种数学定理，它发现者是著名的法国拉格朗日，他在1750年发明了该定理。

它的正式名称叫做“关于自由变量的多项式的系数的定理”。

它的意思是，在多项式中系数的值可以由以下公式来计算：a_n=p^n%c_1*p^(n-1)%c_2*...*p^1%c_n*1%c_(n+1) 其中，P表示多项式的本原，c_1，c_2，…，c_n+1表示多项系数的值，a_n表示系数的值，n表示多项式的次数。

由费马小定理和拉格朗日余式定理可知，如果满足它们相应的条件，那么就能够计算出多项式中系数的值。

这对我们学习数学和计算机科学有着重要的意义。

它们能够为我们解决很多复杂的数学问题，为我们的学习和研究提供了强大的支持。

从上文中可以看出，因式定理和余式定理都是数学史上非常重要的定理，它们能够为我们解决很多复杂的数学问题，给我们带来极大的帮助。

这就是因式定理和余式定理的重要性。

综上所述，因式定理和余式定理在数学史上占有重要地位，它们能够解决很多复杂的数学问题，为我们的学习和研究提供了强大的支持。

余数定理与因式定理
如果多项式f (x )除以x -a 所得的商式是g (x )，余式是r ，那么它就是恒等式，即
f (x )＝(x -a )
g (x )+r 、
因为x -a 是一次式，所以r 是一个常数、
当x ＝a 时，有f (a )＝(a -a )g (a )+r ＝r 、
即r ＝f (a )、
余数定理多项式f (x )除以x -a 所得的余数等于当x ＝a 时f (x )的值f (a )、
推论多项式f (x )除以ux -v (u ≠0)所得的余数等于f (u
v
)、
证明：设f (x )除以ux -v 所得的商式是g (x )，余式是r ，于是
f (x )＝(ux -v )
g (x )+r 、
=(x -u
v )·u ·g (x )+r 〔1〕 即f (x )＝(x -u
v )·［ug (x )］+r 〔2〕 〔2〕式中的相当于余数定理中的x -a ，这里a =u
v ，所以 r ＝f (u
v )、 注意：由于〔1〕式变到〔2〕式时，被除式没有变，由于除式变了〔缩小了u 倍〕，因而商式也变了〔扩大了u 倍〕，但余数r 没有变、 因式定理多项式f (x )只有在f (a )＝0时，才有因式x -A 、
说明：用综合除法试商时，要由常数项和最高次项系数来决定、常数项的因数除以最高次项系数的因数的正负值都可能是除的整除商、。

因式分解1—余式定理整系数多项式()f x 除以()x a -商为()q x ，余式为r ，则()()()f x x a q x r =-⋅+。

因式定理如果多项式()0f a =，那么多项式()f x 必定含有因式()x a -。

反过来，如果()f x 含有因式()x a -，那么，()0f a =。

余式定理当一个多项式()f x 除以()x a -时, 所得的余数等于()f a 。

〖例题〗当2()2f x x x =++除以(1)x -时, 余数2(1)1124f =++= 推论2当一个多项式()f x 除以()mx n -时,所得的余数等于()nf m。

〖例题〗求当2()967f x x x =+-除以(31)x +时所得的余数。

解：2111()9()6()78333f -=⨯-+⨯--=-〖例题〗设()f x 以(1)x -除之，余式为8，以2(1)x x ++除之的余式为(716)x +，求3(1)x -除之的余式为多少? （全国港澳台华侨联合招生考试题） 解：根据题意，得(1)8f = (1)2()(1)()716f x x x g x x =++++……（2） 又 321(1)(1)x x x x -=-++设32()(1)()(1)716f x x f x a x x x =-+++++∴2(1)(1)7168f a x x x =++++= (3)解得5a =-所以余式为25211x x -++。

综合除法与余数定理求多项式2357x x +-除以2x +，所得的商和余式。

一般的竖式除法22357x x x ++-3x -1综合除法是用简便的方式表达：〖余数定理〗：多项式()x f 除以x a -所得的余数等于()a f〖因式定理〗：如果多项式()x f 能被x a -，亦即()x f 有一个因式x a -，那么()0a f =。

反之，如果()0a f =，那么x a -必为()x f 的一个因式。

余数定理与因式定理
1 专题：因式定理与因式分解
1、余数定理与因式定理
通常：
)(x f =0111a x a x a x a n n n n ++++-- ， )(a f 表示这个多项
式在a x =时的值。 如果我们用一次多项式c x -作除式去除多项式)(x
f ，那么余式是一个数。设这时商式为多项式)(x g ，余式（余数）为
r ，则有：
r x g c x x f +-=)()()(
即：被除式等于除式乘以商式再加余式 在上式中令c x =，便得
到：r r c f =+=0)(
因此：我们有：
)(x f 除以c x -，所得余数为)(c f 。 这个结论我们称余数定理
如果余数为0，那么)(x f 就被c x -整除，也就是c x -是)(x f 的因
式。反过来，如果c x -是)(x f 的因式，那么)(x f 就被c x -整除，余数
为0。因此，我们有： 如果)(c f =0，那么c x -是)(x f 的因式。反之，
如果c x -是)(x f 的因式，那么)(c f =0。 这个结论通常称为因式定理
及其逆

§4-2 餘式定理、因式定理除法原理：f(x)=g(x)⋅q(x)+r(x)，deg r(x)<deg g(x)或r(x)=0餘式定理：多項式f(x)除以x-a的餘式等於f(a)。

證明：由多項式的除法原理得知，恰有兩多項式q(x)及r(r為常數多項式)滿足f(x)=(x-a)⋅q(x)+r，而此等式為恆等式，因此將x=a代入上式，得f(a)=(a-a)⋅q(a)+r = r。

推廣：多項式f(x)除以ax+b的餘式等於f(-b a)。

f(a)的雙重意義：①多項函數f(x)在x=a的函數值。

②多項式f(x)除以x-a的餘式。

[例題1]求下列二小題：(1)求(x3+2x2-x-4)3除以x+3的餘式。

(2)設f(x)=1250x6-2790x5-3125x4+707x3+100x2+45x-62，則f(3)=？Ans：(1)-1000 (2)217[例題2]二次式ax2+bx-4以x+1除之，得餘式3，以x-1除之，得餘式1，若以x-2除之，所得的餘式為。

Ans：18(練習1)試求115-4⋅114-72⋅113-56⋅112+15⋅11+7之值為。

Ans：51(練習2)設二多項式f(x),g(x)以2x2-3x-2除之，餘式分別為3x+2,-4x+7，則f(x)+g(x)以2x+1除之，其餘式為何？Ans：19 2(練習3)f(x)=2x4+3x3+5x2-6，求2x-1除f(x-3)的餘式。

Ans：113 2Hint：可令g(x)=f(x-3)，再利用餘式定理。

[例題3]試求下列各小題：(1)求多項式f(x)=x7-50x5+8x4-5x3-19x2+41x+6除以(x-1)(x-7)之餘式。

(2)設多項式f(x)不低於2次，以x-1除之餘2，以x+2除之餘-1，則以(x-1)(x+2)除f(x)的餘式為何？(3)設多項式f(x)不低於3次，以x-1除之餘3，以x+1除之餘1，以x-2除之餘-2，則求以(x-1)(x+1)(x-2)除f(x)的餘式。

餘式定理、因式定理除法原理：f (x)= g (x)⋅q(x) + r(x)，deg r(x)<deg g(x) 或r(x) = 0餘式定理：多項式f(x)除以x -a 的餘式等於f (a)。

有關f (a)的求值我們可以利用綜合除法得到。

餘式定理推廣：多項式f (x)除以ax+b 的餘式等於f (- b a)。

f (a)的雙重意義：(1)多項函數f(x)在x=a 的函數值。

(2) 多項式f (x)除以x -a 的餘式。

範例：二次式ax 2+bx -4以x +1除之，得餘式3，以x -1除之，得餘式1，若以x -2除之，所得的餘式為 。

解：f(x) = ax 2+bx -4，f(-1) =3且f(1) =1由此解得a 與b ，再求f(2)=18即為所得。

範例：試求115-4⋅114-72⋅113-56⋅112+15⋅11+7之值為 。

解： f(x) = x 5-4x 4-72x 3-56x 2+15x +7利用綜合除法求f(11) = 51範例：設二多項式f(x),g(x)以2x 2-3x -2除之，餘式分別為3x+2,-4x+7，則f(x)+g(x)以2x+1除之，其餘式為何？ Ans ：192解：f(x) = (2x 2-3x -2)× p(x) + (3x+2)g(x) = (2x 2-3x -2)× q(x) + (-4x+7)f(x)+g(x) = (2x 2-3x -2)(p(x)+q(x)) + (-x+9)= (2x+1)(x-2) (p(x)+q(x)) + (-x+9)F(x) = f(x)+g(x) , F(12-) = -(12-) +9 = 192範例：求多項式(x2+3x+2)3被x2+2x+3除之餘式為何？解：x2+3x+2 = (x2+2x+3) + (x-1)(x2+3x+2)3= ( (x2+2x+3) + (x-1) )3= (x2+2x+3)3+ 3(x2+2x+3)2(x-1) + 3 (x2+2x+3)(x-1)2+ (x-1)3求多項式(x2+3x+2)3被x2+2x+3除之餘式= 求多項式(x-1)3被x2+2x+3除之餘式= 10x+14範例：多項式f(x)以x2-3x-4，2x2-3x+1除之餘式各為4x-1，2x+7，試求f(x)以2x2-9x+4除之餘式為何？解：f(x) = (x2-3x-4) ×p(x) + 4x-1 = (x-4)(x+1) ×p(x) + 4x-1f(x) = (2x2-3x+1) ×q(x) + 2x+7 = (x-1)(2x-1) ×q(x) + 2x+7f(4) = 15 且f(12) =8f(x) = (2x2-9x+4) ×S(x) + ax +b = (x-4) (2x-1) ×S(x) + ax +b利用f(4) = 15 = 4a +b 及f(12) = 8 = 12a +b我們可解得a = 2，b =7，故f(x)以2x2-9x+4除之餘式為2x + 7範例：多項式f(x)以x(x-1)除之，餘式為-x+3，以x(x+1)除之餘式為-3x+3，則f(x) 除以x(x2-1)之餘式為何？解：f(x) = x(x-1) ×p(x) + (-x+3)f(x) = x(x+1) ×q(x) + (-3x+3)f(x) = x(x2-1) ×S(x) + ax2+ bx + c我們有f(0) = 3，f(1) = 2，f(-1)= 6分別代入f(x) = x(x2-1) ×S(x) + ax2+ bx + c。