余式定理

１§餘式定理與因式定理1.餘式定理：多項式)(x f 除以α-x 之餘式為)(αf ，推論：多項式)(x f 除以b ax -之餘式)(ab f 。

2.因式、倍式：設)(),(x g x f 為兩多項式，且0)(≠x g ，若存在)(x q 使得)()()(x q x g x f ⋅=，則稱)(x f 為)(x g 的倍式，)(x g 為)(x f 的因式。

3.因式定理：設R b a ∈,，0≠a ，)(x f 為一多項式，則b ax -為)(x f 的因式⇔0(=ab f 。

4.恆等式：0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- ；若有相異的121,,,,+n n αααα 使得 0)()()()(121=====+n n f f f f αααα ，則0)(=x f1.設deg f (x) = 3，f (2) =f (-1) =f (4) = 3，f (1) =- 9，則f (0) =。

【解答】- 13 【詳解】deg f (x) = 3，f (2) =f (-1) =f (4) = 3則f (x) - 3 =a (x - 2)(x + 1)(x - 4)，即f (x) =a (x - 2)(x + 1)(x - 4) + 3x = 1代入⇒f (1) =a ⨯ (-1) ⨯ 2 ⨯ (- 3) + 3 =- 9⇒ a =- 2得f (x) =- 2(x + 2)(x + 1)(x - 4) + 3故f (0) =- 2 ⨯ (- 2) ⨯ 1 ⨯ (- 4) + 3 =- 13隨堂練習.若三次多項式g (x)的g (- 1) =g (0) =g (2) = 0，g (1) = 4，試問(1) g (x) =。

(2)若多項式h (x) =x4-x2+ 1，則3 g(x) - 4h (x)被x - 1除的餘式為。

【解答】(1) - 2x (x + 1)(x - 2)(2) 8【詳解】(1)由g (- 1) =g (0) =g (2) = 0，deg g (x) = 3，可設g (x) =ax(x + 1)(x - 2)又g (1) =a ⨯ 2 ⨯ (-1) = 4⇒ a =- 2，故g (x) =- 2x (x + 1)(x - 2)(2)令F (x) = 3g (x) - 4h (x)則所求餘式為F (1) = 3g (1) - 4h(1) = 3 ⨯ 4 - 4 ⨯ (1 - 1 + 1) = 12 - 4 = 82.deg f (x) = 2且f (1998) = 1，f (1999) = 2，f (2000) = 7，則f (2002) =。

余式定理的推广余式定理是一个重要的数学定理，它指出，任何正整数都可以写成四个平方数之和，这四个平方数可以是不同的，或者完全相同。

它也是费马定理的特例。

它被认为是一个神奇的定理，因为它不仅有趣，而且非常实用。

然而，余式定理满足特定条件，而特定条件是正整数。

但很多时候，我们不仅希望推广余式定理，也希望扩展到负整数和小数的情况。

首先，让我们来看看如何推广到负整数的情况。

一般来说，负整数余式定理可以表示为：对于任意的负整数n，都有n=a+b+c+d，其中a,b,c,d是非负整数，并且存在至少一个a，b，c，d，且abcd的积为n的相反数的绝对值。

同样，我们也可以将余式定理推广到小数的情况。

一般来说，小数余式定理可以表示为：对于任意小数x，都有x=a+b+c+d+e..，其中a,b,c,d,e..是非负整数，并且存在至少一个a，b，c，d，e..，且abcd和ea..e的积为x的绝对值。

当我们把余式定理推广到负整数和小数时，它仍然称之为“余式定理”。

我们必须明确，余式定理仍然是一个重要的数学定理，它的推广仅仅是为了更好地理解其可能的应用。

另一方面，余式定理的推广也可能会有一些更深入的研究应用。

比如，如果我们知道余式定理可以推广到负整数和小数，那么我们就可以用它来推断一些更复杂的数学结论，因为它可以帮助我们解决一些以前很难解决的非常复杂的数学问题。

此外，余式定理的推广也可以应用于抽象代数学、密码学以及信息安全领域。

比如，在密码学中，余式定理可以用来进行加密以及解密，因为它的推广可以帮助我们解决大量更复杂的问题。

总之，余式定理是一个重要的数学定理，它的推广可以使其应用得更广泛，不仅仅是正整数应用，而且还可以扩展到负整数和小数的情况。

它对于数学，抽象代数学，密码学以及信息安全领域的研究都具有重要意义，从而带来了巨大的发展潜力。

余式定理推导过程余式定理是整式除法的一个重要定理，它可以用来计算一个多项式除以另一个多项式后的余数。

余式定理的推导过程如下：设有两个多项式：被除式为f(x)，除式为g(x)，其中f(x)和g(x)都是实系数多项式，且g(x)≠0。

余式定理的主要内容是：对于任意实数a，将a代入f(x)中得到一个实数f(a)，再将a代入g(x)中得到一个实数g(a)，则存在唯一的一个实数r，使得f(x)=(x-a)×q(x)+r其中q(x)是一个实系数多项式，r是一个实数。

也就是说，多项式f(x)被g(x)除所得的余数是r。

这个等式也可以表示成f(a)=g(a)×q(a)+r的形式。

首先，考虑最简单的情况，即 g(x) 是一个一次多项式 (ax + b)。

由于 g(x) = (ax + b)，将 a 代入 f(x) 可得：f(a) = a × a + b。

所以，对于一次多项式 g(x)，f(a) 除以 g(a) 所得的余数就是 f(a)。

接下来，考虑g(x)是一个二次多项式。

设 g(x) = x^2 + px + q，假设 f(x) 是一个任意的多项式。

由余式定理可得：f(x)=(x-a)×q(x)+r将 g(x) 代入等式中可得：f(x) = (x-a) × (x^2 + px + q) + r对等式进行展开得：f(x) = x^3 + px^2 + qx - ax^2 - apx - aq + r整理得：f(x) = x^3 + (p-a)x^2 + (q-ap)x - aq + r根据多项式的相等，可得：x^3 + (p-a)x^2 + (q-ap)x - aq + r = f(x)由此可推出：x^3 + (p-a)x^2 + (q-ap)x - aq + r 的系数分别为f(x) 的系数。

根据这个等式，可知：r = -aq + r。

由于 -aq 为常数，所以对任意的 a，r 的值不变，可以记作 r(a)。

余式定理的推广余式定理是一个重要的数学定理，它得名于18世纪的法国数学家法拉第（Lagrange）。

它说明了两个相关的整数之和可以表示为某个整数的倍数。

这种定理的推广广泛用于数学及其他领域，因此，本文旨在阐释它的概念及其推广后出现的结果。

首先，让我们来回顾一下原始余式定理。

它认为，任何两个正整数a,b之和能够表示为某个整数n的倍数，即a +b = nk其中n是一个常数，而k代表要求所求的一个整数。

例如，9和25之和是34，因此，可以将其写成9 + 25 = 34 1根据余式定理，求出k的值：k = (a + b) / n也就是说，9和25之和等于34的一倍。

接下来，让我们看看余式定理的推广。

它指的是，两个相关的整数之和有可能表示为某个整数的不止一倍，而是可能表示为多个整数的倍数。

例如，9 + 25 = 5k + 6j其中k和j是要求所求的整数，n仍然是一个常数。

余式定理的推广还涉及到更多的相关整数，既可以是两个，也可以是三个，甚至更多。

例如，a +b +c = nk + mj其中k和j是要求所求的整数，n和m是常数。

余式定理的推广可以应用于多种情况，比如，在线性同余方程的解决中，可以利用余式定理的推广解决同余方程的更复杂情况。

而比如在几何、代数、分析等数学领域，余式定理的推广也被广泛应用。

此外，余式定理的推广还可以应用于分布学、数学物理学等其它领域。

在数学物理学中，余数定理的推广可以用来描述物理系统中随机移动粒子的规律。

总之，余式定理提供了一种简单有效的方法来描述和解决数学和其他领域中的问题。

因此，对此定理的理解和掌握将有助于我们更好地理解和解决上述问题。

4-2 餘式定理與因式定理例1. (1)求242)(+--=x x x x f 除以1+x 之餘式。

(2)設1537935699357)(2345+++--=x x x x x x f ，求)2(f 。

類1. 15)(24-++=bx ax x x f 以3-x ，1-x 除之，餘式分別為45，-15求以1+x 除之，餘式為 。

類2. 求=-⨯-⨯+⨯-⨯-2001246012161258127123345 。

類3. 以1+x 除5102610019992000++-+x x x x 的餘式為 。

類4. 設)(),(x g x f 均為多項式，)(x f 除以12-x 之餘式為23+x ，)(x g 除以322-+x x 之餘式為25+x ，則)()15()()3(2x g x x f x +++除以1-x 的餘式為 。

類5. 已之3221)(x x x x f -+-=，且)2()1(+=+x f x g ，)2()(+=x g x h ，求)()(x xg x h +除以1+x 的餘式。

Ans: 1. –19，2. 40，3. –12，4. 62，5. -8。

例2. (1)多項式)(x f 除以1-x ，2-x 之餘式分別為5,7，求)(x f 除以)2)(1(--x x 之餘式。

(2)多項式)(x f 除以2-x ，322++x x 之餘式分別為5，65+x ，求)(x f 除以)32)(2(2++-x x x 之餘式。

類1. 設多項式)(x f 以2-x 除之餘3，以4+x 除之餘-9，則以)4)(2(+-x x 除之餘式為 。

類2. 設)(x f 為一多項式，0)deg(≥x ，若1-x ，2-x ，3-x 分別除之，餘式為3，7，13，則)(x f 以)3)(2)(1(---x x x 除之餘式為 。

類3. 多項式)(x f 除以2-x ，12++x x 之餘式分別為10，1+x ，求)(x f 除以)1)(2(2++-x x x 之餘式。

余数定理总结归纳余数定理（又称为模运算定理或余式定理）是数论中的重要概念之一，由数学家费马于17世纪提出。

该定理描述了当一个整数被除以另一个不为零的整数时，所得到的余数具有一定的规律性。

本文将对余数定理进行总结归纳，并介绍其应用。

一、余数定理的基本定义余数定理指出，当一个整数a被除以一个不为零的整数b时，所得到的余数可用a和b的关系表达出来。

具体而言，设整数a和b满足a = kb + r，其中k为整数，r为余数，且满足0 ≤ r < |b|。

则称a除以b的商为k，余数为r，即a ≡ r (mod b)。

二、余数定理的特性根据余数定理的定义，我们可以总结出一些重要特性：1. 同余关系：如果两个整数a和b满足a ≡ r1 (mod m)且b ≡ r2 (mod m)，则a和b对于模m同余，即r1 ≡ r2 (mod m)。

这意味着当两个整数除以同一个模m时，它们的余数相等。

2. 模的加法性质：设a ≡ r1 (mod m)且b ≡ r2 (mod m)，则a + b ≡ (r1 + r2) (mod m)。

也就是说，将两个同余的整数相加后，其和仍然与模m 同余。

3. 模的乘法性质：设a ≡ r1 (mod m)且b ≡ r2 (mod m)，则a × b ≡ (r1 × r2) (mod m)。

这表明两个同余的整数相乘后，其积与模m同余。

4. 模的幂次性质：对于整数a和b，如果a ≡ r (mod m)，则a^b ≡r^b (mod m)。

即同余关系在幂运算中仍然成立。

三、余数定理的应用余数定理在数论和代数等领域有广泛的应用，以下介绍几个常见的应用场景：1. 素数判定：根据余数定理，如果一个整数a ≡ 0 (mod p)，其中p为素数，那么a一定是p的倍数，即a是一个合数。

因此，可以利用余数定理来进行素数的判定。

2. 同余方程：余数定理可以用于解决同余方程，即形如ax ≡ b (mod m)的方程。

余式定理练习题余式定理是高中数学中的一个重要定理，用于解决多项式除法和余数的相关问题。

它在代数学中有广泛的应用，因此理解并掌握余式定理是十分重要的。

为了帮助读者更好地理解和运用余式定理，本文将介绍一些相关的练习题。

1. 练习题一已知多项式f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 3，求f(x)除以(x-1)的余数。

解答：根据余式定理，我们可以通过将x-1代入多项式f(x)后计算得到余数。

即将x-1代入f(x)，得到：f(1) = 1^3 + 2(1)^2 - 5(1) + 3 = 1 + 2 - 5 + 3 = 1因此，f(x)除以(x-1)的余数为1。

2. 练习题二已知多项式g(x) = 2x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 4x - 2，求f(x)除以(x+2)的余数。

解答：与上一题类似，我们将x+2代入多项式g(x)后计算得到余数。

即将x+2代入g(x)，得到：g(-2) = 2(-2)^4 - 3(-2)^3 + 5(-2)^2 - 4(-2) - 2 = 32 + 24 + 20 + 8 - 2 = 82因此，g(x)除以(x+2)的余数为82。

3. 练习题三已知多项式h(x) = 3x^5 - 2x^4 + 7x^3 - 6x^2 + x + 4，求h(x)除以(x-2)的余数。

解答：同样地，我们将x-2代入多项式h(x)后计算得到余数。

即将x-2代入h(x)，得到：h(2) = 3(2)^5 - 2(2)^4 + 7(2)^3 - 6(2)^2 + 2 + 4 = 96因此，h(x)除以(x-2)的余数为96。

通过这些练习题的解答，我们可以发现余式定理的运用非常简便。

只需要将待除式中的变量替换成除数并进行计算，我们就能得到所求的余数。

这个方法十分便捷，可以大大简化计算的过程。

需要注意的是，余式定理只适用于一元多项式，且要求除数的次数低于被除式的次数。

如果除数的次数高于被除式的次数，那么余数将等于被除式本身。