余数定理与因式定理

余式定理1公式整系数多项式f(x)除以(x-a)商为q(x)，余式为r，则f(x)=(x-a)q(x)+r。

如果多项式r=0，那么多项式f(x)必定含有因式(x-a)。

反过来，如果f(x)含有因式(x-a)，那么，r=0。

2概念当一个多项式f(x) 除以(x –a) 时，所得的余数等于f(a)。

例如：当f(x)=x^2+x+2 除以(x –1) 时，则余数=f(1)=1^2+1+2=4。

3推论当一个多项式f(x) 除以(mx –n) 时，所得的余数等于f(n/m)。

例如：求当9x^2+6x–7 除以(3x + 1) 时所得的余数。

设f(x) = 9x^2 + 6x –7，则余数f(-1/3)=1–2–7=-8。

4例题（全国港澳台华侨联合招生考试题型）设f(x)以(x-1)除之，余式为8，以(x2+x+1)除之的余式为(7x+16)，求(x^3-1)除之的余式为多少?解：根据题意，得f(1)=8，f(x)=(x^2+x+1)g(x)+7x+16。

因为x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)所以f(x)=(x-1)(x^2+x+1)g(x)+a(x^2+x+1)+7x+16 （其中a(x2+x+1)+7x+16为余式）又f(1)=8所以f(1)=3a+7+16=8所以a=-5，因此余式为-5x^2+2x+11因式定理1定义为余式定理的推论之一：如果多项式f(a)=0，那么多项式f(x)必定含有因式x-a。

反过来，如果f(x)含有因式x-a，那么，f(a)=0。

2例题如图，此题可以利用完全立方公式解答，但较为繁琐。

仔细观察不难发现，当x=y时，原式的值为0。

根据因式定理可知：原式必有因式x-y同样的，可以得到原式必有因式y-z和z-x（也可以由原式为对称多项式直接得到）然后再用待定系数法（结合赋值法）求出待定系数即可3意义熟练掌握因式定理后，可以运用试根法（结合因式定理）找到因式（大多试±1，±2，±3，±?），再用待定系数法（结合赋值法）求出待定系数，或综合除法直接求出剩下的因式，这样就可以较便利的分解因式了。

因式定理和余式定理数学作为一门学科，有着悠久的历史，历经时代的变迁，发展至今。

其中，因式定理和余式定理都是数学史上非常重要的定理，被誉为“二定理”。

本文就因式定理和余式定理进行具体介绍，以加深我们对它们的了解。

因式定理，又称费马小定理，它的发现者是德国数学家孔因斯费马，他于1824年发明了该定理。

它的正式名称叫做“一个整数的N 次方等于一个循环的形式的定理”。

该定理定义为：对于给定的质数p和正整数a满足ap a mod p（其中，a≠0 mod p），若x是正整数，设X x mod p，则满足下列关系：ax X mod p说明，如果知道了一个质数p和一个满足ap a mod p（其中，a ≠0 mod p）的整数a，那么我们就可以通过X（即x mod p）来计算ax mod p的值，当X为非常大的时候，计算成本也会非常高，因式定理能够解决这一问题。

余式定理也是一种数学定理，它发现者是著名的法国拉格朗日，他在1750年发明了该定理。

它的正式名称叫做“关于自由变量的多项式的系数的定理”。

它的意思是，在多项式中系数的值可以由以下公式来计算：a_n=p^n%c_1*p^(n-1)%c_2*...*p^1%c_n*1%c_(n+1) 其中，P表示多项式的本原，c_1，c_2，…，c_n+1表示多项系数的值，a_n表示系数的值，n表示多项式的次数。

由费马小定理和拉格朗日余式定理可知，如果满足它们相应的条件，那么就能够计算出多项式中系数的值。

这对我们学习数学和计算机科学有着重要的意义。

它们能够为我们解决很多复杂的数学问题，为我们的学习和研究提供了强大的支持。

从上文中可以看出，因式定理和余式定理都是数学史上非常重要的定理，它们能够为我们解决很多复杂的数学问题，给我们带来极大的帮助。

这就是因式定理和余式定理的重要性。

综上所述，因式定理和余式定理在数学史上占有重要地位，它们能够解决很多复杂的数学问题，为我们的学习和研究提供了强大的支持。

余式定理与因式定理例1. (1)求242)(+--=x x x x f 除以1+x 之余式。

(2)设1537935699357)(2345+++--=x x x x x x f ，求)2(f 。

类1. 15)(24-++=bx ax x x f 以3-x ，1-x 除之，余式分别为45，-15求以1+x 除之，余式为 。

类2. 求=-⨯-⨯+⨯-⨯-2001246012161258127123345。

类3. 以1+x 除5102610019992000++-+x x x x的余式为 。

类4. 设)(),(x g x f 均为多项式，)(x f 除以12-x 之余式为23+x ，)(x g 除以322-+x x 之余式为25+x ，则)()15()()3(2x g x x f x +++除以1-x 的余式为 。

类5. 已之3221)(x x x x f -+-=，且)2()1(+=+x f x g ，)2()(+=x g x h ，求)()(x xg x h +除以1+x 的余式。

Ans: 1. –19，2. 40，3. –12，4. 62，5. -8。

例2. (1)多项式)(x f 除以1-x ，2-x 之余式分别为5,7，求)(x f 除以)2)(1(--x x 之余式。

(2)多项式)(x f 除以2-x ，322++x x 之余式分别为5，65+x ，求)(x f 除以)32)(2(2++-x x x 之余式。

类1. 设多项式)(x f 以2-x 除之余3，以4+x 除之余-9，则以)4)(2(+-x x 除之余式为 。

类2. 设)(x f 为一多项式，0)deg(≥x ，若1-x ，2-x ，3-x 分别除之，余式为3，7，13，则)(x f 以)3)(2)(1(---x x x 除之余式为 。

类3. 多项式)(x f 除以2-x ，12++x x 之余式分别为10，1+x ，求)(x f 除以)1)(2(2++-x x x 之余式。

1.长除法：求多项式42(1)(1)x x x +++除以的余式.练习：(1)求多项式4322(352)(3)x x x x -+++除以的余式. (2)求多项式3(428)(21)x x x -+-除以的余式.2.综合除法：设多项式f (x )=1250x 6-2790x 5-3125x 4+707x 3+100x 2+45x -62，则f (3)=217练习：求115-4⋅114-72⋅113-56⋅112+15⋅11+7之值为 。

Ans ：51因式定理：设f(x)为一多项式，则x-α为f(x) 的因式⇔f(α)=0 .推广：ax-b为f(x)的因式⇔f( ba)=0一次因式检验定理：设f(x)=2x+3，g(x)=5x2-x+7，h(x)=f(x)⋅g(x)=10x3+13x2+11x+21，10x3是2x⋅5x2 来的，21是3⋅7来的，因此观察一次式2x+3|h(x)，而2|10，3|21，这个结果对于一般整系数的多项式也是成立，我们将它写成下面的定理：定理：设f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0为一个整系数n次多项式，若整系数一次式ax-b是f(x)的因式，且a,b互质，则a|a n且b|a0。

注意：①一次因式检验定理的逆叙述不成立。

例如：f(x)=3x3+5x2+4x-2，f(-13)≠0。

②由此定理，可知若一次式cx-d中c不为a n的因子或d不为a0的因子的话，则cx-d必不为f(x)的因式。

故只有满足a|a n且b|a0的一次式ax-b才有可能成为f(x)的因式，因此我们只要从满足a|a n且b|a0这些ax-b去找一次因式就可以了。

例如：求整系数f(x)=3x3+5x2+4x-2的整系数一次因式。

根据一次因式检验定理，假设ax-b为f(x)的一次因式，则a|3且b|2。

我们将所有可能的ax-b组合x+1,x-1,x+2,x-2,3x+1,3x-1,3x+2,3x-2，再利用综合除法检验看看那一个是f(x)的因式⇒3x-1是f(x)的因式。

数学练习巧解多项式的问题多项式是数学中常见且重要的一种代数表达式，通过乘法和加法运算得到。

在解决多项式问题时，我们需要运用一些巧妙的方法，以便更高效地求解。

本文将介绍一些解决多项式问题的技巧和方法。

一、查找多项式的零点解多项式的零点是求解多项式问题的重要一步。

当我们令多项式等于零，即 P(x) = 0，其中 P(x) 为多项式，通过求解 x 的值，即可得到多项式的零点。

例如，假设有一个二次多项式 P(x) = x^2 + 3x + 2，我们需要求解它的零点。

可以使用两种常见的方法：因式分解法和配方法。

1. 因式分解法对于一些简单的多项式，我们可以通过因式分解法快速求解其零点。

对于二次多项式，我们可以尝试将其因式分解成两个一次因式，即P(x) = (x + a)(x + b)。

通过观察多项式的系数，我们可以得知 a 和 b 的值。

对于本例中的多项式 P(x) = x^2 + 3x + 2，由于 2 可以分解为 1 * 2或者 2 * 1，而系数 3 可以表示为 2 + 1。

因此，我们可以将多项式分解为 (x + 1)(x + 2) = 0。

通过令 x + 1 = 0 和 x + 2 = 0，我们可以得到 x = -1 和 x = -2。

因此，多项式的零点为 -1 和 -2。

2. 配方法对于比较复杂的多项式，我们可以通过配方法将其转化为一个平方差或者一个完全平方式，进而求解其零点。

例如，假设有一个三次多项式 P(x) = x^3 + 6x^2 + 11x + 6，我们需要求解它的零点。

可以按照以下步骤进行配方法求解：1) 将多项式按照一次项的系数从高到低依次排列，即 P(x) = x^3 + 6x^2 + 11x + 6。

2) 找到一个数 p，满足 p 的平方等于二次项系数的绝对值，即 p^2 = 6^2 = 36。

3) 对于常数项系数，找到两个数 q 和 r，使得 qr = 常数项系数的绝对值，并且 q + r = 一次项系数的相反数，即 qr = 6，q + r = -11。

§4−2 餘式定理、因式定理(甲)餘式定理除法原理：f(x)=g(x)⋅q(x)+r(x)，deg r(x)<deg g(x)或r(x)=0餘式定理：多項式f(x)除以x−a的餘式等於f(a)。

證明：由多項式的除法原理得知，恰有兩多項式q(x)及r(r為常數多項式)滿足f(x)=(x−a)⋅q(x)+r，而此等式為恆等式，因此將x=a代入上式，得f(a)=(a−a)⋅q(a)+r = r。

推廣：多項式f(x)除以ax+b的餘式等於f(−b a)。

f(a)的雙重意義：!多項函數f(x)在x=a的函數值。

"多項式f(x)除以x−a的餘式。

[例題1] 求下列二小題：(1)求(x3+2x2−x−4)3除以x+3的餘式。

(2)設f(x)=1250x6-2790x5−3125x4+707x3+100x2+45x−62，則f(3)=？Ans：(1)−1000 (2)217[例題2] 二次式ax2+bx−4以x+1除之，得餘式3，以x−1除之，得餘式1，若以x−2除之，所得的餘式為。

Ans：18(練習1) 試求115−4⋅114−72⋅113−56⋅112+15⋅11+7之值為。

Ans：51(練習2) 設二多項式f(x),g(x)以2x2−3x−2除之，餘式分別為3x+2,−4x+7，則f(x)+g(x)以2x+1除之，其餘式為何？ Ans：19 2(練習3) f(x)=2x4+3x3+5x2−6，求2x−1除f(x−3)的餘式。

Ans：113 2Hint：可令g(x)=f(x−3)，再利用餘式定理。

[例題3] 試求下列各小題：(1)求多項式f(x)=x7−50x5+8x4−5x3−19x2+41x+6除以(x−1)(x−7)之餘式。

(2)設多項式f(x)不低於2次，以x−1除之餘2，以x+2除之餘−1，則以(x−1)(x+2)除f(x)的餘式為何？(3)設多項式f(x)不低於3次，以x−1除之餘3，以x+1除之餘1，以x−2除之餘−2，則求以(x−1)(x+1)(x−2)除f(x)的餘式。

初二数学竞赛培训专题:余式定理及因式定理的应用初二（ ）班 姓名： 学号： _一、知识要点：1、()x f 的意义：已知多项式()x f ,若把x 用c 带入所得到的值，即称为()x f 在x =c 的多项式值，用()c f 表示。

2、被除式、除式、商式、余式之间的关系:设多项式()x f 除以()x g 所得的商式为()x q ,余式为()x r ，则:()x f =()x g ×()x q +()x r3、余式定理：多项式)(x f 除以b x -之余式为)(b f ;多项式)(x f 除以b ax -之余式)(a bf 。

4、因式定理：设R b a ∈,，0≠a ，)(x f 为关于x 的多项式，则b x -为)(x f 的因式⇔0)(=b f ；b ax -为)(x f 的因式⇔0)(=a bf 。

二、余式定理应用：1、（1)已知132)(3-+=x x x f ， 求f (x ）除以)1(-x 、()12+x 所得的余式；（2)设f （x )=2x 2+kx +10除以2x –1余5,求k 的值；（3）以x 2–3x –4除多项式f (x ）与g （x ），分别得余式3x +2与–4x +7， 求以x –4除f （x )+g (x ）所得的余式。

2、设6302546)(2345-+---=x x x x x x f ,求f （7)。

3、计算：(1）2001246012161258127122345-⋅-⋅+⋅-⋅-；（2）7111511561172114112345+⋅+⋅-⋅-⋅-。

4、（1）)(x f 、()x g 都是多项式，已知221-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f ，2521=⎪⎭⎫ ⎝⎛-g ，则以12+x 除()()x g x f ⋅之余式是什么? （2）)(x f 除以12-x 之余式为23+x ，且)(x g 除以322-+x x 之余式为 25+x ，则1-x 除)()15()()3(2x g x x f x ⋅++⋅+的余式是什么?三、因式定理应用：1、设x –2为f （x ）=3x 3+x 2–kx +5的因式，试求k 的值。

11.16余数定理：若多项式f (x )除以x -c ，所得的余数为f(c ).因式定理：若多项式f (x )有一个因式x -c ，则f (c )=0；若f (c )=0，则x -c 必为多项式f (x )的一个因式. 整数系数多项式f (x )=a n x n +a n -1x n -1++a 1x +a 0的两个性质：性质1：设整数系数多项式f (x )的首项系数a n =1，且它有因式x -p （p 为整数），那么p 一定是常数项a 0的约数.性质2：设整数系数多项式f (x )的首项系数a n ≠1，且它有因式x-p q (p 、q 为整数)，那么q 一定是首项系数a n 的约数，p 一定是常数项a 0的约数.例1 分解因式：f (x )=x 3-9x 2+26x -24.解 能使f (x )=0的只可能为±1，±2，±3，±4，±6，±8，±12，±24.经试算，2符合，所以f (x )有因式x -2，那么x 3-9x 2+26x -24=(322x x -)-(2714x x -)+(12x -24)=(x -2)(2712x x -+)=(x -2)(x -3)(x -4).例2 分解因式：f (x )=2x 3-x 2-5x -2.解 a 0=-2的因数是±1，±2，a n =2的因数是±1，±2.因此，能使f (x )=0的只可能是±1，±2（分母为1），12±.因为f (1)=2-1-5-2=-6，f (-1)=-2-1+5-2=0. 于是-1符合，从而x +1是f (x )的因式，可得32252x x x ---=(3222x x +)-(233x x +)-(22x +)=22x （x +1）-3x （x +1）-2（x +1）=（2x 2-3x -2）（x +1）=（x -2）（2x +1）（x +1）例3 分解因式：32511133x x x ---. 解 原式不是整系数多项式，但可以先提取13，然后再按上面的办法分解，得 32511133x x x --- =13（3235113x x x ---） =13（x +1）（x -3）（3x +1）. 例4 分解因式：f (x )= 322392624x x y xy y -+-.解 因为f (2y )=0，f (3y )=0，f (4y )=0，所以f (x )=（x -2y ）（x -3y ）（x -4y ）.练习11.161.分解因式：321715x x x ---.2.分解因式：43257154x x x x --+-.3.分解因式：f (x )= 3232x x x ++-.4.分解因式：432262x x x x ---+.5.分解因式：32242691y y y -+-+.答案：练习11.161.原式=（x +1）（x -5）（x +3）2.原式=（x -1）（324114x x x --+）3.a 0=-2的因数为±1，±2，a n =3的正因数为+1，+3(我们可以认为p q的分母q 是正的，因此a 0的因数有正有负.a n 的因数可只取正的).所以，f (x )的有理根只可能是±1，±2，13±，23±. 由于f (23)=3⋅(23)3+(23)2+（23）-2=89+4923-2=0. 所以x -23是f (x )的因式，从而3x -2是f (x )的因式，可得f (x )= 3232x x x ++- = （ 3232x x -）+ （232x x -）+（ 32x -）=2x （32x -）+x （32x -）+（32x -）=（32x -）（21x x ++）4 原式=（21x -）（x -2）(1x +)25 原式=（12y -）（13y -）（14y -）11.16余数定理练习11.161.分解因式：43293732x x x x -+--.2.分解因式：51x -.3.分解因式：31930x x --.4.分解因式：42--+.x x x47765.分解因式：32x x x---.44936. 分解因式：432x x x x+--+.29287.已知多项式f(x)=543++++能被x+2整除，求k的值.3811x x x x k答案：练习11.161.（3x+1）（3x-2）（21x+）2.（x-1）（4321++++）x x x x3.（x+2）（x+3）（x-5）4.（2x-3）（32++-）232x x x5.（2x+1）（2--）x x2336.（x+1）（x-1）（x-2）（x+4）7.由题意得，f(-2)=0，则k=70。

4-2 餘式定理與因式定理例1. (1)求242)(+--=x x x x f 除以1+x 之餘式。

(2)設1537935699357)(2345+++--=x x x x x x f ，求)2(f 。

類1. 15)(24-++=bx ax x x f 以3-x ，1-x 除之，餘式分別為45，-15求以1+x 除之，餘式為 。

類2. 求=-⨯-⨯+⨯-⨯-2001246012161258127123345 。

類3. 以1+x 除5102610019992000++-+x x x x 的餘式為 。

類4. 設)(),(x g x f 均為多項式，)(x f 除以12-x 之餘式為23+x ，)(x g 除以322-+x x 之餘式為25+x ，則)()15()()3(2x g x x f x +++除以1-x 的餘式為 。

類5. 已之3221)(x x x x f -+-=，且)2()1(+=+x f x g ，)2()(+=x g x h ，求)()(x xg x h +除以1+x 的餘式。

Ans: 1. –19，2. 40，3. –12，4. 62，5. -8。

例2. (1)多項式)(x f 除以1-x ，2-x 之餘式分別為5,7，求)(x f 除以)2)(1(--x x 之餘式。

(2)多項式)(x f 除以2-x ，322++x x 之餘式分別為5，65+x ，求)(x f 除以)32)(2(2++-x x x 之餘式。

類1. 設多項式)(x f 以2-x 除之餘3，以4+x 除之餘-9，則以)4)(2(+-x x 除之餘式為 。

類2. 設)(x f 為一多項式，0)deg(≥x ，若1-x ，2-x ，3-x 分別除之，餘式為3，7，13，則)(x f 以)3)(2)(1(---x x x 除之餘式為 。

類3. 多項式)(x f 除以2-x ，12++x x 之餘式分別為10，1+x ，求)(x f 除以)1)(2(2++-x x x 之餘式。

第五节综合除法、余数定理内容讲解一般地，多项式f（x）除以一次多项式（x-a）•的商式系数和余数有如下规律：商式的最高次项系数就是f（x）（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以b后再加上f（x）的第二项系数就得商的次商为次项系数，如此类推最后得余数，这种方法叫做综合除法．余数定理：多项式f（x）除以（x-a）所得的余数等于f（a）．如果f（x）能被（x-a）•整除，也就是（x-a）是f（x）的因式．反之，如果（x-a）是f（x）的因式，那么f（x）•能被（x-a）整除．因此，由余数定理，容易得出：因式定理：如果f（a）=0，那么（x-a）是f（x）的因式，反之，如果（x-a）是f（x）•的因式，那么f（a）=0．例题剖析例1 用综合除法求（3x3+5x2-2）除以（x+3）的商式和余数．分析：整式的除法我们可以用竖式法和分离系数法，这里我们主要是熟悉综合除法．解：把除式变成（x-a）形为x-（-3）．如右式所示：所以商式＝3x2-4x+12．余数＝－38．评注：在用综合除法时，①被除式和除式均按降幂排列，其缺项要用"0•"补项．②除式一定要变成（x-a）的形式．③若f（x）的除式为px-q形（p≠0），•可先变除式为：p（x- ）。

再用综合除法求出除以（x- ）的商式Q′（x）和余数k′，则f（•x）•÷（px-q）的商式为Q（x）= Q′（x），余数R=R′．例2 分解因式x4+2x3-9x2-2x+8．分析：原式可能有x±1，x±2，x±4，x±8因式，由于f（1）=0，f（-1）=0，•所以由因式定理，原多项式含有（x-1）（x+1）这两个因式，然后用综合除法即可求解．解：∵f（1）=0，f（-1）=0，∴原式中含有（x-1）和（x+1）这两个因式．•由综合除法得：原式＝（x-1）（x+1）（x-2）（x+4）评注：（1）如果多项式f（x）中各项系数的和等于零，那么f（x）有一次因式（x-1）；若奇次项的系数的和等于偶次项系数的和，则f（x）有一次因式（x+1），记住这个结论很有用．（2）本题用分组分解也较简单，请同学们自己求解．例3 已知x+x-6是多项式2x4+x3-ax2+6x+a+b-1的因式，求a，b的值．分析：此题如果用以前的方法求解，就显得特别的繁琐，•但用因式定理就比较简单．解：∵x2+x-6=（x+3）（x-2），又x2+x-6是多项式2x4+x3-ax2+bx+a+b-1的因式．∴x+3，x-2是它的两个因式．由因式定理，得f（-3）=0，f（2）=0，即∴a=16，b=3．评注：因式定理在因式分解及其他地方得到广泛的应用，必须高度重视并熟悉掌握．例4 2x+1除6x4-5x3-3x2-x+4所得的余数．分析：我们可以用竖式除法，分离系数法和综合除法求此题的余数，这里我们主要尝试余数定理求解．解：∵2x+1=2[x-（- ）]由余数定理，得：r=f（- ）=6×（- ）4-5×（- ）3-3×（- ）2-（- ）+4=4 ．评注：余数定理可以直接求多项式f（x）除以（x-a）式除以（px-q）的余数．例5 证明：（1）对任意自然数n，an-bn能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时,an-bn能被（a+b）整除；（3）当n为奇数时，an-bn被（a+b）除的余数为-2b．分析：如果我们把an-bn看成是字母a或b的多项式f（a）或f（b），问题就转化为f （a）•或f（b）被（a-b）或（b-a）整除的问题，于是可用余数定理求解．证明：把an-bn看成是字母a的多项式f（a）．（1）对任意自然数n，当a=b时，f（b）=bn-bn=0，所以f（a）=an-bn能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时，f（-b）=（-b）n-bn=0，所以an-bn能被a-（-b）=a+b整除．（3）当n为奇数时，f（-b）=（-b）n-bn=-2bn，故an-bn被（a+b）除的余数为-2bn．评注：正确使用余数定理，可以快捷地解答一些复杂的问题，希望读者仔细体会．巩固练习1．用综合除法求（2x3+x-7）÷（2x+1）的商式、余数．2．已知x= ，求f（x）=3x3-2x2+5的值．3．求证2x+3是2x4-5x3-10x2+15x+18的因式．4．利用因式分定理分解因式x3+y3+z3-3xyz．5．已知f（x）=ax3+bx2-47x-15可被3x+1和2x-3整除，求a，b．答案:1．商式=x2- x+ 余数=- ．2．用综合除法求f（x）÷（x- ）的余数得f（）= ．3．令f（x）=2x4-5x3-10x2+15x+18．∵f（- ）=2（- ）4-5（- ）3-10（- ）2+15（- ）+18=0，∴2x+3是f（x）的因式．4．令f（x）=x3+y3+z3-3xyz，当x=-（y+z）时，f（x）=f（-（x+y））=-（y+z）3+y3+z3+3（y+z）yz=-（y+z）3+（y+z）3=0，由因式定理知原式有因式x+y+z，又因为原式是关于x，y，z•的三次齐次式，故令原式=（x+y+z）[a（x2+y2+z2）+b（xy+yz+zx）]，比较两边x3的系数，得a=1，取x=1，y=1，z=1，得0=3×（3+3b），∴b=-1，故原式=（x+y+z）（x2+y2+z2-xy-yz-zx）．5．由因式定理有f（- ）=0和f（）=0，即有解此方程，得：a=24，b=2．。