余式定理 因式定理

餘式定理、因式定理除法原理：f (x)= g (x)⋅q(x) + r(x)，deg r(x)<deg g(x) 或r(x) = 0餘式定理：多項式f(x)除以x -a 的餘式等於f (a)。

有關f (a)的求值我們可以利用綜合除法得到。

餘式定理推廣：多項式f (x)除以ax+b 的餘式等於f (- b a)。

f (a)的雙重意義：(1)多項函數f(x)在x=a 的函數值。

(2) 多項式f (x)除以x -a 的餘式。

範例：二次式ax 2+bx -4以x +1除之，得餘式3，以x -1除之，得餘式1，若以x -2除之，所得的餘式為 。

解：f(x) = ax 2+bx -4，f(-1) =3且f(1) =1由此解得a 與b ，再求f(2)=18即為所得。

範例：試求115-4⋅114-72⋅113-56⋅112+15⋅11+7之值為 。

解： f(x) = x 5-4x 4-72x 3-56x 2+15x +7利用綜合除法求f(11) = 51範例：設二多項式f(x),g(x)以2x 2-3x -2除之，餘式分別為3x+2,-4x+7，則f(x)+g(x)以2x+1除之，其餘式為何？ Ans ：192解：f(x) = (2x 2-3x -2)× p(x) + (3x+2)g(x) = (2x 2-3x -2)× q(x) + (-4x+7)f(x)+g(x) = (2x 2-3x -2)(p(x)+q(x)) + (-x+9)= (2x+1)(x-2) (p(x)+q(x)) + (-x+9) F(x) = f(x)+g(x) , F(12-) = -(12-) +9 = 192範例：求多項式(x 2+3x+2)3被x 2+2x+3除之餘式為何？解：x 2+3x+2 = (x 2+2x+3) + (x-1)(x 2+3x+2)3= ( (x 2+2x+3) + (x-1) )3= (x 2+2x+3)3 + 3(x 2+2x+3)2(x-1) + 3 (x 2+2x+3)(x-1)2 + (x-1)3 求多項式(x 2+3x+2)3被x 2+2x+3除之餘式 = 求多項式(x-1)3被x 2+2x+3除之餘式= 10x+14範例：多項式f(x)以x 2-3x -4，2x 2-3x+1除之餘式各為4x -1，2x+7，試求f(x)以2x 2-9x+4除之餘式為何？解： f(x) = (x 2-3x -4) × p(x) + 4x -1 = (x-4)(x+1) × p(x) + 4x -1f(x) = (2x 2-3x+1) × q(x) + 2x+7 = (x-1)(2x-1) × q(x) + 2x+7f(4) = 15 且f(12) =8f(x) = (2x 2-9x+4) × S(x) + ax +b = (x-4) (2x-1) × S(x) + ax +b利用f(4) = 15 = 4a +b 及 f(12) = 8 = 12a +b我們可解得a = 2，b =7，故f(x)以 2x2-9x+4除之餘式為 2x + 7範例：多項式f(x)以x(x-1)除之，餘式為-x+3，以x(x+1)除之餘式為-3x+3，則f(x) 除以x(x2-1)之餘式為何？解：f(x) = x(x-1) × p(x) + (-x+3)f(x) = x(x+1) × q(x) + (-3x+3)f(x) = x(x2-1) × S(x) + ax2+ bx + c我們有 f(0) = 3，f(1) = 2，f(-1)= 6分別代入 f(x) = x(x2-1) × S(x) + ax2+ bx + c。

因式定理和余式定理数学作为一门学科，有着悠久的历史，历经时代的变迁，发展至今。

其中，因式定理和余式定理都是数学史上非常重要的定理，被誉为“二定理”。

本文就因式定理和余式定理进行具体介绍，以加深我们对它们的了解。

因式定理，又称费马小定理，它的发现者是德国数学家孔因斯费马，他于1824年发明了该定理。

它的正式名称叫做“一个整数的N 次方等于一个循环的形式的定理”。

该定理定义为：对于给定的质数p和正整数a满足ap a mod p（其中，a≠0 mod p），若x是正整数，设X x mod p，则满足下列关系：ax X mod p说明，如果知道了一个质数p和一个满足ap a mod p（其中，a ≠0 mod p）的整数a，那么我们就可以通过X（即x mod p）来计算ax mod p的值，当X为非常大的时候，计算成本也会非常高，因式定理能够解决这一问题。

余式定理也是一种数学定理，它发现者是著名的法国拉格朗日，他在1750年发明了该定理。

它的正式名称叫做“关于自由变量的多项式的系数的定理”。

它的意思是，在多项式中系数的值可以由以下公式来计算：a_n=p^n%c_1*p^(n-1)%c_2*...*p^1%c_n*1%c_(n+1) 其中，P表示多项式的本原，c_1，c_2，…，c_n+1表示多项系数的值，a_n表示系数的值，n表示多项式的次数。

由费马小定理和拉格朗日余式定理可知，如果满足它们相应的条件，那么就能够计算出多项式中系数的值。

这对我们学习数学和计算机科学有着重要的意义。

它们能够为我们解决很多复杂的数学问题，为我们的学习和研究提供了强大的支持。

从上文中可以看出，因式定理和余式定理都是数学史上非常重要的定理，它们能够为我们解决很多复杂的数学问题，给我们带来极大的帮助。

这就是因式定理和余式定理的重要性。

综上所述，因式定理和余式定理在数学史上占有重要地位，它们能够解决很多复杂的数学问题，为我们的学习和研究提供了强大的支持。

余式定理与因式定理例1. (1)求242)(+--=x x x x f 除以1+x 之余式。

(2)设1537935699357)(2345+++--=x x x x x x f ，求)2(f 。

类1. 15)(24-++=bx ax x x f 以3-x ，1-x 除之，余式分别为45，-15求以1+x 除之，余式为 。

类2. 求=-⨯-⨯+⨯-⨯-2001246012161258127123345。

类3. 以1+x 除5102610019992000++-+x x x x的余式为 。

类4. 设)(),(x g x f 均为多项式，)(x f 除以12-x 之余式为23+x ，)(x g 除以322-+x x 之余式为25+x ，则)()15()()3(2x g x x f x +++除以1-x 的余式为 。

类5. 已之3221)(x x x x f -+-=，且)2()1(+=+x f x g ，)2()(+=x g x h ，求)()(x xg x h +除以1+x 的余式。

Ans: 1. –19，2. 40，3. –12，4. 62，5. -8。

例2. (1)多项式)(x f 除以1-x ，2-x 之余式分别为5,7，求)(x f 除以)2)(1(--x x 之余式。

(2)多项式)(x f 除以2-x ，322++x x 之余式分别为5，65+x ，求)(x f 除以)32)(2(2++-x x x 之余式。

类1. 设多项式)(x f 以2-x 除之余3，以4+x 除之余-9，则以)4)(2(+-x x 除之余式为 。

类2. 设)(x f 为一多项式，0)deg(≥x ，若1-x ，2-x ，3-x 分别除之，余式为3，7，13，则)(x f 以)3)(2)(1(---x x x 除之余式为 。

类3. 多项式)(x f 除以2-x ，12++x x 之余式分别为10，1+x ，求)(x f 除以)1)(2(2++-x x x 之余式。

1.长除法：求多项式42(1)(1)x x x +++除以的余式.练习：(1)求多项式4322(352)(3)x x x x -+++除以的余式. (2)求多项式3(428)(21)x x x -+-除以的余式.2.综合除法：设多项式f (x )=1250x 6-2790x 5-3125x 4+707x 3+100x 2+45x -62，则f (3)=217练习：求115-4⋅114-72⋅113-56⋅112+15⋅11+7之值为 。

Ans ：51因式定理：设f(x)为一多项式，则x-α为f(x) 的因式⇔f(α)=0 .推广：ax-b为f(x)的因式⇔f( ba)=0一次因式检验定理：设f(x)=2x+3，g(x)=5x2-x+7，h(x)=f(x)⋅g(x)=10x3+13x2+11x+21，10x3是2x⋅5x2 来的，21是3⋅7来的，因此观察一次式2x+3|h(x)，而2|10，3|21，这个结果对于一般整系数的多项式也是成立，我们将它写成下面的定理：定理：设f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0为一个整系数n次多项式，若整系数一次式ax-b是f(x)的因式，且a,b互质，则a|a n且b|a0。

注意：①一次因式检验定理的逆叙述不成立。

例如：f(x)=3x3+5x2+4x-2，f(-13)≠0。

②由此定理，可知若一次式cx-d中c不为a n的因子或d不为a0的因子的话，则cx-d必不为f(x)的因式。

故只有满足a|a n且b|a0的一次式ax-b才有可能成为f(x)的因式，因此我们只要从满足a|a n且b|a0这些ax-b去找一次因式就可以了。

例如：求整系数f(x)=3x3+5x2+4x-2的整系数一次因式。

根据一次因式检验定理，假设ax-b为f(x)的一次因式，则a|3且b|2。

我们将所有可能的ax-b组合x+1,x-1,x+2,x-2,3x+1,3x-1,3x+2,3x-2，再利用综合除法检验看看那一个是f(x)的因式⇒3x-1是f(x)的因式。

§4−2 餘式定理、因式定理(甲)餘式定理除法原理：f(x)=g(x)⋅q(x)+r(x)，deg r(x)<deg g(x)或r(x)=0餘式定理：多項式f(x)除以x−a的餘式等於f(a)。

證明：由多項式的除法原理得知，恰有兩多項式q(x)及r(r為常數多項式)滿足f(x)=(x−a)⋅q(x)+r，而此等式為恆等式，因此將x=a代入上式，得f(a)=(a−a)⋅q(a)+r = r。

推廣：多項式f(x)除以ax+b的餘式等於f(−b a)。

f(a)的雙重意義：!多項函數f(x)在x=a的函數值。

"多項式f(x)除以x−a的餘式。

[例題1] 求下列二小題：(1)求(x3+2x2−x−4)3除以x+3的餘式。

(2)設f(x)=1250x6-2790x5−3125x4+707x3+100x2+45x−62，則f(3)=？Ans：(1)−1000 (2)217[例題2] 二次式ax2+bx−4以x+1除之，得餘式3，以x−1除之，得餘式1，若以x−2除之，所得的餘式為。

Ans：18(練習1) 試求115−4⋅114−72⋅113−56⋅112+15⋅11+7之值為。

Ans：51(練習2) 設二多項式f(x),g(x)以2x2−3x−2除之，餘式分別為3x+2,−4x+7，則f(x)+g(x)以2x+1除之，其餘式為何？ Ans：19 2(練習3) f(x)=2x4+3x3+5x2−6，求2x−1除f(x−3)的餘式。

Ans：113 2Hint：可令g(x)=f(x−3)，再利用餘式定理。

[例題3] 試求下列各小題：(1)求多項式f(x)=x7−50x5+8x4−5x3−19x2+41x+6除以(x−1)(x−7)之餘式。

(2)設多項式f(x)不低於2次，以x−1除之餘2，以x+2除之餘−1，則以(x−1)(x+2)除f(x)的餘式為何？(3)設多項式f(x)不低於3次，以x−1除之餘3，以x+1除之餘1，以x−2除之餘−2，則求以(x−1)(x+1)(x−2)除f(x)的餘式。

4-2 餘式定理與因式定理例1. (1)求242)(+--=x x x x f 除以1+x 之餘式。

(2)設1537935699357)(2345+++--=x x x x x x f ，求)2(f 。

類1. 15)(24-++=bx ax x x f 以3-x ，1-x 除之，餘式分別為45，-15求以1+x 除之，餘式為 。

類2. 求=-⨯-⨯+⨯-⨯-2001246012161258127123345 。

類3. 以1+x 除5102610019992000++-+x x x x 的餘式為 。

類4. 設)(),(x g x f 均為多項式，)(x f 除以12-x 之餘式為23+x ，)(x g 除以322-+x x 之餘式為25+x ，則)()15()()3(2x g x x f x +++除以1-x 的餘式為 。

類5. 已之3221)(x x x x f -+-=，且)2()1(+=+x f x g ，)2()(+=x g x h ，求)()(x xg x h +除以1+x 的餘式。

Ans: 1. –19，2. 40，3. –12，4. 62，5. -8。

例2. (1)多項式)(x f 除以1-x ，2-x 之餘式分別為5,7，求)(x f 除以)2)(1(--x x 之餘式。

(2)多項式)(x f 除以2-x ，322++x x 之餘式分別為5，65+x ，求)(x f 除以)32)(2(2++-x x x 之餘式。

類1. 設多項式)(x f 以2-x 除之餘3，以4+x 除之餘-9，則以)4)(2(+-x x 除之餘式為 。

類2. 設)(x f 為一多項式，0)deg(≥x ，若1-x ，2-x ，3-x 分別除之，餘式為3，7，13，則)(x f 以)3)(2)(1(---x x x 除之餘式為 。

類3. 多項式)(x f 除以2-x ，12++x x 之餘式分別為10，1+x ，求)(x f 除以)1)(2(2++-x x x 之餘式。

高中统考练习（余式定理，因式定理）高中高级数学1•除法原理：f(x)=g(x)×q(x)+r(x)，deg r(x)<deg g(x)或r(x)=0•余式定理：多项式f(x)除以x-a的余式等于f(a)。

•因式定理：設f(x)為一多項式，則x-a 為f(x) 的因式⇔f(a)=0（选择题）1. 若x-4 为 2x3 + k x2– 41x + 20 之一因式，则k = ? [1988 No.1]A 3B 2C 1D -1E -22. 若 4x3– 3x2 + x -1 除以 (x-2) (x-1) , 求其余式。

[1990 No.8]A 20x– 19B 20x + 19C 23 – 4xD -2E 23. 当多项式x3 + (k-4)x2 + (k-9)x– 4 除以 (x-2) 时，其余数为12，试求k的值。

[1991 No.11]A -7B -3C 0D 3E 74. 若x20 + p x11 + 3x2– 10 除以x + 1得余数 -18 , 求p 之值。

[1993 No.6]A -23B 2C 4D 12E 135. 若x-2 是f (x) = x3– 7x + k 的一个因式，问下列何式也是f (x) 的因式 ? [1998 No.1]A x + 1B x+2C x+3D x-3E x-66. 若f (x) = 3x3– 4x2 + k x + 5 能被x -1 所整除，求 k 的值。

[1999 No.1]A 4B 3C 1D 0E -47. 若x+1 是 2x3 + 3x2– 2k – 1 的因式，求k的值。

[2000 No.1]A -2B -1/2C 0D 1/2E 28. 若多项式x3– (m-1)x2 + 2x -1 除以 (x-1) 得余数 -1 ，则m的值是______。

[2001 No.1]A 4B 2C -2D -3E -49. 若f (x) = a x3– 5x2 + 4x– 4 能被x-2 所整除，求 a 的值。

(完整版)初中代数八大定理初中代数八大定理引言初中代数是数学学科中的一个重要分支，涉及到代数运算、代数方程、代数不等式等概念和方法。

掌握初中代数的基本定理对于提高数学水平和解决实际问题具有重要意义。

本文将介绍初中代数中的八大定理，帮助读者更好地理解和应用这些定理。

定理一：一元一次方程的解一元一次方程是形如 ax + b = 0 的方程，其中 a 和 b 是已知数，x 是未知数。

一元一次方程有唯一解，解的公式为 x = -b/a。

该定理的证明过程较为简单，可以通过代入法或消元法得到。

定理二：一元二次方程的解一元二次方程是形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a、b 和 c是已知数，x 是未知数。

一元二次方程可以有零个、一个或两个实数解，解的公式为 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)。

根据方程的判别式b^2 - 4ac 的值可以判断方程的解的情况。

定理三：因式定理因式定理是指如果把一个多项式的一个因式 x - a 除去，得到的商多项式为 q(x)，则原多项式可以表示为 p(x) = (x - a)q(x) + r，其中 r 是一个常数。

这个定理告诉我们如何判断一个多项式是否是另一个多项式的因式。

定理四：余式定理余式定理是因式定理的一种特殊情况，当把一个多项式的一个因式 x - a 除去时，得到的余式为 0。

余式定理和因式定理密切相关，可以帮助我们判断一个数是否是多项式的根。

定理五：二次根式乘除定理二次根式乘除定理是指两个二次根式之间可以进行乘法和除法运算，乘法运算可以通过平方差公式进行展开，除法运算可以通过有理化的方法进行求解。

定理六：二次根式的加减定理二次根式的加减定理是指两个二次根式之间可以进行加法和减法运算，运算过程中需要对二次根式进行合并和简化。

定理七：分式的加减定理分式的加减定理是指两个分式之间可以进行加法和减法运算，运算过程中需要对分式进行通分、合并和简化。