球、简单组合体的结构特征讲解
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简单组合体的结构特征首先,简单组合体具有明确定义的几何形状。
每个简单物体的几何形状可以是基本的几何体,如立方体、圆柱体、圆锥体等,也可以是自定义的形状。
每个简单物体都具有确定的尺寸、表面形状和边界,这些几何参数决定了它们在组合体中的位置和相互之间的关系。
其次,简单组合体具有确定的组合关系。
多个简单物体可以通过连接、堆叠、平移、旋转等方式组合在一起,形成复杂的结构。
组合关系可以是紧密连接的,如接缝无缝衔接的构件;也可以是间接连接的,如通过螺栓、焊接等方式连接的构件;还可以是外部约束的,如支撑、固定、挂吊等。
组合关系决定了简单物体之间的相对位置和运动关系。
第三,简单组合体具有确定的材质和物性。
每个简单物体都由一种或多种材质构成,其物性如弹性、硬度、重量、导热性等对组合体的性能和功能有重要影响。
在实际应用中,选择合适的材料和物性参数可以满足结构的强度、刚度、耐久性、防腐蚀等要求。
第四,简单组合体具有确定的载荷和边界条件。
在现实应用中,组合体通常需要承受各种静力和动力载荷,如重力、风荷载、振动等。
此外,组合体还可能受到约束条件的限制,如支撑、固定、边界约束等。
载荷和边界条件的确定对于结构的安全性和合理性至关重要。
第五,简单组合体具有明确的功能和用途。
通过合理设计和组合,简单物体可以构成功能复杂的结构体,如建筑物、机械装置、航天器等。
其功能可以是承重、支撑、隔离、连接、导向等。
为了实现特定的功能,还需要考虑材料选型、结构形式、制造工艺等方面的因素。
总之,简单组合体的结构特征可以通过几何形状、组合关系、材质和物性、载荷和边界条件以及功能和用途等方面来描述。
通过合理的设计和组合,可以实现各种结构的要求,从而满足不同领域的应用需求。
【新人教版】数学必修二第八单元第2课时圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体学习目标 1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.3.了解简单组合体的概念及结构特征.知识点一圆柱的结构特征圆柱图形及表示定义:以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱图中圆柱表示为圆柱O′O 相关概念:圆柱的轴:旋转轴圆柱的底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面圆柱的侧面:平行于轴的边旋转而成的曲面圆柱侧面的母线:无论旋转到什么位置,平行于轴的边思考圆柱的轴截面有________个,它们________(填“全等”或“相似”),圆柱的母线有________条,它们与圆柱的高________.答案无穷多全等无穷多相等知识点二圆锥的结构特征圆锥图形及表示定义:以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体图中圆锥表示为圆锥SO相关概念: 圆锥的轴:旋转轴圆锥的底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面:直角三角形的斜边旋转而成的曲面母线:无论旋转到什么位置 ,不垂直于轴的边思考 圆锥的轴截面有多少个?母线有多少条?圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线都是母线吗?答案 圆锥的轴截面有无穷多个,母线有无穷多条,圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线都是母线. 知识点三 圆台的结构特征圆台图形及表示定义:用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台图中圆台表示为圆台O ′O相关概念: 圆台的轴:旋转轴圆台的底面:垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面圆台的侧面:不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面母线:无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边知识点四球的结构特征球图形及表示定义:半圆以它的直径所在直线为旋转轴,旋转一周形成的曲面叫做球面,球面所围成的旋转体叫做球体,简称球图中的球表示为球O 相关概念:球心:半圆的圆心半径:连接球心和球面上任意一点的线段直径:连接球面上两点并经过球心的线段知识点五简单组合体的结构特征1.概念:由简单几何体组合而成的,这些几何体叫做简单组合体.2.基本形式:一种是由简单几何体拼接而成,另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.1.直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥.(×)2.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台.(√)3.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱.(×)4.半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球.(×)一、旋转体的结构特征例1下列说法正确的是________.(填序号)①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆;③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴,其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥;④用一个平面去截球,得到的截面是一个圆面.答案③④解析①以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台;②它们的底面为圆面;③④正确.反思感悟(1)判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成.②明确旋转轴是哪条直线.(2)简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.跟踪训练1下列说法,正确的是()①圆柱的母线与它的轴可以不平行;②圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形;③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线;④圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的.A.①②B.②③C.①③D.②④答案 D解析由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确,①③错误.二、简单组合体的结构特征例2(1)请描述如图所示的几何体是如何形成的.解①是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体;②是由一个长方体截去一个三棱锥后得到的几何体;③是由一个圆柱挖去一个三棱锥后得到的几何体.(2)如图所示,已知梯形ABCD中,AD∥BC,且AD<BC.当梯形ABCD 绕AD所在直线旋转一周时,其他各边旋转形成的面围成一个几何体,试描述该几何体的结构特征.解如下图所示,旋转所得的几何体可看成由一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的组合体.反思感悟(1)解决简单组合体的结构特征相关问题,首先要熟练掌握各类几何体的特征,其次要有一定的空间想象能力.(2)判断旋转体形状的关键是轴的确定,看是由平面图形绕哪条直线旋转所得,同一个平面图形绕不同的轴旋转,所得的旋转体一般是不同的.跟踪训练2(1)如图所示的简单组合体的组成是()A.棱柱、棱台B.棱柱、棱锥C.棱锥、棱台D.棱柱、棱柱答案 B(2)将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周,所得的几何体包括()A.一个圆台、两个圆锥B.两个圆柱、一个圆锥C.两个圆台、一个圆柱D.一个圆柱、两个圆锥答案 D解析图①是一个等腰梯形,CD为较长的底边,以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体,如图②,包括一个圆柱、两个圆锥.三、旋转体的有关计算例3一个圆台的母线长为12 cm,两底面面积分别为4π cm2和25π cm2,求:(1)圆台的高;(2)将圆台还原为圆锥后,圆锥的母线长.解 (1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD (如图所示). 由已知可得O 1A =2 cm ,OB =5 cm. 又由题意知腰长AB =12 cm , 所以高AM =122-(5-2)2 =315(cm).(2)如图所示,延长BA ,OO 1,CD ,交于点S , 设截得此圆台的圆锥的母线长为l , 则由△SAO 1∽△SBO ,可得l -12l =25, 解得l =20.即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.反思感悟 用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体,注意抓住截面的性质(与底面全等或相似),同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质,利用相似三角形中的相似比,构设相关几何变量的方程(组)而得解.跟踪训练3 如图所示,用一个平行于圆锥SO 底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3 cm ,求圆台O ′O 的母线长.解 设圆台的母线长为l cm ,由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16,可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm,4r cm.过轴SO 作截面,如图所示.则△SO ′A ′∽△SOA ,SA ′=3 cm. 所以SA ′SA =O ′A ′OA . 所以33+l=r 4r =14.解得l =9,即圆台的母线长为9 cm.1.下列说法中正确的是( ) A.将正方形旋转不可能形成圆柱B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D.通过圆台侧面上一点,有无数条母线 答案 C解析 将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱,所以A 错误;B 中没有说明这两个平行截面的位置关系,当这两个平行截面与底面平行时正确,其他情况下结论不一定正确,所以B 错误;通过圆台侧面上一点,只有一条母线,所以D 错误. 2.(多选)下列命题中正确的是( )A.过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径B.母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等C.圆台中所有平行于底面的截面都是圆面D.圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形答案ACD3.下列几何体是台体的是()答案 D解析台体包括棱台和圆台两种,A的错误在于四条侧棱没有交于一点,B的错误在于截面与圆锥底面不平行.C是棱锥,结合棱台和圆台的定义可知D正确.4.用一个平面去截一个几何体,得到的截面是三角形,这个几何体可能是()A.圆柱B.圆台C.球体D.棱台答案 D解析圆柱、圆台和球体无论怎样截,截面可能是曲面,也可能是矩形(圆柱)或等腰梯形(圆台),不可能截出三角形.只有棱台可以截出三角形.5.两相邻边长分别为3 cm和4 cm的矩形,以一边所在的直线为轴旋转所成的圆柱的底面积为________ cm2.答案16π或9π解析当以3 cm长的一边所在直线为轴旋转时,得到的圆柱的底面半径为4 cm,底面积为16π cm2;当以4 cm长的一边所在直线为轴旋转时,得到的圆柱的底面半径为3 cm,底面积为9π cm2.1.知识清单:(1)圆柱、圆锥、圆台的结构特征.(2)球的结构特征.(3)简单组合体的结构特征.2.方法归纳:分类讨论.3.常见误区:同一平面图形以不同的轴旋转形成的旋转体一般是不同的.1.下列几何体中不是旋转体的是()答案 D2.如图所示的简单组合体的结构特征是()A.由两个四棱锥组合成的B.由一个三棱锥和一个四棱锥组合成的C.由一个四棱锥和一个四棱柱组合成的D.由一个四棱锥和一个四棱台组合成的答案 A3.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周,形成的几何体形状为()A.一个球体B.一个球体中间挖去一个圆柱C.一个圆柱D.一个球体中间挖去一个长方体答案 B解析圆面绕着直径所在的轴,旋转而形成球,矩形绕着轴旋转而形成圆柱. 故选B.4.若圆柱的母线长为10,则其高等于()A.5B.10C.20D.不确定答案 B解析圆柱的母线长与高相等,则其高等于10.5.如图所示的几何体是由哪个平面图形旋转得到的()答案 D解析图中所给的几何体是由上部的圆锥和下部的圆台组合而成的,故所求平面图形的上部是直角三角形,下部为直角梯形构成.6.观察下列四个几何体,其中可看作是由两个棱柱拼接而成的是________.(填序号)答案①④解析①可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成,④可看作由两个四棱柱组合而成.7.已知一个圆柱的轴截面是一个正方形,且其面积是Q,则此圆柱的底面半径为________.(用Q表示)答案Q 2解析设圆柱的底面半径为r,则母线长为2r.∴4r2=Q,解得r=Q 2,∴此圆柱的底面半径为Q 2.8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,则该圆锥的高为________.答案 3解析由题意知一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,因为4π=πl2,所以母线长为l=2,又半圆的弧长为2π,圆锥的底面的周长为2πr=2π,所以底面圆半径为r=1,所以该圆锥的高为h=l2-r2=22-12= 3.9.一个圆锥的高为2 cm,母线与轴的夹角为30°,求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积.解如图轴截面SAB,圆锥SO的底面直径为AB,SO为高,SA为母线,则∠ASO=30°.在Rt△SOA中,AO=SO·tan 30°=233(cm).SA=SOcos 30°=232=433(cm).所以S△ASB=12SO·2AO=433(cm2).所以圆锥的母线长为433cm,圆锥的轴截面的面积为433cm2. 10.如图所示,有一个底面半径为1,高为2的圆柱体,在A点处有一只蚂蚁,现在这只蚂蚁要围绕圆柱表面由A点爬到B点,问蚂蚁爬行的最短距离是多少?解把圆柱的侧面沿AB剪开,然后展开成为平面图形——矩形,如图所示,连接AB′,则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离.∵AA′为底面圆的周长,∴AA′=2π×1=2π.又AB=A′B′=2,∴AB′=A′B′2+AA′2=4+(2π)2=21+π2,即蚂蚁爬行的最短距离为21+π2.11.上、下底面面积分别为36π和49π,母线长为5的圆台,其两底面之间的距离为()A.4B.3 2C.2 3D.2 6答案 D解析圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r,R满足关系式l2=h2+(R-r)2,由题意知l=5,R=7,r=6,求得h=26,即两底面之间的距离为2 6.12.已知球的半径为10 cm,若它的一个截面圆的面积为36π cm2,则球心与截面圆圆心的距离是______cm.答案8解析如图,设截面圆的半径为r,球心与截面圆圆心之间的距离为d,球半径为R.由示意图易构造出一个直角三角形,解该直角三角形即可.由题意知,R=10 cm,由πr2=36π,得r=6,所以d=R2-r2=100-36=8(cm).13.边长为5的正方形EFGH是圆柱的轴截面,则从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离为________.答案52π2+4解析如图,矩形E1F1GH是圆柱沿着其母线EF剪开半个侧面展开而得到的,由题意可知GH =5,GF 1=5π2,GE 1=254π2+25=52π2+4.所以从点E 沿圆柱的侧面到相对顶点G 的最短距离是52π2+4. 14.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而成的.现用一个竖直的平面去截这个几何体,则所截得的图形可能是________.(填序号)答案 ①⑤解析 由于截面平行于圆锥的轴或过圆锥的轴,故只能是①⑤.15.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且距离为1,那么这个球的半径是( ) A.4 B.3 C.2 D.0.5 答案 B解析 如图所示,∵两个平行截面的面积分别为5π和8π,∴两个截面圆的半径分别为r 1=5, r 2=2 2.∵球心到两个截面的距离d 1=R 2-r 21,d 2=R 2-r 22,∴d 1-d 2=R 2-5-R 2-8=1,∴R 2=9,∴R =3.16.圆台的上、下底面半径分别为5 cm,10 cm,母线长AB=20 cm,从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A,求:(1)绳子的最短长度;(2)在绳子最短时,上底圆周上的点到绳子的最短距离.解(1)如图所示,将侧面展开,绳子的最短长度为侧面展开图中AM 的长度,设OB=l,则θ·l=2π×5,θ·(l+20)=2π×10,解得θ=π2,l=20 cm.∴OA=40 cm,OM=30 cm.∴AM=OA2+OM2=50 cm.即绳子最短长度为50 cm.(2)作OQ⊥AM于点Q,交弧BB′于点P,则PQ为所求的最短距离.∵OA·OM=AM·OQ,∴OQ=24 cm.故PQ=OQ-OP=24-20=4(cm),即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.。
第2课时圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征1.圆柱的结构特征(1)在圆柱中,圆柱的任意两条母线是什么关系?过两条母线的截面是怎样的图形?提示:圆柱的任意两条母线平行,过两条母线的截面是矩形.(2)在圆柱中,过轴的截面是轴截面,圆柱的轴截面是什么图形?轴截面含有哪些重要的量?提示:圆柱的轴截面是矩形,轴截面中含有圆柱的底面圆的直径与圆柱的母线.2.圆锥的结构特征在圆锥中,过轴的截面是轴截面,圆锥的轴截面是什么图形?轴截面含有哪些重要的量?提示:圆锥的轴截面是等腰三角形,轴截面中含有圆锥的底面圆的直径与圆锥的母线.3.圆台的结构特征经过圆台的任意两条母线作截面,截面是什么图形?提示:因为圆台的任意两条母线长度均相等,且延长后相交,故经过任意两条母线的截面是以这两条母线为腰的等腰梯形.4.球的结构特征球体与球面的区别和联系是什么?提示:区别联系球面球的表面是球面,球面是旋转形成的曲面球面是球体的表面球体球体是几何体,包括球面及其所围成的空间部分5.简单组合体定义由简单几何体组合而成的几何体构成的基本形式由简单几何体拼接而成由简单几何体截去或挖去一部分而成1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)圆柱上底面圆周上任一点与下底面圆周上任一点的连线是圆柱的母线.( ×)提示:圆柱的母线与轴是平行的.(2)圆台有无数条母线,它们相等,延长后相交于一点. ( √)提示:用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分是圆台,由此可知此说法正确.(3) 用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.( ×)提示:用与底面平行的平面去截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台.(4) 用任意一个平面去截球,得到的是一个圆面.( √)提示:因为球是一个几何体,包括表面及其内部,所以用一个平面去截球,得到的是一个圆面.2.如图所示的图形中有( )A.圆柱、圆锥、圆台和球B.圆柱、球和圆锥C.球、圆柱和圆台D.棱柱、棱锥、圆锥和球【解析】选B.根据题中图形可知,(1)是球,(2)是圆柱,(3)是圆锥,(4)不是圆台.3.(教材习题改编)若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为 3 ,则这个圆锥的母线长为________.【解析】如图所示,设等边三角形ABC为圆锥的轴截面,由题意知圆锥的母线长即为△ABC的边长,且S△ABC =34AB2,所以 3 =34AB2,所以AB=2.答案:2类型一圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征(直观想象)1.下列说法中错误的是( )A.以直角三角形的一条边所在直线为轴,其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥B.以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴,将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥C.经过圆锥任意两条侧面的母线的截面是等腰三角形D.圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径2.下列说法中正确的是( )①用不过球心的截面截球,球心和截面圆心的连线垂直于截面;②球面上任意三点可能在一条直线上;③球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段.A.①B.①②C.①③D.②③3.下列几种说法:①圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形;②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥侧面的母线;③圆柱的轴截面是过侧面的母线的截面中最大的一个;④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体.其中说法正确的是________.【解析】1.选A.A错误.如图(1)所示旋转轴是直角三角形的斜边所在直线时,得到的旋转体不是圆锥;B正确.由圆锥的定义可知此说法正确;C正确.如图(2),由圆锥侧面的母线相等可知,所得截面是等腰三角形;D正确.圆锥侧面的母线和底面圆的直径构成等腰三角形,当圆锥侧面母线和底面的直径所成的夹角大于60°时,圆锥侧面的母线长大于圆锥底面圆的直径.2.选C.由球的结构特征可知①③正确.3.由圆锥的定义及母线的性质知①②正确,圆柱的轴截面过上下底的直径,所以是过母线的截面中最大的一个.④不正确,夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体.答案:①②③1.判断旋转体形状的步骤(1)明确旋转轴l.(2)确定平面图形中各边(通常是线段)与l的位置关系.(3)依据圆柱、圆锥、圆台、球的定义和一些结论来确定形状.2.与简单旋转体的截面有关的结论(1)圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面都是圆面.(2) 圆柱、圆锥、圆台的轴截面(即过旋转轴的截面)分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形.【补偿训练】下列说法正确的是________.(填序号)①一直角梯形绕下底所在直线旋转一周,所形成的曲面围成的几何体是圆台;②圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面,圆锥的轴截面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形;③到定点的距离等于定长的点的集合是球.【解析】①错.直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体,如图所示.②正确.③错,应为球面.答案:②类型二简单组合体的结构特征(直观想象)【典例】如图(1)、(2)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的几何体分别是由哪些简单几何体组成的?【思路导引】依据简单旋转体的结构特征从上到下逐一分析.【解析】旋转后的图形如图所示.其中图(1)是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3,O3O4组成的;图(2)是由一个圆锥O5O4,一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的.由旋转体组成的简单几何体的确定(1)判断旋转体形状的关键是轴的确定,看是由平面图形绕哪条直线旋转所得,同一个平面图形绕不同的轴旋转,所得的旋转体一般是不同的.(2)在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹,应利用空间想象能力,或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状.正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是_______.【解析】由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体.类型三旋转体中的计算问题(直观想象、数学运算)角度1 有关圆柱、圆锥、圆台和球的计算问题【典例】(2021·新高考I卷)已知圆锥的底面半径为 2 ,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为( )A.2 B.2 2 C.4 D.4 2【解析】选B.设母线长为l,则底面周长为2 2 π,其侧面展开图半周长为πl,故πl=2 2 π,所以l=2 2 .角度2 旋转体表面的两点间的距离最大(小)值【典例】如图,圆台侧面的母线AB的长为20 cm,上、下底面的半径分别为5 cm,10 cm,从母线AB的中点M处拉一条绳子绕圆台侧面转到B点,求这条绳子长度的最小值.【思路导引】转化为在圆台的侧面展开图中,求两个点距离最小值的问题.【解析】作出圆台的侧面展开图,如图所示,由Rt△OPA与Rt△OQB相似,得OAOA+AB=PAQB,即OAOA+20=510,解得OA =20,所以OB =40.设∠BOB ′=α,由弧BB ′的长与底面圆Q 的周长相等, 得2×10×π=π·OB ·α180°, 解得α=90°.所以在Rt △B ′OM 中, B ′M 2=OB ′2+OM 2=402+302=502,所以B ′M =50.即所求绳长的最小值为50 cm.1.简单旋转体的轴截面及其应用(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量. (2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想. 2.与圆锥有关的截面问题的解决策略 (1)画出圆锥的轴截面.(2)在轴截面中借助直角三角形或三角形的相似关系建立高、母线长、底面圆的半径长的等量关系,求解便可.1.上、下底面面积分别为36π和49π,母线长为5的圆台,其两底面之间的距离为( ) A .4 B .3 2 C .2 3 D .2 6【解析】选D.圆台的母线长l 、高h 和上、下两底面圆的半径r ,R 满足关系式l 2=h 2+(R -r)2,求得h =2 6 ,即两底面之间的距离为2 6 .2.已知OA 为球O 的半径,过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M. (1)若OA =1,求圆M 的面积;(2)若圆M 的面积为3π,求OA. 【解析】(1)若OA =1,则OM =12 ,故圆M 的半径r =OA 2-OM 2 =12-⎝ ⎛⎭⎪⎫122=32 ,所以圆M 的面积S =πr 2=34π.(2)因为圆M 的面积为3π,所以圆M 的半径r = 3 , 则OA 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫OA 2 2+3,所以34 OA 2=3,所以OA 2=4,所以OA =2.。
2013届高二第一学期数学教案3.球以及简单组合体的结构特征【教学目标】123.通过教学活动,逐步培养学生探索新知的精神.【教学重点】球的结构特征及其重要性质 【教学难点】球的结构特征及其重要性质 【教学过程】一、球的结构特征及其性质1.球的结构特征:(1)概念:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体,叫做球体,简称球.半圆的圆心叫做球的球心,半圆的半径叫做球的半径,半圆的直径叫做球的直径.(2)表示:用球心的字母表示,如球O .(3)球的截面:圆面①大圆:球面被经过球心平面截得的圆叫做大圆.②小圆:球面被不过球心平面截得的圆叫做小圆.思考1:①球、圆柱、圆锥、圆台过轴的截面分别是什么图形?②连接球心O 与截面圆1O ,你能判断线段1OO 与圆1O 中任意半径的位置关系吗?(垂直)(4)重要三角形:A OO Rt 1 ,刻画两心弦、截面半径以及球半径之间的关系.(5)球面距离:球面上两点之间的最短连线的长度,就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度,称该弧长为球面距离.(6)例题讲解:例1.判断对错:① 空间中,到一定点距离等于定长的点的集合是球面;② 过球面上不同的两点只能作一个大圆; 例2. 有一半径是8cm 的球面上有A 、B 、C 三点, AB=BC=CA=12cm . ① 求球心到经过这三点的截面的距离.②求A 、B 两点的球面距离.2.球的性质:(1)内接问题:例1. 半球内有一内接正方体,正方体的一个面在半球的底面圆上。
若正方体的一边长为6,求半球的半径。
2. 外切问题例2. 已知正三棱柱的内切球半径为R ,求正三棱柱的体积.例3. 已知正三棱锥的高为1,底面三角形的边长为62,求正三棱锥内切球的半径.(用r S V 表31 ) 3.简单组合体的结构特征(1)概念:由柱、锥、台、球等简单几何体组合而成的几何体叫简单组合体.(2)简单几何体的构成有两种形式:①由简单几何体拼接而成的(左图)②简单几何体截去或挖去一部分而成的(右图)二、小结1.球的结构特征及性质;2.简单组合体的结构特征.三、作业:《作业本》1.1.2四、板书格式:。
第一章、空间几何体1.1空间几何体的结构1.1.1柱、锥、台、球的结构特征(一)课本知识:1.空间几何体(1)空间几何体的定义空间中的物体都占据着空间的一局部,假设只考虑这些物体的形状和大小,而不考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.类别多面体旋转体定义由假设干个围成的几何体由一个平面图形绕它所在平面内的一条旋转所形成的.图形相关概念面:围成多面体的各个.棱:相邻两个面的.顶点:的公共点.轴:形成旋转体所绕的 .2.多面体多面体定义图形及表示相关概念棱柱有两个面互相,其余各面都是,并且每相邻两个四边形的公共边都互相,由这些面所围成的多面体叫做棱柱.如图可记作:棱柱底面(底):两个互相平行的面.侧面:.侧棱:相邻侧面的.顶点:侧面与底面的.棱锥有一个面是,其余各面都是有一个公共顶点的,由这些面所围成的多面体叫做棱锥如图可记作:棱锥底面(底):面.侧面:有公共顶点的各个.侧棱:相邻侧面的.顶点:各侧面的.棱台用一个的平面去截棱锥,底面与截面之间的局部叫做棱台.如图可记作:棱台上底面:原棱锥的.下底面:原棱锥的.侧面:其余各面.侧棱:相邻侧面的公共边.顶点:侧面与上(下)底面的公共顶点.知识梳理:要点一棱柱、棱锥、棱台的概念1.棱柱的结构特征侧棱都相等,侧面都是平行四边形,两个底面相互平行;2.棱锥的结构特征有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形;3.棱台的结构特征上下底面相互平行,各侧棱的延长线交于同一点.典型例题1、有以下说法:①有两个面平行,其余各面都是平行四边形所围成的几何体一定是棱柱;②各个面都是三角形的几何体是三棱锥;③用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得到的几何体叫做棱台;④棱柱的各相邻侧面的公共边互相平行.以上说法中,正确说法的序号是________(写出所有正确说法的序号).反应训练1、有以下说法:①一个棱锥至少有四个面;②如果四棱锥的底面是正方形,那么这个四棱锥的四条侧棱都相等;③五棱锥只有五条棱;④用与底面平行的平面去截三棱锥,得到的截面三角形和底面三角形相似.以上说法中,正确说法的序号是________(写出所有正确说法的序号).典型例题2、长方体ABCD-A′B′C′D′,当用平面BCFE把这个长方体分成两局部后,各局部形成的多面体还是棱柱吗?如果不是,请说明理由;如果是,指出底面及侧棱.反应训练2、以下说法:①有两个面互相平行,其余的面都是平行四边形的几何体的侧棱一定不相交于一点,故一定不是棱台;②两个互相平行的面是平行四边形,其余各面是四边形的几何体不一定是棱台;③两个互相平行的面是正方形,其余各面是四边形的几何体一定是棱台.其中正确的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 要点三多面体的外表展开图1.绘制多面体的外表展开图要结合多面体的几何特征,发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型,在解题过程中,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,然后依次画出各侧面,便可得到其外表展开图.2.假设是给出多面体的外表展开图,来判断是由哪一个多面体展开的,那么可把上述过程逆推.典型例题3、请画出以下图所示的几何体的外表展开图.反应训练3、根据右图所给的几何体的外表展开图,画出立体图形1.1.1柱、锥、台、球的结构特征(二)1.1.2简单组合体的结构特征课本知识:1.旋转体旋转体结构特征图形表示圆柱以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的所围成的旋转体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴;于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面;于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置,于轴的边都叫做圆柱侧面的母线我们用表示圆柱轴的字母表示圆柱,左图可表示为圆锥以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的所围成的旋转体叫做圆锥我们用表示圆锥轴的字母表示圆锥,左图可表示为圆台用平行于的平面去截圆锥,底面与截面之间的局部叫做圆台我们用表示圆台轴的字母表示圆台,左图可表示为球以半圆的直径所在直线为旋转轴,旋转一周所形成的旋转体叫做球体,简称球.半圆的圆心叫做球的,半圆的半径叫做球的半径,半圆的直径叫做球的直径球常用球心字母进行表示,左图可表示为(1)定义:由组合而成的几何体叫做简单组合体.(2)简单组合体的两种根本形式:由简单几何体而成;由简单几何体一局部而成.特别提醒:圆是一条封闭的曲线,圆面是一个圆围成的圆内平面.球是几何体,球面是指半圆沿直径旋转形成的曲面,球是旋转体.知识梳理:要点一、旋转体的结构特征圆柱、圆锥、圆台、球从生成过程来看,它们分别是由矩形、直角三角形、直角梯形、半圆绕着某一条直线旋转而成的几何体,因此它们统称为旋转体.但应注意的是:所谓旋转体就是一个平面图形绕着这个平面图形所在的平面内一条直线旋转一周所得到的几何体,因此它还含有除圆柱、圆锥、圆台、球之外的几何体.典型例题1、以下说法:①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点,那么这两点的连线是圆柱的母线;②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线;③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点,那么这两点的连线是圆台的母线;④圆柱的任意两条母线相互平行.其中正确的选项是( )A.①②B.②③C.①③D.②④反应训练1、以下说法中正确的选项是( )A.圆台是直角梯形绕其一边旋转而成的B.圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成的C.圆柱不是旋转体D.圆台可以看作是平行于底面的平面截一个圆锥而得到的要点二圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图把柱、锥、台体沿一条侧棱或母线展开成平面图,这样便把空间问题转化成了平面问题,对解决简单空间几何体的面积问题或侧面上(球除外)两点间的距离问题,是很有效的方法.典型例题2、如图,底面半径为1,高为2的圆柱,在A点有一只蚂蚁,现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点,问蚂蚁爬行的最短距离是多少?反应训练2、假设本例中蚂蚁围绕圆柱转两圈,如下图,那么它爬行的最短距离是多少?要点三简单组合体的结构特征判断实物图是由哪些简单几何体所组成的图形问题,首先要熟练掌握简单几何体的结构特征,其次要善于将复杂的组合体“分割〞成几个简单的几何体.简单组合体有以下三种形式:1.多面体与多面体的组合体:即由两个或两个以上的多面体组合而成的几何体.2.多面体与旋转体的组合体:即由一个多面体与一个旋转体组合而成的几何体.3.旋转体与旋转体的组合体:即由两个或两个以上的旋转体组合而成的几何体.典型例题3、请描述如下图的组合体的结构特征.反应训练3、说出以下几何体的结构特征.一、选择题1.以下说法中正确的选项是( )A .棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面B .棱柱的面中,至少有两个面互相平行C .棱柱中一条侧棱的长叫棱柱的高D .棱柱的侧面是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形2.如图,D ,E ,F 分别是等边△ABC 各边的中点,把该图按虚线折起,可以得到一个( )A .棱柱 B .棱锥 C .棱台 D .旋转体3.以下三个说法,其中正确的选项是( )①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的局部是棱台; ②两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台; ③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台. A .0个 B .1个 C .2个 D .3个4.在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =3,AD =2,CC 1=1,一条绳子从点A 沿外表拉到点C 1,那么绳子的最短的长是( )A .3 2 B .2 5 C.26 D .65.如图,以下几何体中,________是棱柱,________是棱锥,________是棱台.6.在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何图形的4个顶点,这些几何体是________(写出所有正确结论的序号).①矩形;②不是矩形的平行四边形;③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体;④每个面都是等边三角形的四面体;⑤每个面都是直角三角形的四面体.7.在如下图的三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,请连接三条线,把它分成三局部,使每一局部都是一个三棱锥.8.如下图,在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB =2,AA 1=2,由顶点B 沿棱柱侧面(经过棱AA 1)到达顶点C 1,与AA 1的交点记为M .求:(1)三棱柱侧面展开图的对角线长;(2)从B 经M 到C 1的最短路线长及此时A 1MAM的值.1.以下说法正确的选项是( )A.圆锥的母线长等于底面圆直径B.圆柱的母线与轴垂直C.圆台的母线与轴平行D.球的直径必过球心2.底面半径为2且底面水平放置的圆锥被过高的中点且平行于底面的平面所截,那么截得的截面圆的面积为( )A.πB.2π C.3πD.4π3.以下说法正确的有( )①球的半径是球面上任意一点与球心的连线段②球的直径是球面上任意两点间的连线段③用一个平面截一个球,得到的是一个圆④不过球心的截面截得的圆的半径小于球半径A.①② B.①④ C.①②④D.③④4.如下图的几何体,关于其结构特征,以下说法不正确的选项是( )A.该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体B.该几何体有12条棱、6个顶点C.该几何体有8个面,并且各面均为三角形D.该几何体有9个面,其中一个面是四边形,其余均为三角形5.给出以下说法:(1)直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥(2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体(3)圆锥截去一个小圆锥后剩余局部是圆台(4)通过圆台侧面上一点,有无数条母线其中正确的说法是________(写出所有正确说法的序号).6.把一个圆锥截成圆台,圆台的上下底面半径之比是14,母线长为10,那么圆锥的母线长是________.7.如图(1)所示,正三棱柱的底面边长是4cm、过BC的一个平面交侧棱AA′于D,假设AD的长为2cm,求截面△BCD的面积.图(1) 图(2)8.从一个底面半径和高都是R的圆柱中,挖去一个以圆柱上底面为底,下底面中心为顶点的圆锥,得到如以下图所示的几何体.如果用一个与圆柱下底面距离等于l并且平行于底面的平面去截它,求所得截面的面积.。
数学重要知识点归纳数学重要知识点归纳1一、柱、锥、台、球的结构特征结构特征图例棱柱(1)两底面相互平行,其余各面都是平行四边形;(2)侧棱平行且相等.圆柱(1)两底面相互平行;(2)侧面的母线平行于圆柱的轴;(3)是以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体.棱锥(1)底面是多边形,各侧面均是三角形;(2)各侧面有一个公共顶点.圆锥(1)底面是圆;(2)是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体.棱台(1)两底面相互平行;(2)是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分.圆台(1)两底面相互平行;(2)是用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面和截面之间的部分.球(1)球心到球面上各点的距离相等;(2)是以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体.二、简单组合体的结构特征三、空间几何体的三视图定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、俯视图(从上向下)注:正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度。
四、空间几何体的直观图——斜二测画法斜二测画法特点:①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变;②原来与y轴平行的线段仍然与y平行,长度为原来的一半。
五、柱体、锥体、台体的表面积与体积(1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
(2)特殊几何体表面积公式(c为底面周长,h为高,h'为斜高,l 为母线)(3)柱体、锥体、台体的体积公式(4)球体的表面积和体积公式:数学重要知识点归纳21、没有加减运算的整式叫做单项式。
(数字与字母的积---包括单独的一个数或字母)2、几个单项式的和,叫做多项式。
其中每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项。