1.1.2简单组合体的结构特征 (2)

高一数学知识点总结_空间几何体的结构知识点高一数学空间几何体的结构知识点篇1空间几何体的结构知识点1、静态的观点有两个平行的平面，其他的面是曲面;动态的观点：矩形绕其一边旋转形成的面围成的旋转体，象这样的旋转体称为圆柱。

2、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的的曲面所围成的旋转体叫做圆柱，旋转轴叫圆柱的轴;垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面;平行于圆柱轴的边旋转而成的面叫圆柱的侧面，圆柱的侧面又称圆柱的面。

无论转到什么位置，不垂直于轴的边都叫圆柱侧面的母线。

表示：圆柱用表示轴的字母表示。

规定：圆柱和棱柱统称为柱体。

3、静态观点：有一平面，其他的面是曲面;动态的观点：直角三角形绕其一直角旋转形成的面围成的旋转体，像这样的旋转体称为圆锥。

4、定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转而形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。

旋转轴叫圆锥的轴;垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面成为圆锥的底面;不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫圆锥的侧面，圆锥的侧面又称圆锥的面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做圆锥侧面的母线。

表示：圆锥用表示轴的字母表示。

规定：圆锥和棱锥统称为锥体。

5、定义：以半直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆台。

还可以看成用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截面于底面之间的部分。

旋转轴叫圆台的轴。

垂直于旋转轴的边旋转而形成的圆面称为圆台的底面;不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫做圆台的侧面，无论转到什么位置，这条边都叫圆台侧面的母线。

表示：圆台用表示轴的字母表示。

规定：圆台和棱台统称为台体。

6、定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面称为球面，球面所围成的旋转体称为球体，简称为球。

半圆的圆心称为球心，连接球面上任意一点与球心的线段称为球的半径，连接球面上两点并且过球心的线段称为球的直径。

表示：用表示球心的字母表示。

第2课时 旋转体与简单组合体的结构特征学习目标 1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.3.了解简单组合体的概念及结构特征.知识点一 圆柱的结构特征思考 圆柱的轴截面有无穷多个，它们全等(填“全等”或“相似”)，圆柱的母线有无穷多条，它们与圆柱的高相等. 知识点二 圆锥的结构特征思考 圆锥的轴截面有多少个？母线有多少条？圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线都是母线吗？答案圆锥的轴截面有无穷多个，母线有无穷多条，圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线都是母线.知识点三圆台的结构特征知识点四球的结构特征知识点五简单组合体的结构特征(1)概念：由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体.常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成的.(2)基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.1.直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥.(×)2.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台.(√)3.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱.(×)4.半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球.(×)题型一旋转体的结构特征例1下列说法正确的是________.(填序号)①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥；④半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球；⑤用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.考点空间几何体题点空间几何体结构应用答案③④⑤解析①以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台；②它们的底面为圆面；③④⑤正确.反思感悟(1)判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成.②明确旋转轴是哪条直线.(2)简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.跟踪训练1下列说法，正确的是()①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的.A.①②B.②③C.①③D.②④考点空间几何体题点空间几何体结构应用答案 D解析由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误.题型二简单组合体的结构特征例2(1)请描述如图所示的几何体是如何形成的.解①是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；②是由一个长方体截去一个三棱锥后得到的几何体；③是由一个圆柱挖去一个三棱锥后得到的几何体.(2)如图所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC.当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转形成的面围成一个几何体，试描述该几何体的结构特征.解如图所示，旋转所得的几何体可看成由一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的组合体.反思感悟(1)解决简单组合体的结构特征相关问题，首先要熟练掌握各类几何体的特征，其次要有一定的空间想象能力.(2)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的.跟踪训练2(1)如图所示的简单组合体的组成是()A.棱柱、棱台B.棱柱、棱锥C.棱锥、棱台D.棱柱、棱柱答案 B(2)将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括()A.一个圆台、两个圆锥B.两个圆柱、一个圆锥C.两个圆台、一个圆柱D.一个圆柱、两个圆锥考点简单组合体的结构特征题点与旋转有关的组合体答案 D解析图1是一个等腰梯形，CD为较长的底边，以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图2，包括一个圆柱、两个圆锥.题型三旋转体的有关计算例3一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：(1)圆台的高；(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长.考点圆台的结构特征题点与圆台有关的运算解(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示).由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm.又由题意知腰长为12 cm，所以高AM ＝122－(5－2)2 ＝315(cm).(2)如图所示，延长BA ，OO 1，CD ，交于点S ， 设截得此圆台的圆锥的母线长为l ， 则由△SAO 1∽△SBO ，可得l －12l ＝25， 解得l ＝20(cm).即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.反思感悟 用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解.跟踪训练3 如图所示，用一个平行于圆锥SO 底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm ，求圆台O ′O 的母线长.解 设圆台的母线长为l cm ，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm,4r cm.过轴SO 作截面，如图所示.则△SO ′A ′∽△SOA ，SA ′＝3 cm. 所以SA ′SA ＝O ′A ′OA .所以33＋l ＝r 4r ＝14.解得l ＝9，即圆台的母线长为9 cm.圆柱侧面展开图的应用典例如图所示，有一个底面半径为1，高为2的圆柱体，在A点处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱表面由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？解把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离.∵AA′为底面圆的周长，∴AA′＝2π×1＝2π.又AB＝A′B′＝2，∴AB′＝A′B′2＋AA′2＝4＋(2π)2＝21＋π2，即蚂蚁爬行的最短距离为21＋π2.[素养评析](1)求几何体表面上两点间的最小距离的步骤①将几何体沿着某棱(母线)剪开后展开，画出其侧面展开图；②将所求曲线问题转化为平面上的线段问题；③结合已知条件求得结果.(2)解决此类问题需要将空间图形转化为平面图形，也就是借助空间形式认识事物的位置关系、形态、变化等，同时，要理解运算对象，探究运算思路，所以本题体现了直观想象与数学运算的核心数学素养.1.下列几何体是台体的是()考点圆台的结构特征题点圆台的概念的应用答案 D解析台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点，B的错误在于截面与圆锥底面不平行.C是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知D正确.2.下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如图1中的几何体的是()图1考点简单组合体的结构特征题点与旋转有关的组合体答案 B解析由题意知，所得几何体是组合体，上、下各一圆锥，故B正确.3.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体可能是()A.圆柱B.圆台C.球体D.棱台考点棱台的结构特征题点棱台的概念的应用答案 D解析圆柱、圆台和球体无论怎样截，截面可能是曲面，也可能是矩形(圆柱)，不可能截出三角形.只有棱台可以截出三角形，故选D.4.如图是一个几何体的表面展开图形，则这个几何体是________.答案圆柱5.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的母线长为________.考点圆锥的结构特征题点与圆锥有关的运算答案 2解析如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为△ABC的边长，且S△ABC＝34AB2，∴3＝34AB2，∴AB＝2.故圆锥的母线长为2.1.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.2.球面、球体的区别和联系3.处理台体问题常采用还台为锥的补体思想.4.处理组合体问题常采用分割思想.5.重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想.一、选择题1.下列几何体中不是旋转体的是()考点简单组合体的结构特征题点与旋转有关的组合体答案 D2.如图所示的简单组合体的结构特征是()A.由两个四棱锥组合成的B.由一个三棱锥和一个四棱锥组合成的C.由一个四棱锥和一个四棱柱组合成的D.由一个四棱锥和一个四棱台组合成的答案 A3.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A.一个球体B.一个球体中间挖去一个圆柱C.一个圆柱D.一个球体中间挖去一个长方体考点简单组合体的结构特征题点与旋转有关的组合体答案 B解析圆面绕着直径所在的轴，旋转而形成球，矩形绕着轴旋转而形成圆柱. 故选B.4.如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的( )考点 简单组合体的结构特征题点 与旋转有关的组合体答案 A解析 此几何体自上向下是由一个圆锥、两个圆台和一个圆柱构成，是由A 中的平面图形旋转而形成的.5.一个圆锥的母线长为20 cm ，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为( ) A.10 3 cm B.20 3 cm C.20 cmD.10 cm考点 圆锥的结构特征题点 与圆锥有关的运算答案 A解析 如图所示，在Rt △ABO 中，AB ＝20 cm ，∠A ＝30°，所以AO ＝AB ·cos 30°＝20×32＝103(cm). 6.下列命题：①过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径；②母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等；③圆台中所有平行于底面的截面都是圆面；④圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形.其中正确的是()A.①②③B.②③④C.①④D.①③④答案 D7.一个底面半径为2的圆锥被过高的中点且平行于底面的平面所截，则截得的截面圆的面积为()A.πB.2πC.3πD.4π答案 A8.下列结论正确的是()A.用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台B.经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线答案 D解析需用平行于圆锥底面的平面截才能得到圆锥和圆台，故A错误；若球面上不同的两点恰为最大的圆的直径的端点，则过此两点的大圆有无数个，故B错误；正六棱锥的侧棱长必然要大于底面边长，故C错误.故选D.二、填空题9.正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是________.考点简单组合体的结构特征题点与旋转有关的组合体答案两个同底的圆锥组合体解析由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体.10.如图中的组合体的结构特征有以下几种说法：①由一个长方体割去一个四棱柱构成；②由一个长方体与两个四棱柱组合而成；③由一个长方体挖去一个四棱台构成；④由一个长方体与两个四棱台组合而成.其中说法正确的序号是________.考点 简单组合体的结构特征题点 与拼接、切割有关的组合体答案 ①②11.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为________.考点 圆锥的结构特征题点 与圆锥有关的运算答案 3解析 由题意知一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π＝πl 2，所以母线长为l ＝2，又半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr ＝2π，所以底面圆半径为r ＝1，所以该圆锥的高为h ＝l 2－r 2＝22－12＝ 3.12.边长为5的正方形EFGH 是圆柱的轴截面，则从点E 沿圆柱的侧面到相对顶点G 的最短距离为________.答案 52π2＋4 解析 如图，矩形E 1F 1GH 是圆柱沿着其母线EF 剪开半个侧面展开而得到的，由题意可知GH ＝5，GF 1＝5π2，GE 1＝254π2＋25＝52π2＋4. 所以从点E 沿圆柱的侧面到相对顶点G 的最短距离是52π2＋4. 三、解答题13.一个圆锥的高为2 cm ，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积. 解 如图轴截面SAB ，圆锥SO 的底面直径为AB ，SO 为高，SA 为母线，则∠ASO ＝30°.在Rt △SOA 中，AO ＝SO ·tan 30°＝233(cm). SA ＝SO cos 30°＝232＝433(cm). 所以S △ASB ＝12SO ·2AO ＝433(cm 2). 所以圆锥的母线长为433 cm ，圆锥的轴截面的面积为433cm 2.14.如图，各棱长都相等的三棱锥内接于一个球，则经过球心的一个截面图形可能是( )A.①③B.①②C.②④D.②③答案 A15.圆台的上、下底面半径分别为5 cm,10 cm ，母线长AB ＝20 cm ，从圆台母线AB 的中点M 拉一条绳子绕圆台侧面转到点A ，求：(1)绳子的最短长度；(2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离.考点 圆台的结构特征题点 与圆台有关的运算 解 (1)如图所示，将侧面展开，绳子的最短距离为侧面展开图中AM 的长度，设OB ＝l ，则θ·l ＝2π×5，θ·(l ＋20)＝2π×10，解得θ＝π2，l ＝20 cm. ∴OA ＝40 cm ，OM ＝30 cm.∴AM ＝OA 2＋OM 2＝50 cm.即绳子最短长度为50 cm.(2)作OQ ⊥AM 于点Q ，交弧BB ′于点P ，则PQ 为所求的最短距离.∵OA ·OM ＝AM ·OQ ，∴OQ ＝24 cm.故PQ ＝OQ －OP ＝24－20＝4(cm)，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.。

1.1.2简单组合体的结构特征【课时目标】1．正确认识由柱、锥、台、球组成的简单几何体的结构特征．2．能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构．1．定义：由____________________组合而成的几何体叫做简单组合体．2．组合形式一、选择题1．如图，由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的轴对称平面图形，若将它绕轴l旋转180°后形成一个组合体，下面说法不正确的是()A．该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体B．该组合体仍然关于轴l对称C．该组合体中的圆锥和球只有一个公共点D．该组合体中的球和半球只有一个公共点2．右图所示的几何体是由哪个平面图形通过旋转得到的()3．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是() A．两个圆锥拼接而成的组合体B．一个圆台C．一个圆锥D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥4．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是由() A．一个圆台、两个圆锥构成B．两个圆台、一个圆锥构成C．两个圆柱、一个圆锥构成D．一个圆柱、两个圆锥构成5．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥组合体D．不能确定6．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是()A．(1)(2) B．(1)(3)C．(1)(4) D．(1)(5)二、填空题7．下列叙述中错误的是________．(填序号)①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．8．如图所示为一空间几何体的竖直截面图形，那么这个空间几何体自上而下可能是__________________．9．以任意方式截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是________．三、解答题10．如图是一个数学奥林匹克竞赛的奖杯，请指出它是由哪些简单几何体组合而成的．11．如图所示几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴．能力提升12．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切(球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点)，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是()13．已知圆锥的底面半径为r，高为h，且正方体ABCD－A1B1C1D1内接于圆锥，求这个正方体的棱长．组合体的结构特征有两种组成：(1)是由简单几何体拼接而成；(2)是由简单几何体截去一部分构成．要仔细观察组合体的组成，柱、锥、台、球是最基本的几何体．1．1．2简单组合体的结构特征答案知识梳理1．简单几何体2．截去或挖去一部分作业设计1．A2．A3．D4．D5．A6．D[一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分．]7．①②③④ 8．圆台和圆柱(或棱台和棱柱) 9．球体10．解 将该几何体分解成简单几何体可知，它是由一个球、一个四棱柱和一个四棱台组合而成．11．解 先画出几何体的轴，然后再观察寻找平面图形．旋转前的平面图形如下：12．B 13．解 如图所示，过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，设圆锥内接正方体的棱长为x ，则在轴截面中，正方体的对角面A 1ACC 1的一组邻边的长分别为x 和2x ．因为△V A 1C 1∽△VMN ，解得2x 2r ＝h －x h，所以2hx ＝2rh －2rx ，解得x ＝2rh2r ＋2h．即圆锥内接正方体的棱长为2rh2r ＋2h．。

1。

1。

2 圆柱、圆锥、圆台、简单几何体的结构特征时间:30分钟，总分:70分班级：姓名: 一、选择题(每小题5分,共30分)1．下列四种说法：①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线;②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线相互平行．其中正确的是( ）A．①②B．②③C．①③D．②④2．若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S,则它的一个底面面积是（）A．4S B．4πSC．πS D．2πS3、下列命题：①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线;③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线相互平行．其中正确的是（)A．①②B．②③C．①③D．②④4。

如图所示的几何体,关于其结构特征,下列说法不．正确的是（) A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体B．该几何体有12条棱、6个顶点C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形,其余均为三角形5、下图是由选项中的哪个图形旋转得到的( ）6．如图,各棱长都相等的三棱锥内接于一个球,则经过球心的一个截面图形可能是（）A.①③B。

①② C.②④ D.②③二、填空题（共4小题,每题5分，共20分）7、如图所示，下列几何体中，图（1）是圆柱，图（2)是圆锥,图(3)是圆台，上述说法正确的个数有________个．8、如图1.1.22是一个几何体的表面展开图形，则这个几何体是________.9．一圆锥的母线长为6，底面半径为3,用该圆锥截一圆台，截得圆台的母线长为4，则圆台的另一底面半径为________．10、下列四个平面图形都是正方体的展开图，还原成正方体后，数字排列规律完全一样的两个是________．(1）(2) (3) （4）三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）11、一个圆锥的高为2 cm，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积．12、一个圆台的母线长为12 cm,两底面面积分别为4πcm2和25πcm2.求：（1）圆台的高;(2）截得此圆台的圆锥的母线长．。

1、1、2 简单组合体的结构特征一、【学习目标】1、掌握简单组合体的概念，学会观察、分析图形，提高空间想象能力和几何直观能力；2、能够描述现实生活中简单物体的结构，学会通过建立几何模型来研究空间图形，培养学生的数学建模思想；二、【自学内容和要求及自学过程】阅读材料，学习新知材料一：立体几何是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的学科，只有把我们周围的物体形状正确迅速分解开，才能清醒地认识几何学，为后续学习打下坚实的基础.简单几何体（柱体、锥体、台体和球）是构成简单组合体的基本元素.本节教材主要是在学习了柱、锥、台、球的基础上，运用它们的结构特征来描述简单组合体的结构特征.材料二：观察下面几个图形，谈谈你对这些图形的认识，你能找出这些图形都是由哪些简单集合体组成的吗？常见的组合体有三种：多面体与多面体的组合；多面体与旋转体的组合；旋转体与旋转体的组合.其基本形式实质上有两种：一种是由简单几何体拼接而成的简单组合体；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的简单组合体.三、【练习与巩固】结合今天所学的知识，完成该下列练习练习一:教材第7页练习1、2题；思考：<1>已知如图1所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，当梯形ABCD绕BC所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成的一个几何体，试描述该几何体的结构特征.（图2）<2>如图3所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，当梯形ABCD 绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成的一个几何体，试描述该几何体的结构特征.（图4）四、【作业】1、必做题：教材第9页习题1.1A组第3、4题；2、选做题：一直角梯形ABCD如图所示，分别以边AB、BC、CD、DA为旋转轴，画出所得几何体的大致形状.。

第一章、空间几何体1.1空间几何体的结构1.1.1柱、锥、台、球的结构特征(一)课本知识：1．空间几何体(1)空间几何体的定义空间中的物体都占据着空间的一局部，假设只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．类别多面体旋转体定义由假设干个围成的几何体由一个平面图形绕它所在平面内的一条旋转所形成的．图形相关概念面：围成多面体的各个．棱：相邻两个面的．顶点：的公共点.轴：形成旋转体所绕的 .2．多面体多面体定义图形及表示相关概念棱柱有两个面互相，其余各面都是，并且每相邻两个四边形的公共边都互相，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.如图可记作：棱柱底面(底)：两个互相平行的面．侧面：．侧棱：相邻侧面的．顶点：侧面与底面的．棱锥有一个面是，其余各面都是有一个公共顶点的，由这些面所围成的多面体叫做棱锥如图可记作：棱锥底面(底)：面．侧面：有公共顶点的各个．侧棱：相邻侧面的．顶点：各侧面的．棱台用一个的平面去截棱锥，底面与截面之间的局部叫做棱台.如图可记作：棱台上底面：原棱锥的．下底面：原棱锥的．侧面：其余各面．侧棱：相邻侧面的公共边．顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点.知识梳理：要点一棱柱、棱锥、棱台的概念1.棱柱的结构特征侧棱都相等，侧面都是平行四边形，两个底面相互平行；2．棱锥的结构特征有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形；3．棱台的结构特征上下底面相互平行，各侧棱的延长线交于同一点．典型例题1、有以下说法：①有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围成的几何体一定是棱柱；②各个面都是三角形的几何体是三棱锥；③用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫做棱台；④棱柱的各相邻侧面的公共边互相平行．以上说法中，正确说法的序号是________(写出所有正确说法的序号)．反应训练1、有以下说法：①一个棱锥至少有四个面；②如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；③五棱锥只有五条棱；④用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似．以上说法中，正确说法的序号是________(写出所有正确说法的序号)．典型例题2、长方体ABCD－A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两局部后，各局部形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．反应训练2、以下说法：①有两个面互相平行，其余的面都是平行四边形的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台；②两个互相平行的面是平行四边形，其余各面是四边形的几何体不一定是棱台；③两个互相平行的面是正方形，其余各面是四边形的几何体一定是棱台．其中正确的个数为( ) A．3 B．2 C．1 D．0 要点三多面体的外表展开图1.绘制多面体的外表展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型，在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其外表展开图．2．假设是给出多面体的外表展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，那么可把上述过程逆推．典型例题3、请画出以下图所示的几何体的外表展开图．反应训练3、根据右图所给的几何体的外表展开图，画出立体图形1.1.1柱、锥、台、球的结构特征(二)1.1.2简单组合体的结构特征课本知识：1．旋转体旋转体结构特征图形表示圆柱以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的所围成的旋转体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴；于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，于轴的边都叫做圆柱侧面的母线我们用表示圆柱轴的字母表示圆柱，左图可表示为圆锥以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的所围成的旋转体叫做圆锥我们用表示圆锥轴的字母表示圆锥，左图可表示为圆台用平行于的平面去截圆锥，底面与截面之间的局部叫做圆台我们用表示圆台轴的字母表示圆台，左图可表示为球以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周所形成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径球常用球心字母进行表示，左图可表示为(1)定义：由组合而成的几何体叫做简单组合体．(2)简单组合体的两种根本形式：由简单几何体而成；由简单几何体一局部而成．特别提醒：圆是一条封闭的曲线，圆面是一个圆围成的圆内平面．球是几何体，球面是指半圆沿直径旋转形成的曲面，球是旋转体．知识梳理：要点一、旋转体的结构特征圆柱、圆锥、圆台、球从生成过程来看，它们分别是由矩形、直角三角形、直角梯形、半圆绕着某一条直线旋转而成的几何体，因此它们统称为旋转体．但应注意的是：所谓旋转体就是一个平面图形绕着这个平面图形所在的平面内一条直线旋转一周所得到的几何体，因此它还含有除圆柱、圆锥、圆台、球之外的几何体．典型例题1、以下说法：①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，那么这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，那么这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线相互平行．其中正确的选项是( )A．①②B．②③C．①③D．②④反应训练1、以下说法中正确的选项是( )A．圆台是直角梯形绕其一边旋转而成的B．圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成的C．圆柱不是旋转体D．圆台可以看作是平行于底面的平面截一个圆锥而得到的要点二圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图把柱、锥、台体沿一条侧棱或母线展开成平面图，这样便把空间问题转化成了平面问题，对解决简单空间几何体的面积问题或侧面上(球除外)两点间的距离问题，是很有效的方法．典型例题2、如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？反应训练2、假设本例中蚂蚁围绕圆柱转两圈，如下图，那么它爬行的最短距离是多少？要点三简单组合体的结构特征判断实物图是由哪些简单几何体所组成的图形问题，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征，其次要善于将复杂的组合体“分割〞成几个简单的几何体．简单组合体有以下三种形式：1．多面体与多面体的组合体：即由两个或两个以上的多面体组合而成的几何体．2．多面体与旋转体的组合体：即由一个多面体与一个旋转体组合而成的几何体．3．旋转体与旋转体的组合体：即由两个或两个以上的旋转体组合而成的几何体．典型例题3、请描述如下图的组合体的结构特征．反应训练3、说出以下几何体的结构特征．一、选择题1．以下说法中正确的选项是( )A ．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面B ．棱柱的面中，至少有两个面互相平行C ．棱柱中一条侧棱的长叫棱柱的高D ．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形2．如图，D ，E ，F 分别是等边△ABC 各边的中点，把该图按虚线折起，可以得到一个( )A ．棱柱 B ．棱锥 C ．棱台 D ．旋转体3．以下三个说法，其中正确的选项是( )①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的局部是棱台； ②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB =3，AD =2，CC 1=1，一条绳子从点A 沿外表拉到点C 1，那么绳子的最短的长是( )A ．3 2 B ．2 5 C.26 D ．65．如图，以下几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台．6．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何图形的4个顶点，这些几何体是________(写出所有正确结论的序号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．7．在如下图的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，请连接三条线，把它分成三局部，使每一局部都是一个三棱锥．8．如下图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB =2，AA 1=2，由顶点B 沿棱柱侧面(经过棱AA 1)到达顶点C 1，与AA 1的交点记为M .求：(1)三棱柱侧面展开图的对角线长；(2)从B 经M 到C 1的最短路线长及此时A 1MAM的值．1．以下说法正确的选项是( )A．圆锥的母线长等于底面圆直径B．圆柱的母线与轴垂直C．圆台的母线与轴平行D．球的直径必过球心2．底面半径为2且底面水平放置的圆锥被过高的中点且平行于底面的平面所截，那么截得的截面圆的面积为( )A．πB．2π C．3πD．4π3．以下说法正确的有( )①球的半径是球面上任意一点与球心的连线段②球的直径是球面上任意两点间的连线段③用一个平面截一个球，得到的是一个圆④不过球心的截面截得的圆的半径小于球半径A．①② B．①④ C．①②④D．③④4．如下图的几何体，关于其结构特征，以下说法不正确的选项是( )A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体B．该几何体有12条棱、6个顶点C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形5．给出以下说法：(1)直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥(2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体(3)圆锥截去一个小圆锥后剩余局部是圆台(4)通过圆台侧面上一点，有无数条母线其中正确的说法是________(写出所有正确说法的序号)．6．把一个圆锥截成圆台，圆台的上下底面半径之比是14，母线长为10，那么圆锥的母线长是________．7．如图(1)所示，正三棱柱的底面边长是4cm、过BC的一个平面交侧棱AA′于D，假设AD的长为2cm，求截面△BCD的面积．图(1) 图(2)8.从一个底面半径和高都是R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如以下图所示的几何体．如果用一个与圆柱下底面距离等于l并且平行于底面的平面去截它，求所得截面的面积．。

第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征课时过关·能力提升一、基础巩固1.如图所示的几何体是( )A.五棱锥B.五棱台C.五棱柱D.五面体答案:C2.有两个面平行的多面体不可能是( )A.四棱柱B.三棱锥C.四棱台D.三棱台解析:棱锥的任意两个面都相交,不可能有两个面平行,所以不可能是棱锥,也就不可能是三棱锥.答案:B3.下列说法错误的是( )A.多面体至少有四个面B.六棱柱有6条侧棱、6个侧面,侧面为平行四边形C.长方体、正方体都是棱柱D.三棱柱的侧面为三角形解析:由棱柱的定义知,选项D不正确.答案:D4.由五个面围成的多面体,其中上、下两个面是相似三角形,其余三个面都是梯形,并且这些梯形的腰延长后能相交于一点,则该多面体是( )A.三棱柱B.三棱台C.三棱锥D.四棱锥解析:该多面体有三个面是梯形,而棱锥最多有一个面是梯形(底面),棱柱最多有两个面是梯形(底面),所以该多面体不是棱柱、棱锥,而是棱台.三个梯形是棱台的侧面,另两个三角形是底面,所以这个棱台是三棱台.答案:B5.一个纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北.现在沿该正方体的棱将正方体剪开,外面朝上展平得到右侧的平面图形,则标“△”的面上的方位是( )A.南B.北C.西D.下解析:将所给图形还原为正方体,并将已知面“上”“东”分别指向上面、东面,则标记“△”的面指向北面.答案:B6.在如图所示的几何体中,是棱柱.(只填序号)答案:①③7.若一个平面平行于棱柱的底面,用该平面去截此棱柱时得到的截面为八边形,则该棱柱是棱柱.答案:八8.已知下列说法:①棱柱的侧面可以不是平行四边形;②棱锥的各个侧面都是三角形;③棱台的上、下底面互相平行,且各侧棱的延长线相交于一点;④三棱锥的任何一个面都可以作为棱锥的底面.其中正确的是.(只填序号)答案:②③④9.判断如图所示的几何体是不是棱台,并说明理由.解:(1)(2)(3)都不是棱台.因为(1)和(3)都不是由棱锥截得的,所以(1)(3)都不是棱台.虽然(2)是由棱锥截得的,但截面和底面不平行,故不是棱台.10.(1)五棱柱一共有多少个顶点?多少条棱?(2)六棱柱一共有多少个顶点?多少条棱?(3)设n棱柱的顶点数为V,棱数为E,求证:E(1)解:五棱柱有10个顶点,15条棱.(2)解:六棱柱有12个顶点,18条棱.(3)证明:n棱柱的顶点分别是两个底面多边形的顶点,由棱柱的两个底面是全等的多边形,知V=2n.n棱柱的棱分为两类:一类是侧棱,有n条;另一类是两个底面多边形的边,有2n条,则E=n+2n=3n.因为V=2n,E=3n,所以E二、能力提升1.将平面六边形及内部所有点沿某一方向平移相同的距离形成的空间几何体是( )A.六棱锥B.六棱台C.六棱柱D.非棱柱、棱锥、棱台的一个几何体答案:C2.用一个平面去截棱锥,得到两个几何体,下列说法正确的是( )A.一个几何体是棱锥,另一个几何体是棱台B.一个几何体是棱锥,另一个几何体不一定是棱台C.一个几何体不一定是棱锥,另一个几何体是棱台D.一个几何体不一定是棱锥,另一个几何体也不一定是棱台答案:D★3.如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜,则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A.棱柱B.棱台C.棱柱与棱台的组合体D.不确定答案:A4.已知一个棱柱有14个顶点,所有侧棱长的和为63 cm,则每条侧棱长为 cm.解析:n棱柱有2n个顶点,因为棱柱有14个顶点,所以该棱柱为七棱柱.又因为棱柱的侧棱长都相等,7条侧棱长的和为63 cm,所以每条侧棱长为9 cm.答案:9★5.如图,在边长为2a的正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后记为点P.(1)折起后形成的几何体是什么几何体?(2)这个几何体共有几个面?每个面的三角形有何特点?(3)每个面的面积为多少?解:(1)如图,折起后的几何体是三棱锥.(2)这个几何体共有4个面,其中△DEF为等腰三角形,△PEF为等腰直角三角形,△DPE和△DPF均为直角三角形.(3)S△PEF△DPF=S△DPES△DEF=S正方形ABCD-S△PEF-S△DPF-S△DPE=(2a)2第2课时圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征课时过关·能力提升一、基础巩固1.在下列几何体中,旋转体有( )①圆柱;②六棱锥;③正方体;④球;⑤四面体.A.①⑤B.①②C.③④D.①④答案:D2.将正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周,所得的几何体是( )A.圆柱B.圆锥C.圆台D.两个圆锥答案:D3.若用一个平面去截一个几何体,得到的截面是圆面,则这个几何体不可能是( )A.圆锥B.圆柱C.球D.棱柱解析:棱柱的任何截面都不可能是圆面.答案:D4.如图,已知OA为球O的半径,且OA=2,过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M,则圆M的面积为 ( )A.πB.2πC.3πD.4π解析:因为OA=2,所以OM=1.所以圆M的半径r故圆M的面积S=πr2=3π.答案:C5.在如图所示的四个几何体中,圆柱有;圆锥有.(只填序号)答案:③②6.将长为8 cm、宽为6 cm的矩形绕其一边旋转而成的圆柱的底面面积为cm2.解析:若圆柱是矩形绕其宽旋转而成的,则其底面半径为8 cm,底面面积为64π cm2;若圆柱是矩形绕其长旋转而成的,则其底面半径为6 cm,底面面积为36π cm2.答案:64π或36π7.若圆锥的高与底面半径相等,母线长为解析:如图,设圆锥SO的高为h,底面半径为r,母线长为l,则h=r,l=l2=h2+r2,则l2=2r2,即(r=5.答案:58.写出下列7种几何体的名称.解:(1)是圆柱,(2)是圆锥,(3)是球,(4)(5)是棱柱,(6)是圆台,(7)是棱锥.9.判断下列几何体是不是圆台,并说明理由.解:(1)是圆台,因为上、下两个底面平行,侧面是由直角梯形的一腰绕垂直于底边的腰所在的直线旋转一周形成的.(2)不是圆台,因为上、下两个底面不平行.(3)不是圆台,因为它是由两个圆台组合而成的,不符合圆台的结构特征.10.已知一个圆台的母线长为12 cm,两个底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求:(1)圆台的高;(2)截得此圆台的圆锥的母线长.解:(1)如图,圆台的轴截面为等腰梯形ABCD,由已知可得上底面半径O1A=2 cm,下底面半径OB=5 cm,且腰长AB=12 cm.过点A作AM⊥BO于点M,所以AM cm.(2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm,延长BA,CD,OO1且它们交于一点S,则由△SAO1∽△SBO,可所以l=20.故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.二、能力提升1.下列说法正确的是( )A.圆锥的母线长等于底面圆的直径B.圆柱的母线与轴垂直C.圆台的母线与轴平行D.球的直径必过球心解析:圆锥的母线长与底面圆的直径的大小关系不确定,则A项不正确;圆柱的母线与轴平行,则B项不正确;圆台的母线延长后与轴相交,则C项不正确;很明显D项正确.答案:D★2.下列命题:①圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个;②用任意一个平面去截球体得到的截面一定是一个圆;③用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆.其中正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3答案:C3.已知一个圆锥的母线长为20 cm,母线与轴的夹角为30°,则圆锥的高为( )A.1C.20 cmD.10 cm解析:如图,在Rt△ABO中,AB=20 cm,∠BAO=30°,所以AO=ABcos 30°=20答案:A4.下列说法:①半圆以其直径为轴旋转一周所形成的几何体叫做球;②夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱;③截面是圆的几何体,不是圆柱,就是圆锥;④圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线.其中错误的是.(只填序号)解析:易知①④正确;②当两个平行截面不平行于上、下底面时,截面间的几何体不是圆柱,故②错误;③截面是圆的几何体还可以是球或圆台,故③错误.答案:②③5.已知球的半径为10 cm,若它的一个截面圆的面积为36 π cm2,则球心与截面圆圆心的距离是cm.解析:设截面圆的半径为r cm,则πr2=36π,所以r=6.所以球心与截面圆圆心的距离d答案:86.将一个半径为2的半圆围成一个圆锥,所得圆锥的轴截面面积等于.解析:所得圆锥的母线长为2,底面周长为2π,故底面半径为1,则该圆锥的轴截面为一个边长为2的正三角形,其面积答案:★7.已知圆台的上底周长是下底周长解:设圆台上、下底面半径分别为r,R,母线长为l,高为h.由题意,得2πr·2πR,即R=3r. ①·h=392,即(R+r)h=392. ②又母线与底面的夹角为45°,则h=R-r联立①②③,得R=21,r=7,h=14,l=11.1.2 简单组合体的结构特征课时过关·能力提升一、基础巩固1.下列几何体是组合体的是( )解析:A选项中的几何体是圆锥,B选项中的几何体是圆柱,C选项中的几何体是球,D选项中的几何体是在一个圆台中挖去一个圆锥而形成的,是组合体.答案:D2.将日常生活中我们常用到的螺母看成一个组合体,其结构特征是( )A.一个棱柱中挖去一个棱柱B.一个棱柱中挖去一个圆柱C.一个圆柱中挖去一个棱锥D.一个棱台中挖去一个圆柱解析:如图,螺母的结构特征是一个棱柱中挖去一个圆柱.答案:B3.在下列各选项的平面图形中,通过围绕定直线l旋转一周可得到如图所示几何体的是( )解析:因为该几何体是由两个圆锥与一个圆柱组合成的组合体,所以结合选项可知,该几何体可由选项B中的梯形绕定直线l旋转一周得到.答案:B4.如图所示的组合体,其结构特征是( )A.一个圆柱内挖去一个圆柱B.一个圆锥内挖去一个圆锥C.一个圆台内挖去一个圆锥D.一个圆台内挖去一个球解析:该组合体是在一个圆台内挖去一个圆锥形成的.答案:C5.如图所示的几何体,关于其结构特征,下列说法不正确的是( )A.该几何体是由两个同底的四棱锥组成的B.该几何体有12条棱、6个顶点C.该几何体有8个面,并且各面均为三角形D.该几何体有9个面,其中一个面是四边形,其余各面均为三角形答案:D6.如图所示的组合体的结构特征是.答案:上面是一个圆柱,下面是一个长方体7. 将如图所示的四边形绕直线l旋转一周,所得旋转体的结构特征是.解析:过点C作CE⊥AD于点E(图略),则CE∥AB,且AB>CE.故所得旋转体是由一个圆锥和一个圆台拼接成的组合体.答案:上面是一个圆锥,下面是一个圆台8.如图所示的组合体的结构特征为.答案:左边是一个四棱锥,右边是一个三棱柱9.指出如图①②所示的几何体是由哪些简单几何体构成的.图①图②解:分割几何体,使分割后的每一部分都是简单几何体.图①是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的组合体.图②是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体.10. 将如图所示的平面图形绕轴l旋转180°后形成一个几何体,请描述该几何体的结构特征.解:将题中平面图形绕l旋转180°后形成一个组合体,并且该组合体自上而下可分解为一个倒圆锥、一个球、一个半球、一个圆柱、一个圆台.二、能力提升1.把如图所示的平面图形中的阴影部分绕定直线l旋转一周,形成的旋转体的结构特征为( )A.一个球B.一个球中挖去一个圆柱C.一个圆柱D.一个球中挖去一个棱柱解析:如题图,圆面绕轴旋转一周得球,矩形绕轴旋转一周得圆柱,则该旋转体是一个球中挖去一个圆柱. 答案:B2.以钝角三角形较短的边所在的直线为轴,其他两边旋转一周所得到的几何体是( )A.两个圆锥拼接而成的组合体B.一个圆台C.一个圆锥D.一个圆锥挖去一个同底的小圆锥后形成的组合体解析:如图,过点A作AD垂直BC于点D,则△ADC与△ADB分别为直角三角形,所以旋转一周形成的几何体是一个圆锥挖去一个同底的小圆锥后形成的组合体.答案:D3.已知一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,在如图所示的图形中,可能是截面图形的是( )A.①③B.②④C.①②③D.②③④解析:当截面平行于正方体的一个侧面或底面时得③,当截面过正方体的对角线时得②,当截面不平行于任何侧面或底面也不过正方体的对角线时得①,但无论如何都不能截出④.答案:C★4.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体,现用一个竖直的平面去截这个组合体,则截面图形可能是( )A.①②B.①③C.①④D.①⑤答案:D5. 如图,AB为圆弧BC所在圆的直径,∠BAC=45°.将这个平面图形绕直线AB旋转一周得到一个组合体,则该组合体的结构特征是.答案:上面是一个圆锥,下面是一个半球6.关于如图所示的组合体的结构特征,有以下几种说法:①由一个长方体挖去一个四棱柱所构成的;②由一个长方体与两个四棱柱组合而成的;③由一个长方体挖去一个四棱台所构成的;④由一个长方体与两个四棱台组合而成的.其中说法正确的序号是.解析:如图,该组合体可由一个长方体挖去一个四棱柱所构成,也可以由一个长方体与两个四棱柱组合而成.故说法①②正确.答案:①②7.已知三棱锥的侧棱长和底面边长均相等,试用三个这样的三棱锥组合成一个三棱柱,并画出来.解:所求三棱柱如图所示.三棱柱ABC-A1B1C1是由三棱锥A-A1B1C1,三棱锥A-BB1C,三棱锥A-CB1C1组合成的.★8.已知一个圆锥的底面半径为r,高为h,在此圆锥内有一个内接正方体,这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上,求此正方体的棱长.解:作出圆锥的一个过顶点的纵截面如图所示.其中AB,AC为母线,BC为底面直径,DG,EF是正方体的棱,DE,GF是正方体的上、下底面的对角线.设正方体的棱长为x,则DG=EF=x,DE=GF,得△ABC∽△ADE,所以x故此正方体的棱长1.2.1 中心投影与平行投影1.2.2 空间几何体的三视图课时过关·能力提升一、基础巩固1.下列视图不属于三视图的是( )A.正视图B.侧视图C.后视图D.俯视图答案:C2.如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等腰三角形,俯视图为一个圆及其圆心,那么这个几何体是( )A.棱锥B.棱柱C.圆锥D.圆柱答案:C3.下列命题正确的是( )A.矩形的平行投影一定是矩形B.梯形的平行投影一定是梯形C.两条相交直线的投影可能平行D.一条线段中点的平行投影仍是这条线段投影的中点解析:因为当平面图形与投影线平行时,所得投影是线段,故A,B错.又因为点的平行投影仍是点,所以相交直线的投影不可能平行,故C错.由排除法可知,选项D正确.答案:D4.在下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( )A.①②B.①③C.①④D.②④解析:①正方体,三个视图均相同;②圆锥,正视图和侧视图相同;③三棱台,三个视图各不相同;④四棱锥,正视图和侧视图相同.答案:D5.若一个几何体的三视图如图所示,则该几何体是( )A.棱柱B.棱台C.圆柱D.圆台答案:D6.若一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的. (填入所有可能的几何体前的编号)①三棱锥;②四棱锥;③三棱柱;④四棱柱;⑤圆锥;⑥圆柱.答案:①②③⑤7.若某几何体的三视图如图所示,则该几何体是由(简单几何体)与组成的.答案:长方体四棱台8.若线段AB平行于投影面,O是线段AB上一点,解析:由题意知AB∥A'B',OO'∥AA',OO'∥BB',则答案:9.画出如图所示的几何体的三视图.解:该几何体的三视图如图所示.10.如图是一个几何体的三视图,想象该几何体的结构特征,画出该几何体的形状.解:由于俯视图中有一个圆和一个四边形,则该几何体是由旋转体和多面体拼接成的组合体;结合侧视图和正视图,可知该几何体的上面是一个圆柱,下面是一个长方体.该几何体的形状如图所示.二、能力提升1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BB1,BC的中点,则图中阴影部分在平面ADD1A1上的投影为( )解析:阴影部分是△MND及其内部,点D在平面ADD1A1上的投影是其本身;点M,N在平面ADD1A1上的投影分别是AA1和DA的中点,故选项A正确.答案:A2.将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧视图为( )解析:由题意知该长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,如右图所示.易知其侧视图为B项中图.故选B.答案:B3.某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是( )解析:若为D选项,则正视图为:故俯视图不可能是D选项中所示的图形.答案:D4.如图,该几何体的正视图和侧视图可能正确的是( )答案:A5.如图为长方体积木堆成的几何体的三视图,该几何体一共由块长方体积木堆成.解析:由俯视图知最下一层为3块,由正视图、侧视图知第二层有1块,所以该几何体一共由4块积木堆成. 答案:4★6.已知一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形,则用个这样的几何体可以拼成一个棱长为4的正方体.解析:该几何体是四棱锥,其底面是边长为4的正方形,高AA1等于4,即为如图①所示的四棱锥A-A1B1C1D1.图①图②如图②,三个相同的四棱锥A-A1B1C1D1,A-BB1C1C,A-DD1C1C可以拼成一个棱长为4的正方体.答案:37.某几何体的三视图如图所示,说出该几何体的结构特征,并画出该几何体.解:从题中的三视图可以看出,该几何体的上半部分是六棱柱,下半部分是圆柱.这个几何体如图所示.★8.把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起形成的三棱锥C-ABD的正视图与俯视图如图所示,求侧视图的面积.解:形成的三棱锥C-ABD如图①所示,根据正视图和俯视图可知,其侧视图为等腰直角三角形,如图②所示. 故所求侧视图的面积1.2.3 空间几何体的直观图课时过关·能力提升一、基础巩固1.关于斜二测画法,下列说法不正确的是( )A.原图形中平行于x轴的线段,在直观图中与其对应的线段平行于x'轴,且长度不变B.原图形中平行于y轴的线段,在直观图中与其对应的线段平行于y'轴,长度为原来C.画与平面直角坐标系xOy对应的坐标系x'O'y'时,∠x'O'y'必须是45°D.在画直观图时,由于坐标轴选取位置的不同,所得的直观图可能不同解析:画与平面直角坐标系对应的坐标系x'O'y'时,∠x'O'y'可以是45°也可以为135°.答案:C2.已知AB=2CD,AB∥x轴,CD∥y轴.若在直观图中,A'B'与AB对应,C'D'与CD对应,则( )A.A'B'=2C'D'B.A'B'=C'D'C.A'B'=4C'D'D.A'B'解析:∵AB∥x轴,CD∥y轴,∴AB=A'B',CD=2C'D',∴A'B'=AB=2CD=2(2C'D')=4C'D'.答案:C3.已知两个圆锥的底面相同且重合在一起,其中一个圆锥的顶点到底面的距离为2 cm,另一个圆锥的顶点到底面的距离为3 cm,则在直观图中这两个顶点之间的距离为( )A.2 cmB.3 cmC.2.5 cmD.5 cm解析:因为这两个顶点的连线与子轴平行或重合,现在距离为5 cm,而在直观图中根据平行于z轴的线段长度不变,仍为5 cm.答案:D4.水平放置的△ABC的直观图如图所示,若B'O'=C'O'=1,A'O'△ABC是一个( )A.等边三角形B.直角三角形C.三边中只有两边相等的等腰三角形D.三边互不相等的三角形解析:由题图知,在△ABC中,AO⊥BC.∵A'O'△ABC为等边三角形.故选A.答案:A5.如图为一个平面图形的直观图,则此平面图形可能是下面选项中的( )答案:C6.如图,△A'O'B'是△AOB用斜二测画法画出的直观图,则△AOB的面积是.解析:由题图可知在△AOB中,底边OB=4.因为底边OB上的高为8,所以面积S答案:167.如图,平行四边形O'P'Q'R'是四边形OPQR的直观图,若O'P'=3,O'R'=1,则原四边形OPQR的周长为.解析:由四边形OPQR的直观图可知该四边形是矩形,且OP=3,OR=2,所以四边形OPQR的周长为2×(3+2)=10.答案:108.如图,水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A'B'C',已知A'C'=6,B'C'=4,则AB边的实际长度是.解析:由斜二测画法,可知△ABC是直角三角形,且∠BCA=90°,AC=6,BC=4×2=8,则AB答案:109.如图,画出水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.画法:(1)如图①,在已知等腰梯形中以底边AB所在直线为x轴、线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系.如图②,画x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°.(2)设DC与y轴的交点为E,在x'轴上取A'B'=AB,且使O'为A'B'的中点,在y'轴上取O'E'E'作x'轴的平行线l,在l上取点D',C',使得E'C'=EC,D'E'=DE.如图③.(3)连接A'D',B'C',擦去辅助线,得到等腰梯形ABCD的直观图,如图④.10.已知一个棱柱的底面是边长为3 cm的正方形,各侧面都是矩形,且侧棱长为4 cm,试用斜二测画法画出此棱柱的直观图.解:(1)画轴.画出x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.(2)画底面.以点O为中点,在x轴上画MN=3 cm,在y轴上画PQ cm,分别过点M,N作y轴的平行线,过点P,Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,则四边形ABCD就是该棱柱的一个底面.(3)画侧棱.过点A,B,C,D分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取4 cm长的线段AA',BB',CC',DD',如图①所示.(4)成图.连接A'B',B'C',C'D',D'A',并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到该棱柱的直观图,如图②所示.图①图②二、能力提升1. 如图,已知等腰三角形ABC,则下面的四个图形可能是△ABC的直观图的是( )A.①②B.②③C.②④D.③④解析:若以BC所在直线为x轴,则当∠x'O'y'=45°时,直观图为④;当∠x'O'y'=135°时,直观图为③,故选D.答案:D2.如图,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图.若O'A'=6,O'C'=2,则原图形是( )A.正方形B.矩形C.菱形D.梯形解析:由题图可知C'D'=O'C'=2,O'D'=由直观图可得原图形OABC为平行四边形,如图所示.∵CD=2,OD=∴OC=6,∴OA=OC=6.∴四边形OABC为菱形.答案:C3.已知一个建筑物的上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样.已知长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m,四棱锥的高为8 m.若按1∶500的比例画出它的直观图,则在直观图中,长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为( )A.4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB.4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC.4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD.2 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm解析:由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm,再结合斜二测画法,可知直观图的相应尺寸应分别为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.答案:C4.用斜二测法画水平放置的△ABC的直观图,得到如图所示的等腰直角三角形A'B'C'.已知点O'是斜边B'C'的中点,且A'O'=1,则△ABC中BC边上的高为( )A.1B.2C解析:∵直观图是等腰直角三角形A'B'C',∠B'A'C'=90°,A'O'=1,∴∠A'C'B'=45°,A'C'A'C'∥y'轴.根据直观图中平行于y轴的线段的长度变为原来的一半,得△ABC中BC边上的高为AC=2A'C'=答案:D★5.如图,已知用斜二测画法画出的△ABC的直观图△A'B'C'是边长为a的等边三角形,则△ABC的面积为.答案:6.如图,四边形OABC是上底长为2,下底长为6,底角为45°的等腰梯形.用斜二测画法画出这个梯形的直观图O'A'B'C',则在直观图中,梯形的高为。