EM第7讲亥姆霍兹定理

t
➢ 为什么讨论？ ➢ 稳态场与时变场的对比 ➢ 稳态场方程是麦克斯韦方程的特例
以静电场为例：介绍场的研究方法
➢ 研究思路、研究内容
实验定律、 定义物理量
亥姆霍兹定理
F ?
F ? F A
库仑定律和电场强度
静电场的环路定理 高斯通量定理 电位函数 电位移矢量
媒质分界面上场量 的方程
分界面上的衔接条件
静电场的源 静电场的时间特性
研究思路、研究内容
以静电场为例：介绍场的研究方法
➢ 静电场的源 ➢ 为什么讨论？ ➢ 场源的特点决定着场的性质
➢ 相对于观察者静止且量值不随时间变化的电 荷 产生静电场
以静电场为例：介绍场的研究方法
➢ 静电场的时间特性 ➢ 静电场是稳态场，物理量仅是空间位置的函数， 与时间无关，即 • 0
边界条件 微分方程1
介质1
衔接条件 微分方程 2 介质2
以静电场为例：介绍场的研究方法
➢ 研究思路、研究内容
定解条件 (边值问题)
静电场的边值问题 唯一性定理
分析解法
镜像法和电轴法
和电路参数的关系
电容和部分电容
能量
静电场的能量
本节要点
➢ 本节的研究目的
本课程要研究哪些内容？
➢ 本节的研究内容
亥姆霍兹定理 — 研究电磁场的主线
F A
1 F(r)
(r)
dV
4 V rБайду номын сангаас r
1
A(r )
F(r) dV
4 V r r
亥姆霍兹定理
亥姆霍兹定理的意义—研究电磁场的主线 本课程的研究任务：场矢量的散度和旋度； 本课程的研究任务：场矢量的位函数； 本课程的研究任务：场矢量位函数的边值问题；

（ ｌｅ ｅ ｏ ｅ ｔ ｉ ａ ｎ ｅ ｔｏｎ ｃ Ｅｎ ｉ ｅ ｒｎ Ｃｏ ｌ ｇ ｆＥｌｃ ｒ ｃ ｌａ ｄ Ｅｌ ｃ ｒ ｉ ｇ ｎ ｅ ｉ ｇ，Ｈ ｕ ｚ ｏ ｇ Ｕｎ ｖ ｒ ｉｙ ｏ ｃ ｅ ｃ ｎ ｃ ｎ ｌ ｇ ａ ｈ ｎ ｉ ｅ ｓｔ ｆ Ｓ ｉｎ ｅ ａ ｄ Ｔｅ ｈ ｏ ｏ ｙ，Ｗ ｕ ａ ｈ ｎ，Ｈｕｂ ｉ ４ ０ ７ ） ｅ， ３ ０ ４
４０ ７ ） ３ ０ ４
摘 要 讨 论 了亥姆 霍兹 定理 的表述 形 式及 其在 电磁 场理论 教 学 中的贯 穿作 用． 据 亥姆 霍 兹 根 定 理 ， 以 由麦克 斯 韦方程 组 自然 地 引 出标 量 电位 和 矢量 磁位 函数 ， 可 方便 地 导 出 可 并
库仑 定律 或 毕奥一 萨伐 定律 ， 以及 位 函数 与场在 自由空 间的积分表 达 式．
关 键 词 亥姆 霍 兹 定 理 ； 电磁 场 ； 学 教
ＴＨ Ｅ ＲｏＬＥ Ｆ Ｈ ＥＬＭ Ｈ ｏＬＴＺ ’ ｏ Ｓ ＴＨ ＥｏＲＥＭ Ｎ Ｉ ＴＥＡＣＨ Ｉ ＮＧ ＥＬＥＣＴＲｏＭ ＡＧＮＥＴＩ ＦＩ Ｃ ＥＬＤ ＴＨＥｏ ＲＹ
Ｗ ａ ｇ Ｂｉ Ｃｈ ｎ ｚ ｎ ｎ ｅ Ｄｅ ｈｉ
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｔ ｈｅ ｒ ｌ ｆ ｔ ｅ ｒ ｐｒ ｓ ｎ ａ ｉｎ ａ ｐｐ ｉａ ｉ ｎｓ ｏ ｅｍ ｈ ｔ Ｓ ｔ ｅ ｒ ｍ ｎ ｔ ａ ｈｉ ｓ ｒ ｃ ｏ ｅ ｏ ｈ ｅ ｅ ｅ ｔ ｔｏ ｎｄ ａ ｌｃ ｔｏ ｆ Ｈ ｌ ｏｌｚ’ ｈ ｏ ｅ ｉ ｅ ｃ ｎｇ ｅ ｅ ｔ ｏ ａ ｅ ｉ ｉ ｌ ｈ ｏｒ ｓ ｄ ｓ ｕｓ ｅ ｌ ｃ ｒ ｍ ｇｎ ｔｃｆｅｄ ｔ ｅ ｙ ｉ ｉｃ ｓ ｄ． Ａ ｃ ｏ ｄｉ ｇ ｔ ｅ ｍ ｈ ｔ Ｓ ｔ ｅ ｒ ｍ ，ｔ ｅ ｅ ｅ ｔ ｉ ｃ — ｃ ｒ ｎ ｏ Ｈ ｌ ｏｌｚ’ ｈ ｏ ｅ ｈ ｌ ｃ ｒｃ ｓ ａ

u0
2
4）有散、有旋场 这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分
F (r ) Fl (r ) FS (r ) u(r ) A(r )
无旋场部分 无散场部分
无旋场与无散场可以看成是两种基本的矢量场，任一矢量场 都可以分解为无旋场部分与无散场部分之和，也就是说，任一矢 量场都可以表示为一标量场的梯度与另一矢量场的旋度之和。 4 F (r ) Fl (r ) Fs (r )
2)无源有旋场
若矢量场 F (r ) 在某区域V内，处处 F 0 ，但在 某些位置或整个空间内，有 F J 0 ，则称在该 区域V内，场 F (r ) 为有旋无源场。 2 说明：式中 J 为矢量场漩涡源密度。
F 0
重要性质：

S
F (r ) dS F (r )dV 0
由散度定理
AdV
V
S
A dS

S
A ndS
设 A ( 和 为空间区域内两个任意的标量函数）
A ( ) 2
2
A n n
dS 得格林第一恒等式 ( )dV V S n
说明：
F (r ) u (r ) A(r )
1）矢量场 F 可以用一个标量函数的梯度和一个矢量 函数的旋度来表示。此标量函数由 F 的散度和 F 在 边界S上的法向分量完全确定；而矢量函数则由 F 的旋度和 F 在边界面S上的切向分量完全确定；
2）由于 [u (r )] 0, [ A(r )] 0 ，因而一个 矢量场可以表示为一个无旋场与无散场之和，即
1.6 亥姆霍兹定理和格林定理
一、矢量场的分类

旋度源
F (r ) J (r )
已知梯度场为无旋场，旋度场为无散场，因此，根据亥姆霍兹定理，任一矢 量场均可表示为一个无旋场与一个无散场之和 。 量场均可表示为一个无旋场与一个无散场之和。
7
上述亥姆霍兹定理是针对无限区域 而言的，如果是有限区域 有限区域，任一 ，任一 上述亥姆霍兹定理是针对无限区域而言的，如果是 矢量场仍可表示为一个无旋场与无散场之和，但必须考虑区域边界上的 边值条件。 边值条件。 如果已知矢量场在有限区域的散度和旋度，以及矢量场的边值条件， 利用亥姆霍兹定理即可求出该矢量场的空间分布。因此，矢量场的散度 及旋度特性是研究矢量场的首要问题 。 及旋度特性是研究矢量场的首要问题。 根据亥姆霍兹定理，无限区域中的矢量场被其散度和旋度惟一地确 根据亥姆霍兹定理，无限区域中的矢量场被其散度和旋度惟一地确 定，有限区域中的矢量场被其散度、旋度和区域边界上的边值条件惟一 地确定。这一结论对本课程内容的讲解非常重要。在后续章节分别研究 地确定。这一结论对本课程内容的讲解非常重要。在后续章节分别研究 静电场、恒定磁场和时变电磁场时，将会把经过实验定律验证的矢量场 的散度和旋度作为基本假设 ，由此推导出描述矢量场特性 特性和计算矢量场 和计算矢量场 的散度和旋度作为基本假设，由此推导出描述矢量场 空间分布的相关公式或关系式。 空间分布的相关公式或关系式。
V
式中，S为包围V的闭合曲面，面元dS的方向为S表面的外法线方向。 以上两式称为矢量第一格林定理 ，或者，矢量格林第一恒等式 矢量格林第一恒等式，有时也称为 ，有时也称为 以上两式称为矢量第一格林定理，或者， 标量格林第一恒等式的矢量模拟 。 标量格林第一恒等式的矢量模拟。
矢量第一格林定理的证明
根据矢量恒等式
[ A ( B ) B ( A)] dS B [ ( A)] A [ ( B )] dV

G4 0
1mol H2O(g)
268.15K
G3
1mol H2O(g) 268.15K
0.422 kPa G1 0
气体恒温可逆膨胀
G2 0 G4 0
0.414 kPa
G5 0
G
G3
nRT
ln
p2 p1
nRT
ln
0.414 0.422
42.67J
G
G3
nRT
ln
p2 p1
nRT
现在所有的量均是体系的性质，故略去角标“系”，得
dS dU 0 整理
T
TdS dU 0
恒温
dU TdS 0 dU dTS 0
＜ 自发过程 = 平衡态 ＜ 自发过程
d(U TS) 0 = 平衡态
dAT ,V 0 ＜ 自发过程
且 W 0 = 平衡态
亥姆霍兹函数判据
dAT ,V 0 ＜自发过程
一 亥姆霍兹函数
1．定义式 A U TS
∵ U、T、S都是状态函数，∴ 它们的组合也一定是状态函 数。新的状态函数称为亥姆霍兹函数 A。
2．亥姆霍兹函数是状态函数，广度性质，具有能量单位。
2020/10/2
体系状态一定，亥姆霍兹函数便有确定的数值；物系从一个 状态变化到另一个状态，亥姆霍兹函数的改变量只决定于物系的 始终态，而与途径无关。
1mol H2O(l) 268.15K
100 kPa
H1
S1
恒温恒压
不可逆相变
H, S, G
1mol H 2O(s)
268.15K
100 kPa
H 3 S3
1mol H2O(l) 273.15K
100 kPa

各科学习都取得了较好成绩。学习成绩报告表明：他的拉丁语、希腊语、希伯来语、宗教、数学及物理学 方面的成绩良好，历史和地理学成绩优异。中学毕业考试结果表明，他的希腊语、法语、拉丁语成绩出色， 数学考试表明了他对数学原理有着超乎寻常的理解。在额外提交的一篇题为 “论自由落体定律”的论文中， 其思想和表述非同一般地准确，表明了他对物理问题的深思熟虑。在随后举行的口试中，他以优异的成绩 获得通过。１８３８年９月，亥姆霍兹以出色的成绩完成了中学学业。 还在中学阶段，亥姆霍兹就对物理学产生了浓厚的兴趣。通过物理学和化学实验的具体操作以及父亲 和其同事间常有的科学讨论的熏陶，他决定投身科学事业的愿望日益强烈。同时，一些独具创造性的实验 也一再唤起他求知的欲望。然而收入欠丰的父亲还要承担亥姆霍兹的两个妹妹和一个弟弟的教育任务，实 在无钱支持他专门从事物理学的学习，遂推荐他到弗里德里希－维廉医学院学习。这样，一方面在学医的 同时，还可以学到一些物理知识；另一方面，学习上能得到政府的资助，条件是五年的医学学习之后，必 须作为军医服务八年。于是亥姆霍兹愉快地接受了父亲的建议，踏上了学医的道路。 扎根弗里德里希－维廉医学院 １８３８年１０月，亥姆霍兹带着对知识的渴求和对自然科学的无限热爱之情，来到了位于柏林的弗 里德里希－维廉医学院，从此开始了新的生活。正是在这里，他接受了多方面的教育，加之自身的天赋和 父母的精心培养，他的智力达到了更高的水平，从而为未来的辉煌事业奠定了坚实的基础。 医学院的学习生活是紧张而有秩序的，他每周都要上４０多节课。它们包括化学、一般解剖学、内脏学、 骨科学、感觉器官解剖学、物理学、内科学、逻辑学、历史、拉丁语、法语等课程。尽管功课很忙，他还 是按父亲嘱咐的那样，每天抽时间用于音乐，演奏莫扎特和贝多芬等人的名作，晚上时常研究歌德和拜伦 的作品或做些微积分。第一学期的课程结束后，他认真研读了休谟、康德等人的著作。在他看来，自己需 要认真学习这些伟人的著作，特别是康德和休谟的著作。休谟的著作曾使他爱不释手，以致有一天晚上他 一气之下连读了几本休谟的著作，其中的认识论问题深深地打动着他，并对他日后的哲学思想的形成产生 了重大影响。 第二学期，他特别被缪勒（Johannes Muller）的生理学课程所吸引。另一件对他来说特别有意义的事情 是，他被学院图书馆指定为助理馆员，馆内丰富的资料给他提供了充足的精神食粮。正如他于１８３９年 ３月给父母的信中所说：“助理馆员的工作每周要花去我两个小时，但这是从馆藏的大量旧文献中发现有价 值的东西的最好方式”。 （ 〔１〕 ，ｐ．１９）正是在这期间，他自学了欧拉（Euler） 、伯努利（D.Bernoulli） 、 达兰贝尔（d Alembert ） 、拉格朗日（Lagrange）和其它科学家的重要著作，从而大大提高了自己的数学物 理水平。 １８３９年夏季学期的课程依然十分紧张，其内容包括动物化学、植物学、自然史、生理学、化学、 历史、拉丁语、法语等课程。但亥姆霍兹仍然挤出时间欣赏希腊著名文学作品。１８４０年冬季学期一开 始，在充分准备基础上，亥姆霍兹顺利通过了解剖学实验考试。此后便开始了自己独立的科学研究和博士 论文工作。 １８４０年冬季—１８４１年夏季， 亥姆霍兹致力于拓宽自己的知识， 特别是数学和力学知识。 １ ８ ４ １ 年 底 ， 他 开 始 考 虑 生 理 学 问 题 并 与 缪 勒 的 学 生 布 吕 克 （ Brü cke,E. ） 、杜布瓦－莱蒙 （du Bois-Reymond,E）等人密切交往，并很快成为这个团体中的一员。他们之间的交流、讨论使彼此受益 匪浅。正如亥姆霍兹在回忆这段宝贵时光时所说的那样：“与这些杰出人物的交往能改变人的价值观，这种 智力交流是人生最有意义的经历”（ 〔１〕 ，ｐ．２２） 。这个团体的目标在于把心理学与物理学结合起来， 从而把心理学建立在牢固的物理学基础上。在这个小组的所有成员中，亥姆霍兹所表现出的数学才能远非 他人所能及。他那深厚的数学基础已经预示了一个杰出的数学家在生理学、物理学等领域中的光辉未来。 老师缪勒极力反对当时流行的关于生命本质的各种形而上学学说，主张一切科学概念都建立在严格的 经验基础之上，倡导生理学研究中应用归纳方法、反对演绎方法。正是在这种影响下，亥姆霍兹利用自己 节省下来的生活津贴买到的一个小显微镜和几本物理、化学教科书为条件开始了自己的生理学方面的博士 论文。 １８４２年８月， 他向缪勒提交了有关神经生理学内容的博士论文。 缪勒认为论文的选题意义重大， 但要使理论无懈可击还必须做另外一些动物实验。９月底他到夏特里（Charité )医院做实习外科医生，这是 一件费时而又繁忙的工作，但亥姆霍兹认为这是非常有趣和有益的工作。与此同时，他还挤时间 十九世纪下半叶的德国已成为世界科学中心，其科学界真可谓群星灿烂、人才辈出。亥姆霍兹正是这 个科学家群体中的一颗光彩照人的巨星。 他既有渊博的知识， 又具有融实验家和理论家为一体的非凡天才， 在其所涉猎的许多领域中都作出了杰出的贡献。为此，医学、生理学、化学、物理学、数学、哲学、美学 等学科都为拥有亥姆霍兹而倍感光荣。 他的科学贡献之大，仅从亥姆霍兹微分方程、亥姆霍兹方程、亥姆霍兹双电层、亥姆霍兹流动、亥姆 霍兹自由能、亥霍姆兹线圈、亥姆霍兹共鸣器、杨－亥姆霍兹三色学说，以及他的学生维恩（ W.Wien） 、 赫兹（H.Hertz） 、罗兰（H.Rowland） 、迈克耳逊（A.A.Michelson）等人就足见一斑。而他的科学和哲学思 想又是如此地丰富而深刻，以致现代西方哲学中的新康德主义、维也纳学派、弗洛伊德精神分析哲学等流 派都从他那里获得了使自身得以产生和发展的营养，并把他作为自己的主要拥护者和最出色的见证人。就 连马克思主义经典作家恩格斯、列宁也都曾对其科学和哲学思想作了认真研究，这是只有爱因斯坦等极少 数杰出人物才享有的殊荣。因此，认真研究亥姆霍兹的科学与哲学，对于我们全面而深刻地理解现代科学 与现代西方哲学的产生与发展有着极为重要的意义。 鉴于亥姆霍兹的科学与哲学思想之丰富而深刻，因此，本文将着力于他的科学生涯及其贡献的一般方面。 奇特的少年时代 １８２１年８月３１日，赫尔曼· 冯· 亥姆霍兹（Hermann Von Helmholtz）诞生于德国柏林附近的波茨坦 （Potsdam） 。 父亲Ａ．Ｆ．Ｊ．亥姆霍兹（August Ferdinand Julius Helmholtz）是波茨坦一所中学的教师。他兴趣广 泛， 对于绘画、 美学、 哲学、 语言学都有相当研究。 他常与朋友在一起谈论哲学问题， 著名哲学家Ｊ． Ｇ． 费 希特的儿子Ｉ．Ｈ．费希特就是他的挚友和家中常客。无论是作为一位教师还是一位父亲，他都尽心尽责 地履行着自己的义务。 母亲Ｆ． Ｃ． 彭妮 （Fraü lein CaralinePenne） 是汉诺威一位军官的女儿。 她性情温和、 天资聪颖，对每件事情的判断都十分朴实、清晰而富有启发，似乎有着一种透过现象而直视本质的直觉。 她把自己全部的精力都奉献给了持家和教育四个孩子这一平凡而伟大的事业。双亲的优良品格在亥姆霍兹 身上都得到了继承和发扬。 幼时的亥姆霍兹是一个体弱多病的孩子，每次生病都加重着父母的忧虑，然而庆幸的是每次他都得到 了良好的恢复。有一次，一位亲戚对他的父亲说：“你不要为儿子还没学到什么东西而忧伤，我肯定八岁前 不让他学什么将对他是有益的。洪堡（ A.von Humboldt）不是在八岁前还不知道什么吗，而现在他被国王 任命为科学院院长，有着阁下头衔和一大笔年薪。我预见你儿子也会这样的。”（ 〔１〕 ，ｐ．６） 。说不清 这是一种安慰，还是真的预见，这种奇迹果真在亥姆霍兹身上实现了。 由于体弱多病，他老是被限制在家里，时常是在床上看画册、玩积木游戏，对于这些他近乎达到了入 迷的地步。也正是通过这些，父母对他进行了精心的早期教育，以致他在小学时，在几何学课上所表现出 的超常的几何知识令老师们都感到吃惊，７岁入小学时，他身体仍不健壮，后经体育锻炼逐渐好转。 １８３２年，亥姆霍兹升入中学一年级。在班上他已能很轻松地跟上课程，对此他的老师也很满意。 尽管他的写字和家庭数学作业做的都不太令人满意，但他的自学能力，以及他对于自己感兴趣的问题所倾 注的热情和所具有的丰富的想象力，都受到了高度评价。也许是幼时多病所致，他的记忆力十分不好。对 他来说，单词、语法和成语的记忆是较难对付的，历史课更是他所不能及的，背诵散文对他来说简直是一 种折磨。然而奇怪的是，欣赏文学大师的诗作他并不感到困难，这也许是因为他那敏锐的审美鉴赏力的缘 故吧。在家时，父亲总是竭尽全力去唤起孩子们对于诗歌、艺术和音乐的美感，并把他们塑造成虔诚的爱 国者。 中学阶段的最初三年，亥姆霍兹主要学习语法和美学。二年级时他的课程又增加了数学和物理学。有 时他不在班上读西塞罗和维吉尔〔 （＊）ｂ〕 ，而在老师视力所不及的桌子下研究望远镜所涉及的光学问题 或学习一些光学原理，这些知识在他此后发明检眼镜时起了重要作用。 十五岁时，亥姆霍兹还是一个性情温和、沉默寡言的孩子。这时他的智力已得到了突飞猛进的发展，

curl A A
ˆ ˆ ˆAx y ˆAy z ˆ ˆAz ) A x y z (x x A y z x y z Az Ay Ax Az Ay Ax ˆ ˆ ˆ x z Ax Ay Az y z y z x x y
A矢量的模：
2 2 A Ax Ay Az2
A矢量的单位矢量：
Ay Ax Az A ˆ ˆ ˆ ˆ A x y z A A A A ˆ cos a y ˆ cos z ˆ cos x
两个矢量的对应分量相加或相减：
ˆ( Ax Bx ) y ˆ ( Ay By ) z ˆ( Az Bz ) A B x
轾 轾 骣 骣 骣 y 抖骣 x鼢 z 抖骣 y鼢 x 珑 珑 犏 犏 ˆ ˆ + y + z 鼢 鼢 珑 珑 3鼢 3 3鼢 3 珑 珑 犏 犏 桫 桫 桫 桫 z桫 r3 抖 z r x r 抖 x r y r 臌 臌
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
因
z 3 yz 3 5 y r r y 3 yz 3 5 z r r
(或旋涡量), 记为
A dl
l
二、旋度
1. 环量密度
D S® 0
A ×dl ò lim
l
DS
把封闭曲线收小, 使它包围的面积ΔS趋近于零, 取极限 意义：环量的面密度 注意：该极限值与S的形状无关，但与S的方向n有关
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
2. 旋度
矢量A的旋度是一个矢量, 其大小是矢量A在给定点处的最大 环量面密度, 其方向就是当面元的取向使环量面密度最大 时, 该面元矢量的方向 [ A dl ]max ˆ lim l Curl A n S 0 S

第七章 正弦平面电磁波
对正弦电磁场
E Exm (x, y, z)cos(t x )ex Eym cos(t y )ey Ezm cos(t z )ez
Re Exme j(tx ) ex Re Eyme j(ty ) ey Re Ezme j(tz ) ez
Re Exme jt ex Re Eyme jt ey Re Ezme jt ez
第七章
三、亥姆霍兹方程
正弦平面电磁波
无源区波动方程为：
2 2
E H
2E t 2 2H
t 2
0 0
将复数表示法代入上式，得：
2 Re[Em e jt ] Re[ 2 Em e jt ] 0 2 Re[H m e jt ] Re[ 2 H m e jt ] 0
10 2020/9/26 Jin Jie
5 2020/9/26 Jin Jie
第七章 正弦平面电磁波
麦克斯韦方程组
H J D t
E B t
B 0
D
下面推导麦克斯韦方程组复数表示形式
[Re(Hme jt )] Re[Jme jt ] Re[ j Dme jt ] [Re(Eme jt )] Re[ j Bme jt ]
[Re(Bme jt )] 0
.
[Re(Dme jt )] Re[ m e jt ]
6 2020/9/26 Jin Jie
第七章 正弦平面电磁波
对复数表达式， 算符与 Re 取实部算符可互换， 即：
Re[ (Hme jt )] Re[Jme jt j Dme jt ] Re[ (Eme jt )] Re[ j Bme jt ]
13 2020/9/26 Jin Jie
第七章 正弦平面电磁波

l+
rr ( f ) d S
S
S
(
r f
)

erz
d
S

( f y fx ) d S S x y
Ñ l ( fx d x f y d y)
( f y fx ) d x d y S x y
这就是格林环量公式。
大理大学工程学院 罗凌霄编写
4
亥姆霍兹定理
亥uv姆霍兹定理：在空间有限区域 V 内的任一个矢量 场F ，由它的散度、旋uv 度和边界条件唯一地确定，并 可表uv 示成一uv个无旋场（F1 ）和一个无发散源场 （ F 2 A）之和。即
uv uv uv
uv
F F1 F 2 A
uv
r uv

大理大学工程学院 罗凌霄编写
7
《矢量与场论》 课程结束
大理大学工程学院 罗凌霄编写
8
格林公式和 亥姆霍兹定理
大理大学工程学院 罗凌霄编写
1
格林闭曲面通量公式
由高斯散度定理得:
r
ÑS d S V () dV V ( 2) dV
（a）
因为
r
蜒 S d S

S

ern
dS

?S

n
dS
所以公式也可以写成
大理大学工程学院 罗凌霄编写
5
如果矢量场 uFv在远处以足够快的速度减弱至零，即
R
uv 时，F(x,
y, z)

1 R1
, 其中

0,
则在包围整个空间的面上，上述的两个面积分等于零，
于是Biblioteka uv x,y,

热力学 定律
一切过程都必须遵循，保持能量守 恒；不能解决过程是否必然发生、 进行的程度
热力学第二定律——判断在指定的条件下 一个过程能否发生；如能发生的话，能进行到 什么程度；如何改变外界条件（温度、压力等） 才能使变化朝人们所需要的方向进行
东莞理工学院
Dongguan University of Technology
东莞理工学院
Dongguan University of Technology
广东省分布式能源系统重点实验室
3.1.2 热力学第二定律
热力学第二定律：在不违背热力学第一定律的前 提下，判断在一定条件下过程的方向和限度的定律
“自发过程都是热力学不可逆过程”这个结论是 人类经验的总结，也是热力学第二定律的基础
东莞理工学院
Dongguan University of Technology
广东省分布式能源系统重点实验室
3.3.1.3 p、V、T都改变的过程
东莞理工学院
Dongguan University of Technology
广东省分布式能源系统重点实验室
东莞理工学院
Dongguan University of Technology
广东省分布式能源系统重点实验室
熵变计算的基本公式
当始、终态一定时，不论过程是否可逆，其熵 变都可用下式求出：
不论过程是否可 逆，都必须通过 可逆过程的热温商来计 算熵变；如果过程是不 可逆的，应设计一个与 该不可逆过程的始、终 态相同的可逆过程
东莞理工学院
Dongguan University of Technology
自然界的自发过程多种多样，但人们发现自发过 程都是相互关联的，从某一个自发过程的不可逆性 可以推断另一个自发过程的不可逆性。因此热力学 第二定律的表述也有多种，但它们都是等价的

5
2016/1/7
（2）
对有旋场 （无散场） F 0 2
两个重要的恒 等式之一
A 0 令 F2 A
（3）综合（1）与（2），则
（1-5-8）
FF 1 F 2 A
证毕
2016/1/7 6
应用：静电场是无旋场，可以表示为标量 场的梯度，这个标量场就是电位；用标量 场的电位间接表示矢量的电场，在数学处 理上将带来许多便利。
亥姆霍兹定理在电磁理论中的意义：研究电磁场的一条主线。
已知
电荷密度 矢量 F的通量源密度 在电磁场中 电流密度 J 矢量 的旋度源密度 F
场域边界条件 （矢量
场域边界条件
F
唯一地确定）
7
2016/1/7
续有界，而源分布在有 限空间中，则矢量场由 其散度、旋度和边界条件唯一确定；且可表示为 一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和。
F A
2016/1/7
（1-5-1）
1
二、亥姆霍兹定理的证明：
1、证矢量场由其散度和旋度唯一确定： 它们具有相同的散度和旋度。
设在无限空间中存在两个矢量函数 F、 G ，

又是无
假如
故
c
cr 则当r 时， 。
有限的常数
由（1-5-4）
g 0
由（1-5-2） F G g G
2016/1/7
唯一
4
2、证
F A
：
可表示为一个无旋场 F 1 （有散场）和一个有旋场 F 2
（无散场 ）之和：
设在无限空间中一个既有散度又有旋度的矢量场，

则矢量场 F称为V域内的无旋无散场。 无旋无散场只能存在有限的区域V内。 它是由分布在区域V以外或V的边界上的某种场源产 生的在区域V内的场量。 场源对其影响是通过边界条件来体现。
在V内，由
F 0 u 0
F u
2u 0
上式为拉普拉斯方程。 在数学上满足拉普拉斯方程的标量函数称为调和函数， 故无旋无散场也称为调和场。
AdV 0 A dS A dS A dS
V S S1 Ss
S2
A dS
S2
Ss
S1

S1
AadS AadS 0
S2
矢量管
无旋无散场(调和场)
F 0 矢量场 F在区域V内处处有 F 0
F dl F d S 0 dS 0
c S S

在矢量分析中，无旋场、梯度场和保守场是等价的。
有旋无散场（管形场）
F 0 矢量场F在区域V内处处有 F J 0 则矢量场 F 称Ｖ域内的有旋无散场。
由 F 0 G 0
F
2 例：已知 A ax (2 xy zy) a y ( x zx) az xy
求它们的源分布，并说明哪一个矢量可以表示为一个标量 函数的梯度函数及哪一个矢量可以表示为一个矢量函数的 梯度。 解：
z B ar cos a cos az (sin cos ) r
A F u

A 对应旋涡源， A 对应通量源，所以
Helmholtz定理也告诉我们，矢量场是由其旋涡源和 通量源产生的。