亥姆霍兹定理

亥姆霍兹定理
亥姆霍兹定理
流体力学中有关涡旋的动力学性质的定理
流体力学中有关涡旋的动力学性质的一个著名定理。

它指出，在无粘性、正压流体中，若外力有势，则在某时刻组成涡线、涡面和涡管的流体质点在以前或以后任一时刻也永远组成涡线、涡面和涡管，而且涡管强度在运动过程中恒不变。

中文名亥姆霍兹定理外文名Helmholtz'stheorems
流体力学中有关涡旋的动力学性质的一个著名定理。

它指出，在无粘性、正压流体中，若外力有势，则在某时刻组成涡线、涡面和涡管的流体质点在以前或以后任一时刻也永远组成涡线、涡面和涡管，而且涡管强度在运动过程中恒不变。

意义
亥姆霍兹定理和开尔文定理合在一起全面地描述了在无粘性、正压、外力有势这三个条件下流体中涡旋的随体变化规律。

首先，流体运动的涡旋性是保持的，即某时刻有旋则永远有旋，某时刻无旋则永远无旋。

其次，对于有旋运动，涡线、涡管永远由相同的流体质点组成，并且涡管的强度不随时间改变，好像流体质点和涡旋强度冻结在涡线、涡管上，随涡线、涡管一起运动。

可见涡旋随体变化的最主要的性质是保持性或谓冻结性。

破坏涡旋保持性，使涡旋产生和消失的三个主要因素是：流体的粘性、流体的斜压性以及外力无势。

贸易风和船舶航行时船尾后面不断产生的涡旋便是斜压性、外力无势产生涡旋和粘性产生涡旋的两个例子。

例16 求V3解由上节例中可知因此根据（1.41c）式式中代人，在r#r'，即及式0处V）J_ = A_ A^o R R3 V但由上式不能确定V2j在r-/点，即7?=0点的值，为此，计算▽■募V V 5以上应用了髙斯定理将体积分转换为面积分。

如果以上体积分中不包含/点，则在体积分体积中R^O,体积分的被积函数为零，积分也为零；如果以上体积分中包含r1点，可将积分体积设为中心在点，以a为半径的球，则在该球面上半径R=a为常数，X的方向与球面的法线方向相同，因此也就是—忐去=0对于三维＜函数8(R)^S(r-r')^S(x~x' )S(y~y' )5(z—/)，有S⑻=0 穴关0卜dv C比较可知-忐去4⑻即去=—inS(R)(1.4-12)去)dV =fl▽■▽I:-7▽ 2^dV=_V亥姆霣兹定理：若矢量场f•在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可表示为F(r) =- ▽0(r) +V X A(r) 式中V 证根据5函数的性质F(r) = JJ - r)dW(1.6-3)(1-6-4)(1- 6-5)(1.6-6) 将= 代人上式，V考虑到微分运算与积分运算的变量不同，由上式可得v^v\AV ， V利用矢量恒等式,VXVX4=W-A-V !A,上式可写为 F(r> 二—▽▽ ■i^dW) + V X V X j^d^) V V即F(r) =—▽*+▽ x A 0(r) = V •仲)=v X i^VT dr > V(1.6-3)式得证。

将(1.6-8)和(1.6-9)式中的徽分与积分运算交换次序，分别得 中⑺：O=認▽ xV =—W X vVFC^ x v ，T^VT dv ，二 a厦,V V r X F<〆) 式中(1.6-7〉(1.6-8)(1.6-9〉V- M s(1.6-10)(1.6-11)打〆).v (t , \-|)dy ，A(r) = ▽ X<1.6-10)和(1.6-11)式的体积分是无限空间区域，封闭面积分是包围无限大空间区域的无限大的曲面。

亥姆亥兹定理
亥姆霍兹定理是物理力学中的一个重要定理，它被广泛应用于液体力学、电磁学、热力学等领域。

该定理是由德国科学家赫尔曼·冯·亥姆霍兹（Hermann von Helmholtz）在19世纪提出的。

亥姆霍兹定理分为两个部分，即“法向分量”与“切向分量”。

1.法向分量：在数学上，亥姆霍兹定理的“法向分量”又称为散度定理。

该定理描述了一个有限多面体表面积分等于该多面体内部的体积分的散度。

换言之，对于一个向量场V，其在有限多面体Ω的表面的通量等于V在Ω内的散度的体积积分。

2.切向分量：亥姆霍兹定理的另一部分是切向分量，也称作旋度定理。

该定理描述了一个矢量场在一个闭合曲面的切向通量与该矢量场在该曲面所围成的区域上的环向积分的关系。

也就是说，切向分量可以将矢量场的旋度与环向积分相联系。

以上信息仅供参考，可以查阅相关的物理书籍或者咨询专业人士，以获取更全面更准确的信息。

18物理与工程 Vol. 17 No. 5 2007浅论亥姆霍兹定理在电磁场理论中的贯穿作用王 彬 陈德智(华中科技大学电气与电子工程学院 ,湖北 武汉 430074)(收稿日期 : 2006210218 ;修回日期 : 2007204204)摘 要 讨论了亥姆霍兹定理的表述形式及其在电磁场理论教学中的贯穿作用. 根据亥姆霍兹定理 ,可以由麦克斯韦方程组自然地引出标量电位和矢量磁位函数 ,并可方便地导出 库仑定律或毕奥2萨伐定律 ,以及位函数与场在自由空间的积分表达式.关键词 亥姆霍兹定理 ;电磁场 ;教学THE ROL E OF HELM H OL TZ ’S THEOREM INTEACHING EL ECTROMAGNETIC FIELD THEORYWang Bin Chen Dezhi( College of Electrical and El ect ronic Engineering , Huazhong University of Science and Technology , Wuhan , Hubei , 430074)Abstract The role of t he representation and applications of Helmholtz ’s t heorem in teaching elect romagnetic field t heory is discussed. According to Helmholtz ’s t heorem , t he elect ric scalar potential and t he magnetic vector potential can be introduced , and t he Coulomb ’s law , as well as t he Biot 2Savart law can be derived f rom Maxwell ’s equations. The integral express ions of t he potential f unctions and t he fields in f ree space can also be obtained. Key Words Helmholtz ’s t heorem ; electromagnetic field ; teaching引言亥姆霍兹定理 ,有时也称作矢量场的惟一性 定理 ,是电磁场理论中的一条重要定理 ,它表明 : 一个矢量场可以由它的散度 、旋度及相应的边界 条件惟一确定. 因此电磁场理论的研究总是围绕 着场的散度和旋度表达式展开的.麦克斯韦方程组是描述宏观电磁场的基本方 程 ,所有的宏观电磁场现象和规律都可以从麦克 斯韦方程组导出. 在大学物理的学习中 ,已经建立 了积分形式的麦克斯韦方程组 ,在电磁场课程中 , 复 ,而且概念清楚 ,理论简明. 而借助于亥姆霍兹 定理可以省略许多烦琐的数学推导.亥姆霍兹定理的表述亥姆霍兹定理表述为[ 3 ]: 如果一个矢量场的 散度和旋度只在有限区域内不为零 ,则该矢量场 可惟一地由它的散度和旋度所确定. 考虑矢量场 F = F ( r ) , 假定在有限体积 V 中 , 函数·F = b ( r )(1)及×F = c ( r ) (2) 通过少量的场论知识即可得到它的微分形式. 以 此为出发点 ,可以以演绎的方式讲述电磁场[ 1 , 2 ] . 演绎方式可以避免与大学物理电磁学内容的重处处给定 ;在 V 外 函数 :·F 和 ×F 处处为零. 定义作者简介 王彬 , 1972 出生 , 女 , 现在华中科技大学电气与电子工程学院任教.π∫ πε∫2 R π∫π∫物理与工程 Vol. 17 No. 5 2007υ( r ) = 14 V ′A ( r ) = 1b ( r ′) d V ′Rc ( r ′)d V ′(3)(4)零”与“旋度等于零的矢量恒可以表示成一个标量 函数的梯度”毕竟是两个不同的命题 , 并不显而易 见地等价.4π∫V ′R在无界的均匀线性媒质中 , ·E =ρ/ε, ×E其中 , R = r - r ′而 R = | r - r ′| ;则 F 可从下式求得= 0 , 参照亥姆霍兹定理中的式 ( 3) 与式 ( 4) , 矢量 F ( r ) = - υ( r ) + ×A ( r )(5) 位 A 等于零 , 标量位上述亥姆霍兹定理的表述适用于无界区域 ,ρ因此没有涉及边界条件 , 实际上隐含了在无限远υ( r ) = 14V ′ d V ′ R (11)处 F 的量值至少以1/ r 衰减[ 4 ]. 对于有界区域 , 亥姆霍兹定理表述为 :如果一 因此 E 的积分解为 ρ个矢量场的散度和旋度在所研究的全部区域内已 E ( r ) 1d V ′ 0 (12)R知 , 且在包围该场域的边界面上矢量场的分布已 知 , 则该矢量场可惟一地由它的散度 、旋度和边界 条件所确定.需要指出的是 , 要求已知矢量场在边界上的 分布是一个充分条件 , 但不是必要的. 关于这个问 题已经讨论得很多 , 试图给出一个简明并且实用 的充分必要条件非常困难 , 主要是因为涉及到场 域的拓扑结构[ 5～8 ] . 许多教科书上把边界条件表 述为已知矢量场在边界上的法向分量或切向分量 是不正确的 (附录给出了一个简单的讨论) . 式 (5) 表明 , 任意矢量场都可以表示为一个标量函数的梯度与一个矢量函数的旋度之和. 我们 把υ和 A 叫做位函数 , 其中υ称为标量位 ; A 称为 矢量位. 还可以证明υ和 A 分别满足泊松方程2υ( r ) = - b ( r )(6) 2A ( r ) = - c ( r )(7)由于边界条件反映了场域外的源的作用结果 , 因 此这个结论可以推广到有界区域的情况.静电场中的位函数式 (11) 和式 ( 可以用σd S 、τd l或 d q 等其 他形 区 域 也 相 应 改变.式 (11) 定义的显然它满足电位泊松方程. 笔者以为 , 这种引进方式更自然一些. 式 (12) 就是库仑定律的内容 , 因此 , 站在演绎 的角度上 , 库仑定律可以看作是麦克斯韦方程组 的一个推论.恒定磁场中的位函数 恒定磁场基本方程为·B = 0 (13)×H = J(14)B = μH(15)类似的 , 许多教科书在引进矢量磁位时把 “矢量函数旋度的散度恒等于零”与“散度等于零 的矢量恒可以表示成一个矢量函数的旋度”直接 作为等价命题来使用 , 不能让人很顺畅地接受. 而 从亥姆霍兹定理出发却可以很自然. 与上一节的 讨论相似 , 在无界的均匀线性媒质中 , ·B = 0 , 在麦克斯韦方程组中 , 令场量关于时间的导 数为零 , 即可得到分别解耦了的静电场与静磁场 ×B =μJ , 参照亥姆霍兹定理 , 标量位υ等于零 , 矢量位的基本方程. 静电场基本方程为A ( r ) = μ 4 V ′ J d V ′ R(16) ·D = ρ (8) ×E = 0(9)因此 B 的积分解为 μ J ×R 0d V ′D = εE(10)B ( r ) = ×A ( r ) = 4 V ′R 2(17) 多数教科书上是这样引进电位函数的 :静电场是无旋场 , 由于任意一个标量函数的梯度的旋 度恒等于零 , 因此静电场的电场强度 E 可以由一 式(16) 和式(17) 中的电流元 J d V 可以用 Kd S 、I dl 或 d q 等其他形式替换 ,当然积分区域也相应改变.式 (16) 定义的 A 即矢量磁位 , 显然它满足矢个标量函数的梯度表示 , 即 E = - υ. 这在逻辑上 量磁位泊松方程. 而式 (17) 就是毕奥 2萨伐定律的是不顺畅的 , 因为“标量函数梯度的旋度恒等于(下转第 21 页)≤ 物理与工程 Vol. 17 No. 5 2007这是一个关于 r 的一阶线性非齐次微分方程 , 其 H θ 在 r = R 处应连续 , 由式(12) 和式 (13) 得 2通解为H θ = ε r5 E + C(8)C = εR2 5 E5 t2 5 t r式(8) 中 C 为积分常数. 则 H θ = εR 5 E(14) 对于 r ≤R , r →0 时 , H θ →∞, 所以 C = 0 , 则2 r 5 t R 25 EH θ = ε r2 5 E5 t (9)B θ = με2 r 5 t(15)B θ = με r 5 E (10)综上所述 , 电场所激发的磁场为2 5 tB = με r 2 5 E 5 t e θ ( r R ) (16) 对于 r > R , 5 E = 0 , 由式(8) 得 2R 5 E内容 ,因此 ,毕奥2萨伐定律可以看作是麦克斯韦 方程组的一个推论.小结本文讨论了电磁场中亥姆霍兹定理的表述问 题和该定理在静态电磁场中的贯穿作用. 应用亥 姆霍兹定理 ,可以以一种很自然的方式引进标量 电位和矢量磁位 ,并可以非常简洁地由麦克斯韦 方程组导出库仑定律和毕奥2萨伐定律 ,以及场函 数与位函数在自由空间的积分表达式.与电路相比 ,电磁场课程公认为难教难学 ,这 除了电磁场本身的抽象特点外 ,与电磁场的叙述 形式也有一定关系. 经过大学物理的学习 ,电磁场 的基本方程已经建立起来. 因此 , 在电磁场课程 中 ,完全可以以麦克斯韦方程组为起点 , 把静电 460～464[ 5 ] 姚一民. 唯一地确定矢量场的边界条件. 大学物理 , 1988 , 7 (9) :6[ 6 ] 曲世光. 矢量场唯一解的本质及相关问题. 沈阳工业大学学报 ,1990 ,12 (1) :59～68 [ 7 ] 文盛乐 ,朱久运. 矢量场的普遍解和电磁场的边值条件. 大学物理 ,1992 ,11 (3) :14 [ 8 ] 罗世彬 ,宋福. 矢量场惟一性定理. 大学物理 ,1994 ,13 (7) :5附录 :关于边界条件的一个简单说明目前教科书上关于矢量场惟一性所要求的边界条件的论述有 3 种 : ①给定边界 上的法向分量 ; ②给定边 界上的切向分量 ; ③同时 给定边界上的法向分量和 切向分量. 采用不同的论 述都给出了证明. 但是 ,许多证明是有缺陷的 ,主要 图 1 环形区域内的磁场不能由边场 、恒定电场 、恒定磁场 、似稳场 、时谐场 、电磁波 等作为麦克斯韦方程组在不同条件下的特殊形 是没有考虑到场域的拓扑结构 ,导致了错误使用高界上的法向分量惟一确定 式 ,以演绎的形式讲述电磁场理论 ,这样的一个体 系结构变得非常简明 ,而且可以与电磁学的知识 相互印证 ,加深学生的理解.参 考 文 献[ 1 ] 倪光正. 工程电磁场原理. 北京 :高等教育出版社 ,2002 [ 2 ] 孙敏 , 孙亲锡 , 叶齐政. 工程电磁场基础. 北京 : 科学出版社 ,2001[ 3 ] 旺斯纳斯 ·R K . 电磁场. 陈菊华等译. 北京 : 科学出版社 ,1987 . 29斯散度定理或斯托克斯定理. 如果场域是单连域 (既是线单 连的 ,又是面单连的) ,则 ①、②都正确 ,否则就可能有问题.一个简单的反例是研究自由空间里长直载流细导线周 围的磁场. 这是一个平行平面场 ,如果取一个与导线垂直并 且同心的圆环作为求解区域 ,如图 1 中的阴影部分 ,则由于 环内没有电流存在 ,磁场强度 H 的旋度与散度在环内处处为零 ,而边界上 H 的法向分量也处处已知(都为零) . 但是依 靠这些条件并不能得到 H 的惟一 、正确的解 , 因为我们知道 , H 惟一地取决于环心处电流 I (在场域外) 的大小.2。

1、静磁场不是由通量源，而是由_______旋涡源__________产生的；2、在两种媒质分界面的两侧，而磁场的法向分量_________________(连续或不连续)。

3、亥姆霍茨定理表述在有限区域的任一矢量场由它的散度，旋度以及边界条件唯一地确定；说明的问题是要确定一个矢量或一个矢量描述的场，须同时确定其____散度和旋度_____________4、 静电场中E 的切向分量在通过分界面时_________________。

5、S d tB l d E l S ⎰⎰∂∂-=∙其物理描述为___变换的磁场是产生电场的旋涡源___. 6、时谐场是激励源按照单一频率随时间作正弦变化时所激发的也随时间按正弦变化的场；一般采用时谐场来分析时变电磁场的一般规律，是因为1)任何时变周期函数都可以用正弦函数表示的傅里叶级数来描述;2)在线性条件下可以_____使用叠加原理____________7、坡印廷矢量的数学表达式_________________；8、电介质的极化是指在外电场作用下，电介质中出现有序排列的电偶极子表面上出现束缚电荷的现象。

描述电介质极化程度或强度的物理量是_________________9、介质的三个本构方程分别是__________、H B μ=、E J C γ= 10、趋肤效应是指 当交变电流通过导体时，随着电流变化频率的升高，导体上所流过的电流将越来越集中于导体表面附近，导体内部的电流____越来越小_____________的现象11静电场是由________________________、不是由________________________产生的场；12．矢量的通量物理含义是矢量穿过曲面的矢量线的总和； 散度的物理意义是矢量场中任意一点处通量对体积的变化率；散度与通量的关系是________________________。

13、矢量函数的环量定义 ⎰⋅=l l d A C ；旋度的定义MAX l S Sl d A A rot ∆⋅=⎰→∆lim 0；二者的关系________________________ ；旋度的物理意义：最大环量密度和最大环量密度方向。