欧拉角与四元数

1.欧拉角在四元数出现之前先看下欧拉角：对于在三维空间里的一个参考系，任何坐标系的取向，都可以用三个欧拉角来表现。

为了后面的角度不混乱，我们要先区分参考系和坐标系的概念。

参考系即为大地参考系，是静止不动的。

而坐标系则固定于四轴飞行器，随着四轴飞行器的旋转而旋转。

按照右图所示。

设定xyz-轴为四轴上的参考轴，XYZ-轴则是大地的参考轴。

右图即为四轴相对地面进行了一定旋转，xy-平面与XY-平面的相交线为交点线，用英文字母（N）代表。

我们可以这样定义欧拉角：α是x-轴与交点线的夹角β是z-轴与Z-轴的夹角γ是交点线与X-轴的夹角这样我们就可以用三个欧拉角：(α，β，γ)其取值为0-360来描述四轴飞行器相对于大地的参考系的姿态角度了。

三个欧拉角：(α，β，γ)。

蓝色的轴是xyz-轴，红色的轴是XYZ-坐标轴。

绿色的线是交点线(N) 。

2.轴角欧拉角使用roll，pitch，yaw来表示这些分量的旋转值。

需要注意的是，这里的旋转是针对大地参考系说的，这意味着第一次的旋转不会影响第二、三次的转轴，简单的说，三角度系统无法表现任意轴的旋转，只要一开始旋转，物体本身就失去了任意轴的自主性，这也就导致了万向节锁（Gimbal Lock）的问题。

什么是Gimbal Lock？正如前面所说，因为欧拉描述中针对x,y,z的旋转描述是世界坐标系下的值，所以当任意一轴旋转90°的时候会导致该轴同其他轴重合，此时旋转被重合的轴可能没有任何效果，这就是Gimbal Lock，还有一种是轴角的描述方法，这种方法比欧拉描述要好，它避免了Gimbal Lock，它使用一个3维向量表示转轴和一个角度分量表示绕此转轴的旋转角度，即(x,y,z,angle)，一般表示为(x,y,z,w)或者(v,w)。

(x,y,z)为旋转轴，w为旋转角度。

但这种描述法却不适合插值。

轴角的表示方法：那么轴、角的描述方法又有什么问题呢？虽然轴、角的描述解决了Gimbal Lock，但这样的描述方法会导致差值不平滑，差值结果可能跳跃，欧拉角描述同样有这样的问题。

四元数和欧拉角的关系四元数和欧拉角的关系一、四元数四元数是一种数学结构，用来表达旋转运动。

一个四元数通常由一个实部和三个虚部构成，可以表示为：q=a+bi+cj+dk其中，a是实部，b、c、d是虚部，i、j、k是虚数单位。

二、欧拉角欧拉角是一种常用的旋转表达方法，常用于描述物体的朝向和旋转。

欧拉角可以分为三个分量，分别是绕x轴的旋转角度、绕y轴的旋转角度和绕z轴的旋转角度。

三、四元数和欧拉角的转换关系四元数和欧拉角之间存在一种转换关系，可以互相转换。

下面分别介绍四元数转欧拉角和欧拉角转四元数的计算方法。

1. 四元数转欧拉角四元数转欧拉角的计算方法如下：首先，计算旋转矩阵R，通过四元数的实部和虚部计算得到：R =(1−2c 2−2d 22bc −2ad 2bd +2ac 2bc +2ad 1−2b 2−2d 22cd −2ab 2bd −2ac 2cd +2ab 1−2b 2−2c 2)然后，通过旋转矩阵R 求解得到对应的欧拉角，具体计算方法略。

2. 欧拉角转四元数欧拉角转四元数的计算方法如下：首先，通过欧拉角计算旋转矩阵R ，具体计算方法略。

然后，根据旋转矩阵R 计算得到对应的四元数，具体计算方法略。

四、总结四元数和欧拉角是描述旋转运动的两种常用方法，它们之间存在一种转换关系。

通过四元数可以计算得到对应的欧拉角，通过欧拉角也可以计算得到对应的四元数。

在具体应用中，我们可以根据需要选择合适的表达方法来描述旋转运动。

1. 四元数转欧拉角四元数转欧拉角的计算方法如下：首先，计算旋转矩阵R ，通过四元数的实部和虚部计算得到：R =(1−2c 2−2d 22bc −2ad 2bd +2ac 2bc +2ad 1−2b 2−2d 22cd −2ab 2bd −2ac 2cd +2ab 1−2b 2−2c 2)然后，通过旋转矩阵R 求解得到对应的欧拉角。

一个常用的方法是使用反正切函数和反正弦函数来计算角度，具体计算方法如下：• 绕x 轴的旋转角度（俯仰角）：θx =atan2(2(bc +ad ),1−2(b 2+c 2))• 绕y 轴的旋转角度（偏航角）：θy =asin(2(bd −ac )) • 绕z 轴的旋转角度（翻滚角）：θz =atan2(2(cd +ab ),1−2(c 2+d 2))2. 欧拉角转四元数欧拉角转四元数的计算方法如下：首先，通过欧拉角计算旋转矩阵R 。

四元数与欧拉⾓（RPY⾓）的相互转换RPY⾓与Z-Y-X欧拉⾓ 描述坐标系{B}相对于参考坐标系{A}的姿态有两种⽅式。

第⼀种是绕固定（参考）坐标轴旋转：假设开始两个坐标系重合，先将{B}绕{A}的X轴旋转γ，然后绕{A}的Y轴旋转β，最后绕{A}的Z轴旋转α，就能旋转到当前姿态。

可以称其为X-Y-Z fixed angles或RPY⾓(Roll, Pitch, Yaw)。

Roll:横滚 Pitch: 俯仰Yaw: 偏航（航向） 由于是绕固定坐标系旋转，则旋转矩阵为（cα is shorthand for cosα, sα is shorthand for sinα,and so on.）R XYZ(γ,β,α)=R Z(α)R Y(β)R X(γ)=cαcβcαsβsγ−sαcγcαsβcγ+sαsγsαcβsαsβsγ+cαcγsαsβcγ−cαsγ−sβcβsγcβcγ 另⼀种姿态描述⽅式是绕⾃⾝坐标轴旋转：假设开始两个坐标系重合，先将{B}绕⾃⾝的Z轴旋转α，然后绕Y轴旋转β，最后绕X轴旋转γ，就能旋转到当前姿态。

称其为Z-Y-X欧拉⾓，由于是绕⾃⾝坐标轴进⾏旋转，则旋转矩阵为：R Z′Y′X′(α,β,γ)=R Z(α)R Y(β)R X(γ)=cαcβcαsβsγ−sαcγcαsβcγ+sαsγsαcβsαsβsγ+cαcγsαsβcγ−cαsγ−sβcβsγcβcγ 可以发现这两种描述⽅式得到的旋转矩阵是⼀样的，即绕固定坐标轴X-Y-Z旋转(γ,β,α)和绕⾃⾝坐标轴Z-Y-X旋转(α,β,γ)的最终结果⼀样，只是描述的⽅法有差别⽽已。

In gerenal: three rotations taken about fixed axes yield the same final orientation as the same three rotations taken in opposite order about the axes of the moving frame.Axis-Angle与四元数 绕坐标轴的多次旋转可以等效为绕某⼀转轴旋转⼀定的⾓度。

四元数和欧拉角
四元数与欧拉角：
1、四元数
四元数是一种数学物体，它由ONE个实部和THREE个虚部组成。

实部是非负实数，其余的THREE个部分是虚数。

四元数的表达式可以表示为：Q=a+bi+cj+dk (a、b、c、d是实实部）。

它们有助于以三维空间中的方式表示方向和旋转。

离散空间中表示四元数，当旋转发生时，它们保持一致。

2、欧拉角：
欧拉角是一种三维旋转矢量，可以用来表示不同方向之间的关系。

它将旋转分成THREE个不同的轴，分别为X轴、Y轴和Z轴。

每个轴都有自己的旋转角度，比如X轴有X角度，Y轴有Y角度，Z轴有Z角度。

欧拉角的表达式可以写作：[X,Y,Z]，其中X、Y、Z分别表示每个轴的旋转角度。

欧拉角与四元数之间的差别在于欧拉角表示的是不同方向间的关系，而四元数表示的是不同方向的空间旋转。

可以说四元数和欧拉角均是用来表示旋转有关信息的，但是又是有所差别的。

下面我们来总结下它们两者之间的区别：
1）表示方式不同：欧拉角表示的是不同方向间的关系，而四元数是表
示不同方向的空间旋转；
2）用途不同：欧拉角被广泛应用于3D图形学处理领域，可以很方便
地实现3D模型的几何变换；而四元数方便地表示空间任意的旋转变换，是用来表达机器人的运动控制中的基本角度表示方式；
3）值域不同：欧拉角的值域为[0,2π)，而四元数的值域为[-1,1]；
4）叠加角度表示方法不同：四元数是可以用乘法表达累加旋转；而欧
拉角只能使用加法来表达叠加旋转。

三维旋转：旋转矩阵，欧拉⾓，四元数原⽂见我的，欢迎⼤家过去评论。

如何描述三维空间中刚体的旋转，是个有趣的问题。

具体地说，就是刚体上的任意⼀个点P(x, y, z)围绕过原点的轴(i, j, k)旋转θ，求旋转后的点P\'(x\', y\', z\')。

旋转矩阵旋转矩阵乘以点P的齐次坐标，得到旋转后的点P'，因此旋转矩阵可以描述旋转，$$\begin{bmatrix}x'\\ y'\\ z'\\ 1\end{bmatrix}=R\cdot \begin{bmatrix}x\\ y\\ z\\ 1\end{bmatrix}$$绕x，y，或z轴旋转θ的矩阵为：$$R_{x}(\theta)=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta\\ 0 & \sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}$$$$R_{y}(\theta)=\begin{bmatrix}\cos\theta & 0 & -\sin\theta\\ 0 & 1 & 0\\ \sin\theta & 0 & \cos\theta\end{bmatrix}$$$$R_{z}(\theta)=\begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$所以，绕任意轴旋转的矩阵为$$R_{x}(-p)\cdot R_{y}(-q)\cdot R_{z}(\theta)\cdot R_{y}(q)\cdot R_{x}(p)$$这表⽰：1. 绕x轴旋转⾓度p使指定的旋转轴在xz平⾯上2. 绕y轴旋转⾓度q使指定的旋转轴与z轴重合3. 绕z轴旋转⾓度θ4. 绕y轴旋转⾓度-q5. 绕x轴旋转⾓度-p其中，p和q的值需要⽤i,j,k计算出来。

欧拉角转四元数转旋转矩阵欧拉角、四元数和旋转矩阵是常用的表示旋转的方法。

在计算机图形学、机器人学等领域广泛应用。

本文将介绍如何将欧拉角转换为四元数，以及如何将四元数转换为旋转矩阵。

欧拉角是表示旋转的一种方式，它包括三个角度值：俯仰角、偏航角和滚转角。

欧拉角的表示方法有很多种，如 XYZ、ZYZ 等。

这里我们以 XYZ 欧拉角为例。

XYZ 欧拉角表示先绕 x 轴旋转一定角度，再绕 y 轴旋转一定角度，最后绕 z 轴旋转一定角度。

欧拉角的旋转顺序是很重要的，不同的旋转顺序会得到不同的旋转结果。

四元数是一种表示旋转的数学工具，它包含一个实部和三个虚部，可以用一个四维向量表示。

四元数的运算比矩阵运算更快，也更容易组合多个旋转。

四元数旋转的基本原理是将旋转轴和旋转角度转换为一个四元数，然后将这个四元数与待旋转向量相乘得到旋转后的向量。

旋转矩阵是一个 3x3 的矩阵，它可以用来将一个向量绕某个轴旋转一定角度。

旋转矩阵的每一列表示旋转后的 x、y、z 轴方向的向量。

旋转矩阵的乘法是不可交换的，即不同的旋转顺序会得到不同的旋转结果。

下面将介绍如何将欧拉角转换为四元数，以及如何将四元数转换为旋转矩阵。

1. 欧拉角转四元数将 XYZ 欧拉角转换为四元数的公式如下：q = cos(roll/2) * cos(pitch/2) * cos(yaw/2) + sin(roll/2)* sin(pitch/2) * sin(yaw/2) * i- sin(roll/2) * cos(pitch/2) * sin(yaw/2) * j + cos(roll/2) * sin(pitch/2) * sin(yaw/2) * k其中，roll、pitch、yaw 分别表示滚转角、俯仰角和偏航角。

i、j、k 分别表示四元数的虚部，它们满足 i^2=j^2=k^2=ijk=-1。

2. 四元数转旋转矩阵将四元数转换为旋转矩阵的公式如下：R = [1-2*(qj^2+qk^2), 2*(qi*qj-qk*qr), 2*(qi*qk+qj*qr)] [2*(qi*qj+qk*qr), 1-2*(qi^2+qk^2), 2*(qj*qk-qi*qr)][2*(qi*qk-qj*qr), 2*(qj*qk+qi*qr), 1-2*(qi^2+qj^2)] 其中，q 是一个四元数，qi、qj、qk、qr 分别表示四元数的虚部和实部。

四元数与旋转一．四元组基础Q(x,y,z,w)，其中x，y，z用来确定旋转轴，w为旋转的角度Q=w+xi+yj+zk，i，j，k为三个虚轴的单位分量I*j=kJ*k=i;K*i=j;叉乘：c=a × b=| i j k||a1 b1 c1||a2 b2 c2|=(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)c也为一个向量，且c的长度为|a||b|sin(theta)，垂直于a和b所在的平面，方向由右手法则来判定，用右手的四指先表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c 的方向1．四元组相乘：Q1=w1+x1i+y1j+z1k=(w1,v1)Q2=w2+x2i+y2j+z2k=(w2,v2)Q1*Q2=(w1*w2-<v1,v2>,w1*v2+w2*v1+v1xv2)( w1+x1i+y1j+z1k)*( w2+x2i+y2j+z2k)=w1*w2-x1*x2-y1*y2-z1*z2+(W1*x2+x1*w2+y1*z2-z1-y2)i+(y1*w2+w1*y2+z1*x2-x1*z2)j+(w1*z2+z1*w2+x1*y2-y1*x2)k对于其中的轴部分，假如v1//v2，则有v1 x v2=0（平行向量的叉乘结果为0）2．四元组的点乘，点乘积为数值：Q1.*Q2=w1*w2+<v1,v2>=w1*w2+x1*x2+y1*y2+z1*z2;3．数乘s为一实数，q为四元组，则有sq=qs4．共轭p=(w,v)，则p*=(w,-v)(pq)*=q*p*N(q)=w2+x2+y2+z2q-1=q*/N(q)---------------显然可得qq-1=(1,0)二．使用四元数旋转向量假如有一表示向量的四元组q=(w,v)，对其应用旋转量p后的结果为：q’=pqp-1=(w,v’)从上可以看出，计算的结果q’的实部和q的实部是相等的，并且有N(v)=N(v’)如果N(q)=1，则可以令q=(cosa,usina)，u也为一个单位向量，则q’是q绕u旋转2a个弧度的结果假如S(q)表示q的实部，则有2S(q)=q+q*2S(pqp-1)= pqp-1+( pqp-1)*=pqp*+(pqp*)*=pqp*+pq*p*=p(q+q*)p*=2S(q)（这里由于p是单位四元数，所以有p-1等于p*）欧拉角到四元数的转换定义pitch, yaw, roll分别为绕X轴、Y轴、Z轴的旋转弧度float p = pitch * PIOVER180 / 2.0;float y = yaw * PIOVER180 / 2.0;float r = roll * PIOVER180 / 2.0;float sinp = sin(p);float siny = sin(y);float sinr = sin(r);float cosp = cos(p);float cosy = cos(y);float cosr = cos(r);this->x = sinr * cosp * cosy - cosr * sinp * siny;this->y = cosr * sinp * cosy + sinr * cosp * siny;this->z = cosr * cosp * siny - sinr * sinp * cosy;this->w = cosr * cosp * cosy + sinr * sinp * siny;normalise();三．使用matlab进行相关计算计算两个向量v1和v2之间的旋转量四元数p，使得v1应用p后到达v2假如v1转到v2的旋转轴为v，旋转角为theta，则q=[v*cos(theta/2)sin(theta/2)]Matlab代码：function q=vector2q(v1,v2)%..normalize....len1=sqrt(v1*v1');len2=sqrt(v2*v2');v1=v1/len1;v2=v2/len2;angle=v1*v2';axis=cross(v1,v2);alen=sqrt(axis*axis');axis=axis/alen;t=acos(angle);t=t/2;q(1)=axis(1)*sin(t);q(2)=axis(2)*sin(t);q(3)=axis(3)*sin(t);q(4)=cos(t);end计算出了q之后，可以获得对应的旋转矩阵，旋转矩阵的计算Matlab里面的矩阵是以列为主顺序的function r=q2rot(q)w=q(4);x=q(1);y=q(2);z=q(3);r=zeros(3,3);r(1,1)=1-2*y*y-2*z*z;r(1,2)=2*x*y+2*w*z;r(1,3)=2*x*z-2*w*y;r(2,1)=2*x*y-2*w*z;r(2,2)=1-2*x*x-2*z*z;r(2,3)=2*z*y+2*w*x;r(3,1)=2*x*z+2*w*y;r(3,2)=2*y*z-2*w*x;r(3,3)=1-2*x*x-2*y*y;r=r';end同时，也可以根据四元数来计算欧拉角function R=q2euler(q)w=q(4);x=q(1);y=q(2);z=q(3);t11=2*(w*x+y*z);t12=1-2*(x*x+y*y);R(1)=atan2(t11,t12);t2=2*(w*y-z*x);R(2)=asin(t2);t31=2*(w*z+x*y);t32=1-2*(y*y+z*z);R(3)=atan2(t31,t32);end计算出来的欧拉角rx，ry，rz，分别为绕X轴、Y轴和Z轴的旋转角，假如有：Rotq=q2rot(q)R=q2euler(q)[rotx roty rotz]=Rotation(R)可以发现Rotq==rotz*roty*rotx从这里可以看出，上面使用四元数这样计算出来的旋转矩阵的旋转顺序分别是X轴、Y轴和Z轴的ra=pi/4;qz=[0 0 -sin(ra) cos(ra)] %绕z旋转-90度qy=[0 sin(ra) 0 cos(ra) ] %绕y旋转90度qyz=qmult(qy,qz)r=q2euler(qyz)上面的r得出的结果为r = -1.5708 0.0000 -1.5708也就是说其几何意义变成先绕X轴旋转-90度，再绕Z轴旋转-90度，而根据qy和qz的相乘我们实际进行的操作却是先绕Z轴旋转-90度，再绕Y轴旋转90度，但是结果却是这两种操作等价，这说明由四元数到欧拉角可以有多个解两个四元数，假如它们的方向是相反的，用它们作用于向量得到的新向量的值仍然相等q1=[0.024666 -0.023954 0.504727 0.862594];arm=[-8.881719 6.037597 -2.36776];q2=-q1;rot1=q2rot(q1);rot2=q2rot(q2);v1=rot1*arm'v2=rot2*arm'上面计算出来的v1等于v2四元数的余弦值为它们的内积假如余弦值小于0，则需要将其中的一个取反，因为上面我们知道一个四元数和它的反方向的四元数对一个向量起相同的作用四元数的相乘，代表旋转的累积pq=p*q;rotp=q2rot(p);rotq=q2rot(q);rotpq=q2rot(pq);rotmul=rotp*rotq;这里rotpq与rotmul相等四． OGRE中Quaternion类的几个函数1.四元数到旋转向量void Quaternion::ToRotationMatrix (Matrix3& kRot) const1 - 2*qy2 -2*qz22*qx*qy -2*qz*qw2*qx*qz +2*qy*qw2*qx*qy + 2*qz*qw 1 - 2*qx2 -2*qz22*qy*qz -2*qx*qw2*qx*qz -2*qy*qw 2*qy*qz +2*qx*qw1 - 2*qx2 -2*qy22.旋转量到四元数根据1中的表格，有：4 *(1-qx2-qy2-qz2) = 1 + m00 + m11 + m22又qw2=1-qx2-qy2-qz2，可得4 *qw2= 1 + m00 + m11 + m22这里解qw必须保证1 + m00 + m11 + m22>=0，如果不是的话，就构造其他的等式来计算，OGRE中分成两种情况，一种是m00 + m11 + m22>=0，就可以直接先解出qw，否则的采用另外的等式计算3．Local axisVector3 xAixs(void) const;取得旋转矩阵的第一列，旋转矩阵和一个向量相乘的话，第一列的数据均和向量的x分量相乘Vecotr3 yAxis(void) const;取得旋转矩阵的第二列，旋转矩阵和一个向量相乘的话，第二列的数据均和向量的y分量相乘Vecotr3 zAxis(void) const;取得旋转矩阵的第三列，旋转矩阵和一个向量相乘的话，第三列的数据均和向量的z分量相乘。