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3D 数学：欧拉⾓、万向锁、四元数左⼿系、右⼿系欧拉⾓欧拉⾓⽤来在3D世界中表⽰物体的朝向，通常我们将朝向定义为将某⼀个正朝向旋转⾄当前朝向所进⾏的变换。
当我们表⽰物体的朝向时，实际上指的是对物体所进⾏的旋转变换。
3D世界中的任何⼀个旋转都可以拆分为沿着物体⾃⾝的三个正交坐标轴的旋转，⽽欧拉⾓规定了这三次旋转的⾓度，根据绕轴不同我们分别称它们为偏航⾓yaw（绕X轴）、俯仰⾓pitch（绕Y轴）和翻滚⾓roll（绕Z轴），下图是⼀个右⼿系的yaw-pitch-roll表⽰图：对于⼀个旋转变换，我们可以将其⽤如下三个旋转矩阵相乘的形式表⽰：E (yaw ,pitch ,roll )=R z (yaw )R y (roll )R x (pitch )R z 、R y 、R x 分别是绕Z轴、绕Y轴、绕X轴旋转的旋转矩阵：R z (θ)=cos θ−sin θ00sin θcos θ00001001R y (θ)=cos θ0sin θ00100−sin θ0cos θ001R x (θ)=10000cos θ−sin θ00sin θcos θ00001由于矩阵乘法的本质是将左侧矩阵表⽰的变换信息应⽤于右运算元（向量/矩阵），⽽多个线性变换间⼀般是不可交换的，即矩阵乘法不满⾜交换律。
所以三次旋转的顺序⾮常重要，在Unity、UE4、3dsMax等软件中，以欧拉⾓形式调整旋转时⼀般会将旋转顺序固定，⽽这正是导致万向锁（Gimbol Lock）即万向节死锁的原因。
万向锁⽹上很多资料的说法都是绕固定旋转顺序的中间轴旋转90°后使得哪两个轴重合或哪两个万向节共⾯了从⽽丢失⼀个维度上的⾃由度，或者以⼀个使⽤万向节的陀螺仪模型来进⾏演⽰，这就让⼈很摸不着头脑。
在最初的设想⾥物体总是以⾃⾝物体坐标系为参照进⾏旋转，怎么可能使得哪两个轴重合；⽽陀螺仪虽然演⽰清楚了，但为什么在Unity等软件和3D数学上会出现万向锁问题，感觉在本质问题上还是没有说明清楚。
旋转矩阵与四元数旋转矩阵和四元数是两种描述三维空间中旋转的方式。
本文将简要介绍这两种方式的基本概念、表示方法、计算公式以及各自的优缺点。
一、旋转矩阵旋转矩阵是一个3x3的正交矩阵，描述了一个向量在三维空间中的旋转效果。
一个旋转矩阵R可以使一个向量V绕某个轴旋转θ角度，计算公式为：R = [cosθ + (1 - cosθ)x^2, (1 - cosθ)xy - zsinθ, (1 - cosθ)xz + ysinθ;(1 - cosθ)yx + zsinθ, cosθ + (1 - cosθ)y^2, (1 -cosθ)yz - xsinθ;(1 - cosθ)zx - ysinθ, (1 - cosθ)zy + xsinθ, cosθ +(1 - cosθ)z^2]其中x、y、z为旋转轴的坐标，θ为旋转角度。
旋转矩阵的优点在于可以对向量进行多次复合旋转，并且可以通过矩阵乘法来实现向量的旋转操作。
但其缺点在于旋转矩阵在进行复合旋转时容易出现奇异性，导致计算结果不精确或不可预测。
二、四元数四元数是一种由实部和三个虚部组成的扩展复数，常用于描述三维空间中的旋转。
一个四元数Q可以表示为：Q = a + bi + cj + dk其中a为实部，b、c、d为虚部，i、j、k满足以下关系：i² = j² = k² = ijk = -1四元数的乘法规则为：i² = j² = k² = -1ij = k, ji = -kjk = i, kj = -iki = j, ik = -j在四元数上定义一个单位长度的四元数Q，可以表示为：Q = cos(θ/2) + u sin(θ/2)其中θ为旋转角度，u为旋转轴的单位向量。
当一个向量V旋转θ角度时，其对应的四元数R可以表示为：R = cos(θ/2) + sin(θ/2) xi + sin(θ/2) yj + sin(θ/2)zk其中x、y、z为旋转轴的坐标。
3D图形：矩阵、欧拉角、四元数与方位的故事概述又研究了将近两个星期的3D图形到了我最想研究的地方了,因为欧拉角与四元数的原因导致OpenGL ES的研究进度变缓,研究完这一块,我将教大家如何使用OpenGL ES做一个自转加公转的正立方体.效果如下.方向、方位与角位移的区别在说矩阵、欧拉角与四元数三种与角位移的关系之前,我们先来说说方向、方位与角位移的区别.在现实生活中,我们很少区分"方向"和"方位"的区别(非路痴观点),比如一个朋友来看望你,但是他可能在某一个公交站下车了,你去接他,但是找不到他,你急忙给他来一个电话"兄弟,你在哪个方向呢?"或者说是"兄弟,你在哪个方位呢?",如果不细细品味这两句话,其实感觉差异不是太大.通过一痛电话的扯,然后你们成功的面基了,但是你们却并不会在意"方向"和"方位"的区别.那么在几何中,这两者到底有什么差异呢?这里我就盗用一下书上的例子,比如一个向量如果沿着自己的方向选择是不会改变自身任何属性的,如下图所示,因为向量是只有方向没有方位的.那么对于一个物体,情况却是不一样的,一个物体如果朝向某一个方向的时候,然后自转,那么这个物体是会发生空间上的改变的,如下图一个锥体的自转,那么它的空间位置是发生改变的,也就是锥体的方位发生了改变了.上面让我们对物体的方向和方位的区别有了一个大体上的了解,那么我们在空间中如何描述一个方位呢?这就需要使用到角位移了.我们先说一个类似的例子,我们该如何描述空间中一个物体的位置呢?必须要把物体放在特定的坐标系中(好像很生涩).比如,如果我们说在一个坐标系中,有一个点是[1,1,1],那么你会非常轻易的想到了这个点在空间中的位置.描述空间位置其实就是描述相对于给定参考点(坐标原点)的位移.其实,描述一个物体的方位是一样的,我们是不可能凭空描述一个物体的方位,我盟需要一个已知方位的参考量,通过这个参考量的旋转得到当前方位,那么旋转的量就叫做角位移.通过概念我们知道,角位移就是用来描述方位的,类似于速度就是用来描述物体运动快慢的一样.当然了,这里我要声明的一点就是虽然角位移是用来描述方位的,但是两者是不同的.例如,我们可以这么说,一个物体的方位是如何如何的;一个物体是通过某个已知方位经过角位移XXX旋转得到.所以说,方位是用来描述一个单一的"状态".但是角位移是用来描述两个状态之间的差异.那么,我们在实际中如何描述方位与角位移呢?具体而言,我们使用矩阵和四元数来表示"角位移",用欧拉角来表示方位.接下来,我们逐一介绍一下.使用矩阵表示角位移在3D环境中,描述坐标系中方位的方式就是列出这个坐标系的基向量,当然了,这些基向量是用其他表示的,并不是它本身的基向量,比如当前转换完成的坐标系的三个基向量p [1,0,0] q[0,1,0] r[0,0,1],这是使用本身的坐标系表示,如果放在其他坐标系中表示当前的三个基向量可能就会发生改变.这是因为参照点选择的不同.至于基向量是如何改变的就需要在3D图形:矩阵与线性变换说过的旋转矩阵的相关知识了.这个就不过多的解释了.比如下图,由向量p,q,r组建的新的坐标系用原来的坐标系表示确实如图右边所示.其实对于我们开发来说,我们只需要知道方位是可以使用3X3矩阵来表示的.矩阵表示的是转换后的基向量即可.接下来我们说一下使用矩阵来表示角位移有什么样的优势和缺点.我就直接拿书上所讲的了,各位看官莫怪莫怪.使用矩阵表示角位移的优势•可以立即进行向量的旋转.后面使用四元数进行空间变化其实是和使用对应的矩阵的空间变化的效果是一样的.•矩阵的形式被图形API所使用.这一点我们从OpenGL ES 就可以看出来了,无需过多解释了.•多个角位移连接.我们知道使用矩阵进行空间变换是可以连续进行多个的.那么角位移也是一样的.•矩阵的逆.这个比较好理解,如果我们进行了一次旋转变换(也就是空间方位的变化),那么如何回到原来的方位呢,只要再乘上一次矩阵的逆即可,前面说过矩阵的逆是有这样的功能的.使用矩阵表示角位移的缺点•矩阵可能占有更多内存.这其实是由比较性的,这种比较是要与欧拉角做比较,与欧拉角比较矩阵所占的内存将会更多.•难以使用.这个确实是,你想想,如果现在你要x轴旋转80°,你还要想想它对应的向量是多少.一痛计算之后,才能得到对用的值,后面直接看到这个矩阵的时候还要接着计算,看看它是如何变换的.这样使用起来是不是非常的恶心?•并非所有矩阵都能描述方位.这一点,我将单独写一篇来讨论这个问题.现在还不是太了解,见谅.当然了,我们使用矩阵来表示角位移只是作为了解而已,接下来,我们看一下如何使用欧拉角表示方位的.欧拉角表示方位与万向锁问题很多人在大学中可能会接触到矩阵,但是欧拉角可能是接触的比较少,最少作为一个学物理的我是这样的.一开始觉得欧拉角比较难理解,但是看了3D图形之后,发现用欧拉角表示方位将会比矩阵更加的直观而且易于使用.下面我们就看一下欧拉角相关的知识.(下面的基本概念跟书上的差不多,因为我觉得书上写个就很好了,所以我就没有再次总结,所以只是写了一遍.)首先,欧拉角的基本思想是将角位移分解为绕三个互相垂直轴的三个旋转组成的序列.那么这个三个互相垂直的轴是如何定义的呢?其实任意三个轴和任意顺序都是可以的,但是最常用的就是使用笛卡尔坐标系并且按照一定顺序组成的旋转序列.最常用的约定,就是所谓的"heading-pitch-bank"约定,在这个系统中,一个方位被定义为heading角,一个pitch角,一个bank角.其中,在左手坐标系中,我们把heading角定义为绕y轴旋转量,pitch角为绕x轴旋转量,bank角为绕z轴旋转量.旋转法则遵守左手法则(具体请参考3D图形:矩阵与线性变换中的旋转模块).它的基本思想是让物体开始于"标准"方位,就是物体坐标轴和惯性坐标轴对齐.让物体做heading、pitch、bank旋转之后达到最终的空间方位.例如下图一个锥体,一开始它自身坐标轴与惯性坐标轴是一致.然后我把heading角设置为45°.根据左手法则(通常使用,但是决定每个旋转的正方向不一定要准守右手或者左手定则),它是会做顺时针旋转.接着物体的坐标系就发生如下的改变了.锥体的自身坐标轴不再与惯性坐标轴一致,x,z轴都发生了对应的改变.当然了,物体的空间方位也发生了对应的改变.然后接下来就是pitch、bank旋转,分别是绕x轴旋转和z轴旋转,跟heading旋转是类似的,最后得到锥体的最终的空间方位.这里需要注意的是不管是 heading旋转、 pitch旋转还是bank旋转,旋转的坐标轴都是自身的坐标轴!不是惯性坐标轴!上面,看完了"heading-pitch-bank"约定系统是如何做空间方位的旋转改变的,接下来,我们来瞅瞅关于欧拉角的其他约定.•"heading-pitch-bank"约定系统是有多个名字的,其中的有一组叫做"roll-pitch-yaw",其中roll等同于bank,yaw等价于heading.我们知道"heading-pitch-bank"约定是让方位从惯性坐标系到最终的物体自身坐标系,但是"roll-pitch-yaw"约定却是刚好相反.它是从最终的物体坐标系到最开始的惯性坐标系的旋转变换.•任意的三个轴都能作为旋转轴,但是使用笛卡尔坐标轴是最有意义的,这句话我就不过多解释了,我们在上面的例子中已经深有体会了.•决定每一个旋转的正方向不一定必须遵守左手或者右手法则,这样遵守只是习惯而已.•旋转是可以以不同的顺序进行的,"heading-pitch-bank"约定系统只是更比较如何人的习惯而已.因为一个物体放在一个水平面上,如果进行旋转操作的话,我们首先想到的是物体按照垂直轴进行旋转操作.也就是heading旋转.上面我们对欧拉角的接下来,我们看一下欧拉角的优点和缺点.透露一点,其实欧拉角的缺点就是引起万向锁的原因.欧拉角表示方位的优点•欧拉角使用起来非常的简单方便,它比四元数以及矩阵更加的生动形象.因为欧拉角使用都是角度,对于人来说旋转还是使用角度比较直观.•最简洁的表达方式.在3D中,欧拉角用3个数就可以表达方位,四元数则要用4个数,而矩阵是最多的,需要9个数.•任意三个数都是合法的,任意的三个数都是能构成合法的欧拉角,矩阵和四元数可不一定是这样的.欧拉角表示方位的缺点•给定的方位表达方式不唯一.我们虽然说任意三个数组成的欧拉角都是合法的,但是比如heading旋转360°和选择720°,物体的方位是一直的,虽然欧拉角的数值是发生了改变的.•两个角度求插值非常的困难.比如方位A的heading角度为720°,方位B的角度为45°.那么heading值差了多少呢?没错就是45°,因为720°就是旋转了两周而已,但是实际上我们操作的时候需要选择将近两周.如下图所示.万向锁问题其实是使用欧拉角会出现一个非常有趣的现象,那就是万向锁,我们看一下"heading-pitch-bank"系统这个系统中,如果pitch角度为±90°,那么就出事了,会出现什么问题呢?heading角与bank角如果相同,那么你会发现物体最终的方位是一致的,这怎么可能,这就比较尴尬了,其实类似于这种旋转pitch角度为±90°中,物体是缺失一个旋转轴的.也就是说,当pitch角度为±90°,那么bank是0.只有heading一个旋转轴起作用,是不是懵圈了?没问题,下面我要分享一个视频,我觉得这个视频会比文字更加生动形象,请对照上面的文字自行研究.欧拉旋转—万向节锁视频传送门四元数与复数看完使用矩阵和欧拉角表示方位.接下来,我们就看一下四元数,四元数一个新的概念出现在我的眼前的时候我在想,他否是因为有四个数才叫四元数,确实,四元数实际是一个标量分量和一个3D向量分量组成用来表示方位.四元数的两种记法如下所示:[ω,ν],[ω,(x,y,z)].复数,真心好久没用了.高中的时候我们就开始接触简单的复数了,现在简单说一下复数,其实我也顺道复习一下了.首先,复数的形式为a+bi,其中i²=-1,a称作实部(实数部分),b称作虚部(虚数部分).对于复数的运算,我们主要说说复数的模,复数的模可以很好的表示2D中的旋转变换,我们先看看前面说到过的2D环境中的旋转矩阵.然后,我们再看一下,一个示例,假设一个复数v = (x,y)旋转θ度得到v',如下图所示.为了完成此次的旋转,我们需要引入第二个复数q = (cosθ,sinθ),现在旋转之后的复数v'就可以使用复数的乘法计算出来了.计算过程如下所示.v = x +yiq = cosθ +isinθv' = vq = (x +yi)(cosθ +isinθ) = (xcosθ-ysinθ)+(xsinθ+ycosθ)i跟上面的2D环境中旋转矩阵效果是一样的.只是形式不相同而已.上面说了这么一大堆,那么到底四元数和复数有着怎样的关系呢?其实一个四元数[w,(x,y,z)]定义了复数w +xi +yj +zk,也就是说一个四元数是包含着一个实部和三个虚部.其实四元数的出现也是有故事的,我直接把书上搬过来,当做在枯燥的学习中的一个轻松时刻吧(实际上,然并卵?),爱尔兰的数学家哈密尔顿其实一直想把复数复数从2D扩展到3D,一开始他认为,3D中的复数应该有一个实部和两个虚部,然后他没有创造出这种一个实部两个虚部有意义的复数.1843年,在他去演讲的路上他突然意识到应该有三个虚部而不是两个虚部.他把这种新复数类型行者的等式刻在了Broome桥上.这样四元数就诞生了.等式如下所示.i²= j²= k² = -1ij = k,ji = -kjk = i,kj = -iki = j,ik = -j四元数和轴-角对我们已经知道了矩阵和欧拉角的情况,现在我们就看一下四元数是如何表示角位移的.在3D环境中任意的一个角位移都可以理解为绕某个轴旋转一定的角度,在3D图形:矩阵与线性变换这个里面曾经说过一个3D中绕任意轴旋转的公式(还记得当初那个验证过程吗,愣是搞了一天,具体验证过程就不说了,请查看原来的文章).公式如下所示.其中,θ代表着旋转角度,n代表着旋转轴.因此轴-角对(n,θ)定义了一个角位移:绕n指定的轴旋转θ角.四元数的解释其实就是角位移的轴-角对方式,但是呢,n和θ并不是直接放入到四元数中的.它们的形式如下所示.q= [ cos (θ/2) sin(θ/2)n ]=[ cos(θ/2) ( sin(θ/2)nx sin(θ/2)ny sin(θ/2)nz ) ]那么问题来了,为什么不直接放入四元数中呢?这是有原因的,这个原因,我将会在下一篇四元数的相关运算中来说明一下.现在只要知道四元数的解释其实就是角位移的轴-角对方式即可.结束自己写完这篇文章总算是对矩阵、欧拉角、四元数、角位移、方位有了一个大体的了解了.整体下来发现真心枯燥的,但是还是坚持了下来了,希望小伙伴也能坚持看完,不懂的或者有疑问可以与骚栋一起探讨.3D图像下一篇我将接着研究本篇的四元数,不过是与四元数的运算相关的知识.希望大家持续关注.最后还是要附上<<3d数学基础>>的pdf版的传送门.<<3d数学基础>>传送门。
threejs位置和旋转的详细解析-概述说明以及解释1.引言【1.1 概述】概述部分将对整篇长文进行简要介绍，包括文章涉及的主题、研究的对象以及解析的目标。
本文的主要目标是对Three.js中的位置和旋转进行详细解析，帮助读者更好地理解和应用这两个重要的概念。
首先，位置是指物体在三维空间中的坐标点，用于描述物体在空间中的位置关系。
在Three.js中，位置通常以三维向量的形式表示。
了解位置的概念和相关的计算方法，对于实现物体的移动和定位非常重要。
其次，旋转是指物体在三维空间中的方向变化，可以视为物体绕着一个中心点进行转动。
在Three.js中，旋转通常以四元数、欧拉角或旋转矩阵的形式表示。
理解旋转的概念和不同的表示方法，可以帮助我们控制物体的朝向和角度。
本文将分为多个章节，逐步介绍位置和旋转的概念、表示方法以及计算方法。
在正文部分，首先对位置进行详细解析，包括位置的定义、表示方法以及计算方法。
然后对旋转进行详细解析，包括旋转的定义、表示方法以及计算方法。
最后，探讨了位置和旋转的关系，包括复合变换、应用场景以及局限性。
总之，掌握位置和旋转的原理和技术，对于进行三维空间的建模和动画制作非常重要。
本文旨在为读者提供一个全面且详细的位置和旋转解析，希望读者通过本文的阅读和学习能够更好地理解和应用Three.js中的位置和旋转。
1.2文章结构1.2 文章结构在本篇长文中，我们将详细解析three.js中的位置和旋转，并探讨它们之间的关系。
文章主要分为三个部分：引言、正文和结论。
引言部分将为读者提供一个概述，介绍了本文要讨论的主题以及文章的目的。
我们将简要介绍three.js是什么，以及为什么位置和旋转在three.js中如此重要。
通过引入这些基本概念，读者将对以下内容有更好的理解。
正文部分将是本文的核心内容，包含了位置和旋转的详细解析。
我们将从位置开始，首先解释什么是位置，它在three.js中的作用以及为什么它是三维场景中不可或缺的。
三维旋转：旋转矩阵，欧拉⾓，四元数原⽂见我的，欢迎⼤家过去评论。
如何描述三维空间中刚体的旋转，是个有趣的问题。
具体地说，就是刚体上的任意⼀个点P(x, y, z)围绕过原点的轴(i, j, k)旋转θ，求旋转后的点P\'(x\', y\', z\')。
旋转矩阵旋转矩阵乘以点P的齐次坐标，得到旋转后的点P'，因此旋转矩阵可以描述旋转，$$\begin{bmatrix}x'\\ y'\\ z'\\ 1\end{bmatrix}=R\cdot \begin{bmatrix}x\\ y\\ z\\ 1\end{bmatrix}$$绕x，y，或z轴旋转θ的矩阵为：$$R_{x}(\theta)=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta\\ 0 & \sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}$$$$R_{y}(\theta)=\begin{bmatrix}\cos\theta & 0 & -\sin\theta\\ 0 & 1 & 0\\ \sin\theta & 0 & \cos\theta\end{bmatrix}$$$$R_{z}(\theta)=\begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$所以，绕任意轴旋转的矩阵为$$R_{x}(-p)\cdot R_{y}(-q)\cdot R_{z}(\theta)\cdot R_{y}(q)\cdot R_{x}(p)$$这表⽰：1. 绕x轴旋转⾓度p使指定的旋转轴在xz平⾯上2. 绕y轴旋转⾓度q使指定的旋转轴与z轴重合3. 绕z轴旋转⾓度θ4. 绕y轴旋转⾓度-q5. 绕x轴旋转⾓度-p其中，p和q的值需要⽤i,j,k计算出来。
eigen中四元数、欧拉⾓、旋转矩阵、旋转向量⼀、旋转向量1.0初始化旋转向量：旋转⾓为alpha，旋转轴为(x,y,z)Eigen::AngleAxisd rotation_vector(alpha,Vector3d(x,y,z))1.1旋转向量转旋转矩阵Eigen::Matrix3d rotation_matrix;rotation_matrix=rotation_vector.matrix();Eigen::Matrix3d rotation_matrix;rotation_matrix=rotation_vector.toRotationMatrix();1.2旋转向量转欧拉⾓(Z-Y-X，即RPY)Eigen::Vector3d eulerAngle=rotation_vector.matrix().eulerAngles(2,1,0);1.3旋转向量转四元数Eigen::Quaterniond quaternion(rotation_vector);Eigen::Quaterniond quaternion;Quaterniond quaternion;Eigen::Quaterniond quaternion;quaternion=rotation_vector;⼆、旋转矩阵2.0初始化旋转矩阵Eigen::Matrix3d rotation_matrix;rotation_matrix<<x_00,x_01,x_02,x_10,x_11,x_12,x_20,x_21,x_22;2.1旋转矩阵转旋转向量Eigen::AngleAxisd rotation_vector(rotation_matrix);Eigen::AngleAxisd rotation_vector;rotation_vector=rotation_matrix;Eigen::AngleAxisd rotation_vector;rotation_vector.fromRotationMatrix(rotation_matrix);2.2旋转矩阵转欧拉⾓(Z-Y-X，即RPY)Eigen::Vector3d eulerAngle=rotation_matrix.eulerAngles(2,1,0);2.3旋转矩阵转四元数Eigen::Quaterniond quaternion(rotation_matrix);Eigen::Quaterniond quaternion;quaternion=rotation_matrix;三、欧拉⾓3.0初始化欧拉⾓(Z-Y-X，即RPY)Eigen::Vector3d eulerAngle(yaw,pitch,roll);3.1欧拉⾓转旋转向量Eigen::AngleAxisd rollAngle(AngleAxisd(eulerAngle(2),Vector3d::UnitX()));Eigen::AngleAxisd pitchAngle(AngleAxisd(eulerAngle(1),Vector3d::UnitY()));Eigen::AngleAxisd yawAngle(AngleAxisd(eulerAngle(0),Vector3d::UnitZ()));Eigen::AngleAxisd rotation_vector;rotation_vector=yawAngle*pitchAngle*rollAngle;3.2欧拉⾓转旋转矩阵Eigen::AngleAxisd rollAngle(AngleAxisd(eulerAngle(2),Vector3d::UnitX()));Eigen::AngleAxisd pitchAngle(AngleAxisd(eulerAngle(1),Vector3d::UnitY()));Eigen::AngleAxisd yawAngle(AngleAxisd(eulerAngle(0),Vector3d::UnitZ()));Eigen::Matrix3d rotation_matrix;rotation_matrix=yawAngle*pitchAngle*rollAngle;3.3欧拉⾓转四元数Eigen::AngleAxisd rollAngle(AngleAxisd(eulerAngle(2),Vector3d::UnitX()));Eigen::AngleAxisd pitchAngle(AngleAxisd(eulerAngle(1),Vector3d::UnitY()));Eigen::AngleAxisd yawAngle(AngleAxisd(eulerAngle(0),Vector3d::UnitZ()));Eigen::Quaterniond quaternion;quaternion=yawAngle*pitchAngle*rollAngle;四、四元数4.0初始化四元数Eigen::Quaterniond quaternion(w,x,y,z);4.1四元数转旋转向量Eigen::AngleAxisd rotation_vector(quaternion);Eigen::AngleAxisd rotation_vector;rotation_vector=quaternion;4.2四元数转旋转矩阵Eigen::Matrix3d rotation_matrix;rotation_matrix=quaternion.matrix();Eigen::Matrix3d rotation_matrix;rotation_matrix=quaternion.toRotationMatrix();4.4四元数转欧拉⾓(Z-Y-X，即RPY)Eigen::Vector3d eulerAngle=quaternion.matrix().eulerAngles(2,1,0);代码⽰例：#include<iostream>#include<Eigen/Eigen>using namespace std;#define pi 3.14159265359int main(){cout << "##-------------------搞清旋转关系-------------------##" << endl;Eigen::Vector3d v1(1, 1, 0);//列向量（1系下）Eigen::AngleAxisd angle_axis1(pi / 4, Eigen::Vector3d(0, 0, 1));//1系绕z轴逆时针旋转45得到2系Eigen::Vector3d rotated_v1 = angle_axis1.matrix().inverse()*v1;cout << "绕z轴逆时针旋转45°(R12):" << endl << angle_axis1.matrix() << endl;cout << "(1, 1, 0)旋转后:" << endl << rotated_v1.transpose() << endl;cout << "------------------------------------------------------" << endl;Eigen::Vector3d v2;v2 << 0, 1, 1;Eigen::AngleAxisd angle_axis2(pi / 4, Eigen::Vector3d(1, 0, 0));//1系绕x轴逆时针旋转45得到2系Eigen::Vector3d rotated_v2 = angle_axis2.matrix().inverse()*v2;cout << "绕x轴逆时针旋转45°(R12):" << endl << angle_axis2.matrix() << endl;cout << "(0, 1, 1)旋转后:" << endl << rotated_v2.transpose() << endl;cout << "------------------------------------------------------" << endl;Eigen::Vector3d v3(0, 0, 0);v3.x() = 1;v3[2] = 1;Eigen::AngleAxisd angle_axis3(pi / 4, Eigen::Vector3d(0, 1, 0));//1系绕y轴逆时针旋转45得到2系Eigen::Vector3d rotated_v3 = angle_axis3.matrix().inverse()*v3;cout << "绕y轴逆时针旋转45°(R12):" << endl << angle_axis3.matrix() << endl;//注意和绕x轴z轴不⼀样 cout << "(1, 0, 1)旋转后:" << endl << rotated_v3.transpose() << endl;cout << "##-------------------常⽤数学运算-------------------##" << endl;Eigen::Vector3d v4(1, 1, 0);cout << "(1, 1, 0)模长：" << v4.norm() << endl;cout << "(1, 1, 0)单位向量：" << v4.normalized().transpose() << endl;Eigen::Vector3d v5(1, 0, 0),v6(0, 1, 0);cout << "(1, 0, 0)点乘(0, 1, 0):" << v5.dot(v6) << endl;cout << "(1, 0, 0)叉乘(0, 1, 0):" << v5.cross(v6).transpose() << endl;cout << "##----------------------使⽤块----------------------##" << endl;Eigen::Matrix<double, 4, 4> T12;T12.Identity();//设为单位阵Eigen::AngleAxisd angle_axis(pi / 4, Eigen::Vector3d(0, 0, 1));Eigen::Matrix3d R12(angle_axis);//⽤⾓轴初始化旋转矩阵Eigen::Vector3d t12;t12.setOnes();//各分量设为1//t.setZero();//各分量设为0T12.block<3, 3>(0, 0) = R12;T12.block<3, 1>(0, 3) = t12;cout << "旋转R12：" << endl << T12.topLeftCorner(3, 3) << endl;cout << "平移t12：" << T12.topRightCorner(3, 1).transpose() << endl;//2系原点在1系下的坐标cout << "##---------------欧式变换矩阵(Isometry)-------------##" << endl;Eigen::Isometry3d T = Eigen::Isometry3d::Identity();//虽然称为3d，实质上是4x4的矩阵(旋转R+平移t)T.linear() = Eigen::Matrix3d::Identity();//旋转部分赋值//T.linear() << 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1;//cv::Mat赋值//T.rotate(Eigen::Matrix3d::Identity());//T.rotate(angle_axis);T.translation() = Eigen::Vector3d(1, 1, 1);//平移部分赋值//Eigen::Isometry3d T(quaterniond);//T(0,3) = 1; T(1,3) = 1; T(2,3) = 1;cout << "R_12: " << endl << T.linear().matrix() << endl;//输出旋转部分cout << "t_12:" << T.translation().transpose() << endl;//输出平移部分cout << "T_12: " << endl << T.matrix() << endl;//输出4x4变换矩阵cout << "T_12*(1, 2, 3): " << endl << (T*Eigen::Vector3d(1, 2, 3)).transpose() << endl;//相当于R21*v+t21,隐含齐次坐标(1，2，3，1) //Eigen::Quaterniond q = T.rotation();//Eigen::Quaterniond q(T.linear());//cout << "q: " << q.w() << " " << q.x() << " " << q.y() << " " << q.z() << endl;cout << "##旋转向量（轴⾓）、旋转矩阵、欧拉⾓、四元素相互转换##" << endl;//旋转向量（轴⾓）Eigen::AngleAxisd rotation_vector(pi / 4, Eigen::Vector3d(0, 1, 0));//绕y轴逆时针旋转45度(转yaw)cout << "axi: " << rotation_vector.axis().transpose() << " angle: " << rotation_vector.angle() * 180 / pi << endl;//旋转向量->旋转矩阵Eigen::Matrix3d rotation_matrix3d = rotation_vector.matrix();//Eigen::Matrix3d rotation_matrix3d = rotation_vector.toRotationMatrix();cout << "rotation_matrix:" << endl << rotation_matrix3d << endl;//旋转矩阵->欧拉⾓Eigen::Vector3d euler_angles = rotation_matrix3d.eulerAngles(0,1,2);//(0,1,2)表⽰分别绕XYZ轴顺序，即pitch yaw roll顺序，逆时针为正 cout << "pitch yaw roll = " << euler_angles.transpose() * 180 / pi << endl;//旋转向量->四元素Eigen::Quaterniond q = Eigen::Quaterniond(rotation_vector);//或⽤旋转矩阵cout << "q: " << q.w() << "" << q.x() << "" << q.y() << "" << q.z() << endl;//旋转矩阵->旋转向量Eigen::AngleAxisd rotation_vector2;rotation_vector2.fromRotationMatrix(rotation_matrix3d);cout << "axi: " << rotation_vector.axis().transpose() << " angle: " << rotation_vector.angle() * 180 / pi << endl;//四元素->旋转矩阵Eigen::Quaterniond q2 = Eigen::Quaterniond(1, 0, 0, 0);//(w,x,y,z)cout << "q2:" << endl << q2.toRotationMatrix() << endl;cout << "##------------------解线性⽅程------------------##" << endl;//AX = 0//(AX)`(AX)//X`(A`A)XEigen::SelfAdjointEigenSolver<Eigen::Matrix4d> self_adjoint_solver;self_adjoint_pute(ATA);cout << "eigenvalues:\n" << self_adjoint_solver.eigenvalues();cout << "eigenvectors:\n" << self_adjoint_solver.eigenvectors();Eigen::Vector4d wxyz = self_adjoint_solver.eigenvectors().col(0);Eigen::EigenSolver<Eigen::Matrix4d> general_solver;general_pute(ATA);cout << "eigenvalues:\n" << general_solver.eigenvalues();cout << "eigenvectors:\n" << general_solver.eigenvectors();//wxyz = general_solver.eigenvectors().col(0);//AX=BEigen::Vector3d t = A.bdcSvd(Eigen::ComputeThinU | Eigen::ComputeThinV).solve(B);getchar();return0;}参考：。
欧拉角和四元数
欧拉角和四元数是用于描述物体旋转的两种常见方式。
下面将介绍它
们各自的定义、优缺点以及在不同应用领域中的应用。
欧拉角：
1. 定义
欧拉角是用三个角度表示一个物体在三维空间中的旋转状态。
包括绕x 轴旋转的角度（俯仰角）、绕y轴旋转的角度（偏航角）和绕z轴旋转的角度（翻滚角）。
这三个角度的定义顺序和参考系的选择有关。
2. 优缺点
优点：欧拉角可以直观地描述物体的旋转状态，并且易于理解和计算。
缺点：欧拉角存在万向锁（Gimbal Lock）问题，即在某些情况下，两
个欧拉角的变化会产生相同的旋转效果，从而导致无法精确控制。
3. 应用
欧拉角在游戏、机器人、电影等领域中广泛应用，例如游戏中玩家角
色的旋转、机器人的运动控制以及电影中的特效制作。
四元数：
1. 定义
四元数是一种超复数，可以表示物体在三维空间中的旋转状态。
四元数包括一个实部和三个虚部，分别对应于物体旋转的三个自由度。
2. 优缺点
优点：四元数可以避免欧拉角的万向锁问题，并且用于物体旋转的计算速度更快。
缺点：四元数较难理解和计算，需要进行复杂的数学运算。
3. 应用
四元数在航天、虚拟现实、动画制作等领域中广泛应用，例如火箭的导航控制、虚拟现实中物体的旋转和动画中角色的动作等。
总结：
欧拉角和四元数都是用于描述物体旋转状态的方式，各自具有优缺点并应用于不同的领域中。
选择哪种方式主要取决于具体应用的需求和难度。
四元数和旋转矩阵的关系
四元数和旋转矩阵是描述物体在三维空间中旋转的两种常见方式。
旋转矩阵是一种线性变换矩阵，可以将一个向量绕着某个轴旋转一定的角度。
而四元数是一种数学工具，可以通过数学运算来表示旋转。
一个四元数包含一个标量分量和一个3D向量分量，记标量为w，记向量为v或分开的x，y，z。
四元数扩展了复数系统，它使用三个虚部i，j，k，它们的关系如下：ij=k，ji=-k；jk=i，kj=-i；ki=j，ik=-j。
对于i，j，k本身的几何意义可以理解为一种旋转，其中i旋转代表X轴与Y轴相交平面中X轴正向向Y轴正向的旋转，j旋转代表Z轴与X轴相交平面中Z轴正向向X轴正向的旋转，k旋转代表Y轴与Z轴相交平面中Y轴正向向Z轴正向的旋转。
四元数和旋转矩阵都可以描述物体在三维空间中的旋转，但它们有不同的表示方式和数学工具。
