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第四章 一些数学概念和结论本章介绍关于有限元方法的一些数学概念和结论，目的在于使读者对于有限元解的收敛性以及单元精度问题能有确切的了解。
以后各章的内容在本章提供的基础之上进行。
对于有限元方法的数学研究，目前已进行得相当充分，对这方面有兴趣的读者可进一步查阅有关的专著。
本章介绍的主要对象是函数：真实解是一个函数；基函数是一组函数；试探函数是某一类函数，有限元解是这类函数中使 取驻值（最小值）的那一个函数。
下面讨论中的 “元素”实际指的就是函数，“空间”实际指的就是某种函数的集合，即函数空间。
§4-1线性空间（向量空间）１、线性空间的定义满足下列条件的空间E 为线性空间 （１）∀ x , y , z ∈E 有如下“加法”运算 （i ） （ii ） （iii ）存在“零元素” θ ∈E ∀ x ∈E 有（iv ）∀ x ∈E 存在逆元素－x ∈E 使（２）设Ｅ中的元素与实数域的元素有“数乘”运算，即∀ x , y ∈E ，α,β ∈K （实数域） （i ） （ii ） （iii ） （iv ） 若Ｋ为实数域则Ｅ称为实线性空间，Ｋ为复数域则Ｅ称为复线性空间。
例１ C[a,b]若、 是[a, b]上的连续函数，则 也是[a, b]上的连续函数。
故定义在[a, b]上的所有连续函数组成一个线性空间。
记作C[a, b]。
例２ L 2（a,b ） 若 、 是（a, b ）上平方可积的函数，即， 存在，则所以 也是（a, b ）上平方可积的函数。
所有（a, b ）上平方可积的函数组成一个线性空间，记作L 2 (a, b) 。
例３ C 1[a,b]若 、 、 、 在[a, b]上连续，则πP )(1x ϕ)(2x ϕ2211ϕϕc c +)(1x ϕ)(2x ϕdx x b a 21)(⎰ϕdx x ba 22)(⎰ϕ()()22222212121212222212122211)()(2)()(2)()()()(x c x c x x c c x c x c x c x c ϕϕϕϕϕϕϕϕ+≤++=+)()(2211x c x c ϕϕ+)(1x ϕ)(2x ϕ)(1x ϕ')(2x ϕ'2211ϕϕc c +2211ϕϕ'+'c c x y y x +=+ z x y z y x ++=++)()( x x =+θ θ=-+)(x x ()()E ∈=x x αββαxx =⋅1()x x x βαβα+=+()yx y x ααα+=+也在（a, b ）上连续。
X 边界条件和载荷 10.1边界条件施加的力和 /或者约束叫做边界条件。
在 HyperMesh 中,边界条件存放在叫做load collectors的载荷集中。
Load collectors可以通过在模型浏览器中点击右键来创建 (Create > Load Collector。
经常(尤其是刚开始需要一个 load collector来存放约束(也叫做 spc-单点约束 ,另外一个用来存放力或者压力。
记住,你可以把任何约束(比如节点约束自由度 1和自由度 123放在一个 load collector中。
这个规则同样适用于力和压力,它们可以放在同一个 load collector中而不管方向和大小。
下面是将力施加到结构的一些基本规则。
1. 集中载荷(作用在一个点或节点上将力施加到单个节点上往往会出现不如人意的结果, 特别是在查看此区域的应力时。
通常集中载荷 (比如施加到节点的点力容易产生高的应力梯度。
即使高应力是正确的(比如力施加在无限小的区域 ,你应该检查下这种载荷是不是合乎常理?换句话说,模型中的载荷代表了哪种真实加载的情形?因此,力常常使用分布载荷施加,也就是说线载荷,面载荷更贴近于真实情况。
2. 在线或边上的力上图中,平板受到 10N 的力。
力被平均分配到边的 11个节点上。
注意角上的力只作用在半个单元的边上。
上图是位移的云图。
注意位于板的角上的红色“ 热点” 。
局部最大位移是由边界效应引起的(例如角上的力只作用在半个单元的边上 ,我们应该在板的边线上添加均匀载荷。
上述例子中,平板依然承受 10N 的力。
但这次角上节点的受力减少为其他节点受力的一半大小。
上图显示了由 plate_distributed.hm文件计算得到的平板位移的云图分布。
位移分布更加均匀。
3. 牵引力(或斜压力牵引力是作用在一块区域上任意方向而不仅仅是垂直于此区域的力。
垂直于此区域的力称为压力。
4. 分布载荷(由公式确定的分布力如何施加一个大小变化的力?分布载荷(大小随着节点或单元坐标变化可以由一个公式来创建。
