有限元法的理论基础

3. 有限元理论基础
微分方程等效积分形式和加权余量法
－ （在数学上）建立有限元方程的基础；
( 求解工程微分方程问题的有效方法)
弹性力学问题变分原理 －（在力学上）建立有限元方程的基础
3. 有限元理论基础 弹性力学问题变分原理
1、弹性力学方程张量形式 2、应变能、应变余能 3、虚功（虚位移、虚应力）原理
– 用于静力载荷条件 – 可以模拟诸如大变形、大应变、接触、塑性、超弹、蠕变等非 线性行为
超弹密封
6.有限元法与有限元分析
• 动力学分析
– – – – 包括质量和阻尼效应 模态分析 计算固有频率及振型 谐响应分析 确定结构对已知幅值和频率的正弦载荷的响应 瞬态动力学分析 确定结构对随时间变化载荷的响应，可以 包括非线性行为 谱分析 随机振动 特征值屈曲 子结构, 子模型 疲劳、断裂力学、复合材料
限元分析的理论基础。 2. 有限元分析提供了大量的有限元法离散所需要的有限单元， 同时充分利用计算机资源解脱了人在运用有限元法时计算 耗费大量的精力，使得有限元法广泛的应用。
6.有限元法与有限元分析
有限元与ANSYS
• ANSYS 是被世界各地各领域的工程师所广泛使用的完 整的有限元软件包:
– – – – – – – – –
u (u i
u j ui l
a1
xi )
u j ui l
a2
x
（5-2）
5. 平面力学有限元求解
② 形函数 将式（5-2）改写为下列形式
u [ N ]{ }e
式中形函数[N]为
[ N ] [ Ni 1 N j ] [( x j x ) ( xi x )] l
{Fpx }

有限元理论基础有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。

釆用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。

4.加权余量法：是指采用使余量的加权函数为零求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。

(Weighted residual method WRM)是一种直接从所需求解的微分方程及边界条件出发，寻求边值问题近似解的数学方法。

加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效的方法。

设问题的控制微分方程为：在V域内厶(")-八0 (5.1.1)在S 边界上〃(“)-& = 0 (5.1.2)式中：L、B——分别为微分方程和边界条件中的微分算子；f、g ——为与未知函数u无关的己知函数域值；u——为问题待求的未知函数当弄!J用力u权余•肚法求近丁以解首先在求耳军域上理立一个T式閑数H 一般兵升如下形式:仁土CN=NC(5.1.3)T M式中：c{----------- 彳寺定系数. 也可称为广义坐标；N：--- 取白完备函冬攵*S线.性无关的基函孕攵°由于〃一般只圮彳守求函缨攵U的近1以耳岂因u匕将式(5 1.3) 代入式(5 1 1)牙口式(5 1.2)后将诃•不誉斯兄，昔迅:| R] = L(flb— f在V域内\R B =B(^~g在S 边界上("14)城然 & 、尽反映了r式函竽攵与实解之问的偏差. 它丁门分另U称做内召卩牙口边界余覺。

若在域\'内引入内部权函数硏，在边界S上引入边界权函数W B 则可理立11个消除余甘的条件.一般可农示为：L兀W B1R B dS = 0 (/ = L2.L ,〃) (51-5)• V • S不同的权函数幵；和jr R反映了不同的消除余•眩的准则。

有限元法是通过和原问题数学模型（基本方程、边界条件）等效的变分原理或加权余量法，建立求解基本未知量（场函数的结点值）的代数方程组或微分方程组。此方程组称为有限元求解方程，并表示成规范的矩阵形式。接着用数值方法求解此方程，从而得到问题的解答。 <<结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang
可以证明，如果弹性体内任一点，已知这三个垂直方向的正应变及其相应的三个剪应变，则该点任意方向的正应变和任意二垂直线间的剪应变均可求出，当然也可求出它的最大和最小正应变。因此，这六个量可以完全确定该点的应变分量，它们就称为该点的应变分量。六个应变分量的总体，可以用一个列向量来表示：
1
2
应变分量向量
<<结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang
01
02
03
04
<<结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang
考察了体素在XOY一个平面内的变形情况，可得
考察体素在XOZ和YOZ平面内的变形情况，可得：
联立得到几何方程，表明应变分量与位移分量之间的关系。
应变分量与位移分量的关系来自<<结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang
简化得
剪应力互等
应力
<<结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang
考虑微元体各个面上的法向应力和剪应力与其体力平衡，注意应力从一个面到对面是变化的，即有增量，将作用于微元体各个方向的力求和，略去高阶项，可得平衡方程：
平衡微分方程
可以证明：如果 这六个量在P点是已知的，就可以求得经过该点的任何面上的正应力和剪应力，因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态，它们就称为在该点的应力分量。

{} u1 u2 u3 u4 T
总体节点 位移列阵
R R1 R2 R3 R4 T
总体节点 载荷列阵
总体刚度矩阵[K]
总体刚度矩阵可由各单元刚度矩阵计算：[K]=∑[K]e
因各单元长度均等于L/3，故由 Krs =±EA(xj-xi)， 得
Krs =±3EA/L
(r, s =1,2,3,4。r＝s 时，取“＋”；r≠s 时，取 “－”)
此即有限元法的计算结果，与
解析解相同。
u3
利用节点位移可求得单元应变和应力。
x
有限元法解题步骤
• 连续体离散化 把连续弹性体分割成许多小单元， 并把单元载荷等效移置到节点成为节点载荷；
• 单元特征分析 以节点位移δe为基本未知量，选一单元位移函数，
并用节点位移表示单元位移 f =Nδe ； 通过几何方程用节点位移表示单元应变ε=Bδe ； 通过物理方程用节点位移表示单元应力σ=Gδe， 通过虚功方程用节点位移表示节点力Fe=Keδe。
[K]—总体刚度矩阵
以节点位移为未知量的 [K] KK12((1111)) 线性方程组。 0
0
K (1) 12
K (1) 22

K (2) 22
K (2) 32
0
0
K (2) 23
K (2) 33

K (3) 33
K (3) 43
0
0

K (3) 34
K (3) 44

解析法：
任一x截面
O
轴向位移
u(x) q (2Lx x2) 2EA
几何方程 物理方程
x

du(x) dx
x E x

有限元法的力学基础有限元法是一种数值分析方法，利用数学和计算机技术解决实际工程问题。

其力学基础主要包括材料力学、结构力学和数值分析。

一、材料力学有限元法的首要任务是分析工程结构的受力情况，而这涉及到材料的应力和应变等基本力学问题。

材料力学是有限元法的基础，它研究材料在外力作用下变形和破坏的规律及其数学描述。

在计算中，材料本构方程是将应力和应变联系起来的核心方程式，通过解析材料的物理特性，可以建立精确的应力-应变关系。

应力是物体受力过程中单位面积所受的力。

在研究材料力学问题时，应力通常分为三个方向：轴向应力、切向应力和法向应力。

材料因内部力的作用而使形状改变的现象称之为应变。

应变分为线性应变和非线性应变两种类型。

材料的本构方程则是将应力和应变通过数学公式联系起来，其中最重要的参数是杨氏模量、泊松比、屈服强度等材料力学性质指标。

二、结构力学有限元法主要应用于结构力学中，因为任何实际的结构都受到力的作用，这些力包括静载、动载、温度变化等。

结构力学是研究结构受力和变形状态的学科，它的核心是研究结构刚度和强度等性质。

结构刚度是指结构抵抗外界力的能力，强度则是指结构承受载荷发生破坏前的最大强度。

在有限元法中，将结构划分成有限个小单元，然后使用材料力学原理及结构力学原理计算每个小单元的应力和应变及整个结构的位移。

通过建立坐标系，可以把每个小单元在局部坐标系下的变形通过旋转变换到全局坐标系下。

将各个小单元的变形叠加起来，就可以求得整个结构的位移和变形。

三、数值分析有限元法是一种数值分析方法，因此数值分析对于有限元法的运用也是相当重要的。

数值分析是研究利用数值方法解决科学和工程问题的一门学科。

有限元法可以通过数学公式和计算机程序来模拟物理现象，从而得出求解问题的解。

数值分析中最重要的就是数值计算误差和截断误差的控制，只有通过合理的参数设置和计算方法，才能得到高精度的结果。

总体来看，有限元法的力学基础涉及材料力学、结构力学和数值分析三个方面。

绪论
1.1有限元的基本概念
任何连续体都可以假想地分割成有限个简单形状单元 体的组合，在有限元法中将这些简单形状的单体称为单 元，把单元与单元之间设置的相互连接点，称为节点，如 图1.1所示。从理论上说，单元的分割可以是任意的，不过 在实际计算中必须根据研究对象的特点，使单元分割既满 足力学分析要求，又能使计算简便。
绪论
1.1有限元的基本概念
基本步骤
1 结构离散化 2 单元分析 3 整体分析
绪论
1.2 有限元的发展状况
1960 年， Clough 在他的一篇论文“平面分析的有限元法” 中最先引入了有限元法 (Finite Element Method)这一术语。这 一方法是结构分析专家把杆件结构力学中的位移法推广到求解 连续体介质力学问题而提出来的。这一方法的提出，引起了广 泛的关注，吸引了众多力学﹑数学方面的专家和学者对此进行 研究。数学家的研究表明，有限元法可应用于求解偏微分方程， 可用于具有变分泛函的任何数学问题。而且，数学家对有限元 的思路早就有了，不过没有用“有限单元”这个术语。此后， 大量学者﹑专家开始使用这一离散方法来处理结构分析﹑流体 分析﹑热传导﹑电磁学等复杂问题。
绪论
1.2 有限元的发展状况
从1963年到 1964 年， Besseling﹑B.H.pian 等人的研究工 作表明，有限元方法实际上是弹性力学变分原理中瑞雷—里 兹法的一种形式，从而在理论上为有限元方法奠定了数学基 础。但与变分原理相比，有限元方法更为灵活，适应性更强， 计算精度更高。这一成果也大大刺激了变分原理的研究和发 展，先后出现了一系列基于变分原理的新型有限元模型，如 混合元﹑非协调元﹑广义协调元等。1967年，Zienkiewicz和 Cheung出版了第一本关于有限元分析的专著。

有限元法的理论基础有限元法是一种离散化的数值计算方法，对于结构分析而言，它的理论基础是能量原理。

能量原理表明，在外力作用下，弹性体的变形、应力和外力之间的关系受能量原理的支配，能量原理与微分方程和定解条件是等价的。

下面介绍有限元法中经常使用的虚位移原理和最小势能原理。

1.虚位移原理虚位移原理又称虚功原理，可以叙述如下：如果物体在发生虚位移之前所受的力系是平衡的(物体内部满足平衡微分方程，物体边界上满足力学边界条件），那么在发生虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功等于虚应变能（物体内部应力在虚应变上所做的虚功）。

反之，如果物体所受的力系在虚位移（及虚应变）上所做的虚功相等，则它们一定是平衡的。

可以看出，虚位移原理等价于平衡微分方程与力学边界条件。

所以虚位移原理表述了力系平衡的必要而充分的条件。

虚位移原理不仅可以应用于弹性性力学问题，还可以应用于非线性弹性以及弹塑性等非线性问题。

2.最小势能原理最小势能原理可以叙述为：弹性体受到外力作用时，在所有满足位移边界条件和变形协调条件的可以位移中，真实位移使系统的总势能取驻值，且为最小值。

根据最小势能原理，要求弹性体在外力作用下的位移，可以满足几何方程和位移边界条件且使物体总势能取最小值的条件去寻求答案。

最小势能原理仅适用于弹性力学问题。

2.2有限元法求解问题的基本步骤弹性力学中的有限元法是一种数值计算方法，对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元法的基本步骤是相同的，只是具体方式推导和运算求解不同，有限元求解问题的基本步骤如下。

2.2.1问题的分类求解问题的第一步就是对它进行识别分析，它包含的更深层次的物理问题是什么？比如是静力学还是动力学，是否包含非线性，是否需要迭代求解，要从分析中得等到什么结果等。

对这些问题的回答会加深对问题的认识与理解，直接影响到以后的建模与求解方法的选取等。

2.2.2建模在进行有限元离散化和数值求解之值，我们为分析问题设计计算模型，这一步包括决定哪种特征是所要讨论的重点问题，以便忽略不必要的细节，并决定采用哪种理论或数学公式描述结果的行为。

ij
Dijkl kl
W
ij
ij
Cijkl kl
➢ 对于线弹性材料，有：
其中：
Cijkl
D1 ijkl
W W ijij2
7
有限元法理论基础
应变能和应变余能
➢ 互余关系：
W W ijij
全功
➢ 对线弹性体应变能密度和应变余能密度可分 别表示为应变和应力的二次齐函数： W 12Dijkl ijkl
W 12Cijkl ijkl
8
有限元法理论基础
虚功原理
➢ 变形体虚功原理：变形体中，任意平衡力系 在任意满足协调条件的变形状态上作的虚功 等于零。即体系外力的虚功等于内力的虚功。
➢ 虚功原理：
➢ 虚位移原理、虚应力原理
9
有限元法理论基础
虚位移原理
➢ 虚位移：变形体几何约束所允许的位移称为可 能位移，取其任意微小的变化量即是虚位移。
15
有限元法理论基础
虚应力原理
➢ 虚应力：满足平衡方程和力边界条件的应力的变分 （微小的变化）。
➢ 虚应力原理：位移边界处给定位移在虚反力上所做的 余虚功等于应变在虚应力上的余虚功：
uipidS ijijdV
➢ 按力法建立有限元方Su 程的基V本方程。
➢ 几何方程和位ij移12边(u界i,j 条u件j,i)
有限元法理论基础
虚位移原理
➢ 几何方程：
ij 12(ui,j uj,i)
➢ 将应变的变分及上述分部积分结果代入等效积 分形式，得到等效积分形式：
V ijid j VS u iT id SVu ifidV
➢ 上式右边是变形体内的应力在虚应变上所作的虚功，即 内力虚功；上式左边是外力（体力+面力）在虚位移上 所做功，即外力虚功。即内力虚功等于外力虚功。

有限元法的发展现状及应用一、本文概述有限元法，作为一种广泛应用于工程和科学领域的数值分析方法，自其诞生以来，已经经历了数十年的发展和完善。

本文旨在全面概述有限元法的发展现状及其在各个领域的应用。

我们将回顾有限元法的基本原理和历史背景，以便读者对其有一个清晰的认识。

接着，我们将重点介绍有限元法在不同领域的应用，包括土木工程、机械工程、航空航天、电子工程等。

我们还将探讨有限元法在发展过程中面临的挑战以及未来的发展趋势。

通过阅读本文，读者将对有限元法的现状和发展趋势有一个全面的了解，并能更好地理解该方法在工程和科学领域的重要性和应用价值。

二、有限元法的基本理论有限元法（Finite Element Method，FEM）是一种数值分析技术，广泛应用于工程和科学问题的求解。

其基本理论可以概括为离散化、单元分析、整体分析和数值求解四个主要步骤。

离散化是将连续的求解域划分为有限个互不重叠且相互连接的单元。

这些单元可以是三角形、四边形、四面体、六面体等，具体形状和大小取决于问题的特性和求解的精度要求。

离散化的过程实际上是将无限维的连续问题转化为有限维的离散问题。

单元分析是有限元法的核心步骤之一。

在单元分析中，首先需要对每个单元选择合适的近似函数（也称为形函数或插值函数）来描述单元内的未知量。

然后，根据问题的物理定律和边界条件，建立每个单元的有限元方程。

这些方程通常包括节点的平衡方程、协调方程和边界条件方程等。

整体分析是将所有单元的有限元方程按照一定的规则（如矩阵叠加法）组合成一个整体的有限元方程组。

这个方程组包含了所有节点的未知量，可以用来求解整个求解域内的未知量分布。

数值求解是有限元法的最后一步。

通过求解整体有限元方程组，可以得到所有节点的未知量值。

然后，利用插值函数，可以计算出整个求解域内的未知量分布。

还可以根据需要对计算结果进行后处理，如绘制云图、生成动画等，以便更直观地展示求解结果。

有限元法的基本理论具有通用性和灵活性，可以应用于各种复杂的工程和科学问题。

图4-17 型材挤压成形的分析
图4-18 螺旋齿轮成形过程的分析
17
(a) 模拟结果
(b)实物
图4-19 T形锻件的成形分析
(3) 焊接残余应力分析 （用Sysweld完成）
图4-20 结构与焊缝布置
图4-21 焊接过程的温度分布与轴向残余应力
19
(4) 热处理过程的分析 BMW曲轴的感应淬火 （Induction quenching of crankshafts at BMW，用SysWeld 软件完成）在曲轴表面获得压应力，可以提高曲轴的 疲劳寿命。
先进制造与工程仿真技术
第4章 工程仿真技术中的有限元理论基础
§4.1 工程仿真中有限元法的概述 §4.2 弹性力学的基本原理与有限元分析 §4.3 仿真工程中常用有限元软件简介
教学要求：
了解有限元法的基本原理与基本方法。
学习有限元法的原理，主要结合弹性力学问题来介绍有 限元法的基本方法，包括单元分析、整体分析、载荷与 约束处理、等参单元的概念等。
图4-4 平面桁架系统
图4-5 大型编钟“中华和钟”的振动分析 6
4.1.2 有限元法的基本思路 有限元法把求解区域看作由于许多小的在节点处相互连接的子域 (单元)所构成，模型给出基本方程的分片(子)近似解。 有限元法一种结构分析的方法。分析的基本思想是将连续的求解区 域离散为一组由有限个单元组成的并按一定方式相互联结在一起的单元 组合体来加以分析。分析假想将物体划分为小的单元，然后对各个单元 进行分析，最后再把单元分析结果组合得到整个对象的分析结果。有限 元法首先体现的是一种思想，其基本思想可以归纳为如下几点：
4. 热传导分析 包括稳态传导分析、瞬态热传导分析、热辐射、强迫对流及温度

（1）正应力σ
为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一个角码，例如，正应力σ x 是作用在垂直于 x
轴的面上同时也沿着 X 轴方向作用的。 （2）剪应力τ 加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪
一个坐标轴。例如，剪应力τ xy 是作用在垂直于 X 轴的面上而沿着 y 轴方向作用的。
如图 2 所示，将直杆划分成 n 个有限段，有限段之间通过一个铰接点连接。称两段之间的连接
1
点为结点，称每个有限段为单元。 第i个单元的长度为Li，包含第i，i+1 个结点。
2）用单元节点位移表示单元内部位移。我们假设单元内部位移为线性函数。
u(x)
=
ui
+
ui+1 − ui Li
(x
−
xi )
其中 ui 为第 i 结点的位移， xi 为第 i 结点的坐标。第 i 个单元的应变为 ε i ，应力为σ i ，内力为 Ni ：
5
或乘积项都可以略去不计，这就使得弹性力学中的微分方程都成为线性方程。 三、基本变量
1.应力的概念 1）外力：面力和体力 作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种： 表面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面
积上的表面力通常分解为平行于坐标轴的三个成分，用记号 Χ、Υ、Ζ
结点 位移
(1)
内部各 点位移
(2)
(3)
(4)
应变
应力
结点力
单元分析
以平面问题的三角形 3 结点单元为例。如图 1-15 所示，单元有三个结点 I、J、M，每个结点有 两个位移 u、v 和两个结点力 U、V。
3

第二章有限元法的基本原理有限元法吸取了有限差分法中的离散处理内核，又继承了变分计算中选择试探函数并对区域积分的合理方法。

有限元法的理论基础是加权余量法和变分原理，因此这里首先介绍加权余量法和变分原理。

2.1等效积分形式与加权余量法加权余量法的原理是基于微分方程等效积分的提法，同时它也是求解线性和非线性微分方程近似解的一种有效方法。

在有限元分析中，加权余量法可以被用于建立有限元方程，但加权余量法本身又是一种独立的数值求解方法。

2.1.1微分方程的等效积分形式工程或物理学中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的微分方程和边界条件的形式提出来的，可以一般地表示为未知函数u 应满足微分方程组⎛A 1(u )⎫ ⎪A (u )= A 2(u )⎪=0（在Ω内）（2-1） M ⎪⎝⎭域Ω可以是体积域、面积域等，如图2-1所示。

同时未知函数u 还应满足边界条件⎛B 1(u )⎫ ⎪B (u )= B 2(u )⎪=0（在Γ内）（2-2）M ⎪⎝⎭要求解的未知函数u 可以是标量场（例如压力或温度），也可以是几个变量组成的向量场（例如位移、应变、应力等）。

A ，B 是表示对于独立变量（例如空间坐标、时间坐标等）的微分算子。

微分方程数目应和未知场函数的数目相对应，因此，上述微分方程可以是单个的方程，也可以是一组方程。

所以在以上两式中采用了矩阵形式。

以二维稳态的热传导方程为例，其控制方程和定解条件如下：A (φ)=∂∂φ∂∂φ(k )+(k )+q =0（在Ω内）（2-3）∂x ∂x ∂y ∂y⎧φ-φ=0⎪B(φ)=⎨∂φ-q=0⎪k⎩∂n （在Γφ上）（在Γq上）（2-4）这里φ表示温度（在渗流问题中对应压力）；k是流度或热传导系数（在渗流问题中对应流度K/μ）；φ和q是边界上温度和热流的给定值（在渗流问题中分别对应边界上的压力和边界上的流速）；n是有关边界Γ的外法线方向；q是源密度（在渗流问题中对应井的产量）。

有限单元法知识点总结1. 有限元法概述有限单元法（Finite Element Method ，简称FEM）是一种数值分析方法，适用于求解工程结构、热传导、流体力学等领域中的强耦合、非线性、三维等问题，是一种求解偏微分方程的数值方法。

有限元法将连续的物理问题抽象为由有限数量的简单几何单元（例如三角形、四边形、四面体、六面体等）组成的离散模型，通过对单元进行适当的数学处理，得到整体问题的近似解。

有限元法广泛应用于工程、材料、地球科学等领域。

2. 有限元法基本原理有限元法的基本原理包括离散化、加权残差法和形函数法。

离散化是将连续问题离散化为由有限数量的简单单元组成的问题，建立有限元模型。

加权残差法是选取适当的残差形式，并通过对残差进行加权平均，得到弱形式。

形函数法是利用一组适当的形函数来表示单元内部的位移场，通过形函数的线性组合来逼近整体位移场。

3. 有限元法的步骤有限元法的求解步骤包括建立有限元模型、建立刚度矩阵和载荷向量、施加边界条件、求解代数方程组和后处理结果。

建立有限元模型是将连续问题离散化为由简单单元组成的问题，并确定单元的连接关系。

建立刚度矩阵和载荷向量是通过单元的应变能量和内力作用，得到整体刚度矩阵和载荷向量。

施加边界条件是通过给定位移或力的边界条件，限制未知自由度的取值范围。

求解代数方程组是将有限元模型的刚度方程和载荷方程组成一个大型代数方程组，通过数值方法求解。

后处理结果是对数值结果进行处理和分析，得到工程应用的有用信息。

4. 有限元法的元素类型有限元法的元素类型包括结构单元、板壳单元、梁单元、壳单元、体单元等。

结构单元包括一维梁单元、二维三角形、四边形单元、三维四面体、六面体单元。

板壳单元包括各种压力单元、弹性单元、混合单元等。

梁单元包括梁单元、横梁单元、大变形梁单元等。

壳单元包括薄壳单元、厚壳单元、折叠单元等。

体单元包括六面体单元、锥体单元、八面体单元等。

5. 有限元法的数学基础有限元法的数学基础包括变分法、能量方法、有限元插值等。

一、有限单元法的基本思想（1）将一个连续域化为有限个单元并通过有限个结点相连接的等效集合体。

由于单元能按照不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域。

（2）有限元法利用在每一个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场数。

单元内的近似函数由未知场函数在单元的各个结点的数值和其插值函数来表达。

（3）一个问题的有限元分析中，未知场函数在各个结点上的数值就成为新的未知量，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。

（4）一经求解出这些未知量，就可以通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值，从而得到整个求解域上的近似解。

显然，随着单元数目的增加，也即单元尺寸的缩小，或者随着单元自由度的增加以及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断改进，如果单元是满足收敛要求的，近似解最后将收敛于精确解。

图1 有限元分析流程图二、有限元分析过程概述1 结构的离散化结构的离散化是有限单元法分析的第一步，它是有限单元法的基本概念。

所谓离散化简单地说，就是将要分析的结构物分割成有限个单元体，并在单元体的指定点设置结点，使相邻单元的有关参数具有一定的连续性，并构成一个单元的集合体，以它代替原来的结构。

如果分析的对象是桁架，那么这种划分十分明显，可以取每根杆件作为一个单元，因为桁架本来是由杆件组成的。

但是如果分析的对象是连续体，那么为了有效地逼近实际的连续体，就需要考虑选择单元的形状和分割方案以及确定单元和结点的数目等问题。

2 选择位移模式在完成结构的离散之后，就可以对典型单元进行特性分析。

此时，为了能用结点位移表示单元体的位移、应变和应力，在分析连续体问题时，必须对单元中位移的分布作出一定的假设，也就是假定位移是坐标的某种简单的函数，这种函数称为位移模式或插值函数。

选择适当的位移函数是有限单元法分析中的关键。

通常选择多项式作为位移模式。

其原因是因为多项式的数学运算（微分和积分）比较方便，并且由于所有光滑函数的局部，都可以用多项式逼近。

有限元理论与方法有限元法是一种数值计算方法，用于求解复杂物理问题的近似解。

它将连续问题离散化为离散问题，并通过求解离散问题来近似求解原问题。

有限元法广泛应用于结构力学、流体力学、电磁场等领域。

有限元法的理论基础是分片连续函数空间的降维表示。

它将求解区域分割成许多简单的有限元单元，例如三角形、四边形或立方体等。

每个单元内的解通过一组形函数进行近似表示，形函数通常是局部性质的，即只在该单元内非零。

通过建立形函数与解之间的关系，可以将原问题转化为求解离散问题。

在解离散问题时，有限元法通过构建代数方程组以及边界条件来获得解。

代数方程组通常通过对能量变分或Galerkin方法进行离散化得到。

通过求解代数方程组，可以获得有限元法的近似解。

有限元法具有许多优点。

首先，它适用于各种不规则的几何形状。

通过将问题的几何形状分割为简单的单元，可以处理复杂的几何形状。

其次，有限元法具有高自由度的适应性。

通过增加或减少单元的数量，可以调整有限元方法的精度。

此外，它还可以处理不同类型的物理现象。

通过选择适当的形函数，可以将有限元法应用于结构、流体、热力学等各种领域。

然而，有限元法也存在一些局限性。

首先，它是一种近似方法，因此在求解过程中可能引入误差。

在实际应用中，需要评估误差，并确保误差的控制在允许范围内。

其次，有限元法在处理大规模问题时可能需要大量的计算资源。

解决大规模问题可能需要并行计算或者使用高性能计算机。

此外，有限元法对网格质量和网格依赖性较为敏感，因此需要谨慎选择网格划分方法。

总的来说，有限元理论和方法是一种重要的数值计算方法，广泛应用于科学和工程领域。

它的理论基础是分片连续函数空间的降维表示，以及代数方程组的离散化求解。

有限元法具有适应各种几何形状、高自由度的特点，并可应用于各种物理现象。

然而，它也存在误差引入、计算资源需求大等局限性。

为了获得精确的解，需要在实际应用中合理选择方法和调整参数。