2019-2020学年高中数学《1.2.1 正、余弦定理在实际问题中》导学案 新人教A版必修5.doc

第1课时正、余弦定理在实际中的应用1.基线在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做□01基线．一般来说，基线越长，测量的精确度□02越高．2．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，□03把视线在水平线上方的角称为仰角，□04视线在水平线下方的角称为俯角．如图(1)．3．方向角从指定方向到□05目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.如图(2)所示．4．方位角指从正北方向□06按顺时针转到目标方向线所成的水平角．如方位角是45°，指北偏东45°，即东北方向．5．视角观察物体的两端，视线张开的□07夹角，如图(3)．6．坡角与坡度□08坡面与水平面所成的二面角叫做坡角，坡面的□09铅直高度与□10水平宽度之比叫坡度⎝ ⎛⎭⎪⎫i ＝h l ，如图(4)．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)仰角与俯角都是与铅垂线所成的角．( ) (2)方位角的范围是(0，π)．( )(3)两个不能到达的点之间无法求两点间的距离．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× 2．做一做(1)如图所示，OA ，OB 的方向角各是________．(2)A ，B 两点间有一小山，选定能直接到达点A ，B 的点C ，测得AC ＝60 m ，BC ＝160 m ，∠ACB ＝60°，则A ，B 两点间的距离为________．(3)身高为1.70米的李明站在离旗杆20米的地方，目测该旗杆的高度，若李明此时的仰角为30°，则该旗杆的高度约为________米(精确到0.1)．(4)(教材改编P 11例1)如图所示，A ，B 两点在一条河的两岸，测量者在A 的同侧，且B 点不可到达，测量者在A 点所在的岸边选定一点C ，测出AC ＝60 m ，∠BAC ＝75°，∠BCA ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________．答案 (1)北偏东60°，北偏西30° (2)140 m (3)13.2 (4)20 6 m解析 (4)∠ABC ＝180°－75°－45°＝60°，所以由正弦定理，得AB sin C ＝ACsin B ， ∴AB ＝AC sin C sin B ＝60×sin45°sin60°＝20 6 m.探究1两点间有一点不可达到的距离问题例1(1)A，B两点之间隔着一座小山，现要测量A，B两点间的距离，选择在同一水平面上且均能直线到达的C点，经测量AC＝50 m，BC＝40 m，B在C 北偏东45°方向上，A在C西偏北15°方向上，求AB的长；(2)如图，某河岸的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A，B，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，且AB＝100米．求该河段的宽度．解(1)依题意知∠ACB＝120°，AC＝50 m，BC＝40 m，应用余弦定理得AB＝AC2＋BC2－2AC×BC cos∠ACB＝502＋402－2×50×40×cos120°＝1061，故AB的长为1061 m.(2)在△CAB中，∠ACB＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理得ABsin∠ACB ＝BCsin∠CAB，于是BC＝AB sin∠CABsin∠ACB＝100×6＋2432＝503(32＋6)．于是河段的宽度为d ＝BC sin ∠CBA ＝503(32＋6)×22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5033＋50(米)． [条件探究] 把本例(1)中“经测量AC ＝50 m ，BC ＝40 m ”改为“经测量∠CAB ＝30°，BC ＝40 m ”又如何求A ，B 之间的距离？解 解法一：∠ACB ＝120°，∠CAB ＝30°， ∴∠CBA ＝30°，∵BC ＝40 m ，∴AC ＝40 m. ∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2×AC ×BC cos120° ＝402＋402－2×40×40×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝4800， ∴AB ＝40 3 m.解法二：由正弦定理，得 BC sin ∠CAB ＝ABsin (45°＋75°)，40sin30°＝ABsin120°， AB ＝40 3 m. 拓展提升三角形中与距离有关的问题的求解策略(1)解决三角形中与距离有关的问题，若在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解．(2)解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决．【跟踪训练1】如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？解在△ABC中，BC＝30海里，B＝30°，∠ACB＝135°，∴∠BAC＝15°，由正弦定理BCsin A ＝ACsin B，即30sin15°＝ACsin30°，AC＝15sin15°＝15sin(45°－30°)＝15sin45°cos30°－cos45°sin30°＝156－24＝15(6＋2)(海里)，∴A到直线BC的距离为d＝AC sin45°＝15(3＋1)≈40.98海里>38海里，所以继续向南航行，没有触礁危险．探究2两点都不能到达的两点间距离问题例2如图所示，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距3千米的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．解 在△ACD 中，∵∠ADC ＝30°，∠ACD ＝120°， ∴∠CAD ＝30°，∴AC ＝CD ＝ 3.在△BDC 中，∵∠CBD ＝180°－45°－75°＝60°， 由正弦定理，得BC ＝3sin75°sin60°＝6＋22.由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos ∠BCA . ∴AB 2＝(3)2＋⎝⎛⎭⎪⎫6＋222－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋22×cos75°＝5. ∴AB ＝5(千米)．故两目标A ，B 间的距离为5千米． 拓展提升求距离问题的注意事项(1)选定或确定所求量所在的三角形．若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．【跟踪训练2】如图所示，为了在一条河上建一座桥，施工前先要在河两岸打上两个桥位桩A ，B ，若要测算A ，B 两点之间的距离，需要测量人员在岸边定出基线BC ，现测得BC ＝50米，∠ABC ＝105°，∠BCA ＝45°，则A ，B 两点的距离为________米．答案502解析在△ABC中，BC＝50米，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°，∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠BCA＝180°－105°－45°＝30°.由正弦定理，得ABsin∠BCA ＝BCsin∠BAC，∴AB＝BC sin∠BCAsin∠BAC＝50×sin45°sin30°＝50×2212＝502(米)．探究3测量高度问题例3如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，求山高CD.解在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠CAD＝β.根据正弦定理，得ACsin∠ABC ＝BCsin∠BAC，即ACsin(90°－α)＝BCsin(α－β)，∴AC＝BC cosαsin(α－β)＝h cosαsin(α－β).在Rt△ACD中，CD＝AC sin∠CAD＝AC sinβ＝h cosαsinβsin(α－β).即山的高度为h cosαsinβsin(α－β).拓展提升1.解决实际问题时，通常是从实际问题中抽象出一个或几个三角形，先解够条件的三角形，再利用所得结果解其他三角形．2．测量高度的方法对于底部不可到达的建筑物的高度测量问题，由于不能直接通过解直角三角形解决，可通过构造含建筑物高度的三角形用正、余弦定理解决．【跟踪训练3】如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C 测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.解在△BCD中，∵∠BCD＝α，∠BDC＝β，∴∠CBD＝π－α－β，由正弦定理，得BCsin ∠BDC ＝CD sin ∠CBD ，∴BC ＝CD sin ∠BDC sin ∠CBD＝s ·sin βsin (α＋β)，在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝s tan θsin βsin (α＋β).探究4 测量角度问题例4 如图所示，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船，奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．解 设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝103t 海里，BD ＝10t 海里．在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC cos A ＝(3－1)2＋22－2(3－1)×2×cos120°＝6，∴BC ＝6海里．又∵BC sin A ＝ACsin ∠ABC，∴sin ∠ABC ＝AC ×sin A BC ＝2×sin120°6＝22.∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上， ∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°.在△BCD中，由正弦定理，得BD sin∠BCD ＝CD sin∠CBD.∴sin∠BCD＝BD×sin∠CBDCD＝10t·sin120°103t＝12.∴∠BCD＝30°，∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶．又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，∴∠D＝30°.∴BD＝BC，即10t＝6，∴t＝610小时≈15分钟．∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．拓展提升测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．拓展提升【跟踪训练4】某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出求救信号，如图，我海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以103海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间．解设所需时间为t小时，在△ABC中，根据余弦定理，有AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC cos120°，可得(103t)2＝102＋(10t)2－2×10×10t×cos120°，整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－12(舍去)．故护航舰需1小时靠近货船．此时AB＝103，BC＝10，又AC＝10，所以∠CAB＝30°，所以护航舰航行的方位角为75°.[规律小结]1.解三角形应用题的步骤(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形的模型．(3)选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形的解还原为实际问题的解，注意实际问题中的单位、近似计算要求．2.解三角形在实际测量中的常见问题(1)距离问题(2)高度问题(3)角度问题测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根据需要得出所求的角．3.解决问题的策略(1)测量高度问题策略“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面．将空间问题转化为平面问题，利用“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思想．(2)测量角度问题策略测量角度问题主要指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等，解决它们的关键是根据题意和图形的有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需求哪些量，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求量．(3)测量距离问题策略选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．[走出误区]易错点⊳结果不符合实际意义导致错误[典例]某观测站C在城市A的南偏西20°的方向上，由城市A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上距C为31 km的B处有一人正沿公路向城市A走去，走了20 km后到达D处，此时CD间的距离为21 km，则此人还要走多远才能到达城市A？[错解档案] 如图所示，∠CAD ＝60°.在△BCD 中，由余弦定理，得cos B ＝BC 2＋BD 2－CD 22BC ×BD＝312＋202－2122×31×20＝2331，∴sin B ＝1－cos 2B ＝12331.在△ABC 中，AC ＝BC sin B sin ∠CAB＝31×sin Bsin60°＝24.在△ACD 中，由余弦定理，得CD 2＝AC 2＋AD 2－2AC ×AD cos ∠CAD ， 即212＝242＋AD 2－24AD ，∴AD ＝15或AD ＝9. 答：此人还要走15 km 或9 km 才能到达城市A .[误区警示] 错解中未检验得出的解是否符合题意而导致错误．因为余弦定理中线段长度都带着平方，开平方后可能求出两个值，因此要验证解的合理性．对于这种情况，用正弦定理优于余弦定理．[规范解答] 设∠ACD ＝α，∠CDB ＝β， 在△CBD 中，由余弦定理，得cos β＝BD 2＋CD 2－CB 22BD ×CD ＝202＋212－3122×20×21＝－17，所以sin β＝437.而sinα＝sin(β－60°)＝sinβcos60°－sin60°cosβ＝437×12＋32×17＝5314.在△ACD中，由正弦定理，得CD sin60°＝ADsinα，AD＝21×sinαsin60°＝15(km)．答：此人再走15 km就可以到达城市A.[名师点津]在解决实际问题时，画出图形后应用正弦定理或余弦定理进行求解，得到的结果要检验其是否符合实际意义，这点容易被忽略而造成多解.1．在200 m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶A与塔底B的俯角分别是30°，60°，则塔高AB＝()A．200 m B.2003m C.4003m D．100 m答案C解析设AB＝x，则(200－x)tan60°＝200tan30°，解得x＝400 3.2．某次测量中，A在B的北偏东55°方向上，则B在A的()A．北偏西35°方向上B．北偏东55°方向上C．南偏西35°方向上D．南偏西55°方向上答案D解析根据题意和方向角的概念画出草图，如图所示．已知α＝55°，则β＝α＝55°.所以B在A的南偏西55°方向上．故选D.3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10 n mile的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时()A．5 n mile B．5 3 n mileC．10 n mile D．10 3 n mile答案C解析如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，∴∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10.在Rt△ABC中，求得AB＝5，∴这艘船的速度是50.5＝10(n mile/h)．4．如图所示，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物点C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度CD为________．答案60 m解析由三角形的内角和定理知∠ACB＝75°，即∠ABC＝∠ACB，所以AC＝AB＝120，在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，则CD＝12AC＝60(m)．5．某海轮以30海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点，求P，C间的距离．解如图，在△ABP中，AB＝30×4060＝20，∠APB＝30°，∠BAP＝120°，由正弦定理，得ABsin∠BP A＝BPsin∠BAP，即2012＝BP32，解得BP＝20 3.在△BPC中，BC＝30×8060＝40，由已知，得∠PBC＝90°，∴PC＝PB2＋BC2＝(203)2＋402＝207(海里)．所以P，C间的距离为207海里．A级：基础巩固练一、选择题1．如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10 m，吊杆AC＝15 m，吊索AB＝519 m，起吊的货物与岸的距离AD为()A ．30 m B.1532 m C ．15 3 m D ．45 m答案 B解析 在△ABC 中，AC ＝15 m ，AB ＝519 m ，BC ＝10 m ， 由余弦定理，得cos ∠ACB ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ×BC＝152＋102－(519)22×15×10＝－12，∴sin ∠ACB ＝32.又∠ACB ＋∠ACD ＝180°， ∴sin ∠ACD ＝sin ∠ACB ＝32.在Rt △ADC 中，AD ＝AC ·sin ∠ACD ＝15×32＝1532 m ．故选B.2．已知A ，B 两地的距离为10 km ，B ，C 两地的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地的距离为( )A ．10 km B. 3 km C ．10 5 km D ．107 km答案 D解析 在△ABC 中，AB ＝10，BC ＝20，∠ABC ＝120°，则由余弦定理，得 AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC cos ∠ABC ＝100＋400－2×10×20cos120° ＝100＋400－2×10×20×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝700，∴AC ＝107，即A ，C 两地的距离为107 km.3．某公司要测量一水塔CD 的高度，测量人员在该水塔所在的东西方向水平线上选A ，B 两个观测点，在A 处测得该水塔顶端D 的仰角为α，在B 处测得该水塔顶端D 的仰角为β，已知AB ＝a,0<β<α<π2，则水塔CD 的高度为( )A.a sin (α－β)sin βsin αB.a sin αsin βsin (α－β)C.a sin (α－β)sin αsin βD.a sin αsin (α－β)sin β答案B解析如图，在△ABD中，∠ADB＝α－β，由正弦定理，得AD sinβ＝ABsin∠ADB，即AD＝a sinβsin(α－β)，在Rt△ACD中，CD＝AD·sinα＝a sinαsinβsin(α－β).4．若甲船在B岛的正南方A处，AB＝10 km，甲船以4 km/h的速度向正北航行，同时，乙船自B岛出发以6 km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们的航行时间是()A.1507min B.157hC．21.5 min D．2.15 h答案A解析当时间t<2.5 h时，如图．∠CBD＝120°，BD＝10－4t，BC＝6t.在△BCD中，利用余弦定理，得CD2＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t )×6t ×cos120°＝28t 2－20t ＋100.当t ＝202×28＝514(h)，即1507 min 时，CD 2最小，即CD 最小为6757.当t ＝2.5 h 时，CF ＝15×32，CF 2＝6754， 当t >2.5 h 时，甲、乙两船之间的距离总大于6754. 故距离最近时，t <2.5 h ，即t ＝1507 min. 二、填空题5．一船以24 km/h 的速度向正北方向航行，在点A 处望见灯塔S 在船的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B 时与灯塔S 的距离是________ km(精确到0.1 km)．答案 5.2解析 作出示意图如图．由题意，知AB ＝24×1560＝6，∠ASB ＝35°， 由正弦定理，得6sin35°＝BSsin30°，解得BS ≈5.2(km)．6．学校里有一棵树，甲同学在A 地测得树尖的仰角为45°，乙同学在B 地测得树尖的仰角为30°，量得AB ＝AC ＝10 m ，树根部为C (A ，B ，C 在同一水平面上)，则∠ACB ＝________.答案 30°解析 如图，AC ＝10，∠DAC ＝45°，∴DC ＝10，∵∠DBC ＝30°，∴BC ＝10 3. 由余弦定理，得cos ∠ACB ＝102＋(103)2－1022×10×103＝32，∴∠ACB ＝30°. 7．在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，沿BE 方向前进30 m 至点C 处测得顶端A 的仰角为2θ，再继续前进10 3 m 至D 点，测得顶端A 的仰角为4θ，则θ等于________．答案 15°解析 如图，由题意知BC ＝CA ＝30，CD ＝DA ＝103，设AE ＝h ，则⎩⎪⎨⎪⎧h ＝30sin2θ，h ＝103sin4θ，所以30sin2θ＝103sin4θ＝203sin2θcos2θ，所以2cos2θ＝3，cos2θ＝32，所以2θ＝30°，θ＝15°.三、解答题8．如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，为测出A，B的距离，其方法为测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．解∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝32.在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理，得BC＝DCsin∠DBC·sin∠BDC＝32sin45°·sin30°＝64.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC cos45°＝3 4＋38－2×32×64×22＝38.∴AB＝64(km)．∴A，B两点间的距离为64km.9．如图所示，要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，求电视塔的高度．解设电视塔AB的高为x，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°，得BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，∴BD＝3x.在△BDC中，由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC×CD cos120°，即(3x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得x＝40，所以电视塔的高为40 m.10．一艘船以32.2 n mile/h的速度向正北航行．在A处看灯塔S在船的北偏东20°的方向，30 min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65°的方向，已知距离此灯塔6.5 n mile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？解在△ASB中，∠SBA＝115°，∠S＝45°.由正弦定理，得SB＝AB sin20°sin45°＝16.1sin20°sin45°≈7.787(n mile)．设点S到直线AB的距离为h，则h＝SB sin65°≈7.06(n mile)．∵h>6.5 n mile，∴此船可以继续沿正北方向航行．B级：能力提升练1．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90 n mile.此时海盗船距观测站107 n mile,20 min后测得海盗船距观测站20 n mlie，再过________min，海盗船到达商船．答案40 3解析如图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A，B，C处，20 min 后，海盗船到达D处，在△ADC中，AC＝107，AD＝20，CD＝30，由余弦定理，得cos∠ADC＝AD2＋CD2－AC22AD×CD＝400＋900－7002×20×30＝12.∴∠ADC＝60°.在△ABD中，由已知得∠ABD＝30°，∠BAD＝60°－30°＝30°，∴BD＝AD＝20，2090×60＝403(min)．2．据气象台预报，在S岛正东距S岛300 km的A处有一台风中心形成，并以每小时30 km的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270 km以内的地区将受到台风的影响．问：S岛是否受其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由．解如图，设台风中心经过t h到达B点，由题意，∠SAB＝90°－30°＝60°，在△SAB中，SA＝300，AB＝30t，∠SAB＝60°，由余弦定理，得SB2＝SA2＋AB2－2SA×AB cos∠SAB＝3002＋(30t)2－2×300×30t cos60°.若S岛受到台风影响，则应满足条件|SB|≤270，即SB2≤2702，化简整理，得t2－10t＋19≤0，解得5－6≤t≤5＋ 6.所以从现在起，经过(5－6) h S岛开始受到影响，(5＋6)小时后影响结束，持续时间：(5＋6)－(5－6)＝26(h)．。

1.1.2余弦定理（导学案）一、学习目标1、掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

2、利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，二、本节重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.三、本节难点勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用四、知识储备1、回忆：正弦定理的文字语言？ 符号语言？基本应用？2、练习：在△ABC 中，已知10c =，A =45︒，C =30︒，解此三角形. →变式3、思考：已知两边及夹角，如何求出此角的对边？五、通过预习掌握的知识点余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

即 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-2222cos c a b ab C =+-思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2+-=b c a A bc 222cos 2+-=a c b B ac 222cos 2+-=b a c C ba 思考：勾股定理与余弦定理之间的关系？六、知识运用1在△ABC 中，若a 2＞b 2+c 2，则△ABC 为；若a 2=b 2+c 2，则△ABC 为 ；若a 2＜b 2+c 2且b 2＜a 2+c 2且c 2＜a 2+b 2，则△ABC 为2在△ABC 中，sin A =2cos B sin C ，则三角形为3在△ABC 中，BC =3，AB =2，且)16(52sin sin +=B C ，A = 七、重点概念总结余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； 余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边 判断三角形的类型.由三角形的什么知识可以判别？ → 求最大角余弦，由符号进行判断结论：活用余弦定理，得到：=+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔222222222是直角是直角三角形是钝角是钝角三角形是锐角a b c A ABC a b c A ABC a b c A ∆是锐角三角形ABC。

2019-2020学年高一数学正余弦定理应用3学案
一．学习目标
1.通过具体实例探索问题隐含的数学模型
2.针对各自的模型正确使用正余弦定理解决问题。

完成本学案只需写出必要的解题步骤，不必查表计算结果
二、自学探究:
三﹑合作探究：
例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是60m，∠BAC=︒
75。

求A、B两
45，∠ACB=︒
点的距离
例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。

例3、AB是底部B不可到达的一个建筑物，
A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物
高度AB的方法。

四、巩固练习：（教材第15页1题，19页6题，7题）
五、师生总结：
六．课后作业：（教材第15页2，3题，第20页8题）。

2019-2020年高中数学《1.1.2 余弦定理》教案2 新人教A 版必修5●教学目标 知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

●教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； ●教学难点勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

●教学过程 Ⅰ.课题导入C 如图1．1-4，在ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b 和C ，求边c b aA c B(图1．1-4)Ⅱ.讲授新课 [探索研究]联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

A如图1．1-5，设，，，那么，则()()2222 2c c c a b a ba ab b a ba b a b=⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅ C B从而 (图1．1-5) 同理可证于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

即思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：[理解定理]从而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若ABC 中，C=，则，这时由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。

2019-2020年高中数学《1.1.2 余弦定理》预习导学案新人教A版必修5【课前预习】阅读教材完成下面填空解三角形的四种类型1．已知A,B及a(“角边角”型)利用正弦定理2．已知三边a,b,c(“边边边”型)用余弦定理。

3.已知两边a,b及夹角C(边角边型)余弦定理求c,再用余弦定理求两角。

4. 已知两边a,b及一边对角(“边边角“型)(1) 当时，有解(2) 当时，有解(3) 当时，有解(4) 当时，有解【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟1．在△ABC中，若，则等于（）A． B． C． D．2．在△中，若，则等于（）A． B．C． D．3．在△ABC中，若，，。

4、在△中，若，则△是【课中35分钟】边听边练边落实5、在△ABC中，已知a=10，B= ,C=，解三角形。

6．在△ABC 中，已知a=2,b=5,c=4,求最大角的正弦值。

7．已知a ＝3，c ＝2，B ＝150°，求边b 的长及S △．8、在△ABC 中，已知a=5，b=7，A=,解三角形。

9．在△ABC 中，，，，其中是△ABC 外接圆的半径。

求证：C R A b B a sin 2cos cos =+。

【课末5分钟】 知识整理、理解记忆要点 1.2.3.4.【课后15分钟】 自主落实，未懂则问1．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B＝120°，则△ABC的面积为 ( )A．9 B．18 C．9 D．182．在△ABC中，sin A:sin B:sin C=3:2:4，则cos C的值为（）A． B．－ C． D．－3．在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos C＝，则BC＝。

4．在△ABC中，若A=30°，B=60°，则（）（A）（B）（C）（D）5．在△ABC中，角均为锐角，且则△ABC的形状是（）A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形6．在△ABC中，，则等于（）A． B．C． D．7．在△ABC中，若角为钝角，则的值（）A．大于零 B．小于零C．等于零 D．不能确定8．在△ABC中，，则的最大值是_______________。

2019-2020学年高中数学 1.1.2余弦定理导学案新人教版必修4【学习目标】1．掌握余弦定理及其推导过程，探索推导的多种方法；2．能够利用余弦定理解决斜三角形的计算等相关问题 【重点难点】 1.重点：余弦定理的探索和证明及其基本应用. 2.难点：已知两边及其夹角或已知三边解三角形.学习过程：一、复习引入： 1正弦定理：在任一个三角形中， 和 比相等， 即 ： （R 为△ABC 外接圆半径） 2正弦定理的应用 ：从理论上正弦定理可解决两类问题：（1）．已知 ，求其它两边和一角； （2）．已知 ，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（注意解的情况）3．在Rt △ABC 中(若C=90)有： （勾股定理）[问题]：在斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹角会有什么关系呢？二、自主探究：1．阅读教材，探索讨论余弦定理及其推导过程 ：得出余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 即 A bc c b a cos 2222-+= ； B ac a c b cos 2222-+=；C ab b a c cos 2222-+= 推论：bc a c b A 2cos 222-+= ca b a c B 2cos 222-+= abc b a C 2cos 222-+=三、基本题型：例1、在ΔABC 中，（1）a ＝1,b ＝1,C ＝1200,求c.（2）a ＝3,b ＝4,c ＝37,求最大角。

（3） a:b:c ＝1: 3:2, 求角A,B,C 。

c a b A BC例2、在ΔABC中，已知a＝8，B＝600，c＝4(3＋1)，解这个三角形针对训练：1、在ΔABC中，已知a＝7，b=3，c＝5,求最大角和sinC。

2、在ΔABC中，已知a＝3，b=2，B＝450,解此三角形。

四小结1.已知三角形两边及其夹角求其它的边和角；2.已知三角形三边求其它三个角。

1.2.1 应用举例【学习目标】1.会熟练地应用正、余弦定理解任意三角形，能够运用正、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

（重点，难点）2.了解斜三角形在测量、工程、航海等实际问题中的一些应用，体会正，余弦定理在平面几何中的计算和推理中的工具作用。

【研讨互动问题生成】1.测量中的有关概念、名词和术语（1）基线：(2)仰角与俯角：(3)方位角与方向角：(4)视角：（5）坡角与坡度：2.《1》三角形的几个面积公式（1）S= 12ah(h表示a边上的高)（2）S=12ab sin C=12bc sin A=12ac sin B(3)S=12r(a+b+c)(r为内切圆半径)其中1()2p a b c=++)【合作探究问题解决】1.如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=51︒，∠ACB=75︒. 求A、B两点的距离(精确到0.1m).练习：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得∠BCA=60︒，∠ACD=30︒，∠CDB=45︒，∠BDA =60︒.【点睛师例巩固提高】1．隔河可以看到两个目标，但不能到达，的C、D两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°. A、B、C、D在同一个平面，求两目标A、B间的距离.2. 两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30︒，灯塔B在观察站C南偏东60︒，则A、B之间的距离为多少？【要点归纳反思总结】解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解【多元评价】自我评价: 小组成员评价: 小组长评价:学科长评价: 学术助理评价:【课后训练】︒'，在塔底C处测得A处的俯1.如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α=5440角β=501︒'. 已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)2.某人在山顶观察到地面上有相距2500米的A、B两个目标，测得目标A在南偏西57°，俯角是60°，测得目标B在南偏东78°，俯角是45°，试求山高.3．为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30︒，测得塔基B的俯角为45︒，则塔AB的高度为多少m？4．在平地上有A、B两点，A在山的正东，B在山的东南，且在A的南25°西300米的地方，在A侧山顶的仰角是30°，求山高.。

2019-2020年高中数学《1.1.2 余弦定理》教案 新人教A 版必修5高二数学 教·学案【学习目标】1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

2.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题【学习重点】余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；【学习难点】勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

【授课类型】新授课【教 具】课件、电子白板 2222c a b a b=+-⋅高二数学教·学案课后反思：2019-2020年高中数学《1.1.2 余弦定理》教案2 新人教A版必修5●教学目标知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

●教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

●教学过程 Ⅰ.课题导入C如图1．1-4，在ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b 和C ，求边c b aA c B(图1．1-4)Ⅱ.讲授新课 [探索研究]联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

A如图1．1-5，设，，，那么，则()()2222 2c c c a b a ba ab b a ba b a b=⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅ C B从而 (图1．1-5) 同理可证于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

2019-2020学年高中数学 1.1.2余弦定理教学设计新人教A版必修5一．教学内容分析本节课是一节公式定理课，内容是高中数学人教A版必修5第一章解三角形的第二节课，主要的教学内容有余弦定理的公式，余弦定理公式的简单应用。

本节课是在学习了正弦定理知识之后，也就要求学生类比正弦定理的学习，学会公式的优化选择。

二．目标与目标分析数学的公式定理课-------我们在平时教学中很容易把大量的花在公式定理的应用上，而忽略了让同学们参与公式的推导建构过程。

这样的过程同学们在短时间上通过大量的训练会知道怎么用公式，却总是会迷茫为什么要这么用，为什么会选择这个公式，例如我就发现同学们上高中后依旧很多同学不喜欢用求根公式，而是依旧用配方法，我想这也是在公式建构过程中，同学们没有参与推导的过程，就不知道如何解决公式的优化选择。

导致学生还是无法接受新的知识。

华罗庚说过，新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要。

而我们要回到原点看问题，才是学生能够更好的应用数学知识的基石。

才能够用数学的思维去思考和解决问题。

三．学生学习情况分析我们面对的是高一的学生，学生在学习数学的能力还处在比较稚嫩的阶段。

不过他们刚学习完正弦定理的知识，知道正弦定理公式的推导是从直角三角形这个特殊三角形到一般三角形的推导，知道正弦定理是应用时解三角形的边角关系，学生可以通过类比的方法来学习余弦定理。

四．设计思想本节课是一节公式定理课，我设计的主线是：从生活实际出发，解决学这节课干嘛用，是为了解决生活问题的。

通过特殊到一般的思想，把特殊问题一般化，让同学们寻找解决的途径，通过对比，寻找最优化方法，最终由同学们自己推导出公式，并自己观察寻找公式的简单应用。

五．教学目标知识与技能：：能推导余弦定理及其推论，能运用余弦定理解已知“边，角，边”和“边，边，边”两类三角形。

过程与方法：培养学生知识的迁移能力；归纳总结的能力；运用所学知识解决实际问题的能力。