当前位置：文档之家 › 投影变换旋转法

投影变换旋转法

  • 格式：pptx
  • 大小：169.80 KB
  • 文档页数：18

下载文档原格式

  / 18

合集下载

计算机图形学第4章图形变换

计算机图形学第4章图形变换

反射变换
总结词
反射变换是将图形关于某一平面进行镜像反射的变换。
详细描述
反射变换可以通过指定一个法向量和反射平面来实现。法向量垂直于反射平面，指向反射方向。在二 维空间中，反射变换可以将图形关于x轴或y轴进行镜像反射；在三维空间中，反射变换可以将图形关 于某一平面进行镜像反射。
03
复合图形变换
组合变换
01
02
03
04
组合变换是指将多个基本图形 变换组合在一起，形成一个复
杂的变换过程。
组合变换可以通过将多个变换 矩阵相乘来实现，最终得到一
个复合变换矩阵。
组合变换可以应用于各种图形 变换场景，如旋转、缩放、平
移、倾斜等。
组合变换需要注意变换的顺序 和矩阵的乘法顺序，不同的顺 序可能导致不同的变换结果。
矩阵变换
矩阵变换是指通过矩阵运算对图形进 行变换的方法。
常见的矩阵变换包括平移矩阵、旋转 矩阵、缩放矩阵和倾斜矩阵等。
矩阵变换可以通过将变换矩阵与图形 顶点坐标相乘来实现，得到变换后的 新坐标。
矩阵变换具有数学表达式的简洁性和 可操作性，是计算机图形学中常用的 图形变换方法之一。
仿射变换
仿射变换是指保持图形中点与 点之间的线性关系不变的变换。
05
应用实例
游戏中的图形变换
角色动画
通过图形变换技术，游戏中的角 色可以完成各种复杂的动作，如
跑、跳、攻击等。
场景变换
游戏中的场景可以通过图形变换 技术实现动态的缩放、旋转和平 移，为玩家提供更加丰富的视觉
体验。
特效制作
图形变换技术还可以用于制作游 戏中的特效，如爆炸、火焰、水
流等，提升游戏的视觉效果。
THANKS

投影变换

投影变换
度量问题小结
1. 直线的实长、倾角：直角三角形法，变换一次投影面 2. 平面的实形、倾角：最大斜度线法求倾角，变换投影面法 3. 距离: 点到直线、两直线、点到平面、直线与平面、两平面
点、线、面法，变换投影面法 4. 夹角: 两直线、直线与平面、两平面
变换投影面法
28
综合举例 1. 求A点到三角形BCD的距离及两面投影。
第四章 投 影 变 换
§4－1 投影变换的目的和方法 §4－2 变换投影面法（换面法） §4－3 旋转法 §4－5 度量问题和定位问题举例
1
§4－1投影变换的目的和方法
特殊位置的直线： 可直接反映实长、倾角问题
a
b
a(b)
X
O
X
O
a
实长
b
水平线
b
实长
a 正垂线
2
§4－1投影变换的目的和方法
特殊位置的平面： 可直接反映实形、倾角问题
6
§4－2 换 面 法
一、 基本概念：
a' A
V
c' C b'
a
实形 a1'
V c1'
b1' B
V
b'
X
X
bH
b
H
换面法：空间几何元素不动，改
X1
变投影面的位置使其有利于解题。
a'
c'
O a(c)
O1
c1'
b1'
a1'
V1
7
§4－2 换 面 法
二、基本条件
建立新投影面的条件：
（1）新投影面要垂直原有的 一个投影面。
c
H

数学中的形变换

数学中的形变换

数学中的形变换数学中的形变换是指通过各种数学方法和公式对图形进行变换和转换的过程。

形变换在数学领域中具有广泛的应用，不仅在几何学中有很多应用，还在其他数学分支和实际问题中发挥着重要的作用。

一、平移变换平移变换是指将图形沿着平行方向移动一定的距离而不改变其形状和大小。

平移变换可以通过以下公式来表示：(x', y') = (x + a, y + b)其中，(x, y)是原始图形上的点，(x', y')是平移后图形上的点，a和b 分别表示平移的水平和垂直距离。

平移变换可以用来描述物体在平面上的移动、相机的位移和平移对称等。

二、旋转变换旋转变换是指将图形围绕某一点或某一轴线旋转一定的角度而不改变其形状和大小。

旋转变换可以通过以下公式来表示：(x', y') = (x*cosθ - y*sinθ, x*sinθ + y*cosθ)其中，(x, y)是原始图形上的点，(x', y')是旋转后图形上的点，θ表示旋转的角度。

旋转变换可以用来描述刚体在平面上的转动、地球的自转和旋转对称等。

缩放变换是指通过改变图形的大小而不改变其形状。

缩放变换可以通过以下公式来表示：(x', y') = (kx, ky)其中，(x, y)是原始图形上的点，(x', y')是缩放后图形上的点，k为缩放因子。

缩放变换可以用来描述物体的放大和缩小、地图的缩放和散射对称等。

四、错切变换错切变换是指将图形沿着某一个方向拉伸或压缩。

错切变换可以分为水平错切和垂直错切两种。

水平错切可以通过以下公式来表示：(x', y') = (x + ay, y)垂直错切可以通过以下公式来表示：(x', y') = (x, y + bx)其中，(x, y)是原始图形上的点，(x', y')是变换后图形上的点，a和b 分别表示水平和垂直方向的错切系数。

画法几何与土木建筑制图 第6章 投影变换

画法几何与土木建筑制图 第6章 投影变换

b d c
b d c
b1
a1(d1)
c1
4、 投影面垂直面变换为投影面平行面
换H面
正垂面
“水平面”（实形）
换V面
b
铅垂面
“正平面”（实形）
V V1
a1
X1
b1
c1
A a
b
a
B
V X
a
H
c
C
X
a
b(c)
H
c
b(c) c1
b1
a1
实形
5、 一般位置线变换为投影面垂直线:二次换面
b a
a2 (b2) H2
（2）轨迹圆在旋转轴所平行面上的投影，为平行于投影轴的直线。
三、 换面法的投影规律
1. 换面法的投影规律（1）以点的一次变换为例-替换V面
替换投影面
V a
新投影面
V a 替换投影
A
a1 V1
X ax
新投影
旧轴
X ax
新投影
a1
a
ax1
X1 H
a
ax1
保留投影面
H
保留投影
新轴
X1
新投影到不变投影连线垂直于新投影轴:a1a ⊥ X1
新投影到新投影轴的距离等于旧投影到旧投影轴的距
V1称为新投影面；V称为被更换的投影面；H称为被保留的 投影面。 X1称为新投影轴；X称为被更换的投影轴。
二、 新投影面的选择原则
V1
a1
X1
b1
c1
A a
V
b
B
a
c
C
b(c) H
V1∥ABC
V1┴H
新投影面的选择必须符合以下两个基本条件： (1) 新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置(平行或垂直) (2) 新投影面必须垂直于于原投影体系中的一个被保留的投影面。

土木工程制图第5章投影变换换面法

土木工程制图第5章投影变换换面法

5.2
图5-9 一般位置直线变换成垂直线
5.2
4.将一般位置平面变换成垂直面
如图5-10所示，△ABC为一个一般位置平面，如果要将其 变换为正垂面，
(1)在△ABC上作水平线AD，其投影为a′d′和ad (2)作X1轴⊥ad (3)作△ABC在V1面的投影a1′b1′c1′，a1′b1′c1′ 积聚为一条直线，它与X1轴的夹角即反映△ABC对H面的 倾角α
5.2
图5-6 一般位置直线变换成平行线(求α角)
5.2
2.
如图5-8所示，AB为 一条正平线，要变换成垂 直线。根据垂直线的投影 特性，反映实长的投影必 定为不变投影，只要变换 水平投影，即作新投影面 H1垂直于直线AB，作图时 作X1⊥a′b′，则直线AB 在H1面上的投影积聚为一 a1(b1)
(2)过a点作新投影轴X1的垂线，得交点aX1 (3)在垂线aaX1上截取a1′aX1= a′aX，即得A点在V1面 上的新投影a1′。
5.2
图5-3 点的一次变换(变换V面)
5.2
(1)不论在新的或原来的(被代替的)投影面体 系中，点的两面投影的连线垂直于相应的投影轴。
(2)点的新投影到新投影轴的距离等于原来的 投影到原来投影轴的距离。
5.2
图5-16 求侧平线与倾斜面的交点
5.2
【例5-3】
求两条交叉直线AB、CD间的距离，如图5-17(a)
【解】分析：两条交叉直线间的距离即为它们之间公垂线的
长度。如图5-17(a)所示，若将两条交叉直线中的一条(
AB )
MK
并在该投影面上的投影反映实长，而且与另一条直线在新投
影面上的投影互相垂直。
5.2
图5-18 求两平面间的夹角

03-画法几何及工程制图-第3章-投影变换

03-画法几何及工程制图-第3章-投影变换

a1
a
c1
k1 b1
k'
c
b
XV
H
a
b'2 k'2 a'2
c'2
距离
kb c
Why？
§3.2 变换投影面法-六个基本问题-例子
[例]求D点到平面ABC直线的距离。
§3.2 变换投影面法-六个基本问题-例子
[例3]求交叉两直线AB、CD间的距离。
d
X
V H
d
b m
k c
a
kc b
m
a
d1 a1
c2 k2
➢新投影到新投影轴的距离等于（被替换的）原来投影到 原投影轴的距离。坐标值不变
•点的一次变换（变换V面）－Z坐标值不变
a
a
V
A
aX
X
a
a1 V1
aX1
X
V H
aX
X1
a
a1
aX1
§3.1变换投影面法-基本规律-点的一次变换
•点的一次变换（变换H面）－Y坐标值不变
V b
bX1
B
b1
b
bX1 b1
bX
a
b
a1
X
V H
a
b1
b
a2 b2
§3.2变换投影面法-六个基本问题-倾斜面变换为垂直面
4. 将投影面倾斜面变换成投影面垂直面
b
d
a
X
V H
b d
a
c
Why X1轴这么选？
c
H面倾角
α1
b1
a1 c1 d 1
变换V面（求α1）
§3.2变换投影面法-六个基本问题-倾斜面变换为垂直面

4、投影变换(换面法)


b' a'
X
• i' a c i • b
H X1 V1
c'
•c ' 1
V O H O2 O1
•
c2
• a1' (i1')
•i 2
• a2
实形
• b1'
V1 H2
• b2
是以其中一直线为依据来选择，即将其中一条直线（一般 线）更换成平行线，投射线，其它元素跟着过来。另一种 是以其中一个平面为依据来选择新轴。即将一般面改换成 投射面、平行面。其它元素跟变换过来。
不动，设立新的投影面代替原有的投影面中的一个，使新
投影面与几何元素处于有利于解题的位置。
一、换面法的投影规律：
如图4-2中，先只看A点的投影。如图4-3 （a)所示。
a' V
A
a'1 x1
o
x ax a
V1
ax1 H a'1 V1
o1
图4-3 （a)
新的投影面必须垂直于原投影面体系中的一个投影面。 如 V1H ，这样 V1 与H才能构成一个新的两投影面体系。 a' a x Aa a1' a x1 展开时V不动， V1 摊平到与H在 由图可知 同一面上，然后H面连同 V1 一齐绕OX轴旋转到与V在同一 平面上。 画投影图时，为表示清楚，在OX以上标V，OX下标H，在 的一方标H，另一方标
工程上要解决的问题： （一） 定位问题：包括线面交点、两面交线、截交线、相 贯线
(二） 度量问题：包括求直线实长、平面实形、点线距、 点面距离、平行线间距、两交叉线距离、平行面距离、直 线及平面对投影面倾角、两面夹角、线面夹角等。 一、投影变换的目的：将原来处于一般位置的空间几何元 素，变换为有利于解题的位置。

CAD视图旋转与投影变换方法

CAD视图旋转与投影变换方法在设计领域中，CAD（计算机辅助设计）软件是一种强大的工具，它可以帮助工程师和设计师创建和修改技术图纸。

在使用CAD软件时，掌握视图旋转和投影变换方法是非常重要的，因为它们可以帮助我们查看和编辑设计的不同方面和角度。

本文将介绍一些常用的CAD视图旋转和投影变换方法。

一、视图旋转方法1. 三维旋转在CAD软件中，您可以通过使用旋转命令或工具栏上的旋转工具来旋转三维模型。

通常，您可以选择要旋转的对象或选择整个模型，然后定义旋转的起始点和旋转轴。

然后，您可以输入要旋转的角度，或使用鼠标进行交互式旋转，以便达到所需的视图旋转效果。

2. 二维旋转除了三维旋转，CAD软件还提供了二维旋转功能，用于旋转平面视图。

您可以选择要旋转的对象或选择整个图纸，并定义旋转的基准点。

然后，您可以输入旋转角度或通过鼠标进行交互式旋转，以获得所需的二维视图旋转效果。

3. 视图方向旋转有时候，您可能需要改变CAD模型的整体视图方向。

在CAD软件中，您可以使用命令或工具栏上的功能来进行视图方向旋转。

根据软件的不同，您可以选择不同的旋转选项，如俯视图、正视图、侧视图等。

通过选择不同的选项，您可以以不同的角度和视角查看和呈现CAD模型。

二、投影变换方法1. 透视投影透视投影是一种常见的投影变换方法，用于在二维平面上呈现三维对象。

在CAD软件中，您可以选择透视投影选项，并定义观察点、眼睛位置等参数。

通过设置不同的参数，您可以实现不同的透视投影效果，以便更好地展示和分析设计。

2. 正交投影与透视投影相比，正交投影是一种更为常用的投影变换方法。

在CAD软件中，正交投影可以帮助我们以正交（垂直）的方式查看和呈现三维模型。

通过选择正交投影选项，并定义投影方向（如前视图、侧视图等），您可以获得在二维平面上准确呈现的正交投影效果。

3. 投影视图除了透视投影和正交投影之外，投影视图也是常用的投影变换方法之一。

在CAD软件中，您可以选择投影视图选项，并定义投影面、位置和观察方向等参数。

测绘技术中的投影坐标变换方法解析

测绘技术中的投影坐标变换方法解析测绘技术是一门与地理信息与空间数据处理息息相关的学科，它的发展与应用对于地理空间数据的精准处理和利用具有重要意义。

而在测绘技术中，坐标变换是一个核心而关键的环节。

在实际测绘工作中，我们常常需要将不同的投影坐标系之间进行转换，以确保测绘数据的一致性与精确性。

本文将通过分析和解析几种常用的投影坐标变换方法，探讨其原理与应用。

第一种方法是七参数法。

这种方法是一种常见且经典的投影坐标变换方法。

它通过确定七个参数，即平移参数、比例参数和旋转参数，将一个坐标系转换为另一个坐标系。

其中，平移参数表示两个坐标系之间的平移关系，比例参数表示两个坐标系之间的缩放关系，旋转参数则表示两个坐标系之间的旋转关系。

通过确定这些参数，可以将不同坐标系的数据进行精准的投影变换。

第二种方法是四参数法。

相较于七参数法而言，四参数法更为简单且常用。

它只需要确定四个参数，即平移参数和比例参数，而不涉及旋转参数。

这种方法适用于地区较小、变形较小的情况下。

通过确定这些参数，可以实现坐标系的投影变换，保证测绘数据的一致性。

第三种方法是多项式法。

多项式法是一种基于多项式函数的投影坐标变换方法。

在实际应用中，我们可以通过多项式函数的表达式来描述坐标系之间的转换关系。

通过确定多项式的系数，可以实现坐标系的精确变换。

这种方法适用于各种形状和大小的地区，具有很高的适应性和灵活性。

第四种方法是大地坐标系与投影坐标系的转换方法。

大地坐标系与投影坐标系之间存在一定的差异，需要进行转换以确保数据的准确性。

这种方法根据地球椭球体的参数和坐标系的定义，通过各种数学计算方法将大地坐标系转换为投影坐标系。

这种方法是一种较为底层的转换过程，对测绘技术的精度要求较高。

此外，在投影坐标变换过程中，我们还需要注意一些常见问题。

首先，坐标系的选择十分重要。

不同地区和不同目的所需的坐标系可能会有所不同，需要根据具体情况进行选择。

其次，参数的确定也是一个关键环节。

第3章 投影变换

a) 直观图
图3-3 点的一次投影变换（变换H面）
X1 H1 XV H ax1 a1
X
ax
a
b) 投影图
用正垂面H1来代替H面，H1面和V面组成新投影体系V/H1，投影体系由V/H 变换为V/H1。新旧两体系具有同一个V面，因此a1ax1=Aa′ =aax。
无名湖畔论坛
b'
XH b k
V
O a
c
b1' a1'
k1'
作图过程如图4-21所示。
c1'
无名湖畔论坛 图3-21 过点A作直线与BC垂直相交
【例3-2】已知AB、CD是两条交叉直线，求两直线最短距 c' 离及其投影。
B
分析： 连接两交叉直线的线段中，只有它们 的公垂线最短。
M A C N
a
c
无名湖畔论坛 图3-10 一般位置平面变换为正垂面直观图
作图: 将一般位置平面变为正垂面的投影图。
b' a' k' 平面有积聚性的投影
步骤： ①找平面内的水平线;
c'
V XH
b1' a1' (k1')
②建新轴V1/H垂直于 ak，AK变成正垂线; ③平面变成垂直面， 有积聚性，反映平面 与H面的夹角。
无名湖畔论坛
一般位置平面变换为投影面的平行面，必须经过二次换面。
b'
a' k'
平 行
c'
X
V H
b1' a1' (k1') b2 a2 c1 '
b k a c
图3-13 一般位置平面变换为水平面
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

3.3.1 把一般位置平面旋转成投影面垂直面
只要将平面内的一条投影面平行线旋转成垂直于某投 影面，则平面就垂直于该投影面。
［例1］试求一般位置平面 ABC对V面的倾角β
分析：欲求一般位置平面ABC对V面的倾角β，须将 平面ABC旋转成为铅垂面，为此，应在平面内取一条正平 线（如CD），只要将正平线CD绕正垂轴(含C点)旋转成为 铅垂线，那么平面ABC就旋转成为铅垂面。
§３ 旋转法
如图所示，空间点A 绕直线OO旋转，点A称 为旋转点，直线OO称为 旋转轴。自A点向OO轴 引垂线，其垂足O称旋 转中心，AO称旋转半径， A点的旋转轨迹是以O为 圆心，以AO为半径的圆 周，称为轨迹圆，轨迹 圆所在的平面与旋转轴 垂直。
按旋转轴与投影面的相对位置不同，旋转法分为： 1)绕垂直于投影面的轴线旋转，简称绕垂直轴旋转。 2)绕平行于投影面的轴线旋转，简称绕平行轴旋转。 3)绕一般位置的轴线旋转。
ห้องสมุดไป่ตู้
3.1 点的旋转
如图所示，点A绕垂直于V面的OO轴(正垂轴)旋转，其 V投影反映轨迹圆实形，而H投影为过A点且平行于X轴的直 线段，其长度等于轨迹圆的直径。
如图所示，点A绕铅垂轴旋转，其H投影反映轨迹圆实 形，即H投影ａ沿圆周旋转θ角到ａ1，其V投影ａ′沿投影 轴的平行线移动至ａ1’，ａ′ａ1’∥ＯＸ。
［例2］已知一般位置直线AB的两投影，试求直线AB的β角
分析：欲求一般位置 直线的β角，需把直线AB 绕正垂轴旋转成水平线。
3.2.2 把投影面平行线旋转成投影面垂直线
某投影面的平行线绕该投影面的垂直轴旋转时，始终保 持与该投影面平行，而能改变对另一投影面的倾角。所以投 影面平行线可经一次旋转为投影面垂直线。
3.3 平面的旋转
平面的旋转是通过旋 转该平面所含不共直线的 三个点来实现的，旋转时， 必须遵循同轴、同方向、 同角度的规则。
平面的旋转性质：
1)平面绕垂直轴旋转时，平面在旋转轴所垂直的投影 面上的投影，其形状和大小都不变。
2)平面对旋转轴所垂直的那个投影面的倾角不变。
3)平面的另一个投影，其形状和大小发生改变，并且， 该平面对旋转轴所不垂直的那个投影面的倾角也改变。
作图步骤： 1）含点Ｃ作正垂轴ＯＯ：C∈OO，ｏｏ⊥ＯＸ；ｃ′与 ｏ′重合 2）作平面ABC内的正平线CD：ｃｄ∥ＯＸ，并求出ｃ′ ｄ′。 3）求平面的新投影：将ｃ′ｄ′旋转至ｃ’ｄ1’， ｃ’ ｄ1’⊥ＯＸ，ａ、ｂ旋转相同的角度，平面△ＡＢＣ就 成为铅垂面，它的水平投影ａ1ｃｂ1积聚成一直线。正面 投影ａ′、ｂ′依三同原则旋转至ａ1’、ｂ1’位置。 4）求β角：ａ1ｃｂ1与OX轴的夹角β即为所求。
直线旋转的基本性质
1)直线绕垂直轴旋转时，直线在旋转轴所垂直的投影面 上的投影长度不变。
2)直线对旋转轴所垂直的那个投影面的倾角不变。
3)直线在旋转轴所平行的投影面上的投影长度及对该投 影面的倾角都改变。
3.2.1 把一般位置直线旋转成投影面平行线
直线绕垂直轴旋转一次，就能改变直线对一个投影面的 倾角，因此，用绕垂直轴旋转的方法，求一般位置直线的实 长及对投影面的倾角时，只要旋转一次即可实现。
［例3］试将正平线AB旋转成为铅垂线
分析：正平线和铅垂线都平行于V面，因此，在旋转过程 中，直线对V面的倾角应保持不变，只改变它对H面的倾角， 所以应取正垂线为旋转轴。
作图步骤： 1）过点A作正垂轴OO：ａ∈ｏｏ，ｏｏ⊥ＯＸ； ａ′与ｏ′重合 2）以OO为轴，将AB旋转成铅垂线：即将正面投影 ｂ′沿圆周（ 以ａ′为圆心，以ａ′ｂ′为半径） 旋转至ｂ1’。 3）连接ｂ1’ａ′（ｂ1′ａ′⊥ＯＸ），水平投影 ａ与ｂ1重合。
［例2］试求一般位置平面ABC对H面的倾角α
分析：欲求一般位置平 面ABC对H面的倾角α，需 把平面ABC旋转成为正垂面。 为此应在平面内取一条水平 线CD，只要将水平线CD绕 铅垂轴（含C点）旋转成为 正垂线，那么，平面ABC就 旋转成为正垂面。
3.3.2 把投影面垂直面旋转成为投影面平行面
投影面垂直面绕同一投影面的垂直轴旋转时，可改变 垂直面对另一投影面的倾角。所以只要经一次旋转，就能 使垂直面旋转成为另一投影面的平行面。
由上可知点的旋转规律：当点绕垂直轴旋转时，点在与 旋转轴垂直的那个投影面上的投影作圆周运动，而另一投影 则沿与旋转轴垂直的直线移动。
3.2 直线的旋转
直线的旋转，仅需使属于 该直线的任意两点遵循绕同一 轴、沿相同方向、转同一角度 的规则作旋转，然后，把旋转 后的两个点连接起来。
如图所示，直线AB绕铅垂 轴OO按逆时针方向旋转θ角， 也就是使A、B两点分别绕OO轴 逆时针旋转θ角，按照点的旋 转规律求得ａ1b1、 ａ1’ b1’。
［例1］已知一般位置直线AB的两投影，试求直线AB的 实长和α角
分析：欲求一般位置直线AB的实长和α角，需把直线 AB绕铅垂轴旋转成正平线。为了作图简便，使该轴过直线 的一个端点，如A点，那么，只旋转B点即可。
作图步骤： 1）过点A作铅垂轴OO：ａ′∈ｏ′ｏ′，ｏ′ｏ′⊥ＯＸ 2）求新投影ｂ1、b’1：将水平投影ｂ以ｏ（ｏ与ａ重合） 为圆心，ａｂ为半径旋转至ｂ1，ａｂ1∥ＯＸ，b1’沿OX轴平 行线平移至b’。 3）连接ａ’ｂ1’、ａｂ1；ａ′ｂ1’反映AB的实长。 4）确定α角：ａ′ｂ1’与OX轴的夹角α即为所求。
［例3］试将正垂面ABC 旋转成为水平面
作图步骤：
1）作β＝４５°的水平线ＭＮ1：作ｍｎ1，使ｍｎ1 与OX轴的夹角为４５°，ｍ′ｎ1’∥ＯＸ。
2）过点M作正垂轴OO：ｍ∈ｏｏ，ｏｏ⊥ＯＸ；ｍ ′与ｏ′重合。
3）将正面投影ｎ1’旋转至ａ′ｂ′上的ｎ′位置， 同时求出水平投影ｎ，ｎ∈ａｂ。
4）连接ｍ′ｎ′，ｍｎ，即为所求。