(余弦定理1)

第二十三课时 正弦定理和余弦定理考纲要求：正弦定理、余弦定理及其应用(B)知识梳理：2.三角形中常用的面积公式(1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)．(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为△ABC 内切圆的半径)．基础训练：1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .( )(2)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( ) (3)在△ABC 中，有sin A ＝sin(B ＋C )．( )(4)在△ABC 中，asin A ＝a ＋b －c sin A ＋sin B －sin C.( )(5)在△ABC 中，若a 2＋b 2<c 2，则△ABC 为钝角三角形．( )(6)公式S ＝12ab sin C 适合求任意三角形的面积．( )(7)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√ (6)√ (7)√2．在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，c ＝20，则a ＝________. 答案：10(32－6)3．在△ABC 中，若a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝________.答案：634．已知△ABC 中，a ＝2，b ＝3，cos C ＝35，则此三角形的面积S 的值为________．答案：125[典题1](1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，∠A ＝2π3，则∠B ＝________.(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sinB ，则c ＝________.(3)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．①求sin B sin C；②若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．解析：(1)在△ABC 中，根据正弦定理a sin A ＝bsin B，有3sin 2π3＝6sin B ，可得sin B ＝22.因为∠A 为钝角，所以∠B ＝π4.(2)∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b . 又a ＝2，∴b ＝3.由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴c 2＝22＋32－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16，∴c ＝4. (3)①S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ， 所以AB ＝2AC .由正弦定理，得sin B sin C ＝AC AB ＝12.②因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC . 故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6. 由①，知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.答案：(1)π4(2)4小结：(1)解三角形时，若式子中含有角的余弦或边的二次式，则要考虑用余弦定理；若式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；若以上特征都不明显，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是惟一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不惟一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．练习：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C .(1)求角A 的大小；(2)若cos B ＝13，a ＝3，求c 的值．解：(1)由正弦定理可得b 2＋c 2＝a 2＋bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)由(1)可知sin A ＝32，因为cos B ＝13，B 为△ABC 的内角，所以sin B ＝223，故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝32×13＋12×223＝3＋226. 由正弦定理a sin A ＝csin C得c ＝a sin A sin C ＝332×3＋226＝1＋263.[典题2] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，试判断△ABC 的形状．解析： 依据题设条件的特点，由正弦定理，得sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2A ，有sin(B ＋C )＝sin 2A ， 从而sin(B ＋C )＝sin A ＝sin 2A ，解得sin A ＝1，∴A ＝π2，△ABC 是直角三角形．[探究1] 若将本例条件改为“2sin A cos B ＝sin C ”，试判断△ABC 的形状．解：法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π<A －B <π，所以A ＝B ，故△ABC 为等腰三角形．法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得 2a ·a 2＋c 2－b 22ac＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b ，故△ABC 为等腰三角形．[探究2] 若将本例条件改为“(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )”，试判断三角形的形状．解：∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2， 即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B .法一：由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ，又sin A ·sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B .在△ABC 中，0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 法二：由正弦定理、余弦定理得： a 2b b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， ∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0. 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．[探究3] 若将本例条件改为：“2a sin A ＝(2b ＋c )·sin B ＋(2c ＋b )sin C ，且sin B ＋sin C ＝1”，试判断△ABC 的形状．解：由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ，cos A ＝－12，sin A ＝32，则sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C .又sin B ＋sin C ＝1，所以sin B sin C ＝14，解得sin B ＝sin C ＝12.因为0<B <π2，0<C <π2，故B ＝C ＝π6，所以△ABC 是等腰钝角三角形． 小结：(1)判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．(2)判断三角形形状主要有以下两种途径： ①通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；②利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．[典题3] 已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C . (1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积． 解析：(1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac . 又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14.(2)由(1)知b 2＝2ac .因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2，故a 2＋c 2＝2ac ，进而可得c ＝a ＝ 2.所以△ABC 的面积为12×2×2＝1.小结：三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc ·sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．练习：1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若c ＝4，sin C ＝2sin A ，sin B ＝154，则S △ABC ＝________.解析：∵sin C ＝2sin A ，由正弦定理可得c ＝2a ，∵c ＝4，∴a ＝2，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×4×154＝15.答案：152．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值．解：(1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C ，所以－cos 2B ＝sin 2C .①又A ＝π4，故B ＋C ＝3π4，可得－cos 2B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ，② 由①②解得tan C ＝2.(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)，得sin C ＝255，cos C ＝55.因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C ， 所以sin B ＝31010.由正弦定理得c ＝22b3，又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3. 总结：1．在利用正、余弦定理解决三角形问题时，应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．2．在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B . 注意：1．在解三角形或判断三角形形状时，要注意三角函数值的符号和角的范围，防止出现增解、漏解．2．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论．课后作业：1．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝2a sin B ，则A ＝________. 解析：因为在锐角△ABC 中，b ＝2a sin B ，由正弦定理得，sin B ＝2sin A sin B ，所以sin A ＝12，又0<A <90°，所以A ＝30°.答案：30°2．在△ABC 中，已知AB ＝5，BC ＝3，∠B ＝2∠A ，则边AC 的长为________．解析：在△ABC 中，AB ＝c ＝5，BC ＝a ＝3，AC ＝b ，∠B ＝2∠A ，由正弦定理b sin B ＝asin A，得b sin 2A ＝3sin A ，即b 2sin A cos A ＝3sin A ，整理得，b ＝6cos A ，故cos A ＝b 6，再由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即9＝b 2＋25－10b ·b6，解得b ＝26(负值舍去)，故AC ＝b ＝2 6.答案：263．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝________.解析：由题意可得12AB ·BC ·sin B ＝12，又AB ＝1，BC ＝2，所以sin B ＝22，所以B ＝45°或B ＝135°.当B ＝45°时，由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1，此时AC ＝AB ＝1，BC ＝2，易得A ＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B ＝135°.由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝ 5.答案：54．在△ABC 中，若a 2－b 2＝3bc 且sin (A ＋B )sin B＝23，则A ＝________.解析：因为sin (A ＋B )sin B ＝23，故sin Csin B ＝23，即c ＝23b ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12b 2－3bc 43b 2＝6b 243b 2＝32，所以A ＝π6.答案：π65.如图，在△ABC 中，已知B ＝π4，D 是BC 边上一点，AD ＝10，AC ＝14，CD ＝6，则AB ＝________.解析：∵AD ＝10，AC ＝14，CD ＝6，∴由余弦定理得cos C ＝AC 2＋CD 2－AD 22AC ·CD＝142＋62－1022×14×6＝1114， ∴sin C ＝ 1－⎝⎛⎭⎫11142＝5314，由正弦定理得AB sin C ＝AC sin B ，即AB ＝AC ·sin Csin B＝5 6.答案：566．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，三角形的面积S ＝3，则三角形外接圆的半径为________．解析：由面积公式，得S ＝12bc sin A ，代入得c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，故a ＝23，由正弦定理，得2R ＝a sin A ＝2332，解得R ＝2.答案：27．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b＝________.解析：在△ABC 中，∵sin B ＝12，0<B <π，∴B ＝π6或B ＝5π6.又∵B ＋C <π，C ＝π6，∴B ＝π6，∴A ＝π－π6－π6＝2π3.∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin B sin A ＝1. 答案：18．在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________.解析：如图，在△ABD 中，由正弦定理，得sin ∠ADB ＝AB sin B AD ＝2×323＝22.由题意知0°<∠ADB <60°，所以∠ADB ＝45°，则∠BAD ＝180°－∠B －∠ADB ＝15°，所以∠BAC ＝ 2∠BAD ＝30°，所以∠C ＝180°－∠BAC －∠B ＝30°，所以BC ＝AB ＝2，于是由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 120°＝(2)2＋(2)2－22×2×⎝⎛⎭⎫－12＝ 6.答案：69．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．解析：由正弦定理得(2＋b )(a －b )＝(c －b )c ，即(a ＋b )(a －b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.又A ∈(0，π)，所以A ＝π3，又b 2＋c 2－a 2＝bc ≥2bc －4，即bc ≤4，故S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立，则△ABC 面积的最大值为 3.答案：310．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C ＝________.解析：因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，所以结合三角形的面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2C sin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)．答案：－4311．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin 2A ＋sin 2B ＋sin A sinB ＝sin 2C ，则a ＋bc的取值范围为________．解析：由正弦定理得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴C ＝2π3.由正弦定理得a ＋b c ＝sin A ＋sin B sin C ＝233·(sin A ＋sin B )，又A ＋B ＝π3，∴B ＝π3－A ，∴sin A ＋sinB ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3.又0<A <π3，∴π3<A ＋π3<2π3，∴sin A ＋sin B ∈⎝⎛⎦⎤32，1，∴a ＋b c ∈⎝⎛⎦⎤1，233.答案：⎝⎛⎦⎤1，23312.在△ABC 中，∠A ＝3π4，AB ＝6，AC ＝32，点D 在BC 边上，AD ＝BD ，求AD 的长．解：设△ABC 的内角∠BAC ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ， 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos ∠BAC＝(32)2＋62－2×32×6×cos 3π4＝18＋36－(－36)＝90， 所以a ＝310.又由正弦定理得sin B ＝b sin ∠BAC a ＝3310＝1010，由题设知0＜B ＜π4，所以cos B ＝1－sin 2B ＝ 1－110＝31010.在△ABD 中，因为AD ＝BD ，所以∠ABD ＝∠BAD ， 所以∠ADB ＝π－2B ， 故由正弦定理得AD ＝AB ·sin B sin (π－2B )＝6sin B 2sin B cos B ＝3cos B＝10.13.已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求A 的值．解：(1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理得4＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .∵△ABC 的面积等于3，∴12ab sin C ＝3，∴ab ＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，∴sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， ∴sin B cos A ＝2sin A cos A ，①当cos A ＝0时，A ＝π2；②当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得a ＝233，b ＝433，∴b 2＝a 2＋c 2.∵C ＝π3，∴A ＝π6.综上所述，A ＝π2或A ＝π6.14．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角的对边，且a ＋b ＝3c sin A ＋c cos A . (1)求角C ；(2)如图，设D 为BC 的中点，且AD ＝2，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由正弦定理可得sin A ＋sin B ＝3sin C sin A ＋sin C cos A ， 又A ＋B ＋C ＝π，∴sin A ＋sin(A ＋C )＝3sin C sin A ＋sin C cos A ， 整理可得1＋cos C ＝3sin C ，即3sin C －cos C ＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫C －π6＝12. 又C ∈(0，π)，∴C －π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，5π6， ∴C －π6＝π6，∴C ＝π3.(2)由余弦定理可得AD 2＝CA 2＋CD 2－2CA ·CD ·cos C＝CA 2＋CD 2－CA ·CD ＝b 2＋a 24－ab 2≥ab －ab 2＝ab 2当且仅当b ＝a2时取等号．∴ab 2≤4，故S △ABC ＝12ab ·sin C ≤23， ∴△ABC 面积的最大值为2 3.15.在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝10，cos B ＝255，D 为AC 的中点，求BD 的长．解：(1)因为2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ， 由正弦定理得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ， 整理得2a 2＝2b 2＋2c 2－2bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2bc 2bc ＝22，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π4.(2)由cos B ＝255，得sin B ＝1－cos 2B ＝1－45＝55，所以cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－⎝⎛⎭⎫22×255－22×55＝－1010. 由正弦定理得b ＝a sin Bsin A ＝10×5522＝2，所以CD ＝12AC ＝1，在△BCD 中，由余弦定理得BD 2＝(10)2＋12－2×1×10×⎝⎛⎭⎫－1010＝13，所以BD ＝13.。

余弦定理公式大全余弦定理是解决三角形问题时经常使用的重要公式，可以通过它计算三角形的边长或角度。

它的表达式是：c² = a² + b² - 2ab*cos(C)其中，a、b、c分别代表三角形的边长，C代表夹在边a和边b之间的角度。

1.角度公式：根据余弦定理公式，我们可以解出夹在边a和边b之间的角度C的值：cos(C) = (a² + b² - c²) / 2ab通过这个公式，如果我们已知三角形的三个边长a、b、c，就可以计算出夹在边a和边b之间的角度C的大小。

2.边长公式：根据余弦定理公式，我们可以解出边c的值：c = √(a² + b² - 2ab*cos(C))通过这个公式，如果我们已知三角形的两个边长a、b和夹在边a和边b之间的角度C，就可以计算出边c的长度。

3.面积公式：根据余弦定理公式，我们可以推导出三角形的面积公式：S = 1/2 * a * b * sin(C)其中，S代表三角形的面积。

通过这个公式，如果我们已知三角形的两个边长a、b和夹在边a和边b之间的角度C，就可以计算出三角形的面积。

4.费马定理公式：根据余弦定理公式，我们可以推导出费马点定理公式：AF² + BF² + CF² = 4S² / sqrt(3)其中，AF、BF、CF分别代表三角形的三个顶点到费马点的距离，S代表三角形的面积。

通过这个公式，如果我们已知三角形的面积S，就可以计算出费马点到三个顶点的距离。

总结：余弦定理提供了一种解决三角形问题的强大工具。

通过余弦定理公式，我们可以计算三角形的边长、角度和面积等相关参数。

这些公式的应用范围非常广泛，是解决三角形问题时的基础知识之一、掌握了余弦定理公式，我们就可以快速准确地解决三角形相关的数学问题。

江苏省白蒲高级中学必修 5 活动单 柳永红组 2014-2-17余弦定理（一）【学习目标 】掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形中的相关问题； 【活动过程 】活动一：余弦定理内容及证明1.如图 Rt ABC 中，有 a 2b 22思考：图（ ）（ ）中，能否用 b, c, A 表示 a ？c . 1 2（提示：可以添加辅助线构造直角三角形来推导）CCBbaaa cbcBC b AA cBA（ 2）（ 1）2. 归纳余弦定理回顾正弦定理的证明，余弦定理还可以用哪些方法来证明？活动二：应用余弦定理解三角形例 1： (1)在ABC中，b 3, c 1, A60o求 a ；(2) 在ABC中，b 5,c 6, a31，求A小结：利用余弦定理，可以解决哪些类型的三角形问题？在ABC中满足222求角C的值例 2：a b ab c ,例 3：在ABC 中， sin A : sin B : sin C 3: 5: 7 ，则这个三角形的最大角等于________活动三：应用余弦定理进行简单证明例 4：（ 1）用余弦定理证明：在ABC 中， a b cosC c cos B（ 2）用余弦定理证明：在ABC 中，当 C 为锐角时，a2b2c2；当 C 为钝角时，a2b2c2思考：在ABC 中，当 a2b2c2时，ABC 为锐角三角形吗？活动四：课堂小结反馈练习：1.在 ABC 中，①已知b4,c 7, A 60 ，求 a ；②已知a7, b 5, c 3 ，求 A .3．若ABC 中，若 (a b c)(b c a) 3bc ，则 A =_____________.3. 在ABC 中，若 a 7, b 8,cos C 13，则最大角的余弦值是 ____________ 14。

1.2余弦定理（1）（时间：）1.掌握余弦定理的内容；2.掌握余弦定理的证明方法；余弦定理的证明及其应用.余弦定理的证明，余弦定理在解三角形时应用思路.读记教材交流问题1：余弦定理的内容是什么？问题2：怎么推导余弦定理？问题3：由余弦定理怎么判断角的大小？问题4：利用余弦定理能够解决斜三角形中的哪些类型问题？中，【例1】在ABC（1）已知3=b ，1=c ，︒=60A ，求a ；（2）已知654===c b a ，，，求A cos ，A tan ．【例2】用余弦定理证明：在ABC ∆中，当C ∠为锐角时，222c b a >+；当C ∠为钝角时，222c b a <+．： ：1．在ABC ∆中，（1）已知︒=60A ，4=b ，7=c ，求a ； （2）已知7=a ，5=b ，3=c ，求A ．2.若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段能构成（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不是钝角三角形3.在ABC ∆中，已知222a b ab c ++=，求C 的大小．4.两游艇自某地同时出发，一艇以h km /10的速度向正北行驶，另一艇以8/km h 的速度向北偏东060方向行驶，问：经过30min ，两艇相距多远？一、填空题1．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ＝________.2．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c ＝______________.3．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为________．4．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B ＝____________.5．△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________.6．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于________．7．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边)，则△ABC 的形状 为________．8．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2 (a >0，b >0)，则最大角为________．9．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为________．10．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________.二、解答题11．在△ABC 中，已知CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．12．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长； (3)求△ABC 的面积．水平提升13．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是____________．14．在△ABC中，a cos A＋b cos B＝c cos C，试判断三角形的形状．1.2余弦定理(一)答案作业设计1．120° 2. 3 3.π6解析 ∵a>b>c ，∴C 为最小角， 由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32.∴C ＝π6. 4．2解析 b cos C ＋c cos B ＝b·a 2＋b 2－c 22ab ＋c·c 2＋a 2－b 22ac ＝2a 22a＝a ＝2. 5．30°解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋42－2×2×4×cos 60°＝12，∴c ＝2 3.由正弦定理：a sin A ＝c sin C 得sin A ＝12.∵a<c ，∴A<60°，A ＝30°. 6.34解析 ∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a·2a ＝34. 7．直角三角形解析 ∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c， ∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc⇒a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理． 故△ABC 为直角三角形． 8．120°解析 易知：a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，设最大角为θ，则cos θ＝a 2＋b 2－(a 2＋ab ＋b 2)22ab ＝－12，∴θ＝120°. 9．45°解析 ∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ， ∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C.由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴C ＝45° .10．－23解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝3，∴c ＝4.由余弦定理得， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113，sin C ＝1213，∴tan C ＝－12＝－2 3. 11．解 由条件知：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49⇒x ＝7. 所以，所求中线长为7.12．解 (1)cos C ＝cos [π－(A ＋B)]＝－cos (A ＋B)＝－12，又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°. (2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b)2－ab ＝10，∴AB ＝10.(3)S △ABC ＝12ab sin C ＝32. 13.3解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC ＝22，∴sin C ＝22.∴AD ＝AC·sin C ＝ 3.14．解 由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab， 代入已知条件得a·b 2＋c 2－a 22bc ＋b·a 2＋c 2－b 22ac ＋c·c 2－a 2－b 22ab＝0， 通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0，展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4.∴a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2.根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．。

高考数学一轮复习---正弦定理和余弦定理（一）一、基础知识1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．正弦定理的常见变形：(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R； (3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(4)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A . 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .3．三角形的面积公式(1)S △ABC ＝12ah a (h a 为边a 上的高)； (2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ； (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)． 二、常用结论汇总1．三角形内角和定理在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C 2. 2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ； (2)cos(A ＋B )＝－cos C ；(3)sin A ＋B 2＝cos C 2； (4)cos A ＋B 2＝sin C 2. 3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B .4．用余弦定理判断三角形的形状在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，当b 2＋c 2－a 2>0时，可知A 为锐角；当b 2＋c 2－a 2＝0时，可知A 为直角；当b 2＋c 2－a 2<0时，可知A 为钝角．三、考点解析考点一 利用正、余弦定理解三角形考法(一) 正弦定理解三角形例.(1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝30°，则cos B ＝________.(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.考法(二) 余弦定理解三角形例.(1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos A ＋a cos B ＝c 2，a ＝b ＝2，则△ABC 的周长为( )A ．7.5B ．7C ．6D ．5(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b 2c －a ＝sin A sin B ＋sin C，则角B ＝________.跟踪训练1.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( )A.24 B ．－24 C.34 D ．－34 2.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B. π6C.π4D.π33.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C .(1)求角A 的大小；(2)若cos B ＝13，a ＝3，求c 的值． 考点二 判定三角形的形状例、(1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝a c，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形变式练习1.(变条件)若本例(1)条件改为“a sin A ＋b sin B <c sin C ”，那么△ABC 的形状为________．2.(变条件)若本例(1)条件改为“c －a cos B ＝(2a －b )cos A ”，那么△ABC 的形状为________．3.(变条件)若本例(2)条件改为“cos A cos B ＝b a ＝2”，那么△ABC 的形状为________． 课后作业1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin A a ＝cos B b，则B 的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定3．在△ABC 中，cos B ＝a c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角三角形4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( ) A ．14 B ．6 C.14 D.65．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π66．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2(b cos A ＋a cos B )＝c 2，b ＝3,3cos A ＝1，则a ＝( ) A. 5 B ．3 C.10 D ．47．在△ABC 中，AB ＝6，A ＝75°，B ＝45°，则AC ＝________.8．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________. 9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，且a ＝2c ，则cos A ＝________.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝2B .(1)求证：a ＝2b cos B ；(2)若b ＝2，c ＝4，求B 的值．12．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．提高训练1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2c os 2A ＋B 2－cos 2C ＝1,4sin B ＝3sin A ，a －b ＝1，则c 的值为( ) A.13 B.7 C.37 D ．62．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，2sin A a ＝t a n C c，若sin(A －B )＋sin C ＝2sin 2B ，则a ＋b ＝________.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos C －c ＝2b .(1)求角A 的大小；(2)若c ＝2，角B 的平分线BD ＝3，求a .。

初中数学如何使用余弦定理计算三角形的边长或角度在初中数学中，余弦定理是求解三角形边长和角度的一种重要工具。

余弦定理建立了三角形的三条边和对应角度之间的关系，可以帮助我们求解未知边长或角度的问题。

本文将详细介绍如何使用余弦定理计算三角形的边长或角度。

定义：在任意三角形ABC中，设三边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C。

根据余弦定理，我们有以下关系式：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosCb^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosBa^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosA应用：1. 已知两个边长和对应夹角，求解第三边的长度。

在已知两个边长和对应夹角的情况下，我们可以通过余弦定理求解第三边的长度。

具体步骤如下：（1）根据已知边长和夹角的余弦定理关系式，求解未知边长的平方。

（2）取平方根得到未知边长的值。

例如，已知三角形ABC中，边长a和b的长度分别为3和4，夹角C的度数为60度，求解边长c的值。

解：根据余弦定理，我们有：c^2 = 3^2 + 4^2 - 2*3*4*cos60°化简得：c^2 = 25 - 12c^2 = 13因此，边长c的值为根号下13。

2. 已知三个边长，求解对应夹角的度数。

在已知三个边长的情况下，我们可以通过余弦定理求解对应夹角的度数。

具体步骤如下：（1）根据余弦定理，求解三个夹角的余弦值。

（2）根据反余弦函数，求解三个夹角的度数。

例如，已知三角形ABC的边长分别为3、4、5，求解对应夹角的度数。

解：根据余弦定理，我们有：cosA = (4^2 + 5^2 - 3^2) / (2*4*5)cosB = (3^2 + 5^2 - 4^2) / (2*3*5)cosC = (3^2 + 4^2 - 5^2) / (2*3*4)化简得：cosA = 0.6cosB = 0.8cosC = 0因此，角A的度数为arccos(0.6)≈53.13°，角B的度数为arccos(0.8)≈36.87°，角C的度数为arccos(0)≈90°。

1.2 余弦定理（1）江苏省靖江高级中学 朱锦萍教学目标：1. 掌握余弦定理及其证明方法；2. 初步掌握余弦定理的应用；3. 培养学生推理探索数学规律和归纳总结的思维能力．教学重点：余弦定理及其应用． 教学难点：用解析法证明余弦定理．教学方法：发现教学法．教学过程：一、问题情境在上节中，我们通过等式AC BA BC +=的两边与AD （AD 为ABC ∆中BC 边上的高）作数量积，将向量等式转化为数量关系，进而推出了正弦定理．Cc Bb Aa sin sin sin ==．探索1 还有其他途径将向量等式AC BA BC +=数量化吗？ 二、学生活动向量的平方是向量数量化的一种手段． 因为AC BA BC +=（如图1），所以）（）（AC BA AC BA BC BC +⋅+=⋅222AC BA AC BA +⋅+=ABC图1222cos 2)180bA cb c ACA +-=+-︒+=即 A bc c b a cos 2222-+=， 同理可得 B ac c a b cos 2222-+=，Cab B a ccos 2222-+=．上述等式表明，三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．引出课题——余弦定理．三、建构数学对任意三角形，有余弦定理：A bc c b acos 2222-+=，B ac c a b cos 2222-+=， Cab b a ccos 2222-+=．探索2：回顾正弦定理的证明，尝试用其他方法证明余弦定理． 师生共同活动，探索证明过程．经过讨论，可归纳出如下方法． 方法一：如图2建立直角坐标系，则)0,(),sin ,cos (),0,0(b C A c A c B A ． 所以()()22222222sin cos sin cos bc A c A c A c b A c a -+=+-=A bc c b cos 222-+=．同理可证：B ac c a b cos 2222-+=，Cab b a ccos 2222-+=．方法二：若A 是锐角，如图3，由B 作AC BD ⊥，垂足为D ，则A c AD cos =．图2BCAD 图3所以，22222222(AC AD )AC AD 2AC AD BDa D C BD BD =+=-+=+-⋅+A bc c b AD AC BD ADACcos 22-)(22222-+=⋅++=，即A bc c b a cos 2222-+=，类似地，可以证明当A 是钝角时，结论也成立，而当A 是直角时，结论显然成立．同理可证 B ac c a b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=． 方法三：由正弦定理，得)sin(2sin 2C B R A R a +==． 所以)cos cos sin sin 2sincoscos (sin4)(sin 422222222C B C B C B C B R C B R a++=+= ]cos cos sin sin 2sin )sin 1()sin 1([sin 422222C B C B C B C B R +-+-=)]cos(sin sin 2sin[sin 4222C B C B C B R +++=A C RB RC R B R cos )sin 2)(sin 2(2sin4sin42222-+=A bc c b cos 222-+=．同理可证 B ac c a b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=． 余弦定理也可以写成如下形式：bc ac b A 2cos 222-+=，ca ba c B 2cos 222-+=，abcb a C 2cos 222-+=．探索3 利用余弦定理可以解决斜三角形中的哪些类型问题？ 利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题： （1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．四、数学运用 1．例题．例1 在ABC ∆中，（1）已知︒===60,1,3A c b ，求a ；（2）已知,6,10,7===c b a 求最大角的余弦值． 解 （1）由余弦定理，得 760cos 13213cos 222222=︒⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a ， 所以 7=a ．（2） 因为b a c <<，所以B 为最大角， 由余弦定理，得28576210762cos 222222-=⨯⨯-+=-+=caba c B ．例2 用余弦定理证明：在ABC ∆中，当C ∠为锐角时，222c b a >+；当C ∠为钝角时，222c b a <+．证明：当C ∠为锐角时，0cos >C ，由余弦定理得22222cos 2ba C ab b ac +<-+=即 222c b a >+；同理可证，当C ∠为钝角时，222c b a <+． 2．练习．（1）在ABC ∆中，已知3,5,7===c b a ，求A ．（2）若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段（ ） A. 能组成直角三角形 B. 能组成锐角三角形C. 能组成钝角三角形D. 不能组成三角形 （3）在ABC ∆中，已知222c ab b a =++，试求C 的大小． 练习答案： （1）32π=A （2）B （3）32π=C五、要点归纳与方法小结本节课我们得出了任一三角形的三边及其一角之间的关系，即余弦定理．余弦定理可以解决斜三角形中这样的两类问题：已知三边，求三个角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．。