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高考数学一轮复习---正弦定理和余弦定理（一）一、基础知识1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．正弦定理的常见变形：(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R； (3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(4)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A . 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .3．三角形的面积公式(1)S △ABC ＝12ah a (h a 为边a 上的高)； (2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ； (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)． 二、常用结论汇总1．三角形内角和定理在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C 2. 2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ； (2)cos(A ＋B )＝－cos C ；(3)sin A ＋B 2＝cos C 2； (4)cos A ＋B 2＝sin C 2. 3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B .4．用余弦定理判断三角形的形状在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，当b 2＋c 2－a 2>0时，可知A 为锐角；当b 2＋c 2－a 2＝0时，可知A 为直角；当b 2＋c 2－a 2<0时，可知A 为钝角．三、考点解析考点一 利用正、余弦定理解三角形考法(一) 正弦定理解三角形例.(1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝30°，则cos B ＝________.(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.考法(二) 余弦定理解三角形例.(1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos A ＋a cos B ＝c 2，a ＝b ＝2，则△ABC 的周长为( )A ．7.5B ．7C ．6D ．5(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b 2c －a ＝sin A sin B ＋sin C，则角B ＝________.跟踪训练1.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( )A.24 B ．－24 C.34 D ．－34 2.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B. π6C.π4D.π33.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C .(1)求角A 的大小；(2)若cos B ＝13，a ＝3，求c 的值． 考点二 判定三角形的形状例、(1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝a c，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形变式练习1.(变条件)若本例(1)条件改为“a sin A ＋b sin B <c sin C ”，那么△ABC 的形状为________．2.(变条件)若本例(1)条件改为“c －a cos B ＝(2a －b )cos A ”，那么△ABC 的形状为________．3.(变条件)若本例(2)条件改为“cos A cos B ＝b a ＝2”，那么△ABC 的形状为________． 课后作业1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin A a ＝cos B b，则B 的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定3．在△ABC 中，cos B ＝a c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角三角形4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( ) A ．14 B ．6 C.14 D.65．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π66．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2(b cos A ＋a cos B )＝c 2，b ＝3,3cos A ＝1，则a ＝( ) A. 5 B ．3 C.10 D ．47．在△ABC 中，AB ＝6，A ＝75°，B ＝45°，则AC ＝________.8．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________. 9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，且a ＝2c ，则cos A ＝________.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝2B .(1)求证：a ＝2b cos B ；(2)若b ＝2，c ＝4，求B 的值．12．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．提高训练1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2c os 2A ＋B 2－cos 2C ＝1,4sin B ＝3sin A ，a －b ＝1，则c 的值为( ) A.13 B.7 C.37 D ．62．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，2sin A a ＝t a n C c，若sin(A －B )＋sin C ＝2sin 2B ，则a ＋b ＝________.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos C －c ＝2b .(1)求角A 的大小；(2)若c ＝2，角B 的平分线BD ＝3，求a .。
1.2 余弦定理（1）江苏省靖江高级中学 朱锦萍教学目标：1. 掌握余弦定理及其证明方法；2. 初步掌握余弦定理的应用；3. 培养学生推理探索数学规律和归纳总结的思维能力．教学重点：余弦定理及其应用． 教学难点：用解析法证明余弦定理．教学方法：发现教学法．教学过程：一、问题情境在上节中，我们通过等式AC BA BC +=的两边与AD （AD 为ABC ∆中BC 边上的高）作数量积，将向量等式转化为数量关系，进而推出了正弦定理．Cc Bb Aa sin sin sin ==．探索1 还有其他途径将向量等式AC BA BC +=数量化吗？ 二、学生活动向量的平方是向量数量化的一种手段． 因为AC BA BC +=（如图1），所以）（）（AC BA AC BA BC BC +⋅+=⋅222AC BA AC BA +⋅+=ABC图1222cos 2)180bA cb c ACA +-=+-︒+=即 A bc c b a cos 2222-+=， 同理可得 B ac c a b cos 2222-+=，Cab B a ccos 2222-+=．上述等式表明，三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．引出课题——余弦定理．三、建构数学对任意三角形，有余弦定理：A bc c b acos 2222-+=，B ac c a b cos 2222-+=， Cab b a ccos 2222-+=．探索2：回顾正弦定理的证明，尝试用其他方法证明余弦定理． 师生共同活动，探索证明过程．经过讨论，可归纳出如下方法． 方法一：如图2建立直角坐标系，则)0,(),sin ,cos (),0,0(b C A c A c B A ． 所以()()22222222sin cos sin cos bc A c A c A c b A c a -+=+-=A bc c b cos 222-+=．同理可证：B ac c a b cos 2222-+=，Cab b a ccos 2222-+=．方法二：若A 是锐角，如图3，由B 作AC BD ⊥，垂足为D ，则A c AD cos =．图2BCAD 图3所以，22222222(AC AD )AC AD 2AC AD BDa D C BD BD =+=-+=+-⋅+A bc c b AD AC BD ADACcos 22-)(22222-+=⋅++=，即A bc c b a cos 2222-+=，类似地，可以证明当A 是钝角时，结论也成立，而当A 是直角时，结论显然成立．同理可证 B ac c a b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=． 方法三：由正弦定理，得)sin(2sin 2C B R A R a +==． 所以)cos cos sin sin 2sincoscos (sin4)(sin 422222222C B C B C B C B R C B R a++=+= ]cos cos sin sin 2sin )sin 1()sin 1([sin 422222C B C B C B C B R +-+-=)]cos(sin sin 2sin[sin 4222C B C B C B R +++=A C RB RC R B R cos )sin 2)(sin 2(2sin4sin42222-+=A bc c b cos 222-+=．同理可证 B ac c a b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=． 余弦定理也可以写成如下形式：bc ac b A 2cos 222-+=，ca ba c B 2cos 222-+=，abcb a C 2cos 222-+=．探索3 利用余弦定理可以解决斜三角形中的哪些类型问题？ 利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题： （1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．四、数学运用 1．例题．例1 在ABC ∆中，（1）已知︒===60,1,3A c b ，求a ；（2）已知,6,10,7===c b a 求最大角的余弦值． 解 （1）由余弦定理，得 760cos 13213cos 222222=︒⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a ， 所以 7=a ．（2） 因为b a c <<，所以B 为最大角， 由余弦定理，得28576210762cos 222222-=⨯⨯-+=-+=caba c B ．例2 用余弦定理证明：在ABC ∆中，当C ∠为锐角时，222c b a >+；当C ∠为钝角时，222c b a <+．证明：当C ∠为锐角时，0cos >C ，由余弦定理得22222cos 2ba C ab b ac +<-+=即 222c b a >+；同理可证，当C ∠为钝角时，222c b a <+． 2．练习．（1）在ABC ∆中，已知3,5,7===c b a ，求A ．（2）若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段（ ） A. 能组成直角三角形 B. 能组成锐角三角形C. 能组成钝角三角形D. 不能组成三角形 （3）在ABC ∆中，已知222c ab b a =++，试求C 的大小． 练习答案： （1）32π=A （2）B （3）32π=C五、要点归纳与方法小结本节课我们得出了任一三角形的三边及其一角之间的关系，即余弦定理．余弦定理可以解决斜三角形中这样的两类问题：已知三边，求三个角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．。
