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辽宁工学院学报 ( 自然科学版 ) 第 19 卷第 5 期 94
i
i
j
j
j
A m×n =
j
rj - ri
→
j
ri + rj i
→
j
rj - ri i
( - 1) r j i i
由于交换两行可由“ 倍加和倍乘” 替代 , 故由“ 倍加和倍乘” 所交换的两行 , 其倍加和倍乘 象与原象间的对应 , 不再与交换象与原象间的对应相同。 这正是用行初等变换求行向量组最 大无关组种种争议的根源。 例 1 文献 [ 2] 中断言“ 不能用行初等变换求行向量组最大无关组” 的反例
朱振广 : 初等变换间的关系及其涉及的一些问题
95
4 行变换保持行向量子组线性相关性的条件
命题 用行倍加初等变换化矩阵 A 为 B , 任取 B 的行向量组的一个最大无关组 …,
i
k
i
1
,
i
2
,
, 不能保证它的倍加原象
i
1
,
i
2
, …,
i
k
也为 A 之行向量组的最大无关组。
例 4 把下矩阵 A 用 r 2 + r 1 化为 B , 则 B 中的 2 , 3 为一最大无关组 , 但 2 , 3 却不是 A 的最大无关组。这类问题出在曾把第一行加到第 2 行, 但取 B 的最大无关组时却没含第 1 行。
3 列变换保持行向量子组的线性相关性不变
定理 1 若用有限次列初等变换 , 把矩阵 A 化为 B , 则 A 和 B 中任意 k 个脚标相同的行 向量子组{
i
1
,
i
2
, …,
i
k
} 和{
i
1
,
i
2
, …,
i
k
} 有相同的线性相关性。 , , …, , B 的行向量 ( 1) ( 2)
证 明 因 B m×n 由初等列变换从 A m×n 得到, 方程组 ( A ′ ) n×m X m×1 = 0 与 ( B ′ ) n× m X m × 1 = 0 同解, 这里 A ′ 为 A m×n 的转置 , B ′ 为 B m ×n的转置阵, 设 A 的行向量为 为
第 1 9卷 第 5 期 1999年 10月
辽 宁 工 学 院 学 报
JOU RNAL OF L IAONING INST IT UT E OF T ECHNOL OGY
V ol. 19 N o. 5 Oct . 1 99 9
文章编号 : 10051090( 1999) 05009304
初等变换间的关系及其涉及的一些问题
i
1
j1 = jk
i
1
j1 , 若 B 1 中含 jk ,则
t
, 若 B 1 中不含 jk
i
,则0≠
t
t
i
i
k
i
k
i
k
辽宁工学院学报 ( 自然科学版 ) 第 19 卷第 5 期 96
i1
j1
i1
j1
i1
j1
i1
j1
i1
j1
t
t
t
t
t
0≠
i
=
i
= + k
i t i
朱振广
( 辽宁工学院 基础部 , 辽宁 锦州 121001)
摘 要 : 讨论了涉及初等变换间关系的一些问题 , 回答了教学中常见的几个问题。 关键词 : 倍加象 ; 交换象 ; 倍乘象 ; 倍加象间对应 ; 交换象间对应 中图分类号 : O151. 2 文 献标识码 : A
三种初等变换间的关系 , 一般的线性代数教材上并没有加以说明, 以致学生会产生种种 疑问, 某些问题也引起了教师的争论。 本文将对这些问题予以讨论 , 期望对教学有所裨益。 以 下的讨论把行列互换仍成立 , 限于篇幅, 不再一一列出。
、 2 对应
2
A 的最大无关组 ; 但按倍加象与原象间的对应, 关组, 可见我们应区分倍加象与交换象。
、2 , 它们便不再是 A 的最大无
2. 2 一般情况下 , 行倍乘变换不能由另二种行初等变换替代 1 2 1 2 例 2 把 A = 由 r 2 × 2 化为 B = , 便不能由若干次行倍加和行交换替 3 4 6 8 代 , 因为把 A 用若干次行倍加和行交换化为 C , 则 C 的行列式与 A 的行列式之绝对值相同 , 但 B 的行列式为 A 的行列式的 2 倍, 这说明由行倍加和行交换不能把 A 化为 B . 2. 3 一般情况下 , 行倍加变换不能由另二种行初等变换替代 1 2 例 3 在例 2 的 A 中, 用 r 2+ r 1 把 A 化为 D = , 而用有限次行倍乘和行交换化 4 6 A 为 E , 则 E 的第 2 行只能为 ( k , 2k ) 或 ( 3t , 4t) ( k 和 t 是所论数域中的非 0 数) , 显然它们不 能等于 ( 4, 6) .
i
1
+ … + x ik ,
i
k
= 0, 令 x j = 0( j } 线性相关
的一解 , 从而也为式( 2) 的一解, 故 x i 1 关 , 反之亦然 ; 知{
i
1
+ x i2
i
1
i
2
+ …+ x ik
i
2
i
k
= 0, 得到
i
1
,
i
2
, …,
i
k
也线性相
i
2
, …,
i
k
,
, …,
i
k
线性相关。
1999 年 ( 总第 69 期 )
1 1 2 m
,
2
, …,
m
, 则下二方程组同解。 x1 x1
1 1
+ x2 + x2
i
k
2 2
+ … + xm + … + xm
m m
= 0 = 0
任取 A m×n 的行子组 { x i 1 i 1 + x i2
i
2
i
1
,
i
2
, …,
} , 若它们线性相关, 则有非 0 向量 ( x i 1 , x i 2 , …, x ik ) 使 { i1 , …ik } ) , 则扩组 x 1 , …x i 1 , … , x ik , … , x m 为式 ( 1)
i
1
证明 在下行中, 用 D 记 , 取 A 1 的列 j 1 , j 2 , … , j k 和全部行所成的 k 阶子式
i i
1
i
1
j1 jk
i
k
i
1
j1 ≠0 jk , …, , …,
i
k
A1 =
i
k
, D≡
i
k
i
k
i
k 2
因为, 这二个行列式仅差非 0 常数倍 , 故{ 同理可证 :
,
i
2
, …,
Rel ationships among basic transformations and Problems Being Invol ued
ZHU Zhen-guang
( Basic S cience D ept in Liaoning Inst it ut e of T ech nology , Jinzhou 121001, Ch in a)
1 几个概念
在本文中 , 矩阵 A 和 B 总为 m ×n 阵 , 矩阵 A 的行向量为 为 1, 2 , … , m . 我们用文献[ 1] 中符号来标记初等变换。 ( 1) 若矩阵 A 由一次行交换 r i r j 化为 B , ( i, j 不同 ) , 称 换象, 当 t ≠i, j 时 , t =
1
A =
2 3
=
0 1 0
0 0 1
0 1 0 r 1 + r2 , r2 - r 1 0 → 0 1 r 2 + r3 , r3 - r 2 0 0 0 、 2 对应
0 0 = 0
1
1 2 3
= B 、3 , 它们是
实际上也做了行交换: r 1
r2 , r2
r 3! 若按交换象与原象间的对应 ,
1 1
} 无关
{
i
1
,
i
} 无关。 } 为 B 的行向量
定理 3 对矩阵 A 实施有限次行交换, 把 A 化为 B , 任取{
i i i j j j
i
1
,
i
2
i
k
子组, 则 { 1 , 2 , … , k } 与其交换原象{ 1 , 2 , …, k } 有相同的线性相关性。 定理 4 对矩阵 A 实施有限次行倍加 r i 1 + k 1r t 1 , r i 2 + k 2r t 2 , … , r i s + k sr t s , 把 A 化为 B , 若取 行向量子组 B 1= { i 1 , i 2 , … , i k } 是 B 的一个最大无关组, 使它含有上面倍加变换中用过的 行 t1 , t2 , …, t s, 则 B 1 的倍加原象 {
i
1
i
1
,
1
i
2
, …, , …,
i
k
} 为 A m×n 的最大无关组。 其中 , C } .
, …,
i
k
} , C1 = {
( 1) i
1
, …,
( 1) i
k
} , …, C s- 1 = {
