中考几何中的类比探究解题方法分析

几何类比探究题型题型解读|模型构建|通关试练几何的类比探究题型是近年中招解答题的必考题型，该题型往往以压轴题的形式出现，有一定的难度。

探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类。

由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．模型01图形旋转模型模型一、A字形(手拉手)及其旋转模型二、K字型及其旋转手拉手模型是有两个等腰的三角形或者两个等边的三角形，他们有一个共同的顶点，且两个等腰三角形的顶角是相等的，那么就可以用角的和差求得共顶点的另外两个角相等等，然后利用等腰的边对应相等，可证明两个三角形全等(边角边)组成这样的图形模样的我们就说他是手拉手模型。

在类比探究题型中，往往会对等腰三角形或者等边三角形进行演变，变成一般三角形进行旋转，通常全等三角形变为相似三角形。

模型特征：双等腰；共顶点；顶点相等；绕着顶点作旋转解题依据：等腰共顶手拉手，旋转全等马上有；左手拉左手，右手拉右手，两根拉线抖一抖，它们相等不用愁；拉线夹角与顶角，相等互补答案有。

模型02图形平移模型探究1.四边形平移变换四边形的平移变换题型中主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平移几何性质、三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等或相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．2.三角形平移变换三角形平移变换主要利用三角形全等和三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，平移性质、平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法.3.其它图形平移类比探究问题综合考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论.模型03动点引起的题型探究动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、弧线等上运动的一类非常具有开放性的题目。

几何综合中类比思想问题：1.已知：E 是边长为1的正方形ABCD 对角线BD 上一动点，点E 从D 点向B 点运动（与点B 、D 不重合），过点E 的直线MN ∥DC ，交AD 于点M ，交BC 于点N ，EF ⊥AE 于点E ，交CB （或CB 的延长线）于点F ．（1）如图甲，线段EM 与FN 之间有怎样的大小关系？请证明你的结论．（2）点E 在运动过程中（如图乙），线段EM 与FN 之间的数量关系是否发生变化？若变化，请说明理由。

（3）点E 在运动的过程中（图甲、图乙），四边形AFNM 的面积是否发生变化？请说明理由．2.如图，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形ABCD 的顶点A 重合。

三角板的一边交CD 于点F ，另一边交CB 的延长线于点G 。

（1）求证：EF=EG（2）移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其它条件不 变，（1）中的结论“EF=EG ”是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

（3）若将（2）中的“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，其使三角板的一边经过点B,其它条件不变，若AB=2，BC=3，求EGEF的值。

3.一直角三角尺的直角顶点P在正方形ABCD的对角线AC上滑动（P与A、C两点不重合），且它的一条直角边始终经过点D,另一条直角边与射线BC交于点E.（1）如图1，当点E在BC边上时，①判断△PBE的形状，并说明理由；②过点E作EF⊥BC交AC所在的直线于点F,求证：CP-AP=2EF.（2）如图2，当点E在BC的延长线上时，判断（1）中的①、②这两个结论是否任然成立？若不成立，请写出你认为正确的结论。

4.正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．（1）当点P与点O重合时（如图①），猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论；（2）当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时（如图②），探究（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）当点P在DB的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论．图③图②图①AAEFFEAA5.如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．90AEF∠= ，且EF交正方形外角DCG∠的角平分线CF于点F。

中考数学真题演练之动态几何、类比探究专项训练训练目标1.熟悉题型结构及解题方法；2.书写框架明晰，踩点得分（完整、快速、简洁）。

题型结构及解题方法中考数学第22题常考查方程不等式或二次函数应用题、动态几何、类比探究。

本讲重点对动态几何、类比探究进行专项训练。

答题规范动作1.试卷上探索思路、在演草纸上演草。

2.合理规划答题卡的答题区域：两栏书写，先左后右。

作答前根据思路，提前规划，确保在答题区域内写完答案；同时方便修改。

3.作答要求：框架明晰，结论突出，过程简洁。

22题作答要明确关键步骤，通过关键步骤之间的顺承关系来表达思路。

如动点问题，先分段，再对每种情形做出解答；类比探究问题，问与问的关键步骤要相对应，书写框架保持一致，对于变化的部分需要模块书写进行论证。

在过程书写上关键步骤不可或缺，否则会因为漏掉得分点而丢分，但过程要简洁、结论要突出，以便于清晰地展示解题思路，方便阅卷老师快速捕捉信息、快速评分。

4.15分钟内完成。

需注意，实力才是考试发挥的前提。

若在训练过程中，发现自己的知识漏洞，需要查找资源解决，比如查课本，请教老师、同学，或借助众享在线课程（或）等网络资源。

查漏补缺相关资源（登录或搜索课程名称即可）下方所列资源集中训练每类问题的解题套路，如遇到类比探究问题时应该如何思考，帮学生准确把握题型特征，快速聚焦思维，迅速找到解题思路。

这些训练与真题演练本阶段的训练互相补充，帮学生系统解决动态几何及类比探究问题，以到中考考场时，不仅题目会做，而且能高效拿到满分。

课程名称：2013中考数学类比探究与动点（十一短训班实录）【2013年中考数学总复习】知识梳理和综合运用之几何中的类比探究【2013年中考数学总复习】知识梳理和综合运用之图形运动产生的面积问题【2013年中考数学总复习】知识梳理和综合运用之存在性问题【2013年中考数学总复习】知识梳理和综合运用之几何中的最值问题。

（2）如图2，当OA =OB ，且14AD OA 时，求tan ∠BPC 的值；（3）如图3，当AD :OA :OB =1:n :2n 时，直接写出tan ∠BPC 的值．PC （1）如图1，当OA =OB ，且D 为OA 中点时，求的值；AP 连接AC ，BD 交于点P ．.已知：线段OA ⊥OB ，点C 为OB 中点，D 为线段OA 上一点．1精讲精练（一）③结合所求目标，依据__________，大胆猜测、尝试、验证．②类比解决下一问．如果不能，分析条件变化，寻找______________．①根据题干条件，结合_______________先解决第一问．2、不常见结构：等、出等腰）、平行结构（有比例、做平行、找相似）．斜直角结构（斜直角、做垂线、斜变正）、旋转结构（等线段共点、做全中点结构（遇中点、做倍长、有平行）1、常见结构：思路：【秒杀数学】几何综合问题秒杀技-----类比探究2.如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D ，点O 是AC 边上一点，连接BO ，交AD 于点F ，OE ⊥OB 交BC 于点E ．（1）求证：ABF COE △∽△；（2）如图2，当O 为AC 边中点，2AC AB =时，求OF OE 的值；（3）如图3，当O 为AC 边中点，AC n AB =时，请直接写出OF OE 的3.如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D ，点O 是AC 边上一点，连接BO ，交AD 于点F ，OE ⊥OB 交BC 于点E ．（1）如图1，当O 为AC 边中点，2AC AB =时，求OF OE 的值；（2）如图2，当O 为AC 边中点，AC n AB =时，请直接写出OF OE的值．（3）如图3，当4.（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为___________；②线段AD，BE之间的数量关系为___________．（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD．若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．数学课上，王老师出示图1和下面框中条件：如图1，两块等腰直角三角板ABC 和DEF 有一条边在同一条直线l 上，∠ABC =∠DEF =90°，AB =1，DE =2．将直线EB 绕点E 逆时针旋转45°，交直线AD 于点M ．将图1中的三角板ABC 沿直线l 向右平移，设C ，E 两点间的距离为x ．图1图2（1）①当点C 与点F 重合时，如图2所示，可得AM DM 的值为___________；②在平移过程中，AM DM的值为______（用含x 的代数式表示）．（2）将图2中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变．当点A 落在线段DF 上时，如图3所示，请计算AM DM 的值．（3）将图1中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转m 度，090m ≤，原题中的其他条件保持不变，如图4所示，请计算AM DM的值（用含x 的代数式表示）．图3图46、△ABC 中，AD 为BC 边上中线，E 为AD 上一动点，设DE =nEA ，连接CE 并延长交AB 于点F ．（1）如图1，当∠BAC =90°，∠B =30°，DE =EA 时，求FB FA的值；（2）如图2，当△ABC 为锐角三角形，DE =EA 时，求FB FA的值；（3）如图3，当△ABC 为锐角三角形，DE =nEA 时，求FB FA 的值．7、如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G ．（1）尝试探究：如图1，若3AF EF =，则CD CG的值是_______．（2）类比延伸：如图2，在原题的条件下，若AF m EF =（m >0），则CD CG的值是_______（用含m 的代数式表示），试写出解答过程．（3）拓展迁移：如图3，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，点E 是BC 延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ．若AB a CD =，BC b BE =（a >0，b >0），则AF EF的值是_______（用含a ，b 的代数式表示）．8.如图1，一副直角三角板满足AB =BC ，AC =DE ，∠ABC =∠DEF =90°，∠EDF =30°．【操作】将三角板DEF 的直角顶点E 放置于三角板ABC 的斜边AC 上，再将三角板DEF 绕点E 旋转，并使边DE 与边AB 交于点P ，边EF 与边BC 交于点Q ．【探究】在旋转过程中，（1）如图2，当1=EACE 时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明．（2）如图3，当2=EACE 时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明．（3）根据（1），（2）的结果，当m EACE =时，EP 与EQ 满足的数量关系式为_____________________．9、如图1，在等边三角形ABC 中，线段AD 为其内角角平分线，过点D 的直线B 1C 1⊥AC 于C 1，交AB 的延长线于B 1．（1）请你探究：1111AC C D AC CD AB BD AB DB ==，是否都成立？（2）请你继续探究：如图2，若△ABC 为任意三角形，线段AD 为其内角角平分线，请问AC CD AB BD =一定成立吗？并证明你的判断．（3）如图3，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =8，AB =403，E 为AB 上一点且AE =5，CE 交其内角角平分线AD 于F ．试求DF FA的值．10、将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C =90°，∠B =∠E =30°．（1）操作发现如图2，固定△ABC ，使△DEC 绕点C 旋转，当点D 恰好落在AB 边上时，填空：①线段DE 与AC 的位置关系是___________________；②设△BDC 的面积为S 1，△AEC 的面积为S 2，则S 1与S 2的数量关系是___________________．（2）猜想论证当△DEC 绕点C 旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S 1与S 2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC ，CE 边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究如图4，已知∠ABC =60°，点D 是其角平分线上一点，BD =CD =4，DE ∥AB 交BC 于点E ．若在射线BA 上存在点F ，使S △DCF =S △BDE ，请直接写出．．．．相应的BF 的长．图1图2【参考答案】1.（1）EP =EQ ，证明略（2）12EP EQ =（3）1EP EQ m=2.（1）都成立，证明略（2）结论仍然成立（3）58DF FA =3.（1）①DE ∥AC ，②S 1=S 2（2）证明略（3）BF 的长为3或3【参考答案】1.（1）2FBFA =（2）2FBFA =（3）2FBnFA =精讲精练（二）例：如图1，在等腰直角△ABC和等腰直角△CDE中，CD>BC，点C，B，D在同一直线上，M是AE的中点，易证MD⊥MB，MD=MB．（1）如图2，将图1中的△CDE绕点C顺时针旋转45°，使△CDE的斜边CE恰好与△ABC的边BC垂直，题干中的其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？（2）将图2中的△ABC绕点C逆时针旋转大于0°且小于45°的角，如图3所示，请直接写出你的结论．第一步构造“平行夹中点”的辅助线，过点E作AB的平行线，交BM的延长线于点N，连接BD，DN；第二步证明；第三步证明，过程中需要证明∠BCD=∠NED，请在图中给出简要证明；第四步根据△DBN是等腰直角三角形，得到结论MD⊥MB，MD=MB．1.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F，AC=mBC，CE=nEA（m，n为实数）.试探究线段EF与EG的数量关系．（1）如图2，当m=1，n=1时，求EF与EG的数量关系．（2）如图3，当m=1，n为任意实数时，求EF与EG的数量关系．（3）如图1，当m，n均为任意实数时，求EF与EG的数量关系．2.如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，P 为BC 边上任意一点，Q 为AC 边上一动点，分别以CP ，PQ 为边作等边三角形PCF 和等边三角形PQE ，连接EF ．（1）试探索EF 与AB 的位置关系，并证明．（2）如图2，当点P 为BC 延长线上任意一点时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）如图3，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =m °，P 为BC 延长线上一点，Q 为AC 边上一动点，分别以CP ，PQ 为腰作等腰三角形PCF 和等腰三角形PQE ，使得PC =PF ，PQ =PE ，连接EF ．要使（1）中的结论依然成立，则需要添加怎样的条件？为什么？3.已知等腰三角形ABC 中，∠ACB =90°，点E 在AC 边的延长线上，且∠DEC =45°，点M ，N 分别是DE ，AE 的中点，连接MN 交直线BE 于点F ．当点D 在CB 边的延长线上时，如图1所示，易证MF +FN =12BE ．（1）当点D 在CB 边上时，如图2所示，上述结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出你的猜想，并说明理由．4.（1）如图1，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，BD ⊥AC 于点D ．求证：AB 2=AD ·AC ．（2）如图2，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，D 为BC 边上的点，BE ⊥AD 于点E ，延长BE 交AC 于点F ．若1AB BD BC DC ==，求AF FC的值．（3）在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，点D 为直线BC 上的动点（点D 不与B ，C 重合），直线BE ⊥AD 于点E ，交直线AC 于点F ．若AB BD n BC DC ==，请探究并直接写出AF FC的所有可能的值（用含n 的式子表示），不必证【参考答案】1.（1）EF EG=（2）EG nEF=（3）EG mnEF=2.（1）EF⊥AB，证明略（2）成立，理由略（3）∠CPF=∠QPE=∠B，理由略3.（1）不成立，FN-MF=12BE（2）MF-FN=12 BE4.（1）证明略（2）2（3）n2+n或n2-n或n-n2【参考答案】1．（1）2APPC =（2）tan ∠BPC =12（3）tan ∠BPC=n 2．（1）证明略（2）2OFOE =（3）OFnOE =3．（1）60°，AD =BE（2）AE =2CM +BE（3）AQ =312或312-4．（1）①1，②2x（2）1（3）2x。

几何难点突破之类比探究（讲义）一、知识点睛识别类比探究题型特征：1.题目中一般有三问或者更多，每小问的条件和图形相似度很高，因此可以“照搬”第一问的方法；2.每一问的图形或点的位置会有所变化（通常条件从特殊走向一般），但可以在这些变化过程中按照第一问的思路和对应关系找角、找边、找全等．二、精讲精练1. 如图1所示，在△ABC 和△ADE 中，AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE ，且点B 、A 、D 在一条直线上，连接BE 、CD ，M 、N 分别为BE 、CD 的中点．（1）求证：①BE =CD ；②△AMN 是等腰三角形．（2）在图1的基础上，将△ADE 绕点A 按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图2所示的图形．（1）中的两个结论是否仍然成立，若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．图2ME CBNDA图1CBMN ED A2. 已知△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为边作菱形ADEF （A 、D 、E 、F 按逆时针排列），使∠DAF ＝60°，连接CF ． （1）如图1，当点D 在边BC 上时，求证：①BD ＝CF ；②AC ＝CF ＋CD ；（2）如图2，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC ＝CF ＋CD 是否成立？若不成立，请写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D 在边CB 的延长线上且其他条件不变时，探究AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系．图1AFECDB图2ABC DFEABCD F3. 如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．且90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平分线CF 于点F ．（1）求证：AE =EF ；（2）如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由；（3）如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”是否成立？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由．图1GFE DC B A图2A B CDE FG图3GFE DCBA4.如图1，在△ABC 中，点P 为BC 边的中点，直线a 绕顶点A 旋转，若B 、P 在直线a 的异侧，BM ⊥直线a 于点M ，CN ⊥直线a 于点N ，连接PM 、PN ；（1）求证：PM =PN ；（2）若直线a 绕点A 旋转到图2的位置时，点B 、P 在直线a 的同侧，其它条件不变．此时PM =PN 还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若直线a 绕点A 旋转到与BC 边平行的位置时，其它条件不变．请判断四边形MBCN 的形状及此时PM =PN 还成立吗？图1ABCP aMN图2ABCP aM N图3NMaP CBA5.如图1所示,已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC 、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1⊥l于点D1，过点E作EE1⊥l于点E1.(1)如图2，当点E恰好在直线l上时(此时E1与E重合)，试说明DD1=AB；(2)在图1中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，当点E在直线l的下方时，请探究三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系.DA BGEFCl D1E1图1GEBACFD1DE1()l图2图3lFGEBACD1DE16. 如图，点P 是正方形ABCD 对角线AC 上一动点，点E 在射线BC 上，且PE ＝PB ，连接PD ，O 为AC 中点． （1）如图1，当点P 在线段AO 上时，试猜想PE 与PD 的数量关系和位置关系，不用说明理由；（2）如图2，当点P 在线段OC 上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；（3）如图3，当点P 在AC 的延长线上时，判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．图1BB图2三、课后作业1．已知：如图所示，直线MA∥NB，∠MAB与∠NBA的平分线交于点C，过点C作一条直线l与两条直线MA、NB分别相交于点D、E．（1）如图1所示，当直线l与直线MA垂直时，猜想线段AD、BE、AB之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；（2）如图2所示，当直线l与直线MA不垂直且交点D、E都在AB的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由；（3）如图3所示，当直线l与直线MA不垂直且交点D、E在AB的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段AD、BE、AB之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请写出它们之间的数量关系．【几何难点突破之类比探究参考答案】二、精讲精练图1A lCEBDNM图2M NDBElACMNDBEClA图3(1)lCENM1.提示：（1）①证△CAD≌△BAE（SAS）；②证△ACN≌△ABM（SAS）；或证△MEA≌△NDA（SAS）；（2）成立，同（1）可证．2.证明：（1）如图1，在等边△ABC中，AB=AC=BC，∠BAC=60°∴ ∠BAD+∠DAC=60°∵ 在菱形ADEF中，∠DAF=60°∴ AD=AF，∠DAC+∠CAF=60°∴ ∠BAD=∠CAF∴ △ABD≌△ACF（SAS）∴ BD=CF∵ BC=BD+DC∴ BC=CF+CD即AC= CF+CD（2）此时AC=CF+CD不成立，CF = AC +CD.理由如下：如图2，在等边△ABC中，AB=AC=BC，∠BAC=60°∵ 在菱形ADEF中，∠DAF=60°∴ AD=AF∴ ∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD∴ ∠BAD=∠CAF∴ △ABD≌△ACF（SAS）∴ BD=CF∵ BD=BC+CD∴ CF= BC+CD即CF = AC +CD（3）CF = CD-AC.理由如下：如图3，在等边△ABC中，AB=AC=BC，∠BAC=60°∴ ∠CAF+∠BAF=60°∵ 在菱形ADEF中，∠DAF=60°∴ AD=AF，∠DAB+∠BAF=60°∴ ∠DAB+∠BAF =∠CAF+∠BAF∴ ∠DAB=∠F AC∴△ABD≌△ACF（SAS）∴ BD=CF图1AFECDB图2AB C DFE图3AB CDEF∵ BD=CD-CB∴ CF= CD-CB即CF = CD-AC3.提示：（1）在AB上取点M，使得AM=CE，证△AME≌△ECF（ASA）；（2）成立，同（1）可证；（3）成立，在BA的延长线上取点M，使得AM=CE，证△AME≌△ECF（ASA）．4.提示：（1）延长MP交CN于点E，证△BPM≌△CPE（ASA），直角三角形斜边中线等于斜边一半；（2）延长MP交NC的延长线于点E，同（1）可证；（3）四边形MBCN为矩形；成立，同（1）可证．5.提示：（1）△ADD1≌△CAB；（2）AB＝DD1＋EE1，过点C作CM⊥AB于点M，证△ADD1≌△CAM，△EBE1≌△BCM；（3）DD1=AB＋EE1，同（2）可证．6.提示：（1）过P作PM⊥BC于点M，PN⊥DC于点N．证△APB≌△APD（SAS），△PME≌△PND（HL）即可；（2）成立，同（1）可证；（3）作图略；成立，过P分别作BC，DC的垂线，交BE于点M，DC的延长线于点N，同（1）可证．四、课后作业1．解：（1）AD+BE＝AB（2）成立．证明：（方法一）：在AB上截取AG=AD，连接CG．∵ ∠1＝∠2，AC＝AC∴△ADC≌△AGC（SAS）∴∠5＝∠6∵ AM∥BN∴ ∠1+∠2+∠3+∠4=180°图1A lCEBDNM876541C lEDNM∵∠1＝∠2，∠3＝∠4∴ ∠2+∠3=90°∴ ∠ACB＝90°即∠6＋∠7＝90°∵ ∠5+∠6+∠7+∠8=180°∴ ∠5＋∠8＝90°∴∠7＝∠8∵∠3＝∠4，BC＝BC∴△BGC≌△BEC（ASA）∴BG＝BE∴AG+BG＝AD+BE∴AD+BE＝AB（方法二）：过点C作直线FG⊥AM，垂足为点F，交BN于点G．作CH⊥AB，垂足为点H．由（1）得AF+BG=AB∵AM∥BN，∠AFG＝90°∴ ∠BGF＝∠FGE＝90°∵∠1＝∠2，∠3＝∠4∴ CF＝CH，CH＝CG∴ CF＝CG∵ ∠FCD＝∠GCE∴△CFD≌△CGE（ASA）∴DF＝EG∴ AD+BE=AF-DF+GE+BG=AF+BG=AH+BH=AB （方法三）：延长BC，交AM于点F．∵AM∥BN∴∠5＝∠4∵ ∠3＝∠4∴∠5＝∠3HFG1234CAlEBDNM图2方法二51234FCAlEBDNM∴ AF =AB∵ ∠1＝∠2，∴ CF ＝CB∵∠FCD ＝∠BCE∴ △FCD ≌△BCE （ASA ）∴ DF ＝BE∴ AD +BE =AD +DF =AF =AB（3）不成立．存在．当点D 在射线AM 上，点E 在射线BN 的反向延长线上时（如图3（1）），AD -BE =AB当点D 在射线AM 的反向延长线上，点E 在射线BN 上时（如图3（2）），BE -AD =AB图3(2)图3(1)A l C E B D N M MN DBEClA。

专题六动态几何—类比探究★河南近9年中招热点命题规律探究性问题见年来每年必考，考查类型包含两种：1.动态探究题；2.类比探究题。

主要考察对矩形、菱形、直角三角形的判定；涉及到的知识点有三角形的旋转、平行四边形的性质、相似、矩形折叠、勾股定理等。

近两年还出现了，线段的比例问题，以及运动路程问题。

★解题技巧：类型一、图形旋转变化探究1．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α=0°时，=；②当α=180°时，=．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．2．（1）【问题发现】如图1，在Rt△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为（2）【拓展研究】在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）【问题发现】当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长．3．某研究性学习小组进行了探究活动，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，点O是AB的中点，将一块直角三角板的直角顶点绕点O旋转，图中的M、N分别为直角三角形的直角边与AC、BC的交点．（1）如图①，当三角板的一条直角边与OB重合时，点M与点A也重合，①求此时CN的长；②写出AC2、CN2、BN2满足的数量关系；（2）当三角板旋转到如图②所示的位置时，即点M在AC上（不与A、C重合），①猜想图②中AM2、CM2、CN2、BN2这四条线段满足的数量关系：；②说明你得出此结论的理由．（1）若在三角板旋转的过程中满足CM=CN，请你利用图③并联系上述结论，求出此时BN的长．4．（1）发现问题如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为．（2）拓展研究如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E三点在同一直线上，CM为△DCE 中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之前的数量关系，并说明理由．（3）探究发现图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转中当点A，D，E在不同一直线上时，设AD与BE相交于点O，旋转角θ（0°＜θ＜180°）尝试在图3中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．5．在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O；在Rt△PMN中，∠MPN=90°．（1）如图1，若点P与点O重合且PM⊥AD、PN⊥AB，分别交AD、AB于点E、F，请直接写出PE与PF的数量关系；（2）将图1中的Rt△PMN绕点O顺时针旋转角度α（0°＜α＜45°）．①如图2，在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；②如图2，在旋转过程中，当∠DOM=15°时，连接EF，若正方形的边长为2，请直接写出线段EF的长；③如图3，旋转后，若Rt△PMN的顶点P在线段OB上移动（不与点O、B重合），当BD=3BP时，猜想此时PE与PF的数量关系，并给出证明；当BD=m•BP时，请直接写出PE与PF的数量关系．类型二、动点及图形变化探究1．（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，填空：当点A位于时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为（用含a，b的式子表示）（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（7，0），点P为线段AB 外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．2．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF （A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF．（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF；②AC=CF+CD；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系．3．（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE 中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD=，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．4．（1）问题发现如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在边BC上，连接CE．请填空：①∠ACE的度数为；②线段AC、CD、CE之间的数量关系为．（2）拓展探究如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D在边BC上，连接CE．请判断∠ACE 的度数及线段AC、CD、CE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD=2，CD=1，AC与BD交于点E，请直接写出线段AC 的长度．5．【问题提出】在△ABC中，AB=AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD=BC，∠BAC=α，∠DBC=β，且α+β=120°，连接AD，求∠ADB的度数．（不必解答）【特例探究】小聪先从特殊问题开始研究，当α=90°，β=30°时，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD 的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α=90°，β=30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题．请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D′BC的形状是三角形；∠ADB的度数为．【问题解决】在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数；【拓展应用】在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若BC=7，AD=2．请直接写出线段BE的长为．6．问题发现：如图1，在△ABC中，∠C=90°，分别以AC、BC为边向外侧作正方形ACDE和正方形BCFG．（1）△ABC与△DCF面积的关系是；（请在横线上填写“相等”或“不相等”）（2）拓展探究：若∠C≠90°，（1）中的结论还成立吗？若成立，请结合图2给出证明；若不成立，请说明理由；（3）解决问题：如图3，在四边形ABCD中，AC⊥BD，且AC与BD的和为10，分别以四边形ABCD的四条边为边向外侧作正方形ABFE、正方形BCHG、正方形CDJI、正方形DALK，运用（2）的结论，图中阴影部分的面积和是否有最大值？如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．1．（1）问题发现如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空：①的值为；②∠AMB的度数为．（2）类比探究如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由；（3）拓展延伸在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB=，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．2．如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值．3．（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b．填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为（用含a，b的式子表示）（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB 外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．。

襄垣县五阳矿中学九年级数学中考复习（教）学案编写人：郑威斌审核人：郑威斌201 年月课题类比探究解题方法和思路班级姓名组别【类比探究解题方法和思路】1、找特征（中点、特殊角、折叠等），找模型：相似（母子型、A字型、八字型）三线合一、面积等；2、借助问与问之间的联系，寻找条件和思路。

3、照搬：照搬上一问的方法，思路解决问题，如照搬字母、照搬辅助线、照搬全等、照搬相似等。

4、找结构：寻找不变的结构，利用不变结构的特征解决问题。

常见不变结构及方法：①直角：作横平竖直的线，找全等或相似；②中点：作倍长、通过全等转移边和角；③平行：构造全等三角形证明线段相等或找相似求比例。

5、哪些是不变的，哪些是变化的。

哪些条件没有用，如何进行转化，寻找能够类比的方法和思路。

【探究发现】如图1，△ABC是等边三角形，∠AEF=60°，EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F，当点E是BC的中点时，有AE=EF成立；【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE、EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：当点E是直线BC上（B，C除外）任意一点时（其它条件不变），结论AE=EF仍然成立．[来假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一点”；“点E时线段BC延长线上的任意一点”；“点E时线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明AE=EF．【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时，若CE=BC，在图3中画出图形，并运用上述结论求出S△ABC：S△AEF的值．已知：在四边形ABCD中,AD∥BC,∠BAC=∠D,点E、F分别在BC、CD上,且∠AEF=∠ACD,试探究AE与EF之间的数量关系．（1）如图1,若AB=BC=AC,则AE与EF之间的数量关系是什么；（2）如图2,若AB=BC,你在（1）中得到已知：在四边形ABCD中,AD∥BC,∠BAC=∠D,点E、F分别在BC、CD上,且∠AEF=∠ACD,试探究AE与EF之间的数量关系．（1）如图1,若AB=BC=AC,则AE与EF之间的数量关系是什么；（2）如图2,若AB=BC,你在（1）中得到的结论是否发生变化?写出猜想,并加以证明；（3）如图3,若AB=kBC,你在（1）中得到的结论是否发生变化?写出猜想不用证明．在图15-1至图15-3中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1 = ∠2 = 45°．（1）如图15-1，若AO = OB，请写出AO与BD的数量关系和位置关系；（2）将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到图15-2，其中AO = OB．求证：AC = BD，AC ⊥BD；（3）将图15-2中的OB拉长为AO的k倍得到图15-3，求的值已知，在等腰△ABC中，AB＝AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连结DE，DE所在直线交直线BC于点M.请探究(1)、如图①，当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD＝CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论(2)、如图②，当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD＝CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由(3)、如图③，当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A、B重合），DE所在直线与直线BC交于点M，若CE＝mBD，（m＞1），请你判断线段MD与线段ME的数量关系，并说明理由。