江苏高考直线平面垂直的判定及其性质专题练习(附答案)

课时跟踪检测（三十九）直线、平面垂直的判定及其性质一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．解析：依题意，由l⊥β，l⊂α可以推出α⊥β；反过来，由α⊥β，l⊂α不能推出l⊥β.因此“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件．答案：充分不必要2．在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是________．解析：过A作AH⊥BD于H，由平面ABD⊥平面BCD，得AH⊥平面BCD，则AH⊥BC，又DA⊥平面ABC，所以BC⊥DA，所以BC⊥平面ABD，所以BC⊥AB，即△ABC为直角三角形．答案：直角三角形3．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α∥β.当满足条件________时，有m⊥β.(填所选条件的序号)解析：若m⊥α，α∥β，则m⊥β.故填②④.答案：②④4．一平面垂直于另一平面的一条平行线，则这两个平面的位置关系是________．解析：由线面平行的性质定理知，该面必有一直线与已知直线平行．再根据“两平行线中一条垂直于一平面，另一条也垂直于该平面”得出两个平面垂直．答案：垂直5．(2018·某某期中)如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若平面A1B1CD⊥平面AEP，则线段AP长度的取值X围是________．解析：连结BC1，易得BC1⊥平面A1B1CD，要满足题意，只需EP∥BC1即可．取CC1的中点为F，则EF∥BC1，故P在线段EF上(不含端点)．∵AE＝22＋12＝5，AF＝22＋22＋12＝3，∴线段AP长度的取值X围是(5，3)．答案：(5，3)6．如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命题的序号是________．解析：①AE⊂平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PA⇒AE⊥BC，故①正确，②AE⊥PC，AE⊥BC，PB⊂平面PBC⇒AE⊥PB，又AF⊥PB，EF⊂平面AEF⇒EF⊥PB，故②正确，③若AF⊥BC⇒AF⊥平面PBC，则AF∥AE与已知矛盾，故③错误，由①可知④正确．答案：①②④二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·某某中学测试)已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题的个数为________．解析：若α，β换为直线a，b，则命题化为“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥β，且a⊥b⇒b⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥α，且b⊥α⇒a⊥b”，此命题为真命题．答案：22．(2018·某某期中)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，在四面体ABCD的其他面中，与平面ADC垂直的平面为________(写出满足条件的所有平面)．解析：在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，可得∠BDC＝90°，即BD⊥CD.∵平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，∴CD⊥平面ABD，又CD⊂平面ADC，∴平面ADC⊥平面ABD；假设平面ADC⊥平面BCD，∵BD⊥CD，且平面ADC∩平面BCD＝CD，∴BD⊥平面ADC，则BD⊥AD，与∠ADB＝45°矛盾；∵CD⊥平面ABD，AB⊂平面ABD，∴CD⊥AB，又AD⊥AB，且AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ADC，又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC.∴在四面体ABCD的其他面中，与平面ADC垂直的平面为平面ABD，平面ABC.答案：平面ABD，平面ABC.3．已知正△ABC的边长为2 cm，PA⊥平面ABC，A为垂足，且PA＝2 cm，那么点P到BC的距离为________cm.解析：如图，取BC的中点D，连结AD，PD，则BC⊥AD，又因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，所以BC⊥平面PAD，所以PD⊥BC，则PD的长度即为点P到BC的距离．在Rt△PAD中，PA＝2，AD＝3，可得PD＝22＋32＝7.答案：74．(2018·某某期末)已知四边形ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，当平行四边形ABCD满足条件____________时，有PC⊥BD(填上你认为正确的一个条件即可)．解析：∵四边形ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA，当四边形ABCD是菱形时，BD⊥AC.又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴PC⊥BD.答案：四边形ABCD是菱形5．已知直线a和两个不同的平面α，β，且a⊥α，a∥β，则α，β的位置关系是________．解析：记b⊂β且a∥b，因为a∥b，a⊥α，所以b⊥α，因为b⊂β，所以α⊥β.答案：垂直6．如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有____________；与AP垂直的直线有________．解析：因为PC⊥平面ABC，所以PC垂直于直线AB，BC，AC.因为AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，所以AB⊥平面PAC，又因为AP⊂平面PAC，所以AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.答案：AB，BC，ACAB7．如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD ⊥AC ；②△BAC 是等边三角形；③三棱锥D ­ABC 是正三棱锥；④平面ADC ⊥平面ABC . 其中正确的是________(填序号)．解析：由题意知，BD ⊥平面ADC ，故BD ⊥AC ，①正确；AD 为等腰直角三角形斜边BC 上的高，平面ABD ⊥平面ACD ，所以AB ＝AC ＝BC ，△BAC 是等边三角形，②正确；易知DA ＝DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错误．答案：①②③8．如图，直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E .要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为________．解析：设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF .由已知可以得A 1B 1＝2，设Rt△AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h . 又2×2＝h ×22＋22， 所以h ＝233，DE ＝33. 在Rt△DB 1E 中，B 1E ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝66. 由面积相等得66× x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22x ，得x ＝12. 即线段B 1F 的长为12. 答案：129．(2018·海安中学测试)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD是菱形，∠ABC ＝60°，PA ＝AC ，PB ＝PD ＝2AC ，E 是PD 的中点，求证：(1)PB∥平面ACE；(2)平面PAC⊥平面ABCD.证明：(1)连结BD交AC于点O，连结OE，∵底面ABCD为菱形，∴O是BD的中点，又E是PD的中点，∴OE∥PB，∵OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，∴PB∥平面ACE.(2)∵底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC为正三角形，从而AB＝AC，又PB＝2AC，PA＝AC，∴PB＝2AB＝2PA，可得PA⊥AB.同理可证PA⊥AD.又∵AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PA⊥平面ABCD，∵PA⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABCD.10．(2019·某某高三检测)如图，在三棱锥S­ABC中，SA＝SC，AB⊥AC，D为BC的中点，E为AC上一点，且DE∥平面SAB.求证：(1)AB∥平面SDE；(2)平面ABC⊥平面SDE.证明：(1)因为DE∥平面SAB，DE⊂平面ABC，平面SAB∩平面ABC＝AB，所以DE∥AB.因为DE⊂平面SDE，AB⊄平面SDE，所以AB∥平面SDE.(2)因为D为BC的中点，DE∥AB，所以E为AC的中点．又因为SA＝SC，所以SE⊥AC，又AB⊥AC，DE∥AB，所以DE⊥AC.因为DE∩SE＝E，DE⊂平面SDE，SE⊂平面SDE，所以AC⊥平面SDE.因为AC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面SDE .三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．如图，矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻转成△A 1DE .若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻转过程中，正确的命题是________．(填序号)①MB 是定值；②点M 在圆上运动；③一定存在某个位置，使DE ⊥A 1C ；④一定存在某个位置，使MB ∥平面A 1DE .解析：取DC 中点N ，连结MN ，NB ，则MN ∥A 1D ，NB ∥DE ，∵MN ∩NB＝N ，A 1D ∩DE ＝E ，∴平面MNB ∥平面A 1DE ，∵MB ⊂平面MNB ，∴MB∥平面A 1DE ，④正确；∠A 1DE ＝∠MNB ，MN ＝12A 1D ＝定值，NB ＝DE ＝定值，根据余弦定理得，MB 2＝MN 2＋NB 2－2MN ·NB ·cos ∠MNB ，∴MB 是定值，①正确；B 是定点，∴M 是在以B 为圆心，MB 为半径的圆上，②正确；当矩形ABCD 满足AC ⊥DE 时存在，其他情况不存在，③不正确．∴①②④正确．答案：①②④2．如图，点P 在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，则下列四个命题：①三棱锥A ­D 1PC 的体积不变；②A 1P ∥平面ACD 1；③DP ⊥BC 1；④平面PDB 1⊥平面ACD 1.其中正确的命题序号是________．解析：由题意可得BC 1∥AD 1，又AD 1⊂平面AD 1C ，BC 1⊄平面AD 1C ，所以BC 1∥平面AD 1C .所以点P 到平面AD 1C 的距离不变，V A ­D 1PC ＝V P ­AD 1C ，所以体积不变，故①正确；连结A 1C 1，A 1B ，可得平面ACD 1∥平面A 1C 1B .又因为A 1P ⊂平面A 1C 1B ，所以A 1P ∥平面ACD 1，故②正确；当点P 运动到B 点时，△DBC 1是等边三角形，所以DP 不垂直于BC 1，故③不正确；因为AC ⊥平面DD 1B 1B ，DB 1⊂平面DD 1B 1B ，所以AC ⊥DB 1.同理可得AD 1⊥DB 1.所以DB 1⊥平面ACD 1.又因为DB 1⊂平面PDB 1.所以平面PDB 1⊥平面ACD1.故④正确．综上，正确的序号为①②④.答案：①②④3．(2019·某某调研)在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3a，BC＝2a，D是BC的中点，E，F分别是AA1，CC1上一点，且AE＝CF＝2a.(1)求证：B1F⊥平面ADF；(2)求三棱锥B1­ADF的体积；(3)求证：BE∥平面ADF.解：(1)证明：因为AB＝AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC.在直三棱柱ABC­A1B1C1中，因为B1B⊥底面ABC，AD⊂底面ABC，所以AD⊥B1B.因为BC∩B1B＝B，所以AD⊥平面B1BCC1，因为B1F⊂平面B1BCC1，所以AD⊥B1F.在矩形B1BCC1中，因为C1F＝CD＝a，B1C1＝CF＝2a，所以Rt△DCF≌Rt△FC1B1，所以∠CFD＝∠C1B1F，所以∠B1FD＝90°，所以B1F⊥FD.因为AD∩FD＝D，所以B1F⊥平面AFD.(2)因为B1F⊥平面AFD，所以V B1­ADF＝13·S△ADF·B1F＝13×12×AD×DF×B1F＝52a33.(3)证明：连结EF，EC，设EC∩AF＝M，连结DM，因为AE＝CF＝2a，所以四边形AEFC为矩形，所以M为EC中点，因为D为BC中点，所以MD∥BE.因为MD⊂平面ADF，BE⊄平面ADF，所以BE∥平面ADF.。

第五节直线、平面垂直的判定及其性质强化训练当堂巩固1.PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是 ( )①平面PAB⊥平面PBC②平面PAB⊥平面PAD③平面PAB⊥平面PCD④平面PAB⊥平面PACA.①②B.①③C.②③D.②④答案：A解析:易证BC⊥平面PAB，则平面PAB⊥平面PBC；又AD∥BC，故AD⊥平面PAB，则平面PAD⊥平面PAB，因此选A.2.设a、b、c表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是 ( )A.c⊥α，若c⊥β，则α∥βB.b⊂α，c⊄α，若c∥α，则b∥cC.b⊂β，若b⊥α，则β⊥αD.b⊂β，c是a在β内的射影，若b⊥c，则b⊥a答案：C解析:C选项的逆命题为b⊂β，若β⊥α则b⊥α.因为根据平面垂直的性质定理，如果两个平面垂直，其中一个平面内的直线只有垂直于交线的才垂直另一个平面,所以此逆命题不正确.故选C.3.已知a、b是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题:①若a⊥α，a⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；④若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b.其中正确命题的序号有 .答案：①④解析:垂直于同一直线的两平面平行，①正确；α与β也可能相交，②错；a、b也可异面，③错；由面面平行性质知，a∥b，④正确.4.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°.(1)求证:PC⊥BC;(2)求点A到平面PBC的距离.(1)证明:∵PD⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,∴PD⊥BC.由∠BCD=90°,得BC⊥DC.又PD∩DC=D,PD⊂平面PCD,DC⊂平面PCD,∴BC⊥平面PCD.∵PC ⊂平面PCD,∴PC ⊥BC.(2)解:连接AC,设点A 到平面PBC 的距离为h.∵AB ∥DC,∠BCD=90°, ∴∠ABC=90°.从而由AB=2,BC=1,得△ABC 的面积ABCS1=.由PD ⊥平面ABCD 及PD=1,得三棱锥P —ABC 的体积V=ABC 1S 3·PD=13. 因为PD ⊥平面ABCD,DC ⊂平面ABCD, 所以PD ⊥DC.又PD=DC=1,所以PC=22PD DC 2+=. 由PC ⊥BC,BC=1, 得△PBC 的面积BC2S2P =, 由V=BC 1S3P ·h=1322⋅·h=13,得h=2. 因此,点A 到平面PBC 的距离为2. 课后作业巩固提升题组一 线面垂直的判定与性质1.设a 、b 是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列四个命题中正确的是 ( ) A.若a ⊥b ，a ⊥α，则b ∥α B.若a ∥α，α⊥β，则a ⊥β C.若a ⊥β，α⊥β，则a ∥αD.若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β 答案：D解析:A 中，b 可能在α 内；B 中，a 可能在β内，也可能与β平行或相交(不垂直)；C 中，a 可能在α内；D 中，a ⊥b ，a ⊥α，则b ⊂α或b ∥α，又b ⊥β，∴α⊥β.2.若a 、b 是空间两条不同的直线，α、β是空间的两个不同的平面，则a ⊥α的一个充分条件是 ( ) A.a ∥β，α⊥βB.a ⊂β，α⊥βC.a ⊥b ，b ∥αD.a ⊥β，α∥β答案：D解析:只有选项D ，a ⊥β，α∥β⇒a ⊥α.3.如图,已知四边形ABCD 是矩形,且PA ⊥平面ABCD,下列结论中不正确的是 ( )A.PB ⊥BCB.PD ⊥CDC.PB ⊥BDD.PA ⊥BD 答案：C解析:由线面垂直的判定定理及线面垂直的定义可知A\,B\,D 正确.4.m 、n 是空间两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下面四个命题中，真命题的序号是. ①m ⊥α，n ∥β，α∥β⇒m ⊥n ；②m ⊥n ，α∥β，m ⊥α⇒n ∥β； ③m ⊥n ，α∥β，m ∥α⇒n ⊥β；④m ⊥α，m ∥n ，α∥β⇒n ⊥β.答案：①④解析:①显然正确；②错误，n 还可能在β内；③错误，n 可能与β相交但不垂直；④正确.5.给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的 ( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分也非必要条件 答案：B题组二 平面与平面垂直的判定与性质6.在正方体ABCD —1111A B C D 中,找一个平面与平面11DA C 垂直,则该平面是 . (写出满足条件的一个平面即可) 答案：平面1ABD解析:连接1AD ,在正方形1111ADD A ,AD A D,⊥中 又AB ⊥平面111ADD A ,A D ⊂平面11ADD A ，∴AB ⊥1AD .又1AD ∩AB=A,∴1A D ⊥平面1ABD ， 又111A D DA C ⊂平面， 故平面1ABD ⊥平面11DA C .7.如图,在斜三棱柱ABC-111A B C 中，∠BAC=90°1BC ⊥AC ，则1C 在底面ABC 上的射影H 必在 ( )A.直线AB 上B.直线BC 上C.直线AC 上D.△ABC 内部 答案：A解析:由AC ⊥AB ，AC ⊥1BC ，得AC ⊥平面1ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴平面1ABC ⊥平面ABC ，1C 在面ABC 上的射影H 必在二平面交线AB 上.8.如图所示,四边形ABCD 是矩形,PA ⊥平面ABCD,则图中互相垂直的平面共有 ( )A.3对B.4对C.5对D.6对 答案：D解析：∵PA ⊥面ABCD,且PA ⊂面PAB,PA ⊂面PAD,PA ⊂面PAC, ∴面PAB 和面PAC 和面PAD 都与面ABCD 垂直. 又AD ⊥PA,AD ⊥AB,∴AD ⊥面PAB. 又AD ⊂面PAD,∴面PAB ⊥面PAD. 同理可证面PBC ⊥面PAB,面PCD ⊥面PAD.9.如图,圆柱1OO 内有一个三棱柱ABC-111A B C ,三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形,且AB 是圆O 的直径.(1)证明:平面1111A ACC B BCC ⊥平面;(2)设AB= 1AA ,在圆柱1OO 内随机选取一点,记该点取自于三棱柱ABC-111A B C 内的概率为p. (ⅰ)当点C 在圆周上运动时,求p 的最大值;(ⅱ)记平面11A ACC 与平面1B OC 所成的角为θ(0°<θ≤90°).当p 取最大值时,求cos θ的值. 解法一: (1)∵1A A ⊥平面ABC,BC ⊂平面ABC, ∴1A A ⊥BC.∵AB 是圆O 的直径,∴BC ⊥AC. 又AC ∩1A A =A,∴BC ⊥平面11A ACC .而BC ⊂平面11B BCC ,所以平面11A ACC ⊥平面11B BCC . (2)(ⅰ)设圆柱的底面半径为r, 则AB=1A A =2r,故三棱柱ABC —111A B C 的体积11V 2=AC ·BC ·2r=AC ·BC ·r. 又2222222AC BCAC BC AB 4r ,AC BC 2r ,2++==∴⋅≤=当且仅当AC=BC=2r 时等号成立.从而, 31V 2r ≤.而圆柱的体积23V r 2r 2r ππ=⋅=,故313V 2r 1p V 2r ππ=≤=, 当且仅当AC=BC=2r,即OC ⊥AB 时等号成立. 所以,p 的最大值等于1π. (ⅱ)由(ⅰ)可知,p 取最大值时,OC ⊥AB.于是,以O 为坐标原点,建立空间直角坐标系O —xyz(如图),则C(r,0,0),B(0,r,0), ()1B 0,r,2r .∵BC ⊥平面11A ACC ,∴BC =(r,-r,0)是平面11A ACC 的一个法向量. 设平面1B OC 的法向量n =(x,y,z),由1OC, rx 0,OB ,ry 2rz 0.⊥=⎧⎧⎨⎨⊥+=⎩⎩得n n故x 0,y 2z.=⎧⎨=-⎩取z=1,得平面1B OC 的一个法向量为n =(0,-2,1). ∵0°<θ≤90°, ∴cos θ=|cos ,BC n |=BC 10|||||BC 552r⋅==⋅⋅n n .解法二: (1)同解法一.(2)(ⅰ)设圆柱的底面半径为r, 则AB= 1AA =2r,故三棱柱ABC-111A B C 的体积V 1=1〖〗2AC ·BC ·2r=AC ·BC ·r.设∠BAC=α(0°<α<90°),则AC=ABcos α=2rcos α,BC=ABsin α=2rsin α, 由于AC ·BC=2224r sin cos 2r sin22r ααα=≤, 当且仅当sin2α=1,即α=45°时等号成立.故31V 2r ≤.而圆柱的体积23V r ?2r 2r ππ==, 故313V 2r 1p V 2r ππ=≤=,当且仅当sin2α=1,即α=45°时等号成立. 所以,p 的最大值等于1π.(ⅱ)同解法一. 解法三: (1)同解法一.(2)(ⅰ)设圆柱的底面半径为r,则1AB AA 2r ==,故圆柱的体积23V r 2r 2r ππ=⋅=. 因为p=1V V,所以当1V 取得最大值时,p 取得最大值. 又因为点C 在圆周上运动,所以当OC ⊥AB 时,△ABC 的面积最大. 进而,三棱柱ABC-111A B C 的体积1V 最大,且其最大值为12·2r ·r ·2r=23r . 故p 的最大值为1π. (ⅱ)同解法一.题组三 直线、平面垂直的综合问题10.在正四面体P-ABC 中,D,E,F 分别是AB,BC,CA 的中点,下面四个结论中不成立的是( ) A.BC ∥平面PDF B.DF ⊥平面PAEC.平面PDF ⊥平面ABCD.平面PAE ⊥平面ABC答案：C解析：如图所示，∵BC ∥DF ，∴BC ∥平面PDF.∴A 正确.由图形知BC ⊥PE,BC ⊥AE, ∴BC ⊥平面PAE.∴DF ⊥平面PAE,∴B 正确.∴平面ABC ⊥平面PAE(BC ⊥平面PAE). ∴D 正确.11.正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为 .答案：23解析:如图，底面△BCD 为正三角形，BC=CD=DB=2.∴2又由于AB ⊥AD 且AC ⊥AD. ∴AD ⊥平面ABC.∴()3A BCD D ABC112V V 2323--==⨯=. 12.如图, AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点.平面AEC 外一点F 满足FB=FD=5a FE 6a =，.(1)证明：EB ⊥FD;(2)已知点Q,R 分别为线段FE,FB 上的点，使得FQ=23FE,FR=23FB,求平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值.解：(1)证明：连接CF.∵AEC 是半径为a 的半圆,AC 为直径,点E 为AC 的中点,∴EB ⊥AC. 在△EBF 中5a FE 6a =，, ∴222EB FB EF +=. ∴△EBF 为Rt △,且EB ⊥FB. 又∵FB ∩AC=B, ∴EB ⊥平面FBD.又∵FD ⊂平面FBD,∴EB ⊥FD. (2)设平面BED 与平面RQD 的交线为DG. 由FQ=23FE,FR=23FB,知QR ∥EB. 而EB ⊂平面BDE, ∴QR ∥平面BDE,而平面BDE ∩平面RQD=DG, ∴QR ∥DG ∥EB.由(1)知,BE ⊥平面BDF,∴DG ⊥平面BDF, 而DR ⊂平面BDF,BD ⊂平面BDF ，∴DG ⊥DR,DG ⊥BD.∴∠RDB 是平面BED 与平面RQD 所成二面角的平面角. ∵点B 和点C 为线段AD 的三等分点， ∴C 为BD 的中点. 又FB ＝FD,∴FC ⊥BD. 在Rt △BCF 中, ()2222CF BF BC 5a a 2a =-=-= ,过R 作RH ⊥BC,垂足为H.∴FC ∥RH.又FR=23FB,∴BR=13FB. ∴RH=13FC=23a,BH=13BC=a 3.∵HD=HC+CD=5a3,∴22222529RH HD a a a 333⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴sin ∠RDB=2aRH2293RD2929a ==. 故平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值是22929.。

直线与平面垂直的判定及其性质测试题(答案)直线与平面垂直的判定与性质一、选择题1．两异面直线在平面α内的射影（）A．相交直线 B．平行直线C．一条直线—个点 D．以上三种情况均有可能2．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面（）A．有且只有—个 B．可能存在也可能不存在C．有无数多个 D．—定不存在3．在空间，下列哪些命题是正确的（）①平行于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③平行于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同—个平面的两条直线互相平行．A．仅②不正确 B．仅①、④正确 C．仅①正确 D．四个命题都正确4．若平面α的斜线l在α上的射影为l′，直线b∥α，且b⊥l′，则b与l（）A．必相交 B．必为异面直线 C．垂直 D．无法确定5．下列命题①平面的每条斜线都垂直于这个平面内的无数条直线；②若一条直线垂直于平面的斜线，则此直线必垂直于斜线在此平面内的射影；③若平面的两条斜线段相等，则它们在同一平面内的射影也相等；④若一条线段在平面外并且不垂直于这个平面，则它的射影长一定小于线段的长．其中，正确的命题有（）A．1个 B．2个 C．3个 n 4个6．在下列四个命题中，假命题为（）A．如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直B．垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边C．过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内D．如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面7．已知P是四边形ABCD所在平面外一点且P在平面ABCD内的射影在四边形ABCD内，若P到这四边形各边的距离相等，那么这个四边形是（）A．圆内接四边形 B．矩形 C．圆外切四边形 D．平行四边形8．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC 的距离等于（）A．5 B．25 C．35 D．45二、填空题9．AB是平面α的斜线段，其长为a，它在平面α内的射影A′B的长为b，则垂线A′A_________．10．如果直线l、m与平面α、β、γ满足：l＝β∩γ，l⊥α，α和m⊥γ，现给出以下四个结论：①α∥γ且l⊥m；②αγ且m∥β③αβ且l⊥m；④αγ且l⊥m；其中正确的为“________”．（写出序号即可）11．在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有____________个．12．如图，正方形ABCD，P是正方形平面外的一点，且PA⊥平面ABCD 则在△PAB、△PBC、△PCD、△PAD、△PAC及△PBD中，为直角三角形有_________个．13．给出以下四个命题（1）两条平行直线在同一平面内的射影一定是平行直线；（2）两条相交直线在同一平面内的射影一定是相交直线；（3）两条异面直线在同一平面内的射影—定是两条相交直线；（4）一个锐角在平面内的射影一定是锐角．其中假命题的共有_________个．14．若一个直角在平面α内的射影是一个角，则该角最大为___________．三、解答题15．已知直线a∥平面α,直线b⊥平面α，求证：a⊥b．16．如图，在长方体AC1中，已知AB＝BC＝a，BB1＝b（b＞a），连结BC1，过Bl作B1⊥BC1交CC1于E，交BC1于Q，求证：AC⊥平面EBlD117．如图在△ABC中，已知∠ABC＝90°，SA⊥△ABC所在平面，又点A 在SC和SB上的射影分别是P、Q．求证：PQ⊥SC．18．已知在如图中，∠BAC在平面α内，点α，PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥α，垂足分别是E、F、O，PE＝PF，求证：∠BAO＝∠CAO，19．已知：点P与直线a，试证；过点P与a垂直的直线共面．20．四面体ABCD的棱AB⊥CD的充要条件是AC2＋BD2＝AD2＋BC2．四、思考题对于一个三角形，它的三条高线总相交于—点，而对于一个四面体，它的四条高线是否总相交于一点呢?若不总相交于一点，则怎样的四面体其四条高线才相交于一点呢?这是一个美丽而非凡的问题，请读者进行研究拓展．参考答案一、选择题1．D 2．B 3．B 4．C 5．A 6．A 7．C 8．D二、填空题9．a－b 10．③、④ 11．4 12．5 13．4 14．180°三、解答题 2215．证明：设β为过a的平面，且α∩β＝l．∵a∥α，∴a∥l．∵b⊥l，∴b⊥a．16．证明：∵AB⊥面B1C，BC1为AC1在平面B1C上的射影，且B1E⊥BC1，∴由三垂线定理知B1E⊥AC1．又∵AA1⊥面A1C1，AB＝BC，A1C1⊥B1D1，A1C1是AC1在面A1C1上的射影∴由三垂线定理得AC1⊥B1D1．又∵B1E∩B1D1＝B1，∴AC1⊥平面EB1D1．17．证明：∵SA⊥面ABC，面ABC，∴SA⊥BC．又∵AB⊥BC且SA∩AB＝A，∴BC⊥面SAB，面SAB．∴BC⊥AQ，又AQ⊥SB，BC∩SB＝B．∵AQ⊥面SBC．∴PQ是斜线AP在平面SBC上的射影，又∵AQ⊥SC，∴由三垂线定理的逆定理可得PQ⊥SC．18．证明：∵PO⊥α，PE＝PF，∴OE＝OF，又∵PE⊥AB、PF⊥AC，∴OE⊥AB、OF⊥AC．故Rt△AOE≌Rt△AOF，∴∠BAO＝∠CAO．19．证明：如图，在点P和直线a所在的平面β内，过点P作直线a 的垂线b，设垂足为A．设过点P与β垂直的直线为c，则必有c⊥a，再设由b、c确定的平面为α，则必有a⊥α．设l是过点P与a垂直的直线，下证：α．若α，设由l与c确定的平面为α′，则由a⊥l，a⊥c，l∩c＝P，∴a⊥α′，这样平面α与α′都是过点P与直线a垂直的平面．这是一个错误的结论，因此，假设不成立，故必有α，也就是说过点P与a垂直的直线均在平面α内，于是本题获证．20．证明：先证必要性：过B作CD的垂线，垂足E，连AE，∵CD⊥AB，∴CD⊥平面ABE，∴CD⊥AE．∴AC2＝AE2＋CE2、BD2＝BE2＋DE2；又有AD2＝AE2＋DE2、BC2＝BE2＋CE2．∴AC2＋BD2＝AE2＋BE2＋CE2＋DE2，而AD2＋BC2＝AE2＋BE2＋CE2＋DE2．∴AC2＋BD2＝AD2＋BC2．再证充分性：过A点作CD的垂线，垂足设为F，于是有：AD2＝AF2＋DF2、BC2＝BE2＋CE2；AC2＝AF2＋CF2、BD2＝BE2＋DE2；∵AD2＋BC2＝AC2＋BD2；∴AF2＋DF2＋BE2＋CE2＝AF2＋CF2＋BE2＋DE2∴DF2＋CE2＝CF2＋DE2，∴DF2―CF2＝DE2―CE2，∴（DF＋CF）（DF－CF）＝（DE＋CE）（DE－CE），∴DF－CF＝DE－CE．∴DF＋CE＝DE＋CF．∴E、F只能重合于一点，故有CD⊥平面ABE，∴CD⊥AB．四、思考题我们称：三对对棱分别互相垂直的四面体为对棱垂直的四面体．可以证明：对棱垂直的四面体的四条高线相交于一点，反过来，若一个四面体，若它的四条高线相交于一点，则该四面体一定是对棱垂直的四面体．。

1．直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的位置关系为________．解析：因为a⊥α，b∥α，所以a⊥b，但不一定相交．答案：a⊥b2．“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的________条件．解析：根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”，反之可以，所以应该是必要不充分条件．答案：必要不充分3．已知l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与直线m垂直，则直线n 与平面α的关系是________．解析：因为l⊂α，且l与n异面，所以n⊄α，又因为m⊥α，n⊥m，所以n∥α.答案：n∥α4．在空间中，给出下面四个命题：①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；②若平面外两点到平面的距离相等，则过两点的直线必平行于该平面；③垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④若两个平面相互垂直，则一个平面内的任意一条直线必定垂直于另一个平面内的无数条直线．其中正确命题的序号是________．解析：易知①④正确；对于②，过两点的直线可能与平面相交；对于③，垂直于同一条直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面．答案：①④5．设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，且α⊥β”的平面α，β有________对．解析：过直线a的平面α有无数个，当平面α与直线b平行时，两直线的公垂线与b 确定的平面β⊥α，当平面α与b相交时，过交点作平面α的垂线与b确定的平面β⊥α.答案：无数6．PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连结PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有________对．解析：由于PD⊥平面ABCD.故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PDC，共7对．答案：77.(2016·潍坊模拟)如图，在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论成立的序号是________．①BC∥平面PDF；②DF⊥平面PAE；③平面PDF⊥平面PAE；④平面PDE⊥平面ABC.解析：因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，①成立；易证BC⊥平面PAE，BC∥DF，所以结论②，③均成立；点P在底面ABC内的射影为△ABC 的中心，不在中位线DE上，故结论④不可能成立．答案：①②③8．已知直线m、n和平面α、β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，要使n⊥β，则应增加条件的序号是________．①m∥n；②n⊥m.解析：由面面垂直的性质定理可知，当n⊥m时，有n⊥β.答案：②9．设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，给出下列命题：①若l⊥α，则l与α相交；②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n.其中正确命题的序号为________．解析：①显然正确；对②，只有当m，n相交且l⊄α时，才能l⊥α，故②错误；对③，由l∥m，m∥n⇒l∥n，由l⊥α得n⊥α，故③正确；对④，由l∥m，m⊥α⇒l⊥α，再由n⊥α⇒l∥n.故④正确．答案：①③④10．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有________个．解析：若α，β换为直线a，b，则命题化为“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥β，且a⊥b⇒b⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a ，b ，则命题化为“a ∥α，且b ⊥α⇒a ⊥b ”，此命题为真命题．答案：211．(2016·邯郸月考)在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1为矩形，AB ＝1，AA 1＝2，D 为AA 1的中点，BD 与AB 1交于点O ，CO ⊥侧面ABB 1A 1.(1)证明：BC ⊥AB 1；(2)若OC ＝OA ，求三棱锥C 1­ABC 的体积．解：(1)证明：由题意BD ＝AB 2＋AD 2＝62，AB 1＝ 3. 且△AOD ∽△B 1OB ，所以AO OB 1＝DO OB ＝AD BB 1＝12， 所以OD ＝13BD ＝66，AO ＝33， 所以AO 2＋OD 2＝AD 2，所以AB 1⊥BD ，又CO ⊥侧面ABB 1A 1，所以AB 1⊥CO ，又BD 与CO 交于点O ，所以AB 1⊥平面CBD ， 又因为BC ⊂平面CBD ，所以BC ⊥AB 1.(2)因为OC ＝OA ＝33，且A 1C 1∥平面ABC ， 所以VC 1­ABC ＝VB 1­ABC ＝VC ­ABB 1＝13S △ABB 1·OC ＝13×12×1×2×33＝618. 12．已知侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，且AD ＝AA 1，点F 为棱BB 1的中点，点M 为线段AC 1的中点．(1)求证：MF ∥平面ABCD ；(2)求证：平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1.证明：(1)如图，延长C 1F 交CB 的延长线于点N ，连结AN.因为F 是BB 1的中点，所以F 为C 1N 的中点，B 为CN 的中点．又M 是线段AC 1的中点，所以MF ∥AN.又MF ⊄平面ABCD ，AN ⊂平面ABCD ，所以MF ∥平面ABCD.(2)连结BD ，由题知A 1A ⊥平面ABCD ，又因为BD ⊂平面ABCD ，所以A 1A ⊥BD. 因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD.又因为AC∩A 1A ＝A ，AC ⊂平面ACC 1A 1，A 1A ⊂平面ACC 1A 1，所以BD ⊥平面ACC 1A 1.在四边形DANB 中，DA ∥BN ，且DA ＝BN ，所以四边形DANB 为平行四边形．所以NA ∥BD ，所以NA ⊥平面ACC 1A 1.又因为NA ⊂平面AFC 1，所以平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1.1．已知m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则给出下列条件：①m ∥n ，n ∥α；②m ⊥n ，n ⊥α；③m ∥β，m ⊄α，α∥β；④m ⊥β，α⊥β.其中能使m ∥α成立的充分条件的序号为________．解析：因为①②④均存在m ⊂α的可能，由条件③⇒m ∥α.答案：③2．在正四棱锥P-ABCD 中，PA ＝32AB ，M 是BC 的中点，G 是△PAD 的重心，则在平面PAD 中经过G 点且与直线PM 垂直的直线有________条．解析：设正四棱锥的底面边长为a ，(如图)则侧棱长为32a. 因为PM ⊥BC ，所以PM ＝⎝⎛⎭⎫32a 2－⎝⎛⎭⎫a 22＝22a. 连结PG 并延长与AD 相交于N 点，连结MN ，则PN ＝22a ，MN ＝AB ＝a ， 所以PM 2＋PN 2＝MN 2，所以PM ⊥PN ，又PM⊥AD，PN∩AD＝N，PN，AD⊂平面PAD，所以PM⊥平面PAD，所以在平面PAD中经过G点的任意一条直线都与PM垂直．答案：无数3．假设平面α∩平面β＝EF，AB⊥α，CD⊥β，垂足分别为B，D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，现有下面四个条件：①AC⊥α；②AC与α，β所成的角相等；③AC 与BD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.其中能成为增加条件的是________．(把你认为正确的条件序号都填上)解析：如果AB与CD在一个平面内，可以推出EF垂直于该平面，又BD在该平面内，所以BD⊥EF.故要证BD⊥EF，只需AB，CD在一个平面内即可，只有①③能保证这一条件．答案：①③4．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列说法正确的是________．(填序号)①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直；④对任意位置，三对直线“AC与BD”“AB与CD”“AD与BC”均不垂直．解析：找出图形在翻折过程中变化的量与不变的量．对于①，过点A作AE⊥BD，垂足为E，过点C作CF⊥BD，垂足为F，在图(1)中，由边AB、BC不相等可知点E、F不重合．在图(2)中，连结CE，若直线AC与直线BD垂直，因为AC∩AE＝A，所以BD⊥平面ACE，所以BD⊥CE，与点E、F不重合相矛盾，故①错误．对于②，若AB⊥CD，因为AB⊥AD，AD∩CD＝D，所以AB⊥平面ADC，所以AB⊥AC，由AB<BC可知存在这样的等腰直角三角形，使得直线AB与直线CD垂直，故②正确．对于③，若AD⊥BC，因为DC⊥BC，AD∩DC＝D，所以BC⊥平面ADC，所以BC⊥AC.已知BC＝2，AB＝1，BC>AB，所以不存在这样的直角三角形．所以③错误．由上可知④错误，故正确的说法只有②.答案：②5．(2016·云南省师大附中模拟)如图，在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2，M为AB的中点．(1)证明：AC ⊥SB ；(2)求点B 到平面SCM 的距离．解：(1)证明：取AC 的中点D ，连结DS ，DB.因为SA ＝SC ，BA ＝BC ，所以AC ⊥DS ，且AC ⊥DB ，DS ∩DB ＝D ，所以AC ⊥平面SDB ，又SB ⊂平面SDB ，所以AC ⊥SB.(2)因为SD ⊥AC ，平面SAC ⊥平面ABC ，所以SD ⊥平面ABC.过D 作DE ⊥CM 于E ，连结SE ，则SE ⊥CM ，所以在Rt △SDE 中，SD ＝1，DE ＝12， 所以SE ＝52，CM 是边长为2的正△ABC 的中线，所以CM ＝3， 所以S △SCM ＝12 CM ·SE ＝12×3×52＝154， S △BMC ＝12·12AB ·CM ＝14×2×3＝32. 设点B 到平面SCM 的距离为h ，则由V B ­SCM ＝V S ­BCM 得13S △SCM ×h ＝13S △BMC ×SD ， 所以h ＝S △BMC ·SD S △SCM ＝32154＝255. 6．如图1，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G.将△ABF 沿AF 折起，得到如图2所示的三棱锥A-BCF ，其中BC ＝22.(1)证明：DE ∥平面BCF ；(2)证明：CF ⊥平面ABF ；(3)当AD ＝23时，求三棱锥F-DEG 的体积V F ­DEG . 解：(1)证明：如题图1，在等边三角形ABC 中，AB ＝AC.因为AD ＝AE ，所以AD DB ＝AE EC，所以DE ∥BC ， 所以DG ∥BF ，如题图2，DG ⊄平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，所以DG ∥平面BCF. 同理可证GE ∥平面BCF.因为DG∩GE ＝G ，所以平面GDE ∥平面BCF ，所以DE ∥平面BCF.(2)证明：如题图1，在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点，所以AF ⊥FC ，所以BF ＝FC ＝12BC ＝12. 在题图2中，因为BC ＝22，所以BC 2＝BF 2＋FC 2，所以∠BFC ＝90°， 所以FC ⊥BF.因为BF∩AF ＝F ，BF ，AF ⊂平面ABF ，所以CF ⊥平面ABF.(3)因为AD ＝23，所以BD ＝13，AD ∶DB ＝2∶1， 在题图2中，AF ⊥FC ，AF ⊥BF ，所以AF ⊥平面BCF ，由(1)知平面GDE ∥平面BCF ，所以AF ⊥平面GDE.在等边三角形ABC 中，AF ＝32AB ＝32， 所以FG ＝13AF ＝36，DG ＝23BF ＝23×12＝13＝GE ， 所以S △DGE ＝12DG ·EG ＝118，所以V F ­DEG ＝13S △DGE ·FG ＝3324.。

8.4 直线、平面垂直的判定与性质一、填空题1．如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B 的任一点，则图形中有________对线面垂直．解析由题可知PA⊥平面ABC，又因为BC⊥AC，PA⊥BC，所以BC⊥平面PAC，故有2对线面垂直．答案 22．已知a，b，l是不同的直线，α，β是不重合的平面，有下列命题：①若a⊥β，α⊥β，则a∥α；②若a∥α，a⊥b，则b⊥α；③若a∥b，l⊥α，则l⊥b；④α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.以上命题正确的个数是________．解析①a⊂α也成立；②不正确；③l与a，b没有任何关系；④显然不正确．答案03．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，PE⊥BD，E为垂足，则PE的长为________．答案13 54．设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(填序号)．解析因为当n⊥β，m⊥α时，平面α及β所成的二面角与直线m，n所成的角相等或互补，所以若m⊥n，则α⊥β，从而由①③④⇒②；同理若α⊥β，则m⊥n，从而由②③④⇒①.答案①③④⇒②或②③④⇒①5．(1)三角形的一边BC在平面α内，l⊥α，垂足为A，A∉BC，P在l上滑动，点P不同于A，若∠ABC是直角，则△PBC是________三角形；(2)直角三角形PBC的斜边BC在平面α内，直角顶点P在平面α外，P在平面上的射影为A，则△ABC是________三角形．(填“锐角”“直角”或“钝角”)解析(1)如图，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又∵∠ABC＝90°∴BC⊥AD，∴BC⊥平面PAB，∴∠PBC＝90°.(2)如图，PB2＋PC2＝BC2，AB＜PB，AC＜PC，所以AB2＋AC2＜BC2，故∠BAC为钝角．答案(1)直角(2)钝角6．已知a、b为直线，α、β为平面．在下列四个命题中，①若a⊥α，b⊥α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a⊥α，a⊥β，则α∥β；④若b∥α，b∥β，则α∥β.正确命题的序号是________．解析由“垂直于同一平面的两直线平行”知①真；由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知②假；由“垂直于同一直线的两平面平行”知③真；易知④假．答案①③7．如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G，这样，下列五个结论：①SG⊥平面EFG；②SD⊥平面EFG；③GF⊥平面SEF；④EF⊥平面GSD；⑤GD⊥平面SEF.其中正确的是________(填序号)．解析SG，EG，FG两两垂直，易推得①成立；EG2＝FG2，即EG＝FG又SE＝SF，易证④成立．答案①④8．已知三条不重合的直线m，n，l两个不重合的平面α，β，有下列命题①若l∥α，m∥β，且α∥β，则l∥m；②若l⊥α，m⊥β，且l∥m，则α∥β；③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α，其中真命题的序号是________．解析①不正确．②由条件，可得l⊥α，l⊥β，所以α∥β，②正确．③不正确．④由面面垂直的性质知正确．答案②④9．设α，β为两个不重合的平面，m，n为两条不重合的直线，给出下列四个命题；①若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n∥α；②若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；③若m⊥n，m∥α，n∥β，则α⊥β；④若n⊂α，m⊂β，α与β相交且不垂直，则n与m不垂直．其中，所有真命题的序号是________．解析①②正确；③错误，α，β相交或平行；④错误．m与n可以垂直，不妨令n＝α∩β，则在β内存在m⊥n.答案①②10．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则对于下列条件：①a⊥c，b⊥c；②α⊥β，a⊂α，b⊂β；③a⊥α，b∥α；④a⊥α，b⊥α，其中是a⊥b的一个充分不必要条件的是________．解析若a⊥α，b∥α，则a⊥b，反之显然不成立，故应填③.答案③11．已知P为△ABC所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则下列命题：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的个数是________．解析如图所示．∵PA⊥PC、PA⊥PB，PC∩PB＝P，∴PA⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴PA⊥BC.同理PB⊥AC、PC⊥AB.但AB不一定垂直于BC.答案3个12．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．解析因为PA⊂平面MOB，不可能PA∥平面MOB，故①错误；因为M、O分别为PB，AB的中点，所以MO∥PA，得MO∥面PAC，故②正确．又圆的直径可知BC⊥AC，又PA⊥平面ABC，所以BC⊥PA，所以BC⊥平面PAC，在空间过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以OC不可能与平面PAC垂直，故③错误；由③可知BC⊥平面PAC，又BC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC，故④正确．答案②④13．如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F 分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．解析由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.∴PB⊥EF.故①②③正确．答案①②③二、解答题14．如图，在空间四边形S­ABC中，SA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AN⊥SB于N，AM⊥SC于M.求证：(1)AN⊥BC；(2)SC⊥平面ANM.证明(1)由SA⊥平面ABC，BC⊂面ABC，知SA⊥BC.又BC⊥AB，且AB∩SA＝A，故BC⊥平面SAB.因为AN⊂平面SAB，所以AN⊥BC.(2)由AN⊥BC，AN⊥SB，且SB∩BC＝B，所以AN⊥平面SBC.又SC⊂平面SBC，所以AN⊥SC.又AM⊥SC，且AM∩AN＝A，所以SC⊥平面ANM.15．在菱形ABCD中，∠A＝60°，线段AB的中点是E，现将△ADE沿DE折起到△FDE的位置，使平面FDE和平面EBCD垂直，线段FC的中点是G.(1)证明：直线BG∥平面FDE；(2)判断平面FEC和平面EBCD是否垂直，并证明你的结论．解析(1)延长DE、CB相交于点H，连接HF.因为菱形ABCD，且E为AB的中点，所以BE∥CD，BE＝12 CD.所以B为HC的中点．因为G为线段FC的中点，所以BG∥HF. 因为GB⊄平面FDE，HF⊂平面FDE，所以直线BG∥平面FDE.(2)垂直．证明如下：由菱形ABCD及∠A＝60°，得△ABD是正三角形，因为E为AB的中点，所以AE⊥DE.所以FE⊥DE.因为平面FDE和平面EBCD垂直，且这两个平面的交线是DE，FE在平面FDE内，所以FE⊥平面EBCD.因为FE⊂平面FEC，所以平面FEC和平面EBCD垂直．16．在四面体ABCD中，AB＝AC，BD＝CD，平面ABC⊥平面BCD，点E、F分别为棱BC和AD的中点．(1)求证：AE⊥平面BCD；(2)求证：AD⊥BC；(3)若△ABC内的点G满足FG∥平面BCD，设点G构成集合T，试描述点集合T的位置．(不必说明理由)解析(1)连接AE，在△ABC中，AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC.又平面ABC⊥平面BCD，AE⊂平面ABC，平面ABC∩平面BCD＝BC，所以AE⊥平面BCD；(2)连接DE，因为BD＝CD，E为BC的中点，所以BC⊥DE.由(1)知AE⊥BC，又AE∩DE＝E，AE、DE⊂平面AED，所以BC⊥平面AED.又AD⊂平面AED，所以BC⊥AD，即AD⊥BC；(3)取AB、AC的中点M、N，所有的点G构成的集合T即为△ABC的中位线MN. 17．如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥CD，正方形ADEF所在的平面和平面ABCD 垂直，点H是BE的中点，点G是AE、DF的交点．(1)求证：GH∥平面CDE；(2)求证：BD⊥平面CDE.证明(1)因为G是AE与DF的交点，所以G是AE的中点．又H是BE的中点，所以在△EAB中，GH∥AB.因为AB∥CD，所以GH∥CD.又CD⊂平面CDE，GH⊄平面CDE，所以GH∥平面CDE.(2)平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD，因为ED⊥AD，ED⊂平面ADEF，所以ED⊥平面ABCD.所以ED⊥BD.又BD⊥CD，CD∩ED＝D，所以BD⊥平面CDE.【点评】解决立体几何中的平行和垂直关系问题主要步骤有：第一步：根据条件合理转化.第二步：写清推证平行或垂直的所需条件，注意要充分.第三步：写出结论.18．如图，在棱长均为4的三棱柱ABC­A1B1C1中，D、D1分别是BC和B1C1的中点．(1)求证：A1D1∥平面AB1D；(2)若平面ABC⊥平面BCC1B1，∠B1BC＝60°，求三棱锥B1­ABC的体积．解析(1)如图，连接DD1.在三棱柱ABC­A1B1C1中，因为D，D1分别是BC与B1C1的中点，所以B1D1∥BD，且B1D1＝BD.所以四边形B1BDD1为平行四边形．所以BB1∥DD1，且BB1＝DD1.又因为AA1∥BB1，AA1＝BB1，所以AA1∥DD1，AA1＝DD1.所以四边形AA1D1D为平行四边形．所以A1D1∥AD.又A1D1⊄平面AB1D，AD⊂平面AB1D，故A1D1∥平面AB1D.(2)法一在△ABC中，因为AB＝AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC. 因为平面ABC⊥平面B1C1CB，交线为BC，AD⊂平面ABC，所以AD⊥平面B1C1CB，即AD是三棱锥A­B1BC的高．在△ABC中，由AB＝AC＝BC＝4，得AD＝2 3.在△B1BC中，B1B＝BC＝4，∠B1BC＝60°，所以△B1BC的面积S△B1BC＝34×42＝4 3.所以三棱锥B1­ABC的体积，即三棱锥A­B1BC的体积V＝13×S△B1BC·AD＝13×43×23＝8.法二在△B1BC中，因为B1B＝BC，∠B1BC＝60°，所以△B1BC为正三角形，因此B1D⊥BC.因为平面ABC⊥平面B1C1CB，平面ABC∩平面B1C1CB＝BC，B1D⊂面B1C1CB，∴B1D⊥面ABC，即B1D是三棱锥B1­ABC的高．在△ABC中，由AB＝AC＝BC＝4，得△ABC的面积S△ABC＝34×42＝4 3.在△B1BC中，因为B1B＝BC＝4，∠B1BC＝60°，所以B1D＝2 3.所以三棱锥B1­ABC的体积V＝13×S△ABC·B1D＝13×43×23＝8.。

直线、平面垂直的判定及其性质建议用时：45分钟一、选择题1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是()A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥αC[A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊥α，错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．] 2．在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是()A[A选项中，因为CD⊥平面AMB，所以CD⊥AB；B选项中，AB与CD 成60°角；C选项中，AB与CD成45°角；D选项中，AB与CD夹角的正切值为 2.]3．(2019·东北三省三校联考)在四棱锥P-ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且P A＝AB＝2，则直线PB与平面P AC所成角为()A.π6 B.π4 C.π3 D.π2A[连接BD，交AC于点O.因为P A⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC，BD⊥P A.又因为P A∩AC＝A，所以BD⊥平面P AC，故BO⊥平面P AC.连接OP，则∠BPO即为直线PB与平面P AC所成角．又因为P A＝AB＝2，所以PB＝22，BO＝ 2.所以sin∠BPO＝BOPB＝12，所以∠BPO＝π6.故选A.]4．(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则() A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥ACC[如图．∵A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，∴B，D错；∵A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1C⊥BC1，∴A1E⊥BC1，故C正确；(证明：由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C，∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E⊂平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1)∵A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故A错．] 5．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD，则在三棱锥A-BCD中，下列结论正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABCD[∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB.又AD⊥AB，AD∩CD＝D，AD⊂平面ADC，CD⊂平面ADC，故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC，∴平面ADC⊥平面ABC.]二、填空题6．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，若该长方体的体积为82，则直线AC1与平面BB1C1C所成的角为．30°[连接BC1(图略)，由AB⊥平面BB1C1C知∠AC1B就是直线AC1与平面BB1C1C所成的角．由2×2×AA1＝82得AA1＝22，∴BC1＝BC2＋CC21＝23，在Rt△AC1B中，tan∠AC1B＝ABBC1＝223＝33，∴∠AC1B＝30°.]7．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则点A1到平面AB1D1的距离是．23[如图，△AB1D1中，AB1＝AD1＝5，B1D1＝2，∴△AB 1D 1的边B 1D 1上的高为(5)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝322，∴S △AB 1D 1＝12×2×322＝32，设A 1到平面AB 1D 1的距离为h ；则有S △AB 1D 1×h ＝S △A 1B 1D 1×AA 1， 即32h ＝12×2，解得h ＝23.]8．(2016·全国卷Ⅱ)α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n . ③如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β.④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 其中正确的命题有 ．(填写所有正确命题的编号)②③④ [对于①，α，β可以平行，可以相交也可以不垂直，故错误． 对于②，由线面平行的性质定理知存在直线l ⊂α，n ∥l ，又m ⊥α，所以m ⊥l ，所以m ⊥n ，故正确．对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又m ⊂α，所以m ，β没有公共点，由线面平行的定义可知m ∥β，故正确．对于④，因为m ∥n ，所以m 与α所成的角和n 与α所成的角相等．因为α∥β，所以n 与α所成的角和n 与β所成的角相等，所以m 与α所成的角和n 与β所成的角相等，故正确．]三、解答题9．(2018·北京高考)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，P A ＝PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面P AB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD.[证明](1)因为P A＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面P AD⊥平面ABCD，所以AB⊥平面P AD.所以AB⊥PD.又因为P A⊥PD，所以PD⊥平面P AB.因为PD⊂平面PCD，所以平面P AB⊥平面PCD.(3)取PC中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝12BC.因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝12BC.所以DE∥FG，DE＝FG.所以四边形DEFG为平行四边形，所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.10．(2019·太原模拟)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC上的一点，AB＝AC，且AD⊥BC.(1)求证：A1C∥平面AB1D；(2)若AB＝BC＝AA1＝2，求点A1到平面AB1D的距离．[解](1)证明：如图，连接BA1，交AB1于点E，再连接DE，据直棱柱性质知，四边形ABB1A1为平行四边形，E为AB1的中点，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴D是BC的中点，∴DE∥A1C，又DE⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D.(2)如图，在平面BCC1B1中，过点B作BF⊥B1D，垂足为F，∵D是BC中点，∴点C到平面AB1D与点B到平面AB1D距离相等，∵A1C∥平面AB1D，∴点A1到平面AB1D的距离等于点C到平面AB1D的距离，∴BF长为所求，在Rt△B1BD中，BD＝1，BB1＝2，B1D＝5，∴BF＝25＝255，∴点A1到平面AB1D的距离为255.1．如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部A[连接AC1(图略)，由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，得AC⊥平面ABC1.∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．]2．(2019·唐山模拟)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是()①②③④A．①②B．②④C．①③D．②③B[对于①，易证AB与CE所成角为45°，则直线AB与平面CDE不垂直；对于②，易证AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，则AB⊥平面CDE；对于③，易证AB与CE所成角为60°，则直线AB与平面CDE不垂直；对于④，易证ED⊥平面ABC，则ED⊥AB，同理EC⊥AB，可得AB⊥平面CDE.故选B.] 3．如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是．①②③[由BC⊥AC，BC⊥P A可得BC⊥平面P AC，又AF⊂平面P AC，所以AF⊥BC，又AF⊥PC，则AF⊥平面PBC，从而AF⊥PB，AF⊥BC，故①③正确；由PB⊥AF，PB⊥AE可得PB⊥平面AEF，从而PB⊥EF，故②正确；若AE⊥平面PBC，则由AF⊥平面PBC知AE∥AF与已知矛盾，故④错误．] 4．(2019·西宁模拟)已知三棱柱ABC-A1B1C1，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，又知BA1⊥AC1.(1)求证：AC1⊥平面A1BC；(2)求点C到平面A1AB的距离．[解](1)证明：∠BCA＝90°得BC⊥AC，因为A1D⊥平面ABC，所以A1D⊥BC，A1D∩AC＝D，所以BC⊥平面A1ACC1，所以BC⊥AC1.因为BA1⊥AC1，BA1∩BC＝B，所以AC1⊥平面A1BC.(2)作DE⊥AB于点E，连接A1E，作DF⊥A1E于点F.因为A1D⊥平面ABC，所以A1D⊥AB，DE⊥AB，DE∩A1D＝D，所以AB⊥平面A1DE，又DF⊂平面A1DE，所以AB⊥DF，由DF⊥A1E，A1E∩AB＝E，所以DF⊥平面A1AB，由(1)及已知得DE＝22，A1D＝3，Rt△A1DE中，DF ＝A 1D ·DE A 1E ＝217， 因为D 是AC 中点，所以C 到面A 1AB 距离2217.1．(2019·衡阳模拟)如图，在四面体ABCD 中，AD ⊥BD ，截面PQMN 是矩形，则下列结论不一定正确的是( )A ．平面BDC ⊥平面ADCB ．AC ∥平面PQMNC ．平面ABD ⊥平面ADCD ．AD ⊥平面BDCD [由PQ ∥MN ，MN ⊂平面ADC ，PQ ⊄平面ADC ，得PQ ∥平面ADC ，又PQ⊂平面ABC，平面ABC∩平面ADC＝AC，∴PQ∥AC，同理QM∥BD，因为PQ⊥QM，∴AC⊥BD，又BD⊥AD，AC∩AD＝A，∴BD⊥平面ADC，∴平面BDC⊥平面ADC，平面ABD⊥平面ADC，∴A和C选项均正确；由PQ∥AC，得AC∥平面PQMN，∴B选项正确．∵不能得到AD⊥DC或AD⊥BC，∴不能得到AD⊥平面BDC，故选项D 不一定正确．故选D.]2．(2019·泉州模拟)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，M，N分别是AB，AA1的中点，且A1M⊥B1N.(1)求证：B1N⊥A1C；(2)求M到平面A1B1C的距离．[解](1)证明：如图，连接CM.在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥CM .在△ABC 中，AC ＝BC ，AM ＝BM ，所以CM ⊥AB .又AA 1∩AB ＝A ，所以CM ⊥平面ABB 1A 1.因为B 1N ⊂平面ABB 1A 1，所以CM ⊥B 1N .又A 1M ⊥B 1N ，A 1M ∩CM ＝M ，所以B 1N ⊥平面A 1CM .因为A 1C ⊂平面A 1CM ，所以B 1N ⊥A 1C .(2)法一：连接B 1M .在矩形ABB 1A 1中，因为A 1M ⊥B 1N ，所以∠AA 1M ＝∠A 1B 1N .所以tan ∠AA 1M ＝tan ∠A 1B 1N ，即AM AA 1＝A 1N A 1B 1. 因为△ABC 是边长为2的正三角形，M ，N 分别是AB ，AA 1的中点，所以AM ＝1，CM ＝3，A 1B 1＝2.设AA 1＝x ，则A 1N ＝x 2.所以1x ＝x 22，解得x ＝2.从而S △A 1B 1M ＝12S 正方形ABB 1A 1＝2，A 1C ＝B 1C ＝2 2.在△A 1CB 1中，cos ∠A 1CB 1＝A 1C 2＋B 1C 2－A 1B 212A 1C ·B 1C ＝34，所以sin ∠A 1CB 1＝74，所以S △A 1B 1C ＝12A 1C ·B 1C ·sin ∠A 1CB 1＝7.设点M 到平面A 1B 1C 的距离为d ，由V 三棱锥M -A 1B 1C ＝V 三棱锥C -A 1B 1M ，得13S △A 1B 1C ·d ＝13S △A 1B 1M ·CM ，所以d ＝S △A 1B 1M ·CM S △A 1B 1C ＝2217，即点M 到平面A 1B 1C 的距离为2217. 法二：在矩形ABB 1A 1中，因为A 1M ⊥B 1N ，所以∠AA 1M ＝∠A 1B 1N ，所以tan ∠AA 1M ＝tan ∠A 1B 1N ，即AM AA 1＝A 1N A 1B 1. 因为△ABC 是边长为2的正三角形，M ，N 分别是AB ，AA 1的中点， 所以AM ＝1，CM ＝3，A 1B 1＝2.设AA 1＝x ，则A 1N ＝x 2，所以1x ＝x22，解得x ＝2.如图，取A 1B 1的中点D ，连接MD ，CD ，过M 作MO ⊥CD 于O .在正方形ABB 1A 1中，易知A 1B 1⊥MD ，由(1)可得CM ⊥A 1B 1，又CM ∩MD ＝M ，所以A 1B 1⊥平面CDM .因为MO ⊂平面CDM ，所以A 1B 1⊥MO .又MO ⊥CD ，A 1B 1∩CD ＝D ，所以MO ⊥平面A 1B 1C ，即线段MO 的长就是点M 到平面A 1B 1C 的距离．由(1)可得CM⊥MD，又MD＝2，所以由勾股定理，得CD＝CM2＋MD2＝7.S△CMD＝12·CD·MO＝12·CM·MD，即12×7×MO＝12×3×2，解得MO＝2217，故点M到平面A1B1C的距离为221 7.。

直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1、“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件2、如果一条直线l与平面α的一条垂线垂直，那么直线l与平面α的位置关系是（）A、l⊂αB、l⊥αC、l∥αD、l⊂α或l∥α3、若两直线a⊥b，且a⊥平面α，则b与α的位置关系是（）A、相交B、b∥αC、b⊂αD、b∥α，或b⊂α4、a∥α，则a平行于α内的( )A、一条确定的直线B、任意一条直线C、所有直线D、无数多条平行线5、如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的 ( )A、一条直线不相交B、两条直线不相交C、无数条直线不相交D、任意一条直线都不相交6、若直线l上有两点P、Q到平面α的距离相等，则直线l与平面α的位置关系是( )A、平行B、相交C、平行或相交D、平行、相交或在平面α内二、填空题7、过直线外一点作直线的垂线有条；垂面有个；平行线有条；平行平面有个.8、过平面外一点作该平面的垂线有条；垂面有个；平行线有条；平行平面有个.9、过一点可作________个平面与已知平面垂直.10、过平面α的一条斜线可作_________个平面与平面α垂直.11、过平面α的一条平行线可作_________个平面与平面α垂直.三、解答题12、求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面13、过一点和已知平面垂直的直线只有一条14、有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂一条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一直线上）,C D，如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？15、已知直线l⊥平面α，垂足为A，直线AP⊥l求证：AP在α内参考答案一、选择题1、B ；2、D ；3、D ；4、D ；5、D ；6、D二、填空题7、无数，一，一，无数8、一，无数，无数，一9、无数10、一个11、一个三、解答题12、已知：a∥b,a⊥α 求证：b⊥α证明：设m 是α内的任意一条直线αααα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥b m m b b a m a m a //13、已知：平面α和一点P 求证：过点P 与α垂直的直线只有一条证明：不论P 在平面α内或外，设直线PA α⊥，垂足为A（或P ） 若另一直线PB α⊥，设,PA PB 确定的平面为β，且a αβ=I ∴,PA a PB a ⊥⊥又∵,PA PB 在平面β内，与平面几何中的定理矛盾 所以过点P 与α垂直的直线只有一条βαa P B A14、解：在ABC∆和ABD∆中，∵8,6,10=====AB m BC BD m AC AD m Array∴222222+=+==6810AB BC AC222222+=+==AB BD AD6810∴90ABC ABD∠=∠=o即,⊥⊥AB BC AB BD又∵,,B C D不共线∴AB⊥平面BCD，即旗杆和地面垂直；15、证明：设AP与l确定的平面为β如果AP不在α内，则可设α与β相交于直线AM∵l⊥α，∴l⊥AM又AP⊥l，于是在平面β内过点A有两条直线垂直于l，这是不可能的所以AP一定在α。

2025高考数学一轮复习-7.4-直线、平面垂直的判定与性质-专项训练基础巩固练1.能保证直线a与平面α平行的条件是()A.b⊂α,a∥bB.b⊂α,c∥α,a∥b,a∥cC.b⊂α,A,B∈a,C,D∈b,且AC∥BDD.a⊄α,b⊂α,a∥b2.在三棱台ABC-A1B1C1中,直线AB与平面A1B1C1的位置关系是()A.相交B.平行C.在平面内D.不确定3.已知a,b,c为三条不重合的直线,α,β,γ为三个不重合的平面,现给出以下四个命题:① ∥ ∥ ⇒α∥β;② ∥ ∥ ⇒α∥β;③ ∥ ∥ ⇒a∥α;④ ∥ ∥ ⇒a∥β.其中为真命题的是()A.①②③B.①④C.②D.①③④4.(2023连云港质检)若过直线l外两点作与l平行的平面,则这样的平面()A.不存在B.只有一个C.有无数个D.不能确定5.(多选题)如图所示,P为矩形ABCD所在平面外一点,矩形对角线的交点为O,M为PB的中点,给出以下结论,其中正确的是()A.OM∥PDB.OM∥平面PCDC.OM∥平面PDAD.OM∥平面PBA6.(多选题)(2023无锡调研)设a,b是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则α∥β的一个充分条件是()A.存在一条直线a,a∥α,a∥βB.存在一条直线a,a⊂α,a∥βC.存在一个平面γ,满足α∥γ,β∥γD.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α7.如图,E,F,G分别是四面体ABCD的棱BC,CD,DA的中点,则此四面体中与过点E,F,G的截面平行的棱是.8.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,E,F,N分别是A1B1,B1C1,C1D1,D1A1的中点,求证:(1)E,F,B,D四点共面;(2)平面MAN∥平面EFDB.9.如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1.(1)求证:平面A1BD∥平面B1D1C.(2)若E,F分别是AA1,CC1的中点,求证:平面EB1D1∥平面FBD.综合提升练10.(多选题)四棱锥的平面展开图如图所示,其中四边形ABCD为正方形,点E,F,G,H分别为PA,PD,PC,PB的中点,则在原四棱锥中()A.平面EFGH∥平面ABCDB.BC∥平面PADC.AB∥平面PCDD.平面PAD∥平面PAB11.如图,点A,B,C,M,N为正方体的顶点或所在棱的中点,则下列各图中,不满足直线MN∥平面ABC的是()A BC D12.(2023苏州月考)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,点D1为A1C1上的点.当 1 1 1 1=时,BC1∥平面AB1D1.第12题图第13题图13.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为AA1的中点,点P在侧面BCC1B1上运动,当点P满足条件时,A1P∥平面BCD.(填一个满足题意的条件即可)14.如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E为PB的中点.(1)求证:CE∥平面PAD.(2)在线段AB上是否存在一点F,使得平面PAD∥平面CEF?若存在,请证明你的结论;若不存在,请说明理由.创新应用练15.如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱BC,CC1的中点,P是侧面BCC1B1内一点,若A1P∥平面AEF,则线段A1P的长度的取值范围是()A.1,2 D.[2,3]参考答案1.D2.B3.C4.D5.ABC6.CD7.BD,AC8.证明(1)如图,连接B1D1.∵E,F分别是B1C1和C1D1的中点,∴EF∥B1D1.又BD∥B1D1,∴BD∥EF.∴E,F,B,D四点共面.(2)由题意知MN∥B1D1,B1D1∥BD,∴MN∥BD.又MN⊄平面EFDB,BD⊂平面EFDB,∴MN∥平面EFDB,如图,连接MF.∵点M,F分别是A1B1与C1D1的中点,∴MF AD.∴四边形ADFM是平行四边形.∴AM∥DF.∵AM⊄平面EFDB,DF⊂平面EFDB,∴AM∥平面EFDB.又AM∩MN=M,∴平面MAN∥平面EFDB.9.证明(1)因为B1B DD1,所以四边形BB1D1D是平行四边形,所以B1D1∥BD.又BD⊄平面B1D1C,B1D1⊂平面B1D1C,所以BD∥平面B1D1C.同理A1D∥平面B1D1C.又A1D∩BD=D,所以平面A1BD∥平面B1D1C.(2)由BD∥B1D1,B1D1⊂平面EB1D1,BD⊄平面EB1D1,得BD∥平面EB1D1.如图,取BB1的中点G,连接AG,GF,易得AE∥B1G,又因为AE=B1G,所以四边形AEB1G是平行四边形,所以B1E∥AG.易得GF∥AD,又因为GF=AD,所以四边形ADFG是平行四边形,所以AG∥DF,所以B1E ∥DF,又B1E⊂平面EB1D1,DF⊄平面EB1D1,所以DF∥平面EB1D1.又因为BD∩DF=D,所以平面EB1D1∥平面FBD.10.ABC11.D12.113.P是CC1的中点(答案不唯一)14.解(1)如图,取P A的中点H,连接EH,DH,因为E为PB的中点,所以EH∥AB,且EH=12AB,又AB∥CD,且CD=12AB,所以EH∥CD,且EH=CD,所以四边形DCEH为平行四边形,所以CE∥DH,又DH⊂平面PAD,CE⊄平面PAD,所以CE ∥平面PAD.(2)存在.当F为AB的中点时,平面P AD∥平面CEF.证明如下:如图,取AB的中点F,连接CF,EF,则AF=12AB,因为CD=12AB,所以AF=CD,又AF∥CD,所以四边形AFCD为平行四边形,所以CF∥AD.又AD⊂平面PAD,CF⊄平面PAD,所以CF∥平面PAD,由(1)知CE∥平面PAD,又CE∩CF=C,CE,CF⊂平面CEF,所以平面CEF∥平面PAD.故当F为AB的中点时,平面PAD∥平面CEF.15.B。

2025年高考数学一轮复习-直线、平面垂直的判定定理-专项训练案基础巩固练1.已知直线l,m与平面α,β,γ,且l=β∩γ,l∥α,m⊂α,m⊥γ,则必有()A.l⊥mB.m∥βC.m⊥βD.l∥m2.如图,将一张三角形纸片沿着BC边上的高AD翻折后竖立在桌面上,则折痕AD所在直线与桌面α所成的角等于()A.150°B.135°C.90°D.60°3.(2023盐城月考)如图,在圆柱OO'中,AA'是侧面的母线,AB是底面的直径,C是底面圆上一点,则()A.BC⊥平面A'ACB.BC⊥平面A'ABC.AC⊥平面A'BCD.AC⊥平面A'AB4.如图所示,在平行四边形ABCD中,AB⊥BD,沿BD将△ABD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AC,则在四面体ABCD的四个面中,互相垂直的平面的对数为()A.1B.2C.3D.45.(多选题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以下四个选项正确的是()A.D1C∥平面A1ABB1B.A1D1与平面BCD1相交C.AD⊥平面D1DBD.平面BCD1⊥平面A1ABB1第5题图第6题图6.(多选题)(2023苏州月考)如图,在四面体D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列结论错误的是()A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE7.已知a,b,c是三条直线,α是平面,若c⊥a,c⊥b,a⊂α,b⊂α,且(填上一个条件即可),则有c⊥α.8.在四面体A-BCD中,AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠BCD=90°,A-BD-C为直二面角,E是CD的中点,则∠AED=.9.如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AC与BD交于点O,PA⊥平面ABCD,且PA=2.(1)求证:BD⊥平面PAC.(2)求PD与平面PAC所成角的大小.综合提升练10.(多选题)已知m,n是两条不相同的直线,α,β是两个不重合的平面,则下列命题为真命题的是()A.若m,n是异面直线,m⊂α,m∥β,n⊂β,n∥α,则α∥βB.若m⊥n,m⊥β,则n∥βC.若n∥α,n⊥β,则α⊥βD.若m⊥α,n∥β,α∥β,则m⊥n11.在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠PCA=90°,△ABC是边长为4的正三角形,PC=4,M是边AB上的一动点,则PM的最小值为()A.23B.27C.43D.4712.在三棱锥P-ABC中,PC=8,AC=3,BC=8,∠ACB=60°,点P到三角形ABC三边的距离相等,且点P在平面ABC上的射影落在三角形ABC内,则CP与平面ABC所成角的正切值为()A.344B.33C.11D.3313.(2023兴化质检)如图,检查工件的相邻两个面是否垂直时,只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动,观察尺边是否和这个面密合就可以了,该做法的原理是.第13题图第14题图14.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1所有经过四个顶点的平面中,垂直于平面ABC1D1的平面有.15.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为矩形,△SAD为等腰直角三角形,SA=SD=22,AB=2,F是BC的中点.(1)在AD上是否存在点E,使得平面SEF⊥平面ABCD?若存在,求出点E的位置;若不存在,请说明理由.(2)△SBC为等边三角形,在(1)的条件下,求直线SE与平面SBC所成角的正弦值.创新应用练16.如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,∠BAP=∠CDP=90°,△PAD是正三角形,且PA=AB.(1)当点M在线段PA上什么位置时,有DM⊥平面PAB?(2)在(1)的条件下,点N在线段PB上什么位置时,有平面DMN⊥平面PBC?参考答案1.A2.C3.A4.C5.AD6.ABD7.a∩b=A(答案不唯一)8.90°9.(1)证明因为四边形ABCD是正方形,所以AC⊥BD,又因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD,因为PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,所以BD⊥平面PAC.(2)解如图,连接PO,因为BD⊥平面PAO,所以∠DPO为PD与平面PAC所成的角,因为AB=PA=2,所以AO=DO=2,所以PO=6,在Rt△DPO中,tan∠DPO= 柰 柰所以∠DPO=30°,即PD与平面P AC所成的角为30°.10.ACD11.B12.C13.面面垂直的判定定理14.平面A1B1CD,平面BCC1B1,平面ADD1A115.解(1)在线段AD上存在点E满足题意,且E为AD的中点.如图,取AD的中点E,连接EF,SE,SF,因为四边形ABCD是矩形,所以AB⊥AD.又E,F分别是AD,BC的中点,所以EF∥AB,所以AD⊥EF.因为△SAD为等腰直角三角形,SA=SD,E为AD的中点,所以SE⊥AD.因为SE∩EF=E,SE⊂平面SEF,EF⊂平面SEF,所以AD⊥平面SEF.又AD⊂平面ABCD,所以平面SEF⊥平面ABCD.故在AD上存在中点E,使得平面SEF⊥平面ABCD.(2)如图,过点E作EG⊥SF于点G,由(1)知AD⊥平面SEF,又BC∥AD,则BC⊥平面SEF,又EG⊂平面SEF,所以BC⊥EG,又SF∩BC=F,所以EG⊥平面SBC,所以直线SE与平面SBC所成的角为∠ESG.由△SAD为等腰直角三角形,SA=SD=22,得AD=16=4,SE=22×224=2.又EF=AB=2,△SBC为等边三角形,BC=AD=4,所以SF=23,在△SEF中,SE=EF=2,SF=23,所以EG=22-(3)2=1.则sin∠ESG= 12,即直线SE与平面SBC所成角的正弦值为1216.解(1)如图①,当点M为线段PA的中点时,有DM⊥平面PAB.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD.又∠BAP=∠CDP=90°,即AB⊥AP,CD⊥DP,∴AB⊥DP,又DP⊂平面P AD,AP⊂平面PAD,PD∩AP=P,∴AB⊥平面PAD.又DM⊂平面PAD,∴AB⊥DM.∵△PAD是正三角形,PM=MA,∴DM⊥AP,又AP∩AB=A,AP⊂平面PAB,AB⊂平面PAB,∴DM⊥平面PAB.图①(2)在(1)的条件下,当DN⊥PB于点N时,有平面DMN⊥平面PBC,即当点N为线段PB上的靠近点P的四等分点时,有平面DMN⊥平面PBC,如图②.下面给出证明:在(1)的条件下,DM⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,∴DM⊥PB,又DN⊥PB,DN∩DM=D,DN⊂平面DMN,DM⊂平面DMN,∴PB⊥平面DMN.∵PB⊂平面PBC,∴平面DMN⊥平面PBC.不妨设AB=2,则PB=22=DB,PD=2.在△PDB中,由余弦定理得PD2=PB2+BD2-2PB·BD·cos∠DBP,即22=(22)2+(22)2-2×22×22cos∠DBP,解得cos∠DBP=34,∴BN=DB cos∠DBP=22×34 32,32222 34,∴当点N为线段PB上的靠近点P的四等分点时,有平面DMN⊥平面PBC.图②。

2024届高考数学立体几何专项练——（5）直线、平面垂直的判定与性质1.已知直线m ，n 和平面α，β，若αβ⊥，m αβ= ，n α⊂，要使n β⊥，则应增加的条件是()A.//m nB.//n αC.n m ⊥D.n α⊥2.已知在三棱锥P ABC -中，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，且PA PB PC ==，则点O 一定是ABC △的().A.内心B.外心C.重心D.垂心3.如图所示，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，侧棱1PA =，2PB PD ==，则它的五个面中，互相垂直的共有()A.3对B.4对C.5对D.6对4.设α，β，γ为不同的平面，m ，n ，l 为不同的直线，则下列条件中一定能得到m β⊥的是()A.m αγ= ，αγ⊥，βγ⊥ B.αβ⊥，l αβ= ，m l ⊥C.n α⊥，n β⊥，m α⊥ D.αγ⊥，βγ⊥，m α⊥5.在矩形ABCD 中，3AB =，4AD =，P 为矩形ABCD 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABCD ，435PA =，那么二面角A BD P --的大小为()A.30° B.45° C.60° D.75°6.在四边形ABCD 中，//AD BC ，AD AB =，45BCD ∠=︒，90BAD ∠=︒.如图，将ABD △沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A BCD -.则在三棱锥A BCD -中，下列结论正确的是()A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABD⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC7.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是()A. B.C. D.8.已知两个平面相互垂直，有下列命题：①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.49.在正四面体ABCD中,已知,E F分别是,AB CD上的点(不含端点),则()A.不存在,E F,使得EF CD⊥⊥ B.存在E,使得DE CDC.存在E,使得DE⊥平面ABCD.存在,E F,使得平面CDE⊥平面ABF10.（多选）已知m，n是空间中两条不同的直线，,αβ，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题不正确的是()A.若m α⊂，则m β⊥B.若m α⊂，n β⊂，则m n⊥C.若m α⊂/，m β⊥，则//m α D.若m αβ= ，n m ⊥，则n α⊥11.（多选）如图所示，PA 垂直于以AB 为直径的圆O 所在的平面，C 为圆上异于A ，B 的任一点，则下列关系中正确的是()A.PA BC⊥ B.AC PB ⊥C.BC ⊥平面PAC D.PC PB⊥12.（多选）在三棱锥P ABC -中,90,,ABC O M ∠=︒分别为,AC BC 的中点,PO ⊥平面ABC ,则下列判断中正确的是()A.//AB 平面OPMB.BC ⊥平面OPMC.BC PA ⊥D.平面ABC ⊥平面OPM13.如图所示，在直三棱柱中ABC -111A B C ，底面是以ABC ∠为直角的等腰三角形，2AC a =，13BB a =，D 是11A C 的中点，点E 在棱1AA 上，要使CE ⊥平面1B DE ，则AE =________.14.已知PD ⊥矩形ABCD 所在的平面，则图中相互垂直的平面有_____对.15.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，1AC BC ==，90ACB ︒∠=，D 是11A B 的中点，F 是1BB 上的动点，1AB ，DF 交于点E .要使1AB ⊥平面1C DF ，则线段1B F =_______.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，//,,2AB CD AB AD CD AB ⊥=，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥，E 和F 分别是CD 和PC 的中点.求证：(1)PA ⊥底面ABCD .(2)平面BEF ⊥平面PCD .17.如图，AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆O 上，//AB EF ，矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面互相垂直，已知3AB =，1EF =，（1）求证：平面ADF ⊥平面BCF .（2）设几何体F ABCD -，F BCE -的体积分别为1V ，2V ，求12:V V 的值.18.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，各棱长均为4，M ，N 分别是BC ，1CC 的中点.（1）求证：BN ⊥平面1AMB ；（2）求直线AB 与平面1AMB 所成角的余弦值.19.如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，点E 在棱1AA 上，1BE EC ⊥.（1）证明：BE ⊥平面11EB C ；（2）若1AE A E =，3AB =，求四棱锥11E BB C C -的体积.答案以及解析1.答案：C解析：由平面与平面垂直的性质定理可知，要使n β⊥，只需在αβ⊥，m αβ= ，n α⊂上增加条件n m ⊥.故选C.2.答案：B解析：如图所示，分别连接OA ，OB ，OC ，由PO ⊥平面ABC ，可得PO OA ⊥，PO OB ⊥，PO OC ⊥.又因为PA PB PC ==，所以利用勾股定理，可得OA OB OC ==，所以点O 一定是ABC △的外心.故选B.3.答案：C解析：因为1AB AD AP ===，2PB PD ==，所以222AB AP PB +=，222AD AP PD +=，所以PA AB ⊥，PA AD ⊥.因为AB AD A = ，所以PA ⊥底面ABCD .因为PA ⊂平面PAB ，PA ⊂平面PAD ，所以平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAD ⊥平面ABCD .因为四边形ABCD 是正方形，所以AB ⊥平面PAD ，可得平面PAB ⊥平面PAD ，BC ⊥平面PAB ，可得平面PAB ⊥平面PBC ，CD ⊥平面PAD ，可得平面PAD ⊥平面PCD .故选C.4.答案：C解析：在A 选项中，m αγ= ，αγ⊥，βγ⊥，则β和m 可能平行或相交，故A 错误；在B 选项中，αβ⊥，l αβ= ，m l ⊥，则m 与β相交或//m β或m β⊂，故B 错误；在C 选项中，因为n α⊥，n β⊥，所以//αβ，又m α⊥，所以m β⊥，故C 正确；在D 选项中，由αγ⊥，βγ⊥，不能推出//αβ，所以由m α⊥不能推出m β⊥，故D 错误.故选C.5.答案：A解析：过点A 作AO BD ⊥于点O ，连接PO ，则AOP ∠为二面角A BD P --的平面角.易知125AB AD AO BD ⋅==，所以3tan 3AP AOP AO ∠==，故30AOP ∠=︒.6.答案：D解析：在平面图形中，CD BD ⊥，折起后仍然满足CD BD ⊥.因为平面ABD ⊥平面BCD ，所以CD ⊥平面ABD ，CD AB ⊥.又因为AB AD ⊥，所以AB ⊥平面ADC ，所以平面ADC ⊥平面ABC .7.答案：D解析：对于A ，如图（1），连接AE ，由题可知MN AE ⊥，EB MN ⊥，AE EB E = ，MN ∴⊥平面AEB ，MN AB ⊥，同理可证QN AB ⊥.又MN QN N = ，AB ∴⊥平面MNQ .对于B ，AB 为上底面的对角线，显然AB MN ⊥.如图（2），连接FG .//QN FG ，AB FG ⊥，QN AB ∴⊥.又QN MN N = ，AB ∴⊥平面MNQ .对于C ，由题可知QN AB ⊥，AB MN ⊥，QN MN N = ，AB ∴⊥平面MNQ .对于D ，如图（3），连接KB ，//MN KB ，AB 与KB 所成角为60°，AB ∴与MN 所成角为60°，AB 与平面MNQ 不垂直.故选D.8.答案：A解析：对于①，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故①是假命题.对于②，设两个相互垂直的平面为α，β，平面α 平面m β=，n α⊂，l β⊂. 平面α⊥平面β，∴当l m ⊥时，必有l α⊥，而n α⊂，l n ∴⊥，而在平面β内与l 平行的直线有无数条，这些直线均与n 垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即②是真命题.对于③，当两个平面垂直时，一个平面内的任意一条直线不一定垂直于另一个平面，故③是假命题.对于④，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，若该直线不在第一个平面内，则此直线不一定垂直于另一个平面，故④是假命题.故选A.9.答案：D解析：为了方便解题，将正四面体ABCD 放入正方体中，如图所示.连接,HG OD ，对于选项A ，取,E F 分别为,AB CD 的中点，则易知EF CD ⊥，所以选项A 不正确；对于选项B ，在正方体中，易知CD ⊥平面ABHG ，因为过点D 且与平面ABHG 平行的平面不经过点E ，所以不存在E ，使得DE CD ⊥，故选项B 不正确；对于选项C ，在正方体中，易证OD ⊥平面ABC ，所以不存在E ，使得DE ⊥平面ABC ，故选项C 不正确；对于选项D ，设OD 与平面ABC 的交点为K ，连接CK ，只要令平面CDK 与AB 的交点为E 即可得平面CDE ⊥平面ABF ，故选项D 正确.10.答案：ABD解析：A 中，直线m 和β平面可能垂直，也可能平行或m 在平面β内，故A 不正确；B 中，直线m 与n 平行、异面或相交，故B 不正确；C 中，m β⊥，则直线//m α或m α⊂，又m α⊄，所以//m α，故C 正确；D 中，缺少条件n β⊂，故D 不正确，故选ABD.11.答案：AC解析：由题意得，PA ⊥平面ABC .BC ⊂ 平面ABC ，PA BC ∴⊥，故A 正确.AB 是圆O 的直径，C 为圆上异于A ，B 的任一点，AC BC ∴⊥，且PA AC A = ，PA ，AC ⊂平面PAC ，BC ∴⊥平面PAC ，故C 正确.假设AC PB ⊥，AC BC ⊥ ，PB BC B = ，AC ∴⊥平面PBC ，则AC PC ⊥，与题目矛盾，故假设不成立，故B 错误.由BC ⊥平面PAC 可得，BC PC ⊥，则PBC △为直角三角形，PC ∴不可能与PB 垂直，故D 错误.故选AC.12.答案：ABD解析：连接OM ,因为,O M 分别为,AC BC 的中点,所以//OM AB ,以//AB 平面OPM ,故选项A 正确;因为90ABC ∠=︒,所以BC AB ⊥.又//AB OM ,所以BC OM ⊥.又PO ⊥平面ABC ,所以PO BC ⊥.因为OM PO O =I ,所以BC ⊥平面OPM ,故选项B 正确;因为BC ⊥平面OPM ,所以BC PM ⊥.又AM 与BC 不垂直,所以BC PA ⊥不成立,故选项C 错误;因为BC ⊥平面,OPM BC ⊂平面ABC ,所以平面ABC ⊥平面OPM ,故选项D 正确,故选ABD.13.答案：a 或2a解析：由已知得1111A B B C =，又D 是11A C 的中点，所以111B D A C ⊥，又侧棱1AA ⊥底面ABC ，可得侧棱1AA ⊥平面111A B C ，又1B D ⊂平面111A B C ，所以11AA B D ⊥，因为1111AA A C A = ，所以1B D ⊥平面11AA C C ，又CE ⊂平面11AA C C ，所以1B D CE ⊥，故若CE ⊥平面1B DE ，则必有CE DE ⊥.设(03)AE x x a =<<，则2224CE x a =+，222(3)DE a a x =+-，又2222910CD a a a =+=，所以22222104(3)a x a a a x =+++-，解得x a =或2a .故答案为：a 或2a .14.答案：5解析：因为PD ⊥矩形ABCD 所在的平面且PD ⊂平面,PDA PD ⊂平面PDC .所以平面PDA ⊥平面ABCD ，平面PDC ⊥平面ABCD ，又因为四边形ABCD 为矩形，所以,BC CD CD AD ⊥⊥.因为PD ⊥矩形ABCD 所在的平面，所以,PD BC PD CD ⊥⊥.因为,PD AD D PD CD D ⋂=⋂=，所以CD ⊥平面,PAD BC ⊥平面PDC .因为CD ⊂平面,PDC BC ⊂平面PBC ，所以平面PDC ⊥平面PAD ，平面PBC ⊥平面PCD ，又//AB CD ，所以AB ⊥平面PAD ，又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD .综上相互垂直的平面有5对.15.答案：12解析：设1B F x =，因为1AB ⊥平面1C DF ,DF ⊂平面1C DF ，所以1AB DF ⊥.由已知可得112A B =，设11Rt AA B 的斜边1AB 上的高为h ,则12DE h =.由22222(2)h ⨯=+，得233h =，33DE =.在1Rt DEB 中，221236236B E ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由22622622x x ⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭,得12x =,即线段1B F 的长为12.16.答案：(1)见解析.(2)见解析.解析：(1)因为平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ⋂底面,ABCD AD PA =⊂平面,PAD PA AD ⊥，所以PA ⊥底面ABCD .(2)因为AB AD ⊥，四边形ABED 是平行四边形，所以,BE CD AD CD ⊥⊥.由(1)知PA ⊥底面ABCD ，所以PA CD ⊥.因为PA AD A ⋂=，所以CD ⊥平面PAD ，所以CD PD ⊥.因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点，所以//PD EF ，所以CD EF ⊥.因为,CD BE EF BE E ⊥⋂=，所CD ⊥平面BEF .因为CD ⊂平面PCD ，所以平面BEF ⊥平面PCD .17.（1）答案：见解析解析：如图，矩形ABCD 中，CB AB ⊥，平面ABCD 平面ABEF AB=平面ABCD ⊥平面ABEF ，所以BC ⊥平面ABEF又AF ⊆平面ABEFAF BC ⊥，又AB 为圆O 的直径，则AF BF ⊥.因为BC BF B = ，BC ，BF ⊆平面BCF ，所以AF ⊥平面BCF ，且AF ⊆平面ADF所以平面ADF ⊥平面BCF .（2）答案：6解析：几何体F ABCD -是四棱锥，F BCE -是三棱锥，过F 点作FH AB ⊥，交AB 于H ，平面ABCD ⊥平面ABEF ，FH ⊥平面ABCD 则113V AB BC FH =⨯⨯⨯，21132V EF FH BC ⎛⎫=⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，所以1226V AB V EF==.18.答案：（1）见解析（2）255解析：（1）因为AB AC =，且M 为BC 的中点，所以AM BC ⊥.在正三棱柱111ABC A B C -中，平面11BCC B ⊥平面ABC ，AM ⊂平面ABC ，且平面11BCC B 平面ABC BC =，所以AM ⊥平面11BCC B .因为BN ⊂平面11BCC B ，所以AM BN ⊥.因为M ，N 分别为BC ，1CC 的中点，所以2BM CN ==.又因为14BB CB ==，190MBB NCB ∠=∠=︒，所以1MBB NCB ≅△△，所以1BMB CNB ∠=∠，1BB M CBN ∠=∠，所以190BMB CBN CNB CBN ∠+∠=∠+∠=︒，所以1BN B M ⊥.又因为AM ⊂平面1AMB ，1B M ⊂平面1AMB ，1AM B M M = ，所以BN ⊥平面1AMB .（2）设1BN B M O = ，连接AO .由（1）可知BO ⊥平面1AMB ，所以BAO ∠为AB 与平面1AMB 所成的角.连接AN ，由题可知224225AN BN ==+=，所以ABN △为等腰三角形，作NE AB ⊥于E ，则E 为AB 的中点，所以224NE BN BE =-=，所以448255AB NE AO BN ⋅⨯===.在Rt AOB △中，90AOB ∠=︒，所以25cos 5AO BAO AB ∠==，所以直线AB 与平面1AMB 所成角的余弦值为255.19.答案：（1）见解析（2）四棱锥11E BB C C -的体积为18解析：（1）由已知得11B C ⊥平面11ABB A ，BE ⊂平面11ABB A ，故11B C BE ⊥.又1BE EC ⊥，所以BE ⊥平面11EB C .（2）由（1）知190BEB ∠=︒.由题设知11Rt Rt ABE A B E ≅△△，所以1145AEB A EB ∠=∠=︒，故3AE AB ==，126AA AE ==.作1EF BB ⊥，垂足为F ，则EF ⊥平面11BB C C ，且3EF AB ==.所以，四棱锥11E BB C C -的体积1363183V =⨯⨯⨯=.。