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材料力学第十二章

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材料力学课件 第十二章

材料力学课件 第十二章

1.受力分析：沿圆环直径将它分成两部分，研究其上半部分；由已 知条件可知, 环内各点的向心加速度 ：
D 2 a n r 2 2
沿环轴线均匀分布的惯性力集度为：
A AD 2 qd an g 2g
方向与 a n相反。
2.平衡条件： 由：
y 0 2 N a q d sin
例如：把气缸盖螺栓由短螺栓变成长螺栓就是这个原故。
注意：上面的论述是对等截面杆而言的，不能用于变截面杆的 情况。
三、变截面杆同等截面杆的比较：
如图所示：一变截面杆，一等截面杆，同样受到重量 为Q，速度为v的重物的冲击，试比较它们的动应力。
A1 A2 A1
v
Q
s
L
A2
v
Q
L
根据机械能守恒定律，可求得两杆的冲击载荷分别为：
目录
§12-2 构件作匀加速直线运动 或匀速 转动时的应力计算
一、起重机匀加速吊杆问题（或：杆件匀加速运动问题）
a L m X n
原始数据：杆件的长度：L 横截面面积：A 材料的比重： 加 速 度 ：a
解：采用动静法（理论力学中的达朗伯原理）
1.受力分析：如图所示，在距下端为x的横截面mn处 将杆件分成两部分，并研究截面以下的 部分。
0

D d q d D 2
q d D AD 2 2 Na 2 4g N a 2 D 2 2 v 2 a A 4g g
(12-1)
式中： 讨论：
D v 2
——圆环轴线上的点的线速度
1． d 即：
d
v 2
g

(12-2)
(a)
(b)
(2) 由于冲击物体的初速度和最终速度都等于零，所以没有 动能变化。

材料力学第十二章

材料力学第十二章

§13-2 考虑惯性力时构件的动应力计算 二、匀加速直线运动构件的动应力 以加速度a提升重物，绳索横截面面积A， 1．引例： 材料容重g ，计算绳索横截面应力 Axg P aP a0 Fx 0 : FNd Axg g g FNd a FNd ( Axg P )(1 ) g m m FNd Axg P a Agx d (1 ) a x Ag x x A A g a g Axg P d kd st st A a kd 1 P P g Pg / a
qd
v Dw / 2 —圆环切向速度
pi D g D 2 2 g v 2 w 2t 4g g
§13-2
考虑惯性力时构件的动应力计算
例13-1 汽轮机叶轮匀速转动，n=3000r/min，叶轮外缘半径 R=103.4cm，叶片长l=3.4cm，截面积A=1.79cm2，叶根截 面积A1=A/2，材料容重g=7.75×10-2N/cm3，求叶根应力。 qd FNd 解：1)dx微段惯性力： gAdx 2 l dFd (w x ) g R x 2)单位长度惯性力： dFd gAw 2 qd x dx g
一、单自由度弹性体强迫振动引例 2．系统参数：
g Kg 1)固有频 w0 率w0： st P
..
2)阻尼系 n gc 数 n： 2P
.
y 2n y w 3．振动物体的微分方程：
Fc g 2 sin 0 y P
wt
4．小阻尼条件下(n< w0)，方程通解为：
2 y Ae nt sin( w0 n2 t ) B sin(w t e )
Fc g 1 B Pw 2 2 2 2 2 0 1 w / w 0 4n / w 0 w / w 0 e arctan 2nw 2 2 w w 0

材料力学 (12)

材料力学 (12)

π EI Fcr 2 ( 2l )
2
π EI Fcr 2 (0.7l )
C— 挠曲 线拐点 2
π 2 EI Fcr 2 (0.5l )
其它约束情况下，压杆临界力的欧拉公式
2 EI Fcr 2 ( l )
上式称为细长压杆临界压力的一般形式
欧拉公式
—长度系数（或约束系数）。 l —相当长度
记
2E 2 p 或写成
2E p p
2E p
p
则 欧拉公式的适用范围：
满足该条件的杆称为细长杆或大柔度杆
对A3钢，当取E=206GPa，σp=200MPa,则
2 2E 206 10 9 p 100 6 p 200 10
M w EI
F w w EI
w
F
w
F w w0 EI F 2 2 w k w0 令k , EI
（3）微分方程的解：w
Asin kx B cos kx
（4）确定积分常数：由边界条件 x=0，w=0；x=l，w=0 确定
由x 0, w 0,得B 0,
2 EImin Fcr ( l )2
(2 500) 2 76.8 103 (N) 76.8(kN)
l i
i I A
≤ 2，粗短杆
2E 1 P
a s 2 b
Fcr cr A
例 F
已知：压杆为Q235钢，l=0.5m，E=200GPa，求细长 压杆的临界压力。
解：I min I y 3.89cm 4 3.89104 mm 4
y0 x x1 x0 z0 x0 x x1 y0
所以，只有压杆的长细比λ≥100时，才能应用欧拉公式计算其 临界压力。

材料力学12

材料力学12

max m min

r
min 0 max
max
2
a m
a
t
3）静循环
m max min
min r 1 max
t
a 0
m max min
§12-2 循环特性、平均应力和应力幅度 二、几种特殊循环应力 1）对称循环应力

max1 max 2
r
N0—循环基数
S-N曲线
r—材料持久限
r—循环特性 1 —对称循环持久极限应力
N
N0 107
—钢材的循环基数
N1 N2
N0
钢材达到 N0 107 而未疲劳的 最大应力值为钢材的疲劳极限
§12-3 疲劳极限
二、疲劳极限(材料持久极限) 3）“条件”持久极限 有色金属没有明显趋于水平直线部分，通常规定循 环基数为 N0 108 对应且不引起疲劳的最大应力。
1）对称循环应力
max
min
M y Iz
max
M Wz
§12-2 循环特性、平均应力和应力幅度 二、几种特殊循环应力
1）对称循环应力
min r 1 max
max m min
a max
m 0
t
a
T
§12-2 循环特性、平均应力和应力幅度 二、几种特殊循环应力 2）脉动循环应力
max2 b 60%
. . . .
N1
N2
. . . .
. .
. .
max n
. .
Nn
第n根试件
§12-3 疲劳极限
一、疲劳试验 光滑小试件的弯曲疲劳试验 max1 max 2 2）疲劳试件 3）疲劳试验 一组光滑小试件（6~10根） 第一根试件 第二根试件

第十二章-力法及正则方程(材料力学课件)

第十二章-力法及正则方程(材料力学课件)

a2 2
2a
3
2a 3 3EI
1P
1 EI
2 3
qa 2 8
a
a
2
qa 4 24 EI
由 11 X1
1P
0得
X1
qa 16
XB
qa 16
,
YB
9qa 16
X
A
qa 16
,
YA
7qa 16
等截面梁的受力情况如图所示。试求Ａ、 Ｂ、Ｃ三处的约束力。
CL12TU85
M10 图
CL12TU83
11
1 EI
l 1
l EI
M10 图
1P
1 EI
Pl 2 8
1
Pl 2 8EI
由 11 X1
1P
0得X 1
Pl 8
MP图
vC
Pl 3 48EI
Pl l 2 2 8
16EI
Pl 3 192EI
求图示刚架的支反力。
CL12TU84
M10 图
MP图
11
2 EI
CL12TU86
解：载荷关于对角线AC 和BD反对称。
由平衡条件可得：
Q P cos45 2 P 2
M max
Pa 2
M max 发生在外载荷P作用点处
0 j
实际载荷引起的弯矩为M P
则： ii
l
M
0 i
M
0 i
EI
dx，
i j
l
M
0 i
M
0 j
EI
dx
i P
l
M
0 i
MP
EI
dx
平面刚架受力如图，各杆 EI=常数。试求 C处的约束力、支座反力。

材料力学 第12章

材料力学 第12章
集中质量势能
由静态量与冲击动态量之关系 得杆件变形能为 由能量守恒 于是冲击应力为
静载Q作用于C端，可求得C点的静位移 最大静应力发生在B截面，其表达式为 综合以上结果，可求出B截面处的最大冲击应力为
P=5kN
1m
6m
已知
木柱：E＝10GPa 橡皮：E＝8MPa
计算： 1. 木柱最大正应力？ 2. 在木柱上端垫20mm的橡皮 300mm ，木柱最大正应力为多少？
§12-3 构件受冲击载荷作用时的动应力计算
1. 工程中的冲击问题 锻锤与锻件的撞击，重锤打桩，用铆钉枪进行铆接，高速转 动的飞轮突然刹车等均为冲击问题，其特点是冲击物在极短 瞬间速度剧变为零，被冲击物在此瞬间经受很大的 和
2. 求解冲击问题的能量法
基本假定 ① 不计冲击物的变形；
② 冲击物与构件（被冲击物）接触后无回弹，二者合为一个运动系统； ③ 构件的质量（惯性）与冲击物相比很小，可略去不计，冲击应力 瞬时传遍整个构件； ④ 材料服从虎克定律； ⑤ 冲击过程中，声、热等能量损耗很小，可略去不计。
【解】以叶根为起始点建坐标x。设处横截面的面积为A(x) ，由 于横截面面积沿轴线按线性规律变化，故有：
这个表达式满足 处任取一微段 ，有
该点向心加速度为 惯性力为
截面以上部分杆件的惯性力是
设作用在截面上的轴力为 Nx，由平衡方程
最大轴力发生在叶根横截面上
处任取一微段 ，有 积分可求出叶片的总伸长
解得 从而可求得钢索横截面上的动应力为
其中
是P作为静载荷作用时钢索横 截面上的应力
是动荷系数
ห้องสมุดไป่ตู้
3. 等角速转动构件内的动应力分析
【例13-2】 图中一平均直径为D，壁厚为t的薄壁圆环，绕通过 其圆心且垂直于环平面的轴作均速转动。已知环的角速度 ， 环的横截面积A和材料的容重 ，求此环横截面上的正应力

材料力学动载荷(共59张PPT)

g 二、动荷系数
Kd
1a1 5 1.51 g 9.8
三、计算物体静止时，绳索所需的横截面积
由强度条件得
三、计算物体静止时，绳索所需的横截面积
因此，吊索受到冲击作用。 〔2〕H =1m, 橡皮垫d2 = 0. 当CD、EF两杆位于铅直平面内时， 冲击点静位移 最大应力为
FNd
Ast P840 0 11 0 3 0 60.51 03
二、构件作等速转动时的动应力
截面为A的薄壁圆环平均直径为 D，以 等角速度ω绕垂直于环平面且过圆心的平面转 动，圆环的比重为γ。求圆环横截面的动应力。
解：一、求薄壁圆环内动内力
(1)
an
2R
2
D 2
F
man
AD 2
g
D 2
(2)
qd
ma n
D
Aan
g
A 2 D
g2
Ro
qd
(2) qdm D na A g anA g 2D 2
P(1 b 2 )
3g
P (1 b 2 )
3g
b 2
P(1 ) 3g
2 P b 2
3g
Pl (1 b2 )
3
3g
Pl (1 b 2 )
3
3g
三、计算 ωmax 。
当CD、EF两杆位于铅直平面内时， CD杆中有最大轴力
FNmax
P
Pb2
g
P (1 b 2 ) 3g
A
P b 2 P
g
bF
E
B
b
解：制动前瞬时，系统的机械能
l
由机械能守恒，得
Td
JGIp l
T11 2J2, V 10, U 10

材料力学第十二章


设 R0 为轴线的曲率半径，e 为截面形心到中性轴的距离，由图 12-2 可 知
e R0 r 将式（12-1）代入式（d），得
（12-3）
M y
E
(d) d
yz dA 0
A
由于 y 轴是横截面的对称轴，有
A
yz
dA
0
所以式（d）便自动满足了。
将式（12-1）代入式（e），得
M
y dA E (d)
若材料的许用拉、压力应分别为[1] 和[ y ]，则曲杆正应力强度条件为
lmax [l ] | ymax | [ y ]
一般来说，由剪力 FS 引起的剪应力很小，可以不予考虑。
例 12-2 起重机吊钩上的载荷 P 100 kN （见图 12-13）。截面 m n 的尺 寸为 b1 40 mm ， b2 60 mm ， h 140 mm ， R1 260 mm ， R2 120 mm 。材 料的许用应力[ ] 160 MPa 。试校核吊钩的强度。
力 FN 叠加，得出截面内侧边缘处的最大拉应力为 A
l
M (R2 r) SR2
FN A
143.5
100 103 7 000 106
MPa
158 MPa
截面外侧边缘处的最大压应力为
y
M (R1 r) SR1
FN A
97.6
100 103 7 000 106
MPa
83.3 MPa
或写为
E y (d) r y d
（b）
由于对任一横截面上的不同点来说，E (d) 及中性层的曲率半径 r 都是常数， d
所以各点的正应力 只与坐标 y 有关。式（b）表明 沿截面高度按双曲线规
律变化（见图 12-3）。

材料力学第12章


A 3qa 7
q 4qa 7
1 qa
B 3 qa2 28
1
28 qa
14
28
§12–3 对称及对称性质的应用 一、对称结构的对称变形与反对称变形
结构几何尺寸、形状，构件材料及约束条件均对称于某一 轴，则称此结构为对称结构。当对称结构受力也对称于结构对 称轴，则此结构将产生对称变形。若外力反对称于结构对称轴， 则结构将产生反对称变形。
a
②选取并去除多余约束，代以多
q
余约束反力。
③建立力法正则方程
11X112 X 21P 0 21X1 22 X 22P 0
④计算系数 ij和自由项 iP
用莫尔定理求得
B q
B
A X1 X2
12
q B B
B
x2
x2
x2
A x1
A x1 1
A x1 1
1P

1 EI
A
P
C
B
l 2
P
C
B
X1
6
B 1X1 1P 0 变形协调方程
③用能量法计算 1P 和 1X1
由莫尔定理可得(图c、d、e)
(c) A
1P

1 EI
l
l P(
2
x
l 2
)xdx
5Pl3
48EI
1
1X1 EI
l 0
X
1xxdx
X1l 3 3EI
(d) A
a 0
(
12qx22 ) a
dx2


qa4 6EI
2P

1 EI
a 0
(
12qx22 )

材料力学 第十二章 压杆稳定


P ≤ Pcr
(1) P ≤ Pcr
干扰力去掉后， 干扰力去掉后，杆件由微小弯曲回到 直线位置，恢复原有的平衡状态，称压杆 直线位置，恢复原有的平衡状态， 稳定平衡。 直线状态的平衡是稳定平衡 直线状态的平衡是稳定平衡。
干扰力
P ≥ Pcr
P = Pcr
干扰力
干扰力
干扰力去掉后，杆件不能回到直线位置， (2) P ≥ Pcr ; 干扰力去掉后，杆件不能回到直线位置，而继 续弯曲失去承载能力，称压杆直线状态的平衡是不稳定平衡 不稳定平衡。 续弯曲失去承载能力，称压杆直线状态的平衡是不稳定平衡。 干扰力去掉后， (3) P = Pcr ; 干扰力去掉后，杆件在干扰力作用下的微弯位 置保持平衡，不再回到直线位置，称压杆是随遇平衡 随遇平衡。 置保持平衡，不再回到直线位置，称压杆是随遇平衡。
40 1.5 1.5m 100 z y
【解】
Iy
I = I min = I y
100 × 403 20 i= = = mm A 12 × 100 × 40 3 µ l 0.7 ×1.5 ×103 × 3 λ= = = 90.9 i 20
λP = π
E
σP
70 ×103 =π × = 62.8 175
σP=200MPa。试求可用欧拉公式计算临界力时杆的长度。 试求可用欧拉公式计算临界力时杆的长度 试求可用欧拉公式计算临界力时杆的长度。
P 【解】 λ P = π
µl
E
σP
200 ×103 =π × = 99.3 200
A π d 2 / 4 4l = µl =l = λ= i I π d 4 / 64 d
l
l
长度系数
µ =1
µ=2
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这一章LZ遇到了一个6个选项的多选题，卧槽TMD，尝试了三十次才做对..但愿以后的童鞋能用的上吧。

2013年春郑大远程教育建筑工程专业材料力学在线测试第十二章
恭喜，交卷操作成功完成！你本次进行的《材料力学》第12章在线测试的得分为20分（满分20分），本次成绩已入库。

若对成绩不满意，可重新再测，取最高分。

测试结果如下：
1.1 [单选] [对] 如果细长压杆有局部消弱，消弱部分对压杆的影响是
1.2 [单选] [对] 一端固定一端自由的细长压杆，截面为正方形，若将一个边长改为原来的一半，其他条件不变，则临界压力是原来的
1.3 [单选] [对] 若细长压杆的长度系数减小一半，其他条件不变，则临界力
1.4 [单选] [对] 正方形截面细长压杆，横截面的边长a和杆长l成比例增加，它的临界力
1.5 [单选] [对] 中长杆的柔度要同时满足下列哪些条件？
2.1 [多选] [对] 等截面直压杆，材料相同、截面相同、长度相同，杆端约束分别为：①两端铰支的压杆②两端固定的压杆③一端固定一端铰支的压杆④一端固定一端自由的压杆，则2.2 [多选] [对] Q235钢的柔度界限值是λ≤λp
2.3 [多选] [对] 若压杆在两个方向上的约束情况不同，且长度系数μy＞μz。

那么压杆的合理截面应该满足的条件是
2.4 [多选] [对] 下列哪些情况下，临界应力与柔度无关大柔度杆中柔度杆小柔度杆λ≥λp λ≤61
2.5 [多选] [对] 从压杆的稳定性考虑，当杆端沿各个纵向平面支承情况相同时，应选择什么截面形状较合理。

3.1 [判断] [对] 小柔度杆的临界力与柔度无关。

3.2 [判断] [对] 压杆的长度系数与压杆的长度有关。

3.3 [判断] [对] 计算压杆临界力的欧拉公式知是用于大柔度杆。

3.4 [判断] [对] 稳定安全系数一般都大于强度计算时的安全系数。

3.5 [判断] [对] 从压杆的稳定性考虑，当杆端沿各个纵向平面支承情况不相同时，应选择矩形截面或工字形截面并尽量使各个方向的柔度接近。