北京市朝阳区高三数学理科一模试题及答案

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学试卷（理工类） 2016．3（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1． i 为虚数单位，复数2i 1i+= A ．1i - B ．1i -- C ．1i -+ D ．1i + 答案：D解析：分母实数化，即分子与分母同乘以分母的其轭复数：222(1)111i i i i i i -==++-。

2． 已知全集U =R ，函数ln(1)y x =-的定义域为M ，集合{}20N x x x =-<，则下列结论正确的是 A ．M N N = B ．()UMN =∅C ．M N U =D ．()U M N ⊆答案：D解析：∵函数 y ＝ln(x －1)的定义域M ＝{}|1x x >，N ＝{}|01x x <<，又U ＝R ∴{}|1U C N x x =≥≤或x 0，∴MN =∅，故 A ，C 错误，D 显然正确。

3． >e e ab>”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A解析>0a b >≥，又xy e =是增函数，所以，a b e e >，由a b e e >知a b >，但,a b 取负值时，,a b 无意义， 故选A 。

4． 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A ．42B ．19C ．8D ．3答案：B解析：依次执行结果如下：S ＝2×1＋1＝3，i ＝1＋1＝2，i ＜4； S ＝2×3＋2＝8，i ＝2＋1＝3，i ＜4； S ＝2×8＋1＝19，i ＝3＋1＝42，i ≥4； 所以，S ＝19，选B 。

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（理工类） 2012.3（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 复数10i12i=- A. 42i -+ B. 42i - C. 24i - D. 24i +2. 已知平面向量,a b 满足()=3a a +b ⋅，且2,1ab ，则向量a 与b 的夹角为A.6π B. 3π C. 32π D. 65π 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21()n n S a n N *=-∈，则5a =A. 16-B. 16C. 31D. 324. 已知平面α，直线,,a b l ，且,a b αα⊂⊂，则“l a ⊥且l b ⊥”是“l α⊥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5. 有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定.技术人员对它们进行一一测试， 直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是（ ）A. 16B. 24C. 32D. 486.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有(2)()f x f x +=.当01x ≤≤时，2()f x x =.若直线y x a =+与函数()y f x =的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是 A.0 B. 0或12-C. 14-或12-D. 0或14- 7. 某工厂生产的A 种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A 种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件. 从第二年开始，商场对A 种产品 征收销售额的%x 的管理费（即销售100元要征收x 元），于是该产品定价每件比第一年增加了70%1%x x ⋅-元，预计年销售量减少x 万件，要使第二年商场在A 种产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x 的取值范围是A. 2B. 6.5C. 8.8D. 108.已知点集{}22(,)48160A x y x y x y =+--+≤，{}(,)4,B x y y x m m 是常数=≥-+，点集A 所表示的平面区域与点集B 所表示的平面区域的边界的交点为,M N .若点(,4)D m 在点集A 所表示的平面区域内（不在边界上），则△DMN 的面积的最大值是A. 1B. 2C.D. 4第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上.9. 已知双曲线的方程为2213x y -=，则此双曲线的离心率为 ，其焦点到渐近线的距离为 .10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .（第10题图） （第11题图）11. 执行如图所示的程序框图，若输入k 的值是4，则输出S 的值是 .12.在极坐标系中，曲线ρθ=和cos 1ρθ=相交于点,A B ，则线段AB 的中点E 到极点的距离是 .13.已知函数213(),2,()24log ,0 2.x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是 .14.已知△ABC 中， 90,3,4C AC BC ∠=︒==.一个圆心为M ，半径为14的圆在△ABC正视图 侧视图内，沿着△ABC 的边滚动一周回到原位. 在滚动过程中，圆M 至少与△ABC 的一边相切，则点M 到△ABC 顶点的最短距离是 ，点M 的运动轨迹的周长是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.把答案答在答题卡上. 15. （本小题满分13分） 已知函数π()cos()4f x x =-.（Ⅰ）若()10f α=，求sin 2α的值； （II ）设()()2g x f x f x π⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭，求函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.16. （本小题满分13分）某次有1000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀.绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数； （Ⅲ）在（II ）中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参 加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数”为X ，求X 的分布列与数学期望.17. （本小题满分14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，=90ABD ∠︒，EB ⊥平面ABCD ，EF//AB ，=2AB ，==1EB EF ，=BC ，且M 是BD 的中点.（Ⅰ）求证：EM//平面ADF ； （Ⅱ）求二面角D-AF-B 的大小； （Ⅲ）在线段EB 上是否存在一点P， 使得CP 与AF 所成的角为30︒？ 若存在，求出BP 的长度；若不 存在，请说明理由.18. （本小题满分13分）设函数2e (),1axf x a x R =∈+. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；CA FEBMD（Ⅱ）求函数)(x f 单调区间. 19. （本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点分别为1(F ，2F .点(1,0)M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点N 的坐标为(3,2)，点P 的坐标为(,)(3)m n m ≠.过点M 任作直线l 与椭圆 C 相交于A ，B 两点，设直线AN ，NP ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，若 1322k k k +=，试求,m n 满足的关系式.20．（本小题满分13分）已知各项均为非负整数的数列001:,,,n A a a a ()n *∈N ，满足00a =，1n a a n ++=．若存在最小的正整数k ，使得(1)k a k k =≥，则可定义变换T ，变换T 将数列0A 变为数列00111():1,1,,1,0,,,k k n T A a a a a a -++++．设1()i i A T A +=，0,1,2i =．（Ⅰ）若数列0:0,1,1,3,0,0A ，试写出数列5A ；若数列4:4,0,0,0,0A ，试写出数列0A ； （Ⅱ）证明存在唯一的数列0A ，经过有限次T 变换，可将数列0A 变为数列,0,0,,0n n 个；（Ⅲ）若数列0A ，经过有限次T 变换，可变为数列,0,0,,0n n 个．设1m m m n S a a a +=+++，1,2,,m n =，求证[](1)1mm m S a S m m =-++，其中[]1m S m +表示不超过1m Sm +的最大整数． 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（理工类） 2012.3一、选择题：三、解答题：（15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为π()cos()410f αα=-=， 所以(cos sin )210αα+=， 所以 7cos sin 5αα+=. 平方得，22sin 2sin cos cos αααα++=4925， 所以 24sin 225α=.……………6分 （II ）因为()π()2g x f x f x ⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭=ππcos()cos()44x x -⋅+ =(cos sin )(cos sin )22x x x x +⋅- =221(cos sin )2x x - =1cos 22x . ……………10分当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 所以，当0x =时，()g x 的最大值为12； 当π3x =时，()g x 的最小值为14-. ……………13分 （16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意，0.0451000200,0.025*******a b =⨯⨯==⨯⨯=. ……………4分 （Ⅱ）设其中成绩为优秀的学生人数为x ，则350300100401000x ++=，解得：x =30， 即其中成绩为优秀的学生人数为30名. ……………7分（Ⅲ）依题意，X 的取值为0，1，2，2102403(0)52C P X C ===，1110302405(1)13C C P X C ===，23024029(2)52C P X C ===， 所以X 的分布列为350125213522EX =⨯+⨯+⨯=，所以X 的数学期望为2. ……………13分（17）（本小题满分14分） 证明：（Ⅰ）取AD 的中点N ，连接MN,NF .在△DAB 中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点，所以1=2MN//AB,MN AB ， 又因为1=2EF//AB,EF AB ，所以MN//EF 且MN =EF .所以四边形MNFE 为平行四边形，所以EM//FN .又因为FN ⊂平面ADF ，⊄EM 平面ADF ，故EM//平面ADF . …………… 4分 解法二：因为EB ⊥平面ABD ，AB BD ⊥，故以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系-B xyz . ……………1分 由已知可得 (0,0,0),(0,2,0),(3,0,0),B A D3(3,-2,0),(,0,0)2C E F M （Ⅰ）3=(,0,-3)(3,-2,0)2EM ,AD=， 设平面ADF 的一个法向量是()x,y,z n =. 由0,0,AD AF n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得32x -y =0,=0.⎧⎪⎨⎪⎩令y=3，则n =. 又因为3(=3+0-3=02EM n ⋅=⋅，所以EM n ⊥，又EM ⊄平面ADF ，所以//EM 平面ADF . ……………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面ADF 的一个法向量是n =. 因为EB ⊥平面ABD ，所以EB BD ⊥.又因为AB BD ⊥，所以BD ⊥平面EBAF . 故(3,0,0)BD =是平面EBAF 的一个法向量. 所以1cos <=2BD BD,BD n n n⋅>=⋅，又二面角D-AF -B 为锐角， 故二面角D-AF -B 的大小为60︒. ……………10分NCA F EBMD（Ⅲ）假设在线段EB 上存在一点P ，使得CP 与AF 所成的角为30︒. 不妨设(0,0,t)P（0t ≤≤，则=(3,-2,-),=PC AF t .所以2cos <2PC AF PC,AF PC AF ⋅>==⋅，=， 化简得35-=， 解得0t =<. 所以在线段EB 上不存在点P ，使得CP 与AF 所成的角为30︒.…………14分 （18）（本小题满分13分）解：因为2e (),1ax f x x =+所以222e (2)()(1)ax ax x a f x x -+'=+.（Ⅰ）当1a =时, 2e ()1xf x x =+,222e (21)()(1)x x x f x x -+'=+,所以(0)1,f = (0)1f '=.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=. ……………4分（Ⅱ）因为222222e (2)e ()(2)(1)(1)ax axax x a f x ax x a x x -+'==-+++， ……………5分 （1）当0a =时,由()0f x '>得0x <；由()0f x '<得0x >.所以函数()f x 在区间(,0)-∞单调递增, 在区间(0,)+∞单调递减. ……………6分 （2）当0a ≠时, 设2()2g x ax x a =-+，方程2()20g x ax x a =-+=的判别式2444(1)(1),a a a ∆=-=-+ ……………7分①当01a <<时，此时0∆>.由()0fx '>得1x a <,或1x a+>；由()0f x '<x <<.所以函数()f x单调递增区间是(-∞和)+∞,单调递减区间. ……………9分②当1a ≥时，此时0∆≤.所以()0f x '≥，所以函数()f x 单调递增区间是(,)-∞+∞. ……………10分 ③当10a -<<时，此时0∆>.由()0f x '>得11x a a +<<； 由()0f x '<得1x a <,或1x a->.所以当10a -<<时,函数()f x单调递减区间是1(,a +-∞和1()a +∞,单调递增区间. ……………12分④当1a ≤-时, 此时0∆≤，()0f x '≤，所以函数()f x 单调递减区间是(,)-∞+∞. …………13分（19）（本小题满分14分） 解:（Ⅰ）依题意，c =1b =，所以a == 故椭圆C 的方程为2213x y +=. ……………4分 （Ⅱ）①当直线l 的斜率不存在时，由221,13x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1,x y ==.不妨设(1,3A ，(1,)3B -，因为132233222k k +=+=，又1322k k k +=，所以21k =，所以,m n 的关系式为213n m -=-，即10m n --=. ………7分 ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2213x y +=整理化简得，2222(31)6330k x k x k +-+-=. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122631k x x k +=+,21223331k x x k -=+. ………9分又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-. 所以12122113121222(2)(3)(2)(3)33(3)(3)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=---- 12211212[2(1)](3)[2(1)](3)3()9k x x k x x x x x x ---+---=-++121212122(42)()6123()9kx x k x x k x x x x -++++=-++222222223362(42)6123131336393131k k k k k k k k kk k -⨯-+⨯++++=--⨯+++ 222(126)2.126k k +==+………12分 所以222k =，所以2213n k m -==-，所以,m n 的关系式为10m n --=.………13分 综上所述，,m n 的关系式为10m n --=. ………14分 （20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）若0:0,1,1,3,0,0A ，则1:1,0,1,3,0,0A ；2:2,1,2,0,0,0A ； 3:3,0,2,0,0,0A ； 4:4,1,0,0,0,0A ； 5:5,0,0,0,0,0A ．若4:4,0,0,0,0A ，则 3:3,1,0,0,0A ； 2:2,0,2,0,0A ； 1:1,1,2,0,0A ；0:0,0,1,3,0A ． ………4分（Ⅱ）先证存在性，若数列001:,,,n A a a a 满足0k a =及0(01)i a i k >≤≤-，则定义变换1T -，变换1T -将数列0A 变为数列10()T A -：01111,1,,1,,,,k k n a a a k a a -+---．易知1T -和T 是互逆变换． ………5分 对于数列,0,0,,0n 连续实施变换1T -（一直不能再作1T -变换为止）得,0,0,,0n 1T -−−→1,1,0,,0n -1T -−−→2,0,2,0,,0n -1T -−−→3,1,2,0,,0n -1T -−−→1T-−−→01,,,n a a a ，则必有00a =（若00a ≠，则还可作变换1T -）．反过来对01,,,n a a a 作有限次变换T ，即可还原为数列,0,0,,0n ，因此存在数列0A 满足条件．下用数学归纳法证唯一性：当1,2n =是显然的，假设唯一性对1n -成立，考虑n 的情形． 假设存在两个数列01,,,n a a a 及01,,,n b b b 均可经过有限次T 变换，变为,0,,0n ，这里000a b ==，1212n n a a a b b b n +++=+++=若0n a n <<，则由变换T 的定义，不能变为,0,,0n ；若n a n =，则120n a a a ====，经过一次T 变换，有0,0,,0,n T−−→1,1,,1,0由于3n ≥，可知1,1,,1,0（至少3个1）不可能变为,0,,0n ．所以0n a =，同理0n b =令01,,,n a a a T−−→121,,,,na a a '''，01,,,n b b b T−−→121,,,,nb b b '''，则0n n a b ''==，所以1211n a a a n -'''+++=-，1211nb b b n -'''+++=-． 因为110,,,n a a -''T−−−−→有限次-1,0,,0n ，110,,,n b b -''T−−−−→有限次-1,0,,0n ，故由归纳假设，有i i a b ''=，1,2,,1i n =-．再由T 与1T -互逆，有01,,,n a a a T−−→111,,,,0n a a -''，01,,,n b b b T−−→111,,,,0nb b -''，所以i i a b =，1,2,,i n =，从而唯一性得证． ………9分（Ⅲ）显然i a i ≤(1,2,,)i n =，这是由于若对某个0i ，00i a i >，则由变换的定义可知，0i a 通过变换，不能变为0．由变换T 的定义可知数列0A 每经过一次变换，k S 的值或者不变，或者减少k ，由于数列0A 经有限次变换T ，变为数列,0,,0n 时，有0m S =，1,2,,m n =，所以m m S mt =(m t 为整数)，于是1m m m S a S +=+1(1)m m a m t +=++，0m a m ≤≤， 所以m a 为m S 除以1m +后所得的余数，即[](1)1m m m S a S m m =-++．………13分。

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）2015．4（考试时间 120 分钟 满分 150 分）本试卷分为选择题（共 40分）和非选择题（共 110 分）两部分第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题 ：本大题共 8小题，每小题 5 分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 ．1. 已知集合A 1,2,m，B 1,m.若B A ，则 mA. 0B. 2C. 0 或 2D. 1 或 222.已知点A （1,y 0 ） （y 0 0）为抛物线y 2px p 0上一点 .若点 A 到该抛物线焦点的距离为3 ，则 y5.某商场每天上午 10点开门，晚上 19点停止进入． 在如图所示的框图中， t表示整点时刻， a(t )表示时间段 [t 1,t) 内进入商场人次， SB. 2C. 2 2D. 43.在 ABC 中，若π6A ， cosB 6 ， BC 6 ,则 ACA. 4 2B.4C.2 3D. 4 3 3a 2”的表示某天某整点时刻前进入商场人次总和，为了统计某天进入商场的总人次数，则判断框内可以填A.t 17?B．t 19?C ．t 18?D．t 18?6.设x1,x2,x3均为实数，且31x1log2(x1 1)13x2log3 x231x3log2 x3则A.x1x3x2 B. x3 x2 x1 C. x3 x1 x2 D. x2 x1 x37.在平面直角坐标系中， O为坐标原点，已知两点A(1,0),B (1,1)，且BOP 90 .设OP OA kOB (k R )，则OP1A . 2B.2 2 C. 2D.2第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30分．把答案填在答题卡上 ．1 2i9.i 为虚数单位，计算 1 i _______________ .10. _________________________________________________________________ 设 S n 为等差数列 a n 的前 n 项和 .若 a 3 a 8 3 ， S 3 1,则通项公式 a n = __________________________________ .11. 在极坐标中，设0，02π，曲线2与曲线 sin 2交点的极坐标为 _________________ .12. 已知有身穿两种不同队服的球迷各有三人，现将这六人排成一排照相，要求身穿同一种 队服的球迷均不能相邻，则不同的排法种数为 . （用数字作答）2x y 0, 2x y 0,13. 设 z 3x y，实数 x ， y满足 0 y t,其中 t 0．若 z 的最大值为 5，则实数 t 的 值为 ，此时 z 的最小值为 _______ .14．将体积为 1 的四面体第一次挖去以各棱中点为顶点的构成的多面体， 第二次再将剩余的每个四面体均挖去以各棱中点为顶点的构成的多面体，如此下去，共进行了 n （n N ） 次.则第一次挖去的几何体的体积是 _________________ ；这 n 次共挖去的所有几何体的体积和是8. 设集合 M=(x 0,y 0) x 02 y 0220,x 0 Z ,y 0 Z，则 M 中元素的个数为A. 61B. 65C. 69D.84三、解答题：本大题共 6小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15．(本小题满分 13 分)已知函数f(x) cos x 3sin xcosx ， x R .Ⅰ)求 f (x) 的最小正周期和单调递减区间；Ⅱ)设 x m (m R )是函数 y f ( x)图象的对称轴，求 sin4m 的值．16．(本小题满分 13 分)如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损， 其中，频率分布直方图的分组区间分别为 50,60， 60,70， 70,80， 80,90， [90,100] .Ⅰ)求全班人数及分数在 [80,100] 之间的频率；Ⅱ)现从分数在 [80,100] 之间的试卷中任取 3 份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[90,100] 的份数为 X ，求 X 的分布列和数学期望．据此解答如下问题．17．（本小题满分 14 分）如图，正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在平面互相垂直， 已知 AB // CD, AD CD ，1AB AD CD2.（Ⅰ）求证 : BF // 平面 CDE ；Ⅱ）求平面 BDF 与平面 CDE所成锐二面角的余弦值（ Ⅲ ） 线 段 EC 上 是 否 存 在 点 M ，EM若存在，求出 EC 的值；若不存在，说明理由18．（本小题满分 13 分）2xf （x ） alnx （a 1）x已知函数 2， a R．（Ⅰ） 当 a 1时，求函数 f （x ） 的最小值； （Ⅱ） 当 a 1时，讨论函数 f （x ） 的零点个数 .19.（本小题满分 14 分）22已知椭圆 C: x2y21（a b 0）的一个焦点为 F （2,0） ，离心率为 6．过焦点 Fa 2 b23的直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点，线段 AB 中点为 D ， O 为坐标原点，过 O ，D 的直线 交椭圆于 M,N 两点．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）求四边形 AMBN 面积的最大值．使 得 平 面 BDM 平 面 B D F ？20.(本小题满分13 分)若数列{ a n }中不超过f (m)的项数恰为b m(m N*) ，则称数列{b m}是数列{a n}的生成数列，称相应的函数f (m)是{a n} 生成{ b m}的控制函数．设f(m) m2．(Ⅰ)若数列{ a n }单调递增，且所有项都是自然数，b1 1，求a1；(Ⅱ)若数列{a n} 单调递增，且所有项都是自然数，a1 b1,求a1；(Ⅲ)若a n 2n(n 1,2,3 ) ，是否存在{b m}生成{a n}的控制函数 g(n) pn2qn r (其中常数p,q,r Z )？使得数列{a n}也是数列{b m} 的生成数列？若存在，求出g(n)；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）由已知，函数 f （x ） cos 2x 3sin xcosx112(1cos2x) + 3sin2x2sin(2 x π)函数 f （x ） 的最小正周期为 T π.ππ 3 π π 2π当2kπ 2x2kπ时( k Z )，即 kπ+x kπ+ 时，函数 f (x) 为减函数 .即 2 6 26 3函数 f （x ）的单调减区间为 kπ+ 6,kπ+ 23，.9 分Ⅱ） 由 x m 是函数 y f （x ） 图象的对称轴， 则2mπ=kππ（ k Z ），即 m1k，6 2 2 63k Z .则4m 2k 3.则sin 4m 23.13 分16. （本小题满分 13 分）解 ：（ Ⅰ ） 由 茎 叶 图 可 知 ， 分 布 在 [50,60） 之 间 的 频 数 为 4 ，由直方图，频率为 0.0125 10 0.125 ，4 所以全班人数为 32 人．0.125所以分数在 [80,100]之间的人数为 32- （4+ 8+ 10） = 10人.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学答案（理工类）2015． 4、选择题（满分 40 分）、填空题（满分 30 分） 3 2三、解答题 （满分 80 分）15.（本小题满分 13 分）分数在[80,100] 之间的频率为10 0.3125 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.4 分32Ⅱ）由（Ⅰ）知，分数在[80,100] 之间的有10份，分数在[90,100] 之间的人数有0.0125创10 32=4 份，由题意，X 的取值可为0,1,2,3 ．P(X 0) C63C10 1，，6P(X 1)12C4C6C130C42C163P(X 2)C130 10，C43P(X 3) 3C103017.（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）因为 AB // CD,AB 平面 CDE , CD 平面 CDE ，所以 AB // 平面 CDE ，同理， AF // 平面 CDE ，X 0 1 2 3P1 1 3 162 10 30 所以随机变量 X 的分布列为1 1 31 6 随机变量 X 的数学期望为 EX 011123316． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .13 分6 2 10 30 5 .4 分又 AB AF A, 所以平面 ABF // 平面 CDE ，(Ⅱ)因为平面 ADEF ^ 平面 ABCD ，平面 ADEF I 平面 ABCD = AD ，C D^ AD ， CD ì平面 ABCD ，所以 CD ^ 平面 ADEF .又 DE ì平面 ADEF ，故 CD ^ ED . 而四边形 ADEF 为正方形，所以 AD ^ DE 又 AD ^ CD ，以 D 为原点， DA ， DC ， DE 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标 系 Dxyz.设 AD 1，则 D(0,0,0), B(1,1,0),F(1,0,1),C(0,2,0), E(0,0,1) ，取平面 CDE 的一个法向量 DA (1,0,0) ， 设平面 BDF 的一个法向量 n (x,y,z)， 则 n DB，即 x y 0，令 x 1 ，则 y z 1， 所以 n (1, 1, 1).n DFx z设平面 BDF 与平面 CDE 所成锐二面角的大小为 ，13 则 cos |cos DA, n | 333所以平面 BDF 与平面 CDE 所成锐二面角的余弦值是 3.3 (Ⅲ)若M 与C 重合，则平面 BDM (C)的一个法向量 m 0 = (0,0,1) ，由(Ⅱ)知平面 BDF.9 分精品文档 你我共享2向量 m (x 0,y 0,z 0) ，m DB 0 ，即 x 0 y 0 0 2 y 0 (1 )z 0 0所以m (1, 1, ) ，1的一个法向量 n = (1,- 1,- 1)，则 m 0 ?n= 1? 0 ，则此时平面 BDF 与平面 BDM 不垂直 .若 M 与C 不重合，如图设E EMC(0?1)，则 M(0,2 ,1 ) ，设平面 BDM 的一个法若平面 BDF 平面 BDM 等价于 m n 0 ， 所以， EC 上存在点 M 使平面 BDF 平面 即 1 11EM BDM ，且 EC0, 所以 10,1 .2.14 分18. (本小题满分 13 分) 解：(Ⅰ)函数 f(x) 的定义域为 x x 0 2 当 a 1 时， f (x) ln x x. 2 2 f (x) 1 x x 2 1 (x 1)(x 1) xx 由 (x 1)(x 1)0 (x> 0)解得 x 1；由 (x 1)(x 1)0 (x> xx 所以 f (x) 在区间 (0,1)单调递减 , 在区间 (1, )单调递增 . 0) 解得 0 x 1.所以 x 1时,函数 f ( x)取得最小值 f(1) 1. 2 .5 分Ⅱ) f (x) (x 1)(x a), x 0. x 1)当 a 0 时， x (0,1) 时, f (x) 0 , f(x) 为减函数 ; x (1, ) 时， f (x) 0， f(x) 为增函数 . 所以 f (x) 在 x 1 时取得最小值 f (1) a 12 2xⅰ)当 a 0时， f (x) x ，由于 x 0，令 f(x)= 0，2x= 2 ，则 f (x) 在(0, ) 上有一个零点； 1ⅱ)当 a 1 时，即 f (1) 0时， f (x) 有一个零点；则m DM 0x 0 1 ，则 y 0 1,z 0 2，1精品文档 你我共享1(ⅲ)当 a 1 时，即 f (1) 0时， f (x) 无零点 .21(ⅳ)当 a 0时，即 f (1) 0时，2由于 x 0 (从右侧趋近 0)时， f(x) ； x 时， f (x) 所以 f (x) 有两个零点 .(2) 当 0 a 1 时，x (0,a) 时, f (x) 0, f ( x)为增函数 ; x ( a,1)时， f (x) 0， f (x)为减函数； x (1, ) 时， f (x) 0， f(x) 为增函数 .所以 f (x) 在 x a 处取极大值， f (x) 在 x 1处取极小值 .1 2 1 2 f(a) aln a a (a 1)a alna a a. 22当0 a 1时， f(a) 0,即在 x (0,1)时， f(x) 0.而 f(x) 在 x (1, ) 时为增函数，且 x 时， f (x) ， 所以此时 f (x) 有一个零点 .2(3) 当a 1时， f(x) (x 1)0在 0, 上恒成立，所以 f (x)为增函数 . x且 x 0 (从右侧趋近 0)时， f (x) ； x 时， f (x) . 所以 f (x) 有一个零点 .11综上所述， 0 a 1或 a时 f ( x)有一个零点； a时， f (x)无零点；22f(x) 有两个零点 .1a0 2 .13 分19．(本小题满分 14 分)解：(Ⅰ)由题意可得2 a 2c 2, c6a 3, b2c2解得 a6， b 2 ，22故椭圆的方程为 x y1．62.4 分精品文档 你我共享2N( x 3, y 3)，点 M,N 到直线 l 的距离分别为 d 1,d 2，则四边形 AMBN 面积为2y21, 2 2 2 22得 (1 3k 7)x 2 12k 2x 12k 2 6 0 ， y k(x 2),2则12k 2 ，则x 1 x 2 2，1 21 3k 2所以 |AB| (1 k 2 )[(x 1 x 2)2 4x 1x 2]2 6(1 k 2) 1 3k 24k 4) 2 ，1 3k2 2所以 AB 中点 D( 6k2 , 2k2)． 1 3k 2 1 3k 2当 k1 0时，直线 OD 方程为 x 3ky 0，x 3ky 0,2由 x2 y2 解得 x3 3ky 3, y 32 2 21,3 3 31 3k2621所以S AMBN 2 | AB | ( d 1 d 2 )1 2 6(1 k 2)(|kx 3 y 3 2k | | kx 3 y 3 2k|)2( ) 2 1 3k 21 3k 2Ⅱ)当直线 l 斜率不存在时 A, B 的坐标分别为 (2,， (2, 36 ) ， | MN | 2 6 ，3四边形 AMBN 面积为1S AMBN | MN | | AB | 4 ．2当直线 l 斜率存在时， 设其方程为 y k(x 2)，点 A(x 1,y 1) ，B(x 2,y 2)，M(x 3,y 3)，S AMBN1| AB|(d 1 d 2) ．x2由6 212k 2 6x 1 x 2 2 ，1 2 2(1 k 2)[(1123kk 2 )242112k23k26]因为y 1 y 2 k (x 1 x 2精品文档你我共享即当m> 0且m为奇数时，b m= m2- 1当m> 0 且m为偶数时，b m =2 6 1 k2| 3k2y3 y3|21 3k23k2 3 241 3k2 4 11 3k2当k 0时，四边形AMBN 面积的最大值S AMBN = 2 6? 2 4 3.综上四边形AMBN 面积的最大值为4 3 ．14 分20．（本小题满分13 分）解：（Ⅰ）若b1 1，因为数列{a n} 单调递增，所以或1.（Ⅱ）因为数列{a n}的每项都是自然数，若a1 0 1 ，则b1 1，与a1 b1 矛盾；若a1 2 ，则因{a n} 单调递增，故不存在2a1 12，又a1是自然数，所以a1 0⋯⋯⋯ 2 分a n 1 ，即b1 0，也与a1 b1矛盾.当a1 1时，因{a n} 单调递增，故n 2时，a n 1，所以b1 1，符合条件，所以，a1 1. 6分Ⅲ）若a n 2n（n 1,2, ），则数列{ a n}单调递增，显然数列{b m} 也单调递增，2 1 2 由a n m2，即2n m2，得n m2，所以，12b m 为不超过1 m2的最大整数，2当m = 2k- 1 (k ? N *)时，因为2k2 2k 1m2 2k2 2k 1 2k2 2k 1，22当m= 2k (k? N*)时，12 2 2m2 2k2，所以，b m 2k综上，?ì2k 2- 2k,m= 2k- 1(k? N*)bm=?í2k2, m= 2k(k? N*)所以b m 2k2 2k ；精品文档 你我共享2有暗香盈袖。

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学理科第19题评分细则19.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为(2,0)F ，离心率为63．过焦点F的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 中点为D ，O 为坐标原点，过O ，D 的直线 交椭圆于,M N 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求四边形AMBN 面积的最大值．（Ⅰ）解：由题意可得2222,6,,c ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩…….2分注：2c =与6c a = 各1分，不写“222a b c =+”不扣分，该分数体现在第3分处. 解得6a =，2b =， …….3分故椭圆的方程为22162x y +=． …….4分（Ⅱ）解法一：AMBN ABM ABN S S S ∆∆=+ 及直线l ：(2)y k x =- 当直线l 斜率不存在时,A B 的坐标分别为6(2,)，6(2,)-，||26MN =， 四边形AMBN 面积为1||||42AMBN S MN AB =⋅=． …….5分 当直线l 斜率存在时，设其方程为(2)y k x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --，点,M N 到直线l 的距离分别为12,d d ，则四边形AMBN 面积为121||()2AMBN S AB d d =+． …….6分注：此处不写“点,M N 到直线l 的距离分别为12,d d ，四边形AMBN 面积为121||()2AMBN S AB d d =+”不扣分，给分在后面第11分处.由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=， 则21221213k x x k +=+，212212613k x x k -=+， …….7分所以||AB=． …….8分因为121224(4)13ky y k x x k -+=+-=+， 注：或()22262221313D D k ky k x k k k⎛⎫-=-=-= ⎪++⎝⎭. 所以AB 中点22262(,)1313k kD k k -++． …….9分当0k ¹时，直线OD 方程为30x ky +=，由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得333,x ky =- 232213y k =+． …….10分 设点,M N 到直线l 的距离分别为12,d d ， 所以121||()2AMBN S AB d d =+12=33222|13kx y k -=+ …….11分== …………………12分= …………………13分当0k =时，四边形AMBN面积的最大值AMBN S =综上，四边形AMBN面积的最大值为 …………………………14分注：关于解法一中“33|22|kx y -”的另一种处理方法 —— 平方前面过程同解法一， …….9分当0k ¹时，直线OD 方程为30x ky +=，由221,31,62y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得22321813k x k =+. …….10分设点,M N 到直线l 的距离分别为12,d d ， 所以121||()2AMBN S AB d d =+12=33222|13kx y k -=+…….11分2AMBNS ()()()()()222322333322222412411313y k x k k kx y x k k ⎛⎫+⋅⋅- ⎪+-⎝⎭==++()()()()22222222221812414811633133131313k k k k k k k kkk ⎛⎫+⋅⋅+ ⎪+++⎝⎭===+++ …………………12分221614813k ⎛⎫=+< ⎪+⎝⎭即AMBN S <. …………………13分当0k =时，四边形AMBN面积的最大值AMBN S =综上，四边形AMBN面积的最大值为 …………………………14分AMBN MNA MNB ∆∆前面过程同解法一， ………7分因为121224(4)13ky y k x x k -+=+-=+， 注：或()22262221313D D k ky k x k k k ⎛⎫-=-=-= ⎪++⎝⎭. 所以AB 中点22262(,)1313k kD k k -++． …….8分 当0k ¹时，直线OD 方程为30x ky +=，由221,31,62y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得22321813k x k =+. …….9分MN === …….10分设点,A B 到直线MN 的距离分别为34,d d ， 所以341||()2AMBN S MN d d =+12=⨯()()()2121212313x x k y y k x x =-+-=+- …………………11分=== (12)分= …………………13分当0k =时，四边形AMBN面积的最大值AMBN S =综上四边形AMBN 面积的最大值为． …………………………14分AMBN ABM ABN ∆∆当直线l 的斜率为零时，四边形AMBN面积的最大值AMBN S =.5分当直线l 的斜率不为零时，设其方程为2x ty =+，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --. …….6分由221,622,x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()223420t y ty ++-=， 则12243t y y t +=-+，12223y y t =-+ .…….7分所以||AB)2213t t +==+ …….8分因为()121221243x x t y y t +=++=+， 注：或22262233D D t x ty t t t ⎛⎫=+=-+= ⎪++⎝⎭. 所以AB 中点2262(,)33t D t t -++． …….9分 直线OD 方程为30tx y +=，由2230,1,62tx y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得33,3t y x =- 232183x t =+． …….10分 设点,M N 到直线l 的距离分别为12,d d ， 所以121||()2AMBN S AB d d =+)221123t t +=⨯+=…….11分233222|33x t x t +==+ …………………12分= …………………13分综上，四边形AMBN面积的最大值为 …………………14分（Ⅱ）解法四：AMBN MNA MNB S S S ∆∆=+ 及直线l ：2x ty =+（略，参照前面解法相应给分）。

高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x|x＞1}，集合B={x|x2＜4}，则A∩B=（）A. {x|x＞-2}B. {x|1＜x＜2}C. {x|1≤x＜2}D. R2.在复平面内，复数z=对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.（）4的展开式中的常数项为（）A. -12B. -6C. 6D. 124.若函数f（x）=，则函数f（x）的值域是（）A. （-∞，2）B. （-∞，2]C. [0，+∞）D. （-∞，0）∪（0，2）5.如图，函数f（x）的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的，则f（x）的解析式可以是（）A. f（x）=sin（2x+）B. f（x）=sin（4x+）C. f（x）=cos（2x+）D. f（x）=cos（4x+）6.记不等式组，所表示的平面区域为D．“点（-1，1）∈D”是“k≤-1”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该三棱锥的体积为（）A. 4B. 2C.D.8.某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.双曲线-y2=1的右焦点到其一条渐近线的距离是______．10.执行如图所示的程序框图，输出的x值为______．11.在极坐标系中，直线ρcosθ=1与圆ρ=4cosθ交于A，B两点，则|AB|=______．12.能说明“函数（x）的图象在区间[0，2]上是一条连续不断的曲线，若f（0）•f（2）＞0，则f（x）在（0，2）内无零点”为假命题的一个函数是______．13.天坛公园是明清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所•天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石铺成（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是______．14.在平面内，点A是定点，动点B，C满足||=||=1，=0，则集合{P|=+，1≤λ≤2}所表示的区域的面积是______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.在△ABC中，a=，∠A=120°，△ABC的面积等于，且b＜c．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求cos2B的值．16.某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）．将统计数据按[5，10），[10，15），[15，20），…，[35，40]分组，制成频率分布直方图：假设乘客乘车等待时间相互独立．（Ⅰ）在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为A；从乙站的乘客中随机抽取1人，记为B．用频率估计概率，求“乘客A，B乘车等待时间都小于20分钟”的概率；（Ⅱ）在上班高峰时段，从乙站乘车的乘客中随机抽取3人，X表示乘车等待时间小于20分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量X的分布列与数学期望．17.如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且AD∥BC，∠BAD=90°，AB=AD=1，BC=3．（Ⅰ）求证：AF⊥CD；（Ⅱ）求直线BF与平面CDE所成角的正弦值；（Ⅲ）线段BD上是否存在点M，使得直线CE∥平面AFM？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．18.已知函数f（x）=（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a=-1时，求证：f（x）≥x+1；（Ⅲ）讨论函数f（x）的极值．19.已知点M（x0，y0）为椭圆C：+y2=1上任意一点，直线l：x0x+2y0y=2与圆（x-1）2+y2=6交于A，B两点，点F为椭圆C的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率及左焦点F的坐标；（Ⅱ）求证：直线l与椭圆C相切；（Ⅲ）判断∠AFB是否为定值，并说明理由．20.在无穷数列{a n}中，a1，a2是给定的正整数，a n+2=|a n+1-a n|，n∈N*．（Ⅰ）若a1=3，a2=1，写出a9，a10，a100的值；（Ⅱ）证明：数列{a n}中存在值为0的项；（Ⅲ）证明若a1，a2互质，则数列{a n}中必有无穷多项为1．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合A={x|x＞1}，集合B={x|x2＜4}={x|-2＜x＜2}，∴A∩B={x|1＜x＜2}．故选：B．先求出集合A，集合B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：==-i+2所对应的点为（2，-1），该点位于第四象限故选：D．根据1=-i2将复数进行化简成复数的标准形式，得到复数所对应的点，从而得到该点所在的位置．本题主要考查了复数代数形式的运算，复数和复平面内的点的对应关系，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：（）4的展开式中的通项公式为T r+1=•（-1）r•x2r-4，令2r-4=0，求得r=2，可得展开式中的常数项为=6，故选：C．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：当x＜1时，0＜2x＜2，当x≥1时，f（x）=-log2x≤-log21=0，综上f（x）＜2，即函数的值域为（-∞，2），故选：A．分别结合指数函数，对数函数的性质求出函数的取值范围即可．本题主要考查函数值域的计算，结合分段函数的解析式分别求出对应范围是解决本题的关键．5.【答案】A【解析】解：函数的周期T=2×（-）=2×=π，即=π，则ω=2，排除B，D，当x=时，f（）=1，若f（x）=sin（2x+），则f（）=sin（2×+）=sin=1，若f（x）=cos（2x+），则f（）=cos（2×+）=cos=0，不满足条件．排除C，故选：A．根据周期先求出ω的值，排除B，D，然后在通过f（）=1，进行排除即可．本题主要考查三角函数图象的识别和判断，结合条件利用排除法是解决本题的关键．6.【答案】C【解析】解：若点（-1，1）∈D，得满足，则k≤-1，即充分性成立，若k≤-1，则不等式组对应区域为阴影部分，则A（-1，1）∈D，即“点（-1，1）∈D”是“k≤-1”的充要条件，故选：C．作出不等式组对应的平面区域，结合不等式组以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式组的关系是解决本题的关键．7.【答案】D【解析】解：由题意几何体是直观图如图：是正方体的一部分，三棱锥P-ABC，正方体的棱长为：2，几何体的体积为：=．故选：D．画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：设周一，周二，周三开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C中元素个数分别为n（A），n（B），n（C），∩B∩C则n（A）=14，n（B）=10，n（C）=8，n（A∪B∪C）=20，因为n（A∪B∪C）=n（A）+n（B）+n（C）-n（A∩B）-n（A∩C）-n（B∩C）+n（A∩B∩C），且n（A∩B）≥n（A∩B∩C），n（A∩C）≥n（A∩B∩C），n（B∩C）≥n（A∩B∩C），所以14+10+8-20+n（A∩B∩C）≥3n（A∩B∩C），即n（A∩B∩C）≤=6．故选：B．设周一，周二，周三开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C中元素个数分别为n（A），n（B），n（C），根据n（A∪B∪C）=n（A）+n（B）+n（C）-n（A∩B）-n（A∩C）-n（B∩C）+n（A∩B∩C），且n（A∩B）≥n（A∩B∩C），n（A∩C）≥n（A∩B∩C），n（B∩C）≥n（A∩B∩C）可得．本题考查了Venn图表达集合的关系以及运算，属中档题．9.【答案】1【解析】解：双曲线-y2=1的右焦点坐标为（，0），一条渐近线方程，x-2y=0∴双曲线-y2=1的右焦点到一条渐近线的距离为=1．故答案为：1．确定双曲线的右焦点与一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，即可得到结论．本题考查双曲线的几何性质，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于基础题．10.【答案】【解析】解：当x=2，n=1时，n≤2成立，则x==，n=2，此时n≤2成立，则x==，n=3，此时n≤2不成立，输出x=，故答案为：根据程序框图进行模拟计算即可．本题主要考查程序框图的应用，利用条件进行模拟运算是解决本题的关键．11.【答案】2【解析】解：直线ρcosθ=1的普通方程为x=1，圆ρ=4cosθ的普通方程为x2+y2-4x=0，圆心C（2，0），半径r==2，圆心C（2，0）到直线x=1的距离d=1，∴|AB|=2=2=2．故答案为：2．求出直线的普通方程和圆的普通方程，求出圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，由此能求出弦长．本题考查弦长的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】f（x）=（x-1）2【解析】解：“若f（0）•f（2）＞0，则f（x）在（0，2）内无零点”为假命题，即“若f（0）•f（2）＞0，则f（x）在（0，2）有零点”为真命题，取函数f（x）=（x-1）2，可得：f（0）•f（2）=1×1=1＞0，f（1）=0，故答案为：f（x）=（x-1）2取函数f（x）=（x-1）2，可得：f（0）•f（2）=1×1=1＞0，f（1）=0，满足“若f（0）•f（2）＞0，则f（x）在（0，2）有零点”为真命题，即”若f（0）•f（2）＞0，则f （x）在（0，2）内无零点”为假命题，得解本题考查了函数的零点与方程根的关系及零点定理，属中档题．13.【答案】243 3402【解析】解：由题意知每环石块数构成等差数列，首项a1=9，d=9，则a27=a1+26d=9+26×9=243，上、中、下三层坛所有的扇面形石块数为前27项和，即S27====3402，故答案为：243，3402根据条件知每环石块数构成等差数列，首项a1=9，d=9，利用等差数列的通项公式以及前n项和公式进行计算即可．本题主要考查等差数列的应用，结合等差数列的通项公式是解决本题的关键．14.【答案】3π【解析】解：由，得=λ2+1，∵1≤λ≤2，∴2≤λ2+1≤5，∴||，∴P点轨迹为以A为圆心的圆环，其面积为：5π-2π=3π，故答案为：3π．把所给等式平方，得到的范围，即P点的轨迹为圆环，得解．此题考查了向量模的几何意义，难度不大．15.【答案】解：（Ⅰ）∵a=，∠A=120°，△ABC的面积等于，∴可得：=bc sin A=bc，可得：bc=4，①∴由余弦定理可得：21=b2+c2+bc=（b+c）2-bc=（b+c）2-4，可得：（b+c）2=25，解得：b+c=5，②∴联立①②可得：b=4，c=1，或b=1，c=4，∵b＜c，∴可得：b=1，c=4．可得b的值为1．（Ⅱ）∵由（Ⅰ）可得：a=，b=1，c=4，∴cos B===，∴cos2B=2cos2B-1=．【解析】（Ⅰ）由已知利用三角形的面积公式可求bc=4，由余弦定理可解得b+c=5，联立①②，根据b＜c，可得b的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）根据余弦定理可求cos B的值，根据二倍角的余弦函数公式即可计算得解cos2B的值．本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，二倍角的余弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.【答案】解：（Ⅰ）设M表示事件“乘客A乘车等待时间都小于20分钟”，N表示“乘客B乘车等待时间都小于20分钟”，C表示“乘客A，B乘车等待时间都小于20分钟”，由题意得：P（A）=（0.012+0.040+0.048）×5=0.5，P（B）=（0.016+0.028+0.036）×5=0.4，∴“乘客A，B乘车等待时间都小于20分钟”的概率：P（C）=P（MN）=P（M）P（N）=0.5×0.4=0.2．（Ⅱ）由（Ⅰ）得乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的概率为0.4，∴乙站乘客乘车时间等待时间小于20分钟的概率为，X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，），P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，E（X）=3×=．【解析】（Ⅰ）设M表示事件“乘客A乘车等待时间都小于20分钟”，N表示“乘客B乘车等待时间都小于20分钟”，C表示“乘客A，B乘车等待时间都小于20分钟”，由题意得：P（A）=（0.012+0.040+0.048）×5=0.5，P（B）=（0.016+0.028+0.036）×5=0.4，由此能求出“乘客A，B乘车等待时间都小于20分钟”的概率．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，），由此能求出随机变量X的分布列与数学期望．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）证明：∵四边形ADEF为正方形，∴AF⊥AD，又∵平面ADEF⊥平面ABCD，∴AF⊥平面ABCD，∴AF⊥CD；（Ⅱ）取BC的三等分点G，H如图，连接EG，可由EF∥AD，AD∥BC，得EF∥BG，且EF=AD=BG=1，∴四边形BGEF为平行四边形，∴GE∥BF，∵DE∥AF，∴DE⊥平面ABCD，∴平面EDC⊥平面ABCD，作GN⊥CD于N，则GN⊥平面EDC，连接EN，则∠GEN为GE与平面EDC所成的角，在Rt△CGD中，求得GN=，又GE=BF=，∴sin∠GEN==，故直线BF与平面CDE所成角的正弦值为：；（Ⅲ）连接FH，易证四边形EFHC为平行四边形，∴EC∥FH，∴EC∥平面AFH，连接AH交BD于M，则CE∥平面AFM，此时，∴．【解析】（Ⅰ）利用两面垂直的性质定理易证；（Ⅱ）取BC的三等分点G，H，把BF平移至EG，作GN⊥CD于N，得∠GEN即为所求；（Ⅲ）连接FH，易证EC∥平面AFH，连AH交BD于M即可．此题考查了线面垂直，面面垂直，线面所成角，线面平行等，难度适中．18.【答案】（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=，f′（x）=，f（1）=0，f′（1）=1，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1；（Ⅱ）证明：当a=-1时，f（x）=，证明f（x）≥x+1，即证ln（-x）≤x2+x，令t=-x（t＞0），也就是证t2-t-ln t＞0（t＞0）．令g（t）=t2-t-ln t，则g′（t）===．当t∈（0，1）时，g′（t）＜0，当t∈（1，+∞）时，g′（t）＞0，∴g（t）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，则g（t）≥g（1）=0，即f（x）≥x+1；（Ⅲ）解：f（x）=，则f′（x）=，当a＞0时，由f′（x）＞0，得1-ln（ax）＞0，即0＜ax＜e，∴0＜x＜；由f′（x）＜0，得1-ln（ax）＜0，即ax＞e，x＞．∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴f（x）有极大值为f（）=；当a＜0时，由f′（x）＞0，得1-ln（ax）＞0，即ax＜e，∴＜x＜0；由f′（x）＜0，得1-ln（ax）＜0，即ax＞e，x＜．∴f（x）在（-∞，）上单调递减，在（，0）上单调递增，∴f（x）有极小值为f（）=．【解析】（Ⅰ）把a=1代入函数解析式，求得函数的导函数，进一步求出f（1）与f′（1），再由直线方程的点斜式得答案；（Ⅱ）当a=-1时，f（x）=，把证明f（x）≥x+1转化为证ln（-x）≤x2+x，令t=-x（t＞0），构造函数g（t）=t2-t-ln t，利用导数证明g（t）≥0即可；（Ⅲ）求出原函数的导函数，对a分类分析函数的单调性，进一步求得极值．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的极值，体现了分类讨论的数学思想方法，属难题．19.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得a=，b=1，则c==1，∴椭圆C的离心率e==，左焦点F的坐标（-1，0），证明：（Ⅱ）由题意可得+y02=1，当y0=0时，直线l的方程为x=或x=-，直线l与椭圆相切，当y0≠0时，由可得（2y02+x02）x2-4x0x+4-4y02=0，即x2-2xx0+2-2y02=0，∴△=（-2x0）2-4（2-2y02）=4x02+8y02-8=0，故直线l与椭圆C相切．（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2），当y0=0时，x1=x2，y1=-y2，x1=±，∴•=（x1+1）2-y12=（x1+1）2-6+（x1-1）2=2x12-4=0，∴⊥，即∠AFB=90°当y0≠0时，由，（y02+1）x2-2（2y02+x0x）x+2-10y02=0，则x1+x2=，x1x2=，∴y1y2=x1x2-（x1+x2）+=，∴•=（x1+1，y1）•（x2+1，y2）=x1x2+x1+x2+1+y1y2=++==0，∴⊥，即∠AFB=90°综上所述∠AFB为定值90°．【解析】（Ⅰ）根据椭圆的离心率公式即可求出，（Ⅱ）根据判别式即可证明．（Ⅲ）根据向量的数量积和韦达定理即可证明，需要分类讨论，本题考查椭圆的简单性质，考查向量的运算，注意直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20.【答案】（Ⅰ）解：由a1=3，a2=1，a n+2=|a n+1-a n|，n∈N*．得a9=0，a10=1，a100，=1；（Ⅱ）证明：反证法：假设∀i，a i≠0，由于a n+2=|a n+1-a n|，记M=max{a1，a2}，则a1≤M，a2≤M．则0＜a3=|a2-a1|≤M-1，0＜a4=|a3-a2|≤M-1，0＜a5=|a4-a3|=M-2，0＜a6=|a5-a4|=M-2，…，依次递推，有0＜a7=|a6-a5|≤M-3，0＜a8=|a7-a6|≤M-3…，则由数学归纳法易得a2k+1≤M-k，k∈N*．当k＞M时，a2k+1＜0，与a2k+1＞0矛盾．故存在i，使a i=0．∴数列{a n}必在有限项后出现值为0的项；（Ⅲ）证明：首先证明：数列{a n}中必有“1”项．用反证法，假设数列{a n}中没有“1”项，由（Ⅱ）知，数列{a n}中必有“0”项，设第一个“0”项是a m（m≥3），令a m-1=p，p＞1，p∈N*，则必有a m-2=p，于是，由p=a m-1=|a m-2-a m-3|=|p-a m-3|，则a m-3=2p，因此p是a m-3的因数，由p=a m-2=|a m-3-a m-4|=|2p-a m-4|，则a m-4=p或3p，因此p是a m-4的因数．依次递推，可得p是a1，a2的因数，∵p＞1，∴这与a1，a2互质矛盾．∴数列{a n}中必有“1”项．其次证明数列{a n}中必有无穷多项为“1”．假设数列{a n}中的第一个“1”项是a k，令a k-1=q，q＞1，q∈N*，则a k+1=|a k-a k-1|=q-1，若a k+1=q-1=1，则数列中的项从a k开始，依次为“1，1，0”的无限循环，故有无穷多项为1；若a k+1=q-1＞1，则a k+2=|a k+1-a k|=q-2，a k+3=|a k+2-a k+1|=1，若a k+2=q-2=1，则进入“1，1，0”的无限循环，有无穷多项为1；若a k+2=q-2＞1，则从a k开始的项依次为1，q-1，q-2，1，q-3，q-4，1，…，必出现连续两个“1”项，从而进入“1，1，0”的无限循环，故必有无穷多项为1．【解析】（Ⅰ）由a1=3，a2=1，结合数列递推式直接求得a9，a10，a100的值；（Ⅱ）利用反证法证明，假设∀i，a i≠0，由于a n+2=|a n+1-a n|，证得当k＞M时，a2k+1＜0，与a2k+1＞0矛盾；（Ⅲ）利用反证法证明数列{a n}中必有“1”项，再利用综合法证明数列{a n}中必有无穷多项为“1”．本题考查数列递推式，考查逻辑思维能力与推理运算能力，训练了利用反证法证明与自然数有关的命题，属难题．。

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部份 第一部份（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）i 为虚数单位，复数11i-的虚部是 A ．12 B ．12- C ．1i 2- D . 1i 2【答案】A 【解析】111111(1)(1)222i i i i i i ++===+--+，所以虚部是12，选A. （2）已知集合{}23M x x =-<<，{}lg(2)0N x x =+≥，则MN =A. (2,)-+∞B. (2,3)-C. (2,1]--D. [1,3)- 【答案】D 【解析】，所以{13}MN x x =-≤<，选D.（3）已知向量()()3,4,6,3OA OB =-=-，()2,1OC m m =+.若//AB OC ，则实数m 的值为A ．3-B ．17-C ．35-D ．35【答案】A【解析】(3,1)AB OB OA =-=,因为//AB OC ，所以3(1)20m m +-=，解得3m =-，选A.（4）在极坐标系中，直线1cos 2ρθ=与曲线2cos ρθ=相交于,A B 两点, O 为极点，则AOB ∠的大小为A ．3πB ．2πC ．32πD ．65π【答案】C【解析】直线1cos 2ρθ=对应的直角方程为12x =，由2cos ρθ=得22cos ρρθ=，即222x y x +=，即22(1)1x y -+=。

所以圆心为(1,0)C ，半径为1，所以3OCA π∠=，所以223AOB OCA π∠=∠=，选C. （5）在下列命题中，①“2απ=”是“sin 1α=”的充要条件； ②341()2x x+的展开式中的常数项为2；③设随机变量ξ～(0,1)N ,若(1)P p ξ≥=，则1(10)2P p ξ-<<=-． 其中所有正确命题的序号是 A ．② B ．③ C ．②③ D ．①③ 【答案】C【解析】①由sin 1α=，得2,2k k Z παπ=+∈，所以①错误。

2023年北京朝阳区高三一模数学试卷(详解)一、单选题2.A.B.C.D.【答案】【解析】若，则（ ）A 【分析】根据不等式的性质判断A ，取特殊值判断BCD.【详解】，，即，故A 正确；取，则不成立，故B 错误；取，则不成立，故C 错误；取，则，故D 错误.故选：A1.A.B.C.D.【答案】【解析】已知集合，集合，则（ ）C 【分析】化简，再由集合并集的运算即可得解.【详解】由题意，，所以.故选：C.3.A.5B.6C.7D.8【答案】【解析】设，若，则（ ）A 【分析】先求出展开式第项，再由列出方程，即可求出的值.【详解】展开式第项，∵，∴，∴.故选：A.4.A. B.C.D.【答案】【解析】已知点，．若直线上存在点P ，使得，则实数k 的取值范围是（ ）D 【分析】将问题化为直线与圆有交点，注意直线所过定点与圆的位置关系，再应用点线距离公式列不等式求k 的范围.【详解】由题设，问题等价于过定点的直线与圆有交点，又在圆外，所以只需，可得.故选：D5.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】【解析】已知函数，则“”是“”的（ ）C 【分析】由的奇偶性、单调性结合充分条件、必要条件的概念即可得解.【详解】因为定义域为，，所以为奇函数，且为上的增函数.当时，，所以，即“”是“”的充分条件，当时，，由的单调性知，，即，所以“”是“”成立的必要条件.综上，“”是“”的充要条件.故选：C6.A.B.C.2D.或2过双曲线的右焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为A ．若（O 为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）【答案】【解析】B 【分析】由题意易得所以，从而，再由求解.【详解】解：在中，因为，所以，则，所以，故选：B7.A.B.C.D.【答案】【解析】在长方体中，与平面相交于点M ，则下列结论一定成立的是（ ）C 【分析】根据平面交线的性质可知，又平行线分线段成比例即可得出正确答案，对于ABD 可根据长方体说明不一定成立.【详解】如图，连接，交于，连接，，在长方体中，平面与平面的交线为,而平面，且平面，所以，又，，所以，故C 正确.对于A ，因为长方体中与不一定垂直，故推不出，故A 错误；对于B ，因为长方体中与不一定相等，故推不出，故B 错误；对于D ，由B 知，不能推出与垂直，而是中线，所以推不出，故D 错误.故选：C8.A.的一个周期为B.的最大值为C.的图象关于直线对称D.在区间上有3个零点【答案】【解析】声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（ ）D 【分析】A.代入周期的定义，即可判断；B.分别比较两个函数分别取得最大值的值，即可判断；C.代入对称性的公式，即可求解；D.根据零点的定义，解方程，即可判断.【详解】A.，故A 错误；B.，当，时，取得最大值1，，当，时，即，时，取得最大值，所以两个函数不可能同时取得最大值，所以的最大值不是，故B 错误；C.，所以函数的图象不关于直线对称，故C 错误；D.，即，，即或，解得：，所以函数在区间上有3个零点，故D 正确.故选：D9.A.5B.10C.13D.26【答案】【解析】如图，圆M 为的外接圆，，，N 为边BC 的中点，则（ ）C 【分析】由三角形中线性质可知，再由外接圆圆心为三角形三边中垂线交点可知，同理可得，再由数量积运算即可得解.【详解】 是BC 中点，，M 为的外接圆的圆心，即三角形三边中垂线交点，，同理可得，.故选：C10.A.14B.15C.16D.17【答案】【解析】已知项数为的等差数列满足，．若，则k 的最大值是（ ）B 【分析】通过条件，，得到，再利用条件得到，进而得到不等关系：，从而得到的最大值.【详解】由，，得到，即，当时，恒有，即，所以，由，得到，所以，，整理得到：，所以.故选：B二、填空题11.【答案】【解析】【踩分点】若复数，则 .根据以及复数商的模等于复数的模的商，计算可得答案.【详解】因为，所以.故答案为：【点睛】本题考查了复数模的性质，考查了复数的模长公式，属于基础题.12.【答案】函数的值域为 ．【解析】【踩分点】【分析】利用对数函数和指数函数的图象和性质分别求和的值域，再取并集即可.【详解】因为当时，，当时，，所以函数的值域为，故答案为：13.【答案】【解析】【踩分点】经过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于A ，B 两点，若，则（O 为坐标原点）的面积为 ．【分析】求出焦点坐标，设直线方程，联立抛物线方程，韦达定理，利用弦长求出直线方程，可求得O 点到直线距离，进一步求出三角形面积.【详解】由题意知，抛物线的焦点，设，，直线AB ：，联立方程，消去x 可得，，韦达定理得，因为，所以，即，所以直线AB ：，所以点O 到直线AB 的距离为，所以.故答案为：14.【答案】【解析】某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的变化遵循兰彻斯特模型：，其中正实数，分别为红、蓝两方初始兵力，t 为战斗时间；，分别为红、蓝两方t 时刻的兵力;正实数a ，b 分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数；和分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为T ．给出下列四个结论：①若且，则；②若且，则；③若，则红方获得战斗演习胜利；④若，则红方获得战斗演习胜利．其中所有正确结论的序号是 ．①②④【分析】对于①根据已知条件利用作差法比较大小即可得出，所以①正确；对于②，利用①中结论可得蓝方兵力先为0，即解得，②正确；对于③和④，若要红方获得战斗演习胜利，分别解出红、蓝两方兵力为0时所用时间、，比较大小即可知③错误，④正确.【详解】对于①，若且，则，即，所以，由可得，即①正确；对于②，当时根据①中的结论可知，所以蓝方兵力先为0，即，化简可得，即，两边同时取对数可得，【踩分点】即，所以战斗持续时长为，所以②正确；对于③，若红方获得战斗演习胜利，则红方可战斗时间大于蓝方即可，设红方兵力为0时所用时间为，蓝方兵力为0时所用时间为，即，可得同理可得即，解得又因为都为正实数，所以可得，红方获得战斗演习胜利；所以可得③错误，④正确.故答案为：①②④.三、解答题15.【答案】【解析】在中，，，．（1）若，则；（2）当（写出一个可能的值）时，满足条件的有两个．（答案不唯一）【分析】（1）求出，再由余弦定理求解即可；（2）根据已知两边及一边的对角求三角形解得情况，建立不等式求出的范围即可得解.【详解】（1），，，，由余弦定理，，即，解得.【踩分点】（2）因为,,所以当时，方程有两解，即，取即可满足条件（答案不唯一）16.【答案】【解析】如图，在三棱柱中，平面ABC ，D ，E 分别为AC ，的中点，，．(1)求证：平面BDE ；(2)求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值；(3)求点D 到平面ABE 的距离．(1)证明见解析；(2)；(3).【分析】（1）根据线面垂直的性质得到，根据等腰三角形三线合一的性质得到，然后利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）利用空间向量的方法求线面角即可；（3）利用空间向量的方法求点到面的距离即可.【详解】（1）在三棱柱中，，为，的中点，∴，∵平面，∴平面，∵平面，∴，在三角形中，，为中点，∴，∵，平面，∴平面.（2）如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，在直角三角形中，，，∴，，，，，，，，设平面的法向量为，，令，则，，所以，设直线与平面所成角为，所以.（3）设点到平面的距离为，所以.【踩分点】17.设函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在．(1)求函数的解析式；(2)求在区间上的最大值和最小值．条件①：；条件②：的最大值为；条件③：的图象的相邻两条对称轴之间的距离为．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．【答案】【解析】【踩分点】(1)选择条件②③，(2)最大值为，最小值为.【分析】（1）由正弦函数和余弦函数的奇偶性可排除条件①，先利用辅助角公式化简，再根据正弦函数的图象和性质即可求解；（2）利用整体代入法，结合正弦函数的图象和性质即可求解.【详解】（1）若选择条件①，因为，所以，由可得对恒成立，与矛盾，所以选择条件②③，由题意可得，设，由题意可得，其中，，因为的最大值为，所以，解得，所以，，由的图象的相邻两条对称轴之间的距离为可得，所以解得，所以.（2）由正弦函数的图象可得当时，，，所以在区间上的最大值为，最小值为.18.【答案】【解析】某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竟答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：性别人数获奖人数一等奖二等奖三等奖男生200101515女生300252540假设所有学生的获奖情况相互独立．(1)分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；(2)用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X 表示这2名学生中获奖的人数，求X 的分布列和数学期望；(3)用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一女生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为，试比较与的大小．（结论不要求证明）(1)(2)分布列见解析，期望(3)【分析】（1）直接计算概率；（2）的所有可能取值为0,1,2，求出高一男生获奖概率和高一女生获奖概率，再计算概率得到分布列，最后计算期望即可；（3）计算出，，比较大小即可.【详解】（1）设事件为“分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名,抽到的2名学生都获一等奖”，则，【踩分点】（2）随机变量的所有可能取值为0,1,2.记事件为“从该地区高一男生中随机抽取1名,该学生获奖”,事件为“从该地区高一女生中随机抽取1名,该学生获奖”.由题设知,事件,相互独立,且估计为估计为.所以,,.所以的分布列为12故的数学期望（3），理由：根据频率估计概率得，由（2）知，，故，则.19.【答案】已知函数．(1)求的单调区间；(2)若对恒成立，求a 的取值范围；(3)证明：若在区间上存在唯一零点，则．(1)答案见解析(2)(3)证明见解析【解析】【分析】（1）讨论、，结合导数的符号确定单调区间；（2）由，讨论、研究导数符号判断单调性，进而判断题设不等式是否恒成立，即可得参数范围；（3）根据（2）结论及零点存在性确定时在上存在唯一零点，由零点性质及区间单调性，应用分析法将问题转化为证在上恒成立，即可证结论.【详解】（1）由题设，当时，，则在R上递增；当时，令，则，若，则，在上递减；若，则，在上递增；综上，时的递增区间为R，无递减区间；时的递减区间为，递增区间为.（2）由，当时，在上恒成立，故在上递增，则，满足要求；当时，由（1）知：在上递减，在上递增，而，所以在上递减，在上递增，要使对恒成立，所以，只需，令且，则，即递减，所以，故在上不存在；综上，（3）由（2）知：时，在恒有，故不可能有零点；【踩分点】时，在上递减，在上递增，且，所以上，无零点，即，且趋向于正无穷时趋向正无穷，所以，在上存在唯一，使，要证，只需在上恒成立即可，令，若，则，令，则，即在上递增，故，所以，即在上递增，故，所以在上恒成立，得证；故，得证.【点睛】关键点点睛：第三问，通过讨论确定在某一单调区间上存在唯一零点的a 的范围后，应用分析法证恒成立即可.20.【答案】【解析】已知椭圆经过点．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)设椭圆E 的左顶点为A ，直线与E 相交于M ，N 两点，直线AM 与直线相交于点Q ．问：直线NQ 是否经过x 轴上的定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，说明理由．(1)椭圆E 的方程为，离心率为.(2)直线过定点.【分析】(1)根据椭圆经过点即可求得椭圆方程，利用离心率公式即可求离心率；(2)表示出直线的方程为，即可求得点，再利用点斜式表示得直线的方程为，即可求出与轴的交点，利用韦达定理等量替换即可求出直线NQ 恒过的定点.【详解】（1）因为椭圆经过点，所以，解得，所以椭圆E的方程为，因为所以，所以离心率为.（2）直线过定点，理由如下：由可得，显然，设则有直线的方程为令，解得，则，所以直线的斜率为且，所以直线的方程为令，则所以直线过定点.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键在于利用直线的点斜式方程求的点点的坐标，再利用点斜式方程表示出直线与轴的交点横坐标，利用韦达定理等量代换求恒过定点.【踩分点】21.【答案】【解析】已知有穷数列满足．给定正整数m ，若存在正整数s ，，使得对任意的，都有，则称数列A 是连续等项数列．(1)判断数列是否为连续等项数列？是否为连续等项数列？说明理由；(2)若项数为N 的任意数列A 都是连续等项数列，求N 的最小值；(3)若数列不是连续等项数列，而数列，数列与数列都是连续等项数列，且，求的值．(1)数列是连续等项数列，不是连续等项数列，理由见解析；(2)11(3)0【分析】（1）根据新定义直接验证数列，1，0，1，0，1，，可得结论；（2）先根据新定义证明时，数列一定是连续等项数列，再验证时，不是连续等项数列即可；（3）由都是连续等项数列可得，，再由反证法证得，即可得出的值.【详解】（1）数列是连续等项数列，不是连续等项数列，理由如下:因为，所以是连续等项数列.因为为；为；为;为，所以不存在正整数，使得.所以A 不是连续等项数列.（2）设集合，则中的元素个数为.因为在数列中，所以.若，则.所以在这个有序数对中，至少有两个有序数对相同，即存在正整数，使得.所以当项数时，数列一定是连续等项数列.若，数列不是连续等项数列.若，数列不是连续等项数列.若，数列不是连续等项数列.若，数列不是连续等项数列.若，数列不是连续等项数列.若，数列不是连续等项数列.若，数列不是连续等项数列.若,数列不是连续等项数列.所以的最小值为11.（3）因为与都是连续等项数列，所以存在两两不等的正整数,使得，下面用反证法证明.假设，因为，所以中至少有两个数相等.不妨设，则所以是连续等项数列，与题设矛盾.所以.所以.【点睛】方法点睛：对于新定义问题，一般先要读懂定义内容，第一问一般是给具体的函数或数列验证是否满足所给定义，只需要结合新定义，验证即可，在验证过程中进一步加强对新定义的理解，第二步一般在第一步强化理解的基础上，所给函数或数列更加一般或复杂，进一步利用新定义处理，本题第三问根据与都是连续等项数列得出，，利用反证法求是关键点.【踩分点】。

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（理工类） 第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1． i 为虚数单位，复数2i 1i+= A ．1i - B ．1i -- C ．1i -+ D ．1i +2． 已知全集U =R ，函数ln(1)y x =-的定义域为M ，集合{}20N x x x =-<，则下列结论正确的是A ．M N N =IB ．()U M N =∅I ðC ．M N U =UD ．()U M N ⊆ð 3．>e e a b>”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4． 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A ．42 B ．19 C ．8 D ．35．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,.a b c若222()tan a c b B +-=，则角B 的值为A ． 3πB ． 6πC ． 233ππ或 D ． 566ππ或6．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误．．的是 A. 收入最高值与收入最低值的比是3:1B. 结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同(第4题图)（注：结余=收入-支出）7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是A ．13B ．12C ．1D ．328．若圆222(1)x y r +-=与曲线(1)1x y -=的没有公共点，则半径r 的取值范围是 A．0r << B．0r <<C．0r << D．0r <<第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9． 二项式251()x x+的展开式中含4x 的项的系数是 （用数字作答）．10．已知等差数列}{n a (n *∈N )中，11=a ，47a =，则数列}{n a 的通项公式n a = ；2610410n a a a a +++++=L ______．月23415689 10 7111258(第7题图)正视图侧视图俯视图11．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为222x y +=，曲线2C 的参数方程为2,(x t t y t=-⎧⎨=⎩为参数)．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲 线1C 与2C 的交点的极坐标．．．为 ． 12．不等式组0,,290x y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域为D ．若直线(1)y a x =+与区域D 有公共点，则实数a 的取值范围是 ．13．已知M 为ABC ∆所在平面内的一点，且14AM AB nAC =+u u u u r u u u r u u u r．若点M 在ABC ∆的内部(不含边界)，则实数n 的取值范围是____．14．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第i （1,2,,12i =L ）项能力特征用i x 表示，0,1i i x i ⎧=⎨⎩如果某学生不具有第项能力特征，，如果某学生具有第项能力特征.若学生,A B 的十二项能力特征分别记为1212(,,,)A a a a =L ，1212(,,,)B b b b =L ，则,A B 两名学生的不同能力特征项数为 （用,i i a b 表示）．如果两个同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数21()sin 22x f x x ωω=+0ω>． （Ⅰ）若1ω=，求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()13f π=，求()f x 的最小正周期T 的表达式并指出T 的最大值．16．（本小题满分13分）为了解学生暑假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表．（Ⅰ）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生阅读名著本数之和为4的概率？（Ⅱ）若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）试判断男学生阅读名著本数的方差21s 与女学生阅读名著本数的方差22s 的大小（只需 写出结论）．17．（本小题满分14分）如图，在直角梯形11AA B B 中，190A AB ∠=︒，11//A B AB ，11122AB AA A B ===．直角梯形11AAC C 通过直角梯形11AA B B 以直线1AA 为轴旋转得到，且使得平面11AA C C ⊥平面11AA B B ．M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 上的动点．（Ⅰ）求证：11A C AP ⊥；（Ⅱ）当点P 是线段1BB 中点时，求二面角P AM B --的余弦值；（Ⅲ）是否存在点P ，使得直线1A C //平面AMP ？请说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数()f x =ln ,x a x a +∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当[]1,2x ∈时，都有()0f x >成立，求a 的取值范围；AMPCBA 1C 1B 1（Ⅲ）试问过点(13)P ，可作多少条直线与曲线()y f x =相切？并说明理由．19．（本小题满分14分）已知点P 和椭圆:C 22142x y +=． （Ⅰ）设椭圆的两个焦点分别为1F ，2F ，试求12PF F ∆的周长及椭圆的离心率；（Ⅱ）若直线:l 20(0)y m m -+=≠与椭圆C 交于两个不同的点A ，B ，直线PA ，PB 与x轴分别交于M ，N 两点，求证：PM PN =．20．（本小题满分13分）已知等差数列}{n a 的通项公式31()n a n n *=-∈N .设数列{}n b 为等比数列,且n n k b a =.（Ⅰ）若11=2b a =,且等比数列{}n b 的公比最小， （ⅰ）写出数列{}n b 的前4项； （ⅱ）求数列{}n k 的通项公式；（Ⅱ）证明：以125b a ==为首项的无穷等比数列{}n b 有无数多个.北京市朝阳区2020学年度第二学期高三年级统一考试数学答案（理工类）一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）当1ω=时，21()sin 22x f x x =1sin 22x x =+ sin()3x π=+．令22,232k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z ．解得22,66k x k k 5πππ-≤≤π+∈Z ．所以()f x 的单调递增区间是[2,2],66k k k 5πππ-π+∈Z .……………………7分（Ⅱ）由21()sin 22x f x x ωω=+-1sin 2x x ωω=+ sin()3x ωπ=+．因为()13f π=，所以sin()133ωππ+=．则2332n ωπππ+=π+，n ∈Z ．解得162n ω=+． 又因为函数()f x 的最小正周期2T ωπ=，且0ω>，所以当ω12=时，T 的最大值为4π． ………………………………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件A ：从这个班级的学生中随机选取一名男生，一名女生，这两名学生阅读本数之和为4 ． 由题意可知，13+41()128P A ⨯⨯=⨯4分（Ⅱ）阅读名著不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X 的取值为0,1,2,3,4．由题意可得44481(0)70C P X C ===； 134448168(1)7035C C P X C ====； 2244483618(2)7035C C P X C ====； 314448168(3)7035C C P X C ====；44481(4)70C P X C ===． 所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的均值0123427070707070EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．…………10分 （Ⅲ）21s >22s ．…………………………………………………………………………13分17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知1190A AB A AC ∠=∠=︒，且平面11AA C C ⊥平面11AA B B ，所以90BAC ∠=︒，即AC AB ⊥． 又因为1AC AA ⊥且1AB AA A =I ，所以AC ⊥平面11AA B B ．由已知11//A C AC ，所以11A C ⊥平面11AA B B ． 因为AP ⊂平面11AA B B ，所以11AC AP ⊥．…………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知1,,AC AB AA 两两垂直．分别以1,,AC AB AA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示． 由已知 11111222AB AC AA A B AC =====， 所以(0,0,0),(0,2,0),(2,0,0),A B C 1(0,1,2)B ，1(0,0,2)A ．因为M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 的中点，所以3(1,1,0),(0,,1)2M P ．易知平面ABM 的一个法向量(0,0,1)=m ． 设平面APM 的一个法向量为(,,)x y z =n ，由 0,0,AM AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u rn n 得0, 30. 2x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 取2y =，得(2,2,3)=--n ．由图可知，二面角P AM B --的大小为锐角，所以cos ,⋅〈〉===⋅m n m n m n ． 所以二面角P AM B --9分 （Ⅲ）存在点P ，使得直线1A C //平面AMP ．设111(,,)P x y z ，且1BP BB λ=u u u r u u u r，[0,1]λ∈，则111(,2,)(0,1,2)x y z λ-=-，所以1110,2,2x y z λλ==-=．所以(0,2,2)AP λλ=-u u u r．设平面AMP 的一个法向量为0000(,,)x y z =n ，由 000,0,AM AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u ru u u rn n 得00000, (2)20. x y y z λλ+=⎧⎨-+=⎩ 取01y =，得02(1,1,)2λλ-=-n （显然0λ=不符合题意）．又1(2,0,2)AC =-u u u r ，若1A C //平面AMP ，则10AC ⊥u u u rn ． 所以10220AC λλ-⋅=--=u u u r n ．所以23λ=． 所以在线段1BB 上存在点P ，且12BPPB =时，使得直线1A C //平面AMP ．…………14分 18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}0x x >．()1a x af x x x+'=+=． （1）当0a ≥时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； （2）当0a <时， 令()0f x '=，得x a =-．当0x a <<-时，()0f x '<，函数()f x 为减函数； 当x a >-时，()0f x '>，函数()f x 为增函数．综上所述，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞．当0a <时，函数()f x 的单调递减区间为(0,)a -，单调递增区间为(+)a -∞，． ……………………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（1）当1a -≤时，即1a ≥-时，函数()f x 在区间[]1,2上为增函数，所以在区间[]1,2上，min ()(1)1f x f ==，显然函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零； （2）当12a <-<时，即21a -<<-时，函数()f x 在[)1a -，上为减函数，在(],2a - 上为增函数，所以min ()()ln()f x f a a a a =-=-+-．依题意有min ()ln()0f x a a a =-+->，解得e a >-，所以21a -<<-． （3）当2a -≥时，即2a ≤-时，()f x 在区间[]1,2上为减函数， 所以min ()(2)2+ln 2f x f a ==．依题意有min ()2+ln 20f x a =>，解得2ln 2a >-，所以22ln 2a -<≤-． 综上所述，当2ln 2a >-时，函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零．………………8分 （Ⅲ）设切点为000,ln )x x a x +（，则切线斜率01a k x =+， 切线方程为0000(ln )(1)()ay x a x x x x -+=+-． 因为切线过点(1,3)P ，则00003(ln )(1)(1)ax a x x x -+=+-． 即001(ln 1)20a x x +--=． ………………① 令1()(ln 1)2g x a x x =+-- (0)x >，则 2211(1)()()a x g x a x x x-'=-=． （1）当0a <时，在区间(0,1)上，()0g x '>， ()g x 单调递增；在区间(1,)+∞上，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以函数()g x 的最大值为(1)20g =-<． 故方程()0g x =无解，即不存在0x 满足①式． 因此当0a <时，切线的条数为0．（2）当0a >时, 在区间(0,1)上，()0g x '<，()g x 单调递减，在区间(1,)+∞上，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以函数()g x 的最小值为(1)20g =-<．取21+1ee ax =>，则221112()(1e 1)2e 0aa g x a a a----=++--=>．故()g x 在(1,)+∞上存在唯一零点．取2-1-21e <e a x =，则221122()(1e 1)2e 24a a g x a a a a ++=--+--=--212[e 2(1)]a a a+=-+． 设21(1)t t a=+>，()e 2t u t t =-，则()e 2t u t '=-． 当1t >时，()e 2e 20t u t '=->->恒成立．所以()u t 在(1,)+∞单调递增，()(1)e 20u t u >=->恒成立．所以2()0g x >．故()g x 在(0,1)上存在唯一零点．因此当0a >时，过点P (13)，存在两条切线．（3）当0a =时，()f x x =，显然不存在过点P (13)，的切线．综上所述，当0a >时，过点P (13)，存在两条切线；当0a ≤时，不存在过点P (13)，的切线．…………………………………………………13分19．（本小题满分14分）解：(Ⅰ)由题意可知，24a =，22b =，所以22c =．因为P 是椭圆C 上的点，由椭圆定义得124PF PF +=．所以12PF F ∆的周长为4+．易得椭圆的离心率=c e a =．………………………………………………………4分 (Ⅱ)由2220,1,42y m x y -+=⎨+=⎪⎩得22480x m ++-=． 因为直线l 与椭圆C 有两个交点，并注意到直线l 不过点P ，所以22844(8)0,0.m m m ⎧-⨯->⎨≠⎩解得40m -<<或04m <<． 设11(,)A x y ，22(,)B x y，则12x x +=，21284m x x -=, 112m y +=，222m y +=．显然直线PA 与PB 的斜率存在，设直线PA 与PB 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k +=+211)(1)(x x -+-===28)(m m ----+=2=220==． 因为120k k +=，所以PMN PNM ∠=∠． 所以PM PN =． ………………………………………………………14分。

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）2013.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． （1）i 为虚数单位，复数11i-的虚部是 A．12 B．12- C ．1i 2- D . 1i 2（2）已知集合{}23M x x =-<<，{}lg(2)0N x x=+≥，则MN=A. (2,)-+∞ B. (2,3)- C. (2,1]-- D. [1,3)-（3）已知向量()()3,4,6,3OA OB =-=-，()2,1OC m m =+.若//AB OC ，则实数m 的值为A ．3-B ．17-C ．35- D ．35（4）在极坐标系中，直线1cos 2ρθ=与曲线2cos ρθ=相交于,A B 两点, O 为极点，则AOB ∠的 大小为 A ．3π B ．2π C ．32π D ．65π（5）在下列命题中，①“2απ=”是“sin 1α=”的充要条件； ②341()2x x+的展开式中的常数项为2； ③设随机变量ξ～(0,1)N ,若(1)P p ξ≥=，则1(10)2P p ξ-<<=-．其中所有正确命题的序号是 A ．② B ．③ C ．②③ D ．①③（6）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三 视图如图所示，则这个几何体的体积为A. 4B.C.D. 8正视图侧视图俯视图（7）抛物线22y px =（p ＞0）的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则||||MN AB 的最大值为A.B. 1C. D. 2 （8）已知函数*()21,f x x x =+∈N .若*0,x n ∃∈N ，使000()(1)()63f x f x f x n +++++=成立，则称0(,)x n 为函数()f x 的一个“生成点”.函数()f x 的“生成点”共有 A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）在等比数列{}n a 中，32420a a a -=，则3a = ，{}n b 为等差数列，且33b a =，则数列{}n b 的前5项和等于 .（10）在ABC ∆中， a ，b ，c 分别为角A ， B ，C 所对的边.已知角A 为锐角，且3sin b a B =,则tan A = .（11）执行如图所示的程序框图，输出的结果S= .（12）如图，圆O 是ABC ∆的外接圆，过点C 作圆O 的切 线交BA 的延长线于点D .若CD =2AB AC ==，则线段AD 的长是 ；圆O 的 半径是 . （13）函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且满足(2)()f x f x +=.当[0,1]x ∈时，()2f x x =.若在区间[2,3]-上方程2()0ax a f x +-=恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 .（14）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 是半圆2240x x y -+=（2≤x ≤4）上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC ⋅=时，则点C 的纵坐标的取值范围是 ．D三、解答题：本大题共6小题，共80分. （15）（13分）已知函数21()sin sin 222x f x x ωω=-+（0ω>）的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的取值范围.（16）（13分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字1,01-，,2．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数字后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）． （Ⅰ）在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率；（Ⅱ）在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率；（Ⅲ）在两次试验中，记卡片上的数字分别为ξη，，试求随机变量X=ξη⋅的分布列与数学期望EX ．（17）（14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面ABCD ，且PA AC ⊥，2PA AD ==．四边形ABCD 满足BCAD ，AB AD ⊥，1AB BC ==．点,E F 分别为侧棱,PB PC 上的点，且PE PFPB PCλ==． （Ⅰ）求证：EF 平面PAD ；（Ⅱ）当12λ=时，求异面直线BF 与CD 所成角的余弦值； （Ⅲ）是否存在实数λ，使得平面AFD ⊥平面PCD ？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．（18）（13分）已知函数2()(2)ln 22f x x a x a x a =-++++，其中2a ≤．PDABCFE（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在(]0,2上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围.（19）（14分）已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 过点(1,)2,离心率为2，点A 为其右顶点.过点(10)B ，作直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，直线AE ，AF 与直线3x =分别交于点M ，N .（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求EM FN ⋅的取值范围.（20）（13分）设1210(,,,)x x x τ=是数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的任意一个全排列，定义1011()|23|k k k S x x τ+==-∑，其中111x x =.（Ⅰ）若(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)τ=，求()S τ的值； （Ⅱ）求()S τ的最大值；（Ⅲ）求使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案（理工类）2013.4三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）1cos 1()222x f x x ωω-=-+1cos 22x x ωω=+ sin()6x ωπ=+. …………………………………………4分因为()f x 最小正周期为π，所以2ω=. ………………………………6分 所以()sin(2)6f x x π=+.由222262k x k ππππ-≤+≤π+，k ∈Z ，得36k x k πππ-≤≤π+.所以函数()f x 的单调递增区间为[,36k k πππ-π+]，k ∈Z . ………………8分（Ⅱ）因为[0,]2x π∈，所以72[,]666x πππ+∈， …………………………………10分 所以1sin(2)126x π-≤+≤. ………………………………………12分所以函数()f x 在[0,]2π上的取值范围是[1,12-]. ……………………………13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件A ：在一次试验中，卡片上的数字为正数，则 21()42P A ==． 答：在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是12．…………………………3分（Ⅱ）设事件B ：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数．由（Ⅰ）可知在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是12． 所以041344111111()1[()()()]222216P B C C =-⋅+⋅=． 答：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为1116．……………7分 （Ⅲ）由题意可知，ξη，的可能取值为1,01-，,2，所以随机变量X 的可能取值为2,101,--，，,24．21(2)448P X=-==⨯； 21(1)448P X=-==⨯； 77(0)4416P X===⨯； 21(=1)448P X ==⨯；21(=2)448P X ==⨯； 11(=4)4416P X ==⨯．所以随机变量X 的分布列为所以1()2101881688164E X =-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=24．……………………13分（17）（本小题满分14分） 证明：（Ⅰ）由已知，PE PFPB PCλ==， 所以 EF BC ． 因为BCAD ，所以EFAD ．而EF ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以EF平面PAD ． ……………………………………………………4分（Ⅱ）因为平面ABCD ⊥平面PAC ，平面ABCD平面PAC AC =，且PA AC ⊥，所以PA ⊥平面ABCD . 所以PA AB ⊥，PA AD ⊥． 又因为AB AD ⊥，所以,,PA AB AD 两两垂直． ……………………………………………………5分如图所示，建立空间直角坐标系， 因为1AB BC ==，2PA AD ==， 所以()()0,0,01,0,0,A B ,()()()1,1,0,0,2,0,0,0,2C D P ．当12λ=时，F 为PC 中点， 所以11(,,1)22F ,所以11(,,1),(1,1,0)22BF CD =-=-．设异面直线BF 与CD 所成的角为θ，所以11|(,,1)(1,1,0)|cos |cos ,|3BF CD θ-⋅-=〈〉==， 所以异面直线BF 与CD 9分 （Ⅲ）设000(,,)F x y z ，则000(,,2),(1,1,2)PF x y z PC =-=-． 由已知PF PC λ=，所以000(,,2)(1,1,2)x y z λ-=-，所以000,,22.x y z λλλ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩ 所以(,,22)AF λλλ=-．设平面AFD 的一个法向量为1111(,,)x y z =n ，因为()0,2,0AD =,所以110,0.AF AD n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即1111(22)0,20.x y z y λλλ++-=⎧⎨=⎩令1z λ=，得1(22,0,)λλn =-．设平面PCD 的一个法向量为2222(,,)x y z =n ，因为()()0,2,2,1,1,0PD CD =-=-,所以220,0.PD CD n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即2222220,0. y z x y -=⎧⎨-+=⎩令21x =，则2(1,1,1)=n ．若平面AFD ⊥平面PCD ，则120n n ⋅=，所以(22)0λλ-+=，解得23λ=． 所以当23λ=时，平面AFD ⊥平面PCD ．…………………………………………14分 （18）（本小题满分1 3分）解：函数定义域为{}0x x >， 且(2)(1)()2(2).a x a x f x x a x x--'=-++=…………2分 ①当0a ≤，即02a≤时，令()0f x '<，得01x <<，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)， 令()0f x '>，得1x >，函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞.②当012a <<，即02a <<时，令()0f x '>，得02ax <<或1x >， 函数()f x 的单调递增区间为(0,)2a，(1,)+∞.令()0f x '<，得12a x <<，函数()f x 的单调递减区间为(,1)2a.③当12a=，即2a =时，()0f x '≥恒成立，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. …7分(Ⅱ)①当0a ≤时，由(Ⅰ)可知，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，()f x 在(1,2]单调递增. 所以()f x 在(]0,2上的最小值为(1)1f a =+， 由于22422221121()2(1)10e e e e e e a a f =--+=--+>， 要使()f x 在(]0,2上有且只有一个零点， 需满足(1)0f =或(1)0,(2)0,f f <⎧⎨<⎩解得1a =-或2ln 2a <-. ②当02a <≤时，由(Ⅰ)可知，（ⅰ）当2a =时，函数()f x 在(0,2]上单调递增；且48414(e )20,(2)22ln 20e ef f -=--<=+>，所以()f x 在(]0,2上有且只有一个零点. （ⅱ）当02a <<时，函数()f x 在(,1)2a上单调递减，在(1,2]上单调递增；又因为(1)10f a =+>，所以当(,2]2ax ∈时，总有()0f x >.因为22e12a aa +-<<+，所以22222222(e)e[e(2)](ln e22)0a a a a aaaaf a a a ++++----=-++++<.所以在区间(0,)2a 内必有零点.又因为()f x 在(0,)2a 内单调递增， 从而当02a <≤时，()f x 在(]0,2上有且只有一个零点. 综上所述，02a <≤或2ln 2a <-或1a =-时，()f x 在(]0,2上有且只有一个零点. …………………………………………………………………………………………13分 （19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，依题意得22222,1314a b c c a ab ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得24a =，21b =. 所以椭圆C 的方程为2214x y +=. ………………………………………………4分 （Ⅱ）显然点(2,0)A .（1）当直线l 的斜率不存在时，不妨设点E 在x 轴上方，易得(1,E F，(3,),(3,22M N -，所以1EM FN ⋅=. …………………………………………6分 （2）当直线l 的斜率存在时，由题意可设直线l 的方程为(1)y k x =-，显然0k =时，不符合题意.由22(1),440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得2222(41)8440k x k x k +-+-=. 设1122(,),(,)E x y F x y ,则22121222844,4141k k x x x x k k -+==++.直线AE ，AF 的方程分别为：1212(2),(2)22y y y x y x x x =-=---， 令3x =，则1212(3,),(3,)22y yM N x x --.所以1111(3)(3,)2y x EM x x -=--，2222(3)(3,)2y x FN x x -=--. ……………………10分 所以11221212(3)(3)(3)(3)22y x y x EM FN x x x x --⋅=--+⋅-- 121212(3)(3)(1)(2)(2)y y x x x x =--+-- 2121212(1)(1)(3)(3)(1)(2)(2)x x x x k x x --=--+⋅-- 2121212121212()1[3()9][1]2()4x x x x x x x x k x x x x -++=-++⨯+⋅-++ 222222222222244814484141(39)(1)4484141244141k k k k k k k k k k k k k --+-++=-⋅+⋅+⋅-++-⋅+++ 22221653()(1)414k k k k+-=⋅++ 22216511164164k k k +==+++. ……………………………………………12分 因为20k >，所以21644k +>，所以22165511644k k +<<+，即5(1,)4EM FN ⋅∈. 综上所述，EM FN ⋅的取值范围是5[1,)4. ……………………………………14分（20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）1011()|23|7654321012857k k k S xx τ+==-=+++++++++=∑. ……3分（Ⅱ）数10,9,8,7,6,5,4,3,2,1的2倍与3倍分别如下：20,18,16,14,12,10,8,6,4,2,30,27,24,21,18,15,12,9,6,3其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为20372131-=，所以()131S τ≤.对于排列0(1,5,6,7,2,8,3,9,4,10)τ=，此时0()131S τ=，所以()S τ的最大值为131. ……………………………………………………………8分（Ⅲ）由于数1,2,3,4所产生的8个数都是较小的数，而数7,8,9,10所产生的8个数都是较大的数，所以使()S τ取最大值的排列中，必须保证数1,2,3,4互不相邻，数7,8,9,10也互不相邻；而数5和6既不能排在7,8,9,10之一的后面，又不能排在1,2,3,4之一的前面.设11x =，并参照下面的符号排列1△○□△○□△○□△○其中2,3,4任意填入3个□中，有6种不同的填法；7,8,9,10任意填入4个圆圈○中，共有24种不同的填法；5填入4个△之一中，有4种不同的填法；6填入4个△中，且当与5在同一个△时，既可以在5之前又可在5之后，共有5种不同的填法，所以当11x =时，使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数为624452880⨯⨯⨯=，由轮换性知，使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数为28800. ……………………………13分。

北京市朝阳区高三一模理科数学试题及答案一、选择题（共5小题；共25分）1. 若集合，集合，则等于A. B. C. D.2. 已知平面向量，满足：，，则与的夹角为______A. B. C. D.3. 如图，设区域，向区域内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落入到阴影区域的概率为______A. B. C. D.4. 在中，，“ ” 是“ ”的______A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 执行如图所示的程序框图，输出的值为______A. B. C. D.二、填空题（共1小题；共5分）6. 双曲线的一个焦点到其渐近线的距离是，则 ______；此双曲线的离心率为______．三、解答题（共2小题；共26分）7. 已知函数，．（1）求的值及函数的最小正周期；（2）求函数在上的单调减区间．8. 已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）若函数在区间的最小值为，求的值．四、选择题（共3小题；共15分）9. 复数在复平面内对应的点位于______A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限10. 已知函数．下列命题：①函数的图象关于原点对称；②函数是周期函数；③当时，函数取最大值；④函数的图象与函数的图象没有公共点，其中正确命题的序号是______A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④11. 直线与圆交于不同的两点，，且，其中是坐标原点，则实数的取值范围是______A.B.C.D.五、填空题（共4小题；共20分）12. 在各项均为正数的等比数列中，，，则该数列的前项和为______．13. 在极坐标系中，为曲线上的点，为曲线上的点，则线段长度的最小值是______．14. 某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥的体积为______；表面积为______．15. 有标号分别为、、的红色卡片张，标号分别为、、的蓝色卡片张．现将全部的张卡片放在行列的格内（如图）．若颜色相同的卡片在同一行，则不同的放法种数为______．（用数字作答）六、解答题（共2小题；共26分）16. 已知椭圆经过点，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于，两点，点是椭圆的右顶点．直线与分别与轴交于点、，试问以线段为直径的圆是否过轴上的定点?若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．17. 从中这个数中取个数组成递增等差数列，所有可能的递增等差数列的个数记为．（1）当，时，写出所有可能的递增等差数列及的值；（2）求；（3）求证：．七、填空题（共1小题；共5分）18. 如图，在四棱锥中，底面．底面为梯形，，，，．若点是线段上的动点，则满足的点的个数是______．答案第一部分1. C2. B3. A4. B5. A第二部分6. ；第三部分7. （1）．．函数的最小正周期为．（2）令得又因为，所以．函数在上的单调减区间为．8. （1）求导，得．（1）当时，，故函数在上单调递减．（2）当时，恒成立，所以函数在上单调递减．（3）当时，令，又因为，解得．①当时，，所以函数在单调递减．②当时，，所以函数在单调递增．综上所述，当时，函数的单调减区间是，当时，函数的单调减区间是，单调增区间为．（2）（1）当时，由（Ⅰ）可知，在上单调递减，所以的最小值为，解得，舍去．（2）当时，由（Ⅰ）可知，①当，即时，函数在上单调递增，所以函数的最小值为，解得．②当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的最小值为，解得，舍去．③当，即时，函数在上单调递减，所以函数的最小值为，得，舍去．综上所述，．第四部分9. B 10. C11. D第五部分12.13.14. ；15.第六部分16. （1）由题意，得解得，．所以椭圆的方程是．（2）以线段为直径的圆过轴上的定点．由方程组消去，得由点在椭圆内部，得恒成立．设，，则有而，则直线的方程为直线的方程为从而，．若以线段为直径的圆过轴上的定点，则等价于恒成立．由，，得恒成立．因为所以解得．故以线段为直径的圆过轴上的定点．17. （1）符合要求的递增等差数列为，共个．所以．（2）设满足条件的一个等差数列的首项为，公差为，．根据等差数列的通项公式，得则的可能取值为．对于给定的，当分别取时，可得递增等差数列个（如时，，当分别取时，可得递增等差数列个：．其他同理）．所以当取时，可得符合要求的等差数列的个数为（3）设等差数列首项为，公差为，则得记的整数部分是，则即，则的可能取值为．对于给定的，当分别取时，可得递增等差数列个．当取时，则符合要求的等差数列的个数为由，得又因为所以从而即．第七部分18.。