13.1.2.1 线段的垂直平分线的性质(第1课时)

13.1.2 线段的垂直平分线的性质（第1课时）说课稿选题及教材分析本课是人教版数学八年级上册的第13章几何图形的认识，第1节线段的垂直平分线的性质，第2课时。

本节课主要介绍线段的垂直平分线的性质，即垂直平分线的定义和性质。

本节课的主要内容包括：垂直平分线的定义和性质；垂直平分线的判定方法；垂直平分线的特点和应用；垂直平分线的应用于解决实际问题。

通过本节课的学习，学生能够初步认识垂直平分线的概念和性质，能够判断是否为垂直平分线，并能够应用垂直平分线解决几何问题。

教学目标1.知识与能力：–掌握垂直平分线的定义和性质；–掌握垂直平分线的判定方法；–掌握垂直平分线的特点和应用；–能够应用垂直平分线解决几何问题。

2.过程与方法：–通过引导学生观察实例，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力；–组织学生合作探究，激发学生的学习兴趣。

3.情感、态度与价值观：–培养学生对几何图形的兴趣，并提高对几何的艺术欣赏能力；–培养学生观察、思考和合作的能力，培养学生的创新意识和实践能力。

教学重点1.垂直平分线的定义和性质；2.垂直平分线的判定方法；3.垂直平分线的特点和应用。

教学难点1.垂直平分线的判定方法。

教学过程导入（5分钟）引导学生回顾上节课学习的内容，复习线段的定义和性质。

通过问题导入，激发学生的思考兴趣。

问题：如何判断一个线段的中垂线和一条直线相垂直？概念讲解（10分钟）通过示意图，向学生解释垂直平分线的定义。

引导学生观察图形，总结垂直平分线的性质，并与其他类型的平分线进行对比。

探究活动（15分钟）1.将学生分成小组，每个小组给出一个线段，让小组成员观察线段上的点是否能构成垂直平分线。

2.每个小组选择一个代表，将自己的观察结果进行讲解和展示。

3.引导学生总结判定垂直平分线的方法。

辅助讲解（10分钟）对学生总结出的判定方法进行讲解，解答学生提出的疑惑。

拓展应用（15分钟）通过一些实际问题的引导，让学生运用垂直平分线的性质解决几何问题。

第十三章轴对称13.1 轴对称13.1.2 线段的垂直平分线的性质第1课时线段的垂直平分线的性质与判定一、教学目标1.理解并掌握线段垂直平分线的性质和判定的内容.2.熟练运用线段垂直平分线的性质和判定进行计算与证明.3.会用尺规过直线外一点作已知直线的垂线.二、教学重难点重点：线段垂直平分线的性质和判定的内容.难点：运用线段垂直平分线的性质和判定进行计算与证明.三、教学过程【新课导入】[复习导入]1.什么是轴对称图形？（如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称.）2.线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？（线段是轴对称图形，它的对称轴是这条线段的垂直平分线.）3.什么是线段的垂直平分线？（经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.）教师带领学生复习旧知，鼓励学生积极的投入到活动中，为这节课做准备,尤其强调线段的垂直平分线的定义.【新知探究】知识点1 线段垂直平分线的性质[提出问题]如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…到点A和点B的距离，你有什么发现？[动手操作]1.学生用练习本上先作出线段AB，过AB中点作 AB的垂直平分线l，在l上取P1、P2、P3…连接AP1、AP2、AP3、BP1、BP2、BP3…2．作好图后，用直尺量出AP1、AP2、AP3、BP1、BP2、BP3的长度…之后小组讨论发现了什么样的结论？．(经测量可以发现，点P1，P2，P3，…到点A的距离与它们到点B的距离分别相等，即 P1A =P1B，P2A = P2B，P3A=P3B.)[提出问题]如果把线段AB沿直线l对折，还有同样的发现吗？[动手操作]学生把线段AB沿直线l对折，发现线段P1A与P1B，线段P2A与P2B，线段P3A与P3B……都是重合的，因此它们也分别相等.[提出问题]你能证明你得到的结论吗？[小组讨论]学生之间进行讨论，教师提醒学生科利用三角形全等来证明.[课件展示]教师利用多媒体展示如下验证过程：已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在l上．求证：PA=PB．证明：∵l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB．又CA=CB，PC =PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）．∴PA=PB．[归纳总结]线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.该性质定理的几何语言：∵直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在l上，∴PA=PB.同时提醒学生，该性质定理可判断两线段是否相等.[课件展示]跟踪训练如图，在△ABC中，ED垂直平分AB，交AB于点D ,交AC于点F，交BC的延长线于点E,若BF=6，CF=2，则AC的长为 8 .知识点2 线段垂直平分线的判定[提出问题]将线段垂直平分线的性质定理的条件与结论反过来，即如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？[小组交流]学生小组间讨论，画出图形，写出已知、证明，之后代表发言.[课件展示]教师利用多媒体展示如下验证过程：已知：如图，P是线段AB外一点，且PA=PB．求证：点P在线段AB 的垂直平分线上．证明：如图，过点P 作PC⊥AB 于点C，则∠PCA =∠PCB =90°．在Rt△PCA和Rt△PCB中，PA=PB，PC=PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴AC=BC．又PC⊥AB，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上．[归纳总结]线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．该判定定理的几何语言：∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上.同时提醒学生，该判定定理可判断一个点是否在线段的垂直平分线上.[课件展示]教师利用多媒体展示如下两道例题：例1 如图,在ΔABC中,边AB的垂直平分线EF交BC的垂直平分线MN于点P，连接AP，BP，CP.求证：AP=BP=CP.证明：∵点P在线段AB的垂直平分线MN上，∴AP=BP.同理 BP=CP.∴AP=BP=CP.例2 如图,在ΔABC中,边AB的垂直平分线EF交BC的垂直平分线MN于点P.求证：点P在AC的垂直平分线上.证明：连接AP，BP，CP.∵AB的垂直平分线EF交BC的垂直平分线MN于点P，∴PA=PB, PB=PC.∴PA=PC.∴点P在AC的垂直平分线上.由例1和例2可知：三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.[归纳总结]小结：从线段垂直平分线的性质和判定可以看出，在线段AB的垂直平分线l上的点与点A，B 的距离都相等，反过来，与A，B的距离相等的点都在l上，所以直线l可以看成与两点A，B的距离相等的所有点的集合.知识点3尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题：例3 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.已知：直线AB和AB外一点C(如图） .求作：AB的垂线，使它经过点C .作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁.（2）以点C 为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和点E.DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.（3）分别以点D和点E为圆心，大于12（4）作直线CF.直线CF就是所求作的垂线.[提出问题]为什么直线CF就是所求作的垂线？[小组讨论]学生分组讨论，之后代表回答，其他代表补充，之后教师纠错.（因为DF=EF，根据垂直平分线的判定定理即可得到.）【课堂小结】【课堂训练】1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，AD=3，PD=4，则线段PB的长为（ B ）A. 6B. 5C. 4D. 32.（2021•梧州）如图，DE是△ABC的边BC的垂直平分线，分别交边AB，BC于点D，E，且AB＝9，AC＝6，则△ACD的周长是（　C　）A．10.5 B．12 C．15 D．18【解析】∵DE是△ABC的边BC的垂直平分线，∴BD＝CD，∴△ACD的周长＝AD+CD+AC＝AD+BD+AC＝AB+AC，∵AB＝9，AC＝6，∴△ACD的周长＝9+6＝15．故选C．3.如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O.则图中相等的线段有 OC=OD，AO=OB，且AC=BC=AD=BD .4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°, BD平分∠ABC，交AC于点D，DE垂直平分AB交AB于点E，若DE=1 ,BD=2，则AC=3.【解析】∵DE垂直平分AB，BD=2,∴AD=BD=2.∵BD平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE=1，∴AC=AD+CD=2+1=3.故答案为3.【变式】（2021•杭州二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，E是AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，S△AED：S△ABC＝ 1:3 ．【解析】∵DE垂直平分AB，∴AD=BD，∴S△AED=S△BED.∵∠C=∠BDE=90°，∠1=∠2，BE=BE，∴△BDE≌△BCE（AAS）.∴S△BED=S△BEC，∴S△ABC=3S△AED，∴S△AED：S△ABC=1：3．故答案为1：3．5.如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.求证：OE是CD的垂直平分线.证明：∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,∴DE=CE.又OE=OE，∴Rt△OED≌Rt△OEC.∴DO=CO.∴OE是CD的垂直平分线.6.如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，求证：AB+BD=DE.证明：∵AD⊥BC，BD=DC，∴AB=AC.∵点C在AE的垂直平分线上,∴AC=CE.∴AB=AC=CE.∴AB+BD=CE+DC=DE，即AB+BD=DE.7.如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，E是AC上的一点，连接DE，BE，求证：∠ABE=∠ADE.证明：连接DB.∵AB=AD，BC=DC,∴点A和点C都在线段BD的垂直平分线上.∴线段AC所在的直线是线段BD的垂直平分线.∵E是AC上的一点，∴BE=DE.在△ABE和△ADE中，AB=AD，BE=DE，AE=AE，∴△ABE≌△ADE(SSS).∴∠ABE=∠ADE.8.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE=AF,请判断线段AD所在的直线是否为线段EF的垂直平分线.如果是，请予以证明；如果不是，请说明理由．解：线段AD所在的直线是线段EF的垂直平分线.证明如下：方法一（定义法）：设AD与EF的交点为O.∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠FAD，又AE=AF，AO=AO，∴△AOE≌△AOF（SAS）.∴EO=FO，∠EOA=∠FOA.又∠EOA+∠FOA=180°.∴∠EOA=∠FOA=90°，即AO⊥EF.∴线段AD所在的直线是线段EF的垂直平分线.方法二（判定定理法）：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠FAD，又AE=AF，AD=AD，∴△ADE≌△ADF（SAS）.∴DE=DF.∴点D在线段EF的垂直平分线上.又AE=AF，∴点A在线段EF的垂直平分线上.∴线段AD所在的直线是线段EF的垂直平分线.提醒学生：判断线段垂直平分线的方法：（1）定义法；（2）判定定理法.应用时可根据题目特点灵活选择.【教学反思】本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因此本节课的教学效果较好，再通过跟踪训练和课堂训练这两个环节，不但使学生对所学的新知识得到及时巩固和提升，同时又使得还存在模糊认识的学生得到进一步澄清，这就让学生在学习新知识的第一时间得到最清晰的认识，这正是高效的价值所在．学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生对线段垂直平分线性质定理的逆定理理解不透彻，还需在今后的教学和作业中进一步进行巩固和提高．。

《13.1.2 线段的垂直平分线的性质》陕西省延安市实验中学朱华【教材依据】本节课程选自九年义务教育人教版数学八年级上册第十三章《轴对称》第一节第二课时《13.1.2线段的垂直平分线的性质》。

主要内容是线段垂直平分线的性质定理及其逆定理、经过已知直线外一点作这条直线的垂线。

一、设计思路1.指导思想线段的垂直平分线的性质是在学习了“轴对称的性质”，明确了线段垂直平分线的概念之后，通过学生自己动手测量、猜想，然后利用轴对称图形的对折得到了这个性质，并应用三角形全等的方法作了证明。

对于线段的垂直平分线的性质定理的逆定理，则让学生自己给出证明，这就经历了观察、探究、猜想、证明的完整过程，感受了证明的必要性。

这部分内容是后续学习的基础, 它是在认识了轴对称性的础上进行的，是今后证明线段相等和直线互相垂直的依据，因此本节课具有承上启下的重要作用。

从心理特征来说，初中阶段的学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。

但同时，这一阶段的学生好动，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。

认知状况来说，学生在此之前已经学习了轴对称图形，对线段的垂直平分线已经有了初步的认识，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但对于其性质的理解，学生可能会产生一定的困难，所以教学中应具体生动，深入浅出的为学生讲解清楚。

2.教学目标（1）知识与技能目标：了解线段的垂直平分线的性质，会利用线段的垂直平分线的性质进行简单的推理、判断、计算。

能利用尺规，过直线外一点作已知直线的垂线。

（2）过程与方法目标：自己动手探究发现线段的垂直平分线的性质，培养学生的观察力、实验推理能力。

（3）情感态度与价值观目标：要求学生在操作过程中，体验几何发现的乐趣，在实际操作动手中感受几何应用美，并加深师生交流，培养学生的探究能力，增强他们的合作意识，提高他们的学习兴趣。