1.2.1充分条件与必要条件习题课9.24

1．2.1 充分条件与必要条件一、基础过关1．“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的( )A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．既不是充分条件，也不是必要条件D ．既是充分条件，也是必要条件答案 C解析 ∵－2<x <1D ⇒/x >1或x <－1且x >1或x <－1D ⇒/－2<x <1，∴“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的既不充分条件，也不必要条件．2．“ab ≠0”是“直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交”的( )A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．既是充分条件，也是必要条件D ．既不是充分条件，也不是必要条件答案 C解析 ab ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，b ≠0，此时直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交；又当ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交时，a ≠0且b ≠0.3．给定两个命题p ，q ，若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 q ⇒綈p ⇔p ⇒綈q .4．已知p ：α≠β，q ：cos α≠cos β，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 q ⇒p 成立，但pD /⇒q ，∴p 是q 的必要不充分条件．5．设a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵0<ab <1，∴a ，b 同号，且ab <1.∴当a >0，b >0时，a <1b ；当a <0，b <0时，b >1a. ∴“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的充分条件． 而取a ＝－1，b ＝1，显然有a <1b，但不能推出0<ab <1， ∴“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的充分而不必要条件． 6．设0<x <π2，则“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 因为0<x <π2，所以0<sin x <1.由x ·sin x <1知x sin 2x <sin x <1，因此必要性成立．由x sin 2x <1得x sin x <1sin x ，而1sin x>1，因此充分性不成立． 7．下列各题中，p 是q 的什么条件？说明理由．(1)p ：△ABC 中，b 2>a 2＋c 2，q ：△ABC 为钝角三角形；(2)p ：△ABC 有两个角相等，q ：△ABC 是等边三角形．解 (1)△ABC 中，∵b 2>a 2＋c 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac <0，∴B 为钝角，即△ABC 为钝角三角形，反之，若△ABC 为钝角三角形，B 可能为锐角，这时b 2<a 2＋c 2，∴p ⇒q ，qD /⇒p ，故p 是q 的充分不必要条件．(2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立，∴pD /⇒q ，q ⇒p ，故p 是q 的必要不充分条件．二、能力提升8．设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是() A．x＋y＝2 B．x＋y>2C．x2＋y2>2 D．xy>1答案 B解析对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但命题不成立；对于选项C，D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2>2，xy>1，但命题不成立，也不符合题意．9．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析x2＋y2≥4表示以原点为圆心，以2为半径的圆以及圆外的区域，即|x|≥2且|y|≥2，而x≥2且y≥2时，x2＋y2≥4，故A正确．10．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－2<x<－1，则a的取值范围是．答案a>2解析根据充分条件，必要条件与集合间的包含关系，应有(－2，－1){x|(a＋x)(1＋x)<0}，故有a>2.11．设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则对于下列条件：①α⊥β，α∩β＝l，m⊥l；②α∩γ＝m，α⊥β，γ⊥β；③α⊥γ，β⊥γ，m⊥α；④n⊥α，n⊥β，m⊥α.其中为m⊥β的充分条件的是(将你认为正确的所有序号都填上)．答案②④12．已知p：－2≤x≤10，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．解p：－2≤x≤10.q：x2－2x＋1－m2≤0⇔[x－(1－m)][x－(1＋m)]≤0(m>0)⇔1－m≤x≤1＋m (m>0)．因为綈p是綈q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－21＋m <10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m >－21＋m ≤10，解得m ≤3. 又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}．三、探究与拓展13．已知条件p ：|x －1|>a 和条件q ：2x 2－3x ＋1>0，求使p 是q 的充分不必要条件的最小正整数a .解 依题意a >0.由条件p ：|x －1|>a得x －1<－a ，或x －1>a ，∴x <1－a ，或x >1＋a .由条件q ：2x 2－3x ＋1>0，得x <12，或x >1. 要使p 是q 的充分不必要条件，即“若p ，则q ”为真命题，逆命题为假命题，应有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ≤12，1＋a >1，或⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a <12，1＋a ≥1，解得a ≥12. 令a ＝1，则p ：x <0，或x >2，此时必有x <12，或x >1. 即p ⇒q ，反之不成立．∴a ＝1.。

1.2.1 充分条件与必要条件A 级 基础巩固一、选择题1．使0<x <2成立的一个充分条件是 ( ) A ．0<x <1 B ．0≤x <1 C ．0<x ≤2D ．x ≥22．已知命题“若p ，则q ”，假设其逆命题为真，则p 是q 的 ( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．既不是充分条件也不是必要条件D ．无法判断3．已知p ：x 2－x <0，那么命题p 的一个充分条件是 ( ) A ．1<x <3 B ．－1<x <1 C ．13<x <34D ．12<x <54．下列各小题中，p 是q 的充分条件的是 ( ) ①p ：m <－2，q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点； ②p ：f (－x )f (x )＝1，q ：y ＝f (x )是偶函数；③p ：cos α＝cos β，q ：tan α＝tan β． A ．① B ．③ C ．②③D ．①②5．已知α、β是两个不同的平面，则“平面α∥平面β”成立的一个充分条件是 ( ) A ．存在一条直线l ，l ⊂α，l ∥β B ．存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β C ．存在一条直线l ，l ⊥α，l ⊥βD ．存在一个平面γ，γ∥α，γ∥β6．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么 ( )A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C ．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件D ．无法判断 二、填空题7．“b 2＝ac ”是“a ，b ，c 成等比数列”的________条件．(填“充分”或“必要”)8．设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0(其中a >0)，q ：2<x ≤3.若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围________. 三、解答题9．指出下列各组命题中p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件，并说明理由. (1)p ：|x |＝|y |，q ：x ＝y ．(2)在△ABC 中，p ：sin A >12，q ：A >π6．10．已知p ：x 2－2x －3<0，若－a <x －1<a 是p 的一个必要条件，求使a >b 恒成立的实数b 的取值范围.B 级 素养提升一、选择题1．已知直线l 、m ，平面α，且m ⊂α，则 ( ) A ．“l ⊥α”是“l ⊥m ”的必要条件 B ．“l ⊥m ”是“l ⊥α”的必要条件 C ．l ∥m ⇒l ∥α D ．l ∥α⇒l ∥m2．下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的充分条件的命题个数为 ( ) ①若f (x )是周期函数，则f (x )＝sin x ；②若x >5，则x >2；③若x 2－9＝0，则x ＝3． A ．0 B ．1 C ．2D ．33．集合A ＝{x |x －1x ＋1<0}，B ＝{x |－a <x －b <a }．若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是 ( ) A ．[－2,0) B ．(0,2] C ．(－2,2)D ．[－2,2]二、填空题4．设a 、b 都是非零向量，则下列四个条件：①a ＝－b ；②a ∥b ；③a ＝2b ；④|a|＝|b|，其中可作为使a |a|＝b|b|成立的充分条件的有________.5．条件p ：1－x <0，条件q ：x >a ，若p 是q 的充分条件，则a 的取值范围_________. 6．已知m 、n 为不同的直线，α、β为不同的平面，若①m ∥n ，n ∥α；②m ⊥n ，n ⊥α；③m ⊄α，m ∥β，α∥β；④m ⊥β，α⊥β.则其中能使m ∥α成立的充分条件有________. 三、解答题7．指出下列各题中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种作答). (1)p ：α＝π3，q ：cos α＝12；(2)p ：x 2>1，q ：x >1；(3)p ：四边形的对角线相等，q ：四边形是平行四边形．8．已知命题p ：对数log a (－2t 2＋7t －5)(a >0，且a ≠1)有意义，q ：关于实数t 的不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0.(1)若命题p 为真，求实数t 的取值范围．(2)若命题p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．C 级 能力拔高已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈[－12，2]}，B ＝{x ||x －m |≥1}，命题p ：t ∈A ，命题q ：t∈B，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围.参考答案A级基础巩固一、选择题1．【答案】A 2．【答案】B【解析】 若p 则q 的逆命题为“若q ，则p ”即q ⇒p ，∴p 是q 的必要条件． 3．【答案】C【解析】 x 2－x <0，∴0<x <1， ∵13<x <34⇒0<x <1 ∴p 的一个充分条件为13<x <344．【答案】D【解析】 ①中，p ⇒q ，②中p ⇒q ，③中p ⇏q ． 5．【答案】C 6．【答案】A【解析】 ∵乙⇒甲，丙⇒乙，乙⇏丙，∴丙⇒甲，甲⇏丙，∴丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件． 二、填空题 7．【答案】必要【解析】a ，b ，c 成等比数列⇒b 2＝ac ． 8．【答案】(1,2]【解析】p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0(其中a >0)，解得a <x <3a ．q ：2<x ≤3.∵p 是q 的必要不充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3<3a ，解得1<a ≤2.则实数a 的取值范围是(1,2]． 三、解答题9．解：(1)因为|x |＝|y |⇒x ＝y 或x ＝－y ，但x ＝y ⇒|x |＝|y |，所以p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件．(2)因为0<A <π时，sin A ∈(0,1]，且A ∈(0，π2]时，y ＝sin A 单调递增，A ∈[π2，π)时，y ＝sin A单调递减，所以sin A >12⇒A >π6，但A >π6⇏sin A >12.所以p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．10．已知p ：x 2－2x －3<0，若－a <x －1<a 是p 的一个必要条件，求使a >b 恒成立的实数b 的取值范围.解：由于p ：x 2－2x －3<0⇔－1<x <3，－a <x －1<a ⇔1－a <x <1＋a (a >0)．依题意，得{x |－1<x <3}⊆{x |1－a <x <1＋a }(a >0)．所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤－1，1＋a ≥3.解得a ≥2，则使a >b 恒成立的实数b 的取值范围是(－∞，2)．B 级 素养提升一、选择题 1．【答案】B【解析】∵m ⊂α，l ⊥α⇒l ⊥m ，∴“l ⊥m ”是“l ⊥α”的必要条件，而当l ∥m ，m ⊂α时l ⊂α或l ∥α，故C 、D 都不对，故选B ． 2．【答案】B【解析】①f (x )是周期函数⇐f (x )＝sin x ，∴p 是q 的必要条件；②x >5⇒x >2；∴p 是q 的充分条件；③x 2－9＝0⇐x ＝3，∴p 是q 的必要条件，故选B ． 3．【答案】C【解析】A ＝{x |－1<x <1}， B ＝{x |b －a <x <a ＋b } ∵a ＝1⇒A ∩B ≠∅a ＝1时B ＝{x |b －1<x <b ＋1}⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1>－1b －1<1⇒－2<b <2 ∴b 的取值范围是(－2,2)． 二、填空题 4．【答案】③【解析】a ，b 同向⇒a |a|＝b|b|，而a ＝2b ，a ，b 同向，故③对，而a ∥b ，a ，b 是同向共线或反向共线，故②不对，∴只有③对． 5．【答案】(－∞，1]【解析】 x >1⇒x >a ，令A ＝{x |x >1}，B ＝{x |x >a }，则A ⊆B ，∴a ≤1． 6．【答案】③【解析】①中m ∥n ，n ∥α，则m ⊂α或m ∥α，故①不对；②中，m ⊥n ，n ⊥α⇒m ⊂α或m ∥α，故②不对；③中，m ∥β，m ⊄α，α∥β⇒m ∥α，③对；④中，m ⊥β，α⊥β⇒m ∥α或m ∥α，④不对，故只有③对． 三、解答题7．解：(1)∵α＝π3⇒cos α＝12，cos α＝12⇏α＝π3，∴p 是q 的充分不必要条件． (2)∵由x 2>1，可解得x <－1或x >1， ∴x 2>1⇏x >1，x >1⇒x 2>1． ∴p 是q 的必要不充分条件．(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧四边形的对角线相等⇒/ 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形⇒/ 四边形的对角线相等，∴p 是q 的既不充分也不必要条件．8．解：(1)因为命题p 为真，则对数的真数－2t 2＋7t －5>0，解得1<t <52．所以实数t 的取值范围是(1，52)．(2)因为命题p 是q 的充分条件，所以{t |1<t <52}是不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0的解集的子集．因为方程t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)＝0的两根为1和a ＋2， 所以只需a ＋2≥52，解得a ≥12．即实数a 的取值范围为[12，＋∞)．C 级 能力拔高解：先化简集合A ，由y ＝x 2－32x ＋1，配方，得y ＝(x －34)2＋716．因为x ∈[－12，2]．所以y ∈[716，2]．所以A ＝{y |716≤y ≤2}．由|x －m |≥1，解得x ≥m ＋1或x ≤m －1． 所以B ＝{x |x ≥m ＋1或x ≤m －1}．因为命题p 是命题q 的充分条件，所以A ⊆B ． 所以m ＋1≤716或m －1≥2，解得m ≤－916或m ≥3．故实数m 的取值范围是(－∞，－916]∪[3，＋∞)．。

1．2.1 充分条件与必要条件基础梳理1．充分条件：如果p⇒q，则p叫q的________条件，原命题(或逆否命题)成立，命题中的条件是充分的，也可称q是p的________条件．想一想：若p是q的充分条件，这样的条件p是唯一的吗？2．必要条件：如果q⇒p，则p叫q的________条件，逆命题(或否命题)成立，命题中的条件为必要的，也可称q是p的________条件．想一想：对任意实数a，b，c，①“ac＞bc”是“a＞b”的________________条件；②“ac ＝bc”是“a＝b”的______________条件．自测自评1．a＜0，b＜0的一个必要条件为( )A．a＋b＜0 B．a－b＞0C.ab＞1 D.ab＜－12．“ab≠0”是“直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交”的( ) A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．既是充分条件，也是必要条件D．既不是充分条件，也不是必要条件3．“a和b都是偶数”是“ab是偶数”的____________条件．基础巩固1．直线y＝kx＋b过原点的充分条件是( )A．b＝0 B．b＞0C．b＜0 D．b∈R2．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要条件是( ) A．a＞b＋1 B．a＞b－1C．a2＞b2 D．a3＞b33．已知p ：α≠β，q ：cos α≠cos β，则p 是q 的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．不等式(a ＋x )(1＋x )＜0成立的一个充分而不必要条件是－2＜x ＜－1，则a 的取值范围是________．能力提升5．(2014·安徽卷)“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．设x ，y 是两个实数，命题：“x ，y 中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )A ．x ＋y ＝2B ．x ＋y ＞2C ．x 2＋y 2＞2D ．xy ＞17．“lg x ＞lg y ”是“x ＞y ”的____________条件．8．如果命题“若A ，则B ”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A 是B 的________条件．9．已知A ：|p |≥2，p ∈R ，B ：方程x 2＋px ＋p ＋3＝0有实根．判断A 是B 的什么条件？并说明理由．10．已知a 、b 为不等于0的实数，试判断“a b＞1”是“a ＞b ”的什么条件，并证明你的结论．答案基础梳理1．充分必要想一想：【解析】不唯一．如3＜x＜6是x＞1的充分条件，又如，x＞2，4＜x＜8等都是x＞1的充分条件．2．必要充分想一想：【解析】①因为c∈R，所以由“ac＞bc”不一定推出“a＞b”，反之由“a＞b”也不一定推出“ac＞bc”，所以应填：既不充分也不必要．②由“a＝b”可推出“ac＝bc”，反之由“ac＝bc”不一定推出“a＝b”．所以填：必要．【答案】①既不充分也不必要②必要自测自评1．【解析】a＋b＜0D⇒/a＜0，b＜0，而a＜0，b＜0⇒a＋b＜0.【答案】A2．【解析】ab≠0，即a≠0且b≠0，此时直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交；又当ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交时，a≠0且b≠0.【答案】C3．充分不必要基础巩固1．【解析】b＝0时，直线y＝kx过原点．所以b＝0是直线y＝kx＋b过原点的充分条件．故选A.【答案】A2．A3．【解析】q⇒p成立，但pD⇒/q，所以p是q的必要不充分条件．【答案】A4．【解析】根据充分条件，必要条件与集合间的包含关系，应有(－2，－1){x|(a＋x)(1＋x)＜0}，故有a＞2.【答案】a＞2能力提升5．【解析】ln(x ＋1)＜0⇔0＜1＋x ＜1⇔－1＜x ＜0，而(－1，0)是(－∞，0)的真子集，所“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的必要不充分条件．【答案】B6．【解析】对于选项A ，当x ＝1，y ＝1时，满足x ＋y ＝2，但命题不成立；对于选项C 、D ，当x ＝－2，y ＝－3时，满足x 2＋y 2＞2，xy ＞1，但命题不成立，也不符合题意．故选B.【答案】B7．【解析】由lg x ＞lg y ⇒x ＞y ＞0⇒x ＞y .而x >y 有可能出现x >0，y ＝0的情况，故x >yD ⇒/lg x ＞lg y .【答案】充分不必要8．【解析】因为逆否命题为假，那么原命题为假，即AD ⇒/B ，又因否命题为真，所以逆命题为真，即B ⇒A ，所以A 是B 的必要不充分条件．【答案】必要不充分9．【解析】当|p |≥2时，例如p ＝3，则方程x 2＋3x ＋6＝0无实数根，而方程x 2＋px ＋p ＋3＝0有实根，必有p ≤－2或p ≥6，可推出|p |≥2，故A 是B 的必要不充分条件．10．【解析】由条件“a b ＞1”可得a －b b ＞0， 若b ＞0，则a ＞b ；若b ＜0，则a ＜b .所以“a b ＞1”D ⇒/“a ＞b ”，“a b ＞1”不是“a ＞b ”的充分条件．反过来，a ＞b ⇒a －b ＞0，也不能推出a b ＞1⇒a －b b ＞0，“a b ＞1”也不是“a ＞b ”的必要条件．所以“a b ＞1”既不是“a ＞b ”的充分条件，也不是“a ＞b ”的必要条件．。

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充分条件与必要条件一、选择题1．“ab≠0”是直线“ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交"的（）A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．既是充分条件，也是必要条件D．既不是充分条件,也不是必要条件解析：ab≠0⇒ax＋by＋c＝0与两轴相交;反之亦成立．答案:C2．一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（）A．a＜0 B．a＞0C．a＜－1 D．a＜1答案：C3．设x、y∈R，则“x≥2,且y≥2"是“x2＋y2≥4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A二、填空题4．设α、β、γ为平面，m、n、l为直线,则对于下列条件:①α⊥β，α∩β＝l，m⊥l；②α∩γ＝m，α⊥β，γ⊥β;③α⊥γ，β⊥γ,m⊥α;④n⊥α，n⊥β，m⊥α。

其中为m⊥β的充分条件的是________（将你认为正确的所有序号都填上)．答案：②④5．“x＝1”是“方程x3－3x＋2＝0的根”的________条件(填“充分"“必要"）．答案:充分三、解答题6．设p：错误!q：x2＋y2≤r2(r＞0），若q是p的充分不必要条件，求实数r的取值范围．。

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课时提升作业四充分条件与必要条件一、选择题(每小题5分,共25分)1.“φ=”是“cosφ=0”的( )A.充分条件B.必要条件C.既是充分条件,又是必要条件D.既不是充分条件,也不是必要条件【解析】选A.当φ=时,有cosφ=0,但当cosφ=0时,φ=kπ+,k∈Z.2.(2016·嘉兴高二检测)设集合A={x∈R|x-2>0},B={x∈R|x<0},C={x∈R|x(x-2)>0},则“x ∈A∪B”是“x∈C”的( )A.充分条件B.必要条件C.既是充分条件又是必要条件D.既不是充分条件也不是必要条件【解析】选C.A∪B={x∈R|x<0,或x>2},C={x∈R|x<0,或x>2},因为A∪B=C,所以x∈A∪B⇒x∈C,且x∈C⇒x∈A∪B,所以x∈A∪B是x∈C的充分条件,同时也是必要条件.3.下列各小题中,p是q的充分条件的是( )①p:m<-2,q:y=x2+mx+m+3有两个不同的零点;②p:=1,q:y=f(x)是偶函数;③p:cosα=cosβ,q:tanα=tanβ.A.①B.③C.②③D.①②【解析】选D.①y=x2+mx+m+3有两个不同的零点,则Δ=m2-4(m+3)>0,得m>6或m<-2,所以p 是q的充分条件;②因为=1,所以f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,所以p是q的充分条件;③当α=β=kπ+时,tanα,tanβ无意义,所以p是q的必要条件.4.已知q是等比数列{a n}的公比,则“q<1”是“数列{a n}是递减数列”的( )A.充分条件B.必要条件C.既是充分条件,又是必要条件D.既不是充分条件也不是必要条件【解析】选D.等比数列的单调性与首项和公比都有关系.【误区警示】本题中的等比数列易与等差数列混淆,忽略首项的作用.5.(2015·成都高二检测)已知α,β是两个不同的平面,则“平面α∥平面β”成立的一个充分条件是( )A.存在一条直线l,l⊂α,l∥βB.存在一个平面γ,γ⊥α,γ⊥βC.存在一条直线l,l⊥α,l⊥βD.存在一个平面γ,γ∥α,γ⊥β【解析】选C.A.存在一条直线l,l⊂α,l∥β,此时α,β可能相交.B.若存在一个平面γ,γ⊥α,γ⊥β,则α与β可能平行,可能相交.C.若存在一条直线l,l⊥α,l⊥β,则α∥β成立,反之不一定成立,满足条件.D.若存在一个平面γ,γ∥α,γ⊥β,则α⊥β,所以不满足题意.【补偿训练】(2015·佛山高二检测)已知p:x2-x<0,那么命题p的一个充分条件是( ) A.1<x<3 B.-1<x<1C.<x<D.<x<5【解析】选C. x2-x<0⇒0<x<1,运用集合的知识,易知只有C中由<x<可以推出0<x<1,其余均不可.二、填空题(每小题5分,共15分)6.设A,B是非空集合,则A∩B=A是A=B的条件(填“充分”“必要”).【解析】当A∩B=A时,只能得出A⊆B,得不出A=B,但当A=B时,一定有A∩B=A,即由A=B可以推出A∩B=A.答案:必要7.设x,y∈R,那么“x>y>0”是“>1”的条件(填“充分”“必要”).【解析】由>1⇒>0⇒x>y>0或x<y<0.因此“x>y>0”能推断“>1”.答案:充分8.(2015·济南高二检测)条件p:1-x<0,条件q:x>a,若p是q的充分条件,则a的取值范围是.【解析】p:x>1,若p是q的充分条件,则p⇒q,即p对应集合是q对应集合的子集,故a≤1. 答案:(-∞,1]三、解答题(每小题10分,共20分)9.判断“x=1”“x=2”“x=1或x=2”是方程x2-3x+2=0的充分条件还是必要条件.【解析】当x=1时,方程成立,所以“x=1”是方程的充分条件,同理“x=2”、“x=1或x=2”都是方程的充分条件;当方程成立时,x=1或x=2,所以“x=1”“x=2”是方程的充分条件,但不是必要条件,“x=1或x=2”既是方程的充分条件,也是方程的必要条件10.(2015·昆明高二检测)已知命题p:对数log a(-2t2+7t-5)(a>0,且a≠1)有意义,q:关于实数t的不等式t2-(a+3)t+(a+2)<0.(1)若命题p为真,求实数t的取值范围.(2)若命题p是q的充分条件,求实数a的取值范围.【解析】(1)因为命题p为真,则对数的真数-2t2+7t-5>0,解得1<t<.所以实数t的取值范围是.(2)因为命题p是q的充分条件,所以{t|1<t<是不等式t2-(a+3)t+(a+2)<0的解集的子集. 方法一:因为方程t2-(a+3)t+(a+2)=0的两根为1和a+2,所以只需a+2≥,解得a≥.即实数a的取值范围为.方法二:令f(t)=t2-(a+3)t+(a+2),因为f(1)=0,所以只需f≤0,解得a≥.即实数a的取值范围为.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·新乡高二检测)“sinx=1”是“cosx=0”的( )A.充分条件B.必要条件C.既是充分条件,又是必要条件D.既不是充分条件也不是必要条件【解析】选A.当sinx=1时,由sin2x+cos2x=1得cos2x=0即cosx=0;所以“sinx=1”是“cosx=0”的充分条件,当cosx=0时,由sin2x+cos2x=1,得sin2x=1,即sinx=±1,因此由cosx=0不能推出sinx=1,因此“sinx=1”不是“cosx=0”的必要条件.2.(2015·福州高二检测)集合A=,B={x|-a<x-b<a}.若“a=1”是“A∩B≠∅”的充分条件,则实数b的取值范围是( )A. C.(-2,2) D.【解析】选C.A=={x|-1<x<1},B={x|-a<x-b<a}={x|b-a<x<b+a},因为“a=1”是“A∩B≠∅”的充分条件,所以-1≤b-1<1或-1<b+1≤1,即-2<b<2.二、填空题(每小题5分,共10分)3.下列不等式:①x<1;②0<x<1;③-1<x<0;④-1<x<1.其中,可以为x2<1的一个充分条件的所有序号为.【解析】由于x2<1即-1<x<1,①显然不能使-1<x<1一定成立,②③④满足题意.答案:②③④4.已知m,n为不同的直线,α,β为不同的平面,若①m∥n,n∥α;②m⊥n,n⊥α;③m⊄α,m∥β,α∥β;④m⊥β,α⊥β.则其中能使m∥α成立的充分条件有.【解析】①m∥n,n∥α,不能推得m∥α,m可能在平面α内;②m⊥n, n⊥α,不能推得m∥α,m可能在平面α内;③m⊄α,m∥β,α∥β,能推得m∥α;④m⊥β,α⊥β,不能推得m∥α,m可能在平面α内.答案:③三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2015·青岛高二检测)已知p:x2-2x-3<0,若-a<x-1<a是p的一个必要条件,求使a>b恒成立的实数b的取值范围.【解析】由于p:x2-2x-3<0⇔-1<x<3,-a<x-1<a⇔1-a<x<1+a(a>0).依题意,得{x|-1<x<3}⊆{x|1-a<x<1+a}(a>0),所以解得a≥2,则使a>b恒成立的实数b的取值范围是b<2,即(-∞,2).6.(2015·宝鸡高二检测)已知集合A={y|y=x2-x+1,x∈,B={x||x-m|≥1},命题p:t∈A,命题q:t∈B,并且命题p是命题q的充分条件,求实数m的取值范围.【解题指南】本题先根据已知条件表示出集合A,B,然后根据条件求出实数m的取值范围. 【解析】先化简集合A,由y=x2-x+1,配方,得y=+.因为x∈,所以y∈.所以A=.由|x-m|≥1,解得x≥m+1或x≤m-1.所以B={x|x≥m+1或x≤m-1}.因为命题p是命题q的充分条件,所以A⊆B.所以m+1≤或m-1≥2,解得m≤-或m≥3.故实数m的取值范围是∪[3,+∞).关闭Word文档返回原板块小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

1.2.1 充分条件与必要条件
课时达标训练
1.下列命题中,p是q的充分条件的是( )
A.p:a=0,q:ab=0
B.p:a2+b2≥0,q:a≥0且b≥0
C.p:x2>1,q:x>1
D.p:a>b,q:>
【解析】选A.根据充分条件的概念逐一判断.
2.若p是q的充分条件,则q是p的( )
A.充分条件
B.必要条件
C.既不是充分条件也不是必要条件
D.既是充分条件又是必要条件
【解析】选B.因为p是q的充分条件,所以p⇒q,所以q是p的必要条件.
3.若“x<-1”是“x<a”的充分条件,则a的取值范围是________.
【解析】因为x<-1⇒x<a,所以a≥-1.
答案:a≥-1
4.“x=-1”是“x2-x-2=0”的________条件,“x2-x-2=0”是“x=-1”的________条件.(用“充分”“必要”填空)
【解析】由x=-1⇒x2-x-2=0,所以“x=-1”是“x2-x-2=0”的充分条件,“x2-x-2=0”是“x=-1”的必要条件.
答案:充分必要
5.已知命题p:α=β;命题q:tanα=tanβ,问p是q的什么条件?
【解析】当α=β=时,显然tanα与tanβ无意义,
即p q,故p不是q的充分条件;
又α=,β=时,tanα=tanβ,
所以q p,所以p不是q的必要条件,
综上,p既不是q的充分条件,也不是必要条件.。