盐城中学2020届高三年级第二学期阶段检测数学试题学生版

盐城市伍佑中学2020届高三年级网上授课阶段考试数学理试题考试时间：120分钟 总分：160分一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程，请把答案直接写在指定位置上．1. 已知集合A ＝{x|x ≤2}，则∁R A ＝________．2.若复数z ＝1－2i－2＋i，则复数z 的模为________．3.若一组样本数据2 016，2 017，x ，2 019，2 020的平均数为 2 018，则该组样本数据的方差为________．4.函数f(x)＝lg(1－2x －x 2)的定义域为________．5. 根据如图所示的伪代码，当输出y 的值为2时， 则输入的x 的取值集合为________．6.若f(x)，g(x)是定义在[a ，b]上的初等函数，则“∃x ∈[a ，b]，使得f(x)≤g(x)成立”是“∀x ∈[a ，b]，使得f(x)≤g(x)成立”的________条件．7.设点A 为双曲线x 24－y 2＝1上位于第一象限内的一点，其横坐标为2 2.若点A 到一条渐近线的较小距离为d ，则5d 的值为________．8.已知5名唱歌爱好者中恰好有一对夫妻．若从中随机抽取3人去参加歌咏比赛，则这对夫妻被抽中的概率为________.9.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 4＝14，则a 1d 的最大值为________．10.各棱长都为1的正四棱锥与各棱长都为1的正四棱柱的体积之比为m ，则m 的值为________．11.设关于x ，y 的不等式⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ≥0，y －m ≤0，y ≥x －1表示一个三角形的区域A ，(x －5)2＋(y －4)2≤ 8表示的区域为B ，则区域A ∩B 的最大面积为________．12.设α，θ为锐角，tan θ＝atan α(a>1)．若函数y ＝θ－α的最大值为π6，则a 的值为________．13.已知点A ，B 分别在两个同心圆O 上运动，且OA ＝1，OB ＝2，则|OA →＋OB →|＋|OA →－OB →|的取值范围是________．14. 已知点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，1)．若直线y ＝ax ＋b 将△ABC 分割为面积相等的两部分，当a ∈(0，＋∞)时，则b 的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)已知平面直角坐标系中△ABC 的顶点分别为A(m ，3m)(m>0)，B(0，0)，C(a ，0)，其中a>0，角∠B ，∠C 的对边长分别是b ，c.(1) 若a ＝4m ，求角A 的大小；(2) 若b ＝23，B ＝π3，求a ＋c 的最大值．16. (本小题满分14分)如图，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 为CD 上任意一点(不位于端点处)，P 是AA 1的中点． (1) 若DP ∥平面B 1AE ，求证：E 为CD 中点；(2) 若AA 1＝AD ，AB 为任意长，F 为BC 的中点，求证： PD ⊥C 1F.设△A n B n C n 的三个顶点A n ，B n ，C n 所对的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n (n ∈N *)，b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n2(n ∈N *)．(1) 求证：数列{b n ＋c n }为常数列；(2) 设⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪b n －a n b 1－c 1（2n －1）的前n 项和是T n ，求证：T n ＜3.18. (本小题满分16分)已知OA →＝(x ＋1，2y ＋3)，OB →＝(x －1，2y －3)，OA →⊥OB →，动点M 的坐标是(x ，y)． (1) 求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹C 是什么曲线；(2) 设M 是轨迹C 上任意一点，在x 轴上是否存在两个不同的定点P ，Q ，满足k MP k MQ (k MP ，k MQ 分别表示直线MP ，MQ 的斜率)是定值？若存在，求出P ，Q 的坐标，否则说明理由．如图是一个钻头的示意图，上部是一个圆锥O1O2，下部是一个圆柱O2O3，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆锥的底面半径r和高h以及圆柱的高H都可以调节其大小．已知圆锥的母线长为定值a，且H ＝2h.设钻头的体积为V，圆锥的侧面积为S.(1) 试验表明：当且仅当VS取得最大值时，钻头的冲击力最大．试求冲击力最大时，r，h分别为多少；(2) 试求钻头的体积的最大值．20. (本小题满分16分)已知g(t)＝(t＋1)ln t－(t－1)ln b，t∈(1，＋∞)．求证：(1) 当0＜b≤e2时，∀t∈(1，＋∞)，g(t)＞0；(2) 当b＞e2时，g(t)在(1，＋∞)上存在零点．数学试题（附加题）考试时间：30分钟 总分：40分21. 【选做题】则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． A. (选修42：矩阵与变换)已知T 变换将曲线C 1：x 24＋y 2＝1变换为单位圆x 2＋y 2＝1，S 变换将曲线C 2：x 29－y 24＝1变换为等轴双曲线x 2－y 2＝1，现在将曲线C 3：x 236＋y 24＝1先进行T 变换，再进行S 变换得到曲线C ，求曲线C 的方程．B. (选修44：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t ，t ∈R ，P 为曲线C 上一点，以射线Ox 为极轴建立极坐标系．已知Q ，R 的极坐标分别是(22，π4)，(1，0)，求PQ ＋PR 的最小值．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，直三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长均为2，D，E分别为棱B1C1，AC的中点，O是侧面ABB1A1的中心，P为侧棱AA1所在线段上任意一点．以A为空间直角坐标系的原点，AC作y轴，AA1作z轴，建立空间直角坐标系．(1) 确定x轴的位置，并求平面ODE的一个法向量；(2) 求直线OP与平面ODE所成角的最大值．23. 已知f0(x)＝xsin 2x，设f n(x)＝f′n－1(x)，n∈N*.(1) 求f1(x)，f2(x)，f3(x)的值；(2) 猜想f n(x)的表达式，运用数学归纳法证明．参考答案1. {x|x ＞2}2. 13. 24. (－1－2，－1＋2)5. {－1，e 2}6. 必要不充分7. 22－28. 3109. 4924 10. 2611. 4π 12. 313. [4，25]14. (1－22，12)15. 解：(1) AB →＝(－m ，－3m)，AC →＝(a －m ，－3m)，因为a ＝4m ，所以AC →＝(3m ，－3m)，所以cos A ＝cos 〈AC →，AB →〉＝－3m 2＋3m 22m ×23m＝0，所以A ＝π2.(6分)(2) 由已知条件得B ＝π3，A ＞0，C ＞0，由△ABC 的内角和A ＋B ＋C ＝π，得0＜A ＜2π3，由正弦定理知a ＋c sin A ＋sin C ＝bsin B ，所以a ＋c ＝bsin B (sin A ＋sin C)＝4(sin A ＋sin C)＝4sin A ＋4sin(2π3－A)＝43sin(A ＋π6)(π6＜A ＋π6＜5π6)，所以当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，a ＋c 取得最大值4 3.(14分)16. 证明：(1) 如图，取BB 1的中点Q ，连结PQ ，CQ ，设PQ ∩AB 1＝R ，连结ER. 因为点P 是棱AA 1的中点，所以R 是AB 1的中点．因为DP ∥平面B 1AE ，平面PQCD ∩平面B 1AE ＝RE ，DP ⊂平面PQCD ， 所以PD ∥ER. 因为PQ ∥CD ，所以四边形PRED 是平行四边形， 所以PR ＝DE ，所以E 为CD 中点．(6分)(2) 因为AA 1＝AD ，所以BB 1＝BC.因为F 为BC 的中点，Q 为BB 1的中点，所以QC ⊥C 1F. 在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AA 1∥BB 1，AA 1＝BB 1， 因为P 是AA 1的中点，Q 为BB 1的中点， 所以PA ∥QB ，PA ＝QB ，所以四边形PQBA 为平行四边形，所以PQ ∥AB ，PQ ＝AB. 又AB ∥CD ，AB ＝CD ，所以PQ ∥CD ，PQ ＝CD ， 所以四边形PQCD 为平行四边形， 所以PD ∥QC ，所以PD ⊥C 1F.(14分)17. 证明：(1) 因为a n ＋1＝a n ，所以a n ＝a 1(n ∈N *)．因为b n ＋1＋c n ＋1＝12(b n ＋c n )＋a n ＝12(b n ＋c n )＋a 1，所以b n ＋1＋c n ＋1－2a 1＝12(b n ＋c n －2a 1)，因为b 1＋c 1－2a 1＝0，所以b n ＋c n ＝2a 1(n ∈N *)．(6分) 即数列{b n ＋c n }为常数列．(2) 由b n ＋1＝c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n 2，相减，得b n ＋1－c n ＋1＝－12(b n －c n )．又b 1－c 1＞0，所以数列{b n －c n }为等比数列，所以b n －c n ＝(b 1－c 1)(－12)n －1.又b n ＋c n ＝2a 1(n ∈N *)，以上两式相加得2b n ＝2a 1＋(－12)n －1(b 1－c 1)，所以b n ＝a 1－(－12)n (b 1－c 1)．因为a 1＝a n ，所以b n ＝a n －(－12)n (b 1－c 1)，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪b n －a n b 1－c 1(2n －1)＝(12)n (2n －1)， 所以T n ＝12×1＋(12)2×3＋(12)3×5＋…＋(12)n －1×(2n －3)＋(12)n ×(2n －1)，12T n ＝(12)2×1＋(12)3×3＋(12)4×5＋…＋(12)n ×(2n －3)＋(12)n ＋1×(2n －1)， 两式相减得12T n ＝12＋(12)2×2＋(12)3×2＋(12)4×2＋…＋(12)n ×2－(12)n ＋1×(2n －1)，所以T n ＝1＋(12)1×2＋(12)2×2＋(12)3×2＋…＋(12)n －1×2－(12)n ×(2n －1)，所以T n ＝1＋2×12－（12）n 1－12－(12)n ×(2n －1)，所以T n ＝3－2n ＋32n ＜3(n ∈N *)．(14分)18. 解：(1) 由OA →⊥OB →，得OA →·OB →＝0，故(x ＋1)(x －1)＋(2y ＋3)(2y －3)＝0，化简得x 24＋y 22＝1，动点M 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆．(6分)(2) 设P(p ，0)，Q(q ，0)，不妨设p ＜q ，则y 2＝2－x 22，设k MP k MQ ＝c ，所以y x －p ·yx －q＝c ，y 2＝cx 2－c(p ＋q)x ＋cpq ，所以2－x22＝cx 2－c(p ＋q)x ＋cpq ，整理得(c ＋12)x 2－c(p ＋q)x ＋(cpq －2)＝0(关于x 的恒等式)．因为x ∈[－2，2]，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＋12＝0，－c （p ＋q ）＝0，cpq －2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－12，p ＝－2，q ＝2.所以存在定点P(－2，0)，Q(2，0)，使得k MP k MQ 是定值－12.(16分)19. 解：(1) 由已知得r 2＋h 2＝a 2，所以V S ＝πr 2H ＋πr 2h 3πra ＝7rh 3a ≤7·r 2＋h 223a ＝7a 6，当且仅当r ＝h ＝22a 时取等号．即冲击力最大时，r ＝h ＝22a.(6分) (2) 钻头的体积V ＝πr 2H ＋πr 2h 3＝7πr 2h 3.因为r 2＋h 2＝a 2，所以V ＝7πr 2a 2－r 23＝7πr 4（a 2－r 2）3＝7πa 2r 4－r 63，其中0＜r ＜a.令u ＝a 2r 4－r 6，0＜r ＜a ，所以u′＝4a 2r 3－6r 5＝2r 3(2a 2－3r 2)＝0，解得r ＝63a ， 且当0＜r ＜63a 时，u ′＞0，当63a ＜r ＜a 时，u ′＜0， 所以当r ＝63a 时，u 取得最大值，即V max ＝7π（63a ）2a 2－（63a ）23＝143πa 327.(16分)20. 证明：(1) g′(t)＝ln t ＋t ＋1t －ln b ，g ″(t)＝t －1t 2，因为t ＞1，所以g″(t)＝t －1t2＞0，所以g′(t)＝ln t ＋t ＋1t－ln b 在(1，＋∞)上单调递增，所以g′(t)＞g′(1)＝2－ln b.当0＜b ≤e 2时，得2－ln b ≥0，所以g(t)＝(t ＋1)ln t －(t －1)ln b 在(1，＋∞)上单调递增， 所以g(t)＞g(1)＝0，所以∀t ∈(1，＋∞)，g(t)＞0.(6分)(2) 当b ＞e 2时，ln b －2＞0，所以e ln b ＞e ln b －2＞1，g ′(e ln b －2)＝ln b －2＋e ln b －2＋1e ln b －2－ln b ＝1－e ln b －2eln b －2＜0，g ′(e ln b )＝ln b ＋e ln b ＋1e ln b －ln b ＝b ＋1b＞0. 由零点存在定理得，g ′(t)＝ln t ＋t ＋1t－ln b 在(e ln b －2，e ln b )上存在零点t 0，因为g′(t)＝ln t ＋t ＋1t－ln b 在(1，＋∞)上单调递增， 所以∀t ∈(1，t 0)，g ′(t)＜0成立， 所以g(t)在(1，t 0)上单调递减，所以∀t ∈(1，t 0)，g(t)＜g(1)＝0成立，所以当t ＞1时，(t ＋1)ln t －(t －1)ln b ＞0不恒成立， 即g(t)在(1，t 0)上不存在零点，且g(t 0)＜0.又g(e ln b )＝g(b)＝(b ＋1)ln b －(b －1)ln b ＝2ln b ＞4＞0，且g(t)在(t 0，＋∞)上单调递增， 所以g(t)在(t 0，e ln b )，即(t 0，b)上存在一个零点， 即当b ＞e 2时，g(t)在(1，＋∞)上存在零点．(16分)附加题参考答案21. A. 解：因为T 变换将曲线C 1：x 24＋y 2＝1变换为单位圆x 2＋y 2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x 2，y ′＝y ，所以T 变换对应的矩阵为M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001. 因为S 变换将曲线C 2：x 29－y 24＝1变换为等轴双曲线x 2－y 2＝1，所以⎩⎨⎧x′＝x3，y ′＝y2，所以T 变换对应的矩阵为N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤130012，(5分) 所以变换TS 对应的矩阵为NM ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤130012⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤160012， 所以⎩⎨⎧x′＝x6，y ′＝y2，现在将曲线C 3：x 236＋y 24＝1先进行T 变换，再进行S 变换得到曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1.(10分)B. 解：将点Q ，R 的极坐标化为直角坐标分别为(2，2)，(1，0)，在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t ，t ∈R ，消去参数得普通方程为y 2＝4x ，其轨迹为以R 为焦点的抛物线，准线为l ：x ＝－1，(5分)且Q 与焦点R 在抛物线的同一侧，过P 作PS ⊥l 于S ，根据抛物线的定义得，PQ ＋PR ＝PQ ＋PS 的最小值是Q 点到其准线l ：x ＝－1的距离，所以PQ ＋PR 的最小值为3.(10分)C. 解：不等式f(x －1)＋f(x)≥a 的解集为R ，转化为不等式在R 上恒成立．(3分)因为f(x －1)＋f(x)＝|x －4|＋|x －3|≥|x －4＋3－x|＝1，所以1≥a ，所以实数a 的取值范围是(－∞，1]．(10分)22. 解：(1) 如图，过点A 且与EB 平行的直线作x 轴，则O(32，12，1)，D(32，32，2)，E(0，1，0)， ED →＝(32，12，2)，EO →＝(32，－12，1)， 设平面ODE 的法向量为n ＝(a ，b ，c)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·ED →＝0，n ·EO →＝0，所以⎩⎨⎧32a ＋12b ＋2c ＝0，32a －12 b ＋c ＝0，取b ＝1，则a ＝3，c ＝－1，所以n ＝(3，1，－1)．(4分)(2) 设P(0，0，z)(0≤z ≤2)，则OP →＝(－32，－12，z －1)． 设直线OP 与平面ODE 所成的角为θ，则sin θ＝|n ·OP →||n ||OP →|＝1＋z 5·z 2－2z ＋2. 令1＋z ＝t ∈[1，3]，所以sin θ＝t 5·t 2－4t ＋5＝15·5t 2－4t ＋1≤15·5×（25）2－4×25＋1＝1， 当且仅当1t ＝25，即t ＝52∈[1，3]时取等号，所以直线OP 与平面ODE 所成角的最大值为π2.(10分) 23. 解：(1) f 1(x)＝2xcos 2x ＋sin 2x ，f 2(x)＝－4xsin 2x ＋4cos 2x ，f 3(x)＝－8xcos 2x －12sin 2x.(2分)(2) f n (x)＝2n xsin(2x ＋n π2)－n·2n －1·cos(2x ＋n π2)，n ∈N *. ① 当n ＝1时，显然成立；② 假设当n ＝k 时，f k (x)＝2k xsin(2x ＋k π2)－k·2k －1cos(2x ＋k π2)成立， 当n ＝k ＋1时，f k ＋1(x)＝f′k (x)＝⎣⎡⎦⎤2k xsin （2x ＋k π2）－k·2k －1cos （2x ＋k π2）′ ＝2k sin(2x ＋k π2)＋2k ＋1xcos(2x ＋k π2)＋k·2k ·sin(2x ＋k π2) ＝(k ＋1)2k sin(2x ＋k π2)＋2k ＋1xcos(2x ＋k π2) ＝－(k ＋1)2k cos[2x ＋（k ＋1）π2]＋2k ＋1x ·sin[2x ＋（k ＋1）π2]， 即当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②得f n (x)＝2n xsin(2x ＋n π2)－n·2n －1·cos(2x ＋n π2)，n ∈N *成立．(10分)。

高三年级盐城中学数学月考试卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合{}10A x x =-≤，集合{}21,xB y y x R ==+∈，则A B =（ ）A. ()1,+∞B. [)1,+∞C. ()0,∞+D. ∅A分别求出集合,A B ，再根据交集的运算即可求出．因为{}[)101,A x x =-≤=+∞，{}{}()21,11,xB y y x R y y ==+∈=>=+∞，所以()1,A B =+∞．故选：A ．本题主要考查指数函数的值域的应用以及集合的交集运算，属于容易题． 2. “2a <”是“10,x a x x∀>≤+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件A若10,x a x x ∀>≤+，则min 1()a x x ≤+，利用均值定理可得min 1()2x x+=，则2a ≤，进而判断命题之间的关系．若10,x a x x ∀>≤+，则min 1()a x x ≤+，因为12x x +≥，当且仅当1x x=时等号成立，所以2a ≤， 因为{}{2}2a a a a <⊆≤，所以“2a <”是“10,x a x x∀>≤+”的充分不必要条件，故选:A 本题考查充分条件和必要条件的判定，考查利用均值定理求最值． 3. 函数()()231ln 31xxx f x -=+的部分图象大致为（ ）A. B.C. D.B 【分析】先由函数的奇偶性排除部分选项，再用特殊值确定. 因为()()()()()2231ln 31ln 3131------==-=-++x xxxx x f x f x ，所以()f x 是奇函数，故排除A ，C ；因为21212131ln 21231⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭= ⎪⎝⎭+f ，且211221310,310,ln 02⎛⎫->+>< ⎪⎝⎭，所以102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故选：B 本题主要考查函数图象的识别以及奇偶性的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题. 4. 若log 0a b <（0a >且1a ≠），221b b->，则（ ）A. 1a >，1b >B. 01a <<，1b >C. 1a >，01b <<D. 01a <<，01b <<B首先根据221b b->以及对数式有意义，确定1b >，再结合log 0a b <，得到01a <<，从而得到正确选项. 由221bb->，可得20b b ->，解得0b <或者1b >，因为log a b 有意义，所以0b >，所以1b >， 因为log 0a b <，所以01a <<，故选：B.该题考查的是有关求参数取值范围的问题，涉及到的知识点有指数不等式，对数不等式，属于基础题目.5. 已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于（ ） A. －3 B. 1 C. －1 D. 3A先解一元二次不等式得到集合A 和B ，求得交集，再利用解集求得一元二次不等式x 2＋ax ＋b ＜0系数的关系，即得结果.由题意：A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}． A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知： a ＝－1，b ＝－2，∴a ＋b ＝－3.故选：A.6. 已知sin cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos2=α（ ） A. 0 B. 1C.2D.2A 【分析】本题首先可根据两角和的正弦公式以及两角差的余弦公式对sin cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭进行化简，得出cos sin αα=，然后根据22cos 2cos sin =-ααα即可得出结果.因为sin cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 11sin cos 22αααα+=+，即cos sin αα=， 则22cos2cos sin 0ααα=-=，故选：A.本题考查两角和的正弦公式、两角差的余弦公式以及二倍角公式，考查计算能力，考查转化与化归思想，是简单题.7. 已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且对任意x ∈R 都有()2f x '>，(1)3f =，则不等式()210f x x -->的解集为（ ） A. (,1)-∞ B. (1,)+∞C. (0,)+∞D. (,0)-∞B先构造函数()()21g x f x x =--，求导得到()g x 在R 上单调递增，根据函数的单调性可求得不等式的解集.构造函数()()21g x f x x =--，(1)3f =， (1)(1)210g f x ∴=--=.又任意x ∈R 都有()2f x '>.∴()()20g x f x '='->在R 上恒成立. ∴()g x 在R 上单调递增.∴当()(1)g x g >时，有1x >，即()210f x x -->的解集为{}|1x x >.本题主要考查利用函数的单调性解不等式，根据题目条件构造一个新函数是解决本题的关键. 8. 对于任意的实数[1,e]x ∈，总存在三个不同的实数[1,5]y ∈-，使得21ln 0y y xe ax x ---=成立，则实数a 的取值范围是( ) A. 24251(,]e e e- B. 4253[,)e eC. 425(0,]eD. 24253[,)e e e- B原方程化为21ln y x y e a x -=+，令()[]ln ,1,xf x a x e x=+∈，令()[]21,1,5y g y y e y -=∈-，可得()1,f x a a e ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，利用导数研究函数()g y 的单调性，利用数形结合可得41254,,a a e e e ⎡⎤⎡⎤+⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，得到关于a 不等式组，解出即可.详解】0x ≠，∴原式可化为21ln y xy e a x-=+， 令()[]ln ,1,x f x a x e x =+∈时()()1ln '0,x f x f x x-=≥递增，故()1,f x a a e ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，令()[]21,1,5yg y y e y -=∈-，故()()1211'22yy y g y y ey e y y e ---=⋅-=-，故()g y 在()1,0-上递减，在()0,2上递增，在()2,5上递减，而()()()()244251,00,2,5g e g g g e e-====，要使总存在三个不同的实数[]1,5y ∈-，使得21ln 0y y xe ax x ---=成立，即41254,,a a e e e ⎡⎤⎡⎤+⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故42514a e a e e ⎧≥⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，故4253a e e ≤<，实数a 的取值范围是4253,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选B.本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想,是一道综合题. 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.解答本题的关键是将问题转化为41254,,a a e e e ⎡⎤⎡⎤+⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分.部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 若函数3()12f x x x =-在区间()1,1k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围可以是（ ） A. 31k -<<- B. 1k 3<< C. 2k 2-<< D. 11k -≤≤AB求导函数得到原函数的单调区间，求得函数在2x =-取得极大值，在2x =取得极小值，函数在区间()1,1k k -+上不是单调函数，则2-在()1,1k k -+内，或2在()1,1k k -+内，列出不等式求解可得.3()12f x x x =-，2()312f x x '=-令2()3120f x x '=->解得2x > 或2x < ；3()12f x x x=-(,2),(2,)-∞+∞上单增，在(2,2)-上单减.所以函数在2x =-取得极大值，在2x =取得极小值 因为函数3()12f x x x =-在区间()1,1k k -+上不是单调函数 所以121k k -<-<+或121k k -<<+ 解得31k -<<-或13k <<故选：AB..求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况得到函数的最值． 10. 若将函数f (x )=cos(2x +12π)的图象向左平移8π个单位长度，得到函数g (x )的图象，则下列说法正确的是（ ） A. g (x )的最小正周期为π B. g (x )在区间[0，2π]上单调递减 C. x =12π是函数g (x )的对称轴 D. g (x )在[﹣6π，6π]上的最小值为﹣12AD函数f (x )=cos(2x +12π)的图象向左平移8π个单位长度后得函数g (x )的解析式，从而可求出它的最小正周期、对称轴等. 函数f (x )=cos(2x +12π)的图象向左平移8π个单位长度后得()cos 2812g x x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最小正周期为π，A 正确；222()3k x k k Z ππππ≤+≤+∈()63k x k k Z ππππ∴-≤≤+∈为g (x )的所有减区间，其中一个减区间为,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故B 错； 令23x k ππ+=，得6,2kx k Z ππ=-+∈，故C 错； x ∈[﹣6π，6π]，220,33x ππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，1cos(2),132x π⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦，故 D 对故选：AD 11. 已知函数()f x 是偶函数，()1f x +是奇函数，并且当[]1,2x ∈，()12f x x =--，则下列选项正确的是（ ）. A. ()f x 在()3,2--上为减函数B. ()f x 在()3,2--上()0f x <C. ()f x 在()3,2--上为增函数D. ()f x 在()3,2--上()0f x >CD利用()f x 是偶函数，()1f x +是奇函数可知()f x 为周期函数，且周期为4，然后根据函数()f x 在[]1,2x ∈上的性质确定在区间()3,2--上的性质. 因为()f x 是偶函数，()1f x +是奇函数，所以函数()f x 的图象关于y 轴对称，且关于点()1,0中心对称，则()f x 的周期为4， 当[]1,2x ∈时，()12121f x x x x =--=+-=-，则函数()f x 在[]1,2x ∈上递增，且()0f x >在()1,2上恒成立，故函数()f x 在()3,2--上也递增，且()0f x >，所以C 、D 正确.故选：CD. 本题考查函数的奇偶性与周期性的结合，常用结论如下：当函数()f x 的图象关于x a =对称，且关于点()(),0b a b ≠中心对称时，则函数()f x 为周期函数，且周期4T a b =-. 12. 某同学对函数()sin e ex x xf x -=-进行研究后，得出以下结论，其中正确的是（ ） A. 函数()y f x =的图象关于原点对称B. 对定义域中的任意实数x 的值，恒有()1f x <成立C. 函数()y f x =的图象与x 轴有无穷多个交点，且每相邻两交点的距离相等D. 对任意常数0m >，存在常数b a m >>，使函数()y f x =在[]a b ，上单调递减 BD由函数奇偶性的定义即可判断选项A ；由函数的性质可知()sin 1x xx f x e e -=<-可得到sin x x x e e -<-，即sin 0x x e e x --->，构造函数()sin 0x x h x e e x x -=-->，求导判断单调性，进而求得最值即可判断选项B ；函数()y f x =的图象与x 轴的交点坐标为()0，πk (k Z ∈，且)0k ≠，可判断选项C ；求导分析()0f x '≤时成立的情况，即可判断选项D. 对于选项A ：函数()sin e ex x xf x -=-的定义域为{}|0x x ≠，且()()sin sin x x x xx xf x f x e e e e ----===--，所以()f x 为偶函数，即函数()y f x =的图象关于y 轴对称，故A 选项错误；对于选项B ：由A 选项可知()f x 为偶函数，所以当0x >时，0x x e e -->，所以()sin 1x xx f x e e -=<-，可得到sin x x x e e -<-，即sin 0x xe e x --->，可设()sin 0x x h x e e x x -=-->，，()cos x x h x e e x -'=+±，因为2x x e e -+>，所以()cos 0x x h x e e x -±'=+>，所以()h x 在()0+∞，上单调递增，所以()()00h x h >=，即()sin 1xxx f x e e-=<-恒成立，故选项B 正确；对于选项C ：函数()y f x =的图象与x 轴的交点坐标为()()00k k Z k π∈≠，，且，交点()0π-，与()0π，间的距离为2π，其余任意相邻两点的距离为π，故C 选项错误； 对于选项D ：()()()()2cos sin 0xx x x xxe e x e e xf x ee -----+-'=≤，可化为e x (cos x －sin x )()cos sin 0xex x --+≤，不等式两边同除以x e -得，()2cos sin cos sin x e x x x x -≤+，当()32244x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，，cos sin 0x x -<，cos sin 0x x +>，区间长度为12π>，所以对于任意常数m >0，存在常数b >a >m ，32244a b k k ππππ⎛⎫∈++⎪⎝⎭，，， ()k Z ∈，使函数()y f x =在[]a b ，上单调递减，故D 选项正确；故选：BD思路点睛：利用导数研究函数()f x 的最值的步骤： ①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<得到单调性； ③利用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数()(21)x f x x =-，则不等式2(2)(34)0f x x f x +++≤的解集为___________[4,1]--易得()(21)x f x x =-在R 上为奇函数且为增函数，然后可解出答案. 易得()(21)x f x x =-在R 上为奇函数且为增函数所以由2(2)(34)0f x x f x +++≤可得2(2)(34)f x x f x +≤-+ 所以2(2)(34)f x x f x +≤--，所以2234x x x +≤--，解得41x --≤≤ 即不等式2(2)(34)0f x x f x +++≤的解集为[4,1]-- 故答案为：[4,1]--14. 若点()cos ,sin P αα在直线2y x =-上，则cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为________.先由题意，得到sin 2cos αα=-，即tan 2α，再由cos 2cos 2cos sin 2sin 333πππααα⎛⎫+=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，根据二倍角公式，以及同角三角函数基本关系，通过弦化切，即可求出结果. 因为点()cos ,sin P αα在直线2y x =-上， 所以sin 2cos αα=-，因此tan 2α，所以22cos sin cos 2cos 2cos sin 2sin cos 3332πππααααααα-⎛⎫+=⋅-⋅=- ⎪⎝⎭()222222cos sin 1tan 142(tan 1)102sin cos αααααα---===+=++故答案本题主要考查三角恒等变换求值的问题，熟记同角三角函数基本关系，以及二倍角公式，两角和的余弦公式等即可，属于常考题型. 15. 已知21(0,0)a b a b +=>>，则21b a b+的最小值等于________．2由21(0,0)a b a b +=>>，代入21b a b+变形，利用基本不等式即可得出．解：由题意得2122222222b b a b b a b a a b a b a b a b++=+=++⋅=，当且仅当1a ==时等号成立，所以21b a b+的最小值为2．故答案为：2本题考查了基本不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16. 已知函数21,0,()2,0.x xe x f x e x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩则()0f x =根为_____________；若函数(())y f f x a =-有四个零点，则实数a 的取值范围是___________.(1). 1-或2 (2). 1(1,1)e+（1）当0x ≤时，运用导数求得函数单调区间，可得min ()(1)0f x f =-=，可得一根，当0x >时，直接求解可得.（2）先运用导数求得函数单调区间，并作出函数的图象，再根据图象列出函数有4个零点所需要的条件，即可求得结果.（1）当0x ≤时，1()xf x xe e=+，所以()(1)x x x f x e xe x e '=+=+，令()0f x '=，得1x =-，并且当1x <-时，()0f x '<，当1x >-时，()0f x '>， 所以函数()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,0)-上单调递增， 所以min ()(1)0f x f =-=，故当0x ≤时，()0f x =有唯一根1-，当0x >时，()22f x x x =-，令()0f x =，解得0x =（舍去）或2，故当0x >时，()0f x =的根为2， 综上，()0f x =根为1-或2；（2）因为21,0()2,0x xe x f x e x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩， 当0x ≤时，由（1）min ()(1)0f x f =-=，则10()f x e≤≤，当0x >时，22()2(1)1f x x x x =-=--，则函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 且仅当(2)0f =，且()1f x ≥-，因为当(())0y f f x a =-=时，则有()2f x a -=或()1f x a -=-， 即()2f x a =+或()1f x a =-，由图象得，要使函数(())y f f x a =-有四个零点，则12101a e a e ⎧+>⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩解得111a e <<+，或120110a a -<+<⎧⎨-<-<⎩，无解，综上所述，实数a 的取值范围是1(1,1)e+，故答案是：1-或2；1(1,1)e+.该题考查的是有关根据函数的零点的个数确定参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性，结合图象确定函数的零点，以及与题意相同的对应参数所要满足的条件，属于较难题目.四､解答题：本题共6小题，17题10分，其余每小题12分共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 已知等比数列{}n a 的公比1q >，且1a ，3a 的等差中项为10，28a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． （1）()1*2n n a n N +=∈；（2）1212n n n S ++=-. （1）利用已知条件求出首项与公差，然后求数列{}n a 的通项公式；（2）化简n nnb a =，利用错位相减法求数列{}n b 的前n 项和n S ． （1）由题意可得：211(1)208a q a q ⎧+=⎨=⎩，22520q q ∴-+=，1q >，∴142a q =⎧⎨=⎩，∴数列{}n a 的通项公式为1*2()n n a n N +=∈．（2）12n n nb +=，∴23411232222n n n S +=+++⋯+， 3412112122222n n n n nS ++-=++⋯++， 上述两式相减 可得2341211111222222n n n nS ++=+++⋯-∴11231111111112221122222222n n n n n n n n n S ++++-+=+++⋯-=-=-．本题考查数列的递推关系式，数列求和的方法，考查逻辑推理能力、运算求解能力．18. 已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．（Ⅰ）π；1-．（Ⅰ）π()2cos (sin cos )1sin 2cos 224f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭．因此，函数()f x 的最小正周期为π．（Ⅱ）因为π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数，在区间3π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数，又π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π3πππ14244f ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，1-．19. 已知函数2224()(log )log 1f x a x b x =++，,a b 为常数，1()02f =，且()f x 的最小值0. （1）求()f x 的表达式；（2）若函数2()()log 21F x f x m x m =-++有两个零点，且一个在区间(11,42)上，另一个在区间(1,12)上，求实数m 的取值范围. （1）222()(log )2log 1f x x x =++；（2）11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭.（1）由1()02f =可得10a b -+=，由()f x 的最小值为0可得20404a a b a >⎧⎪⎨-=⎪⎩，即可解出,a b ；（2）令2log u x =，可得方程2(2)220u m u m +-++=有两个不等根，且分别在区间()2,1--､()1,0-上，利用零点存在性定理可求出.解：（1）222()(log )log 1f x a x b x =++，1()02f =，10a b ∴-+=（1）， 若0a =，2()log 1f x x =+，函数无最小值，故0a ≠，又且()f x 的最小值为0，必须有20404a a b a >⎧⎪⎨-=⎪⎩（2），由（1）（2）得，1,2a b ==，从而222()(log )2log 1f x x x =++；（2）由2()()log 210F x f x m x m =-++=得，222(log )(2)log 220x m x m +-++=，令2log u x =，则方程2(2)220u m u m +-++=有两个不等根，且分别在区间()2,1--､()1,0-上， 设2()(2)22h u u m u m =+-++，所以(2)442220(1)12220(0)220h m m h m m h m -=-+++>⎧⎪-=-+++<⎨⎪=+>⎩，解得1123m -<<-，即m 的取值范围(11,23--).本题考查零点存在性定理的应用，解题的关键是得出方程2(2)220u m u m +-++=有两个不等根，且分别在区间()2,1--､()1,0-上.20. 某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查.调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段.在随机问卷阶段，A ，B 两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对15至45岁的人群，按比例随机抽取了300份，进行了数据统计，具体情况如下表：（1）先用分层抽样的方法从上述300人中按“年龄是否达到35岁”抽出一个容量为60人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到35岁”的被抽个体数分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去.①求这60人中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数；②为听取对发展共享单车的建议，调查组专门组织所抽取的“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人员召开座谈会.会后共有3份礼品赠送给其中3人，每人1份（其余人员仅赠送骑行优惠券）.已知参加座谈会的人员中有且只有4人来自A 组，求A 组这4人中得到礼品的人数X 的分布列和数学期望；（2）从统计数据可直观得出“是否经常使用共享单车与年龄（记作m 岁）有关”的结论.在用独立性检验的方法说明该结论成立时，为使犯错误的概率尽可能小，年龄m 应取25还是35？请通过比较2K 的观测值的大小加以说明.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.(1) ①9人 ②见解析；(2) 25m =（1）①根据分层抽样要求，先求从300人中抽取60人，其中“年龄达到35岁”的人数60100300⋅，再求“年龄达到35岁” 中偶尔使用单车的人数4520100⋅； ②确定随机变量X 的取值，计算X 各个取值的概率，得分布列及数学期望.(2)对年龄m 是否达到35,m 是否达到25对数据重新整理（2⨯2联表），根据公式计算相应的2K ，比较大小确定.（1）①从300人中抽取60人，其中“年龄达到35岁”的有6010020300⨯=人，再将这20人用分层抽样法按“是否经常使用单车”进行名额划分，其中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数为45209100⨯=. ②A 组这4人中得到礼品的人数X 的可能取值为0，1，2，3，相应概率为：()35395042C P X C ===，()12453910121C C P X C ===， ()2145395214C C P X C ===，()34391321C P X C ===.故其分布列为∴()5105140123422114213E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）按“年龄是否达到35岁”对数据进行整理，得到如下列联表：35m =时，由（1）中的列联表，可求得2K 的观测值 ()22130012545755530015002520010018012020010018012016k ⨯⨯-⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯. 25m =时，按“年龄是否达到25岁”对数据进行整理，得到如下列联表：经常使用单车 偶尔使用单车 合计 未达到25岁 67 33 100 达到25岁 113 87 200 合计 180120300可求得2K 的观测值()22230067871133330021004920010018012020010018012016k ⨯⨯-⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯. ∴21k k >，欲使犯错误的概率尽可能小，需取25m =.本题考查分层抽样和独立性检验，随机变量的分布列及数学期望，考查统计知识理解掌握水平、对数据的处理能力及分析推理解决实际问题的能力.21. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆M ：22221x y a b+=(a >b >0)的左顶点为A ，过点A 的直线与椭圆M 交于x 轴上方一点B ，以AB 为边作矩形ABCD ，其中直线CD 过原点O .当点B 为椭圆M 的上顶点时，△AOB 的面积为b ，且AB =3b .（1）求椭圆M 的标准方程；（2）求矩形ABCD 面积S 的最大值； （3）矩形ABCD 能否为正方形？请说明理由.（1）22142x y +=；（2）最大值为（3）存在，理由见解析. （1）由题可得22212ab b a b c =⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解出,a b 即可求出椭圆方程；（2）设直线AB 的方程为(2)y k x =+，联立直线与椭圆方程，表示出点B 坐标，进而得出AB ，由CD 的方程为y kx =，得出BC ，即可得出矩形ABCD 面积，求出最大值；（3）若矩形ABCD 为正方形，则AB BC =，322220k k k -+-=(0)k >，根据零点存在可得出方程有解，即可判断.解：（1）由题意：22212ab b a b c =⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得2,a b c ===，所以椭圆M 的标准方程为22142x y +=. （2）显然直线AB 的斜率存在，设为k 且0k >， 则直线AB 的方程为(2)y k x =+，即20kx y k -+=，联立22(2)142y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8840k x k x k +++-=，解得222412B k x k -=+，2412B k y k =+，所以212AB k ==+， 直线CD 的方程为y kx =，即0kx y，所以BC ==，所以矩形ABCD面积2288112122k S k k k k====+++所以当且仅当22k =时，矩形ABCD 面积S 的最大值为22. （3）若矩形ABCD 为正方形，则AB BC =，即222412121k kk k +=++，则322220k k k -+-=(0)k >， 令32()222(0)f k k k k k =-+->，因为(1)10,(2)80f f =-<=>，又32()222(0)f k k k k k =-+->的图象不间断， 所以32()222(0)f k k k k k =-+->有零点，所以存在矩形ABCD 为正方形.本题考查椭圆中四边形的面积问题，解题的关键是设出直线方程，表示出矩形的相邻两边边长，进而可求出最值.22. 设函数1(1)f x x=-，()1x g x ax =+(其中a R ∈，e 是自然对数的底数）．（1）若函数()()()F x f x g x =-没有零点，求实数a 的取值范围；（2）若函数(),()f x g x 的图象有公共点P ，且在点P 有相同的切线，求实数a 的值； （3）若()()x f e g x ≤在x ∈[0,)+∞恒成立，求实数a 的取值范围．（1）(3,1]a ∈-；（2）3a =-；（3）1[0,]2（1）由()()()0F x f x g x =-=得2(1)(1)10a x a x ----=，显然0x =，1x a=-都不是此方程的根，当1a =时，没有实根，则1a ≠，由2(1)4(1)0a a -+-<得：31a -<<， 故当(3,1]a ∈-时，函数()()()F x f x g x =-没有零点； （2）21'()f x x =，21'()(1)g x ax =+，设它们的公共点为(,)P P P x y ，则有{()()'()'()P P P PP P y f x y g x f x g x ===即{()()'()'()P P P P f x g x f x g x ==也就是{当1P P ax x +=时111Px -=，无解；当1P P ax x +=-时111P x -=-，12P x =，3a =-； （3）由题得在[0,)+∞上恒成立，因为0x ≥，故1[0,1)x e --∈，所以110x e -≥在[0,)+∞上恒成立，故01xax ≥+在[0,)+∞上恒成立，所以，0a ≥． 解法一：不等式恒成立等价于(1)(1)0x ax e x -+--≤在[0,)+∞上恒成立，令1()(1)(1)1xx ax h x ax e x ax x e -+=+--=-+--，则1'()1x ax a h x a e -+=+-， 再设()'()m x h x =，则21'()xax a m x e -+-=，同时，，'(0)0h =，(0)0h =，①当0a =时，1'()0,x m x e=-<，则()'()m x h x =在[0,)+∞上单调递减，∴'()'(0)=0h x h ≤，∴()h x 在[0,)+∞上单减，∴即()()x f e g x ≤在[0,)+∞上恒成立，②当102a <≤时，21()'()xa a x a m x e---=，因为210a a-->，所以'()0m x <， 则()'()m x h x =在[0,)+∞上单调递减，∴'()'(0)=0h x h ≤，∴()h x 在[0,)+∞上单减， ∴即()()x f e g x ≤在[0,)+∞上恒成立，③当12a >时，21()'()xa a x a m x e ---=，210a a-> 若210a x a-<<，则'()0m x >，即()'()m x h x =在21(0,)a a -上单调递增，所以'()'(0)0h x h >= 即()h x 在21(0,)a a-上也单调递增，∴，即()()x f e g x ≥，不满足条件． 综上，()()x f e g x ≤在[0,)+∞上恒成立时，实数a 的取值范围是1[0,]2．解法二：不等式恒成立等价于(1)(1)0x x ax e e x +--≤在[0,)+∞上恒成立，设()(1)(1)=(1)(1)x x x h x ax e e x e ax x ax =+---+-+，则'()()x h x e ax x a a =-+-， 再设()'()()x m x h x e ax x a a ==-+-，则同时，'(0)21m a =-，(0)'(0)0m h ==，(0)0h =，①当1a ≥时，'(0)210m a =->，故函数)'(h x 是(0,)+∞上的增函数所以'()'(0)0h x h >=， 所以函数()h x 是(0,)+∞上的增函数，所以当(0,)x ∈+∞时，()(0)0h x h >=， 即()()x f e g x ≤，与()()x f e g x ≤在[0,)+∞上恒成立不符， ②当102a ≤≤时2101a a -≥-，21'()(1)()01x a m x a e x a -=-+<-，故函数)'(h x 是(0,)+∞上的减函数 所以'()'(0)0h x h <=，函数()h x 是(0,)+∞上的减函数，所以当(0,)x ∈+∞时，()(0)0h x h ≤=，即()()f x g x ≤在[0,)+∞上恒成立，③当112a <<时，2101a a -<-，21'()(1)()1x a m x a e x a -=-+-当21(0,)1a x a -∈--时，'()0m x >， 故函数)'(h x 是21(0,)1a a ---上的增函数所以在21(0,)1a x a -∈--上，'()'(0)0h x h >=， 所以函数()h x 是21(0,)1a a ---上的增函数，所以当21(0,)1a x a -∈--时，()(0)0h x h >=， 即()()x f e g x ≥，与()()x f e g x ≤在[0,)+∞上恒成立不符，综上可得，使()()xf eg x ≤在[0,)+∞上恒成立实数a 的取值范围是1[0,]2．。

江苏省盐城中学2020届高三年级第二次阶段性质量检测数学试卷数学试题一、填空题1.设集合{}{}1,,2,3,4A x B ==，若4A B =，则x 的值为2.已知复数131iz i-=+，则复数z 的虚部为 3.函数()f x =的定义域是4.设a R ∈，则“2a =”是“直线2y ax =-+与直线14ay x =-垂直”的 条件5.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()220x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为6.设函数()ln f x ax x =-的图象在点()()1,1f 处的切线斜率为2，则实数a 的值为7．已知实数x,y 满足条件2403300x y x y x -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为8.在平面直角坐标系xOy 中，已知焦距为4的双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右准线与它的两条渐近线分别相交于点P,Q ，其焦点为12,F F ，则四边形12PF QF 的面积的最大值 为9.在直角三角形ABC 中，∠C=90°，AB=2，AC=1，若32AD AB =，则CD CB ⋅=10.若点()cos ,sin P αα在直线2y x =-上，则cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为11.已知{}{},n n a b 均为等比数列，其前n 项和分别为,n n S T ，若对任意的*n N ∈，总有321n n n S T =+，则44a b = 12.已知函数()33,02,0x x x x f x x ⎧->⎪=⎨≤⎪⎩，若函数()()()12y f x a f x a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭有5个零点，则实数a 的取值范围是13.在平面直角坐标系x O y 中，已知点A （2,2），E 、F 为圆()()22:114C x y -+-=上的两动点，且EF =，若圆C 上存在点P ，使得,0AE AF mCP m +=>，则m 的取值范围为 14.已知△ABC1，且满足431tan tan A B+=，则变AC 的最小值为 二、解答题15.已知函数()21sin 2.2f x x x = （1）求()f x 的最小正周期和最小值；（2）将函数()f x 的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象.当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域.16.已知△ABC 中，13tan ,tan ,45A B AB === （1）角C 的大小；（2）△ABC 中最小边的边长。

2020年江苏省盐城中学高考数学模拟试卷（5月份）一、填空题1.已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若A B={1}⋂则实数a 的值为________【答案】1 【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．点睛:（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,A B A B ⋂=∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．2.若复数z 满足()1234z i i +=-+（i 是虚数单位），则复数z 的实部是______. 【答案】1 【解析】 【分析】通过复数方程，两边同乘1-2i ，然后求出复数z 即可．【详解】因为复数z 满足(1+2i )z =−3+4i ,所以(1−2i )(1+2i )z =(−3+4i )(1−2i )， 即5z =5+10i ，所以z =1+2i ,实部为1. 故答案为：1.【点睛】本题考查了复数的乘除运算，注意题目求的是复数z 的实部，不能写成复数z 的结果。

本题属于基础题。

3.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________．【答案】8 【解析】分析：先判断6I <是否成立，若成立，再计算I S ，，若不成立，结束循环，输出结果.详解：由伪代码可得3,2;5,4;7,8I S I S I S ======，因为76>，所以结束循环，输出8.S = 点睛：本题考查伪代码，考查考生的读图能力，难度较小.4.如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为______.【答案】345【解析】 【分析】根据茎叶图中的数据求出甲、乙二人的平均数，再根据方差的定义得出乙的方差较小，求出乙的方差即可．【详解】解：根据茎叶图中的数据，计算甲的平均数为11(7791418)115x =⨯++++=，乙的平均数为21(89101315)115x =⨯++++=；根据茎叶图中的数据知乙的成绩波动性小，较为稳定（方差较小）， 计算乙成绩的方差为：222222134[(811)(911)(1011)(1311)(1511)]55s =⨯-+-+-+-+-=．故答案为：345．【点睛】本题考查了茎叶图、平均数与方差的应用问题，属于基础题．5.从0、2中选一个数字.从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数.其中无重复的个数为______________. 【答案】30. 【解析】 【分析】讨论选择的数字是0和2两种情况，分别计算得到答案.【详解】若从0、2中选一个数字是0，则组成三位数有122312C A =个；若从0、2中选一个数字是2，则组成三位数有233318C A =个，故一共有30个． 故答案为：30.【点睛】本题考查了排列组合的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.6.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为45，且过点()3,1，则双曲线的焦距等于________. 【答案】8 【解析】 【分析】 根据题意得出1ba=，然后将点()3,1的坐标代入双曲线的标准方程，可求出a 、b 的值，即可计算出双曲线的焦距.【详解】双曲线的渐近线方程为b y x a =±，由题意可得1ba=，b a ∴=， 所以，双曲线的标准方程为22221x y a a-=，将点()3,1的坐标代入双曲线的标准方程得22911a a-=，得a b ==，因此，双曲线的焦距为248=⨯=. 故答案为：4.【点睛】本题考查双曲线焦距的计算，同时也考查了双曲线渐近线方程的求解，要结合题意得出a 、b 的值，考查运算求解能力，属于中等题.7.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为1S 、2,S 则有12:S S = 【答案】3:2 【解析】试题分析：设球的直径为2R ，则2212:(222):43:2.S S R R R R πππ=+⋅=考点：球的表面积8.已知函数221()log (1)1x a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，，，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是_______．【解析】 【分析】解方程[(0)]2f f =即得a 的值. 【详解】∵0(0)223f =+= ∴[(0)](3)log 2a f f f == ∵[(0)]2f f = ∴log 22a =， 因为0,a > 所以解得a．【点睛】本题主要考查分段函数求值，考查指数对数运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.已知函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+≤<图象一条对称轴是直线6x π=，则(2)f ϕ的值为___________． 【答案】12【解析】 【分析】由函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+≤<图象的一条对称轴是直线6x π=可得()16f π=±，结合0ϕπ≤<解得6π=ϕ，代入(2)f ϕ中计算即可得到答案. 【详解】由题意，()16f π=±，sin(2)16πϕ⨯+=±，即,32k k Z ππϕπ+=+∈，,6k k Z πϕπ=+∈，又0ϕπ≤<，所以6π=ϕ，故51(2)sin5sin62f πϕϕ===. 故答案为：12. 【点睛】本题考查正弦型函数的对称性质，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 10.已知{}n a 是首项为2，公比为()1q q >的等比数列，且{}n a 的前n 项和为n S ，也为等比数列，则q =____． 【答案】2 【解析】 【分析】先由{}n a 为等比数列可得222112nn q q S q=++-+--{}2n S +也为等比数列，根据等比数列的通项公式的特点可求解. 【详解】已知{}n a 是首项为2，公比为()1q q >的等比数列. 所以()1122221111n n n n a q q q S qq q q---===+----. 222112n n q q S q=++-+--,则{}2n S +也为等比数列.所以2201q+=-，即2q .故答案为：2【点睛】本题考查等比数列的通项公式的特点和等比数列的前n 项和的公式，属于中档题. 11.如图，在平面四边形ABCD 中，2CAD π∠=，2AD =，4AB BC CA ===，E 、F 分别为边BC 、CD 的中点，则AE AF ⋅=______．【答案】63- 【解析】 【分析】以点A 为坐标原点，CA 、AD 分别为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系xAy ，计算出AE 、AF 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算计算出AE AF ⋅的值.【详解】以点A 为坐标原点，CA 、AD 分别为x 轴、y 轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系xAy ，则点()0,0A 、()2,1F -、(3,3E -，()2,1AF ∴=-，(3,3AE =--， 因此，()()(231363AE AF ⋅=-⨯-+⨯-=. 故答案为：63【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，一般利用基底法和坐标法进行计算，考查计算能力，属于中等题.12.在平面直角坐标系xOy 中，直线:50l kx y k -+=与圆22:100C x y x +-=交于点,A B ，M 为弦AB 的中点，则点M 的横坐标的取值范围是__________．【答案】5(,5]2【解析】 【分析】将直线l 与圆C 联立方程组消去y 可得2222(1)10(1)250k x k x k ++-+=，利用根与系数关系可得225(1)21A B M x x k x k +-==-+，再根据直线l 与圆C 相交，利用判别式求出2k 的范围，进而求出点M 的横坐标的取值范围． 【详解】由2250,100,kx y k x y x -+=⎧⎨+-=⎩消去y 得2222(1)10(1)250k x k x k ++-+=， 所以2210(1)1A B k x x k -+=-+， 所以222225(1)5[(1)2]1052111A B M x x k k x k k k +-+-==-=-=-+++， 因为直线l 与圆C 交于点A ，B 两点，所以22222100(1)4(1)253001000-k k k k ∆=-⨯+⨯=-+>，所以213k <，令21k t +=，4[1,)3t ∈，所以105M x t =-，其在4[1,)3t ∈上单调递减，所以552M x <≤． 故答案为：5(,5]2【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化与化归的思想，属于中档题．13.已知ABC ∆1，AC =431tan tan A B+=，则tan A 的值为________.【答案】)1-【解析】将正切化为弦，结合边角互化思想得出()sin cos 3b A Ac -=，然后利用三角形的面积公式结合三角恒等变换思想得出2sin sin cos A A A -的值，并利用弦化切的思想可求出tan A 的值. 【详解】设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，则b =434cos 3cos 4cos sin 3sin cos 1tan tan sin sin sin sin A B A B A BA B A B A B++=+==， 4cos sin 3sin cos sin sin A B A B A B ∴+=，()()sin sin cos sin 3sin cos cos sin 3sin 3sin A B A B A B A B A B C ∴-=+=+=，由边角互化思想得()sincos 3b A Ac -=，()sin cos 3b A Ac -∴=，ABC ∆的面积为)11sin sin cos sin 22ABC S bc A A A A∆==⨯-()22sin sin cos 1A AA =-=，2sin sin cos A A A ∴-=即222222222222sin sin cos 1sin sin cos tan tan cos cos sin cos 2sin cos tan 1cos cosA A AA A A AA A A A A A A A A A---===+++，整理得))21tan 2tan 10A A ++=，解得)tan 1A =-.故答案为：)1-.【点睛】本题考查三角形中正切值的计算，同时也考查了三角形的面积公式、边角互化思想以及弦切互化思想的应用，考查计算能力，属于中等题.14.已知函数()2ln 2,05,04x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图象上有且仅有两个不同的点关于直线2y =-的对称点在30kx y --=的图象上，则实数k 的取值范围是________．【答案】()3,1,4⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【分析】求出直线30kx y --=关于直线2y =-对称的直线l 的方程10kx y ++=，然后将问题转化为直线l 与函数()y f x =的图象有两个交点，构造函数()1ln 2,015,04x x xg x x x x ⎧+->⎪⎪=⎨⎪++<⎪⎩，将问题转化为直线y k =-与函数()y g x =的图象有两个交点，利用数形结合思想可求出实数k 的取值范围.【详解】直线30kx y --=关于直线2y =-对称的直线l 的方程为()430kx y ----=，即10kx y ++=，对应的函数为1y kx =--.所以，直线l 与函数()y f x =的图象有两个交点.对于一次函数1y kx =--，当0x =时，1y =-，且()00f =. 则直线l 与函数()y f x =的图象交点的横坐标不可能为0. 当0x ≠时，令()1kx f x --=，可得()1f x k x+-=，此时，令()()1ln 2,0115,04x x f x xg x x x x x ⎧+->⎪+⎪==⎨⎪++<⎪⎩.当0x >时，()22111x g x x x x-'=-=，当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>. 此时，函数()y g x =在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增， 函数()y g x =的极小值为()11g =-；当0x <时，()222111x g x x x-'=-=，当1x <-时，()0g x '>；当10x -<<时，()0g x '<. 此时，函数()y g x =在区间(),1-∞-上单调递增，在区间()1,0-上单调递减， 函数()y g x =的极大值为()314g -=-.作出函数yk =-和函数()y g x =的图象如下图所示：由图象可知，当1k -<-或34k ->-时，即当34k <或1k >时，直线y k =-与函数()y g x =的图象有两个交点.因此，实数k 的取值范围是()3,1,4⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：()3,1,4⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查利用函数图象交点个数求参数的取值范围，同时也考查了对称思想的应用，解题的关键就是将问题转化为两函数图象的交点个数来处理，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 二、解答题15.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，E 为棱PD 的中点，PA ⊥平面ABCD .（1）求证：//PB 平面AEC ；（2）若四边形ABCD 是矩形且PA AD =，求证：AE ⊥平面PCD . 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）连接BD 交AC 于O ，可得知点O 为BD 的中点，利用中位线的性质得出//PB OE ，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出//PB 平面AEC ；（2）证明出CD ⊥平面PAD ，可得出AE CD ⊥，由等腰三角形三线合一的思想得出AE PD ⊥，然后利用直线与平面垂直的判定定理可证明出AE ⊥平面PCD .【详解】（1）连接BD 交AC 于O ，因为ABCD 是平行四边形，所以O 是BD 的中点， 因为E 为PD 的中点，所以//OE PB ，又因为PB ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ，所以//PB 平面AEC ；（2）因为PA AD =且E 是PD 的中点，所以AE PD ⊥，又因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥， 因为四边形ABCD 是矩形，所以CD AD ⊥， 因为PA 、AD ⊂平面PAD 且PA AD A ⋂=，所以CD ⊥平面PAD ，又因为AE ⊂平面PAD ，所以CD AE ⊥，PD 、CD ⊂平面PCD 且PD CD D ⋂=，所以AE ⊥平面PCD .【点睛】本题考查直线与平面平行与垂直的证明，在证明时要严格根据判定定理组织论据，考查推理论证能力，属于中等题.16.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos B ＝45． （Ⅰ）若c ＝2a ，求sin sin BC的值；（Ⅱ）若C －B ＝4π，求sin A 的值． 【答案】（1）10（2）50【解析】试题分析：（1）由余弦定理cos 45B =及2c a =得出b,c 关系，再利用正弦定理即可求出；（2）根据正余弦的二倍角公式及同角三角函数之间的关系，即可解出.试题解析：（1）解法1：在ABC ∆中，因为cos 45B =，所以222425a cb ac +-=.因为2c a =，所以22242522()cc b c c +-=⨯，即22920b c =，所以10b c =.又由正弦定理得sin sin B b C c =，所以sin sin 10B C =. 解法2：因为4cos ,(0,)5B B π=∈，所以3sin 5B ==. 因为2c a =，由正弦定理得sin 2sinC A =， 所以68sin 2sin()cos sin 55C B C C C =+=+，即sin 2cos C C -=. 又因为22sin cos 1,sin 0C C C +=>，解得sin 5C =sin sin 10B C =. （2）因cos 45B =，所以27cos 22cos 125B B =-=. 又0B π<<，所以3sin 5B ==，所以3424sin 22sin cos 25525B B B ==⨯⨯=. 因为4C B π-=，即4C B π=+，所以3()24A B C B ππ=-+=-，所以333724sin sin(2)sin cos 2cos sin 2(4442525A B B B πππ=-=-=-⨯=试题点睛：解决此类问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系与两角和的正弦公式，以及三角形中角之间的关系．17.某国营企业集团公司现有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了激化内部活力，增强企业竞争力，集团公司董事会决定优化产业结构，调整出x （*x ∈N ）名员工从事第三产业；调整后，他们平均每人每年创造利润310500x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元(0)a >，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x ％.（Ⅰ）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（Ⅱ）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则实数a 的取值范围是多少？ 【答案】（Ⅰ）500名（Ⅱ）(0,5] 【解析】 【分析】（1）根据题意可列出()()10100010.2%101000x x -+≥⨯，进而解不等式即可求得x 的范围，从而得解；（2）根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意列出不等式，转化为不等式恒成立问题，再利用基本不等式，即可得解. 【详解】解：（Ⅰ）由题意，得()()10100010.2%101000x x -+≥⨯， 整理得25000x x -≤，解得0500x ≤≤， 又0x >，∴0500x <≤，∴最多调整出500名员工从事第三产业.（Ⅱ）从事第三产业员工创造的年总利润为310500⎛⎫- ⎪⎝⎭x a x 万元，从事原来产业的员工的年总利润为()1010001500x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭万元. 则由题意，知当0500x <≤时，恒有31010(1000)1500500x x a x x ⎛⎫⎛⎫-≤-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得10001250x a x≤++在0500x <≤时恒成立. 1000100024250250x x x x+≥⋅=， 当且仅当1000250x x=，即500x =时等号成立， ∴5a ≤，又0a >，∴05a <≤，∴a 的取值范围是(0,5].【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，考查了转化能力，属于中档题.18.如图，已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，离心率为12，A 、B 分别是椭圆C 的左、右顶点，过右焦点F 且斜率为()0k k >的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）记AFM ∆、BFN ∆的面积分别为1S 、2S ，若1265S S =，求k 的值； （3）记直线AM 、BN 的斜率分别为1k 、2k ，求21k k 的值. 【答案】（1）22143x y +=；（2）13k =（3）3. 【解析】 【分析】（1）设椭圆的焦距为2c ，根据题意得出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b 的值，即可得出椭圆C 的标准方程；（2）设点()11,M x y 、()22,N x y ，由1265S S =，可得出25FM NF =，利用共线向量的坐标运算以及点M 、N 在椭圆C 上，列方程组求出点N 的坐标，然后利用斜率公式可求出k 的值；（3）可得出直线l 的方程为()1y k x =-，将该直线方程与椭圆C 的标准方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式并代入韦达定理可计算出21k k 的值. 【详解】（1）设椭圆的焦距为2c，椭圆过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，离心率为12，229141a b ∴+=，12c a =，解得2a =，b =22143x y +=； （2）设点()11,M x y 、()22,N x y ，1265S S =，12162152AF y BF y ⨯⨯∴=⨯⨯，整理可得12365y y =，即1225y y =，25FM NF ∴=. 代入坐标，可得()1212211525x x y y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即1212725525x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，又点M 、N 在椭圆C 上，22222222722555143143x y x y ⎧⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪+=∴⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得2254x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴直线l的斜率85614k ==--； （3）直线l 的方程为()1y k x =-，由()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()22223484120k x k x k +-+-=，2122843k x x k ∴+=+，212241243-⋅=+k x x k ， 又()()()()()()2212122111212121222122y y x k x x k x y k y x k x x x +-+-===---+122112122222x x x x x x x x +--=--+22222222222222222222222241284612182233434343433464641282243434343k k k k x x x x k k k k k k k k x x x x k k k k ⎛⎫⎛⎫-----+---+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭+====----⎛⎫-++---+ ⎪++++⎝⎭，因此，213k k =. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积比的计算以及斜率的计算，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.19.已知函数()2ln 2x f x a x ax =-+.（1）当1a =时，求()f x 在1x =处的切线方程； （2）当0a >时，讨论()f x 的单调性；（3）若()f x 有两个极值点1x 、()212x x x ≠，且不等式()()()1212f x f x x x λ+<+恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）2230x y --=；（2）见解析；（3）[)2ln 23,-+∞. 【解析】 【分析】（1）将1a =代入函数()y f x =的解析式，求出该函数的导数，计算出()1f 和()1f '的值，然后利用点斜式可写出函数()y f x =在1x =处的切线方程；（2）求出函数()y f x =的定义域和导数()2x ax af x x -+'=，计算出二次函数2y x ax a =-+的判别式24a a ∆=-，分0∆≤和>0∆两种情况讨论，可得出函数()y f x =的单调区间；（3）由（2）得知4a >，且方程()0f x '=的两根分别为1x 、2x ，利用韦达定理得出1212x x ax x a +=⎧⎨=⎩，由参变量分离法得出()()1212f x f x x x λ+>+，结合韦达定理得出()()12121ln 12f x f x a a x x +=--+，利用导数求出关于a 的函数1ln 12y a a =--在()4,a ∈+∞上的值域，由此可得出实数λ的取值范围.【详解】（1）当1a =时，()2ln 2x x f x x =-+，()112f =-，()11f x x x '=-+，()11f '=，所以，函数()y f x =在1x =处的切线方程为112y x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，即2230x y --=；（2）函数()y f x =定义域为()0,∞+，()2a x ax aa x x xf x '-+=-+=，二次函数2y x ax a =-+的判别式24a a ∆=-.①若240a a ∆=-≤时，即当04a <≤时，对任意的0x >，()0f x '≥， 此时，函数()y f x =单调递增区间为()0,∞+，无减区间； ②若240a a ∆=->时，即当4a >时，由()20x a x x a f x '-+==，得02a x -=>或02a x =>当0x <<，或x >()0f x '>，x <<()0f x '<，此时，函数()y f x =单调递增区间为⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭，单调递减区间为,22a a ⎛+⎪⎝⎭； （3）由（2）知，4a >，且1212x x a x x a +=⎧⎨=⎩，不等式()()()1212f x f x x x λ+<+恒成立等价于()()()()121212f x f x f x f x x x aλ++>=+恒成立， 又()()()()221211122211ln ln 22f x f x a x x x a x x x +=-++-+()()()221212121ln ln 2a x x a x x x x =+-+++()()2121212121ln 22a x x a x x x x x x ⎡⎤=-+++-⎣⎦()22211ln 2ln 22a a a a a a a a a =-+-=--.所以()()12121ln 12f x f x a a x x +=--+，令()1ln 142y a a a =-->，则11'02y a =-<， 所以1ln 12y a a =--在()4,+∞上单调递减，所以2ln 23y <-，所以2ln 23λ≥-. 因此，实数λ的取值范围是[)2ln 23,-+∞.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，以及含参函数单调区间的求解，同时也考查了利用导数研究不等式恒成立问题，涉及韦达定理的应用，考查分类讨论思想与化归与转化思想的应用，属于难题.20.已知无穷数列{}n a 的前n 项中的最大项为n A ，最小项为n B ，设n n n b A B =+. （1）若21n a n =-，求数列{}n b 的通项公式； （2）若212n nn a -=，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （3）若数列{}n b 是等差数列，求证：数列{}n a 是等差数列. 【答案】（1）2n n n b A B n =+=；（2）11,s =29,4s =372s =，当4n ≥时，19323842n n n n S +=+-；（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用数列{}n a 的通项公式判断其增减性，从而确定n A ，n B 的表达式，进而求出数列{}n b 的通项公式； （2）由212n nn a -=计算11322n nn na a ++--=，2n ≥时，数列单调递减，所以当4n ≥时，32142n n n b -=+，利用分组求和和错位相减法求和计算即可得到答案；（3）设数列{}n b 的公差为d ，则111n n n n n n b b A A B B d +++-=-+-=，讨论0,d >0d <，0d =三种情况，分别证明数列{}n a 为等差数列即可.【详解】（1）由21n a n =-得{}n a 是递增数列， 所以21,n n A a n ==-11n B a ==， 所以2n n n b A B n =+=. （2）由212n n n a -=得111212132222n n n n n n n n a a ++++---=-=， 当1n =，10n n a a +->，即12a a <； 当2n ≥，10n n a a +-<，即2341a a a a >>>. 又11,2a =23,4a =315,8a a =>41716a a =<， 所以11,b =25,4b =354b =，当4n ≥时，32142n n n b -=+，所以11,=S 29,4=S 372S =， 当4n ≥时，令13213(1)42422n n n n n k n b kn bb ---++=+=+-， 则2,k =3b =，即13213212342422n n n n n n n b --++=+=+-.所以344517391111132123(3)24222222-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n S n n 373923(3)2422n n n +=+-+-19323842n n n +=+-. 综上所述，11,=S 29,4=S 372S =，当4n ≥时，19323842n n n n S +=+-. （3）设数列{}n b 的公差为d ，则111n n n n n n b b A A B B d +++-=-+-=， 由题意11,n n n n A A B B ++≥≤，①0,d >1n n A A +>，对任意*n N ∈都成立， 即11++=>=n n n n A a A a ，所以{}n a 是递增数列. 所以,n n A a =1n B a =，所以111n n n n n n d A A B B a a +++=-+-=-， 所以数列{}n a 是公差为d 的等差数列；②当0d <时，1n n B B +<对任意*n N ∈都成立， 进面11n n n n B a B a ++=<=，所以{}n a 是递减数列.1,n A a =n n B a =， 所以111n n n n n n d A A B B a a +++=-+-=- 所以数列{}n a 是公差为d 的等差数列； ③当0d =时，110n n n n A A B B ++-+-=， 因为1n n A A +-与1n n B B +-中至少有一个为0， 所以二者都为0，进而可得数列{}n a 为常数列， 综上所述，数列{}n a 为等差数列.【点睛】本题考查数列的通项公式、前n 项和公式、利用等差数列的定义证明等差数列、利用分组求和和错位相减进行数列求和；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握等差数列的定义和数列求和的方法是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题. 21.已知a ，b ，c ，d ∈R，矩阵A ＝20a b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 的逆矩阵A －1＝11c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到直线y ＝2x ＋1，求曲线C 的方程． 【答案】2x －5y ＋1＝0. 【解析】 【分析】 根据AA －1＝1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦解得A ＝1201-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，设P (x ，y )为曲线C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换作用下变为点P ′(x ′，y ′)，利用矩阵的线性变换，用,x y 表示,x y ''，将,x y ''代入y ＝2x ＋1并整理即可得到答案. 【详解】由题意得，AA －1＝1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即 20a b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦11c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝22a dac bd b --⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以a ＝1，b ＝1，c ＝2，d ＝0，即矩阵A ＝1201-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.设P (x ，y )为曲线C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换作用下变为点P ′(x ′，y ′)，则 x y ''⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝1201-⎡⎤⎢⎥⎣⎦ x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即2x x yy y ''=-⎧⎨=⎩ 由已知条件可知，P ′(x ′，y ′)满足y ＝2x ＋1，整理得2x －5y ＋1＝0， 所以曲线C 的方程为2x －5y ＋1＝0.【点睛】本题考查了由矩阵的逆矩阵求矩阵，考查了矩阵的线性变换，考查运算求解能力，属于基础题.22.在直角坐标平面内，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A ，B的极坐标分别为()π42，，5π4⎛⎫ ⎪⎝⎭，，曲线C 的方程为r ρ=（0r >）． （1）求直线AB 的直角坐标方程；（2）若直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，求r 的值． 【答案】（1）340x y -+=；（2【解析】 【分析】（1）求得()04A ，，()22B --，，问题得解． （2）利用直线AB 和曲线C 相切的关系可得：圆心到直线AB 的距离等于圆的半径r ，列方程即可得解．【详解】（1）分别将()π42A ，，()5π224B ，转化为直角坐标为()04A ，，()22B --，， 所以直线AB 的直角坐标方程为340x y -+=．（2）曲线C 的方程为r ρ=（0r >），其直角坐标方程为222x y r +=．又直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，即直线与圆相切， 所以圆心到直线AB 的距离等于圆的半径r . 又圆心到直线AB 的距离为22210431=+，即r 的值为210．【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标互化，还考查了直线与圆相切的几何关系，考查计算能力及点到直线距离公式，属于中档题．23.某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目A ，B ，C 的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用.若甲、乙、丙三人通过A ，B ，C 每个项目测试的概率都是12. （1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望. 【答案】(1)38；(2)答案见解析.【解析】分析：（1）利用二项分布计算甲恰好有2次发生的概率；（2）由每人被录用的概率值，求出随机变量X 的概率分布，计算数学期望. 详解：（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为；（2）因为每人可被录用的概率为，所以，， ，；故随机变量X 的概率分布表为： X 0 1 2 3 P所以，X 的数学期望为．点睛：解离散型随机变量的期望应用问题的方法(1)求离散型随机变量的期望关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用期望公式进行计算．(2)要注意观察随机变量的概率分布特征，若属二项分布的，可用二项分布的期望公式计算，则更为简单．24.如图，F 是抛物线()220y px p =>的焦点，过点F 且与坐标轴不垂直的直线交抛物线于()11,A x y 、()22,B x y 两点，交抛物线的准线于点H ，其中10y >，124y y =-．过点H 作y轴的垂线交抛物线于点P ，直线PF 交抛物线于点Q .（1）求p 的值；（2）求四边形APBQ 的面积S 的最小值． 【答案】（1）2p =；（2【解析】 【分析】（1）设直线AB 的方程为2px ty =+，将该直线方程与抛物线的方程联立，消去x ，得到关于y 的二次方程，利用韦达定理结合124y y =-可求出正数p 的值；（2）由直线AB 与坐标轴不垂直，所以设AB 方程为()10x ty t =+≠，并设点()33,Q x y ，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，并求出AB ，求出点H 的坐标，可得出点P 的坐标，并可得出直线PF 的方程，将该直线方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理得出点Q 的坐标，并分别计算出点P 、Q 到直线AB 的距离1d 、2d ，利用三角形的面积公式可得出S 关于t 的表达式，设20k t =>，构造函数()2f k S =，利用导数求出函数()y f k =的最小值，即可得出S 的最小值.【详解】（1）设AB 方程为2p x ty =+，与22y px =联立，消去x 整理得2220y pty p --=， 所以2124y y p =-=-，得2p =-（舍去）或2p =；（2）由（1）知抛物线方程为24y x =，()1,0F ，准线方程为1x =-.因为直线AB 与坐标轴不垂直，所以设AB 方程为()10x ty t =+≠，()33,Q x y ，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩得2440y ty --=，124y y =-，124y y t +=，所以()21241AB y y t =-=+，令1x =-，则2y t =-，所以21,H t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，212,P t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线PF 的方程为2112t x y t -=+，由221124t x y t y x⎧-=+⎪⎨⎪=⎩得()222140t y y t ---=，所以324ty -=-，32y t =，代入24y x =，得23x t =，所以()2,2Q t t . Q 到直线AB的距离为21d =，P 到直线AB的距离为22d =，所以四边形APBQ 的面积()5321221122S AB d d t t +=+==，令20t k =>，则()52241k S k +=，令()()5241k f k k +=，则()()()432132k k f k k+-'=.当203k <<时，()0f k '<，函数()y f k =单调递减， 当23k >时，()0f k '>，函数()y f k =单调递增. 所以，当23k =时，()y f k =有最小值5527，因此，四边形APBQ 的面积S 【点睛】本题考查抛物线方程中参数的计算，同时也考查了抛物线中四边形面积最值的计算，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求法求解，涉及了利用导数求最值，考查运算求解能力，属于难题.。

2020年江苏盐城高三三模数学试卷-学生用卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1、【来源】 2020年江苏盐城高三三模第1题5分已知集合M ={x|x 2−2x <0}，N ={x|−1<x <1}，则M 与N 的并集M ∪N = ．2、【来源】 2020年江苏盐城高三三模第2题5分设复数z =a +i （a >0），若zz =2，则 正．实数a 的值为 ．3、【来源】 2020年江苏盐城高三三模第3题5分某电视台对一节目的喜爱程度进行网络调查，共有12000人参与调查，喜爱、一般、不喜爱的人分别为6000人、5000人、1000人，为进一步了解被调查人的具体想法，现利用分层抽样的方法抽取60人，则抽取不喜爱的人数为 ．4、【来源】 2020年江苏盐城高三三模第4题5分某校志愿者小组有2名男生和1名女生，现从中任选2人参加活动，则女生入选的概率是 ．5、【来源】 2020年江苏盐城高三三模第5题5分一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ．若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为 ．7、【来源】 2020年江苏盐城高三三模第7题5分设三棱锥P −ABC 的体积为V 1，点M ，N 分别满足PM →=2MB →．PN →=NC →，记三棱锥A −BMN 的体积为V 2，则V2V 1= ．8、【来源】 2020年江苏盐城高三三模第8题5分在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin Asin B =b a+c ，a =2c ，则cos⁡A = ．9、【来源】 2020年江苏盐城高三三模第9题5分已知数列{a n }，{b n }满足b n =log 2a n ，且数列{b n }是等差数列，若b 3=2，b 10=9，则数列{a n }的前n 项和S n = ．10、【来源】 2020年江苏盐城高三三模第10题5分若函数f(x)=|sin⁡(2x +θ)|关于直线x =π4对称，则θ的 最小正值．．．．为 ．11、【来源】 2020年江苏盐城高三三模第11题5分若 存在．．实数x ∈(0,4)，使不等式x 3−2ax +16<0成立，则实数a 的取值范围是 ．12、【来源】 2020年江苏盐城高三三模第12题5分在锐角△ABC 中，已知AH 是BC 边上的高，且满足AH →=13AB →+23AC →，则AC AB 的取值范围是 ．设函数f (x )=x 2−2ax +b ⋅2x ，若函数y =f (x )与函数y =f(f (x ))都有零点，且它们的零点完全相同，则实数a 的取值范围是 ．14、【来源】 2020年江苏盐城高三三模第14题5分若圆C 1:(x −m)2+y 2=16与圆C 2:(x −n)2+y 2=16相交，点P 为其在x 轴下方的交点，且mn =−8，则点P 到直线x +y −1=0距离的最大值为 .二、解答题（本大题共6小题，共90分）15、【来源】 2020年江苏盐城高三三模第15题14分若m →=(sin⁡x 2,cos⁡x 2)，n →=(cos⁡x 2,√3cos⁡x 2)，设f (x )=m →⋅n →−√32． (1) 求函数f (x )在[0,π]上的单调减区间．(2) 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f (A )=f (B )，a =2b ，求sin⁡B 的值．16、【来源】 2020年江苏盐城高三三模第16题14分如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AA 1=AC ，A 1B ⊥AC 1，设O 为AC 1与A 1C 的交点，点P 为BC 的中点．求证：(1) OP//平面ABB 1A 1．(2) 平面ACC 1⊥平面OCP ．17、【来源】 2020年江苏盐城高三三模第17题14分2020~2021学年广东广州天河区华南师范大学附属中学高一上学期周测（校本2.2.3）第4题如图1是淋浴房示意图，它的底座是由正方形截去一角得到，这一角是一个与正方形两邻边相切的圆的14圆弧(如图2)．现已知正方形的边长是1米，设该底座的面积为S 平方米，周长为l 米( 周长是指．．．．图． 2 中实线部分．．．．．)，圆的半径为r 米．设计的理想要求是面积S 尽可能大，周长l 尽可能小．但显然S 、l 都是关于r 的减函数，于是设f (r )=S l ，当f (r )的值越大，满意度就越高．试问r 为何值时，该淋浴房底座的满意度最高( 解答时．．． π 以． 3 代入运算．．．．)18、【来源】 2020年江苏盐城高三三模第18题16分如图，A 、B 为椭圆C:x 2a 2+y 2=1短轴的上、下顶点，P 为直线l:y =2上一动点，连接PA 并延长交椭圆于点M ，连接PB 交椭圆于点N ，已知直线MA ，MB 的斜率之积恒为−12．(1) 求椭圆C 的标准方程．(2) 若直线MN 与x 轴平行，求直线MN 的方程．(3) 求四边形AMBN 面积的最大值，并求对应的点P 的坐标．19、【来源】 2020年江苏盐城高三三模第19题16分2019~2020学年上海宝山区上海市吴淞中学高一下学期期中第21题已知数列{a n }满足|a n+1−a n |=2n +1．(1) 若数列{a n }的首项为a 1，其中0<a 1<3，且a 1，a 2，a 3构成公比小于0的等比数列，求a 1的值．(2) 若a n 是公差为d(d >0)的等差数列{b n }的前n 项和，求a 1的值．(3) 若a 1=1，a 2=−2，且数列{a 2n−1}单调递增，数列{a 2n }单调递减，求数列{a n }的通项公式．20、【来源】 2020年江苏盐城高三三模第20题16分设函数f (x )=φ(x )e x ，g (x )=ln x φ(x )，其中φ(x )恒不为0． (1) 设φ(x )=x 2，求函数f (x )在x =1处的切线方程．(2) 若x 0是函数f (x )与g (x )的公共极值点，求证：x 0存在且唯一．(3) 设φ(x )=ax +b ，是否存在实数a ，b ，使得f ′(x )⋅g ′(x )<0在(0,+∞)上恒成立？若存在，请求出实数a ，b 满足的条件；若不存在，请说明理由．三、选做题（本大题共3小题，选做2题，共20分）选修4-2：矩阵与变换21、【来源】 2020年江苏盐城高三三模第21题10分直线l 经矩阵M =[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]（其中θ∈(0,π)）作用变换后得到直线l ′：y =2x ，若直线l 与l ′垂直，求θ的值．选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年江苏盐城高三三模第21题10分已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−1+√32t y =−12t（t 为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=√2，求直线l 被曲线C 截得的弦长．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年江苏盐城高三三模第21题10分若正数a ，b ，c 满足2a +4b +c =3，求1a+1+1b+2+1c+3的最小值．四、必做题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）24、【来源】 2020年江苏盐城高三三模第22题10分2020~2021学年辽宁沈阳高二下学期期末（五校协作体）第20题已知某高校综合评价有两步：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试．只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格．现有A，B，C三名学生报名参加该高校的综合评价，假设A，B，C三位学生材料初审合格的概率分别是13，12，14；面试合格的概率分别是12，13，23．(1) 求A，B两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率．(2) 记随机变量X为A，B，C三位学生获得该高校综合评价录取资格的人数，求X的概率分布与数学期望．25、【来源】 2020年江苏盐城高三三模第23题10分设集合T n={1,2,3,⋯,n}（其中n⩾3，n∈N∗），将T n的所有3元子集（含有3个元素的子集）中的最小元素的和记为S n．(1) 求S3，S4，S5的值．(2) 试求S n的表达式．1 、【答案】(−1,2);2 、【答案】1;3 、【答案】5;4 、【答案】23;5 、【答案】13;6 、【答案】π3;7 、【答案】16;8 、【答案】√64;9 、【答案】2n−1;10 、【答案】π;211 、【答案】(6,+∞);,1);12 、【答案】(√2213 、【答案】−2<a⩽0;;14 、【答案】5√22,π]．15 、【答案】 (1) [π6;(2) sin⁡B=√21．14;16 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 证明见解析．;17 、【答案】r=8−2√15时，该淋浴房底座的满意度最高．;+y2=1．18 、【答案】 (1) 椭圆的方程为x22;(2) 直线MN的方程为y=1．2;(3) 四边形AMBN面积的最大值为√6，此时点P(±√6,2)．;19 、【答案】 (1) 9．8;(2) 1．;(3) a n ={n,n =2k −1−n,n =2k(k ∈N ∗)． ;20 、【答案】 (1) y =1ex ． ;(2) 证明见解析．;(3) 存在，a =0且b ≠0，证明见解析． ;21 、【答案】 θ=π2．;22 、【答案】 √6．;23 、【答案】 11+6√216． ;24 、【答案】 (1) 518．;(2)12人． ;25 、【答案】 (1) 1；5；15． ;(2) S n =C n+14(n ⩾3)．;。

江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期6月第二次调研考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知集合()(){}120A x x x =+-<，集合B Z =，则A B =I ______. 2．若i 是虚数单位，复数()()12z a i i =++是纯虚数，则实数a 的值为________. 3．在某次数学测验中，5位学生的成绩如下：78、85、a 、82、69，他们的平均成绩为80，则他们成绩的方差等于________.4．若{1,0,1,2}a ∈-，则方程220x x a ++=有实根的概率为________. 5．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______．6．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为45o ，且过点()3,1，则双曲线的焦距等于________.7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为()2*2,,n S pn n q p q R n N=-+∈∈.若1a 与5a 的等差中项为8，则p q +=______.8．如果命题0p x ∀>：，4957x m x+≥+为真命题，则实数m 的取值范围是__________． 9．函数()2sin f x x ax =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减，则实数a 的取值范围为______. 10．边长为2的三个全等的等边三角形摆放成如图形状，其中B ，D 分别为AC ，CE 的中点，N 为GD 与CF 的交点，则AN EG ⋅=u u u r u u u r______．11．已知球O 的半径为r ，则它的外切圆锥体积的最小值为__________.12．定义符号函数()()()()1,00,01,0x g x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩，若函数()()xf xg x e =⋅，则满足不等式()()233f a a f a +<+的实数a 的取值范围是__________．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:1O x y +=，()221:44O x y -+=，动点P在直线0x b -=上，过P 点分别作圆1,O O 的切线，切点分别为,A B ，若满足2PB PA =的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是________．14．已知函数()f α={}()a R f m α∈≥≠∅，则实数m 的取值范围为___________.15．如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，AB //CD ，CD AC ⊥，过CD 的平面分别与,PA PB 交于点,E F ．（1）求证：CD ⊥平面PAC ； （2）求证：//AB EF ．16．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin cos b C a C =cos c A +，23B π=，c =（1）求角C ；（2）若点E 满足2AE EC =u u u v u u u v，求BE 的长.17．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率e =2，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 过椭圆的右焦点F ，且2AF FB =，求直线l 方程．18．如图所示，某区有一块空地OAB ∆，其中4OA km =，OB =，AOB 90∠=o .当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖OMN ∆，其中,M N 都在边AB 上，且30MON ∠=o ，挖出的泥土堆放在OAM ∆地带上形成假山，剩下的OBN ∆地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在OAN ∆的周围安装防护网.（1）当2AM km =时，求防护网的总长度；（2）若要求挖人工湖用地OMN ∆的面积是堆假山用地OAM ∆倍，试确定AOM ∠的大小；（3）为节省投入资金，人工湖OMN ∆的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使OMN ∆的面积最小？最小面积是多少？ 19．设函数()()()12xxf x x e a e e=-+-，（1）当0a =时，求函数()f x 图象在1x =处的切线方程； （2）求()f x 的单调区间；（3）若不等式()0f x >对()2,x ∈+∞恒成立，求整数a 的最大值.20．对于*,n N ∀∈若数列{}n x 满足11,n n x x +->则称这个数列为“K 数列”.（1）已知数列1, 21,m m +是“K 数列”,求实数m 的取值范围;（2）是否存在首项为1-的等差数列{}n a 为“K 数列”,且其前n 项和n S 使得212n S n n <-恒成立?若存在,求出{}n a 的通项公式;若不存在,请说明理由;（3）已知各项均为正整数的等比数列{}n a 是“K 数列”,数列12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”,若1,1n n a b n +=+试判断数列{}n b 是否为“K 数列”,并说明理由.21．已知矩阵1002A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，1206B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵1A B -. 22．在极坐标系中，已知圆:C ρθ=和直线:()4l πθρ=∈R 相交于,A B 两点，求线段AB 的长.23．设2012()n r nr n q x a a x a x a x a x +=+++⋯++⋯+,其中*,q R n N ∈∈.（1）当1q =时,化简:1nrr a r =+∑; （2）当q n =时,记()010,2nn n r r n a a A B a =+==∑,试比较n A 与n B 的大小.24．一种新的验血技术可以提高血液检测效率.现某专业检测机构提取了(6)n n …份血液样本，其中只有1份呈阳性，并设计了如下混合检测方案：先随机对其中(3)n -份血液样本分别取样，然后再混合在一起进行检测，若检测结果为阴性，则对另外3份血液逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止；若检测结果呈阳性，测对这(3)n -份血液再逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止.（1）若6n =，求恰好经过3次检测而确定呈阳性的血液的事件概率；（2）若8n …，宜采用以上方案检测而确定呈阳性的血液所需次数为ξ， ①求ξ的概率分布； ②求E ξ.参考答案1．{}0,1 【解析】 【分析】先化简集合A ,再根据交集运算法则求出A B I . 【详解】因为()(){}120A x x x =+-<{}12x x =-<<,B Z =, 所以{}0,1A B =I , 故答案为:{}0,1. 【点睛】本题主要考查集合的交集运算,属于基础题. 2．2 【解析】 【分析】对复数z 进行化简，然后根据纯虚数的概念，得到a 的值. 【详解】复数()()12z a i i =++222a i ai i =+++()()221a a i =-++因为z 为纯虚数，所以20a -=,210a +≠ ，所以2a =. 故答案为：2 【点睛】本题考查复数的运算，根据复数的类型求参数的值，属于简单题. 3．38 【解析】 【分析】根据平均成绩求出a 的值，根据方差的计算公式求出这组数据的方差即可． 【详解】5Q 位学生的成绩如下：78、85、a 、82、69，他们的平均成绩为80， 78858269580a ∴++++=⨯，解得：86a =，2222221[(7880)(8580)(8680)(8280)(6980)]385s ∴=-+-+-+-+-=，则他们成绩的方差等于38. 故答案为：38． 【点睛】本题考查平均数和方差的定义，考查数据处理能力，求解时注意方差与标准差的区别. 4．34【解析】 【分析】由已知可得2240a ∆=-≥，解得1a ≤，可知当1,0,1a =-时满足要求，再根据古典概型概率公式求解. 【详解】Q 方程220x x a ++=有实根，2240a ∴∆=-≥，解得1a ≤ 1,0,1a ∴=-时满足要求，则方程220x x a ++=有实根的概率为34. 故答案为：34【点睛】本题考查了概率的计算，属于基础题. 5．1011【解析】由题设提供的算法流程图可知:1111101122310111111S =++⋅⋅⋅+=-=⨯⨯⨯，应填答案1011． 6．8 【解析】 【分析】 根据题意得出1ba=，然后将点()3,1的坐标代入双曲线的标准方程，可求出a 、b 的值，即可计算出双曲线的焦距. 【详解】双曲线的渐近线方程为b y x a =±，由题意可得1ba=，b a ∴=， 所以，双曲线的标准方程为22221x y a a-=，将点()3,1的坐标代入双曲线的标准方程得22911a a-=，得a b ==因此，双曲线的焦距为248=⨯=. 故答案为：4. 【点睛】本题考查双曲线焦距的计算，同时也考查了双曲线渐近线方程的求解，要结合题意得出a 、b 的值，考查运算求解能力，属于中等题.7．2 【解析】 【分析】等差数列的性质可得0q =，再结合155()5402a a S +⨯==求解即可.【详解】解：由等差数列{}n a 的前n 项和为()2*2,,n S pn n q p q R n N=-+∈∈，由等差数列的性质可得0q =， 又1a 与5a 的等差中项为8， 即1516a a +=，即155()5402a a S +⨯==，即251040p -=， 即2p =，即202p q +=+=， 故答案为：2. 【点睛】本题考查了等差数列的性质，重点考查了等差数列的前n 项和公式，属基础题. 8．{|1}m m ≤ 【解析】 【分析】由题意利用基本不等式可得4912x x+≥，即可得出m 的不等式5712m +≤，求解出m 的范围． 【详解】命题p 为真命题，即当0x >时，不等式4957x m x+≥+恒成立，又当0x >时，4912x x +≥=， 当且仅当49x x =，即23x =时，49x x+取得最小值12， 故5712m +≤，解得 1.m ≤ 故答案为：{|1}m m ≤ 【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数的范围，考查了不等式恒成立问题，考查了利用基本不等式求和的最小值，属于基础题． 9．[2,)+∞ 【解析】 【分析】首先求出函数的导数，依题意可得()2cos 0f x x a '=-≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，参变分离，根据余弦函数的性质求出参数的取值范围； 【详解】解：因为()2sin f x x ax =-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()2cos f x x a '=-， 因为函数()2sin f x x ax =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减， 所以()2cos 0f x x a '=-≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即2cos a x ≥在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立， 因为()2cos g x x =在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()max 02cos02g x g ===所以2a ≥，即[)2,a ∈+∞ 故答案为：[)2,+∞ 【点睛】本题考查根据函数的单调性求参数的取值范围，利用导数研究函数的单调性，属于中档题. 10．72-【解析】 【分析】根据等边三角形的性质、平面向量的线性运算，用,AB AH u u u r u u u r 分别表示出,AN EG u u u r u u u r，再求AN EG ⋅u u u r u u u r ．【详解】由已知得1222AN AB CN AB AH =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，3EG DE DG AB CH AB AH AC AB AH =-+=-+=-+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，所以221112(3)6||||222AN EG AB AH AB AH AB AB AH AH ⎛⎫⋅=+⋅-+=-+⋅+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r ．因为等边三角形的边长为2，所以221117611222222AN EG ⋅=-⨯+⨯⨯⨯+⨯=-u u u r u u u r ．故答案为：72- 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、平面向量的线性运算，数量积的运算，考查学生的运算求解能力. 11．383r π 【解析】 【分析】设出圆锥的高为h ，底面半径为R ，在截面中，由球O 与圆锥相切可设出底面和母线SB 的切点分别为C 和D ，接着由三角形的相似求得h 、R 、r 三者间的关系，然后将圆锥的体积表示成关于h 的函数，利用导函数求最值. 【详解】设圆锥的高为h ，底面半径为R ，在截面图中，SC h =，OC OD r ==，BC R =，根据圆锥与球相切可知，D 、C 均为球O 与外切圆锥的切点， 则2SCB SDO π∠=∠=又OSD BSC ∠=∠，SOD SBC ∴~V V ，BC SC OD SD∴=，即R r =，R ∴==，∴圆锥体积为2221()33(2)r h V h R h h r ππ==-，22(4)()3(2)r h h r V h h r π-'∴=-，令()0V h '=可得4h r =，则04h r <<时，()0V h '<；4h r >时，()0V h '>，()V h ∴在(0,4)r 单调递减，在(4,)r +∞单调递增， 则3min 8()(4)3V h V r r π==. 故答案为：383r π.【点睛】本题考查了球的外切问题，圆锥的体积公式，导函数的实际应用问题，难度较大.12．()3,1-【解析】【分析】【详解】分析：根据分段函数，利用指数函数的性质，得到函数()f x 在R 上是增函数，即可得到不等式233a a a +<+，即可求解．详解：由函数()()()()1,00,01,0x g x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩，得()()()(),00,0,0x x e x f x x e x -⎧>⎪==⎨⎪-<⎩， 根据指数的性质可得函数()f x 在R 上是增函数，又由()()233f a a f a +<+，则233a a a +<+，解得31a -<<． 点睛：本题考查了函数的单调性和函数不等式的求解问题，其中解答中函数的函数的单调性，转化为不等式233a a a +<+是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，对于解函数不等式：首先根据函数的单调性和奇偶性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，即可求解．13．20(,4)3-. 【解析】【分析】设出点的坐标，将原问题转化为直线与圆相交的问题，求解关于b 的不等式即可求得实数b 的取值范围.【详解】由题意O (0,0),O 1(4,0).设P (x ,y )，则∵PB =2P A ，=∴(x −4)2+y 2=4(x 2+y 2)，∴x 2+y 2+81633x -=0， 圆心坐标为4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭,半径为83， ∵动点P在直线x −b =0上，满足PB =2P A 的点P 有且只有两个，∴直线与圆x 2+y 2+81633x -=0相交，∴圆心到直线的距离83d =<， ∴4164163333b --<<-+， 即实数b 的取值范围是20,43⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查圆的方程及其应用，等价转化的数学思想，直线与圆是位置关系的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14．m ≤【解析】【分析】 设()cos ,sin P αα，()2,0Q -，10,2S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用同角的三角函数的基本关系式化简可得()f PQ PB α=-，利用线段差的几何意义可得实数m 的取值范围.【详解】== 设()cos ,sin P αα，()2,0Q -，10,2S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()f PQ PB α==-， 如图，PQ PB QB -≤，当且仅当,,P Q B 三点共线且B 在,P Q 之间时等号成立，又2QB ==，故()f α.因为集合{}()a R f m α∈≥≠∅，故()max 2m f α≤=，故2m ≤.故答案为：2m ≤.【点睛】本题考虑无理函数的最值，对于无理函数的最值问题，首选方法是利用导数求其单调性，其次可利用几何意义来求最值，本题属于难题.15．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】【详解】分析：（1）由PC ⊥平面ABCD 可得CD PC ⊥，结合CD AC ⊥可证CD ⊥平面PAC .（2）先由//CD AB 证明//CD 平面PAB ，从而得到//CD EF ，故//AB EF .详解：（1）证明:∵在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴CD PC ⊥，∵CD AC ⊥，PC AC C =I ，∴CD ⊥平面PAC .（2）∵//AB CD ，过CD 的平面分别与,PA PB 交于点,E F ，故平面CDEF I 平面PAB EF =又CD ⊄平面PAB ，AB Ì平面PAB ，∴//CD 平面PAB ，而CD ⊂平面CDEF ， ∴//CD EF∴//AB EF点睛： （1）线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.（2）线线平行的判定可以由线面平行得到，注意其中一条线是过另一条线的平面与已知平面的交线，也可以由面面平行得到，注意两条线是第三个平面与已知的两个平行平面的交线.16．（1）6C π=；（2）1BE = 【解析】【分析】（1）解法一：对条件中的式子利用正弦定理进行边化角，得到sin C 的值，从而得到角C 的大小；解法二：对对条件中的式子利用余弦定理进行角化边，得到sin C 的值，从而得到角C 的大小；解法三：利用射影定理相关内容进行求解.（2）解法一：在ABC V 中把边和角都解出来，然后在ABE △中利用余弦定理求解；解法二：在ABC V 中把边和角都解出来，然后在BCE V 中利用余弦定理求解；解法三：将BEu u u r用,BA BC u u u r u u u r 表示，平方后求出BE u u u r 的模长.【详解】（1）【解法一】由题设及正弦定理得2sin sin sin cos sin cos B C A C C A =+，又()()sin cos sin cos sin sin sin A C C A A C B B π+=+=-=，所以2sin sin sin B C B =.由于sin 0B =≠，则1sin 2C =. 又因为03C π<<， 所以6C π=.【解法二】 由题设及余弦定理可得2222222sin 22a b c b c a b C a c ab bc+-+-=+， 化简得2sin b C b =.因为0b >，所以1sin 2C =. 又因为03C π<<， 所以6C π=.【解法三】由题设2sin cos cos b C a C c A =+，结合射影定理cos cos b a C c A =+，化简可得2sin b C b =.因为0b >.所以1sin 2C =. 又因为03C π<<， 所以6C π=.（2）【解法1】由正弦定理易知sin sin b c B C==3b =. 又因为2AE EC =u u u v u u u v ，所以2233AE AC b ==，即2AE =.在ABC ∆中，因为23B π=，6C π=，所以6A π=， 所以在ABE ∆中，6A π=，AB =2AE =由余弦定理得1BE ===， 所以1BE =.【解法2】 在ABC ∆中，因为23B π=，6C π=，所以6A π=，a c ==. 由余弦定理得3b ==. 因为2AE EC =u u u v u u u v，所以113EC AC ==. 在BCE ∆中，6C π=，BC =1CE = 由余弦定理得1BE === 所以1BE =.【解法3】 在ABC∆中，因为23B π=，6C π=，所以6A π=，a c ==. 因为2AE EC =u u u v u u u v ，所以1233BE BA BC =+u uu v u u uv u u u v . 则()()22221111||2|44|344319992BE BA BC BA BA BC BC ⎛⎫=+=+⋅+=-+⨯= ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v所以1BE =.【点睛】本题主要考察利用正余弦定理解三角形问题，方法较多，难度不大，属于简单题. 17．（1）22132x y +=；（20y ±=． 【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率和焦距确定基本量，从而得到椭圆的方程；（2）设出直线的待定系数方程，与椭圆方程联立，根据线段长度关系得到点的纵坐标的关系求解．【详解】解：（1）设椭圆的焦距为2c ，则由221c c =⇒=，则c a b a =⇒=⇒= 22:132x y C ∴+=； （2）当直线l 为0y =时，1,1AF a c FB a c =+==-=， 不满足2AF FB =；所以设直线l ：1x ty =+，联立()2222123440236x ty t y ty x y =+⎧⇒++-=⎨+=⎩， 设()()1122,,,A x y B x y ， 则12122244,2323t y y y y t t --+=⋅=++， 又()2221211222112245123242223t y y y y y t y y y y y t -⎛⎫ ⎪++⎝⎭=-⇒+=-⇒==--+, 212t t ∴=⇒= 故直线l：1x y =+0y ±=． 【点睛】 本题考查椭圆的概念与性质、直线与椭圆的位置关系，考查考生的推理论证能力和运算求解能力，函数与方程思想，是中档题．18．（1）12km （2）15︒（3）当且仅当15θ=︒时，OMN ∆的面积取最小值为24-2km【解析】【分析】（1）根据题意可得60OAB ∠=︒，在AOM ∆中，利用余弦定理求出OM =，从而可得222OM AM OA +=，即OM AN ⊥，进而可得OAN ∆为正三角形，即求解.（2）设(060)AOM θθ∠=︒<<︒，利用三角形的面积公式ON θ=，在OAN ∆中，利用正弦定理可得cos ON θ=，从而cos θθ=，即1sin22θ=，即求解.（3）设(060)AOM θθ∠=︒<<︒，由（2）知cos ON θ=，在AOM ∠中，利用正弦定理可得OM =，利用三角形的面积公式可得()1sin302sin c s 360o OMN S OM ON θθ∆=⋅⋅︒=+︒，再利用二倍角公式以及辅助角公式结合三角函数的性质即可求解.【详解】（1）Q 在OAB ∆中，4OA =，OB =90AOB ∠=︒，60OAB ∴∠=︒在AOM ∆中，4,2,60OA AM OAM ==∠=︒，由余弦定理，得OM =，222OM AM OA ∴+=，即OM AN ⊥，30AOM ∴∠=︒，OAN ∴∆为正三角形，所以OAN ∆的周长为12，即防护网的总长度为12km .（2）设(060)AOM θθ∠=︒<<︒，OMN OAM S ∆∆Q ，11sin30sin 22ON OM OA OM θ∴⋅︒=⋅，即ON θ=，在OAN ∆中，由()04sin60cos sin 1806030ON OA θθ==︒--︒-︒，得ON =从而cos θθ=，即1sin22θ=，由02120θ︒<<︒， 得230θ=︒，15θ∴=︒，即AOM ∠15=︒.（3）设(060)AOM θθ∠=︒<<︒，由（2）知ON = 又在AOM ∠中，由()sin60sin 60OM OA θ=︒+︒，得OM =， ()1sin302sin 60cos 3OMN S OM ON θθ∆∴=⋅⋅︒=+︒== ∴当且仅当26090θ+︒=︒，即15θ=︒时，OMN ∆的面积取最小值为24-2km .【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理在实际中的应用，三角形的面积公式以及三角恒等变换、三角函数的性质，属于中档题.19．（1）(1)y e x =-；（2）单调递增区间是(),a +∞，单调递减区间是(),a -∞；（3）2【解析】【分析】（1）当0a =时，可得()()1x f x x e =-，()x f x xe '=，求出()1f ，()1f '，即可求出切线方程；（2）求出()()x x xf x xe ae x a e '=-=-，求出极值点，利用导函数的符号，判断函数的单调性即可；（3）当()2,x ∈+∞时，不等式()0f x >恒成立，即：()()120x x x e a e e -+->恒成立，等价于当()2,x ∈+∞时，()12x x x e a e e ->-恒成立；即()min 12x x x e a e e ⎡⎤->⎢⎥-⎣⎦对()2,x ∈+∞恒成立，令()()12x x x e g x e e -=-，根据导数求其最值，即可求得答案.【详解】 （1）当0a =时，可得()()1xf x x e =-， ∴()x f x xe '=，可得：()10f =，()1f e '=∴所求切线方程为(1)y e x =-（2）Q ()()()12x x f x x e a e e =-+-∴()()x x x f x xe ae x a e '=-=-.令()0f x '=，则x a =.当(),x a ∈-∞时，()0f x '<；当(),x a ∈+∞时，()0f x '>；∴()f x 的单调递增区间是(),a +∞，单调递减区间是(),a -∞. （3）当()2,x ∈+∞时，不等式()0f x >恒成立 即：()()120x x x e a e e -+->恒成立，等价于当()2,x ∈+∞时，()12x x x e a e e ->-恒成立；即()min12x x x e a e e ⎡⎤->⎢⎥-⎣⎦对()2,x ∈+∞恒成立. 令()()12x x x e g x e e -=-，()2,x ∈+∞，()()()222x x xe e ex g x ee -'=-，令()2xh x e ex =-，()2,x ∈+∞，()20x h x e e '=->，∴()2x h x e ex =-在()2,+∞上单调递增.又Q ()2240h e e =-<，()3360h e e =->，∴()g x '在()2,3上有唯一零点0x ，且002x e ex =，()02,3x ∈ ∴()g x 在()02,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， ∴()()()()()000000min01122,3222x x x e x ex g x g x xe eex e--====∈--，∴()02,3a x <∈，故整数a 的最大值为2. 【点睛】本题主要考查了根据导数求函数单调区间和根据不等式恒成立求参数值，解题关键是掌握根据导数求函数单调区间的方法和构造函数求最值的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于难题.20．（1）2m >；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】试题分析：（1）根据题目中所定义的“K 数列”，只需()()2111,11,m m m +->-+>同时满足，解不等式可解m 范围．（2）由题意可知，若存在只需等差数列的公差1d >，即()12n n n S n d -=-+<212n n -,代入n=1,n>1,矛盾．（3）设数列{}n a 的公比为,q 则11n n a a q -=，*n a N ∈，满足“K 数列”，即()1110,n n n n n a a a q a a q --=-=->>只需最小项211,a a ->即()1111,?2n a q a ⎧⎫->⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”,且211122a a -为最小项, 所以21111,22a a -≤即()112a q -≤,所以只能()112,a q -=只有解11,3a q ==或12, 2.a q ==分两类讨论数列{}n b ．试题解析：（Ⅰ）由题意得()111,m +->()211,m m -+>解得2,m >所以实数m 的取值范围是 2.m >（Ⅱ假设存在等差数列{}n a 符合要求,设公差为,d 则1,d >由11,a =-得()1,2n n n S n d -=-+由题意,得()21122n n n d n n --+<-对*n N ∈均成立,即()1.n d n -< ①当1n =时,;d R ∈ ②当1n >时,,1n d n <- 因为111,11n n n =+>-- 所以1,d ≤与1d >矛盾, 所以这样的等差数列不存在.（Ⅲ）设数列{}n a 的公比为,q 则11,n n a a q -=因为{}n a 的每一项均为正整数,且()1110,n n n n n a a a q a a q --=-=->> 所以在{}1n n a a --中,“21a a -”为最小项.同理,11122n n a a -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭中,“211122a a -”为最小项.由{}n a 为“K 数列”,只需211,a a ->即()111,a q ->又因为12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”,且211122a a -为最小项, 所以21111,22a a -≤即()112a q -≤, 由数列{}n a 的每一项均为正整数,可得()112,a q -= 所以11,3a q ==或12, 2.a q ==①当11,3a q ==时,13,n n a -=则3,1nn b n =+令()*1,n n n c b b n N+=-∈则()()133213,2112n n n n n c n n n n ++=-=⋅++++又()()()()12321332312n n n n n n n n +++⋅-⋅++++()()234860,213n n n n n n ++=⋅>+++ 所以{}n c 为递增数列,即121,n n n c c c c -->>>⋅⋅⋅> 所以213331,22b b -=-=> 所以对于任意的*,n N ∈都有11,n n b b +->即数列{}n b 为“K 数列”.②当12,2a q ==时,2,nn a =则12.1n n b n +=+因为2121,3b b -=≤ 所以数列{}n b 不是“K 数列”.综上:当11,3a q ==时,数列{}n b 为“K 数列”,当12,2a q ==时,2,nn a =数列{}n b 不是“K 数列”.【点睛】对于新定义的题型一定要紧扣题目中的定义并进行合理的转化，这是解决此类的问题的关键．另外题中有整数条件时一般都能通过因式分解，或夹逼在方程个数小于变量个数时，解出部分甚至全部参数．21．1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】先求出矩阵A 的逆矩阵1A -，再矩阵的乘法求出1A B -的乘积. 【详解】设矩阵A 的逆矩阵为a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.则10100201a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 即1010220101a b c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12. 从而A 的逆矩阵为110102A --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦.所以11012121060302A B --⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.【点睛】本题考查求矩阵的逆矩阵和矩阵的乘法，属于基础题. 22．2 【解析】分析：ρθ=两边同乘以ρ，利用222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== 即可得圆的直角坐标方程，直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线距离公式以及勾股定理可得结果.详解：圆C：ρθ=直角坐标方程为220x y +-=，即(222x y -+=直线l ：()4R πθρ=∈的直角坐标方程为y x =圆心C 到直线l的距离1d ==所以AB =2=,点睛：利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222tan x y y xρθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．23．（1）1211n n +-+（2）答案见解析【解析】 【分析】（1）当1q =时,r r na C =,因为1!!11!()!(1)!()r n C n n r r r n r r n r =⋅=++-+-,结合已知,即可求得答案;（2）当q n =时,r n r r n a C n -=,可得1n n A n +=,令1x =,得(1)n n B n =+,故当1,2n =时,1(1)n n nn +<+, 当3n ≥时,1(1)n nnn +>+化简可得:11+nn n ⎛⎫> ⎪⎝⎭, 利用数学归纳法证明,即可求得答案; 【详解】（1）当1q =时,rr n a C =1!!11!()!(1)!()r n C n n r r r n r r n r =⋅=++-+-Q 111(1)!11(1)!()!1r n n C n r n r n +++=⋅=⋅++-+,其中0,1,2,,r n ⋯＝, ∴原式＝()11231111112111n n n n n n C C C C n n ++++++-++⋯+=++ （2）当q n =时,r n rr n a C n -=01,n n a n a n ∴==, 1n n A n +∴=令1x =,得(1)nn B n =+当1,2n =时,1(1)n n n n +<+;当3n ≥时,1(1)n n nn +>+,即(1)nnn n n ⋅>+,可得:(1)111+nnn nn n n n n n ++⎛⎫⎛⎫>== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 下面用数学归纳法证明:当3n ≥时,11+nn n ⎛⎫> ⎪⎝⎭——(☆)①当3n =时,316431327⎛⎫>+= ⎪⎝⎭, (☆)成立．②假设3n k =≥时,(☆)式成立,即11kk k ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭则1n k =+时,(☆)式右边1111111111k kk k k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111kk k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++<+⋅=+<+ ⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭故当1n k =+时,(☆)式也成立．综上①②知,当3n ≥时,11+nn n ⎛⎫> ⎪⎝⎭ ∴当1,2n =时,n n A B <;当3n ≥时,n n A B >.【点睛】解题关键是掌握对于研究与自然数相关组合数的问题,通常有三种处理方法:一是应用数学归纳法来加以研究;二是应用组合数的相关性质来加以研究;三是转化为函数问题来加以研究,考查了分析能力和计算能力,属于难题.24．（1）23（2）①详见解析②23142n n n-+【解析】 【分析】（1）不论第一次检测结果如何，都要对含有2阴1阳得血液样本进行逐一检测，故第2次和第3次检测的都是阴性或者第2次检测的是阴性，第3次检测的是阳性，根据组合数公式和古典概型的概率公式计算概率；（2）根据组合数公式和古典概型的概率公式依次计算2ξ=，3，4，⋯，3n -的概率，得出分布列和数学期望． 【详解】解：（1）在6n =时，恰好在第三次时检测出呈阳性血液，说明其中三份血液中的其中一份呈阳性，并且对含阳性血液的一组进行检测时，前两次检测出血液为阴性，或第一次为阴性第二次为阳性.32111521213211163132223C C C C C P C C C C C ⎛⎫=⋅+⋅= ⎪⎝⎭（2）①在8n ≥时，313111113131332(2)n n n n n n n C C C C P C C C C n ξ-----==⋅+⋅=211111311112121141311113113232343(3)n n n n n n n C C C C C C C C C P C C C C C C C C n ξ-----⎛⎫==⋅++⋅= ⎪⎝⎭ 321141321351(4)n n n n n C C C P C C C n ξ----==⋅=⋅同理，当44k n ≤≤-时，3211413213(3)(2)1()k n n k n n n k C C C P k C C C n ξ--------⋅==⋅= 341141341312(3)2n n n n n n C C C P k C C C nξ-----=-=⋅⋅=ξ∴的分布列为：②2311122345(4)(3)E n n n n n n n nξ=⋅+⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅+-⋅ 23142n n n-+=【点睛】本题考查了离散型随机变量的概率计算，离散型随机变量及其分布列与期望的计算，属于中档题．。

2020届江苏省盐城中学高三下学期阶段检测数学试卷★祝考试顺利★(解析版)一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分,请把答案填写在答题卡相应位置上．1.已知集合{}1,2A =,{}2,3B a a =+,若A B={1}⋂则实数a 的值为________ 【答案】1【解析】由题意1B ∈,显然233a +≥,所以1a =,此时234a +=,满足题意,故答案为1．点睛:（1）认清元素的属性．解决集合问题时,认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时,要注意检验集合中元素的互异性,否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,A B A B ⋂=∅⊆等集合问题时,往往容易忽略空集的情况,一定要先考虑∅时是否成立,以防漏解．2.若复数z 满足()1234z i i +=-+（i 是虚数单位）,则复数z 的实部是______.【答案】1【解析】通过复数方程,两边同乘1-2i ,然后求出复数z 即可．【详解】因复数z 满足(1+2i )z =−3+4i ,所以(1−2i )(1+2i )z =(−3+4i )(1−2i ),即5z =5+10i ,所以z =1+2i ,实部为1.故答案为：1.3.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S 的值为________．【答案】8分析：先判断6I <是否成立,若成立,再计算I S ，,若不成立,结束循环,输出结果.详解：由伪代码可得3,2;5,4;7,8I S I S I S ======,因为76>,所以结束循环,输出8.S =4.如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图,则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为______.【答案】345 【解析】根据茎叶图中的数据求出甲、乙二人的平均数,再根据方差的定义得出乙的方差较小,求出乙的方差即可．【详解】解：根据茎叶图中的数据,计算甲的平均数为11(7791418)115x =⨯++++=, 乙的平均数为21(89101315)115x =⨯++++=；根据茎叶图中的数据知乙的成绩波动性小,较为稳定（方差较小）, 计算乙成绩的方差为：222222134[(811)(911)(1011)(1311)(1511)]55s =⨯-+-+-+-+-=． 故答案为：345． 5.从0、2中选一个数字.从1、3、5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中无重复的个数为______________.【答案】30.。

2020届江苏省南京市、盐城市高三下学期第二次模拟考试数学试题一、填空题1．已知集合{}|21,A x x k k Z ==+∈，(){}|50B x x x =-<，则A B =I _____________.【答案】{}1,3【解析】由集合A 和集合B 求出交集即可. 【详解】解：Q 集合{}|21,A x x k k Z ==+∈，(){}|50B x x x =-<，∴{}13A B ⋂=，.故答案为：{}1,3. 【点睛】本题考查了交集及其运算，属于基础题.2．已知复数12z i =+，其中i 为虚数单位，则2z 的模为_______________. 【答案】5【解析】利用复数模的计算公式求解即可. 【详解】解：由12z i =+，得()221234z i i =+=-+，所以25z ==.故答案为：5. 【点睛】本题考查复数模的求法，属于基础题.3．如图是一个算法流程图，若输出的实数y 的值为1-，则输入的实数x 的值为______________.【答案】14-【解析】根据程序框图得到程序功能，结合分段函数进行计算即可. 【详解】解：程序的功能是计算()2log 21,02,0x x x y x ⎧+≤=⎨>⎩，若输出的实数y 的值为1-，则当0x ≤时，由()2log 211x +=-得14x =-，当0x >时，由21x =-，此时无解. 故答案为：14-. 【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，理解程序功能是解决本题的关键，属于基础题. 4．某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据（单位：个），并绘制了如下频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有_____________个．【答案】325【解析】根据数据先求出0.02x =，再求出1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生人数即可. 【详解】解：Q ()0.0150.0350.01101x x ++++⋅=，∴0.02x =.则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生人数为()10.0150.021*******-+⋅⋅=⎡⎤⎣⎦.故答案为：325. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图，属于基础题.5．从编号为1，2，3，4的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为_____________. 【答案】12【解析】基本事件总数4416n =⨯=，第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个，由此能求出概率. 【详解】解：从编号为1，2，3，4的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张， 基本事件总数4416n =⨯=，第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个，分别为：()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()2,2，()2,4，()3,3，()4,4.所以第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为81162P ==. 故答案为12.【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，属于基础题.6．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且周期为2，当(]0,1x ∈时，()3af x x =+，则()f a 的值为___________________． 【答案】0【解析】由题意可得：(),0130,0,103a x x f x x ax x ⎧+<≤⎪⎪==⎨⎪⎪--≤<⎩，周期为2，可得()()11f f =-，可求出0a =，最后再求()f a 的值即可. 【详解】解：Q 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴(),0130,0,103a x x f x x ax x ⎧+<≤⎪⎪==⎨⎪⎪--≤<⎩.由周期为2，可知()()11f f =-，∴1133a a+=-，∴0a =. ∴()()00f a f ==.故答案为：0. 【点睛】本题主要考查函数的基本性质，属于基础题.7．若将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象沿x 轴向右平移()0ϕϕ>个单位后所得的图象与()f x 的图象关于x 轴对称，则ϕ的最小值为________________. 【答案】2π【解析】由题意利用函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，三角函数的图像的对称性，求得ϕ的最小值. 【详解】解：将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象沿x 轴向右平移()0ϕϕ>个单位长度，可得 ()sin 2sin 2233y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象.根据图象与()f x 的图象关于x 轴对称，可得si s n in 22323x x πϕπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎭，∴()221k ϕπ-=+，k Z ∈，即1k =-时，ϕ的最小值为2π. 故答案为：2π. 【点睛】本题主要考查函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数图像的对称性，属于基础题.8．在ABC V 中，25AB =，5AC =，90BAC ∠=︒，则ABC V 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为______________. 【答案】65π【解析】由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥侧面积S rl π=计算公式可得.【详解】解：由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起， 在ABC V 中，25AB =，5AC =，90BAC ∠=︒，如下图所示，底面圆的半径为()()222552255r AD ⋅===+，则所形成的几何体的表面积为()()12225565S r l l πππ=+=⨯⨯+=.故答案为：65π. 【点睛】本题考查旋转体的表面积计算问题，属于基础题.9．已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，满足{}{}{}123123,,,,,,2a a a b b b a b ==-，其中0a >，0b >，则+a b 的值为_______________．【答案】5【解析】根据题意，判断出22b =-，根据等比数列的性质可得()2221324b b b ==-=，再令数列{}n a 中的12a =-，2a a =，3a b =，根据等差数列的性质，列出等式22a b =-+，求出a 和b 的值即可.【详解】解：由{}{}{}123123,,,,,,2a a a b b b a b ==-，其中0a >，0b >，可得22b =-，则()2221324b b b ==-=，令1b a =，3b b =，可得4ab =.①又令数列{}n a 中的12a =-，2a a =，3a b =， 根据等差数列的性质，可得2132a a a =+， 所以22a b =-+.② 根据①②得出1a =，4b =. 所以5a b +=. 故答案为5. 【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的性质，属于基础题.10．已知点P 是抛物线24x y =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()0,1-，则PFPA的最小值为______________．【答案】2【解析】过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得PM PF =， 则sin PF PM PAM PA PA==∠，PAM ∠为锐角.故当PA 和抛物线相切时，PFPA 的值最小.再利用直线的斜率公式、导数的几何意义求得切点的坐标，从而求得PFPA的最小值. 【详解】解：由题意可得，抛物线24x y =的焦点()0,1F ，准线方程为1y =-，过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得PM PF =， 则sin PF PMPAM PA PA==∠，PAM ∠为锐角.故当PAM ∠最小时，PFPA的值最小. 设切点()2,P a a ，由214y x =的导数为12y x '=，则PA 的斜率为1222a a a⋅==， 求得1a =，可得()2,1P ，∴2PM =，22PA =， ∴2sin PM PAM PA ∠==.2. 【点睛】本题考查抛物线的定义，性质的简单应用，直线的斜率公式，导数的几何意义，属于中档题.11．已知x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，则x y +的最小值为________________. 【答案】8【解析】由x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，可知4x ≠-，于是2414x y x -+=+，可得()241494644x x y x x x x -++=+=++-++，再利用基本不等式即可得出结果.【详解】解：Q x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，可知4x ≠-，∴2414x y x -+=+，∴()24149466844x x y x x x x -++=+=++-≥=++. 当且仅当3x =时取等号.∴x y +的最小值为8.故答案为：8. 【点睛】本题考查了基本不等式的性质应用，恰当变形是解题的关键，属于中档题.12．在平面直角坐标系xOy 中，圆()()222:0C x m y r m -+=>.已知过原点O 且相互垂直的两条直线1l 和2l ，其中1l 与圆C 相交于A ，B 两点，2l 与圆C 相切于点D .若AB OD =，则直线1l 的斜率为_____________.【答案】 【解析】设1l ：0kx y -=，2l ：0x ky +=，利用点到直线的距离，列出式子r =⎪=⎪⎩，求出k 的值即可. 【详解】解：由圆()()222:0C x m y r m -+=>，可知圆心(),0C m ，半径为r .设直线1l ：0kx y -=，则2l ：0x ky +=，圆心(),0C m 到直线1l，OD =Q AB OD=∴AB =圆心(),0C m 到直线2l r =，并根据垂径定理的应用，可列式得到r =⎪=⎪⎩，解得k =.故答案为：5±. 【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的运用，并结合圆的方程，垂径定理的基本知识，属于中档题.13．在ABC V 中，BC 为定长，23AB AC BC +=u u u r u u u r u u u r，若ABC V 的面积的最大值为2，则边BC 的长为____________． 【答案】2【解析】设BC a =，以B 为原点，BC 为x 轴建系，则()0,0B ，(),0C a ，设(),A x y ，0y ≠，()223,33AB AC a x y a +=--=u u u r u u u r，利用求向量模的公式，可得22223a x y a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭()0y ≠，根据三角形面积公式进一步求出a 的值即为所求.【详解】解：设BC a =，以B 为原点，BC 为x 轴建系，则()0,0B ，(),0C a ，设(),A x y ，0y ≠，则()223,33AB AC a x y a +=--==u u u r u u u r，即22223a x y a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭()0y ≠， 由12ABCS BC y =⋅V ，可得2222a a y ≤=. 则2BC a ==. 故答案为：2. 【点睛】本题考查向量模的计算，建系是关键，属于难题.14．函数()xf x e x b =--（e 为自然对数的底数，b R ∈），若函数()()12g x f f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭恰有4个零点，则实数b 的取值范围为__________________.【答案】11,ln 22⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】令()12f x t -=，则()0f t =，()12f x t =+恰有四个解.由()1x f x e '=-判断函数增减性，求出最小值，列出相应不等式求解得出b 的取值范围. 【详解】 解：令()12f x t -=，则()0f t =，()12f x t =+恰有四个解. ()0f t =有两个解，由()1x f x e '=-，可得()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，则()()min 010f x f b ==-<，可得1b >. 设()0f t =的负根为m ， 由题意知，112m b +>-，12m b >-， 102f b ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则12102b e -->， ∴1ln 22b <+. ∴11,ln 22b ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭故答案为：11,ln 22⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查导数在函数当中的应用，属于难题.二、解答题15．如图，三棱锥P ABC -中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ．()1求证：//AC 平面PDE ； ()2若2PD AC ==，3PE =PBC ⊥平面ABC .【答案】()1证明见解析；()2证明见解析. 【解析】()1利用线面平行的判定定理求证即可；()2D 为AB 中点，E 为BC 中点，可得112DE AC ==，2PD =，3PE =222PD PE DE =+，故PDE △为直角三角形，PE DE ⊥，利用面面垂直的判定定理求证即可. 【详解】解： ()1证明：Q D 为AB 中点，E 为BC 中点，∴//AC DE ，又Q AC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，∴//AC 平面PDE ；()2证明：Q D 为AB 中点，E 为BC 中点，∴112DE AC ==，又2PD =，3PE = 则222PD PE DE =+，故PDE △为直角三角形，PE DE ⊥，Q 平面PDE ⊥平面ABC ，平面PDE I 平面ABC DE =，PE DE ⊥，PE ⊂平面PDE ，∴PE ⊥平面ABC ，又∵PE ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面ABC .【点睛】本题考查线面平行和面面垂直的判定定理的应用，属于基础题.16．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a b C c B =+．()1求B 的值；()2设BAC ∠的平分线AD 与边BC 交于点D ，已知177AD =，7cos 25A =-，求b 的值.【答案】()14B π=；()2sin sin AD ADCb C∠=.【解析】()1利用正弦定理化简求值即可；()2利用两角和差的正弦函数的化简公式，结合正弦定理求出b 的值.【详解】解：()1cos sin a b C c B -=，由正弦定理得：sin sin cos sin sin A B C C B -=，()sin sin cos sin sin B C B C C B π---=， ()sin sin cos sin sin B C B C C B +-=，sin cos sin cos sin cos sin sin B C C B B C C B +-=， sinCcos sin sin B C B =，又B ，C 为三角形内角，故sin 0B >，sin 0C >， 则cos sin 0B B =>，故tan 1B =，4B π=；（2）AD 平分BAC ∠，设BAD CAD x ∠=∠=，则()20,A x π=∈,0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,27cos cos 22cos 125A x x ==-=-，3cos 5x =，则4sin 5x ==，24sin 25A ==，又4B π=，则333sin sin sin cos cos sin 44450C A A A πππ⎛⎫=---=⎪⎝⎭()sin sin sin sin cos cos sin 444ADC B x x x x πππ⎛⎫∠=+=+=+=⎪⎝⎭在ACD V 中，由正弦定理：sin sin b AD ADC C =∠，sin sin AD ADCb C∠=. 【点睛】本题考查正弦定理和两角和差的正弦函数的化简公式，二倍角公式，考查运算能力，属于基础题.17．如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米，为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ，湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上.沿圆C 的优弧（圆C 上实线部分）上再修建栈道»DE.记CBD ∠为θ.()1用θ表示栈道的总长度()f θ，并确定sin θ的取值范围； ()2求当θ为何值时，栈道总长度最短.【答案】()1()1232sin tan f θπθθθ=-+++，1sin ,13θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；()2当3πθ=时，栈道总长度最短.【解析】()1连CD ，CE ，由切线长定理知：1tan tan CD BE BD θθ===，1sin sin CD BC θθ==，130sin AB AC BC θ=-=-≥，1sin 3θ≥，即01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()1232sin tan fθπθθθ=-+++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，进而确定sin θ的取值范围； ()2根据()12cos 23sin f θθθπθ-=-++求导得()()2cos 2cos 1sin f θθθθ--'=，利用增减性算出()min 533f πθ=+，进而求θ得取值. 【详解】解：()1连CD ，CE ，由切线长定理知：1tan tan CD BE BD θθ===，1sin sin CD BC θθ==， CBE CBD θ∠=∠=，又CD BD ⊥，CE BE ⊥，故2DCE πθ∠=-， 则劣弧»DE的长为2πθ-，因此，优弧»DE 的长为2πθ+， 又3AC =，故130sin AB AC BC θ=-=-≥，1sin 3θ≥，即01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，()1232sin tan fθπθθθ=-+++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则1sin ,13θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭； ()2()12cos 23sin f θθθπθ-=-++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，其中01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()2cos 2cos 1sin f θθθθ--'=故3πθ=时，()min 533f πθ=+ 所以当3πθ=时，栈道总长度最短.【点睛】本题主要考查导数在函数当中的应用，属于中档题.18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且过点()0,3.()1求椭圆C 的方程；()2已知BMN △是椭圆C 的内接三角形，①若点B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为BMN △的垂心，求线段MN 的长； ②若原点O 为BMN △的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值.【答案】()122143x y +=；()24333【解析】()1根据题意列出方程组求解即可；()2①由原点O 为BMN △的垂心可得BO MN ⊥，//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443x y =-，根据·=0BM ON u u u ru u u u r 求出线段MN 的长；②设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1212,A x x y y ++，当MN 斜率不存在时，则O 到直线MN 的距离为1，()()221212434460kx x mk x x m +++++=，由223412y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，则()2224384120k x mkx m +++-=，122843mk x x k -+=+，212241243m x x k -=+，得出22443m k =+，根据d ===. 【详解】解：()1设焦距为2c，由题意知：22212b b ac c a ⎧⎪=⎪=-⎨⎪⎪=⎩，22431a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩因此，椭圆C 的方程为：22143x y +=；()2①由题意知：BO MN ⊥，故//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443x y =-，2227·403BM ON x y y =-+=-=u u u u u u r u r，解得：y =7-，B ，M不重合，故y =213249x =，故2MN x ==；②设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，当MN 斜率不存在时，则O 到直线MN 的距离为1；设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1212,A x x y y ++()()222222121211221434343x x y y x y x y+++=+=+=，1212346x x y y +=-()()1212346x x kx m kx m +++=-()()221212434460kx x mk x x m +++++=223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，则()2224384120k x mkx m +++-= ()2248430k m∆=+->，x =则：122843mk x x k -+=+，212241243m x x k -=+，代入式子得： 22223286043m k m k --=+，22443m k =+设O 到直线MN 的距离为d，则d ===0k =时，min d =综上，原点O 到直线MN距离的最小值为2. 【点睛】本题考查椭圆的方程的知识点，结合运用向量，韦达定理和点到直线的距离的知识，属于难题.19．已知函数()()3216f x x x a x =---，()ln g x a x =，a R ∈.函数()()()f x h x g x x=-的导函数()h x '在5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在零点. ()1求实数a 的取值范围；()2若存在实数a ，当[]0,x b ∈时，函数()f x 在0x =时取得最大值，求正实数b 的最大值；()3若直线l 与曲线()y f x =和()y g x =都相切，且l 在y 轴上的截距为12-，求实数a 的值.【答案】()1[]10,28；()24；()312.【解析】()1由题意可知，()2ln 16h x x x a x a =---+，求导函数()h x '，方程220x x a --=在区间5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实数解，求出实数a 的取值范围；()2由()()3216f x x x a x =---，则()23216f x x x a =--+'，分步讨论，并利用导函数在函数的单调性的研究，得出正实数b 的最大值；()3设直线l 与曲线()y f x =的切点为()()321111,16x x x a x ---，因为()()23216f x x x a =---'，所以切线斜率()2113216k x x a =---，切线方程为()2412y a x =--，设直线l 与曲线()y g x =的切点为()22,ln x a x ，因为()ag x x'=，所以切线斜率2a k x =，即切线方程为()222ln ay x x a x x =-+， 整理得22ln a y x a x a x =+-.所以2224ln 12aa x a x a ⎧=-⎪⎨⎪-=-⎩，求得257x ≥，设()115ln 227G x x x x ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，则()221121022x G x x x x-=-=>'， 所以()G x 在5,7⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，最后求出实数a 的值. 【详解】()1由题意可知，()2ln 16h x x x a x a =---+，则()2221a x x ah x x x x--'=--=， 即方程220x x a --=在区间5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实数解，解得[]10,28a ∈；()2因为()()3216f x x x a x =---，则()23216f x x x a =--+'，①当()412160a ∆=--+≤，即47103a ≤≤时，()0f x '≥恒成立， 所以()f x 在[]0,b 上单调递增，不符题意； ②当47163a <<时，令()232160f x x x a =--+='， 解得：13x ==，当10,3x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以不存在0b >，使得()f x 在[]0,b 上的最大值为()0f ，不符题意； ③当1628a ≤≤时，()232160f x x x a =--+='，解得：10x=<，20x =>且当()20,x x ∈时，()0f x '<，当()2,x x ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在()20,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，若20b x <≤，则()f x 在[]0,b 上单调递减，所以()()max 0f x f =，若2b x >，则()()20,f x x 上单调递减，在()2,x b 上单调递增， 由题意可知，()()0f b f ≤，即()32160b b a b ---≤，整理得216b b a -≤-，因为存在[]16,28a ∈，符合上式，所以212b b -≤，解得04b <≤， 综上，b 的最大值为4；()3设直线l 与曲线()y f x =的切点为()()321111,16x x x a x ---，因为()()23216f x x x a =---'，所以切线斜率()2113216k x x a =---，即切线方程()()()232111111321616y x x a x x x x a x ⎡⎤=----+---⎣⎦整理得：()232111132162y x x a x x x ⎡⎤=----+⎣⎦由题意可知，3211212x x -+=-，即32112120x x --=，即()()211122360x x x -++=，解得12x =所以切线方程为()2412y a x =--，设直线l 与曲线()y g x =的切点为()22,ln x a x ， 因为()a g x x '=，所以切线斜率2a k x =，即切线方程为()222ln a y x x a x x =-+， 整理得22ln ay x a x a x =+-. 所以2224ln 12aa x a x a ⎧=-⎪⎨⎪-=-⎩，消去a ，整理得2211ln 022x x +-=， 且因为[]()22410,28aa a x =-∈，解得257x ≥， 设()115ln 227G x x x x ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，则()221121022x G x x x x -=-=>'， 所以()G x 在5,7⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，因为()10G =，所以21x =，所以24a a =-，即12a =. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的研究，导数的几何意义，属于难题. 20．已知矩阵1221M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦MN . ()1求矩阵N ； ()2求矩阵N 的特征值.【答案】()112332133N ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦；()2113λ=，21λ=-. 【解析】()1由题意，可得a b N c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，利用矩阵的知识求解即可.()2矩阵N 的特征多项式为()21439f λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令()0f λ=，求出矩阵N 的特征值. 【详解】()1设矩阵a b N c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则122210212201a b a c b d MN c d a c b d ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以21202021a c b d a c b d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得13a =-，23b =，23c =，13d =-，所以矩阵12332133N ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦； ()2矩阵N 的特征多项式为()21439f λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令()0f λ=，解得113λ=，21λ=-， 即矩阵N 的两个特征值为113λ=，21λ=-. 【点睛】本题考查矩阵的知识点，属于常考题.21．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2212x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长. 【答案】16【解析】由cos cos cos sin sin 444πππρθρθρθ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭cos sin 2ρθρθ+=，由cos ,sin x y ρθρθ==，所以直线l 的直角坐标方程为2x y +=，因为曲线C 的参数方程为2212x ty t =⎧⎪⎨=⎪⎩，整理得28x y =，直线l 的方程与曲线C 的方程联立，228x y x y+=⎧⎨=⎩，整理得28160x x +-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则1128,16x x x x +==-，根据弦长公式求解即可.【详解】由cos cos cos sin sin 444πππρθρθρθ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，化简得cos sin 2ρθρθ+=，又因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以直线l 的直角坐标方程为2x y +=，因为曲线C 的参数方程为2212x ty t =⎧⎪⎨=⎪⎩，消去t ，整理得28x y =，将直线l 的方程与曲线C 的方程联立，228x y x y+=⎧⎨=⎩，消去y ，整理得28160x x +-=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则1128,16x x x x +==-， 所以AB ===，将1128,16x x x x +==-，代入上式，整理得16AB =. 【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程的应用，结合弦长公式的运用，属于中档题.22．已知a ＞01a a+-2． 【答案】证明见解析【解析】利用分析法，证明a 132a +＞即可． 【详解】证明：∵a ＞0，∴a 1a+≥2， ∴a 1a+-2≥0，∴1a a+-2， 只要证明a 221a +＞（a 1a +）2﹣4（a 1a +）+4， 只要证明：a 132a +＞，∵a 1a +≥232＞，∴原不等式成立． 【点睛】本题考查不等式的证明，着重考查分析法的运用，考查推理论证能力，属于中档题． 23．某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次.抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有16-点数的正方体骰子1次，若掷得点数大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖，已知抽奖箱中装有2个红球与()*2,m m m N ≥∈个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖，若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖（抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同）.()1若4m =，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；()2若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X ，若商场希望X 的数学期望不超过150元，求m 的最小值. 【答案】()135；()29. 【解析】()1设顾客获得三等奖为事件A ，因为顾客掷得点数大于4的概率为13，顾客掷得点数小于4，然后抽将得三等奖的概率为415，求出()P A ；()2由题意可知，随机变量X 的可能取值为100，300，400，相应求出概率，求出期望，化简得()()()2100200220016003321m m E X m m ++=+++，由题意可知，()150E X ≤，即()()2100200220016001503321m m m m +++≤++，求出m 的最小值. 【详解】()1设顾客获得三等奖为事件A ，因为顾客掷得点数大于4的概率为13， 顾客掷得点数小于4，然后抽将得三等奖的概率为24262264331515C C ⨯=⨯=， 所以()1433155P A =+=； ()2由题意可知，随机变量X 的可能取值为100，300，400，且()()()()22221121100333321m m m m C P X C m m +-==+⨯=+++， ()()()11222283003321m m C C mP X C m m +==⨯=++，()()()2222244003321m C P X C m m +==⨯=++，所以随机变量X 的数学期望，()()()()()()()()211841003004003321321321m m m E X m m m m m m ⎛⎫-=⨯++⨯+⨯ ⎪ ⎪++++++⎝⎭，化简得()()()2100200220016003321m m E X m m ++=+++， 由题意可知，()150E X ≤，即()()2100200220016001503321m m m m +++≤++， 化简得2323180m m --≥，因为*m N ∈，解得9m ≥， 即m 的最小值为9. 【点睛】本题主要考查概率和期望的求法，属于常考题.24．已知集合{}1,2,,n A n =L ，*n N ∈，2n ≥，将n A 的所有子集任意排列，得到一个有序集合组()12,,,m M M M L ，其中2n m =.记集合k M 中元素的个数为k a ，*k N ∈，k m ≤，规定空集中元素的个数为0.()1当2n =时，求12m a a a +++L的值；()2利用数学归纳法证明：不论()2n n ≥为何值，总存在有序集合组()12,,,m M M M L ，满足任意*i N ∈，1i m ≤-，都有11i i a a +-=.【答案】()14；()2证明见解析.【解析】()1当2n =时，集合n A 共有224=个子集，即可求出结果；()2分类讨论，利用数学归纳法证明.【详解】()1当2n =时，集合n A 共有224=个子集，所以124m a a a +++=L ；()2①当2n =时，224m ==，由()1可知，1244a a a +++=L，此时令11a =，22a =，31a =，40a =， 满足对任意()*3i i N≤∈，都有11ii a a+-=，且40a =；②假设当()2n k k =≥时，存在有序集合组()122,,,k M M M L 满足题意，且20k a =， 则当1n k =+时，集合n A 的子集个数为1222k k +=⋅个，因为22k ⋅是4的整数倍，所以令211k a +=，222k a +=，231k a +=，240k a +=， 且()224124k k kj j a a j +++=≤≤-恒成立，即满足对任意121k i +≤-，都有11i i a a +-=，且210k a +=， 综上，原命题得证. 【点睛】本题考查集合的自己个数的研究，结合数学归纳法的应用，属于难题.。

盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学试题数学（І）（正题）一、填空题.本大题共10小题，每小题5分，共50分.把正确答案填在相应位置. 1.若直线1+=kx y 与直线042=-+y x 垂直，则=k ． 2.已知集合{}m P ,1-=，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-=431x x Q ，若∅≠Q P I ，则整数=m ． 3.一根绳子长为6米，绳上有5个节点将绳子6等分，现从5个节点中随机选一个将绳子剪断，则所得的两段绳长均不小于2米的概率为 ． 4.某校共有学生2000名，各年级人数如下表所示：年级 高一高二高三人数800 600 600现用分层抽样的方法在全校抽取120名学生，则应在高三年级抽取的学生人数为 ．18.若命题“R x ∈∀，02≥+-a ax x ”为真命题，则实数a 的取值范围是 ． 19.某程序框图如图所示，若输出的10=S ，则自然数=a ．20.若复数z 满足1=-i z （其中i 为虚数单位），则z 的最大值为 ． 21.已知向量a 的模为2，向量e 为单位向量，)(e a e -⊥，则向量a 与e 的夹角大小为 ．19.在等比数列{}n a 中，已知1235a a a =,78940a a a =,则567a a a = ．10.函数65cos2cos 6sin 2sin )(ππx x x f -=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上的单调递增区间为 ．11.过圆922=+y x 内一点)2,1(P 作两条相互垂直的弦AC ，BD ，当BD AC =时，四边形ABCD 的面积为 ．12.若)(x f y =是定义在R 上周期为2的周期函数，且)(x f 是偶函数，当[]1,0∈x 时，12)(-=x x f ，则函数x x f x g 3log )()(-=的零点个数为 ．13.设)(x f 是定义在R 上的可导函数，且满足0)()('>+x xf x f .则不等式)1(1)1(2-->+x f x x f 的解集为 ．11.在等差数列{}n a 中，52=a ，216=a ，记数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和为n S ，若1512mS S nn ≤-+对+∈N n 恒成立，则正整数m 的最小值为 ．（1）解答题.本大题共2小题，共30分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.12.（本小题满分14分）在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，CD AB //，BC AB ⊥，1==BC AB ，2=DC ，点E 在PB 上.20.求证：平面⊥AEC 平面PAD ； 21.当//PD 平面AEC 时，求PE ：EB 的值.13.（本小题满分14分）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，且.212ac b =16.求证：43cos ≥B ； 17.若1cos )cos(=+-BC A ，求角B 的大小.17（本小题满分14分） 因客流量临时增大，某鞋店拟用一个高为50cm(即EF =50cm)的平面镜自制一个竖直摆放的简易鞋镜.根据经验，一般顾客AB 的眼睛B 到地面的距离x (cm)在区间[140,180]内.设支架FG 高为h (0<h <90)cm ，AG =100cm,顾客可视的镜像范围为CD （如图所示），记CD 的长度为y (GC GD y -=).15.当h =40cm 时，试求y 关于x 的函数关系式和y 的最大值；16.当顾客的鞋A 在镜中的像1A 满足不等关系1GC GA GD <≤(不计鞋长）时，称顾客可在镜中看到自己的鞋，若一般顾客都能在镜中看到自己的鞋，试求h 的取值范围.（1）（本小题满分16分）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为22，且过点)21,22(P ，记椭圆的左顶点为.A（1）求椭圆的方程；（2）设垂直于y 轴的直线l 交椭圆于B ，C 两点，试求ABC ∆面积的最大值；（3）过点A 作两条斜率分别为1k ，2k 的直线交椭圆于D ，E 两点，且221=k k ，求证：直线DE 恒过一个定点.19（本小题满分16分）在数列{}n a 中，11a =,且对任意的*k N ∈,21221,,k k k a a a -+成等比数列，其公比为k q . （1）若k q =2(*k N ∈),求13521...k a a a a -++++；（2）若对任意的*k N ∈，k a 2，12+k a ，22+k a 成等差数列，其公差为k d ，设11k k b q =-. ① 求证：{}k b 成等差数列，并指出其公差； ②若1d =2,试求数列{}k d 的前k 项的和k D .（1）已知函数|21|1(),x a f x e -+=||12(),x a f x e x R -+=∈. 1.若a =2,求12()()()f x f x f x =+在[2,3]x ∈上的最小值；2.若[,)x a ∈+∞时，21()()f x f x ≥，求a 的取值范围； 3.求函数1212()()|()()|()22f x f x f x f xg x +-=-在[1,6]x ∈上的最小值；数学（Ⅱ）（附加题）（1）选做题A .选修14-：几何证明选讲如图，等边三角形ABC 内接于圆O ，D 为劣弧BC 上一点，连结BD ，CD 并延长分别交AC ，AB 的延长线于点E ，F .求证：.2BC BF CE =⋅B .选修24-：矩阵与变换已知二阶矩阵A 将点)0,1(变换为)3,2(，且属于特征值3的一个特征向量是⎥⎦⎤⎢⎣⎡11，求矩阵.AC .选修44-：坐标系与参数方程已知点),(y x P 在椭圆1121622=+y x 上，试求y x z 32-=的最大值.D .选修54-：不等式选讲设1a ，2a ，3a 均为正数，且m a a a =++321.求证：.29111133221ma a a a a a ≥+++++（2）（本小题满分10分）甲，乙，丙三人投篮，甲的命中率为p ，乙，丙的命中率均为q （)1,0(,∈q p ）.现每人独立投篮一次，记命中的总次数为随机变量ξ. （1）当21==q p 时，求数学期望)(ξE ； （2）当1=+q p 时，试用p 表示ξ的数学期望)(ξE .。