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二次根式1、定义：一般形如a （a≥0）的代数式叫做二次根式。
当a≥0时，a 表示a 的算术平方根；当a 小于0时，非二次根式。
其中，a 叫做被开方数。
2、√ā的简单性质和几何意义（1）双重非负性：a≥0 且a ≥0（2）（a ）2=a （a≥0），任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式。
3、二次根式的性质和最简二次根式 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有)0(,3,2≥x x ；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有31,9,4，2)(y x +最简二次根式同时满足下列三个条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含有能开得尽的因式；（3）被开方数不含分母。
4、二次根式的乘法和除法（1）积的算数平方根的性质b a ab ⋅=（a≥0，b ≥0）（2）乘法法则b a ⋅=ab （a≥0，b≥0）（3）除法法则b a ba =（a≥0，b>0） （4）根式有理化如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式,也称有理化因式。
对根式进行有理化处理，其实就是进行根式分母有理化。
5、二次根式的加法和减法（1）同类二次根式概念一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
（2）二次根式加减时，先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。
如：25355=+6、二次根式的混合运算（1）确定运算顺序（2）灵活运用运算定律（3）正确使用乘法公式（4）大多数分母有理化要及时（5）在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化7.分母有理化分母有理化有两种方法I.分母是单项式，进行通分即可b ab bb b a b a =⨯⨯= II.分母是多项式，一般为根式的加减多数时间利用平方差公式形如b a b a b a b a b a b a --=-+-=+))((1根式中分母不能含有根号，且要变为最简，运算才会更加直接简便。
二次根式知识点总结二次根式是数学中的一种常见的根式表达式，它可以表示为$\sqrt{a}$ 的形式，其中 $a$ 是一个非负实数。
在学习二次根式时，常常会涉及到以下几个方面的知识点。
一、二次根式的性质：1. 非负性：对于任何非负实数 $a$，二次根式 $\sqrt{a}$ 都是非负实数。
2. 平方性：相对应的，对于任何非负实数 $a$，二次根式$\sqrt{a}$ 的平方等于 $a$，即 $(\sqrt{a})^2=a$。
3. 两个二次根式可以相等：如果两个二次根式 $\sqrt{a}$ 和$\sqrt{b}$ 相等，那么 $a$ 和 $b$ 必须相等，即$\sqrt{a}=\sqrt{b}$ 可推出 $a=b$。
二、二次根式的运算：1. 加减运算：两个二次根式可以进行加减运算，只要它们的被开方数相同即可。
即 $\sqrt{a} \pm \sqrt{b}=\sqrt{a \pm b}$。
2. 乘法运算：两个二次根式相乘，可以将它们的被开方数相乘并开方。
即 $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab}$。
3. 除法运算：两个二次根式相除，可以将它们的被开方数相除并开方。
即 $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$。
4. 有理化分母：当二次根式的分母不含二次根式时，可以通过有理化分母的方法将其转化为含有二次根式的形式。
有理化分母的基本方法是将分母有理化，即乘以一个适当的形式为 $\sqrt{x}$ 的分子与分母相等的有理数，从而使得分母成为没有二次根式的有理数。
三、二次根式的化简：1.合并同类项：当二次根式相加或相减时，可以合并同类项，即将其中具有相同被开方数的二次根式相加或相减，并保持其他二次根式不变。
2.分解因式：当一个二次根式的被开方数可以分解成互质因子的乘积时，可以利用分解因式的方法进行化简。
3.化简根式：当二次根式的被开方数可以开方时，可以进行化简，即将其转化为整数、分数或者更简单的二次根式的形式。
基础知识1、二次根式的定义：
我们已经知道：每一个正实数有且只有两个平方根，一个记作a，称为a的算术平方根；另 。
一个是a
我们把形如a的式子叫作二次根式，根号下的数a叫作被开方数.
由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义．
2、二次根式的性质
3、二次根式的积的算数平方根的性质
4、最后的计算结果，具有以下特点：
（1）被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）；
（2）被开方数不含分母.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.
注意：①化简二次根式时，最后结果要求被开方数中不含开得尽方的因数.
②化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含分母.
③今后在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外（注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数）.
题型一、二次根式的概念和条件
【例1】
【例2】
【例3】
【例4】
【例5】
【例6】
题型二、二次根式的性质【例7】计算
【例8】
【例9】
【练一练】
4、
5、
6、
7、
题型三积的算数平方根的性质
【例10】
【例11】
【例12】
【例13】
【例14】
题型四二次根式的化简
【例题精析】
【例15】
【例16】
【例17】
【例18】
【练一练】
4、
5、6、6、
7、。
二次根式知识点归纳定义：一般的，式子a ( a ≥ 0 ) 叫做二次根式。
其中“”叫做二次根号，二次根号下的a 叫做被开方数。
性质：1、2≥0,等于a;a<0,等于-a 3、 4反过来:56、最简二次根式：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．7、同类二次根式：几个二次根次化成最简二次根式以后如果被开数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式8、数的平方根与二次根式的区别：①4的平方根为±2，算术平方根为2；②4=2，二次根式即是算术平方根9、二次根式化运算及化简：①先化成最简 ②合并同类项二次根式中考试题精选一.选择题：1.【05宜昌】化简20的结果是 （ ）.A. 25B.52C. .D.54 2.【05南京】9的算术平方根是 （ ）.A.-3B.3C.± 3D.813.【05南通】已知2x <, ）.A 、2x -B 、2x +C 、2x --D 、2x -4.【05泰州】下列运算正确的是（）.A ．a 2＋a 3=a5 B ．(－2x)3=－2x 3 C ．(a －b)(－a ＋b)=－a 2－2ab －b 2 D =5.【05无锡】下列各式中，与y x 2是同类项的是（ ）A 、2xyB 、2xyC 、－y x 2D 、223y x 6.【05武汉】若a ≤1，则化简后为（ ）.A.B. C. D.7.【05绵阳】化简时，甲的解法是：==，乙的解法是：，以下判断正确的是（ ）.A. 甲的解法正确，乙的解法不正确B. 甲的解法不正确，乙的解法正确C. 甲、乙的解法都正确D. 甲、乙的解法都不正确8.【05杭州】设22a b c ==-=,则,,a b c 的大小关系是: （ ）.(A)a b c >> (B)a c b >> (C)c b a >> (D)b c a >> 9.【05丰台】4的平方根是（ ）. A. 8B. 2C. ±2D. ±210.【05北京】下列根式中，与3是同类二次根式的是（ ）.A.24B.12C.32D.1811.【05南平】下列各组数中，相等的是（ ）.A.(-1)3和1B.(-1)2和-1C.|-1|和-1 1 12.【05宁德】下列计算正确的是（ ）.A 、x 2·x 3＝x 6B 、(2a 3)2＝4a 6C 、(a －1)2＝a 2－1D 、 4 ＝±213.【05毕节―a 的正整数a 的值有( ).A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14.【05黄岗】已知y x ,为实数，且()02312=-+-y x ，则y x -的值为（ ）.A ．3B ．– 3C ．1D ．– 115.【05湘潭】下列算式中，你认为错误的是 ( ). A ．aa b++b a b+=1 B ．1÷b a×a b=1 C D ．21()a b +·22a b a b--=1a b+二、填空题1.【05连云港】计算：)13)(13(-+= ．2.【05南京】10在两个连续整数a 和b 之间，a<10<b, 那么a , b 的值分别是 。
二次根式的性质与化简二次根式是指含有平方根的表达式，它在数学中有着重要的应用。
本文将探讨二次根式的性质以及化简方法。
一、二次根式的性质1. 二次根式的定义与表示：二次根式是指形如√a的表达式，其中a为非负实数。
二次根式可以用分数指数表示，即a的1/2次方。
2. 二次根式的运算性质：（1）加法与减法：当二次根式的根数相同时，可以进行加法或减法运算。
例如√a + √b = √(a + b)，√a - √b = √(a - b)。
（2）乘法与除法：当二次根式的根数相同时，可以进行乘法或除法运算。
例如√a × √b = √(a × b)，√a / √b = √(a / b)。
3. 二次根式的化简与分解：对于二次根式而言，有时可以进行化简与分解。
例如√(a^2) = a，√(a/b) = √a / √b。
二、二次根式的化简方法1. 化简含有相同根数的二次根式：当两个二次根式具有相同根数时，可以根据运算规律进行化简。
例如√(a) × √(b) = √(a × b)，√(a) / √(b) = √(a / b)。
2. 化简含有不同根数的二次根式：当两个二次根式具有不同根数时，可以通过有理化的方法进行化简。
有理化的目的是将二次根式的分母消去。
具体操作步骤如下：（1）将含有二次根式的分母有理化，即将分母中的二次根式去除。
（2）将有理化后的分母进行分配。
（3）将相同根数的二次根式合并，并进行运算。
3. 示例：化简二次根式√(15) / √(3)：（1）将含有二次根式的分母进行有理化，即√(3) × √(3) = 3。
（2）有理化后的分母为3。
（3）利用有理化后的分母，进行分配运算，即（√(15) × √(3)) / 3。
（4）合并二次根式，即√(45) / 3。
（5）化简二次根式，即3√(5) / 3。
（6）最终得到化简后的结果：√(5)。
4. 注意事项：化简二次根式时，需要注意分母不能为零，同时要注意因式分解的方法，以便于简化运算步骤。
二次根式一考点、热点回顾1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
如不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方的因数，又如，，..........都不是最简二次根式，而，，5，都是最简二次根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
如, , 就是同类二次根式，因为=2，=3，它们与的被开方数均为2。
4.二次根式的性质：1.(a≥0)是一个非负数, 即≥0;2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：()2=a(a≥0)；3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|=4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即=·（a≥0,b≥0）。
5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即=5.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．ab=a ·b （a≥0，b≥0）；b b aa=（b≥0，a>0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 二 典型例题例1下列各式(1)x21, 1)2(-, 5)3(2+x , 2)3()4(-, 44)5(2+-x x其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）x x --+315；（2）22)-(x (3)121--x x例3、 在根式1) 222;2);3);4)275x a b x xy abc +-，最简二次根式是（ ）A ．1) 2)B ．3) 4)C ．1) 3)D ．1) 4) 例4、计算32)2145051183(÷-+的值例5、要使1213-+-x x 有意义，则x 应满足（ ）A.321≤≤x B. 3≤x 且21≠x C.21 ＜x ＜3 D.21 ＜x ≤3例6. 将根号外的a 移到根号内，得 ( ) A.； B. －； C. －； D.例7. 把（a －b ）－1a －b 化成最简二次根式 例8、已知x 满足xx x =-+-20112010，那么22010-x 的值为_____________例9、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：222()a b a b ---三 课后练习一、填空题1．在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______个． 2. 当x = 时，二次根式1+x 取最小值，其最小值为 3. 化简82-的结果是_____________4. 计算： 若22m n +-和3223m n -+都是最简二次根式，则_____,______m n ==。
二次根式的定义和性质讲学：●二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数。
两个特点：二次根号，非负性（非负性包括被开方数和开方结果）判断二次根式：1.有二次根号2.被开方数可以确定非负（包括转化为非负形式）1.有意义必须满足_________2.当满足什么条件时下列式子有意义。
●二次根式的性质：1.非负性：是一个非负数．2.3.公式与区别与联系（1）表示求一个数的平方的算术根，的范围是一切实数．（2）表示一个数的算术平方根的平方，的范围是非负数．（3）和的运算结果都是非负的．4.把根号外的因式移入根号内：1判断根号外的因式的符号；2留下符号；3平方后与被开方数相乘计算：因式分解：考练：【例1】下列各式，，，，，，其中是二次根式的是?【例2】若式子有意义，则x的取值范围是．【例3】若则=【例4】若则= ．【例5】化简：的结果为（）A、B、0 C、D、4【例6】已知,则化简的结果是【例7】如果表示两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果等于（）A、B、C、D、【例8】如果，那么的取值范围是（）o b aA、B、C、或D、【例9】化简二次根式的结果是( )课后作业：二次根式的定义：1.下列各式中，一定是二次根式的是（）A、B、C、D、2.在中是二次根式的个数有______个3.使代数式有意义的的取值范围是（）A、>3B、≥3C、>4 D 、≥3且≠44.使代数式有意义的的取值范围是5.如果代数式有意义，那么，直角坐标系中点（，）的位置在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限6.若，则的值为（）A、－1B、1C、2D、37.若都是实数，且，求的值8.当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。
9.二次根式的性质：10.若，则的值为。
11. 已知 为实数，且 ，则 的值为（ ）A 、3B 、– 3C 、1D 、– 112. 已知直角三角形两边 的长满足 ，则第三边长为______________.13. 若 与 互为相反数，则14. 在实数范围内分解因式: = ； =15. 化简：16. 根式 的值是( )A 、-3B 、3或-3C 、3D 、917. 已知 ，那么 可化简为（ ）A ．B ．C ．D ．18. 若 ，则 等于（ ）A 、B 、C 、D 、19. 若 ，则化简 的结果是（ ）A 、－1B 、1C 、D 、20. 化简 得（ ）A 、2B 、C 、-2D 、21. 当 且 时，化简 ＝ ．22. 已知 ，化简求值：23. 实数 在数轴上的位置如图所示： 化简： ． 24. 如果 成立，那么实数 的取值范围是________________25. 若 ，则 的取值范围是____________。
