下载文档原格式
二次根式总结一、引言二次根式是数学中的一个重要概念，也是初等代数中一个基础的内容。
它在解方程、求根、化简表达式等问题中起着重要作用。
本文将对二次根式进行全面、深入的总结，包括重要观点、关键发现和进一步思考。
二、基本概念1. 二次根式的定义二次根式是指形如√a的表达式，其中a为非负实数。
当a为正实数时，√a有两个实数解；当a为零时，√0=0；当a为负实数时，√a没有实数解。
2. 二次根式的性质•非负实数的平方根仍为非负实数；•平方根具有唯一性，即对于任意非负实数a，√a唯一确定。
3. 二次根式的运算•加减法：对于两个二次根式√a和√b，如果它们的被开方数相同，则可以直接相加或相减；如果被开方数不同，则需要化简后再运算。
•乘法：对于两个二次根式√a和√b，它们的乘积可以化简为√ab。
•除法：对于两个二次根式√a和√b，它们的商可以化简为√a√b =√ab，其中b不能为零。
三、重要观点1. 二次根式的化简化简二次根式是解题中常见的操作。
可以利用平方根的性质，将二次根式化简为最简形式。
√8=√4⋅√2=2√2。
2. 二次根式的应用二次根式在解方程、求根、化简表达式等问题中经常出现。
在解关于x的方程时，可能会遇到形如x2=5的方程，需要求得x=±√5。
3. 二次根式与无理数二次根式通常是无理数。
无理数是指不能表示为两个整数的比值的实数。
π和e都是无理数。
而对于正实数a来说，如果其平方不是有理数，则其平方根一定是无理数。
四、关键发现1. 二次根式的图像二次根式的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
图像关于x轴对称。
2. 二次根式的大小比较对于两个非负实数a和b，如果a<b，则√a<√b。
但当a<0时，√a没有实数解。
3. 二次根式的近似值可以使用计算器或牛顿迭代法等方法求得二次根式的近似值。
可以利用牛顿迭代法逼近√2的值。
二次根式总结一、引言二次根式是数学中一个重要的概念，涉及到对平方根的运算和性质。
掌握好二次根式的基本知识对于理解和解决数学问题至关重要。
本文将对二次根式进行总结，从定义、性质到应用方面进行探讨。
二、定义与基本性质二次根式可以表示为√a（其中a≥0），这里√a称为二次根，a称为被开方数。
在二次根式中，一些基本性质需要予以关注。
首先，二次根式满足乘法分配律。
对于任意的非负实数a和b，有√(ab)=√a × √b。
这个性质与平方根的性质一致，可以利用它对二次根式进行简化。
其次，二次根式可以进行合并化简。
如果a和b都是非负实数，则√a + √b可以合并成一个根式。
例如，√2 + √3 = √(2+3) = √5。
这一点在化简二次根式的过程中常常应用到。
另外，二次根式的乘法也有一定的规律。
对于任意非负实数a 和b，有(√a × √b) = √(ab)。
同样地，在乘法的过程中可以利用这一性质对二次根式进行化简。
三、进一步探讨与应用1. 二次根式的化简化简二次根式是使用二次根式的基本性质，将复杂的根式表示简化为更简洁的形式。
例如，√8可以化简为2√2，√5 × √3可以化简为√15。
化简二次根式有助于简化运算和解决数学问题。
在化简二次根式时，可以利用约束性质，并通过提取公因数的方式进行。
例如，对于√8，可以提取公因数2，即√(2 × 4) = 2√2。
2. 二次根式的加减运算二次根式的加减运算可以通过化简和合并根式进行。
对于√a + √b，如果a和b无法合并，则不能再继续进行简化。
例如，对于√2 + √3，不能再进行进一步的运算。
但是可以计算其近似值，如√2 ≈ 1.414，√3 ≈ 1.732，因此√2 + √3 ≈ 1.414 + 1.732 ≈ 3.146。
3. 二次根式的乘除运算二次根式的乘除运算可以利用乘法分配律和二次根式的乘法规律进行。
利用这两个性质，可以轻松地计算复杂的二次根式。
学科教师辅导讲义【解析】a -18．把式子()10a a a--p 根号外面的式子适当的改变后移到根号内 【解析】a -题型三：最简二次根式 同类二次根式【例7】下列根式中，最简二次根式的是（ ）(A)3.0 (B)52 (C)c ab 22 (D)92+a 【解题思路】利用定义解决问题【解析】D【方法总结】先看被开方数中是否有分母；再看被开方数中各因数的指数是否为1.【例8】在下列各组二次根式中：①215831和; ②;2a a 和 ③222a a 与；④)0(>>+--+n m nm n m n m n m 和，是同类二次根式的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①④【解题思路】利用定义解决问题.【解析】D【方法总结】同类二次根式的判断必须先把非最简二次根式化成最简二次根式，若被开方数相同则是同类二次根式，否则不是.【例9】已知最简二次根式3243a a b ++与()4126b b a b ++-+是同类二次根式，求a 和b 的值.【解题思路】利用定义解决问题.【解析】1,1a b ==.【方法总结】利用同类二次根式的条件（1）根指数相同（2）被开方数相同列出方程组求出a 和b 的值，但必须在最简根式的基础上【练习】1．下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）．A ．B ．C ．D ．【解析】D2．（2007上海市）在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】C3．下列根式中是最简二次根式的是（ ）A ．33x B. 2a C. 2ab D. 2ab 【解析】D4．最简二次根式32153a a +-与是同类二次根式，求a 的值【解析】42153,5a a a +=-=. 5．已知最简根式32x y x y +-与642y x y ++-是同次根式，且y 是偶数。
求y 的值。
【解析】36x y y +=+，2x =.64y -≤≤,∴6,4,2,0,2,4y =---.题型四:【例10】用“<”连接32-和65-.【解题思路】本题涉及分子有理化相关.【解析】65-<32-【方法总结】∵13232-=+15．当ab ＜0时，化简b a 2的结果是（ ）A.b a -B.b a -C.b a --D.b a【解析】A16.如果2121--=--x x x x ，那么x 的取值范围是（ ） A.1≤x ≤2 B.1＜x ≤2 C.x ≥2 D.x ＞2【解析】D17.下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A.a 16B.b 3C.a b D.45 【解析】B18.在根式2、75、501、271、15中与3是同类二次根式的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】B19.实数a 、b 在数轴上对应的位置如图，则=---22)1()1(a b （ ）A.b-aB.2-a-bC.a-bD.2+a-b【解析】C20.化简2)21(-的结果是（ ）A.21-B.12-C.)12(-±D.)21(-± 【解析】B21.已知b a 3b 4b a ++与是同类二次根式（,a b 均为正整数），则a 、b 的值是（ ）A. 0a =，2b =B. 1a =，1b =C. 1b ,1a 2b ,0a ====或D. 0b ,2a ==【解析】C22.下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）A ．a a a 321与 B ．232a a 与 C ．3233a a 与 D ．2a a a a 12与 【解析】D23．（2007江苏扬州）如图，数轴上点表示的数可能是（ ）· · · · a b 0 1A ．B ．C ．D ．【解析】B.24.m 为何值时，最简二次根式25m -与2m 84+是同类二次根式？【解析】1m =-25.m 为何值时，二次根式6m 24-与43m 26-（其中126m -，23m -均为最简二次根式）是同类二次根式？ 【解析】158m = 26.化简：a 31)3a (-- 【解析】3a --27．求当二次根式24x 的值等于4时x 的值．【解析】2x =±28．若二次根式26x -+有意义，化简│x-4│-│7-x │．【解析】-329．设19的整数部分为m ，小数部分为n,求32m n -的值 【解析】31914-30. 化简计算 已知：11881,222x y x y y x x y x y x =-+-+++-+-求代数式的值。
学科教师辅导讲义题型三：最简二次根式 同类二次根式【例7】下列根式中，最简二次根式的是（ ）(A)3.0 (B)52 (C)c ab 22 (D)92+a 【例8】在下列各组二次根式中：①215831和; ②;2a a 和 ③222a a 与；④)0(>>+--+n m nm n m n m n m 和，是同类二次根式的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①④【例9】已知最简二次根式3243a a b ++与()4126b b a b ++-+是同类二次根式，求a 和b 的值.【练习】1．下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）．A ．B ．C ．D ．2．（2007上海市）在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列根式中是最简二次根式的是（ ）A ．33x B. 2a C. 2ab D. 2ab21.已知b a 3b 4b a ++与是同类二次根式（,a b 均为正整数），则a 、b 的值是（ ）A. 0a =，2b =B. 1a =，1b =C. 1b ,1a 2b ,0a ====或D. 0b ,2a ==22.下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）A ．a a a 321与 B ．232a a 与 C ．3233a a 与 D ．2a a a a 12与23．（2007江苏扬州）如图，数轴上点表示的数可能是（ ）A ．B ．C ．D ．24.m 为何值时，最简二次根式25m -与2m 84+是同类二次根式？25.m 为何值时，二次根式6m 24-与43m 26-（其中126m -，23m -均为最简二次根式）是同类二次根式？26.化简：a31)3a (--2．已知210a b ++-=，那么()2007a b +的值为（ ）.A 、－1B 、1C 、20073D 、20073-3．如图，在数轴上，,A B 两点之间表示整数的点有 个。
专题01二次根式的概念和性质（知识点考点串编）【思维导图】例．（2022·浙江·九年级专题练习）当0x =的值等于（ ）A ．4B ．2CD ．0练习1．（2021·全国·八年级专题练习）当a 为实数时，下列各式中是二次根式的是（）个A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个练习2．（2021·河北·结果相同的是（ ）．◉知识点一：二次根式的定义知识点技巧：二次根式概念：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
【注意】1.二次根式，被开方数a 可以是一个具体的数，也可以是代数式。
2.二次根式是一个非负数。
3.二次根式与算术平方根有着内在联系，（a ≥0）就表示a 的算术平方根。
A ．321-+B ．321+-C ．321++D ．321--练习3．（2021·河南林州·八年级期末）已知当12a <<a -的值是（ ）A ．3-B ．12a-C ．32a-D ．23a -例．（2021·n 的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8练习1．（2020·甘肃·酒泉市第二中学八年级期中）若x 、y 为实数，且0x +=，则2019x y æöç÷èø的值( )A ．-2B ．1C ．2D练习2．（2020·江苏·丰县欢口镇欢口初级中学八年级阶段练习）如果3y ，则2x y -的平方根是（ ）A ．-7B．1C ．7D ．±1练习3．（2021·全国·n 的值是( )A ．B ．1C ．2D ．5例．（2022·全国·九年级专题练习）在函数1y =中，自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ＜2B ．x ≥2C．x ＞2D ．x ≠2练习1．（2022·全国·九年级专题练习）函数y =x 的取值范围是（ ）A ．x ≥2B ．x ＞﹣2C ．x ≤2D ．x ＜2练习2．（2022·全国·九年级专题练习）函数y 中自变量x 的取值范围是（）◉知识点二：二次根式有意义的条件知识点技巧：二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
二次根式的性质与化简二次根式是指含有平方根的表达式，它在数学中有着重要的应用。
本文将探讨二次根式的性质以及化简方法。
一、二次根式的性质1. 二次根式的定义与表示：二次根式是指形如√a的表达式，其中a为非负实数。
二次根式可以用分数指数表示，即a的1/2次方。
2. 二次根式的运算性质：（1）加法与减法：当二次根式的根数相同时，可以进行加法或减法运算。
例如√a + √b = √(a + b)，√a - √b = √(a - b)。
（2）乘法与除法：当二次根式的根数相同时，可以进行乘法或除法运算。
例如√a × √b = √(a × b)，√a / √b = √(a / b)。
3. 二次根式的化简与分解：对于二次根式而言，有时可以进行化简与分解。
例如√(a^2) = a，√(a/b) = √a / √b。
二、二次根式的化简方法1. 化简含有相同根数的二次根式：当两个二次根式具有相同根数时，可以根据运算规律进行化简。
例如√(a) × √(b) = √(a × b)，√(a) / √(b) = √(a / b)。
2. 化简含有不同根数的二次根式：当两个二次根式具有不同根数时，可以通过有理化的方法进行化简。
有理化的目的是将二次根式的分母消去。
具体操作步骤如下：（1）将含有二次根式的分母有理化，即将分母中的二次根式去除。
（2）将有理化后的分母进行分配。
（3）将相同根数的二次根式合并，并进行运算。
3. 示例：化简二次根式√(15) / √(3)：（1）将含有二次根式的分母进行有理化，即√(3) × √(3) = 3。
（2）有理化后的分母为3。
（3）利用有理化后的分母，进行分配运算，即（√(15) × √(3)) / 3。
（4）合并二次根式，即√(45) / 3。
（5）化简二次根式，即3√(5) / 3。
（6）最终得到化简后的结果：√(5)。
4. 注意事项：化简二次根式时，需要注意分母不能为零，同时要注意因式分解的方法，以便于简化运算步骤。
专题01二次根式的概念和性质（知识点考点串编）【思维导图】◎考点1：二次根式的值例．（2022·浙江·九年级专题练习）当0x =的值等于（ ）A ．4B ．2CD ．0【答案】B【解析】【分析】把0x =解题即可【详解】◉知识点一：二次根式的定义知识点技巧：二次根式概念：一般地，我们把形如（a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
【注意】1.二次根式，被开方数a 可以是一个具体的数，也可以是代数式。
2.二次根式是一个非负数。
3.二次根式与算术平方根有着内在联系，（a ≥0）就表示a 的算术平方根。
解：把0x =2=故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解题的关键．练习1．（2021·全国·八年级专题练习）当a 为实数时，下列各式中是二次根式的是（ ）个A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】B 【解析】【分析】0)a >的代数进行分析得出答案．【详解】共4个．故选：B ．【点睛】0)a >的代数式，正确把握定义是解题关键．练习2．（2021·河北·结果相同的是（ ）．A ．321-+B ．321+-C ．321++D ．321--【答案】A【解析】【分析】根据有理数运算和二次根式的性质计算，即可得到答案．【详解】2==∵3212-+=，且选项B 、C 、D 的运算结果分别为：4、6、0【点睛】本题考查了二次根式、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、含乘方的有理数混合运算的性质，即可得到答案．练习3．（2021·河南林州·八年级期末）已知当12a <<a -的值是（ ）A ．3-B ．12a -C ．32a -D ．23a -【答案】C【解析】【分析】由题意直接根据二次根式的性质以及去绝对值的方法，进行分析运算即可.【详解】解：∵12a <<，212132a a a a a a -=---=-+-=-.故选：C.【点睛】本题考查二次根式和去绝对值，熟练掌握二次根式的性质以及去绝对值的方法是解题的关键.◎考点2：求二次根式中的参数例．（2021·n 的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】【分析】=，则6n 是完全平方数，满足条件的最小正整数n 为6．【详解】解：=∴6n 是完全平方数；∴n 的最小正整数值为6．【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法则和二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件时被开方数是非负数进行解答练习1．（2020·甘肃·酒泉市第二中学八年级期中）若x 、y 为实数，且0x +=，则2019x y æöç÷èø的值( )A ．-2B ．1C ．2D ．-1【答案】D【解析】【分析】根据非负数的性质可求出x 、y 的值，然后把x 、y 的值代入所求式子计算即可．【详解】解：∵0x +=，∴x +2=0，y －2=0，∴x =﹣2，y =2，∴220190192=12x y -æöæöç÷è=-ç÷èøø．故选：D ．【点睛】本题主要考查了非负数的性质，明确实数绝对值和二次根式的非负性以及﹣1的奇次幂的性质是解题关键．练习2．（2020·江苏·丰县欢口镇欢口初级中学八年级阶段练习）如果3y ，则2x y -的平方根是（ ）A ．-7B ．1C ．7D ．±1【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的性质求出x 、y 的值，再代入求解即可．解：由题意可得：24020x x -+¹＝，，解得：2x ＝，故3y ＝，则21x y -＝，故2x y -的平方根是：±1．故选：D ．【点睛】本题考查了关于二次根式的运算问题，掌握二次根式的性质、平方根的性质是解题的关键．练习3．（2021·全国·n 的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．5【答案】D【解析】【分析】首先化简二次根式进而得出n 的最小值．【详解】=∴最小正整数n 的值是5．故选D ．【点睛】本题考查了二次根式的定义，正确化简二次根式得出是解题的关键．例．（2022·全国·九年级专题练习）在函数1y =中，自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ＜2B ．x ≥2C ．x ＞2D ．x ≠2【答案】C 【解析】◉知识点二：二次根式有意义的条件知识点技巧：二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
二次根式知识点1. 二次根式的定义二次根式指的是形如√a的数，其中a为非负实数。
a被称为被开方数，√a被称为二次根式，也可以叫做平方根。
2. 二次根式的基本性质① 非负性：二次根式必须为非负实数。
② 同根式的加减法：同一指数的二次根式可以进行加减法运算，结果等于指数不变时各自运算后相加减。
③ 同根式的乘法：同一指数的二次根式可以进行乘法运算，结果等于指数不变时各自运算后相乘。
④ 同底数的指数运算：同一被开方数的不同指数的二次根式，可以进行指数运算，结果等于底数相同时指数相加或相减后的二次根式。
⑤ 合并同类项：不同被开方数的二次根式不能进行加减运算，必须化为同一被开方数才能进行操作。
3. 二次根式的化简① 化简含有平方数的二次根式例如：√36 = √（6²）= 6② 化简含有分数的二次根式例如：√（1/4）= 1/√4= 1/2③ 化简含有根号的二次根式例如：√（128）= √（2*64）= 8√2④ 去除被开方数中的平方因子例如：√（80）= √（16*5）= 4√54. 二次根式的应用由于二次根式代表着平方根，所以在一些实际问题中，经常出现二次根式的应用。
例1：计算正方形对角线的长度设正方形边长为a，则对角线长度d = √（a²+a²）=a√2例2：炮弹落地问题假设炮弹以初速度v以角度α斜抛，落地时的水平距离为x，求炮弹所需的最小速度v。
根据物理学上的知识，可以得到：x = v²sin2α/g其中g为重力加速度，有g = 9.8m/s²，化简可得：v = √（gx/ sin2α）在实际问题中，二次根式的应用还有很多，比如在建筑设计中计算楼梯踏步和踏板的长度，计算圆周率的近似值等等。
5. 二次根式的拓展除了√a这种形式的二次根式外，还可以拓展为含有多个根号的形式。
例如：√（a±√b）化简时，可以拆分成两个二次根式相加或相减的形式：当加号为正号时，可拆分为：√（a+√b）+√（a-√b）当减号为负号时，可拆分为：√（a-√b）-√（a+√b）在拓展的形式中，二次根式的化简变得更为复杂，需要运用其他方法进行化简。
二次根式的性质在数学中，二次根式是指具有形如√a的数，其中a是一个非负实数。
二次根式在代数和几何中有着广泛的应用，特别是在求解方程、计算面积和体积等问题中。
一、二次根式的定义二次根式通常表示为√a，其中a≥0。
如果a>0，则√a被称为正根式，如果a=0，则√a=0；如果a<0，则二次根式不存在，因为它不是一个实数。
二、二次根式的性质1. 二次根式的平方二次根式的平方等于它本身，即(√a)^2 = a。
这是因为二次根式表示的是一个数的正平方根，而正平方根的平方等于被开方数本身。
2. 二次根式的加减运算如果两个二次根式的被开方数相同，那么它们可以进行加减运算。
例如，√2 + √2 = 2√2。
当然，如果两个二次根式的被开方数不同，则无法进行加减运算。
3. 二次根式的乘法两个二次根式可以进行乘法运算，即(√a) * (√b) = √(a * b)。
这个性质可以通过平方的方式进行证明。
例如，(√2) * (√3) = (√2^2) * (√3^2) = √(2 * 3) = √6。
4. 二次根式的除法两个非零的二次根式可以进行除法运算，即(√a) / (√b) = √(a / b)。
这个性质也可以通过平方的方式进行证明。
5. 二次根式的化简将一个二次根式化简为最简形式是一种常见的操作。
例如，将√8化简为√(4 * 2)，再进一步化简为2√2。
也可以将√32化简为√(16 * 2)，再化简为4√2。
化简后的二次根式更加简洁明了。
6. 二次根式的大小比较当两个二次根式的被开方数相同时，它们的大小关系取决于它们的系数。
例如，2√3和3√2，由于√3>√2，所以2√3<3√2。
但如果被开方数不同，则无法直接比较大小。
7. 二次根式的乘方一个二次根式可以进行乘方运算，例如(√2)^3 = (√2) * (√2) * (√2) = √(2 * 2 * 2) = 2√2。
这个性质是由乘法的性质推导而来。
二次根式定义及性质教学内容:并利用它们进行计算和化简•2. 重点：—「汕「•厂—，厂—5及其运用.3. 难点：利用 gx θ(α≥0)，(乔「二S0X°),= α⅛≥0) 解决具体问题知识点一：二次根式的概念一般地，我们把形如 丄；(a ≥ 0)?的式子叫做二次根式，“"”称为二次根号. 知识点二：二次根式的性质1.&≥Q(a≥0)；(石)=Λ (d ≥ 0)=IaI= <3.2.a (a ≥0) -a (a <0)；4. 积的算术平方根的性质:5. 商的算术平方根的性质:λj'.∕∙,- -ΛJ I -■", ' -■；知识点三：代数式S形女口 5, a , a+b , ab ,】，X , & (α≥0)这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式 (algebraic expression).1.学习目标：理解二次根式的概念， 了解被开方数是非负数的理由； 理解并掌握下列结论： U- ■' ■: ■' 111， 经典例题透析类型一：二次根式的概念例1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式:(X >0)、1匚、=、二、U J i(X ≥0,y ≥ °)∙思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ∙∖厂”；第二，被开方数是正数或例2、当X 是多少时,,-I 在实数范围内有意义?思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于 0,所以3X -1 ≥0, ?义.1解：由 3X -1 ≥ 0,得：X ≥ j1当X ≥ 1时，「丄-在实数范围内有意义.总结升华：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数. 举一反三【变式1】X 是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义?1解: (1)由 (M ≥ 0,解得：X 取任意实数•••当X 取任意实数时，二次根式' ■'在实数范围内都有意义(2)由 x-1 ≥ 0,且 x-1 ≠ 0,解得：X > 1•当X > 1时，二次根式■在实数范围内都有意义•解：二次根式有:匸、C i(X ≥ 0,y ≥ 0);才能有意J∙. (X >0)、 不是二次根式的有:举一反三【变式1】计算:(x≥0); 1【变式2】当X是多少时，•一在实数范围内有意义?1思路点拨：要使J一上- -；+•■ + I在实数范围内有意义，___ 丄必须同时满足中的2x+3 ≥0和T十〕中的x+1 ≠ 0.2x+3≥0解：依题意，得〔兀+1至°3由①得：X ≥ -.由②得：X ≠ -13 丄当X≥-1且x≠ -1时，，l' ' + , 一在实数范围内有意义.类型二：二次根式的性质例1、计算:(厕(b ≥0)思路点拨：我们可以直接利用「〔(a≥0)的结论解题.(6「厂-解：⑴因为x ≥0,所以x+1 >0⑶ T a 2+2a+仁(a+1)22 2 2 2⑷∙ 4x -12x+9=(2x) -2 ∙ 2x • 3+3 =(2x-3) 又∙∙∙ (2x-3)2≥ 0例2、化简:(1)若=a ,则a 可以是什么数?⑶ L >a ,贝U a 可以是什么数? 思路点拨：思路点拨：因为(1)9=32, ⑵(-4)2=42,⑶25=52,⑷(-3)2=32,所以都可运用 J 「二-「』—山去化简.解：⑴丄I=W =3 ；(Nt 广=4;⑶】F =QI =5;⑷厂T =厂=3.⑴上1;⑵' 「思路点拨: (1)因为 X ≥ 0 ,所以 X+1 > 0 ；2 2(3)a +2a+1=(a+1) ≥0；(2)a 2≥ 0;2 2 2 2(4)4x -12x+9=(2x) -2 ∙ 2x • 3+3 =(2x-3) ≥ 0•所以上面的4题都可以运用= a (a ≥0)的重要结论解题.+ 2α + l=a 2+2a+1; ,?并根据这一性质回答下列问题.(2) ∙∙∙ a 2≥ 0,又••• (a+1)2≥0,∙∙∙ a 2+2a+1 ≥0, 2∙ 4x -12x+9 ≥2=4x -12x+9.例3、填空：当a ≥ 0时,;当a v 0时,=-a ,贝U a 可以是什么数?(1)根据结论求条件；(2)根据第二个填空的分析，逆向思想；(3)根据⑴、(2)可知-I a I ,而I df大于a ,只有什么时候才能保证呢？解：⑴因为 扮= L ：,所以 a ≥ 0;类型三：二次根式性质的应用例1、当x=-4时，求二次根式J 一匚：『的值.思路点拨：二次根式也是一种代数式，求二次根式的值和求其他代数式的值方法相同例 2、(1)已知 y=-∙j2-： + 勺了一 F +5 ,求「"的值.(2)若 C- - +=0,求 丁宀、严的值.j _ 2 解：⑴由—— F -- -可得「 J」,.l _|(2) . V -： '.. r .■. _ J- [-<-_■ 、■一• 一 一U..√^+T = O J 二 0 ..Λ +1 = 0,⅛ — 1 = 0,p . a = - ↑f b-l：.β≡+⅛≡ = (-l)w +l≡=2.例3、在实数范围内分解因式:23(I)X -5； (2)x -2x ；解:⑴原式一；•••要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使 ()2”中的数是正数,(2)因为 丄-一，，所以a ≤ 0; (3)因为当a ≥ 0时,要使 1∕" ', J ,即使a > a 所以a 不存在；当要使 \ - '■ I -,即使-a > a ,即 a v 0；综上,a v 0.解：将x=-4代入二次根式，得因为，当a ≤ 0时,那么-a ≥ 0.a v 0 时,= （M）（"）■⑵原式= XCX3-2）= ⅛i-（T2）i; =X（X+Λ∕2）（X-T2）.学习成果测评基础达标一、选择题1•下列式子中，不是二次根式的是（）3. （福建省福州市）若代数式K-1在实数范围内有意义，则X的取值范围为（）A . x> 0B . x≥0 C. X ≠ 0 D. x≥0 且X ≠ 15 . a≥0 时,二、'一::、A.—,比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（）B .C '丿十■'M 1.宀■'■.. <D . V-J ' _ 寸 JN表示的数可能是（）A .J- B. j I112•已知一个正方形的面积是 5 ,那么它的边长是（）B. LJ-IC. 1 D .以上皆不对”1的值是（）C . 4:D.以上都不对4.6.（辽宁省大连市）如图，数轴上点、填空题1. ___________________________ 若亦二 4，贝y X =.2•若血+3有意义，则Q 的取值范围是 __________________⑶（斯+3龍）（2筋-痂）=O10.（内蒙古鄂尔多斯市）如图，在数轴上，A 、B 两点之间表示整数的点有A B-< -- '_-^^3 y∕δ三、解答题1. 求下列二次根式中字母 a 的取值范围:个.9.计算:底面边长应是多少? 能力提升一、选择题2. （山西省临汾市）若■■■ --f∙'--：■,则』与3的大小关系是（）B .汽〕3.下列计算正确的是（）二、填空题Z-I1.若二 ，则」2. 若■■是一个正整数，则正整数 m 的最小值是3.已知实数「三、解答题1.当X 是多少时， 二+x 2在实数范围内有意义?2•某工厂要制作一批体积为 Im 3的产品包装盒，其高为 0.2m ,按设计需要，？底面应做成正方形试问C . 2D .无数4.(福建省厦门市) 3 √5 5-<—<A. L LJ F 列四个结论中，正确的是5 √5 3 _ <——<-B.→ LJC. D.⑴二• 1 ,1.使式子有意义的未知数B . 1A .B .C .D .在数轴上的对应点如图所示，则2•若T ■一 " +^- ■有意义，求4•已知' .l^ ",求 x+y 的值.综合探究1.（福建省南安市）观察分析下列数据，寻找规律： 0，匚「，3，2匸，，3、，，，那么 第10个数据应是 ____________ .两种解答中， _______ 的解答是错误的，错误的原因是 _____________4. 若:--一时，试化简八 ’厂一 U T -'.5. 在实数范围内分解下列因式（1）「- ; （2）打-：：.二次根式定义及性质测试题、复习1、什么叫平方根？开平方？2、平方根如何表示？3、求下列各数的平方根：4、求下列各数的正平方根：(1) 4; (2) 0.16; (3)旦. (1) 225; (2) 0.0001;163•先化简再求值：当a=9时，求a+J —「的值，甲乙两人的解答如下:甲的解答为：原式 =a+ * '' =a+(1-a)=1 ；=a+ 厂T3.（北京市海淀区）已知实数X , y 满足∣Λ-5∣÷λj7+4 = 030082.（江苏省苏州市）等式）中的括号应填入 ______________=a+(a-1)=2a-1=17 .乙的解答为：原式,求代数式 的值.初二数学（下）知识改变命运创造未来258二、二次根式的意义1.二次根式的意义代数式________________ 叫做二次根式，读作 ________________ ,其中 __________ 是被开方数.通常把形如__________________ 的式子也叫做二次根式.2 •二次根式何时有意义二次根式有意义的条件是______________________________ .3. 例题例题1下列各式是二次根式吗？√2、总、口、√齐、jb(b<o)、√b r^τac.例题2设X是实数，当X满足什么条件时，下列各式有意义？(1) ∙∙.2x" ；(2) ^-X ; (3) ] - ; (4) ...1 X2.4 •练习(一)设X是实数，当X满足什么条件时，下列各式有意义?(1) (3) ∙. χ2 -2x 1 .、二次根式的性质性质性质2:性质性质4:例题3求下列二次根式的值:(1):(3 7)2;• X2 -2x 1 ,其中X = - 3 .2、选择题 (1)、实数a 、b 在数轴上对应的位置如图，则 J (b T)2 - J (aT)2 =(A 、b-aB 、2-a-bC 、a-bD 、2+a-b∙∙ ∙ _______ a0 b(2) 、化简√(^√2^)2的结果是()A 、1-.2B 、、2-1C 、_ ( 2 -1)D 、_ (1- 2) (3) 、如果茫丄=,那么X 的取值范围是() J X-2 Y X-2A 、1 ≤ X ≤ 2B 、1v X ≤ 2C 、X ≥ 2D 、X >2例题4化简二次根式(1),72 ；(2),12a 3 ；(3)∙.18X 2 x _0 ；I® °)例题5设a 、b 、C 分别是三角形三边的长，化简:.(a _ b c)2C - a)2练习(二)：1、化简下列二次根式 (1)32 ；(2) '.. 27X 2(X -0)；(3)；，243(n-0);最简二次根式和同类二次根式1、最简二次根式符合的两个条件：（1） ______________________________________________ ; （2） ____________________________________________________ . 例题6判断下列二次根式是不是最简二次根式:；（2）、、42a ；（ 3） 、24X 3 ；（4） . 3 a 2 2a 1 （a _ -1）例题7将下列二次根式化成最简二次根式:（1） ,4x 3y 2 y 0 ； （ 2） . a 2-b 2 ][abab _ - 0 ； （3） . m n m n 02、练习（三）（1）判断下列二次根式中，哪些是最简二次根式：I . ab,2c2y, . 4a 2 4a 1, . a 2 b 2（2）找出下列二次根式中的非最简二次根式，并把它们化成最简二次根式:（3）将下列各二次根式化成最简二次根式：侑,再（b >0）,J a3（χT （x 一 y g y f 爲（p ®°）3、同类二次根式几个二次根式化成 ________________________ 后，如果 _________________ 相同,那么这几个二次根式叫做同 类二次根式.u 2「v 2 , ,a 2b-a 2 c a 0 ,（1例题8下列二次根式中，哪些是同类二次根式?例题9合并下列各式中的同类二次根式：_ 1 _ IL（I）2 2 —3 ÷—2 3 ；2 34、练习（四）（1）判断下列各组中的二次根式是不是同类二次根式：A. （32,750,2』丄；B. j4χ3,2ι∕2X, J8χ2（X ≥0 ）;（2）合并下列各式中的同类二次根式:A. 3 .5 5 -4 .5;212,2一4,(2) 3 xy _ a . Xy b XyB. 2需+4拓-6禹+丄Vb.2。
