人教版数学八年级下册：16.1 二次根式定义及性质 练习题

第十六章 二次根式16．1 二次根式第1课时 二次根式的概念基础题知识点1 二次根式的定义1．(2019·黔东南期末)下列式子中一定是二次根式的是( A )A . 2B .32C .－2D .x2．下列各式中，不一定是二次根式的为( A )A .a ＋1B .b 2＋1C .0D .（a －b ）23．小红说：“因为4＝2，所以4不是二次根式．”你认为小红的说法对吗？错(填“对”或“错”)．知识点2 二次根式有意义的条件 4．(2019·黔南期中联考)二次根式x ＋3有意义的条件是( C )A ．x ＞3B ．x ＞－3C ．x ≥－3D ．x ≥35．当x 为何值时，下列各式有意义？(1)－x ；解：由－x ≥0，得x ≤0. ∴当x ≤0时，－x 有意义．(2)5－2x ；解：由5－2x ≥0，得x ≤52. ∴当x ≤52时，5－2x 有意义．(3)x 2＋1；解：由x 2＋1≥0，得x 为任意实数．∴当x 为任意实数时，x 2＋1都有意义．(4)14－3x. 解：由4－3x>0，得x<43. ∴当x<43时，14－3x有意义．知识点3 二次根式的实际应用6．已知一个表面积为12 dm 2的正方体，则这个正方体的棱长为( B )A ．1 dm B. 2 dm C. 6 dm D ．3 dm易错点 考虑不全造成答案不完整7．若式子a ＋1a －2有意义，则实数a 的取值范围是( C ) A ．a ≥－1 B ．a ≠2 C ．a ≥－1且a ≠2 D ．a >202 中档题8．(2019·毕节织金县期末)如果y ＝1－x ＋x －1＋2，那么(－x)y 的值为( A )A ．1B ．－1C ．±1D ．0 9．(2020·遵义汇川区模拟)若x －1＋2x －3在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是x ≥1且x ≠3． 10．要使二次根式2－3x 有意义，则x 的最大值是23． 11．若整数x 满足|x|≤3，则使7－x 为整数的x 的值是3或－2．(只需填一个)12．x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)32x －1； 解：x>12.(2)21－x； 解：x ≥0且x ≠1.(3)1－|x|；解：－1≤x ≤1.(4)x －3＋4－x.解：3≤x ≤4.03 综合题13．已知a ，b 分别为等腰三角形的两条边长，且a ，b 满足b ＝4＋3a －6＋32－a ，求此三角形的周长． 解：∵3a －6≥0，2－a ≥0，∴a ＝2，b ＝4.当边长为4，2，2时，不符合实际情况，舍去；当边长为4，4，2时，符合实际情况，4×2＋2＝10.综上，此三角形的周长为10.第2课时 二次根式的性质01 基础题知识点1 (a)2＝a(a ≥0) 1．计算：(3)2＝3；(49)2＝49． 2．把下列非负数写成一个非负数的平方的形式：(1)5＝(5)2； (2)3.4＝( 3.4)2； (3)16＝(16)2; (4)x ＝(x)2(x ≥0)． 3．在实数范围内分解因式：x 2－5＝(x ＋5)(x －5)．知识点2 a 2＝a(a ≥0)4．(2019·黔东南期末)计算：（－1）2＝1．5．若（a －2）2＝2－a ，则a 的取值范围是a ≤2.6．计算：(1)49；解：原式＝72＝7.(2)（－5）2；解：原式＝52＝5.(3)－（－13）2； 解：原式＝－（13）2＝－13.(4)4×10－4. 解：原式＝（2×10－2）2＝2×10－2.知识点3 代数式用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．7．下列式子中属于代数式的有( A )①0；②x ；③x ＋2；④2x ；⑤x ＝2；⑥x>2；⑦x 2＋1；⑧x ≠2.A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个8．若一个正方体的表面积为S ，则用含S 的代数式表示正方体的棱长a ＝S 6；当S ＝18时，a ＝3．知识点4 二次根式的非负性二次根式a的两个非负性：(1)被开方数a必须是非负数；(2)a的结果一定是非负数．9．已知x，y为实数，且x－1＋3(y－2)2＝0，则x－y的值为( D )A．3 B．－3 C．1 D．－110．当x＝2_020时，式子2 021－x－2 020有最大值，且最大值为2_021．易错点运用a2＝a(a≥0)时，忽略a≥011．计算：（1－2）2＝2－1．02中档题12．下列等式正确的是( A )A．(3)2＝3 B.（－3）2＝－3 C.33＝3 D．(－3)2＝－3 13．化简二次根式（3.14－π）2，结果为( C )A．0 B．3.14－πC．π－3.14 D．0.114．(2020·呼伦贝尔)已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简|a－1|－（a－2）2的结果是( D )A．3－2a B．－1 C．1 D．2a－315．若等式（x－2）2＝(x－2)2成立，则字母x的取值范围是x≥2．16．计算下列各式：(1)13＋23＝3；(2)13＋23＋33＝6；(3)13＋23＋33＋43＝10；(4)13＋23＋33＋43＋53＝15；(5)13＋23＋33＋…＋203＝210；(6)猜想13＋23＋33＋…＋n3＝n（n＋1）2．(用含n的代数式表示)17．比较211与35的大小．解：∵(211)2＝22×(11)2＝44，(35)2＝32×(5)2＝45，又∵44＜45，且211＞0，35＞0，∴211＜3 5.18．已知实数m满足（2－m）2＋m－4＝m2，求m的值．解：由题意，得m－4≥0，解得m≥4.∴原等式化为m－2＋m－4＝m.整理，得m－4＝2，解得m＝8.03综合题19．甲、乙两人同时解答题目：“化简并求值：a＋1－6a＋9a2，其中a＝5.”甲、乙两人的解答不同，甲的解答是：a＋1－6a＋9a2＝a＋（1－3a）2＝a＋1－3a＝1－2a＝－9；乙的解答是：a＋1－6a＋9a2＝a＋（1－3a）2＝a＋3a－1＝4a－1＝19.(1)甲的解答是错误的；(2)(用公式表示)(3)模仿上题解答：化简并求值：|1－a|＋1－8a＋16a2，其中a＝2.解：|1－a| ＋1－8a＋16a2＝|1－a|＋（1－4a）2.∵a＝2，∴1－a<0，1－4a<0.∴原式＝a－1＋4a－1＝5a－2＝8.16．2 二次根式的乘除第1课时 二次根式的乘法01 基础题知识点1 二次根式的乘法二次根式的乘法法则：a·b ＝ab(a ≥0，b ≥0)．1．计算并化简8×2的结果为( C )A .16B . 4C ．4D ．162．下列各等式成立的是( D )A ．45×25＝8 5B ．53×42＝20 5C ．43×32＝7 5D ．53×42＝20 63．等式x ＋1·x －1＝x 2－1成立的条件是( A )A ．x ≥1B ．x ≥－1C ．－1≤x ≤1D ．x ≥1或x ≥－1 4．计算：(1)12×8＝2；(2)221×(－37)＝－6．5．计算：(1)2×11；解：原式＝22.(2)125×15； 解：原式＝125×15＝25 ＝5.(3)32×27；解：原式＝3×2×2×7＝614.(4)3xy·1y .解：原式＝3xy·1y＝3x.知识点2 积的算术平方根积的算术平方根的性质：ab＝a·b(a≥0，b≥0)．6．化简40的结果是( B )A．10 B．210 C．4 5 D．20 7．化简：(1)（－3）2×6＝36；(2)2y3＝y2y．8．化简：(1)144×169；解：原式＝144×169＝12×13＝156.(2)9x2y5z.解：原式＝9·x2·y5·z＝3x y4·y·z＝3xy2yz.9．计算：(1)36×212；解：原式＝662×2＝36 2.(2)15ab2·10ab.解：原式＝2a2b＝a2b.易错点忽视被开方数不能小于零10．化简：（－4）×（－9）.解：原式＝－4×－9＝(－2)×(－3)＝6. 以上解答过程正确吗？若不正确，请改正．解：不正确．原式＝36＝6.02中档题11．已知m ＝(－33)×(－221)，则有( A ) A ．5＜m ＜6 B ．4＜m ＜5 C ．－5＜m ＜－4 D ．－6＜m ＜－512．(教材P 16“阅读与思考”变式)已知三角形的三边长分别为a ，b ，c ，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦(Heron ，约公元50年)给出求其面积的海伦公式S ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ），其中p ＝a ＋b ＋c 2；我国南宋时期数学家秦九韶(约1202－约1261)曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S ＝12a 2b 2－（a 2＋b 2－c 22）2.若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是( B ) A .3158 B .3154 C .3152 D .15213．(教材P5习题T9(2)变式)(2020·益阳)若计算12×m 的结果为正整数，则无理数m 写出一个符合条件的即可)． 14．(2019·铜仁期末)计算：133x 3y 2·1212xy 2＝x 2y 2． 15．化简：(1)75×20×12； 解：原式＝25×3×4×5×3×4＝60 5.(2)（－14）×（－112）；解：原式＝14×112 ＝2×72×42＝2×72×42＝28 2.(3)－32×45×2；解：原式＝－3×16×22＝－96 2.(4)200a 5b 4c 3(a ＞0，c ＞0)．解：原式＝2×102·（a 2）2·a ·（b 2）2·c 2·c＝10a 2b 2c 2ac.16．将下列二次根式中根号外的因数或因式移至根号内：(1)35；解：原式＝32×5＝45.(2)－23；解：原式＝－22×3＝－12.(3)x－x.解：原式＝－(－x)－x＝－（－x）2·（－x）＝－－x3.17．交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是v＝16df，其中v表示车速(单位：千米/时)，d表示刹车后车轮滑过的距离(单位：米)，f表示摩擦因数，在某次交通事故调查中，测得d＝20米，f＝1.2，肇事汽车的车速大约是多少？(6≈2.449 5，结果精确到0.01千米/时)解：当d＝20米，f＝1.2时，v＝16df＝16×20×1.2＝1624＝326≈78.38(千米/时)．答：肇事汽车的车速大约是78.38千米/时．03综合题18．观察分析下列数据：0，－3，6，－3，23，－15，32，…，根据数据排列的规律得到第16个数据应是(结果需化简)第2课时 二次根式的除法01 基础题知识点1 二次根式的除法二次根式的除法法则：a b ＝a b(a ≥0，b>0)． 1．计算：10÷2＝( A )A . 5B ．5C .52D .1022．下列运算正确的是( D ) A .50÷5＝10B .10÷25＝2 2C .32＋42＝3＋4＝7D .27÷3＝3 3．计算：(1)40÷5； 解：原式＝40÷5 ＝8＝2 2.(2)322；解：原式＝322＝16＝4.(3)45÷215； 解：原式＝45÷215 ＝45×152＝ 6.(4)2a 3bab (a>0)．解：原式＝2a.知识点2 商的算术平方根商的算术平方根的性质：a b ＝a b (a ≥0，b>0)． 4．下列各式成立的是( A )A .－3－5＝35＝35 B .－7－6＝－7－6 C .2－9＝2－9D .9＋14＝9＋14＝312 5．化简： (1)7100； 解：原式＝7100＝710.(2)11549； 解：原式＝6449＝6449＝87.(3)25a 49b 2(b>0)． 解：原式＝25a 49b 2＝5a 23b.知识点3 最简二次根式最简二次根式应有如下两个特点：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．6．(2020·遵义汇川区模拟)下列各式中，是最简二次根式的是( C )A .12B .8C . 6D .0.37．把下列各个二次根式化为最简二次根式：(1)85； 解：原式＝8×55×5 ＝22×1052 ＝22×1052(2)2 3；解：原式＝2×3 3×3＝6 3.(3)8a2b3(a>0)．解：原式＝8·a2·b3＝22·a·b b＝2ab2b.易错点忽视二次根式的被开方数为非负数8．小东在学习了ab＝ab后，认为ab＝ab也成立，因此他认为一个化简过程－27－3＝－27－3＝－3×9－3＝9＝3是正确的．你认为他的化简正确吗？若不正确，请指出错误，并给出正确的解答过程．解：不正确.－27－3≠－27－3.正确解答过程：－27－3＝273＝9＝3.02中档题9．下列等式不成立的是( B )A．62×3＝6 6 B.8÷2＝4C.13＝33D.8×2＝410．计算212×34÷32的结果是( A )A.22B.33C.23D.3211．已知长方形的宽是32，它的面积是186，则它的长是12．不等式22x－6＞0的解集是x＞213．计算：(1)215；解：原式＝115＝115＝11×55×5＝555.(2)(2019·黔南期中)23÷223×25； 解：原式＝23×38×25＝1010.(3)0.9×121100×0.36. 解：原式＝12140＝11222×10＝112110＝112×1010＝111020.14．先化简，再求值：x －1x 2－1÷x 2x 2＋x，其中x ＝ 3. 解：原式＝x －1（x ＋1）（x －1）÷x 2x （x ＋1）＝1x ＋1·x ＋1x＝1x. 当x ＝3时，原式＝13＝33.15．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，S △ABC ＝18 cm 2，BC ＝ 3 cm ，AB ＝3 3 cm ，CD ⊥AB 于点D.求AC ，CD 的长．解：∵S △ABC ＝12AC·BC ＝12AB·CD ， ∴AC ＝2S △ABC BC ＝2183＝26(cm )， CD ＝2S △ABC AB ＝21833＝236(cm )．03 综合题16．已知x －69－x ＝x －69－x，且x 为奇数，求(1＋x)·x 2－2x ＋1x 2－1的值． 解：∵x －69－x ＝x －69－x ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －6≥0，9－x ＞0.∴6≤x ＜9. 又∵x 是奇数，∴x ＝7.∴原式＝(1＋x)·（x －1）2（x ＋1）（x －1） ＝(1＋x)·x －1x ＋1＝（x ＋1）（x －1）＝（7＋1）（7－1）＝8×6＝4 3.16.3 二次根式的加减第1课时 二次根式的加减01 基础题知识点1 可以合并的二次根式1．下列二次根式中，能与3合并的是( C ) A .8 B . 6 C .12 D .122．若最简二次根式2x ＋1和4x －3能合并，则x 的值为( C )A ．－12B .34C ．2D ．5 3．若m 与18可以合并，则m 的最小正整数值是( D )A ．18B ．8C ．4D ．2知识点2 二次根式的加减二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．4．下列计算18－2的结果是( C )A ．4B ．3C ．2 2D . 25．下列计算正确的是( C )A ．2＋3＝2 3B ．52－2＝5C ．52a ＋2a ＝62aD .y ＋2x ＝3xy6．(2019·遵义)计算35－20的结果是5．7．(2020·遵义红花岗区模拟)计算：27－313＝23． 8．三角形的三边长分别为20 cm ，40 cm ，45 cm ，这个三角形的周长是(55＋210)cm .9．计算：(1)(2020·遵义汇川区期末)27－12＋32；解：原式＝33－23＋4 3＝5 3.(2)6－32－23； 解：原式＝6－62－63(3)(2019·黔南期中)8＋23－(27－2)；解：原式＝22＋23－33＋ 2＝32－ 3.(4)45＋45－8＋4 2.解：原式＝45＋35－22＋4 2＝75＋2 2.易错点错用运算法则致错10．计算：18＋98＋27.解：原式＝32＋72＋33①＝102＋33②＝(10＋3)2＋3③＝13 5.④(1)以上解答过程中，从③开始出现错误；(2)请写出本题的正确解答过程．解：原式＝32＋72＋3 3＝102＋3 3.02中档题11．若x与2可以合并，则x可以是( A )A．0.5 B．0.4 C．0.2 D．0.112．计算|2－5|＋|4－5|的值是( B )A．－2 B．2 C．25－6 D．6－2 513．如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为27，宽为12，下列是四位同学对该大长方形的判断，其中不正确的是( C )A．大长方形的长为6 3B．大长方形的宽为5 314．若a ，b 均为有理数，且8＋18＋18＝a ＋b 2，则a ＝0，b ＝214.15．当y ＝23时，8y ＋4－5－4y 316．已知一个等腰三角形的周长为125，其中一边的长为25，则这个等腰三角形的腰长为17．计算： (1)(45＋27)－(43＋125)； 解：原式＝35＋33－233－5 5 ＝733－2 5.(2)8－612＋12－|2－3|； 解：原式＝22－32＋23＋2－ 3＝ 3.(3)18－22－82＋(5－1)0； 解：原式＝32－2－2＋1＝2＋1.(4)254x ＋16x －9x ； 解：原式＝52x ＋4x －3x ＝72x.(5)(30.5－513)－(20.125－20)． 解：原式＝(312－513)－(218－20) ＝322－533－22＋2 5 ＝2－533＋2 5.面积为800 cm2，另一张面积为450 cm2，他想如果再用金色细彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他手上现有1.2 m长的金色细彩带，请你帮忙算一算，他的金色细彩带够用吗？如果不够用，还需买多长的金色细彩带？(2≈1.414，结果保留整数)解：镶壁画所用的金色细彩带的长：4×(800＋450)＝4×(202＋152)＝1402≈197.96(cm)．因为1.2 m＝120 cm＜197.96 cm，所以小刚的金色细彩带不够用．197．96－120＝77.96≈78(cm)，即还需买78 cm的金色细彩带．03综合题19．若a，b都是正整数，且a＜b，a与b可以合并，是否存在a，b，使a＋b＝75？若存在，请求出a，b的值；若不存在，请说明理由．解：∵a与b可以合并，a＋b＝75＝53，且a，b都是正整数，a＜b，∴a＝3，b＝43或a＝23，b＝33，即a＝3，b＝48或a＝12，b＝27.第2课时 二次根式的混合运算01 基础题知识点1 二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．1．下列计算错误的是( D )A .14×7＝7 2B .60÷30＝ 2C .9a ＋25a ＝8 aD ．32－2＝32．(2020·朝阳)计算12－12×14的结果是( B )A ．0B . 3C ．3 3D .12 3．计算(515－245)÷(－5)的结果为( A )A ．5B ．－5C ．7D ．－7 4．计算：(1)(2019·南京)计算147－28的结果是0；(2)(2019·青岛)计算：24＋82－(3)2＝23－1．5．计算：(1)3(5－2)；解：原式＝3×5－3× 2＝15－ 6.(2)(2019·黔南期中)348－427÷23；解：原式＝123－123÷2 3 ＝123－6.(3)(2＋3)(2＋2)．解：原式＝(2)2＋32＋22＋6＝2＋52＋6＝8＋5 2.乘法公式：(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2；(a －b)2＝a 2－2ab ＋b 2；(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2．6．(2019·遵义桐梓县模拟)计算(5＋4)(5－4)的结果是1．7．计算(25－2)2的结果是22－4108．计算：(1)(2019·黔东南期末)(7＋43)(7－43)； 解：原式＝49－48＝1.(2)(3－3)2.解：原式＝(3)2－2×3×3＋32＝3－63＋9＝12－6 3.易错点 错用运算法则进行运算9．嘉淇计算12÷(34＋233)时，想起分配律，于是她按分配律完成了下列计算： 解：原式＝12÷34＋12÷233＝12×43＋12×323 ＝11.她的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程．解：不正确，正确解答过程为： 原式＝12÷(3312＋8312) ＝12÷11312＝23×12113 ＝2411.02 中档题10．计算(2＋1)2 021(2－1)2 020的结果是( C )A ．1B ．－1C .2＋1D .2－1A ．14B ．16C ．8＋5 2D ．14＋ 2 12．(2019·滨州)计算：(－12)－2－|3－2|＋32÷118＝2＋43． 13．已知m ＝1＋2，n ＝1－2，则代数式m 2＋n 2－3mn 的值为3． 14．计算： (1)48÷3－12×12＋24； 解：原式＝48÷3－12×12＋2 6 ＝4－6＋2 6 ＝4＋ 6.(2)(2019·黔东南期末)18－412＋24÷3； 解：原式＝32－22＋24÷3 ＝2＋2 2 ＝3 2.(3)(32＋23)×(32－23)－(3－2)2.解：原式＝(32)2－(23)2－[(3)2－2×3×2＋(2)2] ＝18－12－(3－26＋2) ＝6－5＋2 6 ＝1＋2 6.15．已知x ＝3＋2，y ＝3－2，求x 3y －xy 3的值． 解：原式＝xy(x 2－y 2)＝xy(x ＋y)(x －y)． 当x ＝3＋2，y ＝3－2时， xy ＝1，x ＋y ＝23，x －y ＝2 2. ∴原式＝1×23×22＝4 6.16．先化简，再求值：(a －2a 2＋2a －a －1a 2＋4a ＋4)÷a －4a ＋2，其中a ＝2－1.解：原式＝[a －2a （a ＋2）－a －1（a ＋2）2]·a ＋2a －4＝a 2－4－a 2＋a a （a ＋2）2·a ＋2a －4 ＝a －4a （a ＋2）2·a ＋2a －4＝1a （a ＋2）.当a ＝2－1时，原式＝1（2－1）（2－1＋2）＝1.03 综合题17．(2019·遵义期末改编)观察下列运算： ①由(2＋1)(2－1)＝1，得12＋1＝2－1； ②由(3＋2)(3－2)＝1，得13＋2＝3－2； ③由(4＋3)(4－3)＝1，得14＋3＝4－3； …(1)通过观察你得出什么规律？用含n 的式子表示出来； (2)利用(1)中发现的规律计算：(12＋1＋13＋2＋14＋3＋…＋12 020＋ 2 019＋12 021＋ 2 020)×( 2 021＋1)． 解：(1)1n ＋1＋n＝n ＋1－n(n ≥0)．(2)原式＝(2－1＋3－2＋4－3＋…＋ 2 021－ 2 020)×( 2 021＋1) ＝(－1＋ 2 021)×( 2 021＋1) ＝( 2 021)2－1 ＝2 020.小专题(一) 二次根式的性质及运算类型1 二次根式的非负性1．已知a －b ＋|b －1|＝0，则a ＋1＝2．2．已知x ，y 为实数，且y ＝x －9＋9－x ＋4，则x －y 的值为5． 3．当x ＝15时，5x －1＋4的值最小，最小值是4．类型2 二次根式的运算 4．计算： (1)62×136；解：原式＝(6×13)2×6＝212 ＝4 3.(2)(－45)÷5145； 解：原式＝－45÷(5×355)＝－45÷3 5 ＝－43.(3)72－322＋218； 解：原式＝62－322＋6 2 ＝2122. (4)(25＋3)×(25－3)． 解：原式＝(25)2－(3)2 ＝20－3 ＝17.5．计算：(1)334÷(－12123)； 解：原式＝[3÷(－12)]34÷53＝－6920 ＝－69×520×5＝－95 5.(2)(6＋10×15)×3； 解：原式＝32＋56× 3 ＝32＋15 2 ＝18 2.(3)354×(－89)÷7115； 解：原式＝3×(－1)×54×89÷7115＝－348÷765＝－3748×56＝－6710.(4)(12－418)－(313－40.5)； 解：原式＝23－2－3＋2 2 ＝3＋ 2.(5)(32－6)2－(－32－6)2. 解：原式＝(32－6)2－(32＋6)2 ＝18＋6－123－(18＋6＋123) ＝－24 3.6．计算：(1)(2019·南充)(1－π)0＋|2－3|－12＋(12)－1； 解：原式＝1＋3－2－23＋ 2 ＝1－ 3.(2)|2－5|－2×(18－102)＋32. 解：原式＝5－2－12＋5＋32＝25－1.类型3 与二次根式有关的化简求值7．已知实数a ，b ，定义“★”运算规则如下：a ★b ＝⎩⎨⎧b （a ≤b ），a 2－b 2（a>b ），求7★(2★3)的值．解：由题意，得2★3＝ 3.∴7★(2★3)＝7★3＝7－3＝2.8．已知x ＝3＋1，求x 2－2x －3的值． 解：x 2－2x －3＝x 2－2x ＋1－4 ＝(x －1)2－4. 当x ＝3＋1时， 原式＝(3＋1－1)2－4 ＝3－4 ＝－1.9．已知x ＝1－2，y ＝1＋2，求x 2＋y 2－xy －2x ＋2y 的值． 解：∵x ＝1－2，y ＝1＋2，∴x －y ＝－22，xy ＝(1－2)(1＋2)＝－1. ∴原式＝(x －y)2－2(x －y)＋xy ＝(－22)2－2×(－22)＋(－1) ＝7＋4 2.10．(2020·烟台)先化简，再求值：(y x －y －y 2x 2－y 2)÷xxy ＋y 2，其中x ＝3＋1，y ＝3－1.解：原式＝[y （x ＋y ）（x ＋y ）（x －y ）－y 2（x ＋y ）（x －y ）]÷xy （x ＋y ）＝xy（x ＋y ）（x －y ）·y （x ＋y ）x＝y 2x －y. 当x ＝3＋1，y ＝3－1时， 原式＝（3－1）22＝2－ 3.11．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋22＝(1＋2)2，善于思考的小明进行了以下探索：设a ＋b 2＝(m ＋n 2)2(其中a ，b ，m ，n 均为正整数)，则有a ＋b 2＝m 2＋2n 2＋22mn ， ∴a ＝m 2＋2n 2，b ＝2mn.这样小明就找到了一种把a ＋b 2的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)当a ，b ，m ，n 均为正整数时，若a ＋b 3＝(m ＋n 3)2，用含m ，n 的式子分别表示a ，b ，得a ＝m 2＋3n 2，b ＝2mn ；(2)利用所探索的结论，找一组正整数a ，b ，m ，n 填空：4＋(1＋2；(答案不唯一) (3)若a ＋43＝(m ＋n 3)2，且a ，m ，n 均为正整数，求a 的值．解：根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝m 2＋3n 2，4＝2mn.∵2mn ＝4，且m ，n 为正整数， ∴m ＝2，n ＝1或m ＝1，n ＝2. ∴a ＝7或13.章末复习(一)二次根式01分点突破知识点1二次根式的相关概念二次根式有意义的条件：(1)1A有意义⇒A＞0；(2)A＋1B有意义⇒⎩⎪⎨⎪⎧A≥0，B≠0.1．(2019·黔东南期末)在二次根式a－2中，a能取到的最小值为( C ) A．0 B．1 C．2 D．2.52．(2019·毕节模拟)使代数式2x－13－x有意义的x的取值范围是x≥12且x≠3．知识点2二次根式的性质3．若a－1＋(b－2)2＝0，则ab的值等于( D )A．－2 B．0 C．1 D．2 4．若xy＜0，则x2y化简后的结果是( D )A．x y B．x－y C．－x－y D．－x y 5．(2019·黔东南期末)若m＝n－2＋2－n＋5，则m n＝25．6．如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a＋a2－4a＋4＝2．知识点3二次根式的运算在二次根式的运算中，最后结果一般要求分母中不含二次根式，具体化简方法如下：(1)ab＝a·bb·b＝abb(a≥0，b＞0)；(2)abb＝a（b）2b＝a b(b＞0)．7．与－5可以合并的二次根式的是( C )A.10B.15C.20D.25 8．下列计算正确的是( D )A.3＋5＝8B.2÷5＝2 5C．23×33＝6 3 D.7－27＝－79．计算： (1)68－32； 解：原式＝122－4 2 ＝8 2. (2)27－13＋12； 解：原式＝33－33＋2 3 ＝1433.(3)212×34÷2； 解：原式＝2×14×12×3×12＝322. (4)(48＋20)－(12－5)． 解：原式＝43＋25－23＋ 5 ＝23＋3 5.02 易错题集训10．下列计算正确的是( D )A .2＋5＝7B ．2＋2＝2 2C ．32－2＝3D .2－12＝2211．计算：23÷5×15. 解：原式＝23×15×15＝235.12．小明在学习中发现了一个“有趣”的现象：∵23＝22×3＝22×3＝12，①－23＝（－2）2×3＝（－2）2×3＝12，② ∴23＝－2 3.③ ∴2＝－2.④(1)上面的推导过程中，从第②步开始出现错误(填序号)； (2)写出该步的正确结果．解：－23＝－22×3＝－22×3＝－12.03 常考题型演练13．(2019·遵义期中)下列式子是最简二次根式的是( D ) A .8 B .3m 2 C .12D . 6 14．(2020·遵义汇川区模拟)下列运算正确的是( C )A ．x －2x ＝xB ．(xy)2＝xy 2C .2×3＝ 6D ．(－2)2＝4 15．(2019·遵义期中)下列各式计算错误的是( C ) A ．(3－2)(3＋2)＝1 B .2×3＝ 6 C ．55－25＝3 D .18÷2＝316．(2019·黔东南期末)已知x ＝5＋1，y ＝5－1，则x 2＋2xy ＋y 2的值为( A ) A ．20 B ．16 C ．2 5 D ．4 517．已知实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简：（a ＋1）2＋（b －1）2－|a －b|＝－2．18．观察下列各式：1＋13＝213，2＋14＝314，3＋15＝415，…，请你将发现的规律用含自然数n(n ≥1)的代数式表达出来n ＋1n ＋2＝(n ＋1)1n ＋2(n ≥1)． 19．计算： (1)(24－12)－(18＋6)； 解：原式＝26－22－24－ 6 ＝6－324.(2)6×13－16×18；解：原式＝2－4×3 2＝2－12 2＝－11 2.(3)(5＋3)2－(5＋3)(5－3)；解：原式＝5＋3＋215－(5－3)＝6＋215.(4)48÷3－12×12＋24；解：原式＝43÷3－22×23＋2 6＝4－6＋2 6 ＝4＋ 6.(5)18－22－(5－1)0－82.解：原式＝32－2－1－ 2＝2－1.20．(2019·遵义期中)先化简，再求值：a＋1－2a＋a2，其中a＝1 010.如图是小亮和小芳的解答过程．(1)小亮的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：a2＝－a(a＜0)；(2)先化简，再求值：x＋2x2－4x＋4，其中x＝－2 019.解：x＋2x2－4x＋4＝x＋2（x－2）2.∵x＝－2 019，∴x－2<0.∴原式＝x＋2(－x＋2)＝x－2x＋4＝－x＋4＝2 019＋4＝2 023.。

人教版初中数学八年级下册第十六章《二次根式》第一节同步练习题（含答案）1 / 4 16.1《二次根式》同步练习题一、选择题（每小题只有一个正确答案）1．在下列式子： ， ， ， ， ， ， 中，是二次根式的有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个2．若二次根式 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A. x ≤﹣6B. x ＞6C. x ＞﹣6D. x ≥﹣63．下列根式中，最简二次根式是（ ）．A. B. C. D. 4．下列各式中，一定能成立的是（ ）。

A. B.C. =x-1D.5．已知 ， ，则a 与b 的关系为( )．A. a =bB. ab =1C. a =－bD. ab =－1 6．已知： 是整数，则满足条件的最小正整数 为( )A. 2B. 3C. 4D. 57．化简x ，正确的是（ ）A. B. C. ﹣ D. ﹣二、填空题8．直接写出下列各式的结果：(1)＝_______；(2) 2_______；(3) (2_______； (4)_______；(5) 2_______；(6)2_______． 9．已知矩形的长为 ，宽为 ，则面积为______cm 2．10．比较大小6 ______7 ．（填“>”，“＝”，“<”号）11．已知实数a 在数轴上的位置如图，则化简|1﹣_____．12．已知- 的整数部分为x ，小数部分为y ，则xy=_____________。

三、解答题13．x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义．(1) － ； (2)14．已知长方形的长为cm，宽为cm，求与这个长方形面积相等的圆的半径.15．把根号外的因式移到根号内：（1）；（2）．16．设a,b,c为△ABC的三边，化简人教版初中数学八年级下册第十六章《二次根式》第一节同步练习题（含答案）1 / 4参考答案1．C2．D3．A4．A5．A6．D7．C8． 7 7 7 -7 0.7 49 9． 10．>11．1﹣2a12．3 -913．(1) －1≤x≤2； (2) x ＜解析：（1）由题意得：，解得－1≤x≤2, 即当－1≤x≤2时， － 有意义；（2）由题意得： ，解得x ＜ , 即当x ＜ 时， 有意义.14． cm解析：设圆的半径为rcm ，根据题意得：πr 2= × =60π，解得r=2 cm ，则圆形图片的半径为2 cm ．15．（1） ；（2）解析：（1）原式===﹣（2）原式=（1﹣x ）=（1﹣x ）•1x- =16．2(a+b+c)解析：根据a ，b ，c 为△ABC 的三边，得到a +b +c >0，a −b −c <0，b −a −c <0，c −b −a <0， 则原式，答案第2页，总2页。

人教版八年级数学下册《二次根式的定义及性质》专项练习(附带答案）
【考点导航】
目录
【典型例题】 (1)
【考点一二次根式的定义】 (1)
【考点二二次根式有意义的条件】 (2)
【考点三求二次根式的值】 (3)
【考点四求二次根式中的参数】 (4)
【考点五利用二次根式的性质化简】 (6)
【考点六复合二次根式的化简】 (7)
【过关检测】 (9)
【典型例题】
【考点一二次根式的定义】
【考点二二次根式有意义的条件】
【考点三求二次根式的值】
【考点四求二次根式中的参数】
【考点五利用二次根式的性质化简】
【考点六复合二次根式的化简】
-=
）解：743
【过关检测】一、选择题
【详解】解：二次根式
a b
-≠a b
+= a b
14
【答案】22+-a b c。

《二次根式》练习一、选择——基础知识运用1．化简√18的结果是（ ）A ．2√3B ．2√6C ．3√2D ．3√62．当1＜x ＜2时，化简√x 2-4x+4 +√x 2-2x+1得（ ）A ．2x-3B ．1C ．3-2xD ．-1 3．把x √-1x 根号外的因数移到根号内，结果是（ ）A ．√xB ．√-xC ．-√-xD ．-√x4．如果1a -b√a 2-2ab+b 2= -1，则a 与b 的大小关系为（ ） A ．a ＞b B ．b ＞aC ．a ≥bD ．b ≥a 5．某校研究性学习小组在学习二次根式√a 2=|a|之后，研究了如下四个问题，其中错误的是（ ）A ．在a ＞1的条件下化简代数式a+√a 2-2a+1的结果为2a-1B ．当a+√a 2-2a+1的值恒为定值时，字母a 的取值范围是a ≤1C ．a+√a 2-2a+1的值随a 变化而变化，当a 取某个数值时，上述代数式的值可以为12D ．若√a 2-2a+1=（√a -1）2，则字母a 必须满足a ≥1二、解答——知识提高运用6．计算：1a √1+1a （a ＞0）。

7．计算：（1）√72a 4b 3 （a ≥0，b ≥0）（2）√492-322（3）√90ab 3(c+1) （c ＞-1，b ＞0）（4）√4m 4+8m 2n 2 （m ≥0）8．求√a+4 - √9-2a + √-a 2的值。

9．如图，已知实数a ，b 在数轴上位置如图所示，试化简√(a -b)2 + √b 2 -|a+b|.。

10．若b 为实数，化简|2b-1|- √b 2-2b+1。

11．设√39-√432的小数部分为b ，求证：√39-√432＝2b+1b 。

1 1-a 。

12．把根号外的因式移到根号内：(a-1)√参考答案一、选择——基础知识运用1．【答案】C2．【答案】B【解析】∵1＜x＜2，∴原式=√(x-2)2 + √(x-1)2=|x-2|+|x-1|=2-x+x-1=1故选：B。

5 0.5{ )1(4) 4－3x ；x －4 第十六章 二次根式 16．1 二次根式 第 1 课时 二次根式的概念01基础题知识点 1 二次根式的定义1. 下列式子不是二次根式的是( B )A. B .C. D. 2. 下列各式中，一定是二次根式的是( C )A. －7C . 1＋x 2D . 3. 已知 a 是二次根式，则 a 的值可以是( C )A ．－2B ．－1C ．2D ．－54. 若 －3x 是二次根式，则 x 的值可以为答案不唯一，如：－1(写出一个即可)．知识点 2 二次根式有意义的条件5．x 取下列各数中的哪个数时，二次根式 A ．－2 B ．0C ．2D ．4 x －3有意义(D )6．(2017·广安)要使二次根式 A. x ＞2 B ．x ≥2 C ．x ＜2 D ．x ＝22x －4在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是(B)7. 当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？解：由－x ≥0，得 x ≤0.解：由 2x ＋6≥0，得 x ≥－3.解：由 x 2≥0，得 x 为全体实数． 4解：由 4－3x>0，得 x<3. (5) x －3 .x －4 ≥ 0，解：由 x －3 ≠ 0 得 x ≥4.(3) x 2； (2) 2x ＋6；(1) －x ；3－π13B . m 32x6 3 (1) 2x －1；2 (2)1－ x ； (3) 1－|x|；知识点 3 二次根式的实际应用8. 已知一个表面积为 12 dm 2 的正方体，则这个正方体的棱长为(B)A.1 dmB. 2 dmC. dm D ．3 dm9. 若一个长方形的面积为 10cm 2，它的长与宽的比为 5∶1，则它的长为5 2cm ，宽为02中档题10. 下列各式中：①12；②2x ；③ x 3；④ －5.其中，二次根式的个数有(A ) A ．1 个 B ．2 个C ．3 个D ．4 个 11．(2017·济宁)若 1 A. x ≥2 12x －1＋ 1 B. x ≤21－2x ＋1 在实数范围内有意义，则 x 满足的条件是(C)1C. x ＝2 1D. x ≠212. 使式子 x ＋3＋ 4－3x 在实数范围内有意义的整数 x 有(C )A ．5 个B ．3 个C ．4 个D ．2 个113. 如果式子 a ＋ ab 有意义，那么在平面直角坐标系中点 A(a ，b)的位置在(A) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限14. 使式子 －（x －5）2有意义的未知数 x 的值有 1 个．15. 若整数 x 满足|x|≤3，则使 7－x 为整数的 x 的值是 3 或－2．216. 要使二次根式 2－3x 有意义，则 x 的最大值是3．17. 当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？1解：x>2.解：x ≥0 且 x ≠1.2cm.解：－1≤x≤1.(4) x－3＋4－x.解：3≤x≤4.03综合题3a－6＋3 2－a，求此18.已知a，b 分别为等腰三角形的两条边长，且a，b 满足b＝4＋三角形的周长．解：∵3a－6≥0，2－a≥0，∴a＝2，b＝4.当边长为4，2，2 时，不符合实际情况，舍去；当边长为4，4，2 时，符合实际情况，4×2＋2＝10.∴此三角形的周长为10.1（－ ）2 3 第 2 课时 二次根式的性质01 基础题 知识点 1 a ≥0(a ≥0)1．(2017·荆门)已知实数 m ，n 满足|n －2|＋ m ＋1＝0，则 m ＋2n 的值为 3． 2．当 x ＝2 017 时，式子 2 018－ x －2 017有最大值，且最大值为 2 018． 知识点 2 ( a )2＝a (a ≥0)3. 把下列非负数写成一个非负数的平方的形式：(1)5＝(15)2; 1(2)3.4＝( 3.4)2；(3)6＝( 4. 计算：( 5. 计算：6)2; (4)x ＝( x )2(x ≥0)．2 018)2＝2 018．解：原式＝0.8.3(2)(－ 4)2；3解：原式＝4. (3)(5 2)2；解：原式＝25×2＝50. (4)(－2 6)2.解：原式＝4×6＝24. 知识点 3 6．计算 a 2＝a (a ≥0) （－5）2的结果是(B )A ．－5B ．5C ．－25D ．257. 已知二次根式 x 2的值为 3，那么 x 的值是(D)A ．3B ．9C ．－3D ．3 或－3 8. 当 a ≥0 时， 9. 计算：9a 2＝3a ．解：原式＝7.解：原式＝5.(3)； 1解：原式＝3. (2) （－5）2； (1) 49； (1)( 0.8)2； (4) 6－2.1 （－ ）2 8 1解：原式＝6.知识点 4 代数式10. 下列式子不是代数式的是(C )3A. 3xB .xC ．x>3D ．x －3 11. 下列式子中属于代数式的有(A )①0；②x ；③x ＋2；④2x ；⑤x ＝2；⑥x>2；⑦ A ．5 个 B ．6 个 C ．7 个 D ．8 个 02 中档题12. 下列运算正确的是(A )A. － （－6）2 6 B ．(－ 3)2＝9 C . （－16）2＝±16 D ．－(－ 5)2＝－25 13．若 a ＜1，化简 （a －1）2－1 的结果是(D )A. a －2 B ．2－a C ．a D ．－ax 2＋1；⑧x ≠2. 14．(2017·枣庄)实数 a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|＋A ．－2a ＋bB ．2a －bC ．－bD ．b（a －b ）2的结果是(A )15. 已知实数 x ，y ，m 满足 x ＋2＋|3x ＋y ＋m|＝0，且 y 为负数，则 m 的取值范围是(A)A ．m ＞6B ．m ＜6C ．m ＞－6D ．m ＜－616. 化 简 ：（2－ 5）2 5－2． 17. 在实数范围内分解因式：x 2－5＝(x ＋ 5)(x － 5)． 18. 若等式（x －2）2＝( x －2)2 成立，则 x 的取值范围是 x ≥2．19. 若 a 2＝3， b ＝2，且 ab ＜0，则 a －b ＝－7． 20. 计算：(1)－2； 1解：原式＝－2×81＝－4.解：原式＝2×10－2. (3)(2 3)2－(4 2)2；(2) 4 × 10－4；1 （2 ）23 1 （－2 ）23 解：原式＝12－32 ＝－20.(4) ＋. 1 1解：原式＝23＋23 2＝43.21. 比较 211与 3 5的大小． 解：∵(2 11)2＝22×( 11)2＝44， (3 5)2＝32×( 5)2＝45，又∵44＜45，且 2 11＞0，3 5＞0，22. 先化简 a ＋ 1＋2a ＋a 2，然后分别求出当 a ＝－2 和 a ＝3 时，原代数式的值． 解：a ＋ 1＋2a ＋a 2＝a ＋ （a ＋1）2＝a ＋|a ＋1|，当 a ＝－2 时，原式＝－2＋|－2＋1|＝－2＋1＝－1； 当 a ＝3 时，原式＝3＋|3＋1|＝3＋4＝7. 03 综合题23. 有如下一串二次根式：① 52－42；② ④ 652－162…172－82；③ 372－122； (1)求①，②，③，④的值；(2) 仿照①，②，③，④，写出第⑤个二次根式；(3) 仿照①，②，③，④，⑤，写出第个二次根式，并化简． 解：(1)①原式＝ 9＝3. ②原式＝ ③原式＝④原式＝225＝15.1 225＝35.3 969＝63. (2)第⑤个二次根式为(3)第个二次根式为化简：1012－202＝99.（4n 2＋1）2－（4n ）2. （4n 2＋1）2－（4n ）2＝ (2n ＋1)．（4n 2－4n ＋1）（4n 2＋4n ＋1）＝ （2n －1）2（2n ＋1）2＝(2n －1) 5. ∴2 11＜33 6 2 × 701 基础题16.2 二次根式的乘除 第 1 课时 二次根式的乘法知识点 1 a ·b ＝ ab (a ≥0，b ≥0) 1. 计算 2× 3的结果是(B )2. 下列各等式成立的是(D )A ．4 C ．4 5×2 3×3 5＝8 5 2＝7 5B ．5 D ．5 3×4 3×4 2＝20 52＝20 63．下列二次根式中，与 2的积为无理数的是(B )A .C .4．计算： 8× B .D . 12＝2．5. 计算：2 6×(－3 6)＝－36．6. 一个直角三角形的两条直角边分别为 a ＝2 cm ，b ＝3 cm ，那么这个直角三角形的面积为 9 2cm 2.7. 计算下列各题：1(1) 3× 5； (2) 125× 5；解：原式＝ ＝5.15. 解：原式＝(3)(－3 2)×2 7；解：原式＝－6 解：原式＝3 x .＝－6 14.知识点 2ab ＝ a · b (a ≥0，b ≥0) 8. 下列各式正确的是( D )A . （－4） × （－9）＝ －4× 16 9 ＋B .4＝ 16× 4 4C . 9＝ 4×D . 4 × 9＝ 4× 9．(2017·益阳)下列各式化简后的结果是 3 2的结果是( C )B . 6 D ．3 2 A. 5C ．2 3 1 21218 32251(4)3 xy · y .－99 4 4 991 ab 25 10a b (2) 300；(3) 16y ；3A. 6C . 18B. 12 D . 36 10．化简 （－2）2 × 8 × 3的结果是(D )A ．2 24B ．－2 24C ．－4 6D ．4 611．化简：(1) 100 × 36＝60；(2) 2y 3＝y 2y．12. 化简：(1) 4 × 225； 解：原式＝ 4× 225＝2×15＝30.解：原式＝10 3.解：原式＝4 y .解：原式＝3xy 2 13. 计算：(1)3 6×2 12；yz . 解：原式＝6 62 × 2＝36 2.(2) · . 解：原式＝ 2a 2b ＝a 2b .02中档题14. 50· a 的值是一个整数，则正整数 a 的最小值是(B ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．515．已知 m ＝(－ 3 )×(－2 21)，则有(A )A ．5＜m ＜6B ．4＜m ＜5C ．－5＜m ＜－4D ．－6＜m ＜－516. 若点 P(a ，b)在第三象限内，化简 17. 计算：(1) 75× 20× 12；a 2b2的结果是 ab ． 解：原式＝ 25 × 3 × 4 × 5 × 3 × 4 ＝60 5. (4) 9x 2y5z .2(3) － 32 × 45 × 2； 解：原式＝－3×16×2 2 ＝－96 2.(4) 200a 5b4c3(a ＞0，c ＞0)． 解：原式＝ 2 × 102·（a 2）2·a·（b 2）2·c2·c ＝10a 2b 2c 2ac .18. 交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是v ＝16 df ，其中 v 表示车速(单位：km /h )，d 表示刹车后车轮滑过的距离(单位：m )，f 表示摩擦因数，在某次交通事故调查中，测得 d ＝20 m ，f ＝1.2，肇事汽车的车速大约是多少？ (结果精确到 0.01 km /h )解：当 d ＝20 m ，f ＝1.2 时，v ＝16 df ＝16× 20 × 1.2＝16 24＝32 6≈78.38.答：肇事汽车的车速大约是 78.38 km /h .19. 一个底面为 30 cm ×30 cm 的长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为 10 cm 的长方体铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了 20 cm ，铁桶的底面边长是多少厘米？解：设铁桶的底面边长为 x cm ，则x 2×10＝30×30×20，x 2＝ 30×30×2， x ＝ 30 × 30 × 2＝30 2. 答：铁桶的底面边长是 30 cm.03综合题20. (教材 P 16“阅读与思考”变式)阅读：古希腊的几何家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长a ＋b ＋c分别为 a 、b 、c.记：p ＝ 2 “海伦公式”．，则三角形的面积 S ＝ p （p －a ）（p －b ）（p －c ），此公式称为 思考运用：已知李大爷有一块三角形的菜地，如图，测得 AB ＝7 m ，AC ＝5m ，BC ＝8 m ，你能求出李大爷这块菜地的面积吗？试试看.解：∵AB ＝7 m ，AC ＝5 m ，BC ＝8 m ，(2) （－14） × （－112）； 解：原式＝ 14 × 112 ＝ 2 × 72 × 42 ＝ 2× 72× 42 ＝28 2.a＋b＋c 7＋5＋8∴p＝＝ 2 ＝10.∴S＝p（p－a）（p－b）（p－c）＝10 × （10－7）× （10－5）× （10－8）＝10 × 3 × 5 × 2＝105 2 a 3b ab 01 基础题a a 知识点 1b ＝ b (a ≥0，b ＞0) 1. 计算： 10÷ 2＝(A ) 第 2 课时 二次根式的除法5 10 A . B ．5C . 2D . 22 2. 计算 3÷ A.13 C .2 32的结果是(B )2B .3D ．以上答案都不对3. 下列运算正确的是(D )A . 50÷ 5＝10B . 10÷2 5＝2C . 32＋42＝3＋4＝7D . 1227÷3＝3 4. 计算： 5. 计算： 3 ＝2．(1) 40÷5； 解：原式＝ 8＝2 2. 解：原式＝4.4 (3) 5÷ 215；(4) (a>0)． 解：原式＝ a 6. 解：原式＝2a.a 知识点 2b ＝ b (a ≥0，b ＞0) 6. 下列各式成立的是(A )－33 3 A . －5＝ 5＝ 5－7 －7B . －6＝ －62 32(2) 2 ；2 13 0.3 37(1) 100；1 1 D .4＝327. 实数 0.5 的算术平方根等于(C )2 1A ．2B .C . 2 x －1D .28. 如果 ＝x －2，那么 x 的取值范围是(D )A ．1≤x ≤2B ．1＜x ≤2C ．x ≥2D ．x ＞2 或 x ≤19. 化简：7 7 解：原式＝100＝10.(2)解：原式＝ 64 64 849＝ 49＝7.25a 4(3) 9b2 (b>0)．25a 4 5a 2解：原式＝ 9b2＝ 3b .知识点 3 最简二次根式10．(2017·荆州)下列根式是最简二次根式的是(C )A. B . C . D . 11. 把下列二次根式化为最简二次根式：(1) 2.5； 2 －9 2C . －9＝ 9 ＋1 4＝ 9＋ 15 149； x －1 （ ）2 x －2 203 6C.6 3＝254a2b6a 2 32 (4)3 40 .＝3 ×2 5 5 10解：原式＝2＝2 .2解：原式＝5 10.12(3) 2 ；解：原式＝2 ＝2解：原式＝3 2 × 201＝3 × 2015＝30.02中档题12.下列各式计算正确的是(C)48 3 23A. 3 ＝16B. 11÷3＝12D. ＝911 13.计算3÷2A.7 51 22 13÷5的结果是(A)2B.78(2) 5；3.ab2 27 × 123 30.9 × 121(1) 100 × 0.36；2C .D . 7 14. 在①14；② a 2＋b 2；③ 27；④ m 2＋1中，最简二次根式有 3 个． 15. 如果一个三角形的面积为 15，一边长为 3，那么这边上的高为 2 5．16. 不等式 2 2x － 6＞0 的解集是 x ＞2 ． 17. 化简或计算：解：原式＝ 9 × 121 36 × 10＝33 1 ＝ 6 1033 10 ＝ 6 × 10 ＝ 20 .(2) 12÷27×(－ 18)；解：原式＝－＝－＝－2 2.(3) ；解：原式＝＝3× 2 ＝6 3.(4) 212x ÷5 y . 2解：原式＝(1÷5) 32 × 112 62 × 10 11 1012 × 18 27 4 × 3 × 2 × 93 × 93 × 9 × 123 312x ÷ y18 3 2 18 3 1＝a·a ab ③ ＝ ab .④＝ 5 3xy＝ y .18. 如图，在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，S △ABC ＝ cm 2，BC ＝ cm ，AB ＝3 cm ，CD ⊥AB 于点 D.求 AC ，CD 的长．1 1解：∵S △ABC ＝2AC·BC ＝2AB·CD ，2S △ ABC ∴AC ＝ BC ＝ ＝2 6(cm )，2S △ ABC 2 18 2CD ＝ AB 03 综合题＝ 3 3 ＝3 6(cm )．19. 阅读下面的解题过程，根据要求回答下列问题．ab3－2ab2＋a2b 化简：b －aa(b<a<0)． a 解：原式＝b －ab （b －a ）2a ①(1) 上述解答过程从哪一步开始出现错误？请写出代号②；(2) 错误的原因是什么？(3)请你写出正确的解法． 解：(2)∵b<a ，∴b－a<0.∴(b －a)2 的算术平方根为 a －b.a(3)原式＝b －a b （b －a ）2 aa （b －a ） b＝ b －a a ②5 12xy2 y 23a＝b－a·(a－b)1＝－a·(－a ab) ＝ab.b a18 24 20 45 16.3 二次根式的加减01 基础题知识点 1 可以合并的二次根式第 1 课时 二次根式的加减 1．(2016·巴中)下列二次根式中，与 3可以合并的是(B )A. B . C . D . 2. 下列各个运算中，能合并成一个根式的是(B )A . 12－ 2B . 18－ 8C . 8a 2＋ 2aD . x 2y ＋ xy 23. 若最简二次根式2x ＋1和 4x －3能合并，则 x 的值为(C ) 1 3A ．－2B .4C ． 2D ．54. 若 m 与 18可以合并，则 m 的最小正整数值是(D )A ．18B ．8C ．4D ．2知识点 2 二次根式的加减5．(2016·桂林)计算 3 5－2 5的结果是(A )B ．2 5D ．66．下列计算正确的是(A )A . 12－3＝ 3 B . 2＋ 3＝ 5 C ．4 3－3 3＝1 D ．3＋2 2＝5 17. 计算 27－3 18－ 48的结果是(C ) A ．1B ．－1C ．－ 3－ 28. 计算 2＋( 2－1)的结果是(A)A ．2 2－1B ．2－ 2C ．1－ 2D ．2＋ 29. 长方形的一边长为 8，另一边长为 50，则长方形的周长为 14 2． 10. 三角形的三边长分别为 cm ， 11. 计算： 40 cm ， cm ，这个三角形的周长是(5 5＋2 10)cm .(1)2 3－ 2 ；1解：原式＝(2－2) 33 3＝ 2 .3 A . 5 C ．3 5 D . 2－ 1 30.3238 3 (2) 16x ＋ 64x ；解：原式＝4 ＝(4＋ 8) x ＝12 x . x ＋8 (3) 125－2 5＋ 45； 解：原式＝5 5－2 5＋3(4)(2017·黄冈) 127－6－ 3.解：原式＝3 3－6－ 3＝ 3 －02 中档题12. 若 x 与 2可以合并，则 x 可以是(A )A ．0.5B ．0.4C ．0.2D ．0.113．计算|2－ 5|＋|4－ 5|的值是(B )A ．－2B ．2C ．2 5－6D ．6－2 1 114. 计算 4 A. 3＋ 3C. 32＋3 3－ 8的结果是(B)B. D. 3－ 15. 若 a ，b 均为有理数，且 8＋ 18＋ 1 8＝a ＋b 212，则 a ＝0，b ＝ 4 . 16. 已知等腰三角形的两边长分别为 2 7和 5 5，则此等腰三角形的周长为 2 7＋10 5． 17. 在如图所示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的实数相乘都得出同样的结果，则两个空格中的实数之和为 4 2.2 31 36 26 318. 计算： 3 ＝6 5. 6. 2x5 53 2(1) 18＋ 12－ 8－ 27； 解：原式＝3 2＋2 3－2 2－3 ＝(3 2－2 2)＋(2 3－3 3)＝ 2－ 3.(2) b 12b 3＋b 2 48b ；解：原式＝2b 2 3b ＋4b 2 ＝6b 2 3b .(3)( 45＋ 27)－( 4 3＋ 125)； 2解：原式＝3 7＝3 3－2 5＋3 3－3 3－5 3 1(4) 4( 2－ 27)－2( 3－ 2)．39 1 解：原式＝4 2－4 3－2 3＋2 3 1 9 1＝(4＋2) 2－(4＋2) 5 11 ＝4 2－ 4 3. 311 3 19. 已知 3≈1.732，求(3 27－4 43)－2( 4－ 12)的近似值(结果保留小数点后两位)．解：原式＝ 8＝3 38≈3×1.732≈4.62.3－3 3－ 3＋403 综合题20. 若 a ，b 都是正整数，且 a ＜b ， a 与 b 是可以合并的二次根式，是否存在 a ，b ，使a ＋b ＝ 75？若存在，请求出 a ，b 的值；若不存在，请说明理由． 解：∵ a 与 b 是可以合并的二次根式， a ＋ b ＝ 75， ∴ a ＋ b ＝ 75＝5 3.∵a<b ，∴当 a ＝3，则 b ＝48；5.1233b53当a＝12，则b＝27.40＋ 55第 2 课时 二次根式的混合运算01 基础题 知识点 1 二次根式的混合运算 1．化简 2( 2＋2)的结果是(A )A ．2＋2 2B ．2＋ 2C ．4D ．3 22．计算( 12－ 3)÷ 3的结果是(D )A ．－1B ．－ C. 33．(2017·南京)计算： D ．1 12＋ 8× 6的结果是 6 3．14．(2017·青岛)计算：( 24＋ 6)× 6＝13．5．计算：＝2 6．计算：(1) 3( 5－ 2)；2＋1．解：原式＝ 15－ 6.(2)( 24＋ 18)÷ 2； 解：原式＝2 3＋3.(3)( 2＋3)( 2＋2)； 解：原式＝8＋5 2.(4)( m ＋2 n )( m －3n )． 解：原式＝m － mn －6n. 知识点 2 二次根式与乘法公式 7．(2017·天津)计算：(4＋ 1 7)(4－ 7)的结果等于9． 8．(2016·包头)计算：6 9．计算：3－( 3＋1)2＝－4．(1)( 1 2－ 2)2； 1解：原式＝2.(2)( 2＋ 3)( 2－ 3)；解：原式＝－1.(3)( 5＋3 2)2.解：原式＝23＋6 10. 10．(2016·盐城)计算：(3－ 7)(3＋ 7)＋ 2(2－ 2)．32＝2 2－ ＝ 2.2解：原式＝9－7＋2 2－202中档题 11. 已知 a ＝ 5＋2，b ＝2－ B. － 5，则 a2 018b 2 017 的值为(B ) 5－2 C.1 D ．－112. 按如图所示的程序计算，若开始输入的 n 值为 2，则最后输出的结果是(C )A ．14B ．16C ．8＋5D ．14＋ 13. 计算：(1)(1－2 2)(2 2＋1)；解：原式＝－7. 3 2 3(2) 12÷( 4 ＋ 3 )；3 3 8 3解：原式＝ 12÷( 12 ＋ 12 ) 11 3＝ 12÷ 1212＝2 3×11 3 24 ＝11.(3)(4 6－4 12＋3 8)÷2 2； 解：原式＝(4 6－2 2＋6 2)÷2 ＝(4 ＝2 6＋4 3＋2. 1 2)÷2 21(4) 24× 3－4× 8×(1－ 2)0.解：原式＝2 6× 3 －4× 4 ×1 2 3 A . 5＋2 ＝2 2. 2 214.计算：(1)(1－5)( 5＋1)＋( 5－1)2；解：原式＝1－5＋5＋1－2＝2－2 5.(2)( 3＋2－1)( 3－2＋1)．解：原式＝( 3)2－( 2－1)2＝3－(2＋1－2 2)＝3－ 2－1＋2 2＝2 2.15.已知a＝7＋2，b＝7－2，求下列代数式的值：(1)ab2＋ba2；(2)a2－2ab＋b2；(3)a2－b2.解：由题意得a＋b＝( 7＋2)＋( 7－2)＝2 7，a－b＝( 7＋2)－( 7－2)＝4，ab＝( 7＋2)( 7－2)＝( 7)2－22＝7－4＝3.(1)原式＝ab(b＋a)＝3×2(2)原式＝(a—b)2＝42＝16.(3)原式＝(a＋b)(a—b)＝2 03综合题16.观察下列运算：7＝6 7.7×4＝8 7.1①由( 2＋1)( 2－1)＝1，得2＋1＝2－1；②由( 3＋2)( 3－2)＝1，得13＋2＝3－2；③由( 4＋3)( 4－3)＝1，得14＋3＝4－3；…(1)通过观察你得出什么规律？用含n 的式子表示出来；(2)利用(1)中你发现的规律计算：( 12 018＋2 017)×( 2 018＋1)．12＋1＋13＋2＋14＋3＋…＋12 017＋2 016＋解：(1)1n＋1＋n＝n＋1－n(n≥0)．(2)原式＝( 2－1＋3－2＋4－3＋…＋2 017－2 016＋2 018－2 017)×( 2 018＋1)＝(－1＋＝2 017. )(2 018＋1)5＝2 12 ＝ 4 3.类型 1 与二次根式有关的计算 1. 计算：小专题(一) 二次根式的运算(1)6 12×3 6；1解：原式＝(6×3)(2)(－44 1 5)÷5 5；3 5解：原式＝－4 5÷(5× 5 ) ＝－4 4 ＝－3. 5÷33(3) 72－2 2＋2 18；3解：原式＝6 3 2－2 2＋6 ＝12 21 2－2 2 ＝ 2 2.(4)(2 5＋ 3)×(2 5－ 3)． 解：原式＝(2 ＝20－3 ＝17. 2. 计算：5)2－( 3)2(1)3 31 4÷(－2 12 3)；1解：原式＝[3÷(－2)]＝－6＝－6 2 × 6 5 23 5÷4 39209 × 520 × 5854 × 9 9 ＝－5 5.(2)( 6＋ 10× 15)× 3； 解：原式＝3 2＋5 6× 3 ＝3 ＝18 2＋15 2 2.811 (3)3 54×(－ 9)÷7 5；解：原式＝3×(－1)×÷7＝－33 ＝－7 648÷7 548 ×6 ＝－7 10.11(4)( 12－4 8)－(3 3－4 0.5); 解：原式＝2 3－ 2－ 3＋2 ＝ 3＋ 2.(5)(3 2－ 6)2－(－3 2－ 6)2.解：原式＝(3 2－ 6)2－(3 2＋ 6)2＝18＋6－12 3－(18＋6＋12 3) ＝－24 3.3.计算：6(1)(2 018－ 3)0＋|3－ 12|－ 3； 解：原式＝1＋2 3－3－2 3 ＝－2.1 10 3 (2)(2017·呼和浩特)|2－ 15|－ 3 2×(8－ 2 )＋2. 解：原式＝ 5－2－2＋ 5＋2 ＝2 5－1. 类型 2 与二次根式有关的化简求值4．已知 a ＝3＋2 2，b ＝3－2 2，求 a 2b －ab 2 的值．1 15 65 2{ ) 解：原式＝a 2b －ab 2＝ab(a －b)． 当 a ＝3＋2 2，b ＝3－2 2时，原式＝(3＋2 2)(3－2 2)(3＋2 2－3＋2 2)5. 已知实数 a ，b ，定义“★”运算规则如下：a ★b ＝的值．解：由题意，得 2★ 3＝ 3.∴ 7★( 2★ 3)＝ 7★ 3＝ 7－3＝2.b （a ≤ b ），a2－b 2（a > b ）， 求 7★( 2★ 3)6. 已知 x ＝2＋ 3，求代数式(7－4 3)x 2＋(2－ 3)x ＋ 3的值． 解：当 x ＝2＋ 3时，原式＝(7－4 3)×(2＋ 3)2＋(2－ 3)×(2＋ 3)＋ ＝(7－4 3)×(7＋ 4 3)＋4－3＋ 3 ＝49－48＋1＋ 3＝2＋ 3.1117．(2017·襄阳)先化简，再求值：(x ＋y ＋x －y )÷xy ＋y 2，其中 x ＝ 2x5＋2，y ＝ 5－2. 解：原式＝ 2xy＝x －y .（x ＋y ）（x －y ）·y(x ＋y) 当 x ＝ 5＋2，y ＝ 5－2 时，原式＝ 1 ＝2.8. 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 3＋22＝(1＋ 2)2，善于思考的小明进行了以下探索：设 a ＋b 2＝(m ＋n 2) 2(其中 a ，b ，m ，n 均为正整数)，则有a ＋b 2＝m 2＋2n 2＋2 2mn ，∴a ＝m 2＋2n 2，b ＝2mn.这样小明就找到了一种把 a ＋b 并解决下列问题：2的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索 (1) 当 a ，b ，m ，n 均为正整数时，若 a ＋b a ，b ，得 a ＝m 2＋3n 2，b ＝2mn ；3＝(m ＋n 3) 2，用含 m ，n 的式子分别表示 (2) 利用所探索的结论，找一组正整数 a ，b ，m ，n 填空：4＋2 唯一)3＝(1＋ 3)2；(答案不 (3) 若 a ＋4 3＝(m ＋n 3)2，且 a ，m ，n 均为正整数，求 a 的值．＝4 2. 32（ 5＋2）（ 5－2） 5＋2－ 5＋2{ )a＝m2＋3n2，解：根据题意，得4＝2mn.∵2mn＝4，且m，n 为正整数，∴m＝2，n＝1 或m＝1，n＝2.∴a＝7 或13.5 2 3 章末复习(一) 二次根式01基础题知识点 1 二次根式的概念及性质x ＋ 41．(2016·黄冈)在函数 y ＝ x 中，自变量 x 的取值范围是(C) A ．x >0 B ．x ≥－4C ．x ≥－4 且 x ≠0D ．x >0 且 x ≠－4 2．(2016·自贡)下列根式中，不是最简二次根式的是(B)A. 10B.C. 6D. 3. 若 xy ＜0，则 x 2y 化简后的结果是(D )A ．x yB ．x －yC ．－x －yD ．－x y知识点 2 二次根式的运算4. 与－ 5可以合并的二次根式的是(C )A . 10C . 20 5．(2017·十堰)下列运算正确的是(C )A . 2＋ C . 8÷ 3＝B ．2 2＝2 D ．3 12×3 2－ 2＝6 2＝36. 计算 5÷7. 计算：5× 5所得的结果是 1． (1)(2017·湖州)2×(1－ 2)＋ 8；解：原式＝2－2＝2.2＋2 2(2)(4 3＋3 6)÷2 3； 解：原式＝43 ＝2＋2 2.13÷2 3＋3 6÷21(3)2 32－2 75＋ 0.5－327；解：原式＝2 1 2－10 3＋ 2 － 3 1 ＝(2＋2)× 2＋(－10－3)× 5 31 ＝2 2－ 3 3.(4)(3 2－2 3)(3 2＋2 3)．82B . 15 D . 25 23 33 3 7 32－ 82 25.12 3.145－1解：原式＝(3 ＝9×2－4×3 ＝6.2)2－(2 3)2知识点 3 二次根式的实际应用8. 两个圆的圆心相同，它们的面积分别是 25.12 和 50.24.求圆环的宽度 d.(π 取 3.14，结果保留小数点后两位)解：d ＝＝ 16－ ≈1.17.50.24 3.14 － 8＝4－2 答：圆环的宽度 d 约为 1.17.02中档题1 －9. 把－aa 中根号外面的因式移到根号内的结果是(A ) B ．－ aD . a1 110. 已知 x ＋x ＝ 7，则 x －x 的值为(C)A. B ．±2C ．± D.11. 在数轴上表示实数 a 的点如图所示，化简 （a －5）2＋|a －2|的结果为 3．12．(2016·青岛)计算： ＝2． 13. 计算：( 3＋2)3×( 3－2)3＝－1．14. 已 知 x ＝ 2 ，则 x 2＋x ＋1＝2．15. 已知 16－n 是整数，则自然数 n 所有可能的值为 0，7，12，15，16． 16. 计算：1(1)( 3＋1)( 3－1)－ 16＋(2)－1； 解：原式＝3－1－4＋2 ＝0.2A . －a ．－ －a(2)( 3＋ 2－ 6)2－( 2－3＋ 6)2. 解： 原式＝( 3＋ 2－ 6＋ 2－ 3＋ 6)×( 3＋ 2－ 6－ 2＋ 3－ 6)＝2 2×(2 ＝4 6－8 3－2 6) 3.17. 已知 x ＝ 3＋ 7，y ＝ 3－ 7，试求代数式 3x 2－5xy ＋3y 2 的值． 解：当 x ＝ 3＋ 7，y ＝ 3－ 7时， 3x 2－5xy ＋3y 2＝3(x 2－2xy ＋y 2)＋xy ＝3(x －y)2＋xy＝3( 3＋ 7－ 3＋ 7)2＋( 3＋ 7)×( 3－ 7) ＝3×28－4＝80.18. 教师节要到了，为了表示对老师的敬意，小明做了两张大小不同的正方形壁画准备送给老师，其中一张面积为 800 cm 2，另一张面积为 450 cm 2，他想如果再用金彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他现在有 1.2 m 长的金彩带，请你帮助算一算，他的金彩带够用吗？如 果不够，还需买多长的金彩带？( 2≈1.414，结果保留整数)解：正方形壁画的边长分别为 800 cm ， 450 cm .镶壁画所用的金彩带长为 4×( 800＋ 450)＝4×(20 2＋15 2)＝140 2≈197.96(cm)．因为 1.2 m ＝120 cm ＜197.96 cm ，所以小明的金彩带不够用，197.96－120＝77.96≈78(cm)． 故还需买约 78 cm 长的金彩带． 03 综合题19.已知 a ，b ，c 满足|a － (1) 求 a ，b ，c 的值；8|＋ b －5＋(c － 18)20. (2) 试问以 a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由．解：(1)由题意，得 a － 8＝0，b －5＝0，c － 18＝0， 即 a ＝2 2，b ＝5，c ＝3 2.(2)∵2 2＋3 2＝5 2＞5，∴以 a ，b ，c 为边能构成三角形． 三角形的周长为 2 2＋3 2＋5＝5 2＋5.“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。

二次根式的概念及性质练习题班级 姓名一．判断题（对的打“∨”，错的打“×”）（1x 的取值范围是x<0 （ ）（2中字母x 的取值范围是x ≤34（ ） （3）当x=-1（ ）（4）当a=-4（ ）（5）2= —12 （ ）;（6—12（ ） （7）2= —12 （ ）;（8）（2=2×12=1 （ ） 二、填空题：1．b ≥3）s ≥0）这种形如a （0≥a ）的代数式，叫做_______．2．当x______时，有意义．3x 的取值范围是_______ ．4．（7）2； （8+（2=________．（10． 5．当x=-2_______． 6．当a 取______7．当x 取______8．当m=-2________．((()(()(()(2231_____,2______,3_____,4_____,5____,6____.======9、若直角三角形的两直角边分别是2cm 和acm ，则直角三角形的斜边长是_______10、若正方形的面积是（b-3）cm 2,则正方形的边长是_________。

三、选择题：1．下列各式中，哪一个是二次根式 （ ）ABCD2．使代数式2x +有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ≠-2; B ．x ≤12且x ≠-2; C ．x<12且x ≠-2; D ．x ≥12且x ≠-2 3．下列各式中一定成立的是（ ） ABC ．（2D=1-13=23四、求下列二次根式中字母的取值范围：五、计算：（1-（12）2; （2）（3）4时x 的值．x-4│—│7-x │． ()()()123(4。

18.16. 1二次根式：1. 使式子有童文的条件是 __________________________ .2. 当 __________ 时，JE+JTT5T 有色义。

3. 若E 十丄有意文，则加的取信范国是。

w + 1 4. 当A _________ 时，J （1 一龙）2是二次根式,5. 在实数范噩内分禅因it ： A 4-9 = _____________ .V 2-2>/2.V + 2 = ____________6. 若J4?=2r,则x 的取值范围是____________________________ .7. 已知J （ J2）‘ =2",则.v 的取值范国是 ___________________________ > S.化简：jFn （YYl ）的结采旱 ________________________________ .9.当 1SXY5时，^V _1)2+|X _5|= _______________________10. 把亡 的很号外的因式移到根号内等于 ____________________ ・11. 便等式J （x+i ）（x_i ）= V7TT ・JT7T 成立的条件是 ____________________ . 12. 若与/心2几4互为相反数,则 ___________________________________ o 13. 在式于^（.r>0）,72,V7TT （r =-2）,7^（A -<0）,</3?7^71,-^.y 中，二次根式有（）A. 2^B ・3个C ・4个D ・5个 14. 下列各式一走是二次根式的是（）A. 口B.顷C.帖+1D.15. 若 2n3,则等于(:)A. 5-2uB. UC. 2"-5D. 2n-l16. 若 A.J (宀".则。

■ < )\、»+4B.加+2C.(加+2)；D. (<r + 4)217.若叱1,则化简后为（ ）A. D. (l-fl)VlTd c. (Q-l)ViZ^ D. C. v>2 D. "2戎立的7勺取值范匡是（B. Q019.计算'J(2“_1)2'(U)2 的值是( )A. 0 B・ W_2 C・ 2-4« D・ 2-4盼或4“一220.下M的隹导中开始岀錯的步龚是( )\ 2^3 = V2-x3 = 712 (1)_2艮J(_2「；3 二辰・・(2)/. 2 = -2^3 (3)/. 2 - -2 (4)21.若序了+屮-43 +4 = 0,求⑴的值.22.兰"駁什么值盯.代僉式何71+1取値最小，并求出这个最小值.2S去掉下列各桂欢内的分母：⑴•谓（7 （2）.J^（m）24. B知川一4 + 1 = 0,求护+召_2的值。

初中数学同步训练必刷题（人教版八年级下册16.1 二次根式）一、单选题（每题3分，共30分）1．（2022八下·顺平期末）下列各式是二次根式的是（）3D．√x A．√−2B．−√2C．√2【答案】B【知识点】二次根式的定义【解析】【解答】A．√−2无意义，故A不符合题意；B．−√2是二次根式，故B符合题意；3不是二次根式，故C不符合题意；C．√2D．√x（x≥0）才是二次根式，故D不符合题意．故答案为：B．【分析】形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式，据此判断即可.2．（2022八下·灌云期末）代数式√x+1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（）A．x>−1B．x<−1C．x≤−1D．x≥−1【答案】D【知识点】二次根式有意义的条件【解析】【解答】解：代数式√x+1在实数范围内有意义，则x+1≥0，解得：x≥-1．故答案为：D．【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。

3．（2022八下·威县期末）若√1−n是二次根式，则n的值可以是（）A．−1B．2C．3D．5【答案】A【知识点】二次根式有意义的条件【解析】【解答】解：∵√1−n是二次根式，∴1-n≥0，解得n≤1，符合条件的n 值只有-1， 故答案为：A ．【分析】利用二次根式有意义的条件求出1-n≥0，再求解即可。

4．（2022八下·顺平期末）若√2取1.414，则与√50最接近的整数是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．10【答案】B【知识点】估算无理数的大小；二次根式的性质与化简 【解析】【解答】因为√50=5√2≈5×1.414≈7.07，所以接近的整数是7， 故答案为：B ．【分析】由于√50=5√2，将 √2≈1.414代入求值即可判断.5．（2022八下·铁东期末）已知n 是正整数，√3n 是整数，则n 的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．3D ．－3【答案】C【知识点】非负数的性质：算术平方根【解析】【解答】解： ∵n 是正整数，√3n 是整数，∴符合n 的最小值是3． 故答案为：C ．【分析】根据二次根式的性质满足开平方即可解得．6．（2022八下·范县期末）√5−m√m+1＝√5−m m+1成立的条件是（ ）A ．m≥﹣1B ．m≤﹣5C ．﹣1＜m≤5D ．﹣1≤m≤5【答案】C【知识点】二次根式有意义的条件【解析】【解答】解：根据题意，得：5﹣m≥0，m+1＞0，∴﹣1＜m≤5， 故答案为：C ．【分析】先求出5﹣m≥0，m+1＞0，再求解即可。

二次根式16.1 二次根式：1. 有意义的条件是 。

2. 当__________3. 11m +有意义，则m 的取值范围是 。

4. 当__________x 是二次根式。

5. 在实数范围内分解因式：429__________,2__________x x -=-+=。

6. 2x =，则x 的取值范围是 。

7. 2x =-，则x 的取值范围是 。

8. )1x 的结果是 。

9. 当15x ≤5_____________x -=。

10. 把的根号外的因式移到根号内等于 。

11. 11x =+成立的条件是 。

12. 若1a b -+互为相反数，则()2005_____________a b -=。

13. )()()230,2,12,20,3,1,x y y x xx x y +=--++中，二次根式有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 14. 下列各式一定是二次根式的是（ ）15. 若23a ，则）A. 52a -B. 12a -C. 25a -D. 21a -16. 若A ==（ ）A. 24a + B. 22a + C. ()222a + D. ()224a +17. 若1a≤）A. (1a-B. (1a-C. (1a-D. (1a-18.=x的取值范围是（）A. 2x ≠ B. 0x≥ C. 2x D. 2x≥19.）A. 0B. 42a- C. 24a- D. 24a-或42a-20. 下面的推导中开始出错的步骤是（）()()()()23123224==-==∴=-∴=-A. ()1B. ()2C. ()3D. ()421.2440y y-+=，求xy的值。

22. 当a取什么值时，代数式1取值最小，并求出这个最小值。

23. 去掉下列各根式内的分母：())10x ())21x24. 已知2310x x -+=25. 已知,a b (10b -=，求20052006a b -的值。

16.2 二次根式的乘除1. 当0a ≤，0b__________=。

第16章二次根式一、二次根式的概念核心提要1．二次根式的定义：形如________(其中a≥0)的式子叫做二次根式．2．与二次根式相关的概念：(1)若x2＝a，则________是________的平方根；(2)a(a≥0)表示________的算术平方根．知识点1：平方根与算术平方根1．填空：(1)9的平方根是________；(2)25的算术平方根是________；(3)0的算术平方根是________；(4)a(a≥0)的算术平方根是________．知识点2：二次根式的定义2．下列式子中是二次根式的是()A．7B．3 7C．x D．－7知识点3：二次根式有意义的条件3．式子1x－1在实数范围内有意义，则x的取值范围是()A．x＜1B．x≤1 C．x＞1D．x≥1 4．当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)x＋1；(2)2x；变式1填空：(1)5的平方根是________；(2)11的算术平方根是________；(3)－3________平方根是(填“有”或“没有”)；(4)a(a≥0)的平方根是________．变式2下列式子：①12；②－3；③－x2＋1；④327；⑤（－3）2是二次根式的有()A．①③B．①③⑤C．①②③D．①②③⑤变式3式子x－1 x－2在实数范围内有意义，则x的取值范围是()A．x≥1B．x≥1且x≠2 C．x＞1D．x≤1且x≠2变式4当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)3－x；(2)－4x；基础巩固1.下列各式①12；②2x；③x2＋y2；④－5；⑤35，其中二次根式的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥3的是()A．2x－3B．1x－3C．x－3D．x－3 3．若使二次根式2x－6有意义，则x的取值范围是________ 4．若|3－a|＋2＋b＝0，则a＋b的值是________．5．若式子4－x－x－3有意义，求x的取值范围．6．若式子11－3a有意义，求a的取值范围．能力提升7．下列式子没有意义的是()A．－3B．0C．2D．（－1）28．若代数式11－x在实数范围内有意义，则x的取值范围是()A．x≥0B．x≥1C．x≠1D．x≥0 且x≠1 9．若a为实数，则下列各式中一定有意义的是()A.a＋3B．a2＋3C.a2－3D．a a2＋310．一个面积为18 cm2的矩形，它的长与宽之比为3∶2，求它的长与宽各是多少？培优训练11．若y＝x－3＋3－x3，求(x＋y)y的值．二、二次根式的性质核心提要二次根式的性质：1．(a)2＝________(a≥0)．2．a2＝________．知识点1：(a)2＝a(a≥0)1．计算：(1)(3)2＝________；(2)(7)2＝________；(3)(4)2＝________；(4)(0.3)2＝________；(5)(13)2＝________；(6)(23)2＝________．知识点2：a2＝a(a≥0)(一般地a2＝|a|)2．计算：(1)42＝________；(2)（－3）2＝________；(3)（13）2＝________；(4)（－0.2）2＝________．知识点3：双非负性a≥0(a≥0)3．已知实数x、y满足(5－x)2＋y＋6＝0，求代数式(x＋y)2 001的值．变式1计算：(1)(5)2＝________；(2)(8)2＝________；(3)(34)2＝________；(4)(0.6)2＝________；(5)(24)2＝________；(6)(－32)2＝________.变式2计算：(1)112＝________；(2)（－7）2＝________；(3)（－1.2）2＝________；(4)（－13）2＝________．变式3已知1＋a＋||b－7＝0，求a＋b的值．基础巩固1.计算（－4）2的结果是()A．－4B．4C．±4D．162．二次根式（3－2）2的值等于()A．3－2B．2－3C．±(3－2)D．2＋3 3．当x＜5时， (x－5)2的值是()A．x－5B．5－x C．5＋x D．－5－x 4．计算：(1)(9)2＝________；(2)－(5)2＝________；(3)32＝________；(4)－（－34）2＝________；5．若a、b、c分别是三角形的三边长，化简： (a＋b－c)2＋ (b－c－a)2＋ (b＋c－a)26．若(m＋1)2＋n－2＝0，求代数式m＋n的值．能力提升7.计算：(1－2)(1＋2)＝________．8．若（x－1）2＝1－x，则x的取值范围是________．9．在实数范围内分解因式：x2－2＝_____________．10．实数a在数轴上的位置如图所示，化简：（a－1）2＋a.培优训练11．已知x＝1－2，y＝1＋2，求x2＋y2－xy－2x＋2y的值．三、二次根式的乘法核心提要二次根式的乘法公式a·b＝________(a≥0，b≥0)．知识点：a×b＝ab(a≥0，b≥0)1．计算：(1)5×6；(2)12×8.2．计算：(1)32×23；(2)212×(－3)；(3)a3·a；(4)x3·2 x.3.计算：ab·bc·cd·da.变式1计算：(1)3×5； (2)13×27.变式2 计算： (1)23×276； (2)2a7×(－14a )；(3)(5＋3)(5－3)； (4)()2－32. 变式3 计算：115×23×(－1210).巩固练习1．计算3×2的结果( )． A ．5 B ．6 C ．23D ．322．一个矩形的长和宽分别是36、23，则它的面积是( ) A ．203B ．182C．172D．1623．化简x－1x，正确的是()A．－x B．xC．－－x D．－x4．已知7·a的积是一个整数，则正整数a的最小值是()A．7B．2C．19D．55．若一个长方体的长为3 6 cm，宽为2 3 cm，高为 2 cm，则它的体积为________ cm3.6．计算：(1)2a·8a(a≥0)＝________；(2)43×(－12)＝________．(3)54×64125＝________．(4)－8x3×63x＝________．7．如图，在△ABC中，AD△BC于点D，BC＝42，AD＝2，求△ABC的面积．8．把代数式(a－1)11－a中的a－1移到根号内，则这个代数式等于()A．－1－a B．a－1C．1－a D．－a－1 9．化简：(1)0.4×(－ 3.6)＝________；(2)(3＋22)99(3－22)100＝________．10．计算：ab·5ab·(－ba)·(－1ab)．培优训练11．已知x＝3－2，求代数式(x＋1)2＋2(x＋1)＋1的值．四、积的算术平方根核心提要积的算术平方根ab＝________(a≥0，b≥0)．(此公式用于化简二次根式)知识点：ab＝a·b(a≥0，b≥0)1．化简：(1)4＝________；25＝________；81＝________；(2)9×16＝________；32×72＝________；(3)4×5＝________；16×3＝________；(4)8＝________；24＝________；32＝________；4a＝________．2．化简：(1) 1 000＝________；(2)9a3＝________；(3)5×15＝________；(4)4a2b＝________；(5)3a·6a＝________；(6)2y 3·8y＝________． 3．设正方形的边长为a ，面积为S . (1)如果a ＝2 5 cm ，则S ＝________cm 2； (2)如果S ＝32 cm 2，则a ＝________cm ； (3)如果S ＝50 cm 2，则a ＝________cm. 变式1化简：(1)9＝________；16＝________； 64＝________；(2) 32×52＝________；36×4＝________；(3)4×16＝________；3×49＝________； (4)12＝________；18＝________； 60＝________；36b ＝________． 变式2化简：(1)25b 3＝________； (2)10a ·5a ＝________； (3)28×(－36)＝________； (4)－16a 2b 3c ＝________； (5)2×23×12＝________； (6)133x 2y 3·12x 2y＝________.变式3已知非负实数a、b、c满足a2＋b2＝c2.(1)如果a＝3，b＝5，则c＝________；(2)如果c＝12，b＝10，则a＝________；(3)如果a＝32，b＝3，则c＝________．基础巩固－32×3的计算结果是()1．二次根式()A．33B．－33C．3D．92．若a＜0，b＞0，则－a3b化简得()A．－a－ab B．－a abC．a－ab D．a ab3．化简：(1)24＝________；(2)28＝________；(3)45＝________；(4)72＝________；(5)25a2(a>0)＝________；(6)80ab3(a>0，b>0)＝________．4．已知x>0，y>0，则xy2·x2y＝________．5．化简：（a2－b2）（a4－b4）(b＜a＜0)得_______________．6．计算：(1)32×224；(2)214x·4xy.7．如图，在Rt△ABC中，△C＝90°，BC＝12，AC＝18.求△ABC 的面积．能力提升8.已知12n是正整数，则满足条件的最小正整数n为()A．2B．3C．4D．59．计算：(1)62＋82＝________；(2)132－52＝________；(3)4－2＝________．10．先化简，再求值：x＋2x－1÷(x＋1－3x－1)，其中x＝3＋2.培优训练11．先化简，再求值：(a2－b2a2－2ab＋b2＋ab－a)÷b2a2－ab，其中a、b满足1＋a＋||b－3＝0.五、二次根式的除法核心提要1．二次根式的除法法则为：ab＝________(a≥0，b>0)．2．最简二次根式同时满足下列条件：(1)________________________________________；(2)________________________________________．知识点1：二次根式的除法1．计算：(1)186；(2)8a÷2a.知识点2：化成最简二次根式2．将下列式子化成最简二次根式：(1)3100；(2)11336；(3)13； (4)35.知识点3：二次根式的乘除混合运算 3．计算：34÷112×24. 变式1 计算：(1)455； (2)243.变式2 将下列式子化成最简二次根式：(1)225； (2)112；(3)123； (4)a 1a变式3 计算：20×3515÷(－6)．基础巩固1．下列二次根式是最简二次根式的是( ) A ．12B ．0.2C ．2D ．202．化简－32×27的结果是( )A ．－23B ．－23C ．－66D ．－23．能使等式x x －2＝x x －2成立的x 的取值范围是( ) A ．x ≠2 B ．x ≥0 C ．x ＞2D ．x ≥24．若长方形的宽为 2 cm ，面积为2 6 cm 2，则长方形的长为________．5．计算： (1)(－113)÷554；(2)512×34÷52；(3)12÷227×18.能力提升6．如果ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：△ab＝ab，△ab·ba＝1，△ab÷ab＝－b，其中正确的是()A．△△B．△△C．△△D．△△△7．计算：(1)6－33＝________；(2)233－1＝________．8．先化简，再求值：a2＋3aa2＋4a＋4÷a＋3a＋2－2a＋2，其中a＝2－2.培优训练9．小芳在学习了ab＝ab后，认为ab＝ab也成立，因此她认为一个化简过程：－20－5＝－20－5＝－5×4－5＝－5×4－5＝4＝2是正确的．△你认为她的化简对吗？如果不对，请写出正确的化简过程；△说明ab＝ab成立的条件．六、二次根式的加减法核心提要1．同类二次根式：把几个二次根式化成____________后，如果被开方数(即根号下的数或式)________，则这几个二次根式叫做同类二次根式．2．二次根式加减时，先将二次根式化为_______________，再将______________的二次根式进行合并．知识点：二次根式的加减1．计算：(1)4a－3a＝________；(2)5a＋6ab－a＋2ab＝________；(3)32－22＝________；(4)5ab－3ab＝________．2．计算：(1)35＋2－25－32；(2)3－12＋18.3．计算：22－23＋12.变式1计算：(1)5xy＋6xy＝________；(2)3x＋5xy－4x－xy＝________；(3)66－6＋26＝________；(4)7x－x＝________．变式2计算：(1)37－28＋7；(2)36－2＋24＋8.变式3计算：a＋a4－2a1a.基础巩固1．计算27－3的结果是()A．24B．26C．3D．232．下列根式中，与18为同类二次根式的是()A．2B．3C．5D．63．如果等腰三角形的底边长为8，腰长为18，则其周长为________．4．计算：(1)3－32＋33＋2；(2)16b－25b；(3) (48＋20)＋(12－5)；(4)28＋1417－700.能力提升5．已知2a －3＋5＝25，则a 的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．56．若3的整数部分为x ，小数部分为y ，则3x －y 的值是( ) A ．33－3 B ．3 C ．1D ．37．若x ＝12(a ＋b )，y ＝12(a －b )，则x ＋y 的值为________．8．若对实数a ，b ，c ，d 规定运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－38＝________．9．计算：(48－418)－(313－20.5)．培优训练10．已知x＝1＋3，求x2－x＋1的值．七、二次根式的混合运算核心提要二次根式的混合运算顺序：先算________，再算________，最后算________，有括号先算括号里面的．知识点1：化成最简二次根式1．化简：(1)8＝________；(2)32＝________；4(5)35＝________；(6)2a＝________．知识点2：二次根式的混合运算2．计算：(1)3×15＝________；(2)363＝________；(3)12＋3＝________；(4)28－63＝________．3．计算：13×(212－75).4．若x＝2＋1，求x2－2x＋1的值．变式1化简：(1)27＝________；(2)40＝________；(3)18a2＝________；(4)17＝________；168变式2计算：(1)2×98＝________；(2)40÷5＝________；(3)2＋18＝________；(4)27－75＝________．变式3计算：(248－327)÷ 3.变式4若m＝2＋3，n＝2－3，求mn2＋m2n的值．巩固练习1．下列运算错误的是()A．2＋3＝5B．2×3＝6C．8÷2＝2D．(－2)2＝22．估计32×12＋20的运算结果应在( ) A ．6到7之间 B ．7到8之间 C ．8到9之间D ．9到10之间3．计算5×153的结果是________．4．一个矩形的长和宽分别为12 cm 和27 cm ，则这个矩形的周长为___________．5．计算：(1)(12＋58)×3；(2)(48＋36)÷27；(3)3＋33；(4)(3＋2)2－(3＋22)(3－22).能力提升6．计算：(2＋1)2 018×(2－1)2 019.7．如图，在Rt△ABC中，△C＝90°，CD△AB于D.AC＝3＋1，BC＝3－1，AB＝22，求CD的长．8．如图所示，在Rt△ABC中，△B＝90°，AB＝6厘米，BC＝12厘米，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为24平方厘米？(结果用最简二次根式表示)第十六章二次根式第1课时二次根式的概念【核心提要】1.a2．(1)x a (2)a【典例精讲】1．±3 5 0a2．A 3.C4．(1)x ≥－1 (2)x ≥0【变式训练】1．±511 没有 ±a 2．B 3.B4．(1)x ≤3 (2)x ≤0【基础巩固】1．B 2.D3．x ≥3 4.1 5.3≤x ≤4 6.a <13【能力提升】7．A 8.D 9.B10．长3 3 cm 宽2 3 cm【培优训练】11．1第2课时 二次根式的性质【核心提要】1．a 2.|a |【典例精讲】1．(1)3 (2)7 (3)4 (4)0.3 (5)13(6)12 2．(1)4 (2)3 (3)13(4)0.2 3.－1 【变式训练】1．(1)5 (2)8 (3)34(4)0.6 (5)16 (6)18 2．(1)11 (2)7 (3)1.2 (4)133.6 【基础巩固】1．B 2.B 3.B4．(1)9 (2)－5 (3)3 (4)－345．a ＋b ＋c 6.1【能力提升】7．－18．x ≤1 9.(x ＋2)(x －2) 10.1【培优训练】11．7＋42第3课时 二次根式的乘法【核心提要】ab【典例精讲】1．(1)30 (2)2 2.(1)66 (2)－12(3)a 2 (4)2x 3.1【变式训练】1．(1)15 (2)32．(1)3 (2)－2a(3)－4 (4)5－263．－6【基础巩固】1．B 2.B 3.C 4.A5．366．(1)4a (2)－4 (3)45 (4)－4x7．4【能力提升】8．A 9.(1)－1.2 (2)3－22 10.5【培优训练】11．3第4课时 积的算术平方根【核心提要】a ·b【典例精讲】1．(1)2 5 9 (2)12 21 (3)25 43 (4)22 26 42 2a2．(1)1010 (2)3a a (3)53(4)2a b (5)3a 2 (6)4y3．(1)20 (2)42 (3)52【变式训练】1．(1)3 4 8 (2)15 12 (3)8 73(4)23 32 215 6b 2．(1)5b b (2)5a 2 (3)－243(4)－4ab bc (5)122 (6)2x 2y3．(1)34 (2)211 (3)33【基础巩固】1．A 2.A3．(1)26 (2)27 (3)35 (4)62 (5)5a (6)4b 5ab4．xy xy5．(b 2－a 2)a 2＋b 26．(1)243 (2)2x y7．36【能力提升】8．B9．(1)10 (2)12 (3)1410.1x －2 33【培优训练】11.a b －33第5课时 二次根式的除法【核心提要】 1.a b2．(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式(2)被开方数中不含分母【典例精讲】1．(1)3 (2)22．(1)310 (2)76 (3)33 (4)1553．66【变式训练】1．(1)3 (2)222．(1)25 (2)62 (3)36 (4)a 3．－32【基础巩固】1．C 2.C 3.C4．2 3 cm5．(1)－6105 (2)324(3)2 【能力提升】6．解析：∵ab ＞0，a ＋b ＜0，∴a ＜0，b ＜0.①a b ＝a b，被开方数应≥0，a ，b 不能作被开方数，(故①错误)， ②a b ·b a ＝1，a b ·b a ＝ab ＝a b ×b a ＝1＝1，(故②正确)， ③ab ÷a b ＝－b ，ab ÷a b ＝ab ÷ab －b ＝ab ×－b ab＝－b ，(故③正确)． 故选：B. 7．(1)2－1 (2)3＋3 8.1－22【培优训练】9．解：①化简不对，正确过程为－20－5＝205＝5×45＝4＝2； ②∵0作除数无意义，∴a b ＝a b 成立的条件：a ≥0，b ＞0. 第6课时 二次根式的加减法【核心提要】1．最简二次根式，相同2．最简二次根式，被开方数相同【典例精讲】1．(1)a (2)4a ＋8ab (3)2 (4)2ab 2．(1)5－22 (2)－3＋323.223【变式训练】1．(1)11xy (2)－x ＋4xy (3)76(4)6x2．(1)27(2)56＋23．－a 2【基础巩固】1．D 2.A3．824．(1)43－22(2)－b(3)63＋5(4)－67【能力提升】5．C 6.C7.a8.529.33【培优训练】10．解：∵x＝1＋3，∴x2－x＋1＝(1＋3)2－(1＋3)＋1＝1＋23＋3－1－3＋1＝3＋4；第7课时二次根式的混合运算【核心提要】乘方乘除加减【典例精讲】1．(1)22(2)42(3)2a6(4)3 2(5)155(6)2aa2．(1)35(2)23(3)33(4)－7 3．－1 4.2【变式训练】1．(1)33(2)210(3)3a2(4)7 7(5)22 (6)324 2．(1)32(2)22 (3)42 (4)－233．－1 4.4【基础巩固】1．A 2.C 3．5 4.10 3 cm 5．(1)6＋106 (2)43＋2 (3)3＋1 (4)4＋26 【能力提升】6.2－17.22【培优训练】8．解：设t 秒后△PBQ 的面积等于24平方厘米，根据题意得： 12×2t ×t ＝24， 解得：t 1＝－26(不合题意舍去)，t 2＝2 6.答：26秒后△PBQ 的面积等于24平方厘米．。

第十六章 二次根式16.1 二次根式（第二课时 二次根式的性质）精选练习答案一、单选题（共10小题)1．（2020·江苏淮安市·9﹣m ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ＞9B ．m ＜9C ．m ≥9D ．m ≤9 【答案】D【分析】根据算数平方根的定义可知9-m 是非负数，所以可得9﹣m≥0，求解不等式即可得出结果．【详解】根据二次根式的性质以及绝对值的意义，列不等式求解即可．|9﹣m |＝9﹣m ， ∴9﹣m ≥0，∴m ≤9，故选：D ．【点睛】此题考查二次根式的性质，注意被开方数和开方的结果都是非负数是关键． 2．（2020·陕西西安市八年级期中）已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足()26100a c --=，则三角形的形状是（ ）A ．底与腰不相等的等腰三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形【答案】D【分析】根据非负性求解出a ，b ，c 的具体值，再由勾股定理的逆定理判断即可．【详解】∵()260a -≥0≥，100c -≥，又∵()26100a c -+-=，∴60a -=，80b -=，100c -=，解得：6a =，8b =，10c =，∵22268366410010，∴是直角三角形．故选：D ．【点睛】本题考查绝对值，二次根式，完全平方式的非负性，及勾股定理的逆定理，熟练掌握相关代数式的非负性是解题关键．3．（2020·金华市七年级期中）已知非零实数a ，b 满足212a b a -+-=-则a －b 等于（ ）A ．−1B ．0C ．1D ．2【答案】D【分析】先由条件得出20a -≥，然后即可将原式去掉一个绝对值，从而即可求出a 、b 的值，可得到答案．【详解】解：由212a b a -+-=-可知，20a -≥，∴212a b a -+-=-，即10b -=∴10b -=， 30a -=，∴1b =， 3a =，∴312a b -=-=，故选：D ．【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，得到20a -≥是解题的关键．4．（2020·辽宁阜新蒙古族自治县八年级期末）实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，则化简代数式2-a b a +的结果是（ ）．A ．-bB ．2aC ．-2aD ．-2a-b【答案】A【分析】根据数轴得b<a<0，判断a+b<0，即可化简绝对值及二次根式，计算加减法即可得到答案．【详解】由数轴得b<a<0，∴a+b<0，∴2-a b a +=-a-b+a=-b ，故选：A ．【点睛】 此题考查数轴与数的表示，利用数轴比较数的大小，化简绝对值，化简二次根式，依据数轴化简绝对值及二次根式是解题的关键．5．（2020·广东揭阳市·3 ） A ．3B 3C 3D 3【答案】D【分析】 直接利用倒数的定义分析和二次根式的化简即可得出答案；相乘为1的两个数即为倒数； 【详解】3 3 ＝33． 故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的化简、倒数的定义，正确化简二次根式是解题的关键；6．（2020·甘肃白银市·八年级期中）当1<a <2+|a ﹣1|的值是（ ） A ．1B ．﹣1C ．2a ﹣3D ．3﹣2a 【答案】A【分析】 根据二次根式的化简方法将原式化简成21a a -+-，再根据a 的取值范围化简绝对值．【详解】解：∵12a <<，∴20a -<，10a ->， ∴原式21211a a a a =-+-=-+-=．故选：A ．【点睛】本题考查绝对值的化简和二次根式的化简，解题的关键是掌握绝对值和二次根式的化简方法．7．（2020·=则x 可取的整数值有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出x 的范围，得到答案．【详解】解：由题意得，40x -≥，50x -≥，解得，45x ≤≤，则x 可取的整数是4、5，共2个，故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数是解题的关键．8．（2020·清远市八年级期中）下列四个数中，是负数的是（ ）A ．2-B ．2(2)-C ．2-D ．2(2)-【答案】C【分析】 先根据绝对值的性质，有理数的乘方，二次根式的性质对各式化简，再利用正数和负数的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A 、220-=>，不符合题意；B 、()2240-=>，不符合题意；C 、20-<，符合题意；D 、()2220-=>，不符合题意；故选：C ．9．（2020·吉林长春市·九年级期中）2(3)-等于（ ） A ．3B ．-3C ．±3D ．9【答案】A【分析】根据实数的性质即可化简．【详解】 2(3)-3-=3故选A ．【点睛】此题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知实数的运算法则．10．（2020·西安市八年级期中）当2a <3(2)a a - ）A ．(2)a a -B ．(2)a a a --C ．(2)a a a -D ．(2)a a a --【答案】B【分析】根据二次根式的性质即可化简．【详解】解：∵2a <∴a 20-<-故选：B ．【点睛】此题主要考查二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质．二、填空题（共5小题)11．（2020·_____．1．【分析】直接根据二次的性质进行化简即可．【详解】＞1，|1(11=-=1．【点睛】()(0)0(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩是解答此题的关键．12．（2020·＝_____．【答案】【分析】根据二次根式的性质计算，即可得到答案．【详解】故答案为：43． 【点睛】 本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解． 13．（2020·西青区八年级期中）写出m n -的一个有理化因式：_______．【答案】m n -【分析】平方根与平方是互逆运算，据此解题．【详解】2()m n m n m n -⋅-=-m n ∴-的一个有理化因式是m n -，故答案为：m n -．【点睛】本题考查二次根式的有理化，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 14．（2020·高台县八年级期末）已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简2()a b a b -++=_____________【答案】2a -【分析】先根据数轴的定义可得0a b <<，从而可得0,0a b a b -<+<，再化简绝对值和二次根式，然后计算整式的加减即可得．【详解】由数轴的定义得：0a b <<，则0,0a b a b -<+<，因此2()()a b a b b a a b -+=-+--，b a a b =---，2a =-，故答案为：2a -．【点睛】本题考查了数轴、绝对值、二次根式、整式的加减，熟练掌握数轴的定义是解题关键．15．（2020·)0y >=______．【答案】2【分析】根据二次根式的性质进行化简根式即可．【详解】2x =∵0y >，2=故答案为2【点睛】本题主要考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．三、解答题（共2小题）16．（2020·福建三明市八年级期中）先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化437+=，4312⨯=，即：227+=， =2=== 问题：（1=__________=____________﹔（2a ，b （a b >），使a b m +=，ab n =，即22m +==2m n ±=__________． （3）化简：415-（请写出化简过程） 【答案】（1）31+，3-2；（2）()a b a b ±>；（3）106- 【分析】（1）根据题目所给的方法将根号下的数凑成完全平方的形式进行计算；（2）根据题目给的a ，b 与m 、n 的关系式，用一样的方法列式算出结果；（3）将15写成1524，4写成3522+，就可以凑成完全平方的形式进行计算． 【详解】解：（1）()242331233131+=++=+=+； 5-26=23-223+⨯()2=3-2=3-2； （2）()()()22222()m n a b a b a b a b a b ±=+±⨯=±=±>；（3）415-15=424-3535=22222+-⨯=210622⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭=106-22． 【点睛】本题考查二次根式的计算和化简，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．17．（2020·福建泉州市·泉州七中八年级期中）已如实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，请化简()()22a 1ab 1b +-++-【答案】0【分析】由题意可得：2-＜a ＜1-，0＜b ＜1，从而可得：1a +＜0， +a b ＜0， 1b -＞0， 再利()()22a 1a b 1b ++-11a a b b =+-++-，从而可得答案．【详解】解：由题意得：2-＜a ＜1-，0＜b ＜1，1a ∴+＜0，+a b ＜0， 1b -＞0，1b -11a a b b =+-++-11a a b b =--+++-0.=【点睛】本题考查的是实数的大小比较，二次根式的性质，二次根式的化简，绝对值的化简，合并同类项，掌握以上知识是解题的关键．。

章节测试题1.【答题】若与互为相反数，则x+y的值＝______。

【答案】27【分析】互为相反数的两个数之和等于0.【解答】根据题意得+＝0，∵≥0 且≥0∴＝0 且＝0∴且解得∴x+y＝15+12＝272.【答题】实数a在数轴上的位置如图，化简+a=______．【答案】1【分析】根据二次根式的性质，可化简二次根式，根据整式的加法，可得答案．【解答】解：+a=1﹣a+a=1，3.【答题】函数中自变量的取值范围______.【答案】x≥2【分析】根据被开方数非负来解.【解答】根据被开方数非负，得到关于x的不等式，x-2≥0求解即可.4.【答题】若在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．【答案】x≥3【分析】被开方数或被开方式是非负数【解答】由于被开方数或被开方式是非负数得x﹣3≥0，即x≥35.【答题】要使有意义，则x的取值范围是______.【答案】x≥4【分析】根据算术平方根的意义，可知其被开方数为非负数.【解答】根据算术平方根的意义，可知其被开方数为非负数，因此可得x-4≥0，解得x≥4.故答案为：x≥4.方法总结：此题主要考查了平方根的意义，解题时要注意被开方数为非负数的条件，然后列不等式求解即可，是一个中考常考的简单题.6.【题文】想一想：将等式=3和=7反过来的等式3=和7=还成立吗？式子：9==和4==成立吗？仿照上面的方法，化简下列各式：（1）2（2）11（3）6【答案】成立，、、【分析】当a≥0时，a=，所以对于有理数与二次根式相乘的形式的化简，可以将根号外的非负数通过这样的变形后，再用二次根式的乘法法则化简.【解答】解：等式3=和7=成立，9==和4==成立.(1)；(2)；(3).方法总结：本题主要考查了二次根式的非负性，二次根式有双重非负性，即二次根式的被开方数是非负数，二次根式的值是非负数，所以每一个非负数都可以根据二次根式的双重非负性写成二次根式的形式.7.【题文】若y=＋＋3，求xy的值。

二次根式定义及性质化简公式：)0()(2≥=a a a 和⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a例1 求下列二次根式有意义的条件：(1)1-x (2)x x -⋅+31 (3)31+x (4) 12+x(5)xx -+31 (6)2)1(-x (7)962+-x x (8)1062+-x x例2 已知满足求的平方根.例3 已知a 、b 满足等式．（1）求出a 、b 的值分别是多少？（2）试求的值．例4 已知△ABC 的三边长a ，b ，c 均为整数，且a 和b 满足试求△ABC 的c边的长．例5 已知，求的值.课堂同步练习一、选择题：1、下列各式一定是二次根式的是（）A. B. C. D.2、若式子有意义，则x的取值范围是（）A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x=33、函数的自变量x的取值范围是（）A．B．C．D．4、，则的值为（）A．－6 B． 9 C．6 D．－96、如果，那么（）A. B. C. D.7、若的整数部分为，小数部分为，则的值是（）A. B. C. D.8、在Rt△ABC中,∠C=90°,c为斜边,a、b为直角边,则化简的结果为（）A.3a+b﹣cB.﹣a﹣3b+3cC.a+3b﹣3cD.2a9、若，为实数，且，则的值为（）A.－1B.1C.1或7D.710、已知实数a满足，那么a﹣20002的值是( )A.1999B.2000C.2001D.2002二、填空题：11、函数的自变量的取值范围是____________.12、已知，则a b=13、当的值为最小值时，a的取值为．14、当1＜x＜2时，化简：+的结果为．15、已知x、y为实数，且y=﹣+4，则x﹣y=_________ ．16、实数、在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 .17、若+|x+y﹣2|=0，则xy= ．18、若，则a的取值范围是 .19、无论取任何实数，代数式都有意义，则的取值范围为 .20、化简：得．三、简答题：21、解方程组并求的值.22、已知y=，求3x+2y的算术平方根．求的平方根.23、已知：.24、已知：=0，求实数a，b的值．25、细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．（1）推算出S10的值；（2）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（3）求出S12+S22+S32+…+S102的值．二次根式定义及性质同步测试题一、选择题：1、下列式子中：、、0、、、（a＞0）二次根式的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2、若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是( )A. B. C. D.3、若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．B．C．D．且4、函数中自变量x的取值范围是（）A． B． C. D.5、若二次根式有意义，则字母a应满足的条件是（）A． B． C． D．6、若1＜x＜3，则|x﹣3|+的值为（）A．2x﹣4 B．﹣2 C．4﹣2x D．2 7、估算+2的值是（）．A．在5和6之间 B．在6和7之间 C．在7和8之间 D．在8和9之间8、已知( )A. 2或12B. 2或-12C. -2或12D. -2或-12二、填空题：9、使得函数有意义的x的取值范围是；10、已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示：化简：的结果是：___________________．11、若，则=12、已知，则x y的平方根为______．13、若=3，=2，且 ab＜0，则 a﹣b= ．14、观察分析下列数据,寻找规律：0,,，3，2 …那么第 10 个数据应是．第n个数应是。

二次根式（基础）【学习目标】1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论：a≥0，（a≥0），（a≥0），（a≥0），并利用它们进行计算和化简．【要点梳理】要点一、二次根式及代数式的概念1.二次根式：一般地，我们把形如(a≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.2.代数式：形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.要点二、二次根式的性质 1.a ≥0，（a ≥0）；2. （a ≥0）；3..要点诠释： 1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。

一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即2()(0a a a =≥）. 2.2a 与2()a 要注意区别与联系：1).a 的取值范围不同，2()a 中a ≥0，2a 中a 为任意值。

2).a ≥0时，2()a =2a =a ；a <0时，2()a 无意义，2a =a -.【典型例题】类型一、二次根式的概念1.当x为实数时，下列各式()2223--，x x x x x,1,,,,，，属二次根式的有____ 个.【答案】 3.【解析】 ()22,,x x x - 这三个式子满足无论x 取何值，被开方数都大于零.【总结升华】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0． 举一反三：【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ）.（1）13；（2）3-； （3）21x -+；（4）38； （5）21()3-；（6）1x -（1x >） A ．2 B.3 C.4 D.5【答案】B.2. x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义？（1）1y x =-； （2）y=2+x －x 23-；【答案与解析】 （1）1x -Q ≥0，所以x ≥1.（2）2x +Q ≥0,32x -≥0,所以2-≤x ≤32； 【总结升华】重点考查二次根式的概念：被开方数是正数或零.举一反三：【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（ ）.A. 23-B.()20.3- C. 2- D. x【答案】B.类型二、二次根式的性质 3. 计算下列各式：(1)232()4-⨯- (2)2(3.14)π-【答案与解析】(1) 33=-2=-42⨯原式. (2) =3.14-=-3.14ππ原式.【总结升华】 二次根式性质的运用. 举一反三：【变式】（1）2)252(-=_____________.（2）2)2(2a a ---=_____________.【答案】(1) 10;(2) 0.4. 已知0a <，那么22a a -可化简为（）. A. a - B.a C.3a - D.3a【答案】C.【解析】0,=-233a a a a a <∴-=-=-Q 原式.【总结升华】重点考查二次根式的性质：.举一反三：【变式】若整数m 满足条件22(1)1,,5m m m +=+<且则m 的值是___________.【答案】m =0或m =-1.二次根式（基础） 【巩固练习】 一．选择题 1.若二次根式1x -有意义，则x 的取值范围是（ ）.A.1x ≠ B ．x ≥1 C.x<1 D.全体实数2. 若1a <,化简2(1)-1=a - ( ).A.2a -B.2a -C.aD.a -3.下列说法正确的是（ ）A ．4是一个无理数B ．函数11y x =-的自变量x 的取值范围是x ≥1 C ．8的立方根是2± D.若点(2,)-3)P a Q和点（b ，关于x 轴对称，则a b +的值为5. 4. 若a 不等于0，a 、b 互为相反数，则下列各对数中互为相反数的一对数是( ).A.与B.与C.与D.与5.下列根式是最简二次根式的是（ ）.A ．8B ．24x y +C ．D ．6. 已知，化简二次根式的正确结果为（ ）.A. B. C. D.二. 填空题7.当x______时，式子x -在实数范围有意义；当x_______时，式子2x -在实数范围有意义.8.=____________. 若，则____________.9．（1）2)53(-=_____________.（2）9622++-a a a （a>0）=__________________________.10.若22x x -+-=0，则2(1)1x x --=_______________. 11.当x ≤0时，化简21-x x -=__________________________.12.有如下判断：（1）11010x y xy x ⋅= (2)155=1 (3)55552424=+ (4)332363⨯=（5）222516541-=-=（6）a b a b ⋅=⋅成立的条件是,a b 同号.其中正确的有_____个.三 综合题13. 当x 为何值时，下列式子有意义？（1）21x + (2) 2x -（3）11y x =-； （4）11y x =-；14. 已知实数x ，y 满足，求代数式2013()x y +的值.15.若23324y x x x =-+-+-，求x y的值.【答案与解析】一、选择题1．【答案】B.2．【答案】D .【解析】因为1a < 原式=1111a a a --=--=-.3．【答案】 D.【解析】 4=2是有理数；11y x =-的x 的取值范围是x>1;8的立方根是2； 因为(2,)-3)P a Q和点（b ，关于x 轴对称，所以3,2a b ==，及5a b +=,所以选D. 4．【答案】 C.5．【答案】 B.【解析】 根据最简二次根式的性质，A,D 选项都含有能开方的项，C 选项含有分母，所以选B.6．【答案】 D. 【解析】 因为，2y x-是被开方数，所以y<0,x<0, 所以原式==x y x -=y --.二、填空题7.【答案】 x ≤0；x=0.8 【答案】2;7x m -=±. 9.【答案】(1) 45; (2) -3.10.【答案】 -1.【解析】因为22x x -+-=0，所以2-x ≥0，x-2≥0，所以x=2;则原式=2(12)112-=--. 11.【答案】 1.【解析】 原式=111x x x x --=-+=.12.【答案】 2个.【解析】只有（1），（3）正确.三、 解答题13.【解析】 （1）21x +Q ≥0，即x 为任意实数；（2）2x -Q ≥0，即2x ≤0，即x =0.（3）10,1x x ->∴>Q（4）0,10,0 1.x x x x ≥-≠∴≥≠Q 且.14.【解析】 因为.，所以x=5，y=-4. 则2013()x y +=2013(54)-=115.【解析】 因为23324y x x x =-+-+-，所以2x-3≥0,3-2x ≥0，即x=32，y=102.则xy=3661522510101022===.。