人教B版高中数学选修1-2 2-1-1 合情推理 测试教师版 精品

能力拓展提升一、选择题11．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如下图)，则第七个三角形数是()A．27 B．28C．29 D．30B后面的三角形数依次在前面的基础上顺次加上2,3,4,5，……，故第七个三角形数为21＋7＝28.12．若把正整数按下图所示的规律排序，则从2 010到2 012的箭头方向依次为()14→58→912↓↑↓↑↓↑……2→36→7 10→11A．↓→B．→↓C．↑→D．→↑D根据箭头方向找规律，每相邻四个数字，箭头方向相同，2010÷4＝502余2，故从2010到2012与从2到4的方向一致，故选D.13．如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是()A．白色B．黑色C．白色的可能性大D．黑色的可能性大A由图知，这串珠子的排列规律是：每5个一组(前3个是白色珠子，后2个是黑色珠子)呈周期性排列，而36＝5×7＋1，即第36颗珠子正好是第8组中的第1颗珠子，其颜色与第一颗珠子的颜色相同，故它的颜色一定是白色．14．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是() A．289 B．1 024C．1 225 D．1 378C本题主要考查数形的有关知识．图1中满足a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，a n－a n－1＝n，以上累加得a n－a1＝2＋3＋…＋n，a n＝1＋2＋3＋…＋na n＝n·(n＋1)，图2中满足b n＝n2，2一个数若满足三角形数，其必能分解成两个相邻自然数乘积的一半；一个数若满足正方形数，其必为某个自然数的平方．∵1225＝352＝49×50，∴选C.2二、填空题15．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为________．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9等比数列中，“乘积”类比到等差数列中“和”，故应有结论为a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9.16．如图，已知命题：若矩形ABCD的对角线BD与边AB和BC所成的角分别为α，β，则cos2α＋cos2β＝1，则在长方体ABCD －A1B1C1D1中，可写出类似的命题：__________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若对角线BD 1与棱AB 、BB 1、BC 所成的角分别为α、β、γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1或sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ＝2(或：长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若对角线BD 1与平面ABCD 、ABB 1A 1、BCC 1B 1所成的角分别为α、β、γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2或sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ＝1)．三、解答题17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且S n －1＋1S n＋2＝0(n ≥2)，计算S 1、S 2、S 3、S 4，并猜想S n 的表达式．当n ＝1时，S 1＝a 1＝1；当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－3，∴S 2＝－13； 当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－53；∴S 3＝－35； 当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－75，∴S 4＝－57. 猜想：S n ＝－2n －32n －1(n ∈N *)． 18．若a 1、a 2∈R ＋，则有不等式a 21＋a 222≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋a 222成立，此不等式能推广吗？请你至少写出两个不同类型的推广．本例可以从a 1、a 2的个数以及指数上进行推广．第一类型：a 21＋a 22＋a 233≥(a 1＋a 2＋a 33)2， a 21＋a 22＋a 23＋a 244≥(a 1＋a 2＋a 3＋a 44)2，…， a 21＋a 22＋…＋a 2n n ≥(a 1＋a 2＋…＋a n n)2； 第二类型：a 31＋a 322≥(a 1＋a 22)3，a 41＋a 422≥(a 1＋a 22)4，…，a n 1＋a n 22≥(a 1＋a 22)n ； 第三类型：a 31＋a 32＋a 333≥(a 1＋a 2＋a 33)3，…，a m 1＋a m 2＋……＋a m n n ≥(a 1＋a 2＋…＋a n n)m . 上述a 1、a 2、…、a n ∈R ＋，m 、n ∈N *.。

1．等差数列有如下性质：若数列{a n}是等差数列，则当b n＝a1＋a2＋…＋a n
n时，数列{b n}也是等差数列；类比上述性质，相应地，若数列{c n}是正项等比数列，则当d n＝________时，数列{d n}也是等比数列．
n
c1c2…c n
类比等差数列与等比数列的性质，可猜测d n＝n
c1c2…c n，{d n}
为等比数列．
2．(2013·陕西文)观察下列等式
(1＋1)＝2×1
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5
……
照此规律，第n个等式可为________________________．(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)
本题考查了逻辑推理能力．观察规律，等号左侧为(n＋1)(n＋2)...(n＋n)，右侧分两部分，一部分是2n，另一部分为1×3× (2)
－1)．
3．根据等差数列的性质，利用类比方法试写出等比数列的一些性质.
等差数列性质{a n}，公差d 等比数列性质{b n}，公
由等差数列，等比数列性质，不难类比得到①－⑤的性质：
①若m＋n＝p＋q，则b m·b n＝b p·b q；
②若m＋n＝2p，则b m·b n＝b2p；
③b k，b k＋m，b k＋2m……构成公比为q m的等比数列；
④公比q≠－1时，S n，S2n－S n，S3n－S2n构成等比数列，公比为q n；
⑤b m＝b n·q m－n.。

学案16 §2.1.1 合情推理一、知识目标（1）结合已学过的数学实例，了解归纳推理、合情推理的含义，通过生活中的实例和已学过的教学的案例，体会演绎推理的重要性；（2）能利用归纳、类比进行简单的推理，体会并认识合情推理、演绎推理在数学发现中的作用。

掌握推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理。

二、新课讲授1．归纳推理<1>、归纳推理的概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出 的推理，称为归纳推理. 简言之，归纳推理是由 的推理.讨论： (i) 归纳推理有何作用？(ii)归纳推理的结果是否正确？<2>. 练习：(1)由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？（2）已知 )2,1(0n i a i ，⋯⋯=>考察下列式子：111()1i a a ⋅≥；121211()()()4ii a a a a ++≥；123123111()()()9iii a a a a a a ++++≥.可以归纳出，对12,,,n a a a 也成立的类似不等式为 .(3). 观察等式：2221342,13593,13579164+==++==++++==，能得出怎样的结论？ <3>、例题讲解例1.已知数列{}n a 的第1项a 1=1，且 ),3,2,1(11 =+=+n a a a nn n ，试归纳出这个数列的通项公式。

例2:汉诺塔问题有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上。

1.每次只能移动一个金属片;2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测:把n 个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?巩固练习：（1） 对于任意正整数n ，猜想（2n-1）与(n+1)2的大小关系？ 1（2）已知数列}{n a 满足11=a ，)12111--+=n n n a a a （，（)2≥n 求}{n a 的通项公式。

高二数学人教选修1-2课后练习第2章推理与证明2.1.1 合情推理一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·潍坊高二检测)已知a1=1,a2=,a3=,a4=,则数列{a n}的一个通项公式为a n= ( )A. B.C. D.【解析】选B.a1=1=,a2==,a3==,a4==,故猜想a n=.2.平面内平行于同一直线的两条直线平行,由此类比到空间中可以得到( )A.空间中平行于同一直线的两条直线平行B.空间中平行于同一平面的两条直线平行C.空间中平行于同一直线的两个平面平行D.空间中平行于同一平面的两个平面平行【解析】选D.利用类比推理,平面中的直线和空间中的平面类比.3.(2016·石家庄高二检测)如图所示的是一串黑白相间排列的珠子,若按这种规律排下去,那么第36颗珠子的颜色是( )A.白色B.黑色C.白色的可能较大D.黑色的可能性较大【解析】选A.由题图可知,这串珠子的排列规律是:每5个一组(前3个是白色珠子,后2个是黑色珠子)周期性排列,而36=5×7+1,即第36颗珠子正好是第8组中的第一颗珠子,其颜色为白色.4.(2016·郑州高二检测)下面使用类比推理,得出的结论正确的是( )A.若“a·3=b·3,则a=b”类比推出“若a·0=b·0,则a=b”B.“若(a+b)c=ac+bc”类比出“(a·b)c=ac·bc”C.“若(a+b)c=ac+bc”类比出“=+(c≠0)”D.“(ab)n=a n b n”类比出“(a+b)n=a n+b n”【解析】选C.A中,3与0两个数的性质不同,故类比中把3换成0,其结论不成立;B中,乘法满足对加法的分配律,但乘法不满足对乘法的分配律;C是正确的;D中,令n=2显然不成立.5.(2016·天津高二检测)在等差数列{a n}中,a10=0,则有等式a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立,类比上述性质,相应地在等比数列{b n}中,若b9=1,则成立的等式是( )A.b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*)B.b1b2…b n=b1b2…b18-n(n<18,n∈N*)C.b1+b2+…+b n=b1+b2+…+b17-n(n<17,n∈N*)D.b1+b2+…+b n=b1+b2-1+…+b18-n(n<18,n∈N*)【解析】选A.由b9=1得b8b9b10=1……①b7b8b9b10b11=1……②由①得b1b2......b7=b1b2 (10)由②得b1b2…b6=b1b2…b11,因此选A.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·陕西高考)观察下列等式:1-=1-+-=+1-+-+-=++…据此规律,第n个等式可为________.【解析】由已知可得:第n个等式左边含有2n项,其中奇数项为,偶数项为-.其等式右边为后n项的绝对值之和.所以第n个等式为:1-+-+…+-=++…+.答案:1-+-+…+-=++…+7.观察式子:1+<;1++<,1+++<,…则可归纳出第n-1个式子为_________________.【解题指南】分析左边式子结构及项数,与右端分子分母之间的关系.【解析】观察已知三个式子可得第n-1个式子左边有n项,为1+++…+.右边为. 答案:1+++…+<8.(2016·淄博高二检测)已知△ABC的边长分别为a,b,c,内切圆半径为r,用S△ABC表示△ABC的面积,则S△ABC =r(a+b+c).类比这一结论有:若三棱锥A-BCD的内切球半径为R,则三棱锥的体积V A -BCD=________.【解析】内切圆半径r内切球半径R,三角的周长a+b+c三棱锥的全面积S△ABC+S△ACD+S△ABD+S△BCD,三角形面积公式中系数三棱锥体积公式中系数,故类比得V A-BCD =R答案:R三、解答题(每小题10分,共20分)9.圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合;球是空间中到定点的距离等于定长的点的集合.这两个定义很相似.于是我们猜想圆与球会有某些相似的性质.试将平面上的圆与空间中的球进行类比.【解析】圆与球在它们的生成、形状、定义等方面都具有相似的属性.据此,在圆与球的相关元素之间可以建立如下的对应关系:弦↔截面圆,直径↔大圆,周长↔表面积,圆面积↔球体积,等.于是,根据圆的性质,可以猜测球的性质如下表所示:V=10.(2016·烟台高二检测)已知椭圆具有如下性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两点,点P是椭圆上任意一点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为k PM,k PN,那么k PM与k PN之积是与点P位置无关的定值,试对双曲线-=1,写出具有类似的性质,并加以证明.【解析】类似的性质为:若M,N是双曲线-=1上关于原点对称的两点,点P是双曲线上任意一点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为k PM,k PN,那么k PM与k PN之积是与点P位置无关的定值.证明如下:设M(m,n),P(x,y),则N(-m,-n),因为点M(m,n)在双曲线上,所以n2=m2-b2.同理,y2=x2-b2.则k PM·k PN=·==·=(定值).一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知“平面内,过一点与已知直线垂直的直线有且仅有一条”,类比这一结论可得出以下结论:①空间内,过一点与已知直线垂直的直线有且仅有一条;②空间内,过一点与已知平面垂直的直线有且仅有一条;③空间内,过一条直线与已知直线垂直的平面有且仅有一个;④空间内,过一条直线与已知平面垂直的平面有且仅有一个.其中,正确结论的个数为( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.本题是由平面点与线的位置关系类比到空间点线面的位置关系.可借助长方体这一模型排除①③④,仅有②正确.2.(2016·烟台高二检测)将正整数排成下表:12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16…则在表中的数字2016出现在( )A.第44行第81列B.第45行第81列C.第44行第80列D.第45行第80列【解析】选D.第n行有2n-1个数,前n行共有n2个数.因为442=1936,452=2025,而1936<2016<2025,故2016在第45行.又2025-2016=9,且第45行共有89个数字,所以2016在89-9=80列.故选D.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·石家庄高二检测)设n是正整数:f(n)=1++++…+,计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3.观察上述结果,可推测一般的结论是__________.【解析】由已知前四个式子可得第n个式子左边应为f(2n),右边应为,即一般结论为f(2n)≥.答案:f(2n)≥4.(2016·青岛高二检测)如图所示,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,A为右顶点,B为上顶点,当⊥时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于________.【解析】设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).则左焦点F(-c,0),B(0,b),A(a,0).所以=(c,b),=(-a,b),因为⊥,所以·=b2-ac=0,即c2-a2-ac=0,两边同除a2得e2-e-1=0,解得e=或e=(舍去)答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016·广州高二检测)已知a,b为正整数,设两直线l1:y=b-x与l2:y=x的交点P1(x1,y1),对于n≥2的自然数,两点(0,b),(x n-1,0)的连线与直线y=x交于点P n(x n,y n).(1)求P1,P2的坐标.(2)猜想P n的坐标.【解析】(1)由方程组得P1.过(0,b),两点的直线方程为+=1与y=x联立解得P2.(2)由(1)可猜想P n.6.(2016·海淀高二检测)如图,已知O是△ABC内任意一点,连接AO,BO,CO并延长交对边分别于A′,B′,C′,则++=1.这是平面几何中的一道题,其证明常采用“面积法”.++=++==1.请运用类比思想,对于空间中的四面体V-BCD,存在什么类似的结论?并用“体积法”证明.【解题指南】考虑到用“面积法”证明结论时把O点与三角形的三个顶点连接,把三角形分成三个三角形,利用面积来证明相应的结论.在证明四面体中类似结论时,可考虑利用体积来证明相应的结论.【解析】在四面体V-BCD中,任取一点O,连接VO,DO,BO,CO并延长分别交四个面于E,F,G,H 点,则+++=1.证明:在四面体O-BCD与V-BCD中,设底面BCD上的高分别为h1,h,则===.同理有:=;=;=,所以+++==1.一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·潍坊高二检测)已知a1=1,a2=,a3=,a4=,则数列{a n}的一个通项公式为a n= ( )A. B.C. D.【解析】选B.a1=1=,a2==,a3==,a4==,故猜想a n=.2.平面内平行于同一直线的两条直线平行,由此类比到空间中可以得到( )A.空间中平行于同一直线的两条直线平行B.空间中平行于同一平面的两条直线平行C.空间中平行于同一直线的两个平面平行D.空间中平行于同一平面的两个平面平行【解析】选D.利用类比推理,平面中的直线和空间中的平面类比.3.(2016·石家庄高二检测)如图所示的是一串黑白相间排列的珠子,若按这种规律排下去,那么第36颗珠子的颜色是( )A.白色B.黑色C.白色的可能较大D.黑色的可能性较大【解析】选A.由题图可知,这串珠子的排列规律是:每5个一组(前3个是白色珠子,后2个是黑色珠子)周期性排列,而36=5×7+1,即第36颗珠子正好是第8组中的第一颗珠子,其颜色为白色.4.(2016·郑州高二检测)下面使用类比推理,得出的结论正确的是( )A.若“a·3=b·3,则a=b”类比推出“若a·0=b·0,则a=b”B.“若(a+b)c=ac+bc”类比出“(a·b)c=ac·bc”C.“若(a+b)c=ac+bc”类比出“=+(c≠0)”D.“(ab)n=a n b n”类比出“(a+b)n=a n+b n”【解析】选C.A中,3与0两个数的性质不同,故类比中把3换成0,其结论不成立;B中,乘法满足对加法的分配律,但乘法不满足对乘法的分配律;C是正确的;D中,令n=2显然不成立.5.(2016·天津高二检测)在等差数列{a n}中,a10=0,则有等式a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立,类比上述性质,相应地在等比数列{b n}中,若b9=1,则成立的等式是( )A.b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*)B.b1b2…b n=b1b2…b18-n(n<18,n∈N*)C.b1+b2+…+b n=b1+b2+…+b17-n(n<17,n∈N*)D.b1+b2+…+b n=b1+b2-1+…+b18-n(n<18,n∈N*)【解析】选A.由b9=1得b8b9b10=1……①b7b8b9b10b11=1……②由①得b1b2......b7=b1b2 (10)由②得b1b2…b6=b1b2…b11,因此选A.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·陕西高考)观察下列等式:1-=1-+-=+1-+-+-=++…据此规律,第n个等式可为________.【解析】由已知可得:第n个等式左边含有2n项,其中奇数项为,偶数项为-.其等式右边为后n项的绝对值之和.所以第n个等式为:1-+-+…+-=++…+.答案:1-+-+…+-=++…+7.观察式子:1+<;1++<,1+++<,…则可归纳出第n-1个式子为_________________.【解题指南】分析左边式子结构及项数,与右端分子分母之间的关系.【解析】观察已知三个式子可得第n-1个式子左边有n项,为1+++…+.右边为. 答案:1+++…+<8.(2016·淄博高二检测)已知△ABC的边长分别为a,b,c,内切圆半径为r,用S△ABC表示△ABC的面积,则S△ABC=r(a+b+c).类比这一结论有:若三棱锥A-BCD的内切球半径为R,则三棱锥的体积V A -BCD=________.【解析】内切圆半径r内切球半径R,三角的周长a+b+c三棱锥的全面积S△ABC+S△ACD+S△ABD+S△BCD,三角形面积公式中系数三棱锥体积公式中系数,故类比得V A-BCD =R答案:R三、解答题(每小题10分,共20分)9.圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合;球是空间中到定点的距离等于定长的点的集合.这两个定义很相似.于是我们猜想圆与球会有某些相似的性质.试将平面上的圆与空间中的球进行类比.【解析】圆与球在它们的生成、形状、定义等方面都具有相似的属性.据此,在圆与球的相关元素之间可以建立如下的对应关系:弦↔截面圆,直径↔大圆,周长↔表面积,圆面积↔球体积,等.于是,根据圆的性质,可以猜测球的性质如下表所示:V=10.(2016·烟台高二检测)已知椭圆具有如下性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两点,点P是椭圆上任意一点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为k PM,k PN,那么k PM与k PN之积是与点P位置无关的定值,试对双曲线-=1,写出具有类似的性质,并加以证明.【解析】类似的性质为:若M,N是双曲线-=1上关于原点对称的两点,点P是双曲线上任意一点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为k PM,k PN,那么k PM与k PN之积是与点P位置无关的定值.证明如下:设M(m,n),P(x,y),则N(-m,-n),因为点M(m,n)在双曲线上,所以n2=m2-b2.同理,y2=x2-b2.则k PM·k PN=·==·=(定值).一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知“平面内,过一点与已知直线垂直的直线有且仅有一条”,类比这一结论可得出以下结论:①空间内,过一点与已知直线垂直的直线有且仅有一条;②空间内,过一点与已知平面垂直的直线有且仅有一条;③空间内,过一条直线与已知直线垂直的平面有且仅有一个;④空间内,过一条直线与已知平面垂直的平面有且仅有一个.其中,正确结论的个数为( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.本题是由平面点与线的位置关系类比到空间点线面的位置关系.可借助长方体这一模型排除①③④,仅有②正确.2.(2016·烟台高二检测)将正整数排成下表:12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16…则在表中的数字2016出现在( )A.第44行第81列B.第45行第81列C.第44行第80列D.第45行第80列【解析】选D.第n行有2n-1个数,前n行共有n2个数.因为442=1936,452=2025,而1936<2016<2025,故2016在第45行.又2025-2016=9,且第45行共有89个数字,所以2016在89-9=80列.故选D.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·石家庄高二检测)设n是正整数:f(n)=1++++…+,计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3.观察上述结果,可推测一般的结论是__________.【解析】由已知前四个式子可得第n个式子左边应为f(2n),右边应为,即一般结论为f(2n)≥.答案:f(2n)≥4.(2016·青岛高二检测)如图所示,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,A为右顶点,B为上顶点,当⊥时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于________.【解析】设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).则左焦点F(-c,0),B(0,b),A(a,0).所以=(c,b),=(-a,b),因为⊥,所以·=b2-ac=0,即c2-a2-ac=0,两边同除a2得e2-e-1=0,解得e=或e=(舍去)答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016·广州高二检测)已知a,b为正整数,设两直线l1:y=b-x与l2:y=x的交点P1(x1,y1),对于n≥2的自然数,两点(0,b),(x n-1,0)的连线与直线y=x交于点P n(x n,y n).(1)求P1,P2的坐标.(2)猜想P n的坐标.【解析】(1)由方程组得P1.过(0,b),两点的直线方程为+=1与y=x联立解得P2.(2)由(1)可猜想P n.6.(2016·海淀高二检测)如图,已知O是△ABC内任意一点,连接AO,BO,CO并延长交对边分别于A′,B′,C′,则++=1.这是平面几何中的一道题,其证明常采用“面积法”.++=++==1.请运用类比思想,对于空间中的四面体V-BCD,存在什么类似的结论?并用“体积法”证明.【解题指南】考虑到用“面积法”证明结论时把O点与三角形的三个顶点连接,把三角形分成三个三角形,利用面积来证明相应的结论.在证明四面体中类似结论时,可考虑利用体积来证明相应的结论.【解析】在四面体V-BCD中,任取一点O,连接VO,DO,BO,CO并延长分别交四个面于E,F,G,H 点,则+++=1.证明:在四面体O-BCD与V-BCD中,设底面BCD上的高分别为h1,h,则===.同理有:=;=;=,所以+++==1.(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2015·厦门高二检测)定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下图中的(1)，(2)，(3)，(4)，那么下图中的 (A)，(B)所对应的运算结果可能是( )A.B*D，A*DB.B*D，A*CC.B*C，A*DD.C*D，A*D【解析】选B.由(1)(2)(3)(4)图得A表示|，B表示□，C表示—，D表示○，故图(A)(B)表示B*D和A*C.2.给出下列三个类比结论：①类比a x·a y=a x+y，则有a x÷a y=a x-y；②类比log a(xy)=log a x+log a y，则有sin(α+β)=sinαsinβ；③类比(a+b)2=a2+2ab+b2，则有(a+b)2=a2+2a·b+b2.其中结论正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选C.根据指数的运算法则知a x÷a y=a x-y，故①正确；根据三角函数的运算法则知：sin(α+β)≠sinαsinβ，②不正确；根据向量的运算法则知：(a+b)2=a2+2a·b+b2，③正确.【补偿训练】若数列{a n}(n∈N*)是等差数列，则有数列b n=(n∈N*)也是等差数列.类比上述性质，相应地有，若数列{c n}(n∈N*)是等比数列，且c n>0，则数列d n= (n∈N*)也是等比数列.【解析】由等差、等比数列的性质易知，等差数列、等比数列在运算上具有相似性.等差与等比类比是和与积、倍与乘方、商与开方的类比.由此猜想d n=.答案：3.设n棱柱有f(n)个对角面，则(n+1)棱柱的对角面的个数f(n+1)等于( )A.f(n)+n+1B.f(n)+nC.f(n)+n-1D.f(n)+n-2【解析】选C.因为过不相邻两条侧棱的截面为对角面，过每一条侧棱与它不相邻的一条侧棱都能作对角面，可作(n-3)个对角面，n条侧棱可作n(n-3)个对角面，由于这些对角面是相互之间重复计算了，所以共有n(n-3)÷2个对角面，所以可得f(n+1)-f(n)=(n+1)(n+1-3)÷2-n(n-3)÷2=n-1，故f(n+1)=f(n)+n-1.4.(2015·北京高二检测)设0<θ<，已知a1=2cosθ，a n+1=，猜想a n=( )A.2cosB.2cosC.2cosD.2sin【解析】选B.因为a1=2cosθ，a2==2=2cos，a3==2=2cos，…，猜想a n=2cos.【一题多解】验n=1时，排除A，C，D.5.(2015·吉林高二检测)设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r=；类比这个结论可知：四面体P-ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，四面体P-ABC的体积为V，则r=( )A. B.C. D.【解析】选C.△ABC的三条边长a，b，c类比到四面体P-ABC的四个面面积S1，S2，S3，S4，将三角形面积公式中系数类比到三棱锥体积公式中系数，从而可知选C.【补偿训练】在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=b，BC=a，则△ABC外接圆半径r=.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的半径R= .【解题指南】解题时题设条件若是三条线两两互相垂直，就要考虑到构造正方体或长方体. 【解析】(构造法)通过类比可得R=.证明：作一个在同一个顶点处棱长分别为a，b，c的长方体，则这个长方体的体对角线的长度是，故这个长方体的外接球的半径是，这也是所求的三棱锥的外接球的半径.答案：二、填空题(每小题5分，共15分)6.下面是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“连线”表示化学键，按图中结构第n个图中有个原子，有个化学键.【解析】第1，2，3个图中分别有原子：6个、6×2-2个、6×3-2×2个，所以第n个图中有6n-(n-1)×2=4n+2个原子；第1，2，3个图中分别有化学键：6个，6×2-1个，6×3-2个，所以第n个图中有6n-(n-1)=5n+1个化学键.答案：4n+2 5n+17.类比“等差数列”的定义，写出“等和数列”的定义，并解答下列问题：已知数列{a n}是等和数列，且a1=2，公和为5，那么a18= ，这个数列的前n项和S n 的计算公式为.【解析】定义“等和数列”：在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.由上述定义，得a n=故a18=3.从而S n=答案：3 S n=8.如图1，小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1，再把正方形A1B1C1D1的各边延长一倍得到正方形A2B2C2D2(如图2)，如此进行下去，正方形A n B n C n D n 的面积为.(用含有n的式子表示，n为正整数)【解题指南】根据三角形的面积公式，知每一次延长一倍后，得到的一个直角三角形的面积和延长前的正方形的面积相等，即每一次延长一倍后，得到的图形是延长前的正方形的面积的5倍，从而解答.【解析】如题干图1，已知小正方形ABCD的面积为1，则把它的各边延长一倍后，△AA1B1的面积是1，新正方形A1B1C1D1的面积是5，从而正方形A2B2C2D2的面积为5×5=25=52，…正方形A n B n C n D n的面积为5n.答案：5n三、解答题(每小题10分，共20分)9.已知：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42，…根据以上等式的结构特点，请你归纳一般结论.【解析】注意到各等号左边为若干项奇数的和，且最后一项分别为1=2×1-1；3=2×2-1；5=2×3-1；7=2×4-1，…又等号右边相应结果分别为：12；22；32；42；…由此总结出一般结论：1+3+5+7+…+(2n-1)=n2.10.如图1，在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2=BD·BC；若类比该命题，如图2，三棱锥A-BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则可以得到什么命题？命题是否是真命题并加以证明.【解析】命题是：三棱锥A-BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有=S△BCM·S△BCD，是一个真命题.证明如下：在图2中，连接DM，并延长交BC于E，连接AE，则有DE⊥BC.因为AD⊥平面ABC，所以AD⊥AE.又AM⊥DE，所以AE2=EM·ED.于是==·=S△BCM·S△BCD.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.下面由火柴棒拼出的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成.通过观察可以发现第10个图形中火柴棒的根数是( )A.30B.31C.32D.34【解析】选B.第1个图形中有4根火柴棒；第2个图形中有4+3=7根火柴棒；第3个图形中有4+3×2=10根火柴棒；…第10个图形中有4+3×9=31根火柴棒.2.已知“整数对”按如下规律排成一列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第60个数对是( )A.(7，5)B.(5，7)C.(2，10)D.(10，1)【解析】选B.依题意，由和相同的“整数对”分为一组不难得知，第n组“整数对”的和为n+1，且有n个“整数对”.这样前n组一共有个“整数对”.注意到<60<.因此第60个“整数对”处于第11组的第5个位置，可得为(5，7).二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2015·西安高二检测)对于命题：如果O是线段AB上一点，则||·+||·=0；将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，有S△OBC·+S△OCA·+S△OBA·=0；将它类比到空间的情形应该是：若O是四面体ABCD内一点，则有.【解题指南】根据线性几何中的线段长度、平面几何中平面图形的面积中有关等式的共性，将这个共性引申到立体几何中得到相应的等式或结论.【解析】根据线性几何中的长度、平面几何中平面图形的面积以及立体几何中相应几何体体积的类比特点以及题中等式的特点，得到在立体几何中：若O是四面体ABCD内一点，则有V O-BCD·+V O-ACD·+V O-ABD·+V O-ABC·=0.答案：V O-BCD·+V O-ACD·+V O-ABD·+V O-ABC·=0【拓展延伸】类比推理的常见类型及解题思路类比推理主要是找出两类事物的共性，一般的类比有以下几种：①线段的长度——平面几何中平面图形的面积——立体几何中立体图形的体积的类比；②等差数列与等比数列的类比，等差数列中两数相加类比到等比数列中两数相乘，等差数列中两数的差类比到等比数列中两数相除.在类比的时候还需注意，有些时候不能将式子的结构改变，只需将相应的量进行替换.4.根据给出的数塔猜测123456×9+7等于.1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=11111234×9+5=1111112345×9+6=111111……【解析】由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1111111.答案：1111111三、解答题(每小题10分，共20分)5.在平面几何中研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值a，类比上述命题，请你写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明.【解题指南】利用类比推理时，正三角形可类比成正四面体，归纳出结论再给予证明. 【解析】类比所得的真命题是：棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的距离之和是定值a.证明：设M是正四面体P-ABC内任一点，M到面ABC，面PAB，面PAC，面PBC的距离分别为d1，d2，d3，d4.由于正四面体四个面的面积相等，故有：V P-ABC=V M-ABC+V M-PAB+V M-PAC+V M-PBC=·S△ABC·(d1+d2+d3+d4)，而S△ABC=a2，V P-ABC=a3，故d1+d2+d3+d4=a(定值).【拓展延伸】类比法的可靠性(1)类比法所获得的结论是对两个研究对象的观察比较、分析联想直到形成猜想来完成的，是一种由特殊到特殊的推理方法，其结论的可靠程度，依赖于两个研究对象的共有属性.(2)一般说来，共有属性越多，结论的可靠程度就越大；共有属性越是本质的，结论的可靠程度就越高.尽管类比法结论的真实性不一定得到保证，但它在人们的认识活动中仍有着重要意义.6.设{a n}是集合{2t+2s|0≤s<t，且s，t∈Z}中所有的数从小到大排列的数列，即a1=3，a2=5，a3=6，a4=9，a5=10，a6=12，….将数列{a n}各项按照上小下大，左小右大的原则写成如图所示的三角形数表：(1)写出这个三角形数表中的第4行、第5行各数.(2)求a100.【解析】(1)将前三行各数分别写成2t+2s的形式：第1行：3=21+20；第2行：5=22+20，6=22+21；第3行：9=23+20，10=23+21，12=23+22；由此归纳猜想：第4行：24+20，24+21，24+22，24+23；第5行：25+20，25+21，25+22，25+23，25+24.经计算可得第4行各数依次是：17，18，20，24；第5行各数依次是：33，34，36，40，48.(2)由每行数的个数与所在行数相同，即第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，…故前13行共有1+2+3+…+13=91个数.因此，a100应当是第14行中的第9个数.所以a100=214+28=16640.。

第二章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2．1.1合情推理双基达标(限时20分钟)1．下面使用类比推理恰当的是()．A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类推出“若a·0＝b·0，则a＝b”B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“(a·b)c＝ac·bc”C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“a＋bc＝ac＋bc(c≠0)”D．“(ab)n＝a n b n”类推出“(a＋b)n＝a n＋b n”解析由实数运算的知识易得C项正确．答案 C2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于()．1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111…A．1 111 110 B．1 111 111C．1 111 112 D．1 111 113解析由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1 111 111.答案 B3．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色( )．A ．白色B ．黑色C ．白色可能性大D ．黑色可能性大解析 由图知：三白二黑周而复始相继排列，36÷5＝7余1.∴第36颗珠子的颜色为白色． 答案 A 4．设f (x )＝2xx ＋2，x 1＝1，x n ＝f (x n －1)(n ≥2)，则x 2，x 3，x 4分别为________．猜想x n ＝________.解析 x 2＝f (x 1)＝21＋2＝23，x 3＝f (x 2)＝12＝24x 4＝f (x 3)＝2×1212＋2＝25，∴x n ＝2n ＋1.答案 23，24，25 2n ＋15．观察下列各式9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，….这些等式反映了自然数间的某种规律，设n 表示自然数，用关于n 的等式表示为________．解析 由已知四个式子可分析规律：(n ＋2)2－n 2＝4n ＋4. 答案 (n ＋2)2－n 2＝4n ＋46．已知正项数列{a n }满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n ，求出a 1，a 2，a 3，a 4，并推测a n .解 a 1＝S 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，又因为a 1>0，所以a 1＝1.当n ≥2时，S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n ，S n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1，两式相减得：a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n －12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1，即a n －1a n ＝－⎝⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1，所以a 2－1a 2＝－2，又因为a 2>0，所以a 2＝2－1.a 3－1a 3＝－22，又因为a 3>0，所以a 3＝3－ 2.a 4－1a 4＝－23，又因为a 4>0，所以a 4＝2－ 3.将上面4个式子写成统一的形式：a 1＝1－0，a 2＝2－1，a 3＝3－2，a 4＝4－3， 由此可以归纳出a n ＝n －n －1.(n ∈N ＋)综合提高 (限时25分钟)7．下列推理正确的是( )．A ．把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则有：log a (x ＋y )＝log a x ＋log a yB ．把a (b ＋c )与sin(x ＋y )类比，则有：sin(x ＋y )＝sin x ＋sin yC ．把(ab )n 与(a ＋b )n 类比，则有：(x ＋y )n ＝x n ＋y nD ．把(a ＋b )＋c 与(xy )z 类比，则有：(xy )z ＝x (yz )解析 A 错误，因为log a x ＋log a y ＝log a xy (x >0，y >0)；B 错误，因为sin(x ＋y )＝sin x cos y ＋cos x sin y ；对于C ，则有(x ＋y )n ＝C 0n x n ＋C 1n x n －1·y ＋…＋C r n ·x n －r ·y r ＋…＋C n n y n ；D 正确，为加乘法的结合律，故选D.答案 D8．设0<θ<π2，已知a 1＝2cos θ，a n ＋1＝2＋a n ，猜想a n ＝( )．A ．2cos θ2nB ．2cosθ2n －1C．2cosθ2n＋1D．2 sinθ2n解析法一∵a1＝2cos θ，a2＝2＋2cos θ＝2 1＋cos θ2＝2cos θ2，a3＝2＋a2＝2 1＋cosθ22＝2cos θ4，…，猜想a n＝2cos θ2n－1.法二验n＝1时，排除A、C、D，故选B.答案 B9．把1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)试求第七个三角形数是________．解析观察知第n个三角形数为1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2，∴当n＝7时，7×(7＋1)2＝28.答案2810．平面内正三角形有很多性质，如三条边相等，类似地写出空间中正四面体的两个性质．性质①_____________________________________________________；性质②_________________________________________________________.答案六条棱长相等四个面都全等11．在公比为4的等比数列{b n}中，若T n是数列{b n}的前n项积，则有T20T10，T30T20，T 40T 30也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和．(1)写出相应的结论，判断该结论是否正确？并加以证明； (2)写出该结论一个更为一般的情形(不必证明)．解 (1)数列 S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等数数列，且公差为300. 该结论是正确的．(证明略) (2)对于∀k ∈N *，都有数列S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，S 4k －S 3k 是等差数列，且公差为k 2d .12．(创新拓展)如图，在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α、β，则cos 2α＋cos 2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．解 在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α、β、γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.证明如下：cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l 2＝1.。

2.1.1 合情推理（学案）一、知识梳理（预习教材P28~ P30，找出疑惑之处）在日常生活中我们常常遇到这样的现象：（1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨；（2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯.以上例子可以得出推理是的思维过程.二、情境导学探究任务：归纳推理问题1:哥德巴赫猜想：观察6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜想：.问题2：由铜、铁、铝、金等金属能导电，归纳出. 新知：归纳推理就是由某些事物的,推出该类事物的的推理，或者由的推理.简言之，归纳推理是由的推理.探究任务：类比推理鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理.新知：类比推理就是由两类对象具有和其中，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由到的推理。

三、典例解析2，例1、观察下列等式：1+3=4=21+3+5=9=23，1+3+5+7=16=24，1+3+5+7+9=25=25，……你能猜想到一个怎样的结论？变式：观察下列等式：1=11+8=9，1+8+27=36，1+8+27+64=100，……你能猜想到一个怎样的结论？例2、类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.变式：找出圆与球的相似之处，并用圆的性质类比球的有关性质.新知： 和 都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行 ，然后提出 的推理，我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠.四、当堂检测1.下列关于归纳推理的说法错误的是（ ） A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程 B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程 C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确 D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能2.若2()41,f n n n n N =++∈，下列说法中正确的是（ ） A.()f n 可以为偶数 B. ()f n 一定为奇数 C. ()f n 一定为质数 D. ()f n 必为合数3. 设)()(,sin )('010x f x f x x f ==，'21()(),,f x f x ='1()()n n f x f x +=，n ∈N ，则2007()f x = （ ）.A.sin xB.－sin xC.cos xD.－cos x4. 一同学在电脑中打出如下若干个圆若将此若干个圆按此规律继续下去，得到一系列的圆，那么在前2006个圆中有 个黑圆. 5.111()1()23f n n N n +=+++⋅⋅⋅+∈，经计算得357(2),(4)2,(8),(16)3,(32)222f f f f f =>>>>猜测当2n ≥时，有__________________________.6. 从22211,2343,345675=++=++++=中得出的一般性结论是_____________ .。

《合情推理》教学设计大连市金州高级中学数学组孙文学合情推理大连市金州高级中学孙文学教材说明：人教B版普通高中课程标准实验教科书（选修1-2）课型：新授课课时：1课时学情分析：授课对象是辽宁省示范高中－大连市金州高级中学的学生，数学基础良好，具备一定的分析问题和自主探究能力，学生在小学初中已接触过简单的合情推理，并在高一必修五“数列”的学习中，学生进一步掌握一些归纳与类比的方法技巧．学生对归纳推理和类比推理的本质的把握需要进一步提升，对归纳推理和类比推理的思维过程需要进一步明确．教学内容分析：一、教学的主要内容：本节是人教B版高中数学选修1-2第二章《推理与证明》的第1节内容属于数学思维方法的范畴，即把过去渗透在具体数学内容中的思维方法，以集中显性的形式呈现出来．使学生更加明确这些方法，并能在今后的学习中有意识地使用它们，以培养言之有理、言之有据的习惯。

推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式，它的思想贯穿于高中数学的整个知识体系，是新课标教材的亮点之一，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。

通过本节的学习，有助于发展学生的思维能力，提高学生的数学素养，让学生感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，从而架起数学与生活的桥梁，形成严谨的理性思维和科学精神。

二、教材编写的特点：教材的编写体现了知识形成的过程，目的是让学生经历将实际问题抽象成数学模型并予以解决和应用的过程，为学生能在探索、发现的活动中建构数学知识创造条件，所以教学中要充分发挥学生的主观能动性三、教材内容的数学核心的思想：归纳与类比、化归与转化教学目标：知识与技能：了解合情推理的含义，认识归纳推理与类比推理的基本方法与步骤，能进行简单的推理应用。

体会合情推理在数学发现中的作用。

过程与方法：通过让学生的积极参与，经历归纳推理与类比推理概念的获得过程，了解合情推理的含义，会辨别归纳与类比的区别。

2.1.2 演绎推理（检测教师版）时间:50分钟 总分：80分班级： 姓名：一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．下列表述正确的是 ( ) ①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A ．①②③B ．②③④C ．②④⑤D ．①③⑤【答案】 D【解析】 归纳推理是由部分到整体的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．2．下列说法中正确的是( )A ．演绎推理和合情推理都可以用于证明B ．合情推理不能用于证明C ．演绎推理不能用于证明D ．以上都不对【答案】 B【解析】 合情推理不能用于证明．3．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )A ．使用了归纳推理B ．使用了类比推理C ．使用了“三段论”，但大前提使用错误D ．使用了“三段论”，但小前提使用错误【答案】 D【解析】 应用了“三段论”推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．4．设x ，y ，z ∈(0，＋∞)，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a ，b ，c 三数( ) A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2 【答案】 C【解析】 ∵x 、y 、z ＞0，∴x ＋1x ≥2，y ＋1y ≥2，z ＋1z≥2， ∴a ＋b ＋c ＝x ＋1y ＋y ＋1z ＋z ＋1x≥6， 因此a ，b ，c 至少有一个不小于2.5．完全归纳推理是( )的推理( )A ．一般到个别B ．个别到一般C ．一般到一般D ．个别到个别【答案】 B【解析】 完全归纳推理是个别到一般的推理．6．△ABC 中，已知cosAcosB>sinAsinB ，则△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 【答案】 C【解析】 ∵cosAcosB>sinAsinB ，∴cos(A ＋B)>0，∴A ＋B 为锐角，即∠C 为钝角． 二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）7．以下推理过程省略的大前提为：____________.因为a 2＋b 2≥2ab ，所以2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab.【答案】 若a≥b ，则a ＋c≥b ＋c【解析】 由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a 2＋b 2，故大前提为：若a≥b ，则a ＋c≥b ＋c.8．对于函数f(x)＝2xx 2＋ax ＋a，其中a 为实数，若f(x)的定义域为实数，则a 的取值范围是________．【答案】 0<a<4【解析】 要使f(x)定义域为R ，则x 2＋ax ＋a≠0，即Δ＝a 2－4a<0，解得0<a<4.9.定义在(0，＋∞)上的函数f (x )，满足(1)f (9)＝2；(2)对∀a ，b ∈(0，＋∞)，有f (ab )＝f (a )＋f (b )，则f ⎝⎛⎭⎫13＝________.【答案】 －1【解析】 由题设f (b )＝f ⎝⎛⎭⎫a ·b a ＝f (a )＋f ⎝⎛⎭⎫b a ，所以f ⎝⎛⎭⎫b a ＝f (b )－f (a )．取a ＝b ＝1，得f (1)＝0. 又f (9)＝f (3×3)＝f (3)＋f (3)＝2，∴f (3)＝1，∴f ⎝⎛⎭⎫13＝f (1)－f (3)＝0－1＝－1.10.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为________．【答案】 A【解析】 由题意可推断：甲没去过B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A 、C 城市，而乙“没去过C 城市”，说明乙去过城市A ，由此可知，乙去过的城市为A.三、解答题（共3小题，每题10分，共30分）11.将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)所有的金属都导电，树枝不导电，所以树枝不是金属；(2)在一个标准大气压下，冰的融点是0℃.一个标准大气压下气温升到0 ℃，冰会融解；(3)直角三角形中a 2＋b 2＝c 2，在△ABC 中AC 2＋BC 2＝AB 2，所以△ABC 是直角三角形；(4)两直线平行，同位角相等，如果∠A 和∠B 是两平行直线的同位角，那么∠A ＝∠B .【解析】 (1)所有的金属都导电，(大前提)树枝不导电，(小前提)树枝不是金属．(结论)(2)在一个标准大气压下，冰的融点是0℃，(大前提)一个标准大气压下气温升到0℃，(小前提)冰融解．(结论)(3)直角三角形中a 2＋b 2＝c 2，(大前提)△ABC 中AC 2＋BC 2＝AB 2，(小前提)△ABC 是直角三角形．(结论)(4)两直线平行，同位角相等，(大前提)∠A 和∠B 是两平行直线的同位角，(小前提)∠A ＝∠B .(结论)12．求证：对任意不相等正实数a 、b ，有(a b)a －b >1. 【证明】 当a>b>0时，有a b >1，a －b>0，由指数函数的单调性知(a b )a －b >(a b)0＝1， 当b>a>0时，有0<a b<1， a －b<0，则(a b )a －b >(a b)0＝1.综上：(ab)a－b>1.13．求证函数f(x)＝x6＋x3＋x2＋x＋1的值恒大于零．【解析】当x>0时，x6，x3，x2，x,1都为正数，因为x>0时，f(x)>0恒成立．当－1≤x≤0时，f(x)＝x6＋x3＋x2＋x＋1＝x6＋x2(1＋x)＋(1＋x)>0恒成立．当x<－1时，f(x)＝x6＋x3＋x2＋x＋1＝x3(x3＋1)＋x(x＋1)＋1，∵x<－1，∴x3<－1，x＋1<0，∴x3＋1<0，∴x3(x3＋1)>0，x(x＋1)>0，又1>0，∴x<－1时，f(x)>0恒成立．综上所述，函数f(x)的值恒大于零．。