北京101中学11-12学年高一上学期期中考试 数学试题

2018-2019学年北京市101中学高一（上）期中数学试卷试题数：19.满分：1201.（单选题.5分）设集合M={x|x＜1}.N={x|0＜x≤1}.则M∪N=（）A.{x|x＜1}B.{x|0＜x＜1}C.{x|x≤1}D.{x|0＜x≤1}2.（单选题.5分）下列函数中.在（-1.+∞）上为减函数的是（）A.y=3xB.y=x2-2x+3C.y=xD.y=-x2-4x+33.（单选题.5分）计算log416+ 912等于（）A. 73B.5C. 133D.74.（单选题.5分）函数f（x）= √1−2x +√x+3的定义域为（）A.（-3.0]B.（-3.1]C.（-∞.-3）∪（-3.0]D.（-∞.-3）∪（-3.1]5.（单选题.5分）函数y= (13)−x2+4x−5的单调增区间是（）A.[1.2]B.（-∞.-1）C.（-∞.2]D.[2.+∞）6.（单选题.5分）已知偶函数f（x）在区间[0.+∞）上是减函数.则满足f（2x-1）＞f（14）的x的取值范围是（）A.（- ∞，58）B.（58.+∞）C.（38，58）D.（-∞. 38）∪（58.+∞）7.（单选题.5分）若函数f（x）=a|x+1|（a＞0.a≠1）的值域为[1.+∞）.则f（-4）与f（0）的关系是（）A.f（-4）＞f（0）B.f（-4）=f（0）C.f（-4）＜f（0）D.不能确定8.（单选题.5分）对于实数a和b定义运算“*”：a•b= {a2−ab，a≤bb2−ab，a＞b.设f（x）=（2x-1）•（x-2）.如果关于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1.x2.x3.则m的取值范围是（）A.（- ∞，94]B.[0. 94]C.（0. 94）D.∅9.（填空题.5分）已知全集U=R.集合A={x|x2-4x+3＞0}.则∁U A=___ ．10.（填空题.5分）若0＜a＜1.b＜-1.则函数f（x）=a x+b的图象不经过第___ 象限．11.（填空题.5分）已知log25=a.log56=b.则用a.b表示lg6=___ ．12.（填空题.5分）函数y= 3x+4x+2（x≤0）的值域是___ ．13.（填空题.5分）已知a＞0且a≠1.函数f（x）= {(a−2)x+3a−8，x≤0a x，x＞0满足对任意不相等的实数x1.x2.都有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0.成立.则实数a的取值范围___ ．14.（填空题.5分）设函数f（x）=a x+b x-c x.其中c＞a＞0.c＞b＞0．若a.b.c是△ABC的三条边长.则下列结论正确的是___ （写出所有正确结论的序号）① 对任意的x∈（-∞.1）.都有f（x）＞0；② 存在x∈R.使a x.b x.c x不能构成一个三角形的三条边长；③ 若△ABC是顶角为120°的等腰三角形.则存在x∈（1.2）.使f（x）=0．15.（问答题.8分）已知函数f（x）=a x-1（x≥0）．其中a＞0.a≠1．.2）.求a的值；（1）若f（x）的图象经过点（32（2）求函数y=f（x）（x≥0）的值域．16.（问答题.10分）设集合A={x|x2-3x+2=0}.B={x|x2+（a-1）x+a2-5=0}．（1）若A∩B={2}.求实数a的值；（2）若A∪B=A.求实数a的取值范围．是定义在R上的奇函数.且f（1）=1．17.（问答题.10分）函数f（x）= ax+b4x2+1（1）求a.b的值；.+∞）的单调性．（2）判断并用定义证明f（x）在（1218.（问答题.12分）已知二次函数f（x）满足f（0）=2.f（x+1）-f（x）=4x-4．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若关于x的不等式f（x）-t＜0在[-1.2]上恒成立.求实数t的取值范围；（3）若函数g（x）=f（x）-mx在区间（-1.2）内至少有一个零点.求实数m的取值范围19.（问答题.10分）设a为实数.函数f（x）= √1−x2 +a √1+x +a √1−x．（1）设t= √1+x+√1−x .求t的取值范围；（2）把f（x）表示为t的函数h（t）；（3）设f （x）的最大值为M（a）.最小值为m（a）.记g（a）=M（a）-m（a）求g（a）的表达式．2018-2019学年北京市101中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：19.满分：1201.（单选题.5分）设集合M={x|x＜1}.N={x|0＜x≤1}.则M∪N=（）A.{x|x＜1}B.{x|0＜x＜1}C.{x|x≤1}D.{x|0＜x≤1}【正确答案】：C【解析】：进行并集的运算即可．【解答】：解：∵M={x|x＜1}.N={x|0＜x≤1}；∴M∪N={x|x≤1}．故选：C．【点评】：考查描述法表示集合的定义.以及并集的运算．2.（单选题.5分）下列函数中.在（-1.+∞）上为减函数的是（）A.y=3xB.y=x2-2x+3C.y=xD.y=-x2-4x+3【正确答案】：D【解析】：根据题意.依次分析选项中函数的单调性.综合即可得答案．【解答】：解：根据题意.依次分析选项：对于A.y=3x.为指数函数.在R上为增函数.不符合题意；对于B.y=x2-2x+3=（x-1）2+2.在（1.+∞）上为增函数.不符合题意；对于C.y=x.为正比例函数.在R上为增函数.不符合题意；对于D.y=-x2-4x+3=-（x+2）2+7.在（-2.+∞）上为减函数.符合题意；故选：D．【点评】：本题考查函数单调性的判断.关键是掌握常见函数的单调性.属于基础题．3.（单选题.5分）计算log416+ 912等于（）A. 73B.5C. 133D.7【正确答案】：B【解析】：利用指数与对数运算性质即可得出．【解答】：解：原式=2+3=5．故选：B．【点评】：本题考查了指数与对数运算性质.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．4.（单选题.5分）函数f（x）= √1−2x +√x+3的定义域为（）A.（-3.0]B.（-3.1]C.（-∞.-3）∪（-3.0]D.（-∞.-3）∪（-3.1]【正确答案】：A【解析】：从根式函数入手.根据负数不能开偶次方根及分母不为0求解结果.然后取交集．【解答】：解：根据题意：{1−2x≥0 x+3＞0.解得：-3＜x≤0∴定义域为（-3.0]故选：A．【点评】：本题主要考查函数求定义域.负数不能开偶次方根.分式函数即分母不能为零.及指数不等式的解法．5.（单选题.5分）函数y= (13)−x2+4x−5的单调增区间是（）A.[1.2]B.（-∞.-1）C.（-∞.2]D.[2.+∞）【正确答案】：D【解析】：求出内层函数二次函数的减区间得答案．【解答】：解：令t=-x2+4x-5.其对称轴方程为x=2. 内层函数二次函数在[2.+∞）上为减函数.而外层函数y= (13)t为减函数.∴函数y= (13)−x2+4x−5的单调增区间是[2.+∞）．故选：D．【点评】：本题考查指数型复合函数的单调性.复合函数的单调性满足同增异减.是基础题．6.（单选题.5分）已知偶函数f（x）在区间[0.+∞）上是减函数.则满足f（2x-1）＞f（14）的x的取值范围是（）A.（- ∞，58）B.（58.+∞）C.（38，58）D.（-∞. 38）∪（58.+∞）【正确答案】：C【解析】：根据题意.由函数的奇偶性与单调性分析可得f（2x-1）＞f（14）⇒f（|2x-1|）＞f（14）⇒|2x-1|＜14.解可得x的取值范围.即可得答案．【解答】：解：根据题意.偶函数f（x）在区间[0.+∞）上是减函数.f（2x-1）＞f（14）⇒f（|2x-1|）＞f（14）⇒|2x-1|＜14.解可得：38＜x＜58.即x的取值范围为（38 . 58）；故选：C．【点评】：本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用.涉及不等式的解法.属于基础题．7.（单选题.5分）若函数f（x）=a|x+1|（a＞0.a≠1）的值域为[1.+∞）.则f（-4）与f（0）的关系是（）A.f（-4）＞f（0）B.f（-4）=f（0）C.f（-4）＜f（0）D.不能确定【正确答案】：A【解析】：可知|x+1|≥0.根据f（x）的值域为[1.+∞）即可得出a＞1.而可求出f（-4）=a3.f （0）=a.显然a3＞a.从而得出f（-4）＞f（0）．【解答】：解：∵|x+1|≥0.且f（x）的值域为[1.+∞）；∴a＞1；∴g（x）=a x在R上单调递增；又f（-4）=a3.f（0）=a；∴f（-4）＞f（0）．故选：A．【点评】：考查指数函数的单调性.根据单调性定义比较大小的方法．8.（单选题.5分）对于实数a和b定义运算“*”：a•b= {a2−ab，a≤bb2−ab，a＞b.设f（x）=（2x-1）•（x-2）.如果关于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1.x2.x3.则m的取值范围是（）A.（- ∞，94]B.[0. 94]C.（0. 94）D.∅【正确答案】：C【解析】：数形结合法：画出函数f（x）的图象.结合图象知y=f（x）与y=m恰有3个交点时.0＜m＜94．【解答】：解：根据定义得：f （x ）= {2x 2+x −1x ≤−1−x 2+x +2x ＞−1.其图象如下：因为f （x ）=m 恰有三个互不相等实根.所以0＜m ＜ 94 .故选：C ．【点评】：本题考查了函数与方程的综合运用.属中档题．9.（填空题.5分）已知全集U=R.集合A={x|x 2-4x+3＞0}.则∁U A=___ ．【正确答案】：[1]{x|1≤x≤3}【解析】：可求出集合A.然后进行补集的运算即可．【解答】：解：A={x|x ＜1.或x ＞3}；∴∁U A={x|1≤x≤3}．故答案为：{x|1≤x≤3}．【点评】：考查描述法表示集合的概念.以及补集的运算．10.（填空题.5分）若0＜a ＜1.b ＜-1.则函数f （x ）=a x +b 的图象不经过第___ 象限．【正确答案】：[1]一【解析】：函数f （x ）=a x （0＜a ＜1）是指数函数.在R 上单调递减.过定点（0.1）.过一、二象限.结合b ＜-1.可知函数f （x ）=a x +b 的图象由函数f （x ）=a x 的图象向下平移|b|个单位得到.与y 轴相交于原点以下.可知图象不过第一象限．【解答】：解：函数f （x ）=a x （0＜a ＜1）的是减函数.图象过定点（0.1）.在x 轴上方.过一、二象限.∵b ＜-1.故函数f （x ）=a x +b 的图象由函数f （x ）=a x 的图象向下平移|b|个单位得到. ∵b ＜-1.∴|b|＞1.∴函数f （x ）=a x +b 的图象与y 轴交于负半轴.如图.函数f （x ）=a x +b 的图象过二、三、四象限．故答案为一．【点评】：本题考查指数函数的图象和性质.利用图象的平移得到新的图象.其单调性、形状不发生变化.结合图形.一目了然．11.（填空题.5分）已知log 25=a.log 56=b.则用a.b 表示lg6=___ ．【正确答案】：[1] ab 1+a【解析】：log 25=a= lg5lg2 = lg51−lg5 .解得lg5．log 56=b= lg6lg5 .即可得出lg6=blg5．【解答】：解：∵log 25=a= lg5lg2 = lg51−lg5 .解得lg5= a 1+a ．log 56=b= lg6lg5 .∴lg6=blg5= ab 1+a ．故答案为： ab 1+a ．【点评】：本题考查了指数与对数运算性质.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．12.（填空题.5分）函数y= 3x+4x+2 （x≤0）的值域是___ ．【正确答案】：[1]（-∞.2]∪（3.+∞）【解析】：分离常数得出 y =3−2x+2 .从而可判断出该函数在（-∞.-2）.（-2.0]上单调递增.这样根据单调性即可求出该函数的值域．【解答】：解： y =3x+4x+2=3(x+2)−2x+2=3−2x+2 ； ∵x≤0；∴该函数在（-2.0].（-∞.-2）上单调递增；∴x∈（-2.0]时.y≤2；x∈（-∞.-2）时.y＞3；∴原函数的值域为（-∞.2]∪（3.+∞）．故答案为：（-∞.2]∪（3.+∞）．【点评】：考查函数值域的概念及求法.分离常数法的运用.反比例函数的值域．13.（填空题.5分）已知a＞0且a≠1.函数f（x）= {(a−2)x+3a−8，x≤0a x，x＞0满足对任意不相等的实数x1.x2.都有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0.成立.则实数a的取值范围___ ．【正确答案】：[1]（2.3]【解析】：由题意可知f（x）在R上为增函数.对各段考虑即有a-2＞0.即a＞2. ① a＞1. ② 注意x=0.有（a-1）×0+3a-8≤a0.即有a≤3 ③ .求出三个的交集即可．【解答】：解：由于函数f（x）= {(a−2)x+3a−8，x≤0a x，x＞0.又对任意实数x1≠x2.都有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0成立.则f（x）在R上为增函数．当x≤0时.函数为增.则有a-2＞0.即a＞2. ①当x＞0时.函数为增.则有a＞1. ②由在R上为增函数.则（a-2）×0+3a-8≤a0.即有a≤3 ③ .由① ② ③ 可得a的取值范围为：2＜a≤3．故答案为：（2.3]．【点评】：本题考查分段函数及运用.考查函数的单调性及运用.注意各段的单调性.以及分界点的情况.属于易错题和中档题．14.（填空题.5分）设函数f（x）=a x+b x-c x.其中c＞a＞0.c＞b＞0．若a.b.c是△ABC的三条边长.则下列结论正确的是___ （写出所有正确结论的序号）① 对任意的x∈（-∞.1）.都有f（x）＞0；② 存在x∈R.使a x.b x.c x不能构成一个三角形的三条边长；③ 若△ABC是顶角为120°的等腰三角形.则存在x∈（1.2）.使f（x）=0．【正确答案】：[1] ① ② ③【解析】：在① 中.对任意x∈（-∞.1）.都有f（x）＞0；在② 中.a2=4.b2=9.c2=16不能构成三角形；在③ 中.若△ABC为钝角三角形.则a2+b2-c2＜0.根据根的存在性定理可知在区间（1.2）上存在零点.即∃x∈（1.2）.使f（x）=0．【解答】：解：在① 中.∵a.b.c是△ABC的三条边长.∴a+b＞c.∵c＞a＞0.c＞b＞0.∴0＜ac ＜1.0＜bc＜1.当x∈（-∞.1）时.f（x）=a x+b x-c x=c x[（ac ）x+（bc）x-1]＞c x（ac + bc-1）=c x• a+b−cc＞0.故① 正确；在② 中.令a=2.b=3.c=4.则a．b．c可以构成三角形.但a2=4.b2=9.c2=16不能构成三角形.故② 正确；在③ 中.∵c＞a＞0.c＞b＞0.若△ABC顶角为120°的等腰三角形.∴a2+b2-c2＜0.∵f（1）=a+b-c＞0.f（2）=a2+b2-c2＜0.∴根据函数零点存在性定理可知在区间（1.2）上存在零点.即∃x∈（1.2）.使f（x）=0.故③ 正确．故答案为：① ② ③ ．【点评】：本题考查命题真假的判断.是中档题.注意运用指数函数单调性、零点存在定理的合理运用．15.（问答题.8分）已知函数f（x）=a x-1（x≥0）．其中a＞0.a≠1．（1）若f（x）的图象经过点（32.2）.求a的值；（2）求函数y=f（x）（x≥0）的值域．【正确答案】：【解析】：（1）把点（32.2）的坐标代入函数的解析式.求得a的值．（2）根据指数函数的值域.分类讨论.求得f（x）的值域．【解答】：解：（1）∵函数f（x）=a x-1（x≥0）的图象经过点（32.2）.∴ a12 = √a =2.∴a=4．（2）对于函数y=f（x）=a x-1.当a＞1是时.单调递增.∵x≥0.x-1≥-1.∴f（x）≥a-1= 1a .故函数的值域为[ 1a.+∞）．对于函数y=f（x）=a x-1.当0＜a＜1是时.单调递减.∵x≥0.x-1≥-1.∴f（x）≤a-1= 1a .又f（x）＞0.故函数的值域为（0. 1a）．【点评】：本题主要考查指数函数的单调性和特殊点.指数函数的值域.属于中档题．16.（问答题.10分）设集合A={x|x2-3x+2=0}.B={x|x2+（a-1）x+a2-5=0}．（1）若A∩B={2}.求实数a的值；（2）若A∪B=A.求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据A∩B={2}.可知B中由元素2.带入求解a即可；（2）根据A∪B=A.B⊆A.建立关系即可求解实数a的取值范围．【解答】：解：（1）集合A={x|x2-3x+2=0}={x|x=1或x=2}={1.2}.若A∩B={2}.则x=2是方程x2+（a-1）x+a2-5=0的实数根.可得：a2+2a-3=0.解得a=-3或a=1；（2）∵A∪B=A.∴B⊆A.当B=∅时.方程x2+（a-1）x+a2-5=0无实数根.即（a-1）2-4（a2-5）＜0解得：a＜-3或a＞73；当B≠∅时.方程x2+（a-1）x+a2-5=0有一个实数根.则△=（a-1）2-4（a2-5）=0解得：a=-3或a= 73；若a=-3.那么方程x2-4x+4=0.可得x=2若a= 73 .那么方程x2+ 43x+ 49=0.可得x= −23若只有两个实数根.x=1、x=2 △＞0.则-3＜a＜73；由韦达定理：1-a=3且a2-5=2 此时无解综上可得实数a 的取值范围是{a|a≤-3或a ＞ 73 }【点评】：此题考查了并.交集及其运算.熟练掌握并交集的定义是解本题的关键．讨论思想．17.（问答题.10分）函数f （x ）=ax+b 4x 2+1 是定义在R 上的奇函数.且f （1）=1． （1）求a.b 的值；（2）判断并用定义证明f （x ）在（ 12 .+∞）的单调性．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意.由函数的奇偶性分析可得f （-1）=-1.则可得 {a+b 5=1−a+b 5=−5 .解可得a 、b 的值；（2）由（1）的结论.f （x ）= 5x 4x 2+1 .利用作差法分析可得答案．【解答】：解：（1）根据题意.f （x ）= ax+b 4x 2+1 是定义在R 上的奇函数.且f （1）=1.则f （-1）=-f （1）=-1.则有 {a+b 5=1−a+b 5=−5 .解可得a=5.b=0；（2）由（1）的结论.f （x ）= 5x 4x 2+1 .设 12 ＜x 1＜x 2.f （x 1）-f （x 2）= 5x 14x12+1 - 5x 24x 22+1 = 5(1−4x 1x 2)(x 1−x 2)(4x 12+1)(4x 22+1) . 又由 12 ＜x 1＜x 2.则（1-4x 1x 2）＜0.（x 1-x 2）＜0.则f （x 1）-f （x 2）＞0.则函数f （x ）在（ 12.+∞）上单调递减．【点评】：本题考查函数的奇偶性与单调性的性质以及应用.关键是求出a 、b 的值.属于基础题．18.（问答题.12分）已知二次函数f （x ）满足f （0）=2.f （x+1）-f （x ）=4x-4．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）若关于x 的不等式f （x ）-t ＜0在[-1.2]上恒成立.求实数t 的取值范围；（3）若函数g （x ）=f （x ）-mx 在区间（-1.2）内至少有一个零点.求实数m 的取值范围【正确答案】：【解析】：（1）用待定系数法设出二次函数表达式.再代入已知函数方程可解得a.b ；（2）分离参数后求最值；（3）先求无零点时.m 的范围.再求补集．【解答】：解：（1）设二次函数f （x ）=ax 2+bx+2.（a≠0）∴a （x+1）2+b （x+1）+2-ax 2-bx-2=4x-4∴2ax+a+b=4x -4.∴a=2.b=-6∴f （x ）=2x 2-6x+2；（2）依题意t ＞f （x ）=2x 2-6x+2在x∈[-1.2]上恒成立.而2x 2-6x+2的对称轴为x= 32∈[-1.2].所以x=-1时.取最大值10.t ＞10；（3）∵g （x ）=f （x ）-mx=2x 2-6x+2-mx=2x 2-（6+m ）x+2在区间（-1.2）内至少有一个零点.当g （x ）在（-1.2）内无零点时.△=（6+m ）2-16＜0或 {−−6−m 2×2≤−1g (−1)≥0 或. {−−6−m 2×2≥2g (2)≥0解得：-10≤m ＜-2.因此g （x ）在（-1.2）内至少有一个零点时.m ＜-10.或m≥-2．【点评】：本题考查了不等式恒成立．属难题．19.（问答题.10分）设a 为实数.函数f （x ）= √1−x 2 +a √1+x +a √1−x ．（1）设t= √1+x +√1−x .求t 的取值范围；（2）把f （x ）表示为t 的函数h （t ）；（3）设f （x ）的最大值为M （a ）.最小值为m （a ）.记g （a ）=M （a ）-m （a ）求g （a ）的表达式．【正确答案】：【解析】：（1）将t= √1+x+√1−x两边平方.结合二次函数的性质可得t的范围；（2）由（1）可得√1−x2 = t2−22.可得h（t）的解析式；（3）求得h（t）= 12（t+a）2-1- 12a2.对称轴为t=-a.讨论对称轴与区间[ √2 .2]的关系.结合单调性可得h（t）的最值.即可得到所求g（a）的解析式．【解答】：解：（1）t= √1+x+√1−x .可得t2=2+2 √1−x2 . 由0≤1-x2≤1.可得2≤t2≤4.又t≥0可得√2≤t≤2.即t的取值范围是[ √2 .2]；（2）由（1）可得√1−x2 = t2−22.即有h（t）=at+ t 2−22. √2≤t≤2；（3）由h（t）= 12（t+a）2-1- 12a2.对称轴为t=-a.当-a≥2即a≤-2时.h（t）在[ √2 .2]递减.可得最大值M（a）=h（√2）= √2 a；最小值m（a）=h（2）=1+2a.则g（a）=（√2 -2）a-1；当-a≤ √2即a≥- √2时.h（t）在[ √2 .2]递增.可得最大值M（a）=h（2）=1+2a；最小值m（a）=h（√2）= √2 a.则g（a）=（2- √2）a+1；当√2＜-a＜2即-2＜a＜- √2时.h（t）的最小值为m（a）=h（-a）=-1- 12a2.若-1- √22≤a＜- √2 .则h（2）≥h（√2）.可得h（t）的最大值为M（a）=h（2）=1+2a.可得g（a）=2+2a+ 12a2；若-2＜a＜-1- √22.则h（2）＜h（√2）.可得h（t）的最大值为M（a）=h（√2）= √2 a.可得g（a）= √2 a+1+ 12a2；综上可得g （a ）= { (√2−2)a −1，a ≤−22+2a +12a 2，−1−√22≤a ＜−√2√2a +1+12a 2，−2＜a ＜−1−√22(2−√2)a +1，a ≥−√2．【点评】：本题考查函数的最值求法.注意运用换元法和二次函数在闭区间上的最值求法.考查分类讨论思想方法和化简整理运算能力.属于中档题．。

北京市101中学2020年秋高一数学上学期期中试卷一、单选题1．已知集合{(1)0}A x x x =+≤∣，集合{11}B x x =-<<∣，则A B =（ ）A ．{11}x x -≤<∣B ．{10}xx -<≤∣C ．{11}x x -≤≤∣D ．{01}x x <<∣ 2．命题“20,230x x x ∀>+->”的否定是 A ．20,230x x x ∃>+-≤ B ．20,230x x x ∀>+-≤ C ．20,230x x x ∃<+-≤D ．20,230x x x ∀<+-≤3．已知,a b ∈R ，则“a b >”是“1ab>”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知集合{}2230A x x x =--<，{}1B x x m =-<<，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()3,+∞B ．()1,3-C ．[)3,+∞D ．(]1,3-5．方程组2202x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（ ） A ．{(1，﹣1),(﹣1，1)} B ．{(1，1),(﹣1，﹣1)} C ．{(2，﹣2),（﹣2，2)}D ．{(2，2),(﹣2，﹣2)}6．已知a ，b 是方程230x x +-=的两个实数根，则22019a b -+的值是 A ．2023B ．2021C ．2020D ．20197．下列函数中，在区间（1，+∞）上为增函数的是（ ）. A ．31y x =--B ．2y x=C ．245y x x =-+ D ．12y x =-+8．若不等式|x -3|+|x -4|<a 的解集不为空集，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≤1B ．a ≥1C ．a <1D ．a >19．已知0a >，0b >，若4a b +=，则A ．22a b +有最小值BC ．11a b+有最大值D 有最大值10．设函数()f x 在（-∞，+∞）上有意义，对任意的x ，y ∈R 且x ≠y ，都有|()f x -()|f y <|x -y |，并且函数(1)f x +的对称中心是（-1，0），若函数()g x -()f x =x ，则不等式g 2(2)x x -+g (2)x -<0的解集是（ ） A ．（-∞，1）（2，+∞） B ．（1，2） C ．（-∞，-1）（2，+∞）D ．（-1，2）二、填空题 11．若函数()f x =，则()f x 的定义域为_________．12．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，()f x =2x ，则1()2f -=________． 13．写出一个使得命题“x R ∀∈，223ax ax -+>0恒成立”是假命题的实数a 的值________：14．某餐厅经营盒饭生意，每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每盒盒饭的成本为15元，销售单价与日均销售量的关系如下表：15．函数()2,,(0),0x x t f x t x x t⎧=>⎨<<⎩，在区间(0,)+∞上的增数，则实数t 的取值范围是________. 16．几位同学在研究函数()()1xf x x R x=∈+时给出了下面几个结论：∈函数()f x 的值域为()1,1-；∈若12x x ≠，则一定有()()12f x f x ≠；∈()f x 在()0,∞+是增函数；∈若规定()()1f x f x =，且对任意正整数n 都有：()()()1n n f x f f x +=，则()1n xf x n x=+对任意*n N ∈恒成立.上述结论中正确结论的序号为__________.三、解答题17．设全集U =R ，集合A =（-∞，-1][4，+∞），B =（-∞，1]．求：（1）()UA B ；（2）记()UA B =M ，N ={x |a -1≤x ≤-2a }，且MN N =，求a 的取值范围．18．定义在R 上的函数2()(21)1f x x a x =-+-(a ∈R )．(1)若()f x 为偶函数且(1)f m +>(1)f m -，求实数m 的取值范围； (2)若()f x 不是偶函数且在区间[-1，2]上不单调，求实数a 的取值范围．19．记关于x 的方程1(2)a x x-=-在区间（0，3]上的解集为A ，若A 至多有2个不同的子集，求实数a 的取值范围．20．已知不等式()101ax a R x +<∈-． （1）当2a =时，解这个不等式；（2）若111ax x x +≤--对(),0x ∀∈-∞恒成立，求实数a 的最大值．21．已知()f x 是定义在R 上的单调递减函数，对任意实数m ，n 都有()f m n +=()()f m f n +．函数2()2()g x x x =-．定义在R 上的单调递增函数()h x 的图象经过点A （0,0）和点B (2,2)．（1）判断函数()f x 的奇偶性并证明；（2）若[1,2]t ∃∈-，使得(()1)(8)f g t f t m -++<0（m 为常实数）成立，求m 的取值范围； （3）设(1)1f =-，1()()F x f x x =-,2()()F x g x =，3()()(2)F x h x h x =--，100i ib =（i =0，1，2…100）．若10()()k k k M F b F b =-+21()()k k F b F b -+…+10099()()k k F b F b -（k =1，2，3），比较123,,M M M 的大小并说明理由．解析北京市101中学2020年秋高一数学上学期期中试卷一、单选题1．已知集合{(1)0}A x x x =+≤∣，集合{11}B x x =-<<∣，则A B =（ ）A ．{11}x x -≤<∣B ．{10}xx -<≤∣C ．{11}x x -≤≤∣D ．{01}x x <<∣ 【答案】A【分析】首先求集合A ，再求AB .【详解】由题意集合{10}A xx =-≤≤∣，{11}A B x x ⋃=-≤<∣ 故选:A .2．命题“20,230x x x ∀>+->”的否定是 A ．20,230x x x ∃>+-≤ B ．20,230x x x ∀>+-≤ C ．20,230x x x ∃<+-≤D ．20,230x x x ∀<+-≤【答案】A【详解】命题“20,230x x x ∀>+->”的否定是20,230x x x ∃>+-≤,所以选A. 3．已知,a b ∈R ，则“a b >”是“1ab>”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】根据充分条件、必要条件的定义，举特例判断可得； 【详解】解：当1a =-，2b =-时，a b >，但112a b =<；当2a =-，1b =-时，1ab >，但a b <；综上，“a b >”是“1ab>”的既不充分也不必要条件，故选：D. 【点睛】本题考查充分条件必要条件的判断，属于基础题.4．已知集合{}2230A x x x =--<，{}1B x x m =-<<，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()3,+∞B ．()1,3-C ．[)3,+∞D ．(]1,3-【答案】A【分析】解一元二次不等式求得集合A ，由充分不必要条件定义可知A B ≠⊂，由此求得m 范围.【详解】由2230x x --<得：13x ，即()13A ,=-；x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，A B ≠∴⊂，3m ∴>，即实数m 的取值范围为()3,+∞.故选：A. 【点睛】结论点睛：本题考查根据充分条件和必要条件求解参数范围，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件， 则q 对应的集合与p 对应集合互不包含．5．方程组2202x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（ ） A ．{(1，﹣1),(﹣1，1)} B ．{(1，1),(﹣1，﹣1)} C ．{(2，﹣2),（﹣2，2)} D ．{(2，2),(﹣2，﹣2)}【答案】A【分析】求出方程组的解，注意方程组的解是一对有序实数．【详解】方程组2202x y x y +=⎧⎨+=⎩的解为11x y =⎧⎨=-⎩或11x y =-⎧⎨=⎩， 其解集为 {(1,1),(1,1)}--． 故选：A ．【点睛】本题考查集合的表示，二元二次方程组的解是一对有序实数，表示时用小括号括起来，表示有序，即代表元可表示为(,)x y ，一个解可表示为(1,1)-．6．已知a ，b 是方程230x x +-=的两个实数根，则22019a b -+的值是 A ．2023 B ．2021C ．2020D ．2019【答案】A【分析】根据题意可知23b b =-，1a b +=-，3ab =，所求式子化为222201932019a b a b -+=-++()222016a b ab =+-+即可求解；【详解】a ，b 是方程230x x +-=的两个实数根， ∴23b b =-，1a b +=-，3ab =-，∴222201932019a b a b -+=-++()2220161620162023a b ab =+-+=++=； 故选A ．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行化简代入是解题的关键．7．下列函数中，在区间（1，+∞）上为增函数的是（ ）. A ．31y x =-- B ．2y x=C ．245y x x =-+ D ．12y x =-+【答案】D【分析】结合一次函数，二次函数及反比例函数的图象及图象变换分别进行判断即可． 【详解】由一次函数的性质可知，y =-3x -1在区间(1，+∞)上为减函数，故A 错误； 由反比例函数的性质可知，y =2x在区间(1，+∞)上为减函数， 由二次函数的性质可知，y =x 2-4x +5在(-∞，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，故C 错误； 由一次函数的性质及图象的变换可知，y =|x -1|+2在(1，+∞)上单调递增． 故选D ．【点睛】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题． 8．若不等式|x -3|+|x -4|<a 的解集不为空集，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≤1 B ．a ≥1C ．a <1D ．a >1【答案】D【分析】不等式转化为()min34a x x >-+-，求得函数的最小值后，即得a 的取值范围.【详解】由条件可知,34x R a x x ∃∈>-+-成立，即()min 34a x x >-+-，()()34341x x x x -+-≥---=，即1a >.故选：D9．已知0a >，0b >，若4a b +=，则A ．22a b +有最小值 BC ．11a b+有最大值 D 有最大值【答案】A【分析】根据基本不等式的性质，即可求解22a b +有最小值，得到答案. 【详解】由题意，可知a 0>，b 0>，且a b 4+=，因为0,0a b >>，则a b +≥，即2()42a b ab +≤=， 所以()222a b a b 2ab 162ab +=+-=-16248≥-⨯=， 当且仅当2a b ==时，等号成立，取得最小值8， 故选A ．【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中合理应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 10．设函数()f x 在（-∞，+∞）上有意义，对任意的x ，y ∈R 且x ≠y ，都有|()f x -()|f y <|x -y |，并且函数(1)f x +的对称中心是（-1，0），若函数()g x -()f x =x ，则不等式g 2(2)x x -+g (2)x -<0的解集是（ ） A ．（-∞，1）（2，+∞） B ．（1，2） C ．（-∞，-1）（2，+∞）D ．（-1，2）【答案】A【分析】由已知条件可知()f x 为奇函数，从而可得()g x 也为奇函数，然后结合|()f x -()|f y <|x -y |，可得()g x 在R 上单调递增，结合单调性和奇函数的定义可得222x x x -<-，从而可求出不等式的解集【详解】解：由函数(1)f x +的对称中心是（-1，0），可得函数()f x 的图像关于(0,0)对称，所以()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，因为()()g x f x x -=，所以()()g x f x x =+，所以()()()()g x f x x f x x g x -=--=--=-，所以()g x 为奇函数，因为对任意的x ，y ∴R 且x ≠y ，都有|()f x -()|f y <|x -y |，所以()()()g x g y x y x y ---<-， 所以()()()1g x g y x y x y---<-，即()()11g x g y x y--<-，所以()()02g x g y x y -<<-， 所以对任意的x ，y ∴R 且x ≠y ，()()0g x g y x y->-，所以()g x 在R 上单调递增，因为g 2(2)x x -+g (2)x -<0，所以2(2)(2)(2)g x x g x g x -<--=-， 所以222x x x -<-，即2320x x -+>，解得1x <或2x > 故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查了利用函数奇偶性和单调性求解不等式，解题的关键是由已知条件判断出()g x 的奇偶性和单调性，考查数学转化思想，属于中档题 二、填空题 11．若函数()f x =，则()f x 的定义域为_________．【答案】1(,)2-+∞ 【分析】由于根式在分母上，所以只要被开方数大于零，解不等式可得结果 【详解】解：由题意得，210x +>，解得12x >-，所以函数的定义域为1(,)2-+∞， 故答案为：1(,)2-+∞ 12．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，()f x =2x ，则1()2f -=________． 【答案】14-． 【分析】由于函数是奇函数，所以11()()22f f -=-，再由已知的解析式求出1()2f 的值，可得答案【详解】解：因为当x >0时，()f x =2x ，所以2111()()224f ==， 因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以111()()224f f -=-=-，故答案为：14- 13．写出一个使得命题“x R ∀∈，223ax ax -+>0恒成立”是假命题的实数a 的值________： 【答案】1-（答案不唯一，只需()[),03,a ∈-∞⋃+∞）．【分析】求出命题“x R ∀∈，223ax ax -+>0恒成立”是真命题的范围即可. 【详解】若命题“x R ∀∈，223ax ax -+>0恒成立”是真命题 则当0a =时成立，0a ≠时有24120a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得0<<3a ， 所以当03a ≤<时命题“x R ∀∈，223ax ax -+>0恒成立”是真命题 所以当()[),03,a ∈-∞⋃+∞时，命题“x R ∀∈，223ax ax -+>0恒成立”为假命题故答案为：1-（答案不唯一，只需()[),03,a ∈-∞⋃+∞）14．某餐厅经营盒饭生意，每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每盒盒饭的成本为15元，销售单价与日均销售量的关系如下表：【答案】21.5．【分析】由表格中的信息可知，销售单价为16元时，销售量为480盒，销售单价每增加1元时，销售量则减少40个，设每盒盒饭定价为x 元，则销售量为48040(16)x --，再根据利润=总收入-总成本，即可求出利润y 关于销售单价x 的函数，则二次函数的性质即可求得答案【详解】解：由表格中的信息可知，销售单价为16元时，销售量为480盒，销售单价每增加1元时，销售量则减少40个，设每盒盒饭定价为x 元，利润为y 元，则由题意得(15)[48040(16)]y x x =---(15)(112040)x x =--240172016800x x =-+-所以当172021.580x =-=-时，y 取得最大值，最大值为1690， 即每盒盒饭定价为21.5元时，利润最大，最大为1690元，故答案为：21.515．函数()2,,(0),0x x t f x t x x t⎧=>⎨<<⎩，在区间(0,)+∞上的增数，则实数t 的取值范围是________. 【答案】1t【分析】作出函数2,()(0),0x x tf x t x x t ⎧=>⎨<<⎩的图象，数形结合可得结果. 【详解】解:函数2,()(0),0x x tf x t x x t⎧=>⎨<<⎩的图像如图.由图像可知要使函数2,()(0),0x x tf x t x x t⎧=>⎨<<⎩是区间(0,)+∞上的增函数， 则1t . 故答案为1t【点睛】本题考查函数的单调性，考查函数的图象的应用，考查数形结合思想，属于简单题目. 16．几位同学在研究函数()()1xf x x R x=∈+时给出了下面几个结论：∈函数()f x 的值域为()1,1-；∈若12x x ≠，则一定有()()12f x f x ≠；∈()f x 在()0,∞+是增函数；∈若规定()()1f x f x =，且对任意正整数n 都有：()()()1n n f x f f x +=，则()1n xf x n x=+对任意*n N ∈恒成立.上述结论中正确结论的序号为__________. 【答案】∴∴∴∴【分析】考虑0,0,0x x x ><=时对应函数的值域、单调性、奇偶性即可判断出∴∴∴是否正确，利用归纳推理的思想判断()1n xf x n x=+是否正确.【详解】()f x 的定义域为R ，当0x >时()()110,111x f x x x ==-∈++且()f x 是单调递增的， 当0x <时()()111,011x f x x x==-+∈---且()f x 是单调递增的， 当0x=时()00f =，又因为()()1xf x f x x--==-+-，所以()f x 是奇函数，由此可判断出∴∴∴正确，因为()()()2112x f x f f x x ==+，()()()3213xf x f f x x ==+，......，由归纳推理可得：()1n xf x n x=+，所以∴正确.故答案为∴∴∴∴.【点睛】本题考查函数的值域、单调性、奇偶性的综合运用，难度较难. （1）分段函数的值域可以采用分段求解，最后再取各段值域的并集；（2）分段函数在判断单调性时，除了要考虑每一段函数单调性，还需要考虑到在分段点处各段函数的函数值的大小关系.三、解答题17．设全集U =R ，集合A =（-∞，-1][4，+∞），B =（-∞，1]．求：（1）()UA B ；（2）记()UA B =M ，N ={x |a -1≤x ≤-2a }，且MN N =，求a 的取值范围．【答案】（1）()UA B =（1，4）；（2）（13，+∞）． 【分析】（1）先求AB ，再求()UA B ；（2）由条件可知N M ⊆，分N =∅和N ≠∅两种情况，列不等式求参数a 的取值范围. 【详解】（1）由题意知，A B =（-∞，1][4，+∞），又全集U =R ，所以()UA B =（1，4）．（2）由（1）得M =（1，4），由M N =N 得N ⊆M ．∴当N =∅时，有a -1>-2a ，所以a >13； ∴当N ≠∅时，有12,11,24,a a a a -≤-⎧⎪->⎨⎪-<⎩此不等式组无解．综上，a 的取值范围是（13，+∞）．18．定义在R 上的函数2()(21)1f x x a x =-+-(a ∈R )．(1)若()f x 为偶函数且(1)f m +>(1)f m -，求实数m 的取值范围； (2)若()f x 不是偶函数且在区间[-1，2]上不单调，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)(0，+∞)；(2)3113(,)(,)2222--⋃-． 【分析】(1)利用偶函数定义求得a ，再讨论函数f (x )的单调性，并利用它求解； (2)利用二次函数不单调的充要条件，结合不是偶函数的条件解得. 【详解】(1)因为()f x 为偶函数，所以()f x -=()f x 恒成立， 即22()(21)()1(21)1x a x x a x --+--=-+-恒成立，所以12a =-， 所以()f x =21x -，其图像是开口向上的抛物线且关于y 轴对称， 因为(1)f m +>(1)f m -，所以11m m +>-，所以m >0．所以实数m 的取值范围是(0，+∞)．(2)依题意，210,112,2a a +≠⎧⎪⎨-<+<⎪⎩所以3122a -<<-或1322a -<<， 所以实数a 的取值范围是3113(,)(,)2222--⋃-． 【点睛】解含有抽象法则“f”的偶函数不等式，利用偶函数性质()(||)f x f x =变形不等式，再利用单调性去法则求解.19．记关于x 的方程1(2)a x x -=-在区间（0，3]上的解集为A ，若A 至多有2个不同的子集，求实数a 的取值范围．【答案】(],1-∞【分析】原题等价于函数2()(1)1f x a x a =-+-在区间（0，3]上至多有1个零点，分类讨论a 的取值范围即可得结果．【详解】因为A 至多有2个不同的子集，所以A 至多有1个元素． 因为1(2)a x x -=-，所以0,(2)10,x ax x ≠⎧⎨-+=⎩所以2(1)1a x a -+-=0， 所以原题等价于函数2()(1)1f x a x a =-+-在区间（0，3]上至多有1个零点． ∴当a =0时，()f x =1在区间（0，3]上无零点，符合题意；∴当a >0时，抛物线()f x =2(1)1a x a -+-开口向上，对称轴为x =1，(0)f =1，所以(1)f =1-a ≥0，所以0<a ≤1；∴当a <0时，抛物线()f x =2(1)1a x a -+-开口向下，对称轴为x =1，(0)f =1=(2)f ，所以()f x 在（0，3]上至多有一个零点，符合题意．综上，实数a 的取值范围是(],1-∞．【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于判断原题等价于函数2()(1)1f x a x a =-+-在区间（0，3]上至多有1个零点．20．已知不等式()101ax a R x +<∈-． （1）当2a =时，解这个不等式；（2）若111ax x x +≤--对(),0x ∀∈-∞恒成立，求实数a 的最大值． 【答案】（1）1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）2． 【分析】（1）根据分式不等式的求解方法可直接求得结果；（2）将恒成立不等式化为22a x x ≤--+，则min 22a x x ⎛⎫≤--+ ⎪⎝⎭，利用基本不等式可求得min 22x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，由此可确定给结果.【详解】（1）当2a =时，原不等式可化为()()2110x x +-<，解得：112x -<<， ∴不等式的解集为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭； （2）当(),0x ∈-∞时，10x -<，()()211121ax x x x x ∴+≥--=-+-， 即22222x x a x x x-+-≤=--+； ()22x x x x --=-+≥=-（当且仅当2x x -=-，即x = min222x x ⎛⎫∴--+=⎪⎝⎭，2a ∴≤，则实数a 的最大值为2. 21．已知()f x 是定义在R 上的单调递减函数，对任意实数m ，n 都有()f m n +=()()f m f n +．函数2()2()g x x x =-．定义在R 上的单调递增函数()h x 的图象经过点A （0,0）和点B (2,2)．（1）判断函数()f x 的奇偶性并证明；（2）若[1,2]t ∃∈-，使得(()1)(8)f g t f t m -++<0（m 为常实数）成立，求m 的取值范围；（3）设(1)1f =-，1()()F x f x x =-,2()()F x g x =，3()()(2)F x h x h x =--，100i i b =（i =0，1，2…100）．若10()()k k k M F b F b =-+21()()k k F b F b -+…+10099()()k k F b F b -（k =1，2，3），比较123,,M M M 的大小并说明理由．【答案】（1）()f x 为奇函数；证明见解析；（2）(11,)-+∞；（3）132M M M =>；答案见解析．【分析】（1）根据奇函数的定义进行证明即可；（2）根据奇函数将不等式转化为(()1)f g t -<(8)f t m --，再根据单调性将f 脱去，等价为[1,2]t ∃∈-，22101m t t >-+，最后转化为最值问题解题即可；（3）根据函数的单调性及特殊值分别计算123,,M M M ，最后比较大小即可. 【详解】（1）()f x 是R 上的奇函数．证明如下：因为任意实数m ，n 都有()()()f m n f m f n +=+，所以(00)(0)(0)f f f +=+，所以(0)f =0，从而对∀x ∴R ，恒有()f x x -+=()()f x f x -+，所以()()(0)0f x f x f -+==，所以()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数．（2）由（1）知，()f x 为R 上单调递减的奇函数，由(()1)(8)f g t f t m -++<0得(()1)f g t -<(8)f t m -+=(8)f t m --，所以()1g t ->-8t -m ，22()1t t -->8t m --，22101m t t >-+．令2()2101h t t t =-+，则2523()2()22h t t =--． 当[1,2]t ∃∈-时，min ()(2)11h t h ==-．所以[1,2]t ∃∈-，使得(()1)f g t -+(8)f t m +<0成立，等价于[1,2]t ∃∈-，使得()m h t >成立，所以min ()11m h t >=-，所以m 的取值范围是(11,)-+∞．（3）依题意，易证F 1(x )=()f x -x 在R 上单调递减， 所以11110()()M F b F b =-+1121()()F b F b -+…+1100199()()F b F b -0111()()F b F b =-+1112()()F b F b -+…+1991100()()F b F b -001011()()F b F b =-11(0)(1)F F =-((0)0)((1)1)(00)(11)2f f =---=----=．因为()g x =22()x x -=-2211()22x -+在1[0,]2单调递增，在1[1]2，单调递减， 所以22120()()M F b F b =-+2221()()F b F b -+…+2100299()()F b F b -2120()()F b F b =-+2221()()F b F b -+…+250249()()F b F b -+250251()()F b F b -+251252()()F b F b -+…+()()2992100F b F b -202502502100()()()()F b F b F b F b =-++-222211(0)()()(1)22F F F F =-++-1100122=-++-=． 由()h x 在R 上单调递增，易证3()()(2)F x h x h x =--在R 上单调递增， 所以33130()()M F b F b =-+3321()()F b F b -+…+3100399()()F b F b -3130()()F b F b =-+3321()()F b F b -+…+3100399()()F b F b -310030()()F b F b =-33(1)(0)F F =-((1)(21))((0)(2))0(02)2h h h h =----=--=，所以132M M M =>．【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.。

2022-2023学年北京市101中学高一（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．设集合A ＝{1，3，5，7}，B ＝{x |（x ﹣2）（x ﹣5）≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，3}B ．{3，5}C ．{5，7}D ．{1，7}2．若实数a 、b 满足a ＞b ＞0，下列不等式中恒成立的是（ ） A ．a +b ＞2√abB ．a +b ＜2√abC ．a2+2b ＞2√abD ．a2+2b ＜2√ab3．已知关于x 的方程x 2﹣6x +k ＝0的两根分别是x 1，x 2，且满足1x 1+1x 2=3，则k 的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．函数f （x ）＝x +2x ，x ∈[1，3]的值域为（ ） A ．[2√2，3]B ．[3，113] C ．[2√2，113] D ．[3，+∞）5．已知f （x ）＝|x |，g （x ）＝x 2，设h （x ）={f(x)，f(x)＞g(x)g(x)，f(x)≤g(x)，函数h （x ）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知p ：x ≥k ，q ：2−x x+1＜0，如果p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是（ ）A ．[2，∞）B ．（2，+∞）C ．[1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1]7．已知奇函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且f （1）＝0，则不等式f(x)−f(−x)x＜0的解集为（ ）A ．（﹣1，0）∪（0，1）B ．（﹣1，0）∪（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）8．已知函数f （x ）＝mx 2﹣mx ﹣1，对一切实数x ，f （x ）＜0恒成立，则m 的范围为（ ） A ．（﹣4，0）B ．（﹣4，0]C ．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）D ．（﹣∞，﹣4）∪[0，+∞）9．已知函数f(x)={−x 2−ax −7，x ≤1a x，x ＞1在R 上单调递增，则实数a 的取值范围（ ）A ．[﹣4，0）B ．（﹣∞，﹣2]C ．[﹣4，﹣2]D ．（﹣∞，0）10．设f （x ）是定义在R 上的函数，若存在两个不等实数x 1，x 2∈R ，使得f(x 1+x 22)=f(x 1)+f(x 2)2，则称函数f （x ）在R 上具有性质P ，那么，下列函数：①f （x ）＝2x ；②f （x ）={1x，x ≠00，x =0；③f （x ）＝x 2；④f （x ）＝|x 2﹣1|．具有性质P 的函数的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

北京一零一中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（本大题共8小题）1.方程-x 2-5x +6=0的解集为（ ）.A. {}6,1-B. {}2,3C. {}1,6-D. {}2,3--【答案】A【解析】【分析】因式分解法求解一元二次方程．【详解】∵-x 2-5x +6=0，∴x 2+5x -6=0，∴(x +6)(x -1)=0，∴x =-6或1，方程-x 2-5x +6=0的解集为{-6，1}．故选：A ．【点睛】本题属于简单题，解一元二次方程时注意观察方程特征，本题采用因式分解法会快速精准解题．2.“2x >”是“24x >”的 （ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】【详解】因为242x x >⇔>或2x <-，所以，“2x >”能推出“24x >”， “24x >”不能推出“2x >”，“2x >”是“24x >”的充分不必要条件，故选B.3.下列函数中，在区间（1，+∞）上为增函数的是（ ）.A. 31y x =--B. 2y x =C. 245y x x =-+D. 12y x =-+【答案】D【解析】【分析】结合一次函数，二次函数及反比例函数的图象及图象变换分别进行判断即可．【详解】由一次函数的性质可知，y =-3x -1在区间(1，+∞)上为减函数，故A 错误； 由反比例函数的性质可知，y =2x在区间(1，+∞)上为减函数， 由二次函数的性质可知，y =x 2-4x +5在(-∞，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，故C 错误；由一次函数的性质及图象的变换可知，y =|x -1|+2在(1，+∞)上单调递增．故选：D ．【点睛】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题．4.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()f x x =，则1()2f -= A. 14-B.14 C. 94- D. 94 【答案】A【解析】【分析】由题意结合函数的解析式和函数的奇偶性确定函数值即可.【详解】由奇函数的性质结合题意可得：211112224f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，奇函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.设函数f （x ）=4x +1x -1（x ＜0），则f （x ）（ ）. A. 有最大值3B. 有最小值3C. 有最小值5-D. 有最大值5-【答案】D【解析】【分析】直接利用基本不等式求得函数f (x )=4x +1x-1(x ＜0)的最值得答案．【详解】当x ＜0时，f (x )=4x +1x -1=-[(-4x )+1x -]-115≤-=-． 当且仅当-4x =-1x ，即x =-12时上式取“=”． ∴f (x )有最大值为-5．故选：D ．【点睛】本题考查利用基本不等式求函数的最值，是基础题．6.若函数()a f x x x =+(a ∈R)在区间(1，2)上有零点，则a 的值可能是( ) A. －2B. 0C. 1D. 3【答案】A【解析】【分析】利用零点存在性定理逐个选项代入验证，即可得到答案.【详解】函数()a f x x x=+()a R ∈的图象在()12，上是连续不断的，逐个选项代入验证，当2a ＝－时，()()112022110f f ＝－＜，＝－＝＞，.故()f x 在区间()12，上有零点，同理，其他选项不符合，故选A.【点睛】本题考查了函数的零点与方程的根的应用，属于基础题．7.已知函数(3)5,1()2,1a x x f x a x x-+≤⎧⎪=⎨>⎪⎩是(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值范围是 A. (0，3)B. (0，3]C. (0，2)D. (0，2] 【答案】D【解析】【分析】由()f x 为R 上的减函数，根据1x ≤和1x >时，()f x 均单调递减，且2(3)151a a -⨯+≥，即可求解.【详解】因为函数()f x 为R 上的减函数，所以当1x ≤时，()f x 递减，即30a -<，当1x >时，()f x 递减，即0a >， 且2(3)151a a -⨯+≥，解得2a ≤， 综上可知实数a 的取值范围是(0,2]，故选D.【点睛】本题主要靠考查了分段函数的单调性及其应用，其中熟练掌握分段的基本性质，列出相应的不等式关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 8.设函数f （x ）在（-∞，+∞）上有意义，且对于任意的x ，y ∈R ，有|f （x ）-f （y ）|＜|x -y |并且函数f （x +1）的对称中心是（-1，0），若函数g （x ）-f （x ）=x ，则不等式g （2x -x 2）+g （x -2）＜0的解集是（ ）.A. ()(),12,-∞⋃+∞B. ()1,2C. (],1(2-∞-⋃,)+∞D. ()1,2- 【答案】A【解析】【分析】由已知可知f (x )为奇函数，从而可得g (-x )也为奇函数，然后结合|f (x )-f (y )|＜|x -y |，得 ()()0g x g y x y->-，从而可得g (x )单调递增，结合单调性及奇函数的定义可求． 【详解】由函数f (x +1)的对称中心是(-1，0)，可得f (x )的图象关于(0，0)对称即f (x )为奇函数，∴f (-x )=-f (x )，∵g (x )-f (x )=x ，∴g (x )=f (x )+x ，∴g (-x )=f (-x )-x =-f (x )-x =-g (x )，∵对于任意的x ，y ∈R ，有|f (x )-f (y )|＜|x -y |，∴|g (x )-g (y )-(x -y )|＜|x -y |， ∴()()()g x g y x y 1x y----＜， 即|()()g x g y 1x y ---|＜1，∴0＜()()g x g y x y --＜2，由对任意实数,()x y x y ≠有()()0g x g y x y->-得g (x )单调递增， ∵g (2x -x 2)+g (x -2)＜0， ∴g (2x -x 2)＜-g (x -2)=g (2-x )，∴2x -x 2＜2-x ，整理可得，x 2-3x +2＞0，解可得，x ＞2或x ＜1，故选：A ．【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性及单调性求解不等式，解题的关键是结合单调性定义判断出函数g (x )的单调性．二、解答题（本大题共11小题，共80.0分）9.已知x 1，x 2是方程x 2+2x -5=0的两根，则x 12+2x 1+x 1x 2的值为______．【答案】0【解析】【分析】x 1，x 2是方程x 2+2x -5=0的两根，可得x 12+2x 1-5=0，x 1x 2=-5．即可得出．【详解】∵x 1，x 2是方程x 2+2x -5=0的两根，则x 12+2x 1-5=0，x 1x 2=-5．∴x 12+2x 1+x 1x 2=5-5=0．故答案为：0．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、方程的根，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.已知方程210ax bx ++=的两个根为14-，3，则不等式210ax bx ++>的解集为______． 【答案】134x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】根据韦达定理求出,a b ，代入不等式，解一元二次不等式求得结果. 【详解】由题意得：1341134b a a ⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩ 43113a b ⎧=-⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩则不等式可化为：241130x x --< 134x ⇒-<< 本题正确结果：134x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查一元二次方程的根与一元二次不等式求解的问题，属于基础题. 11.命题“∀x ＞0，x 2+2x -3＞0”的否定是______．【答案】∃x 0＞0，x 02+2x 0-3≤0【解析】【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【详解】命题为全称命题，则命题“∀x＞0，x2+2x-3＞0”的否定是为∃x0＞0，x02+2x0-3≤0，故答案为：∃x0＞0，x02+2x0-3≤0．【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．12.已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）-g（x）=x3+x2+2，则f（1）+g（1）的值等于______．【答案】2【解析】【分析】由已知可得f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)，结合f(x)-g(x)=x3+x2+2，可得f(-x)+g(-x)=x3+x2+2，代入x=-1即可求解．【详解】f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，∴f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)，∵f(x)-g(x)=x3+x2+2，∴f(-x)+g(-x)=x3+x2+2，则f(1)+g(1)=-1+1+2=2．故答案为：2【点睛】本题主要考查了利用奇函数及偶函数定义求解函数值，属于基础试题．13.若函数f（x）=x2-2x+1在区间[a，a+2]上的最小值为4，则实数a的取值集合为______．【答案】{-3，3}【解析】【分析】根据函数解析式求出对称轴和顶点坐标，画出函数图象，即可求出a的值．【详解】因为函数f(x)=x2-2x+1=(x-1)2，所以对称轴为x=1，顶点坐标为(1，0)．令x2-2x+1=4得：x2-2x-3=0，解得：x=-1或3，所以a+2=-1或a=3，即：a =-3或3．故答案为：{-3，3}【点睛】本题主要考查二次函数的图象，以及利用图象求最值问题．14.已知函数()2,x x x x af x x a -+≥⎧=<⎨⎩． ①若0a =，则函数()f x 的零点有______个；②若()()1f x f ≤对任意的实数x 都成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】 (1). 2 (2). 1⎡⎤-⎣⎦【解析】【分析】①把a=0带入，令f(x)=0，求解，有几个解就有几个零点；②分类讨论，令a>0,a=0,a<0分别进行讨论，最后求得a 的取值范围.【详解】①当a=0，22,0(),0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨<⎩当0x ≥,时，22x x -+=0，解得x=2或x=0，当0x <，x=0无解故有两个零点②（1）当1a >时，f （1）=1，此时()1f a >，不成立，舍；（2）当a=1，此时f （x ）的最大值为f （1），所以成立；（3）当1a <，2,(),x x x x a f x x x a ⎧-+≥=⎨<⎩令222,0()22,0x x x g x x x x x x x ⎧+<=-+=⎨-+>⎩ ()(1)1f x f ≤=Q()1g x ∴≤当x<0时，221,[1x x x +≤∈--当0x ≥时，221x x -+≤，恒成立；故1a ≥--综上11a -≤≤故答案为1⎡⎤-⎣⎦【点睛】本题考查了函数零点的问题以及恒成立求参数问题，本题第二问的求参数主要考查了分类讨论的思想，如何分类，思路清晰是解题的关键，属于较难的题目.求函数零点的方法：1.解方程f(x)=0的根；2.利用函数零点存在性定理和函数的单调性；3.利用数形结合，找图像的交点个数. 15.设集合A ={x 2，x -1}，B ={x -5，1-x ，9}．（1）若x =-3，求A ∩B ；（2）若A ∩B ={9}，求A ∪B ．【答案】（1）{9} （2）x =-3时，A ∪B ={-8，-4，4，9}，x =10时， A ∪B ={-9，5，9，100}． 【解析】【分析】(1)x =-3时，可求出A ={9，-4}，B ={-8，4，9}，然后进行交集的运算即可； (2)根据A ∩B ={9}即可得出x 2=9或x -1=9，再根据集合元素的互异性即可求出x =-3或10，从而x =-3时，求出集合A ，B ，然后求出A ∪B ；x =10时，求出集合A ，B ，然后求出A ∪B即可．【详解】(1)x =-3时，A ={9，-4}，B ={-8，4，9}，∴A ∩B ={9}；(2)∵A ∩B ={9}，∴9∈A ，∴x 2=9，或x -1=9，解得x =±3或10， x =3时，不满足集合B 中元素的互异性，∴x =-3或10，由(1)知，x =-3时，A ∪B ={-8，-4，4，9}， x =10时，A ={100，9}，B ={5，-9，9}，∴A ∪B ={-9，5，9，100}．【点睛】本题考查了列举法的定义，交集、并集的定义及运算，元素与集合的关系，考查了计算能力，属于基础题．16.已知函数()2f x ax x=-． （1）求定义域，并判断函数f （x ）的奇偶性；（2）若f （1）+f （2）=0，证明函数f （x ）在（0，+∞）上的单调性，并求函数f （x ）在区间[1，4]上的最值．【答案】（1）{}|0x x ≠ ，奇函数 （2）单调递增，证明见详解，最大值72，最小值-1； 【解析】【分析】(1)由题意可得，x ≠0，然后检验f (-x )与f (x )的关系即可判断；(2)由f (1)+f (2)=a -2+2a -1=0，代入可求a ，然后结合单调性的定义即可判断单调性，再由单调性可求函数f (x )在区间[1，4]上的最大值f (4)，最小值f (1)．即可求解．【详解】(1)由题意可得，x ≠0，故定义域为{}|0x x ≠∵f (-x )=-ax +2x =-f (x )， ∴f (x )奇函数；(2)由f (1)+f (2)=a -2+2a -1=0，∴a =1，f (x )=x -2x ， 设0＜x 1＜x 2，则f (x 1)-f (x 2)=x 1-x 22122x x +-=(x 1-x 2)(1+122x x )， ∵0＜x 1＜x 2， ∴x 1-x 2＜0，1+122x x ＞0， ∴(x 1-x 2)(1+122x x )＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在(0，+∞)上的单调递增，∴函数f (x )在区间[1，4]上的最大值为f (4)=72，最小值为f (1)=-1． 【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的判断及函数单调性的定义在单调性判断中的应用，属于函数性质的简单应用．17.一元二次方程x 2-mx +m 2+m -1=0有两实根x 1，x 2． （1）求m 的取值范围； （2）求x 1•x 2的最值；（3）如果12x x -m 的取值范围． 【答案】（1）223m -≤≤ （2）最小值为54-，最大值为1 （3）113⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 【解析】 【分析】(1)一元二次方程有两实根，则判别式△≥0；(2)利用根与系数的关系求得两根之积，从而化简求最值；(3)利用公式22121212()4()x x x x x x +-=-得到|x 1-x 2|的表达式从而解不等式求m ． 【详解】(1)∵一元二次方程x 2-mx +m 2+m -1=0有两实根x 1，x 2． ∴△=(-m )2-4(m 2+m -1)≥0， 从而解得：-223m ≤≤． (2)∵一元二次方程x 2-mx +m 2+m -1=0有两实根x 1，x 2． ∴由根与系数关系得：2212151()24x x m m m ⋅=+-=+-， 又由(1)得：-223m ≤≤， ∴2515()1424m -≤+-≤，从而，x 1•x 2最小值为54-，最大值为1．(3)∵一元二次方程x 2-mx +m 2+m -1=0有两实根x 1，x 2． ∴由根与系数关系得：212121x m m m x x +=⋅=+-，x ，∴12x x -==从而解得：113--＜m ＜， 又由(1)得： 223m -≤≤，∴113m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，． 【点睛】本题考点是一元二次方程根与系数的关系，考查用根与系数的关系将根的特征转化为不等式组求解参数范围，本题解法是解决元二次方程根与系数的关系一个基本方法，应好好体会其转化技巧．18.某住宅小区为了使居民有一个优雅舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200平方米的十字型地域．现计划在正方形MNPQ 上建花坛，造价为4200元/平方米，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/平方米，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/平方米．（1）设总造价为S 元，AD 的边长为x 米，DQ 的边长为y 米，试建立S 关于x 的函数关系式；（2）计划至少要投入多少元，才能建造这个休闲小区． 【答案】（1）(22400000400038000,0102S x x x=++<<；（2）118000元 【解析】 【分析】(1)根据由两个相同的矩形ABC D 和E FG H 构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米得出AM 的函数表达式，最后建立建立S 与x 的函数关系即得； (2)利用基本不等式求出(1)中函数S 的最小值，并求得当x 取何值时，函数S 的最小值即可．【详解】(1)由题意，有 AM =2200x 4x -，由AM ＞0，有 0＜x ＜2；则S =4200x 2+210(200-x 2)+80×2×22200x ()4x-；S =4200x 2+42000-210x 2+2424000004000x 10x x -+=4000x 2+2400000x +38000；∴S 关于x 的函数关系式：S =4000x 2+2400000x +38000，(0＜x ＜ )；(2)S =4000x 2+2400000x +38000=118000；当且仅当4000x 2=2400000x时，即x ∈(0，)，S 有最小值；∴当x 米时，S m in =118000元．故计划至少要投入118000元，才能建造这个休闲小区．【点睛】本题主要考查了函数模型的选择与应用、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．19.已知函数f （x ）=x 2+bx +c ，其中b ，c ∈R ．（1）当f （x ）的图象关于直线x =1对称时，b =______；（2）如果f （x ）在区间[-1，1]不是单调函数，证明：对任意x ∈R ，都有f （x ）＞c -1； （3）如果f （x ）在区间（0，1）上有两个不同的零点．求c 2+（1+b ）c 的取值范围． 【答案】（1）-2 （2）证明见解析 （3）（0，116） 【解析】 【分析】(1)求得f (x )的对称轴，由题意可得b 的方程，解方程可得b ； (2)由题意可得-1＜-2b＜1，即-2＜b ＜2，运用f (x )的最小值，结合不等式的性质，即可得证；(3)f (x )在区间(0，1)上有两个不同的零点，设为r ，s ，(r ≠s )，r ，s ∈(，1)，可设f (x )=(x -r )(x -s )，将c 2+(1+b )c 写为f (0)f (1)，再改为r ，s 的式子，运用基本不等式即可得到所求范围． 【详解】(1)函数f (x )=x 2+bx +c 的对称轴为x =-2b ， 由f (x )的图象关于直线x =1对称， 可得-2b=1，解得b =-2， 故答案为：-2．(2)证明：由f (x )在[-1，1]上不单调， 可得-1＜-b2＜1，即-2＜b ＜2， 对任意的x ∈R ，f (x )≥f (-2b )=24b -22b +c =c -24b ，由-2＜b ＜2，可得f (x )≥c -24b ＞c -1； (3)f (x )在区间(0，1)上有两个不同的零点， 设为r ，s ，(r ≠s )，r ，s ∈(0，1)， 可设f (x )=(x -r )(x -s )，由c 2+(1+b )c =c (1+b +c )=f (0)f (1)=rs (1-r )(1-s )， 且0＜rs (1-r )(1-s )＜[()12r r +-]2•[()12s s +-]2=116， 则c 2+(1+b )c ∈(0，116)． 【点睛】本题考查二次函数的单调性和对称性的应用，考查函数零点问题的解法，注意运用转化思想，以及基本不等式和不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．。

北京名校高一数学优质试题汇编（附详解）北京101中高一（上）期中数学一、选择题：本大题共8小题，共40分．1．（5分）下列四个选项表示的集合中，有一个集合不同于另三个集合，这个集合是（）A．{x|x=0} B．{a|a2=0} C．{a=0} D．{0}2．（5分）函数y=f（x）的定义域为[1，5]，则函数y=f（2x﹣1）的定义域是（）A．[1，5] B．[2，10] C．[1，9] D．[1，3]3．（5分）下列四组函数，表示同一函数的是（）A．f（x）=，g（x）=xB．f（x）=x，g（x）=C．f（x）=，g（x）=D．（x）=|x+1|，g（x）=4．（5分）如图是函数y=f（x）的图象，f（f（2））的值为（）A．3 B．4 C．5 D．65．（5分）已知函数f（x）=3x+x﹣5，用二分法求方程3x+x﹣5=0在x∈（0，2）内近似解的过程中，取区间中点x0=1，那么下一个有根区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（1，2）或（0，1）都可以 D．不能确定6．（5分）函数f（x）=4x2﹣ax﹣8在区间（4，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．a≤32 B．a≥32 C．a≥16 D．a≤167．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．28．（5分）定义区间（a，b）、[a，b）、（a，b]、[a，b]的长度均为d=b﹣a，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.2]=3，[﹣2.3]=﹣3．记{x}=x﹣[x]，设f（x）=[x]•{x}，g（x）=x﹣1，若用d表示不等式f（x）＜g（x）解集区间长度，则当0≤x≤3时有（）A．d=1 B．d=2 C．d=3 D．d=4二、填空题：本大题共6小题，共30分．9．（5分）若f（2x）=3x2+1，则函数f（4）= ．10．（5分）求值：2﹣（）+lg+（﹣1）lg1= ．11．（5分）设函数y=f（x+2）是奇函数，且x∈（0，2）时，f（x）=2x，则f（3.5）= ．12．（5分）函数f（x）=3x的值域是．13．（5分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f （1）的x的取值范围是．14．（5分）函数f（x）的定义域为A，若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数．下列命题：①函数f（x）=x2（x∈R）是单函数；②若f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，A中至多有一个元素与之对应；④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数．其中正确的是．（写出所有正确的编号）三、解答题：本大题共4小题，共50分．15．（12分）已知集合A={x|3≤x＜7}，B={2＜x＜10}，C={x|5﹣a＜x＜a}．（1）求A∪B，（∁R A）∩B；（2）若C⊆（A∪B），求a的取值范围．16．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，已知x≥0时，f（x）=x2﹣2x．（1）画出偶函数f（x）的图象的草图，并求函数f（x）的单调递增区间；（2）当直线y=k（k∈R）与函数y=f（x）恰有4个交点时，求k的取值范围．17．（12分）已知g（x）=﹣x2﹣3，f（x）=ax2+bx+c（a≠0），函数h（x）=g（x）+f （x）是奇函数．（1）求a，c的值；（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值是1，求f（x）的解析式．18．（14分）已知定义在R上的函数是奇函数（1）求a，b的值；（2）判断f（x）的单调性，并用单调性定义证明；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t﹣2t2）+f（﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．数学试题答案一、选择题：本大题共8小题，共40分．1．【解答】通过观察得到：A，B，D中的集合元素都是实数，而C中集合的元素不是实数，是等式a=0；∴C中的集合不同于另外3个集合．故选：C．2．【解答】∵y=f（x）的定义域为[1，5]，∴1≤x≤5，∴1≤2x﹣1≤5，即1≤x≤3，∴y=f（2x﹣1）的定义域是[1，3]．故选：D．3．【解答】A选项两者的定义域相同，但是f（x）=|x|，对应法则不同，B选项两个函数的定义域不同，f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是{x|x≠0}C选项两个函数的定义域不同，f（x）的定义域是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）g（x）的定义域是（2，+∞）D选项根据绝对值的意义，把函数f（x）整理成g（x），两个函数的三个要素都相同，故选D．4．【解答】由图象可得，当0≤x≤3时，y=f（x）=2x，∴f（2）=4．当3＜x≤9时，由 y﹣0=（x﹣9），可得 y=f（x）=9﹣x，故 f（ f（2））=f（4）=9﹣4=5，故选C．5．【解答】∵f（x）=3x+x﹣5，∴f（1）=3+1﹣5＜0，f（2）=9+2﹣5＞0，∴f（x）零点所在的区间为（1，2）∴方程3x+x﹣5=0有根的区间是（1，2），故选：B．6．【解答】∵f（x）=4x2﹣ax﹣8在区间（4，+∞）上为增函数，∴对称轴x=≤4，解得：a≤32，故选：A．7．【解答】∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x2+，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，故选A．8．【解答】f（x）=[x]•{x}=[x]•（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，g（x）=x﹣1 f（x）＜g（x）⇒[x]x﹣[x]2＜x﹣1即（[x]﹣1）x＜[x]2﹣1当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x＞1，∴x∈∅；当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为0＞0，∴x∈∅；当x∈[2，3]时，[x]﹣1＞0，上式可化为x＜[x]+1，∴x∈[2，3]；∴f（x）＜g（x）在0≤x≤3时的解集为[2，3]，故d=1，故选：A．二、填空题：本大题共6小题，共30分．9．【解答】∵f（2x）=3x2+1，∴由2x=4得x=2，即f（4）=f（2×2）=3×22+1=12+1=13，故答案为：13．10．【解答】2﹣（）+lg+（﹣1）lg1 =﹣[（）3]﹣2+（）0=﹣﹣2+1=﹣3．故答案为：﹣3．11．【解答】∵x∈（0，2）时，f（x）=2x，∴f（0.5）=1．∵函数y=f（x+2）是奇函数，∴f（﹣x+2）=﹣f（x+2），∴f（3.5）=﹣f（﹣1.5+2）=﹣f（0.5）=﹣1．故答案为：﹣1．12．【解答】f（x）=3x=，∵x2≥0，∴，则函数f（x）=3x的值域是[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．13．【解答】f（x）为偶函数；∴由f（2x﹣1）＜f（1）得，f（|2x﹣1|）＜f（1）；又f（x）在[0，+∞）上单调递增；∴|2x﹣1|＜1；解得0＜x＜1；∴x的取值范围是（0，1）．故答案为：（0，1）．14．【解答】在①中，函数f（x）=x2（x∈R），由f（﹣1）=f（1），但﹣1≠1，得到函数f（x）=x2（x∈R）不是单函数，故①错误；在②中，“x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）”的逆否命题是“若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2”．互为逆否命题的两个命题等价．故②的逆否命题为真，故②正确；在③中，符合唯一的函数值对应唯一的自变量，∴若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，A中至多有一个元素与之对应，故③正确；在④中，在某一区间单调并不一定在定义域内单调，∴f（x）不一定是单函数，故④错误．故答案为：②③．三、解答题：本大题共4小题，共50分．15．【解答】（1）∵集合A={x|3≤x＜7}，B={2＜x＜10}在数轴上表示可得：故A∪B={x|2＜x＜10}，C R A={x|x＜3，或x≥7}（C R A）∩B={2＜x＜3，或7≤x＜10}；（2）依题意可知①当C=∅时，有5﹣a≥a，得；②当C≠∅时，有，解得；综上所述，所求实数a的取值范围为（﹣∞，3]．16．【解答】（1）画出f（x）的图象如下图：由图象知，函数f（x）单调递增区间为[﹣1，0]，[1，+∞）；（2）由图象可知，当﹣1＜k＜0时，直线与函数y=f（x）的图象的交点个数为4；∴k的取值范围为（﹣1，0）．17．【解答】（1）（法一）：f（x）+g（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，又f（x）+g（x）为奇函数，∴h（x）=﹣h（﹣x），∴（a﹣1）x2﹣bx+c﹣3=﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣c+3对x∈R恒成立，∴，解得；（法二）：h（x）=f（x）+g（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，∵h（x）为奇函数，∴a﹣1=0，c﹣3=0，∴a=1，c=3．（2）f（x）=x2+bx+3，其图象对称轴为，当，即b≥2时，f（x）min=f（﹣1）=4﹣b=1，∴b=3；当，即﹣4≤b＜2时，，解得或（舍）；当，即b＜﹣4时，f（x）min=f（2）=7+2b=1，∴b=﹣3（舍），∴f（x）=x2+3x+3或∴．18．【解答】（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴，解得b=1，（1分）∴，∴∴a•2x+1=a+2x，即a（2x﹣1）=2x﹣1对一切实数x都成立，∴a=1，故a=b=1．（3分）（2）∵a=b=1，∴，f（x）在R上是减函数．（4分）证明：设x1，x2∈R且x1＜x2则=﹣，∵x1＜x2，∴，，，∴f（x1）﹣f（x2）＞0即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在R上是减函数，（8分）（3）∵不等式f（t﹣2t2）+f（﹣k）＞0，∴f（t﹣2t2）＞﹣f（﹣k），∴f（t﹣2t2）＞f（k），∵f（x）是R上的减函数，∴t﹣2t2＜k（10分）∴对t∈R恒成立，∴．（12分）11 / 11。

2021-2022学年北京市101中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 设集合M ={x |x ＜1}，N ={x |0＜x ≤1}，则M ∪N =（ ）A. {x|x <1}B. {x|0<x <1}C. {x|x ≤1}D. {x|0<x ≤1} 2. 下列函数中，在（-1，+∞）上为减函数的是（ ）A. y =3xB. y =x 2−2x +3C. y =xD. y =−x 2−4x +33. 计算log 416+912等于（ ）A. 73B. 5C. 133D. 74. 函数f （x ）=√1−2x +√x+3的定义域为（ ）A. (−3,0]B. (−3,1]C. (−∞,−3)∪(−3,0]D. (−∞,−3)∪(−3,1]5. 函数y =(13)−x2+4x−5的单调增区是（ ）A. [1,2]B. (−∞,−1)C. (−∞,2]D. [2,+∞)6. 已知偶函数f （x ）在区间[0，+∞）上是减函数，则满足f （2x -1）＞f （14）的x 的取值范围是（（ ）A. (−∞,58) B. (58,+∞)C. (38,58)D. (−∞,38)∪(58,+∞)7. 若函数f （x ）=a |x +1|（a ＞0．a ≠1）的值域为[1，+∞），则f （-4）与f （0）的关系是（ ）A. f(−4)>f(0)B. f(−4)=f(0)C. f(−4)<f(0)D. 不能确定 8. 对于实数a 和b 定义运算“*”：a •b ={b 2−ab,a >b a 2−ab,a≤b，设f （x ）=（2x -1）•（x -2），如果关于x 的方程f （x ）=m （m ∈R ）恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则m 的取值范是（ ）A. (−∞,94]B. [0,94]C. (0,94)D. ⌀二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 已知全集U =R ，集合A ={x |x 2-4x +3＞0}，则∁U A =______．10. 若0＜a ＜1，b ＜-1，则函数f （x ）=a x +b 的图象不经过第______象限． 11. 已知log 25=a ，log 56=b ，则用a ，b 表示1g 6=______． 12. 函数y =3x+4x+2（x ≤0）的值域是______． 13. 已知a ＞0且a ≠1，函数f （x ）={a x ,x >0(a−2)x+3a−8,x≤0满足对任意不相等的实数x 1，x 2，都有（x 1-x 2）[f （x 1）-f （x 2）]＞0，成立，则实数a 的取值范围______．14. 设函数f （x ）=a x +b x -c x ，其中c ＞a ＞0，c ＞b ＞0．若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是______（写出所有正确结论的序号） ①对任意的x ∈（-∞，1），都有f （x ）＞0；②存在x∈R，使a x，b x，c x不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC是顶角为120°的等腰三角形，则存在x∈（1，2），使f（x）=0．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）15.已知函数f（x）=a x-1（x≥0）．其中a＞0，a≠1．，2），求a的值；（1）若f（x）的图象经过点（32（2）求函数y=f（x）（x≥0）的值域．16.设集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2+（a-1）x+a2-5=0}．（1）若A∩B={2}，求实数a的值；（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．17.函数f（x）=ax+b是定义在R上的奇函数，且f（1）=1．4x2+1（1）求a，b的值；，+∞）的单调性．（2）判断并用定义证明f（x）在（1218.已知二次函数f(x)满足f(0)=2，f(x+1)−f(x)=4x−4．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若关于x的不等式f(x)−t<0在[−1,2]上恒成立，求实数t的取值范围；(3)若函数g(x)=f(x)−mx在区间(−1,2)内至少有一个零点，求实数m的取值范围第2页，共12页19.设a为实数，函数f（x）=√1−x2+a√1+x+a√1−x．（1）设t=√1+x+√1−x，求t的取值范图；（2）把f（x）表示为t的函数h（t）；（3）设f（x）的最大值为M（a），最小值为m（a），记g（a）=M（a）-m（a）求g（a）的表达式．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵M={x|x＜1}，N={x|0＜x≤1}；∴M∪N={x|x≤1}．故选：C．进行并集的运算即可．考查描述法表示集合的定义，以及并集的运算．2.【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=3x，为指数函数，在R上为增函数，不符合题意；对于B，y=x2-2x+3=（x-1）2+2，在（1，+∞）上为增函数，不符合题意；对于C，y=x，为正比例函数，在R上为增函数，不符合题意；对于D，y=-x2-4x+3=-（x+2）2+7，在（-2，+∞）上为减函数，符合题意；故选：D．根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．本题考查函数单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：原式=2+3=5．故选：B．利用指数与对数运算性质即可得出．本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：根据题意：，解得：-3＜x≤0∴定义域为（-3，0]第4页，共12页故选：A．从根式函数入手，根据负数不能开偶次方根及分母不为0求解结果，然后取交集．本题主要考查函数求定义域，负数不能开偶次方根，分式函数即分母不能为零，及指数不等式的解法．5.【答案】D【解析】解：令t=-x2+4x+5，其对称轴方程为x=2，内层函数二次函数在[2，+∞）上为减函数，而外层函数y=为减函数，∴函数y=的单调增区是[2，+∞）．故选：D．求出内层函数二次函数的减区间得答案．本题考查指数型复合函数的单调性，复合函数的单调性满足同增异减，是基础题．6.【答案】C【解析】解：根据题意，偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是减函数，f（2x-1）＞f（）⇒f（|2x-1|）＞f（）⇒|2x-1|＜，解可得：＜x＜，即x的取值范围为（，）；故选：C．根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得f（2x-1）＞f（）⇒f（|2x-1|）＞f（）⇒|2x-1|＜，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：∵|x+1|≥0，且f（x）的值域为[1，+∞）；∴a＞1；∴g（x）=a x在R上单调递增；又f（-4）=a3，f（0）=a；∴f（-4）＞f（0）．故选：A．可知|x+1|≥0，根据f（x）的值域为[1，+∞）即可得出a＞1，而可求出f（-4）=a3，f （0）=a，显然a3＞a，从而得出f（-4）＞f（0）．考查指数函数的单调性，根据单调性定义比较大小的方法．8.【答案】C【解析】解：根据定义得：f（x）=，其图象如下：因为f（x）=m恰有三个互不相等实根，所以0＜m＜，故选：C．数形结合法：画出函数f（x）的图象，结合图象知y=f（x）与y=m恰有3个交点时，0＜m＜．本题考查了函数与方程的综合运用，属中档题．9.【答案】{x|1≤x≤3}【解析】解：A={x|x＜1，或x＞3}；∴∁U A={x|1≤x≤3}．故答案为：{x|1≤x≤3}．可求出集合A，然后进行补集的运算即可．考查描述法表示集合的概念，以及补集的运算．10.【答案】一【解析】解：函数f（x）=a x（0＜a＜1）的是减函数，图象过定点（0，1），在x轴上方，过一、二象限，函数f（x）=a x+b的图象由函数f（x）=a x的图象向下平移|b|个单位得到，∵b＜-1，∴|b|＞1，∴函数f（x）=a x+b的图象与y轴交于负半轴，第6页，共12页如图，函数f（x）=a x+b的图象过二、三、四象限．故答案为一．函数f（x）=a x（0＜a＜1）是指数函数，在R上单调递减，过定点（0，1），过一、二象限，函数f（x）=a x+b的图象由函数f（x）=a x的图象向下平移|b|个单位得到，与y轴相交于原点以下，可知图象不过第一象限．本题考查指数函数的图象和性质，利用图象的平移得到新的图象，其单调性、形状不发生变化，结合图形，一目了然．11.【答案】ab1+a【解析】解：∵log25=a==，解得lg5=．log56=b=，∴lg6=blg5=．故答案为：．log25=a==，解得lg5．log56=b=，即可得出lg6=blg5．本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.【答案】（-∞，2]∪（3，+∞）【解析】解：；∵x≤0；∴该函数在（-2，0]，（-∞，-2）上单调递增；∴x∈（-2，0]时，y≤2；x∈（-∞，-2）时，y＞3；∴原函数的值域为（-∞，2]∪（3，+∞）．故答案为：（-∞，2]∪（3，+∞）．分离常数得出，从而可判断出该函数在（-∞，-2），（-2，0]上单调递增，这样根据单调性即可求出该函数的值域．考查函数值域的概念及求法，分离常数法的运用，反比例函数的值域．13.【答案】（2，3]【解析】解：由于函数f（x）=，又对任意实数x1≠x2，都有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0成立，则f（x）在R上为增函数．当x≤0时，函数为增，则有a-2＞0，即a＞2，①当x＞0时，函数为增，则有a＞1，②由在R上为增函数，则（a-2）×0+3a-8≤a0，即有a≤3③，由①②③可得a的取值范围为：2＜a≤3．故答案为：（2，3]．由题意可知f（x）在R上为增函数，对各段考虑即有a-2＞0，即a＞2，①a＞1，②注意x=0，有（a-1）×0+3a-8≤a0，即有a≤3③，求出三个的交集即可．本题考查分段函数及运用，考查函数的单调性及运用，注意各段的单调性，以及分界点的情况，属于易错题和中档题．14.【答案】①②③【解析】解：在①中，∵a，b，c是△ABC的三条边长，∴a+b＞c，∵c＞a＞0，c＞b＞0，∴0＜＜1，0＜＜1，当x∈（-∞，1）时，f（x）=a x+b x-c x=c x[（）x+（）x-1]＞c x（+-1）=c x•＞0，故①正确；在②中，令a=2，b=3，c=4，则a．b．c可以构成三角形，但a2=4，b2=9，c2=16不能构成三角形，故②正确；在③中，∵c＞a＞0，c＞b＞0，若△ABC顶角为120°的等腰三角形，∴a2+b2-c2＜0，∵f（1）=a+b-c＞0，f（2）=a2+b2-c2＜0，∴根据函数零点存在性定理可知在区间（1，2）上存在零点，即∃x∈（1，2），使f（x）=0，故③正确．故答案为：①②③．在①中，对任意x∈（-∞，1），都有f（x）＞0；在②中，a2=4，b2=9，c2=16不能构第8页，共12页成三角形；在③中，若△ABC为钝角三角形，则a2+b2-c2＜0，根据根的存在性定理可知在区间（1，2）上存在零点，即∃x∈（1，2），使f（x）=0．本题考查命题真假的判断，是中档题，注意运用指数函数单调性、零点存在定理的合理运用．15.【答案】解：（1）∵函数f（x）=a x-1（x≥0）的图象经过点（32，2），∴a12=2，∴a=4．（2）对于函数y=f（x）=a x-1，当a＞1是时，单调递增，∵x≥0，x-1≥-1，∴f（x）≥a-1=1a ，故函数的值域为[1a，+∞）．对于函数y=f（x）=a x-1，当0＜a＜1是时，单调递减，∵x≥0，x-1≥-1，∴f（x）≤a-1=1a ，又f（x）＞0，故函数的值域为（0，1a）．【解析】（1）把点（，2）的坐标代入函数的解析式，求得a的值．（2）根据指数函数的值域，分类讨论，求得f（x）的值域．本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，指数函数的值域，属于中档题．16.【答案】解：（1）集合A={x|x2-3x+2=0}={x|x=1或x=2}={1，2}，若A∩B={2}，则x=2是方程x2+（a-1）x+a2-5=0的实数根，可得：a2+2a-3=0，解得a=-3或a=1；（2）∵A∪B=A，∴B⊆A，当B=∅时，方程x2+（a-1）x+a2-5=0无实数根，即（a-1）2-4（a2-5）＜0解得：a＜-3或a＞73；当B≠∅时，方程x2+（a-1）x+a2-5=0有实数根，若只有一个实数根，x=1或x=2则△=（a-1）2-4（a2-5）=0解得：a=-3或a=73；∴a=-3．若只有两个实数根，x=1、x=2△＞0，则-3＜a＜73；则（a-1）=-3，可得a=-2a2-5=2，可得a=±√7综上可得实数a的取值范围是{a|a≤-3或a＞73或a=-2或a=-√7}【解析】第10页，共12页（1）根据A∩B={2}，可知B 中由元素2，带入求解a 即可； （2）根据A ∪B=A ，B ⊆A ，建立关系即可求解实数a 的取值范围．此题考查了并，交集及其运算，熟练掌握并交集的定义是解本题的关键．讨论思想．17.【答案】解：（1）根据题意，f （x ）=ax+b4x 2+1是定义在R 上的奇函数，且f （1）=1，则f （-1）=-f （1）=-1，则有{a+b5=1−a+b5=−5，解可得a =5，b =0； （2）由（1）的结论，f （x ）=5x4x 2+1， 设12＜x 1＜x 2，f （x 1）-f （x 2）=5x 14x 12+1-5x 24x 22+1=5(1−4x 1x 2)(x 1−x 2)(4x 12+1)(4x 22+1)，又由12＜x 1＜x 2，则（1-4x 1x 2）＜0，（x 1-x 2）＜0， 则f （x 1）-f （x 2）＞0，则函数f （x ）在（12，+∞）上单调递减． 【解析】（1）根据题意，由函数的奇偶性分析可得f （-1）=-1，则可得，解可得a 、b 的值； （2）由（1）的结论，f （x ）=，利用作差法分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的性质以及应用，关键是求出a 、b 的值，属于基础题．18.【答案】解：（1）设二次函数f （x ）=ax 2+bx +2，（a ≠0）∴a （x +1）2+b （x +1）+2-ax 2-bx -2=4x -4∴2ax +a +b =4x -4， ∴a =2，b =-6∴f （x ）=2x 2-6x +2；（2）依题意t ＞f （x ）=2x 2-6x +2在x ∈[-1，2]上恒成立， 而2x 2-6x +2的对称轴为x =32∈[-1，2]，所以x =-1时，取最大值10， t ＞10；（3）∵g （x ）=f （x ）-mx =2x 2-6x +2-mx =2x 2-（6+m ）x +2在区间（-1，2）内至少有一个零点，当g （x ）在（-1，2）内无零点时，△=（6+m ）2-16＜0或{−−6−m 2×2≤−1g(−1)≥0或，{−−6−m 2×2≥2g(2)≥0解得：-10≤m ＜-2，因此g （x ）在（-1，2）内至少有一个零点时，m ＜-10，或m ≥-2．【解析】（1）用待定系数法设出二次函数表达式，再代入已知函数方程可解得a ，b ； （2）分离参数后求最值；（3）先求无零点时，m 的范围，再求补集．本题考查了不等式恒成立．属难题．19.【答案】解：（1）t =√1+x +√1−x ，可得t 2=2+2√1−x 2，由0≤1-x 2≤1，可得2≤t 2≤4，又t ≥0可得√2≤t ≤2，即t 的取值范围是[√2，2]；（2）由（1）可得√1−x 2=t 2−22， 即有h （t ）=at +t 2−22，√2≤t ≤2； （3）由h （t ）=12（t +a ）2-1-12a 2，对称轴为t =-a ，当-a ≥2即a ≤-2时，h （t ）在[√2，2]递减，可得最大值M （a ）=h （√2）=√2a ；最小值m （a ）=h （2）=1+2a ，则g （a ）=（√2-2）a -1；当-a ≤√2即a ≥-√2时，h （t ）在[√2，2]递增，可得最大值M （a ）=h （2）=1+2a ；最小值m （a ）=h （√2）=√2a ，则g （a ）=（2-√2）a +1；当√2＜-a ＜2即-2＜a ＜-√2时，h （t ）的最小值为m （a ）=h （-a ）=-1-12a 2，若-1-√22≤a ＜-√2，则h （2）≥h （√2），可得h （t ）的最大值为M （a ）=h （2）=1+2a ， 可得g （a ）=2+2a +12a 2；若-2＜a ＜-1-√22，则h （2）＜h （√2），可得h （t ）的最大值为M （a ）=h （√2）=√2a ， 可得g （a ）=√2a +1+12a 2；综上可得g （a ）={ (√2−2)a −1，a ≤−22+2a +12a 2，−1−√22≤a ＜−√2√2a +1+12a 2，−2＜a ＜−1−√22(2−√2)a +1，a ≥−√2． 【解析】（1）将t=两边平方，结合二次函数的性质可得t的范围；（2）由（1）可得=，可得h（t）的解析式；（3）求得h（t）=（t+a）2-1-a2，对称轴为t=-a，讨论对称轴与区间[，2]的关系，结合单调性可得h（t）的最值，即可得到所求g（a）的解析式．本题考查函数的最值求法，注意运用换元法和二次函数在闭区间上的最值求法，考查分类讨论思想方法和化简整理运算能力，属于中档题．第12页，共12页。

北京市101中学高一上学期期中考试（数学）一 选择题（本题8小题，每小题4分，共32分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）11()2a <的结果 （ ） A. 21a - B. 21a -+ C. 12a - D. 0 2．函数142+--=x x y ，]3,3[-∈x 的值域为 （ ）A. ]5,[-∞B. ],5[+∞C. ]5,20[-D. ]5,4[-3．设713=x，则x 的范围是 （ ） A ．}710|{<<x x B ．}12|{-<<-x x C ．}01|{<<-x x D ．φ. 4．某型号的手机，经两次降价，单价由原来元降到1280元，则这种手机平均降价的百分率是 （ ）A. %10B. %15C. %18D. %205．函数11+=-x a y （01a <≠）的图象必经过点（ ） A.（0,1） B.(1,1) C. (1,2) D.(0,2) 6．幂函数()f x 的图象过点（4，1),2那么1(8)f-的值是 （ ） A. 161 B.641 C.81 D.41 7．函数()3x f x x =+在下列哪个区间内有零点 ( )A ．2,1⎡⎤⎣⎦--B ．1,0⎡⎤⎣⎦-C ．0,1⎡⎤⎣⎦D ．1,2⎡⎤⎣⎦8.(2,1)log ||a x x ∈--<∞2当时，不等式(x+1)恒成立，则实数a 的取值范围是（ )A.[2,+)B.（1，3)C.(1,2)D.(0,1)二 填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．已知集合21{|log ,1},{|(),1},2x A y y x x B y y x ==>==>则A B ⋃=____ 10．如果23(0)()(0)x x y f x x ->⎧=⎨<⎩是奇函数，则()f x =_________.11．已知二次函数2()3f x ax bx a b =+++是偶函数，且定义域为[1,2]a a -，则=+b a __ 12．若154log <a ，则a 的取值范围是_______ 13．函数22log 4)y x x =-（的递增区间是 ______________14．已知函数)(x f 的图像与函数xx g 2)(=的图像关于直线x y =对称，令|),|1()(x f x h -=则关于函数)(x h 有以下命题：（１）)(x h 的图像关于原点)0,0(对称； （２）)(x h 的图像关于y 轴对称；（３）)(x h 的最小值为０； （４）)(x h 在区间)0,1(-上单调递增．中正确的是______三 解答题（本大题共6题，共58分）15（8分）．若,1052==b a 求b a 11+的值.16（8分）．求函数()4323(13)x x f x x =-⋅+-≤≤的最小值和最大值.17（9分）．用定义判断21121)(+-=x x f 的奇偶性.18 (9分)．若方程|1|2(01)x a a a -=<≠有两个不同的实根，利用函数图象求常数a 的取值范围.19（12分）．已知函数)1)((log )(>-=a a a x f x a （1）求()f x 的定义域、值域 ；(2) 判断()f x 的单调性,并证明.2分）．已知)(x f 是定义在]1,1[-上的奇函数，而且(1)1f =-，若0],1,1[≠+-∈n m n m 、时有 ()()0.f m f n m n+<+ （1）证明)(x f 在]1,1[-上为减函数；（2）解不等式:213()()22f x f x +>-;（3）若12)(2+-≤at t x f 对所有∈x ]1,1[-,]1,1[-∈a 恒成立，求实数t 的取值范围.参考答案一 选择题 BCBDCBBC二 填空题9． (0,)+∞10． 23x + 11．13 12． 4(0,)(1,)5⋃+∞ 13． (0,2] 14． 2、4三 解答题15 .1 16.22max min 133[,8]()()33()22433()(8)43,()().24x t f x g t t t t f x g f x g =∈==-+=-+====解：令2则于是： 17.奇函数18．210<<a 19．)lg ,(:),1,(a -∞-∞值域定义域：（1）略2132111223[,2x x -≤+<-≤∴⋃-（）有（）得：222220321120[1,1]202 2.t t t at t at a t t t t ⎧+≥⎪⇔-+≥⇔-≥∈-⇔⎨-≥⎪⎩≤-≥（）当时恒成立或。

北京101中学2020-2021学年上学期高一年级期中考试数学试卷本试卷满分120分，考试时间100分钟一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合A={x|x （x+1）≤0}，集合B={x|-1<x<1}，则A B=（ ） A. {x|-1≤x ≤1} B. {x|-l<x ≤0} C. {x|-1≤x<1} D. {x|0<x<1}2. 命题“∀x>0，0322>-+x x ”的否定是（ ） A. ∃x>0，322-+x x ≤0 B. ∀x>0，322-+x x ≤0 C. ∃x<0，322-+x x ≤0D. ∀x<0，322-+x x ≤03. 已知a ，b ∈R ，则“a>b ”是“ba>1”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知集合A={x|322--x x <0}，B={x|-1<x<m}，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为（ ） A. （3，+∞）B. （-1，3）C. [3，+∞）D. （-1，3]5. 方程组⎩⎨⎧=+=+2,022y x y x 的解集是（ ） A. {（1，-1），（-1，1）}B. {（1，1），（-1，-1）}C. {（2，-2），（-2，2）}D. {（2，2），（-2，-2）}6. 已知a ，b 是方程32-+x x =0的两个实数根，则20192+-b a 的值是（ ） A. 2023 B. 2021 C. 2020D. 20197. 下列函数中，在区间（1，+∞）上为增函数的是（ ） A. y =-3x -1B. y=x2C. y=542+-x xD. y=|x -1|+28. 若不等式|x -3|+|x -4|<a 的解集不为空集，则a 的取值范围是（ ） A. a ≤1 B. a ≥1 C. a<1 D. a>1 9. 已知a>0，b>0，若a+b=4，则（ ）A. 22b a +有最小值B. ab 有最小值C.ba 11+有最大值D.ba +1有最大值10. 设函数)(x f 在（-∞，+∞）上有意义，对任意的x ，y ∈R 且x ≠y ，都有)(|x f -|)(y f<|x -y|，并且函数)1(+x f 的对称中心是（-1，0），若函数)(x g -)(x f =x ，则不等式g )2(2x x -+g )2(-x <0的解集是（ ）A. （-∞，1） （2，+∞）B. （1，2）C. （-∞，-1） （2，+∞）D. （-1，2）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京一零一中2021—2021学年度第一学期期中考试高一数学命题：高一数学备课组 张燕菱一、选择题：1、设全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}1,2,3,4,5P =，{}3,4,5,6,7Q =，那么Q C P U ＝〔 A 〕 A.{}1,2 B.{}3,4,5 C.{}1,2,6,7 D.{}1,2,3,4,52、以下各组函数中，表示同一个函数的是 〔 B 〕 A. 211x y x -=-与1y x =+ B. y x =与log x a y a =()0,1a a >≠C. 1y =与1y x =-D. lg y x =与21lg 2y x = 3、在给定映射()()y x xy y x f +→,,:下，()2,4-的象是 〔 D 〕A.()1,2-B. ()1,2--C. ()2,8--D. ()2,8-4、假设函数()3222f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程32220x x x +--=的一个近似根〔准确到0.1〕为 〔 C 〕B. 1.3C. 1.4D. 1.55、函数(21)log x y -= 〔 D 〕 A. 2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B. 1,1(1,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D. 2,1(1,)3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭6、()()()1,13,1x x f x x x +≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，那么12f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值是 〔 B 〕 A. 25 B. 23 C.29 D. 21-7、函数()x f x e =〔e 为自然对数的底数〕对任意实数x 、y ，都有 〔 A 〕A. ()()()f x y f x f y +=B.()()()f x y f x f y +=+C. ()()()f xy f x f y =D. ()()()f xy f x f y =+8、设偶函数()log a f x x b =-在(),0-∞上是递增函数，那么()1f a +与()2f b +的大小 关系是 〔 C 〕A .()()12f a f b +=+ B.()()12f a f b +<+ C.()()12f a f b +>+二、填空题：9、集合A =},|{},3|2||{a x x B x x <=≤-且AB A =，那么实数a 的取值范围是}5|{>a a10、求函数221y x x =--+，()3,2x ∈-的值域 (]7,2- 11、37222--<x x , 那么x 的取值范围为 4x <12、求值，22log 3321272log 8-⨯+=19293(3)18lg1019-⨯-+=+=13、函数2223()(1)m m f x m m x --=--是幂函数，且在(0,)x ∈+∞上是减函数，那么实数m = 2 2211230m m m m ⎧--=⎪⎨--<⎪⎩，得2m = 14、函数1()42x x f x a +=-⋅〔12x -≤≤〕的最小值为()g a ，那么(2)g =_____4-_______,()g a =______211421421684aa a a a a ⎧-≤⎪⎪⎪-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩____________.三、解答题：15、〔7分〕集合{}73≤≤=x x A ,{}102<<=x x B ,{}a x x C <=,全集为实数集R. 〔1〕求B A ；〔2〕求()B A C R ；〔3〕假设φ≠C A ，求a 的取值范围。

2023-2024学年北京市101中学高一（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |﹣1＜x ≤1}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1}B ．{0，1}C ．{﹣1，0，1}D ．{﹣1，0，1，2}2．设命题p ：∃x ∈Z ，x 2≥2x +1，则p 的否定为（ ） A ．∀x ∉Z ，x 2＜2x +1 B ．∀x ∈Z ，x 2＜2x +1 C ．∃x ∉Z ，x 2＜2x +1D ．∃x ∈Z ，x 2＜2x +13．下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（ ） A ．f （x ）＝3﹣x B ．f （x ）＝x 2﹣3x C ．f （x ）=−1x+1D ．f （x ）＝﹣|x |4．若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则一定有（ ） A ．ac＞bdB ．a d＜bcC ．a c＜bdD ．a d＞bc5．定义在R 上的函数f （x ）在（﹣∞，2）上是单调增函数，且f （x +2）＝f （2﹣x ）对任意x ∈R 恒成立，则（ ）A ．f （﹣1）＜f （3）B ．f （﹣1）＝f （3）C ．f （0）＞f （3）D ．f （0）＝f （3）6．若函数f(x)={3−x 2−1≤x ≤2x −32＜x ≤5，则方程f （x ）＝1的解是（ ）A ．√2或2B ．√2或3C ．√2或4D ．±√2或47．已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m +2）x +m4=0有两个不相等的实数根x 1，x 2.若1x 1+1x 2=4m ，则m 的值是（ ） A ．2B ．﹣1C ．2或﹣1D ．不存在8．已知a ＞0，且关于x 的不等式x 2﹣2x +a ＜0的解集为（m ，n ），则1m+4n的最小值为（ ）A ．92B ．4C ．72D ．29．已知a 1，a 2，b 1，b 2均为非零实数，不等式a 1x +b 1＜0与不等式a 2x +b 2＜0的解集分别为集合M 和集合N ，那么“a 1a 2=b 1b 2”是“M ＝N ”的（ ）A ．充分非必要条件B ．既非充分又非必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件10．已知f （x ）＝x 2﹣2kx +3k 2﹣3k +1（k ∈R ）．以下四个命题： ①对任意实数x ，存在k ，使得f （x ）＞0； ②对任意k ，存在实数x ，使得f （x ）＞0； ③对任意实数k ，x ，均有f （x ）＞0成立； ④对任意实数k ，x ，均有f （x ）＜0成立． 其中所有正确的命题是（ ） A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京一零一中学高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共8 小题）1. 方程- x2-5 x+6=0 的解集为（）.A. 6,1B. 2,3C. 1,6D.2, 3【答案】A【解析】【分析】因式分解法求解一元二次方程．【详解】••• -X2-5X+6=0,••• X2+5X-6=0 ,•••（x+6）（X-1）=0 ,• x=-6 或1 ，方程-X2-5X+6=0的解集为{-6 , 1}.故选：A．【点睛】本题属于简单题，解一元二次方程时注意观察方程特征，本题采用因式分解法会快速精准解题.2. “ x 2”是“ x2 4 ”的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【详解】因为x24 x 2或x 2 ，所以，“ x 2 ”能推出“ x24”，“ x2 4 ”不能推出“ x 2 ”，“ x 2 ”是“ x2 4 ”的充分不必要条件，故选B.3.下列函数中，在区间（1, +8）上为增函数的是（）A . y 3x 1B. y -xC. y x 2 4x 5Dy x 1 2【答案】 D【解析】【分析】结合一次函数，二次函数及反比例函数的图象及图象变换分别进行判断即可. 【详解】由一次函数的性质可知，y =-3x -1在区间(1，+8)上为减函数，故 A 错误；2由反比例函数的性质可知，y = 在区间(1 , +8)上为减函数，x由二次函数的性质可知， y =x 2-4x +5在(-8, 2)上单调递减，在(2 , +8)上单调递增，故 C错误；由一次函数的性质及图象的变换可知， y =| x -1|+2在(1 , +8)上单调递增.故选：D.【点睛】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题.214.已知f (x)是定义在R 上的奇函数，且当 x 0时，f (x) X ,贝V f ()1 B.—49D.—4 【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合函数的解析式和函数的奇偶性确定函数值即可 【详解】由奇函数的性质结合题意可得：2£1£ 11 1 f— f —— — • 2224本题选择A 选项.A. C.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，奇函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力•5.设函数f (x) =4x+丄-1 ( x v 0)，贝U f ( x)( ).xA.有最大值3B.有最小值3C.有最小值5D.有最大值5【答案】D【解析】【分析】1直接利用基本不等式求得函数f(x)=4x+丄-1( x v 0)的最值得答案.x1 1 / 1【详解】当x v 0 时，f (x)=4 x+ -1=-[(-4 x)+ ]-1 2 4x 一1 5 .x x W x当且仅当-4x=- 1，即x=- 1时上式取“=”.x 2•••f(x)有最大值为-5 .故选：D.【点睛】本题考查利用基本不等式求函数的最值，是基础题.6.若函数f (x)ax - ( a€ R)在区间(1 , 2)上有零点，贝y a的值可能是()xA. —2B. 0C. 1D. 3【答案】A【解析】【分析】利用零点存在性定理逐个选项代入验证，即可得到答案a【详解】函数f X x - (a R)的图象在1,2上是连续不断的，逐个选项代入验证，x当a= —2时，f 1 =1— 2v0, f 2 =2—仁0 ,.故f x在区间1,2上有零点，同理，其他选项不符合，故选A.【点睛】本题考查了函数的零点与方程的根的应用，属于基础题.,2]【点睛】本题主要靠考查了分段函数的单调性及其应用,出相应的不等式关系式是解答的关键， 着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8.设函数f (x )在(-^, +m )上有意义，且对于任意的 x , y € R 有| f (x ) -f(y ) | v | x -y |并且函数f (x +1)的对称中心是(-1 ,0),若函数g(x ) -f (x ) =x ,则不等式g(2x -x 2) +g (x -2 )v 0的解集是().A. ,1 2,B. 1,2C. , 1(2,)D. 1,2【答案】A 【解析】 【分析】由已知可知f (x )为奇函数，从而可得g (- x )也为奇函数，然后结合|f (x )-f (y )| v |x -y | ,得7.已知函数f (x)(a 3)x 5,x 1 2a 4是(—8,+^ )上的减函数，贝y a 的取值范围是A. (0 , 3)B. (0 , 3]C. (0 , 2)D. (0【答案】 【解析】 【分析】为R 上的减函数，根据x1和x 1时，f x 均单调递减，且(a 3) 1 52a 1 ，即可求解. 【详解】因为函数f X 为R 上的减函数, 所以当X 1时,f X 递减,即a 3 0，当x 1时，f x 递减，即a 0,且(a 3) 1 5空，解得1综上可知实数a 的取值范围是(0, 2]，故选 D.其中熟练掌握分段的基本性质,,2] g(x) g(y)0，从而可得g(x)单调递增，结合单调性及奇函数的定义可求.x y【详解】由函数f(x+1)的对称中心是(-1 , 0)，可得f(x)的图象关于(0 , 0)对称即f (x)为奇函数，•-f(- x)=-f(x),••• g(x)- f (x)=x,• •• g(x)=f (x)+x,• •• g(- x)= f (- x)- x=-f(x)- x=-g( x),•••对于任意的x, y€ R 有|f (x)- f (y)| < | x-y| , •-1 g(x)- g(y)-( x- y)| < | x-y| ,g x g y x yx y由对任意实数x,y(x y)有g(x) g(y) 0得g(x)单调递增, x y 2••• g(2x-x )+ g(x-2) < 0,2•g(2x-x) < -g(x-2)= g(2- x),2二 X i +2X I +X I X 2=5-5=0 . 故答案为：0.【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、 方程的根，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.110.已知方程ax 2 bx 1 0两个根为，3，则不等式ax 2 bx 1 0的解集为 4【答案】 x - x 3 411.命题“？ x > 0, X 2+2X -3 >0” 的否定是【答案】？ X o > 0, X O 2+2X O -3W0 【解析】 【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论.【详解】命题为全称命题，则命题"？ x >0, X 2+2X -3 >0”的否定是为？ X o >0, X O 2+2X O -3W 0,2故答案为：？ X o >0, X 0 +2X 0- 3<0.【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础.12.已知f (x ), g (x )分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 f (x ) - g (x ) =X 3+X 2+2,【解析】 【分根据韦达定理求出a,b ，代入不等式，解-b1 3-3 【详解】由题意得:a 41 1 c-3a4则不等式可化为：4x 2 11x 3 0本题正确结果：x1 x 341【点睛】本题考查一 元二次方程的根与一元二则f (1) +g (1 )的值等于______________ .【答案】2【解析】【分析】3 2 3 2 由已知可得f (- x)=f(x) , g(- x)=- g(x),结合f (x)- g(x)=x +x +2,可得f (- x)+g(- x)=x +x +2,代入x=-1即可求解.【详解】f(x), g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,••• f (- x)=f(x)，g(- x)=- g(x),••• f(x)- g(x)=x3+x2+2,•f (- x)+ g(- x)=x3+x2+2,则f (1)+ g(1)=-1+1+2=2故答案为：2【点睛】本题主要考查了利用奇函数及偶函数定义求解函数值，属于基础试题.13.若函数f (x) =x2-2 x+1在区间［a, a+2］上的最小值为4,则实数a的取值集合为____________________ 【答案】{-3 , 3}【解析】【分析】的值.根据函数解析式求出对称轴和顶点坐标，画出函数图象，即可求出【详解】因为函数f(x)= X2-2X+1=(X-1)2,所以对称轴为x=1，顶点坐标为(1 , 0).令x2-2 x+1=4 得：x2-2 x-3=0 ,解得：x=-1或3,所以a+2=-1 或a=3,即：a=-3 或3.故答案为：{-3 , 3}【点睛】本题主要考查二次函数的图象，以及利用图象求最值问2x,x a14.已知函数f x x, x a .①若a 0，则函数f x的零点有__________________ 个；②_________________________________________________ 若f x f 1对任意的实数x都成立，则实数a的取值范围是________________________________【解析】 【分析】①把a=0带入，令f （x ）=O ，求解，有几个解就有几个零点; ②分类讨论，令a>0,a=0,a<0分别进行讨论，最后求得当x 0，x=0无解了分类讨论的思想，如何分类，思路清晰是解题的关键，属于较难的题目 求函数零点 方法：【答案】（1）. 2 （2）.1 .. 2,1【详解】 ①当a=0， 2f (x )x x,2x,00当x 0,时，x 22x =°，解得 x=2 或 x=0，②（1）当a1 时，f （ 1 )=1,此时 f (a) 1，不成立,（2 ）当a=1，此时 f （ x ） 的最大值为f （1），所以成立;a 1f (x)x x 2x, x a（3 ）x, x a令 g(x)2 x 2x, x 0x < 2x2 — —x 2x, x 0Q f(x) f(1) 1g(x) 1当x<0时，x 22x 1,x [1 运,0)当x 0 时， x 2 2x 1，恒成立；故a 1 ，综上 1a 1故答案为1 V2,1故有两个零点舍;【点睛】本题考查了函数零点的问题以及恒成立求参数问题,a 的取值范围.本题第二问的求参数主要考查1. 解方程f(x)=O 的根；2. 利用函数零点存在性定理和函数的单调性；3. 利用数形结合，找图像的交点个数 •15.设集合 A ={x ， x -1}， B ={x -5， 1-x ，9}.(1 )若 x =-3，求 A n B ; (2 )若 A n B ={9}，求 A U B. 【答案】(1) {9} (2) x =-3 时，A U B ={-8 , -4 , 4,9} , x =10 时，A U B ={-9 , 5, 9, 100}.【解析】 分析】(1) x =-3时，可求出A ={9 , -4} , B ={-8 , 4, 9}，然后进行交集的运算即可；⑵根据A n B ={9}即可得出x 2=9或x -1=9，再根据集合元素的互异性即可求出x =-3或10 ,从而x =-3时，求出集合A, B,然后求出 A U B; x =10时，求出集合A , B,然后求出A U B即可.16.已知函数f x ax -.x(1 )求定义域，并判断函数 f (x )的奇偶性;(2)若f (1) +f(2) =0,证明函数f (乂)在(0, +7 上的单调性，并求函数 f (x )在区间［1 , 4］上的最值.【答案】(1) x|x 0 ，奇函数 (2)单调递增，证明见详解，最大值-，最小值-1 ;9 , 9} ,• A U B ={-9 , 5 , 9 , 100}.交集、并集的定义及运算，元素与集合的关系，考查了【详解】(1) x =-{-8 , 4, 9},••• A n B ={9}; (2) T A n B ={9},• x 2=9,或 x -1 =3 或 10,x =3时，不满足集由(1)知，x =-3时,-4 , 4, 9},x =10 时，A ={100【点睛】本题考查 计算能力，属于 勺互异性，• x =-3或10, 甘 基2 【解析】【答案】(1)2 m 2 (2)最小值为5，最大值为1(3)1,【分析】(1) 由题意可得，x 丰0,然后检验f (-x )与f (x )的关系即可判断；⑵ 由f (1)+f (2)= a -2+2a -1=0，代入可求a ,然后结合单调性的定义即可判断单调性，再由单调性可求函数f (x )在区间［1，4］上的最大值f (4)，最小值f (1) •即可求解. 【详解】(1)由题意可得，X M 0,故定义域为x|x 0••• f (- x )=2 r:-ax + =- f (x ),X• f (X )奇函数；(2)由 f (1)+ f (2)= a -2+2 a -1=0 ,设 0v X 1V X 2,2 22 贝 y f ( X 1)- f ( X 2)=X 1-X 2 ——一=(X 1-X 2)(1+ --------- ),x 2 x 1XX•' 0 v X 1< X 2,2••• x 仁 X 2< 0, ------- 1 + > 0,X 1X 22•••(X 1-X 2)(1+) <0，即 f (X 1) <f (X 2),XX 2•-f (x )在(0 , +8 )上的单调递增，•函数f (X )在区间［1 , 4］上的最大值为f (4)=-，最小值为f (1)=-1 •2【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的判断及函数单调性的定义在单调性判断中的应用， 属于函数性质的简单应用.17. 一元二次方程 x 2-m )+m +m 1=0有两实根 X 1, X 2.(1 )求m 的取值范围； (2) 求 X 1?X 2 的最值；(3) 如果X 1 X 2 >J5，求m 的取值范围.二 a =1, f (x )=x --,x【解析】 【分析】（1） 一元二次方程有两实根，则判别式0;（2） 利用根与系数的关系求得两根之积，从而化简求最值；⑶ 利用公式（x i x 2）4X I X 2（X i x 2）得到|x i -X 2|的表达式从而解不等式求m__ _22【详解】(1)，••一元二次方程 x -mx^m+m1=0有两实根x i , X 2.2 2•••△ =(- m -4( m +m 1) >0,2从而解得：-2 m -.3(2) •一元二次方程 x 2-mx^n i +rn 仁0有两实根 x i , X 2.15 •由根与系数关系得：x ! x 2 m 2 m i (m -)2 -,242又由(i)得：-2 m 3,i从而解得：i v m<,32又由⑴得： 2 m -,3i ,【点睛】本题考点是一元二次方程根与系数的关系， 考查用根与系数的关系将根的特征转化为不等式组求解参数范围， 本题解法是解决元二次方程根与系数的关系一个基本方法，应好好体会其转化技巧.I8.某住宅小区为了使居民有一个优雅舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABC ［和EFGI 构成的面积为200平方米的十字型地-I 2-■ ■(m -)I , 4 24从而， X i ?X 2最小值为- 最大值为1.4，(3) • 兀二次方程2x -mxnm +m i=0 有两实根X i , X 2. •由根与系数关系得：X-X 2 m, 2 ”x - X 2 m m 1 ,X 2) 4x i x 24 m 2m i >、-,X i 2X 2域.现计划在正方形MNPC上建花坛，造价为4200元/平方米，在四个相同的矩形上（图中E F（1）设总造价为S 元，AD 的边长为x 米，DC 的边长为y 米，试建立S 关于x 的函数关系式; （2 ）计划至少要投入多少元，才能建造这个休闲小区. 【答案】（1） S 4000x 2 40000038000, 0 x 10 .2 ； （2） 118000 元x【解析】 【分析】（1）根据由两个相同的矩形 ABC D 和E FG H 构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米得出AM 的函数表达式，最后建立建立S 与x 的函数关系即得；⑵ 利用基本不等式求出（1）中函数S 的最小值，并求得当x 取何值时，函数S 的最小值即可.2【详解】（1）由题意，有 AIM 200 x ，由AM>0,有 0v x v 10血;4x则 S =4200x 2+210(200- x 2) +80X 2X•••S 关于x 的函数关系式:S =4000x 2+ 40。

北京市一零一中学2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷数 学一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．若集合}{{}1,23A x x B x x =>-=-<<,则A B ⋃=（ ）A ．{}1x x >-B ．{}13x x -<<C ．{}21x x -<<-D ．{}2x x >- 2．已知,,a b c R ∈，且a b >，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．a c b c ->-B ．22a b >C ．11a b <D ．a c b c > 3．已知命题:p x ∃>3，30x x -≤，则p ⌝是（ ）A ．33,0x x x -∀>>B ．33,0x x x -∃>> C ．33,0x x x -≥∀< D ．33,0x x x -≥∃< 4．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）A ．1y x =B ．2(1)y x =- C ．2y x = D ．1y x =-+5．已知,a b 是实数，则“a >0且0b >”是“0ab >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件6．函数241x y x =+的图像大致为（ ） A. B.C. D.7．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程2220x ax a a +++=的两个实数根，则221212x x +=，则a 的值是（ ）A ．3a =B ．2a =-C ．3a =或2a =-D ．3a =-或2a = 8．设0a >，若关于x 的不等式6a x x +≥对(0,)x ∈+∞恒成立，则a 的最小值是（ ）A ．1B. 4 C ．9 D ．169．设()f x 是奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，(1)0f =，则()0f x x<的解集是（ ） A ．{}1001x x x -或<<<<B ．{}101x x x -或<<<C ．{}101x x x -或<<>D ．{}11x x x -或<> 10.设区间[110,),[,1]22A B ==，函数1()23(1),x x A f x x x B⎧+∈⎪=⎨⎪-∈⎩，，若0x A ∈，且0(())f f x A ∈，则0x 的取值范围是（ ）A ．11(,)32B ．1[0,)4C ．3[0,]8 D ．11(,)42二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）11.函数()f x =__________.12.已知集合2{,}A m m =，若1A ∈，则实数m 的值是_________________13．若函数234y x x =--的定义域是[0,]m ，值域是25[,4]4--，请写出一个满足条件的m 的值：____________14.若正实数,a b 满足12a b+=，则ab 的最小值是___________. 15.用max{,}a b 表示,a b 两个实数中的最大值.设2()max{2,35}f x x x x =+-+，则函数()f x 的最小值是________16.设集合22{,,,}A x x a b a N b N x N *==-∈∈∈，则集合A 中的元素从小到大排列的第101个数是_______三、解答题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

北京名校高一数学优质试题汇编（附详解）北京101中学高一（上）期中数 学一、选择题（共8小题，共40分）1.设全集U =R ，{0123}M =,,,，{101}N =-,,，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A .{1}B .{1}-C .{0}D .{01},2.下列函数中与y x =具有相同图象的一个函数是（ ）A .2()y x =B .2y x =C .2x y x = D .33y x =3.已知()f x 为奇函数，当0x >时，2()2f x x x =-+，则()f x 在[31]--,上是（ ）A .增函数，最小值为1-B .增函数，最大值为1-C .减函数，最小值为1-D .减函数，最大值为1-4.已知函数10()(2)0x x f x f x x +≤⎧=⎨->⎩,,，则(3)f 的值等于（ ）A .4B .2C .1D .05.若一次函数()f x ax b =+有一个零点2，则函数2()g x bx ax =-的图像可能是（ ）A .B .C .D .6.已知函数221()3x x y +=，则其单调增区间是（ ） A .(0]-∞, B .(1]-∞-, C .[1)-+∞, D .[2)-+∞,7.已知函数212()321x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩-,,，则函数()()1g x f x =-的零点个数为（ ） A .2 B .3 C .4 D .58.定义在R 上的函数()f x 满足(0)0f =，()(1)1f x f x +-=，1()()52x f f x =，且当1201x x ≤<≤时，12()()f x f x ≤，则1()2017f 等于（ ） A .164 B .132 C .116 D .18 二、填空题（共6小题，共30分）9.计算：1100.753210.064()160.014---++= . 10.已知集合{|210}A x x =+>，{|320}B x x =+≤，则A B = .11.已知函数()y f x =的定义域是[23]-,，则(21)y f x =-的定义域是 .12.函数21()(21)4f x x a x =+-+的值域为[0)+∞,，则实数a 的取值范围是 .13.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(4)(2)f x f x +=-，若当[30]x ∈-,时，()6x f x -=，则(919)f = .14. 某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ）满足函数关系60,264, , 0.kx x t x +⎧=⎨>⎩≤ 且该食品在4C 的保鲜时间是16小时.已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示. 给出以下四个结论：○1 该食品在6C 的保鲜时间是8小时； ○2 当[6,6]x ∈-时，该食品的保鲜时间t 随着x 增大而逐渐减少；○3 到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ○4 到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间. 其中，所有正确结论的序号是 .三、解答题（共5小题，共50分）15.（7分）已知集合2{|150}A x x px =-+=，2{|0}B x x ax b =++=，且{23}A B =,，{3}A B =，求实数p a b ,,的值及集合A B , .16.（10分）已知2()ax b f x x+=是定义在(3][1)b b -∞--+∞,,上的奇函数. （1）若(2)3f =，求a b ,的值;（2）若1-是函数()f x 的一个零点，求函数()f x 在区间[24],的值域.17.（10分）已知二次函数()f x 满足(1)(1)f x f x --=-，其图象过点(0,1)，且与x 轴有唯一交点.（1）求()f x 的解析式;（2）设函数()()(2)g x f x a x =-+，求()g x 在[12],上的最小值()h a .18.（12分）函数2()1ax b f x x +=+是定义在[11]-,上的奇函数，且14()25f =. （1）确定函数()f x 的解析式;（2）判断并用定义证明()f x 在(1,1)-上的单调性;（3）若(13)(1)0f m f m -++≥，求实数m 的所有可能的取值.19.（11分）已知函数2()21g x ax ax b =-++（0a >）在区间[24],上的最大值为9，最小值为1，记()()f x g x =.（1）求实数a b ,的值;（2）若不等式(2)1k f >成立，求实数k 的取值范围;（3）定义在[]p q ,上的函数()x ϕ，设011i i n p x x x x x q-=<<<<<<=，121n x x x -,,将区间[]p q ,任意划分成n 个小区间，如果存在一个常数0M >，使得和式11()()n i i i x x Mϕϕ-=-≤∑恒成立，则称函数()x ϕ为在[]p q ,上的有界变差函数，试判断函数()f x 是否为[04],上的有界变差函数？若是，求M的最小值；若不是，请说明理由.。