信号与系统第一章习题答案

习 题 一 第一章习题解答基本练习题1-1 解 (a) 基频 =0f GCD （15,6）=3 Hz 。

因此，公共周期3110==f T s 。

(b) )30cos 10(cos 5.0)20cos()10cos()(t t t t t f ππππ+==基频 =0f GCD （5, 15）=5 Hz 。

因此，公共周期5110==f T s 。

(c) 由于两个分量的频率1ω=10π rad/s 、1ω=20 rad/s 的比值是无理数，因此无法找出公共周期。

所以是非周期的。

(d) 两个分量是同频率的，基频 =0f 1/π Hz 。

因此，公共周期π==01f T s 。

1-2 解 (a) 波形如图1-2(a)所示。

显然是功率信号。

t d t f TP T TT ⎰-∞→=2)(21lim16163611lim 22110=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰⎰∞→t d t d t d T T T W(b) 波形如图1.2(b)所示。

显然是能量信号。

3716112=⨯+⨯=E J (c) 能量信号 1.0101)(lim101025=-===⎰⎰∞∞---∞→T t ttT e dt edt eE J(d) 功率信号，显然有 1=P W1-3 解 周期T=7 ，一个周期的能量为 5624316=⨯+⨯=E J 信号的功率为 8756===T E P W 1-5 解 (a) )(4)2()23(2t tt δδ=+； (b) )5.2(5.0)5.2(5.0)25(5.733-=-=----t e t e t et tδδδ(c) )2(23)2()3sin()2()32sin(πδπδπππδπ+-=++-=++t t t t 题解图1-2(a) 21题解图1-2(b) 21(d) )3()3()(1)2(-=----t e t t et δδε。

1-6 解 (a) 5)3()94()3()4(2-=+-=+-⎰⎰∞∞-∞∞-dt t dt t t δδ(b) 0)4()4(632=+-⎰-dt t t δ(c) 2)]2(2)4(10[)]42(2)4()[6(63632=+++-=+++-⎰⎰--dt t t dt t t t δδδδ(d)3)3(3)(3sin )(1010=⋅=⎰⎰∞-∞-dt t Sa t dt ttt δδ。

1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。

（2）∞<<-∞=-t et f t,)( （3）)()sin()(t t t f επ=（4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f kε= （10）)(])1(1[)(k k f kε-+=解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t et f t,)(（3）)()sin()(t t t f επ=（4）)(sin )(t t f ε=（5）)f=rt)(sin(t（7）)t=(kf kε(2)（10）)f kεk=(k+-((])11[)1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。

（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε解：各信号波形为（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε（2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε（8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。

1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。

1-5 判别下列各序列是否为周期性的。

如果是，确定其周期。

（2）)63cos()443cos()(2ππππ+++=k k k f（5）)sin(2cos 3)(5t t t f π+=解：1-6 已知信号)(t f 的波形如图1-5所示，画出下列各函数的波形。

信号与系统第三版郑君里课后习题答案第一章习题参考解1，判刑下列信号的类型解：()sin [()];y t A x t = 连续、模拟、周期、功率型信号 。

()()tt y t x ed τττ--∞=⎰连续、模拟、非周期、功率型信号。

()(2y n x n =） 离散、模拟、非周期、功率型信号。

()()y n n x n = 离散、模拟、非周期、功率型信号。

1－6，示意画出下列各信号的波形，并判断其类型。

(1) 0()s in ()x t A t ωθ=+ 连续、模拟、周期、功率型(2) ()t x t A e -= 连续、模拟、非周期、只是一个函数，不是物理量。

(3) ()c o s 0tx t ett -=≥ 连续、模拟、非周期、能量型 (4) ()2112,x t t t =+-≤≤ 连续、模拟、非周期、能量型(5) 4()(),0.5k x k k =≥ 离散、模拟、非周期、能量型(6) 0().j kx k eΩ= 离散、模拟、周期、功率型()s i n [()];()()()(2);()()tt y t A x t y t x ed y n x n y n n x n τττ--∞====⎰1－6题，1－4图。

t=-pi:1/200:pi;y1=1.5*sin(2*t+pi/6);subplot(4,1,1),plot(t,y1),title('1.5sin(2*t+pi/6)'),gridy2=2*exp(-t);subplot(4,1,2),plot(t,y2),title('2exp(-t)'),gridt1=0:1/200:2*pi;y3=10*exp(-t1).*cos(2*pi*t1);subplot(4,1,3),plot(t1,y3),title('10exp(-t1)cos(2*pi*t1)'),grid t2=-1:1/200:2;y4=2*t2+1;subplot(4,1,4),plot(t2,y4),title('2x+1'),grid习题1－6 5－6题n=0:pi/10:2*pi;y=(0.8).^n;subplot(4,1,1),stem(n,y,'fill'),title('(0.8)^n'),gridn1=0:pi/24:2*pi;y1=cos(2*pi*n1);y2=sin(2*pi*n1);subplot(4,1,2),stem3(y1,y2,n1,'fill'),title('exp[2*pi*n1'),gridsubplot(4,1,4),stem(n1,sin(2*pi*n1),'fill'),title('sin2pin1'),gridsubplot(4,1,3),stem(n1,cos(2*pi*n1),'fill'),title('cos2pin1)'),grid1－8，判断下列系统的类型。

《信号与系统》（第3版）习题解析高等教育目录第1章习题解析 (2)第2章习题解析 (6)第3章习题解析 (16)第4章习题解析 (23)第5章习题解析 (31)第6章习题解析 (41)第7章习题解析 (49)第8章习题解析 (55)第1章习题解析1-1 题1-1图示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？(c) (d)题1-1图解 (a)、(c)、(d)为连续信号；(b)为离散信号；(d)为周期信号；其余为非周期信号；(a)、(b)、(c)为有始（因果）信号。

1-2 给定题1-2图示信号f ( t )，试画出下列信号的波形。

[提示：f ( 2t )表示将f ( t )波形压缩，f (2t)表示将f ( t )波形展宽。

](a) 2 f ( t - 2 ) (b) f ( 2t )(c) f ( 2t)(d) f ( -t +1 )题1-2图解 以上各函数的波形如图p1-2所示。

图p1-21-3 如图1-3图示，R 、L 、C 元件可以看成以电流为输入，电压为响应的简单线性系统S R 、S L 、S C ，试写出各系统响应电压与激励电流函数关系的表达式。

题1-3图解 各系统响应与输入的关系可分别表示为)()(t i R t u R R ⋅= tt i Lt u L L d )(d )(= ⎰∞-=tC C i Ct u ττd )(1)(1-4 如题1-4图示系统由加法器、积分器和放大量为-a 的放大器三个子系统组成，系统属于何种联接形式？试写出该系统的微分方程。

S RS LS C题1-4图解 系统为反馈联接形式。

设加法器的输出为x ( t )，由于)()()()(t y a t f t x -+=且)()(,d )()(t y t x t t x t y '==⎰故有)()()(t ay t f t y -='即)()()(t f t ay t y =+'1-5 已知某系统的输入f ( t )与输出y ( t )的关系为y ( t ) = | f ( t )|，试判定该系统是否为线性时不变系统？解 设T 为系统的运算子，则可以表示为)()]([)(t f t f T t y ==不失一般性，设f ( t ) = f 1( t ) + f 2( t )，则)()()]([111t y t f t f T == )()()]([222t y t f t f T ==故有)()()()]([21t y t f t f t f T =+=显然)()()()(2121t f t f t f t f +≠+即不满足可加性，故为非线性时不变系统。

1-1 分别判断图1-1所示各波形是连续时间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信号？图1-1图1-2解 信号分类如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧--⎩⎨⎧--））（散（例见图数字：幅值、时间均离））（连续（例见图抽样：时间离散，幅值离散））（连续（例见图量化：幅值离散，时间））（续（例见图模拟：幅值、时间均连连续信号d 21c 21b 21a 21图1-1所示信号分别为 （a ）连续信号（模拟信号）； （b ）连续（量化）信号； （c ）离散信号，数字信号； （d ）离散信号；（e ）离散信号，数字信号； （f ）离散信号，数字信号。

1-2 分别判断下列各函数式属于何种信号？（重复1-1题所示问） （1）)sin(t e at ω-； （2）nT e -； （3）)cos(πn ；（4）为任意值）（00)sin(ωωn ；（5）221⎪⎭⎫⎝⎛。

解由1-1题的分析可知： （1）连续信号； （2）离散信号；（3）离散信号，数字信号； （4）离散信号； （5）离散信号。

1-3 分别求下列各周期信号的周期T ： （1）)30t (cos )10t (cos -； （2）j10t e ；（3）2)]8t (5sin [；（4）[]为整数）（n )T nT t (u )nT t (u )1(0n n ∑∞=-----。

解 判断一个包含有多个不同频率分量的复合信号是否为一个周期信号，需要考察各分量信号的周期是否存在公倍数，若存在，则该复合信号的周期极为此公倍数；若不存在，则该复合信号为非周期信号。

（1）对于分量cos (10t )其周期5T 1π=；对于分量cos (30t )，其周期15T 2π=。

由于5π为21T T 、的最小公倍数，所以此信号的周期5T π=。

（2）由欧拉公式)t (jsin )t (cos e t j ωωω+= 即)10t (jsin )10t (cos e j10t +=得周期5102T ππ==。

第一章自测题答案1．已知)()4()(2t u t t f +=，则)(''t f =(t)4δ2u(t)'+ 2．2(2)1()t t d t t δ∞-∞+⋅+-=⎰3=-⋅+⎰∞∞-dt t t t )1()2(2δ。

3．=-⎰∞∞-dt t t e tj ）（0δωoj ωet 。

4．试画出下列各函数式表示的信号图形： （1）0 ),()(001>-=t t t u t f（2）)]4()([3cos )(2--=t u t u t t f π在0到4区间内的6个周期的余弦波，余弦波的周期为2/3。

（3）][sin )(3t u t f π=5．已知f (t )的波形如图1.1所示，求f (2-t )与f (6-2t )的表达式，并画出波形。

答：函数表达式：f(2-t) = [u(t)-u(t-1)]+2[u(t-1)-u(t-2)] f(6-2t)=[u(t-2)-u(t-2.5)]+2[u(t-2.5)-u(t-3)]6．信号f (5-3t )的波形如图1.2所示，试画出f (t )的波形。

答：f(5-3t)左移5/3得到f(-3t)，然后再扩展3倍得到f(-t)，最后反褶可得到f(t)7．对于下述的系统，输入为e (t ), 输出为r (t )，T [e (t )]表示系统对e (t )的响应，试判定下述系统是否为： （1） 线性系统；（2）非时变系统；（3）因果系统；（4）稳定系统：(a) r (t )=T [e (t )]=e (t -2)线性、非时变、因果、稳定系统 (b) r (t )=T [e (t )]=e (-t )线性、时变、非因果、稳定系统 (c) r (t )=T [e (t )]=e (t )cos t 线性、时变、因果、稳定系统 (d) r (t )=T [e (t )]=a e (t )非线性、时不变、因果、稳定系统9. 一线性非时变系统，当输入为单位阶跃信号u (t )时，输出r (t )为 )1()()(t u t u e t r t --+=-，试求该系统对图1.3所示输入e (t )的响应。

《信号与系统》（第四版）习题解析高等教育出版社2007年8月目录第1章习题解析 (2)第2章习题解析 (6)第3章习题解析 (16)第4章习题解析 (24)第5章习题解析 (32)第6章习题解析 (42)第7章习题解析 (50)第8章习题解析 (56)第1章习题解析1-1题1-1图示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？(c) (d)题1-1图解(a)、(c)、(d)为连续信号；(b)为离散信号；(d)为周期信号；其余为非周期信号；(a)、(b)、(c)为有始（因果）信号。

1-2给定题1-2图示信号f( t )，试画出下列信号的波形。

[提示：f( 2t )表示将f( t )波形压t)表示将f( t )波形展宽。

]缩，f(2(a) 2 f( t 2 )(b) f( 2t )t)(c) f(2(d) f( t +1 )题1-2图解以上各函数的波形如图p1-2所示。

图p1-21-3 如图1-3图示，R 、L 、C 元件可以看成以电流为输入，电压为响应的简单线性系统S R 、S L 、S C ，试写出各系统响应电压与激励电流函数关系的表达式。

题1-3图解 各系统响应与输入的关系可分别表示为)()(t i R t u R R ⋅=tt i Lt uL L d )(d )(= ⎰∞-=tC C i Ct u ττd )(1)(1-4 如题1-4图示系统由加法器、积分器和放大量为a 的放大器三个子系统组成，系统属于何种联接形式？试写出该系统的微分方程。

S RS LS C题1-4图解 系统为反馈联接形式。

设加法器的输出为x ( t )，由于)()()()(t y a t f t x -+=且)()(,d )()(t y t x t t x t y '==⎰故有)()()(t ay t f t y -='即)()()(t f t ay t y =+'1-5 已知某系统的输入f ( t )与输出y ( t )的关系为y ( t ) = | f ( t )|，试判定该系统是否为线性时不变系统？解 设T 为系统的运算子，则可以表示为)()]([)(t f t f T t y ==不失一般性，设f ( t ) = f 1( t ) + f 2( t )，则)()()]([111t y t f t f T == )()()]([222t y t f t f T ==故有)()()()]([21t y t f t f t f T =+=显然)()()()(2121t f t f t f t f +≠+即不满足可加性，故为非线性时不变系统。

1-4 分析过程：（1）例1-1的方法：()()()()23232f t f t f t f t →−→−→−− （2）方法二：()()()233323f t f t f t f t ⎡⎤⎛⎞→→−→−−⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦（3）方法三：()()()()232f t f t f t f t →−→−+→−−⎡⎤⎣⎦ 解题过程：（1）方法一：方法二：（1）()−f at 左移0t ：()()()000−+=−−≠−⎡⎤⎣⎦f a t t f at at f t at （2）()f at 右移0t ：()()()000−=−≠−⎡⎤⎣⎦f a t t f at at f t at （3）()f at 左移0t a ：()()000⎡⎤⎛⎞+=+≠−⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦t f a t f at t f t at a （4）()f at 右移0t a ：()()000⎡⎤⎛⎞−−=−+=−⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦t f a t f at t f t at a 故（4）运算可以得到正确结果。

注：1-4、1-5题考察信号时域运算：1-4题说明采用不同的运算次序可以得到一致的结果；1-5题提醒所有的运算是针对自变量t 进行的。

如果先进行尺度变换或者反转变换，再进行移位变换，一定要注意移位量和移位的方向。

1-9 解题过程： （1）()()()2tf t eu t −=− （2）()()()232tt f t ee u t −−=+（3）()()()255ttf t e eu t −−=− （4）()()()()cos 1012tf t et u t u t π−=−−−⎡⎤⎣⎦1-12 解题过程：（（（（注：1-9、1-12题中的时域信号均为实因果信号，即()()()=f t f t u t 1-18 分析过程：任何信号均可分解为奇分量与偶分量之和的形式，即()()()()1e o f t f t f t =+其中，()e f t 为偶分量，()o f t 为奇分量，二者性质如下：()()()()()()23e e o o f t f t f t f t =−=−−()()13∼式联立得()()()12e f t f t f t =+−⎡⎤⎣⎦ ()()()12o f t f t f t =−−⎡⎤⎣⎦ 解题过程：(a-1) (a-2)(a-3)(a-4)f t为偶函数，故只有偶分量，为其本身(b) ()(c-1)(c-2)(c-3)(c-4)(d-1)(d-2)(d-3)(d-4)1-20 分析过程：本题为判断系统性质：线性、时不变性、因果性（1）线性（Linearity）：基本含义为叠加性和均匀性即输入()1x t ，()2x t 得到的输出分别为()1y t ，()2y t ，()()11T x t y t =⎡⎤⎣⎦，()()22T x t y t =⎡⎤⎣⎦，则()()()()11221122T c x t c x t c y t c y t +=+⎡⎤⎣⎦（1c ，2c 为常数）。

第1章 习 题 解 答1-1．判断下列信号是否是周期性的，如果是周期性的，试确定其基波周期（1）()⎪⎭⎫⎝⎛+=43cos 2πt t f 解：对于()k Z ∈()222cos 32cos 322cos 333444f t k t k t k t f t ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴原函数是周期函数，令1k =，则基波周期为23π。

（2）()26sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πt t f解：对于()k Z ∈()()22sin sin 66f t k t k t f t ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∴原函数是周期函数，令1k =，则基波周期为π。

（3）()[]()t u t t f π2cos =解：设其存在周期，令周期为T()()()cos 2f t T t T u t T π+=++⎡⎤⎣⎦在0T ≠的情况下函数不为零的部分发生了平移，故()()f t T f t +≠∴原函数不是周期函数。

（4）())(42π+=t j et f解：对于()k Z ∈())()(())(()224442222j t k j t j t j k f t k eeeef t ππππππ+++++==⨯==∴原函数是周期函数，令1k =，则基波周期为2π。

1-2．求信号())14sin()110cos(2--+=t t t f 的基波周期。

解：cos(101)t +的基波周期为15π， s i n (41)t -的基波周期为12π二者的最小公倍数为π，故())14sin()110cos(2--+=t t t f 的基波周期为π。

1-3．设()3,0<=t t f , 对以下每个信号确定其值一定为零的t 值区间。

（1）()t f -1 （2）()()t f t f -+-21 （3）)()(t f t f --21 （4）()t f 3 （5）()3tf解：（1）()t f -1为()f t 反折后向右平移一个单位得到，故当()2t >-时()10f t -=（2）()2f t -为()f t 反折后向右平移两个单位得到，故当()1t >-时()20f t -=。

第一章信号与系统一、单项选择题X1.1 （北京航空航天大学 2000 年考研题）试确定下列信号的周期：（ 1） x(t )3cos 4t3；（A ） 2（ B ）（ C ）2（D ）2（ 2） x(k ) 2 cosk sin8k 2 cosk642（A ） 8 （ B ） 16 （ C ）2 （D ） 4X1.2 （东南大学 2000 年考研题）下列信号中属于功率信号的是。

（A ） cost (t)（B ） e t (t)（C ） te t (t )t（ D ） eX1.3 （北京航空航天大学 2000 年考研题）设 f(t)=0 ，t<3，试确定下列信号为 0 的 t 值：（1） f(1- t)+ f(2- t)；（A ） t>-2 或 t>-1 （ B ） t=1 和 t=2（C ） t>-1（ D ） t>-2（2） f(1- t) f(2- t) ；（A ） t>-2 或 t>-1 （ B ） t=1 和 t=2（C ） t>-1 （ D ） t>-2（3） ft ；3（A ） t>3 （B ） t=0 （C ） t<9 （D ） t=3X1.4 （浙江大学 2002 年考研题）下列表达式中正确的是 。

（A ） ( 2t )(t)（ B ） ( 2t)1(t)2（C ） ( 2t )2 (t )（ D ）2 (t)1(2 )2X1.5 （哈尔滨工业大学 2002 年考研题）某连续时间系统的输入f( t) 和输出 y(t)满足y(t) f (t ) f (t 1) ，则该系统为。

（A ）因果、时变、非线性 （ B ）非因果、时不变、非线性 （C ）非因果、时变、线性（ D ）因果、时不变、非线性X1.6 （东南大学 2001 年考研题）微分方程 y (t) 3y (t) 2 y(t) f (t 10) 所描述的系统为。

（A）时不变因果系统（B）时不变非因果系统（C）时变因果系统（D）时变非因果系统X1.7 （浙江大学2003 年考研题）y(k) f ( k 1) 所描述的系统不是。