【答案】 ②⑤
例3
已知集合A＝{x|x＝k＋
1 2
，k∈Z}，B＝{x|x＝
1 2
k，k∈
Z}，则A与B的关系为________．
【解析】 方法一：(列举法) 对于集合A，取k＝…，0,1,2,3，…，得 A＝{…，12，32，52，72，…}． 对于集合B，取k＝…，0,1,2,3,4,5，…，得 B＝{…，0，12，1，32，2，52，…}．故A B.
方法二：(特征性质法) 集合A：x＝2k＋2 1(k∈Z)，分子为奇数． 集合B：x＝2k(k∈Z)，分子为整数， ∴A B.
【答案】 A B
探究3 几种等价表示方法(n∈Z)． ①“2n－1”等价于“2n＋1”． ②“2n－1”等价于“4n±1”． ③“4n＋3”等价于“4n－1”等．
思考题3 设集合M＝{x|x＝2k＋1，k∈N*}，N＝{x|x＝2k－
【答案】 相等
题型三 “直观化”判定集合间的关系
例5 (1)设集合A＝{x|x是菱形}，B＝{x|x是平行四边形}，C ＝{x|x是正方形}，指出A，B，C之间的关系．
(2)已知集合A＝{x|1≤x<4}，B＝{x|x<a}，且A B，求实数a 的取值集合．
【解析】 (1)用Venn图表示集合A，B，C，如下图， ∴C A B.
思考题5 已知A＝{x|x＜5}，B＝{x|x＜a}． (1)若B⊆A，求a的取值范围； (2)若A⊆B，求a的取值范围．
【答案】 (1)a≤5，(2)a≥5
题型四 子集的应用 例6 若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且B ⊆A.求由m的可取值组成的集合．
【解析】 A＝{－3,2}， 当m＝0时，B＝∅，有B⊆A. 当m≠0时，方程mx＋1＝0解为x＝－m1 ，又∵B⊆A， ∴－m1 ＝－3或－m1 ＝2，即m＝13或m＝－12. 故所求集合为{0，13，－12}．
其中正确的关系式有________．
【解析】 a2＝5＋2 6＝5＋ 24<5＋5＝( 10)2， ∴a＝ 2＋ 3< 10.∴a是集合M中的一个元素． 又∵2a> 10 ，∴2a不是集合M中的元素．而元素与集合之 间的关系应由“属于或不属于”来描述，∴①是错误的，⑤是 正确；再由{a}是以a为元素的集合，{∅}表示的是以∅为元素的集 合，且集合与集合之间的关系由“包含或不包含”来描述，从 而可以断定③④错误，②正确．
1，k∈N*}，则M，N之间的关系为( )
A．M N
B．M N
C．M⊆N
D．M＝N
【答案】 A
题型二 集合相等
例4 已知A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3n－2，n∈ Z}，则A与B的关系为__________．
【解析】 (1)任取x1∈A，则x1＝3k1＋1＝3(k1＋1)－2，k1＋ 1∈Z.∴x1∈B，故A⊆B.
【误区警示】 本题易漏掉m＝0这种情况，原因是忽略对 空集的讨论．
探究6 (1)解决集合问题时，若遇到“B⊆A，B A(A为非空 集合)”这些条件时，要首先考虑B＝∅这种情况．
(2)在解决有关分类讨论的问题时，根据实际问题分类要恰 当、合理，做到不重复、不遗漏，克服分类讨论问题中的主观 性和盲目性．
(2)将数集A表示在数轴上(如下图)，要满足A B，表示数a的 点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边，所以所求a的集合 为{a|a≥4}．
探究5 (1)数形ຫໍສະໝຸດ 合形象、直观、有利于呈现集合之间的关 系，使问题变得简洁而清晰，因此要善于运用它解决问题．
(2)用不等式表示的集合之间的关系往往用数轴(数形结合)的 方法解决．
答：(1)0≠∅，0是数，∅是集合； (2)0∉∅，∅不含任何元素； (3)∅ {0}.
题型一 子集与真子集的概念
例1 填写下表，并回答问题
原集合
子集 子集的个数
∅
________ ________
{a} {a，b}
________ ________ ________ ________
{a，b，c} ________ ________
由此猜想，含n个元素的集合的所有子集的个数是多少？真 子集的个数及非空真子集个数呢？
【答案】
原集合
子集
子集的个数
∅
∅
1
{a}
∅，{a}
2
{a，b}
∅，{a}，{b}，{a，b}
4
∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，
{a，b，c}
8
{a，c}，{b，c}，{a，b，c}
猜想：含n个元素的集合的子集共有2n个，真子集有2n－1 个，非空真子集有2n－2个．
集合间的包含关系
要点1 子集 (1)理解子集的三种语言： ①文字语言：对于两个集合A与B，若集合A的 任何一个元素 都是集合B的元素，则称A是B的子集．
②符号语言：若x∈A⇒x∈B，则A⊆B(或B⊇A)． ③图形语言(Venn图)．
(2)子集的性质： ①A⊆A. ②若A⊆B，B⊆C，则A ⊆ C.即子集具有传递性． ③∅⊆A.即空集是任何集合的子集． 要点2 集合相等 (1)若A ⊆ B，且B ⊆ A，则A＝B. (2)证明A＝B，只要证A⊆B，且 B⊆A .
要点3 真子集 (1)若集合A⊆B，但存在元素x ∈ B，且x ∉ A，则A B. (2)空集是 任何非空 集合的真子集，即∅ A(A非空)． (3)性质：若A B，B C，则A C. 要点4 空集 不含任何元素的集合；{x|x2－x＋1＝0}＝∅；{x∈N|x＋2＝0} ＝∅.
1．集合A＝{x|x≤1}与集合B＝{1,0}之间有包含关系吗？
【解析】 (1)集合{1,2}中的元素1,2都是集合{1,2,3}的元 素，而集合{1,2,3}中的元素3不是集合{1,2}的元素，故 {1,2} {1,2,3}正确；
(2)∵3∉{1,2,4}，∴{1,2,3}⊆{1,2,4}错误； (3)任何一个集合是它本身的子集，因此{a}⊆{a}正确； (4)∅中没有任何元素，而{0}中有一个元素，两者不相等， 故∅＝{0}错误；
探究1 熟练写出给定集合的子集是学生必须掌握的基本 功．
思考题1 已知集合M满足{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，写出集合 M.
【答案】 M＝{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}， {1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．
例2 判断下列关系是否正确． (1){1,2} {1,2,3}； (2){1,2,3}⊆{1,2,4}； (3){a}⊆{a}; (4)∅＝{0}； (5)∅ {0}; (6)∅⊆∅.
答：因为B中的元素1,0都满足小于等于1，故满足包含关 系，即B⊆A.
2．若A⊆B，则A的元素一定是B的元素的一部分，对吗？
答：不对．A的元素是B的一部分或是B的全部． 3．“⊆”与“≤”一样吗？ 答：不一样．“⊆”专表示集合的关系；“≤”表示代数式 间的关系．
4．(1)0＝∅吗？(2)0∈∅吗？(3)∅________{0}．
(2)任取x2∈B，则x2＝3n2－2，n2∈Z. ∵3n2－2＝3(n2－1)＋1，n2－1∈Z， ∴x2∈A，∴B⊆A. 由(1)(2)可知A＝B.
【答案】 A＝B
探究4 若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 思考题4 集合X＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，Y＝{y|y＝4k±1，k ∈Z}，则X与Y的关系是________．
(5)空集是任何非空集合的真子集，因此∅ {0}正确； (6)空集是任何集合的子集，因此∅⊆∅正确．
探究2 要注意区分“∈与⊆”，“⊆与 ”．“∈”表示 元素与集合之间的从属关系，而“⊆”表示集合之间的包含关 系，“⊆”与“ ”均表示集合间的包含关系，但后者是前者 “≠”情形时的包含情况．
思考题2 设a＝ 2＋ 3，M＝{x|x≤ 10}，给出下列关系： ①a⊆M；②M⊇{a}；③{a}∈M；④{∅}∈{a}；⑤2a∉M.
思考题6 在例6中，若B A，其它条件不变，求m的可取值 组成的集合．
【解析】 ∵A＝{－3,2}，而B中至多有一个元素，若B⊆ A，则必有B A.故求解过程与例6相同．
【答案】 {0，13，－12}
