概率第3章课件

例3.1.1 在1, 2, 3, 4 中随机取出一数 X , 再随机地从 1~X中取 一数Y ，求( X , Y )的联合分布律。 解: X , Y 的所有可能取值均为1, 2, 3, 4, X 的分布律为:
练习： ( X , Y ) 的联合分布函数为
−2 x −3 y ⎧ − − 1 e 1 e x ≥ 0, y ≥ 0 ) ( ) ⎪( F ( x, y ) = ⎨ 0 其他 ⎪ ⎩
⎧1 − e −2 x x ≥ 0 FX (x ) = ⎨ 其他 ⎩ 0
⎧1 − e −3 y y ≥ 0 FY ( y ) = ⎨ 其他 ⎩ 0
设G ⊂ R2,面积为 S( G ),若二维随机变量(X , Y )的 联合概率密度为： ⎧ 1 ( x , y )∈ G ⎪ f ( x , y ) = ⎨ S (G ) ⎪ 其他 ⎩ 0 则称( X , Y )在G上服从均匀分布。记为(X,Y)~U(G)
二 维 均 匀 分 布
( X , Y )在G上服从均匀分布,设D ⊂ G 则有
例3.1.6
例3.1.7
二 维 正 态 分 布
五.二维正态分布
定义：二维随机变量( X ,Y )的联合概率密度为：
2 ⎧ ⎡ x − μ1 ) ( 1 1 ⎪ ⎢ f ( x, y ) = exp ⎨ − 2 2 2 σ 2 1− ρ ) ⎢ 2πσ 1σ 2 1 − ρ 1 ⎪ ⎣ ⎩ ( 2 x − μ1 )( y − μ2 ) ( y − μ2 ) ⎤ ⎫ ( ⎪ ⎥ −2ρ + ⎬ x ∈ R, y ∈ R 2 σ 1σ 2 σ2 ⎥ ⎦⎪ ⎭
P {( X , Y ) ∈ D } =
∫∫
D
S (D ) 1 dxdy = S (G ) S (G )
回忆一维均匀分布: X ~U( a , b ), ( c , d ) ⊂( a , b ), 则
d − c ( c , d ) 的长度 = P {c < X ≤ d } = b − a ( a , b ) 的长度
其中μ1 , μ2 , σ 1 , σ 2 , ρ 均为常数, 且σ 1 > 0, σ 2 > 0, ρ < 1 称(X, Y )服从二维正态分布，记为
2 2 (X, Y) ~ N ( μ1 , σ 1 ; μ2 ,σ 2 ; ρ)
随机点（X,Y） 的分布特点：
f ( x, y)
中间多，四周少
μ
1
y
F ( x2 , y )
o x1
y
x2
x
(2) 非负有界性： 0≤F(x , y) ≤1
x →−∞
lim F ( x , y ) = 0, lim F ( x , y ) = 0
y →−∞
F ( x, y)
( x, y)
x →+∞ y →+∞
lim F ( x , y ) = 1
o
x
(3) 右连续性：F(x, y) 分别关于x 或 y为右连续。
⋅⋅⋅
p 1⋅ p 2⋅
⋅⋅⋅ p i⋅ ⋅⋅⋅
p ⋅1
p ⋅2
1
联 合 分 布 律
例3.1.1
例3.1.2
已知二维离散型随机变量( X , Y ) 的联合分布律， 可得随机变量 X , Y 的边缘分布律
P {X = xi } =
∑
+∞ i =1
+∞
j =1
p ij = p i ⋅
ij
i = 1, 2, ...
P Y = yj =
{
} ∑p
= p⋅ j
j = 1, 2, ...
由联合分布律可得( X , Y )的联合分布函数。
F ( x , y ) = P {X ≤ x ,Y ≤ y } =
xi ≤ x y j ≤ y
∑∑p
ij
联 合 分 布 律
思考：能否用边缘分布律来确定 联合分布律，原因是什么？ (参见教材P 66 例3.1.3和例3.1.4) 结论：用边缘分布律不一定能确定联合分布律！ 原因：多维随机变量的联合分布不仅与每个变 量的边缘分布有关，而且还与每个变量之间的 联系有关！
O
μ
2
y
x
根据这种分布特点，现实中哪些变量可认 为服从二维正态分布 ？
二 维 正 态 分 布
例3.1.8
2 2 命题3.1.1 若 ( X , Y ) ～ N (μ1 , σ1 ; μ 2 , σ 2 ; ρ)
则 X~
2 N ( μ1 ,σ 1 ),
Y ~
2 N ( μ 2 ,σ 2 ).
二维正态分布的边缘分布还是正态分布！ 上述命题的逆命题成立吗？为什么？ 事实上，边缘分布都是正态分布，其联合 分布却未必是正态分布 ！
5) X , Y的边缘概率密度为 f X (x) = ∫
y )dy
+∞ ⎡ 证：FX ( x ) = F ( x,+ ∞ ) = ∫ ∫ f ( u,v )dv ⎤du ⎥ -∞ ⎢ ⎣ -∞ ⎦ +∞ ' f X ( x ) = FX ( x ) = ∫ f ( x,v )dv x
FX ( x ) = P{X ≤ x} = P{X ≤ x , Y < +∞} = lim F ( x , y )
y → +∞
也记为F ( x ,+∞)
FY ( y ) = P {Y ≤ y} = P {X < +∞ ,Y ≤ y} = lim F ( x , y )
x → +∞
也记为F ( +∞, y )
反之，能否由边缘分布函数确定联合分布函数？
7
n维随机变量( X1 ,X2 , … , Xn )的联合分布函数 定义：
F ( x 1 , x 2 ,... x n ) = P {X 1 ≤ x 1 , X 2 ≤ x 2 ,... X n ≤ x n }
其中x1 , x2 ,…, xn 为n个任意实数。 由( X1 ,X2 , … , Xn )的联合分布函数, 可确定其中任 意k 个分量的联合分布函数, 称为 k 维边缘分布函数. 例如：
用表格表示联合分布律和边缘分布律
X x1
Y
y1
y2
⋅⋅⋅
y
j
⋅⋅⋅
p i⋅
x2 ⋅⋅⋅ xi ⋅⋅⋅
p⋅ j
p 11 p 21 ⋅⋅⋅ pi1 ⋅⋅⋅
p 12 p 22 ⋅⋅⋅ pi2 ⋅⋅⋅
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
p1 j p2 j ⋅⋅⋅ p ij ⋅⋅⋅
p⋅ j
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
设二维随机变量( X ,Y )的联合概率密度为：
1 f ( x, y) = e 2π
则可计算得
x2 + y2 − 2
(1 + sin x sin y ),
( x, y) ∈ R2
即 X ~ N ( 0 ,1 )， Y ~ N ( 0 ,1 ) 但显然( X ,Y )并不服从二维联合正态分布
f ( x, y)
联 合 概 率 密 度
三.联合概率密度
定义： 二维随机变量( X , Y )的联合分布函数为F( x , y ) 若存在非负函数f ( x , y )，使得对任意实数对( x , y )有
F (x , y ) =
∫ − ∞ ∫ − ∞ f (u , v )dudv
2) ∫
+∞ −∞
x
y
则称(X ,Y )是连续型随机变量， f ( x , y )为( X , Y )的 联合概率密度。 性质：1) f ( x , y ) ≥ 0
− F ( x2 , y1 ) + F ( x1 , y1 )
3. 联合分布函数的性质：
(1) 单调不减性：F(x, y)分别对x , y单调不减。 F ( x1 , y ) y
∀ y ∈ R , x1 < x 2 ⇒ F ( x1 , y ) ≤ F ( x 2 , y )
∀ x ∈ R , y1 < y 2 ⇒ F ( x , y1 ) ≤ F ( x , y 2 )
2) ∫
+∞ +∞ −∞ −∞
∫
f ( x , y )dxdy = 1.
∫∫ f ( x , y )dxdy
G
故面密度可与联合概率密度相对应
联合概率密度曲面 z = f (x, y)
0.2
细沙落入平面区域G 的概率
0.15
0.1
∫∫ f ( x, y )dxdy
G
2 0 -2 -4 -4 0 -2 2 4
FX 1 , X 2 ( x1 , x2 ) = F ( x1 , x2 ,+∞,
FX 1 ( x1 ) = F ( x1 ,+∞,+∞,
,+∞) ,+∞)
思考： 一维分布函数与二维分布函数的联系与区别？
联 合 分 布 律
二.联合分布律
定义： 设二维随机变量( X , Y )至多取可列对数值：
( x i , y j ) i , j = 1 , 2 , ....
-∞
fY ( y ) = ∫
+∞
−∞
f ( x , y )dx
例3.1.3
例3.1.4
例3.1.5
联合概率密度的物理解释 将单位质量的细沙随机洒在x-y平面上， f (x, y)代表x-y平面上（x, y）点处细沙的面密度 则 f (x, y)满足： 问：细沙落入平面 区域G的概率？
1) f ( x , y ) ≥ 0;
记
P X = xi , Y = y j = pij i , j = 1, 2, ....