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1、设)()()(),,(323221321x x x x x x x x x E ∧∨∧∨∧=是布尔代数],,},1,0[{-∧∨上的一个布尔表达式，试写出),,(321x x x E 的析取范式和合取范式。
答： 析取范式：)()()()()(),,(321321321321321321x x x x x x x x x x x x x x x x x x E ∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧= 合取范式：)()()(),,(321321321321x x x x x x x x x x x x E ∨∨∧∨∨∧∨∨∨=2．设P(x)：x 是大象，Q(x)：x 是老鼠，R(x,y)：x 比y 重，则命题“大象比老鼠重”的符号化为答： ∀x ∀y ( (P(x) ∧ Q(x)) → R(x,y))3．设L(x)：x 是演员，J(x)：x 是老师，A(x , y)：x 钦佩y ，命题“所有演员都钦佩某些老师”符号化为（ B ）。
A 、)),()((y x A x L x →∀；B 、))),()(()((y x A y J y x L x ∧∃→∀ ；C 、)),()()((y x A y J x L y x ∧∧∃∀；D 、)),()()((y x A y J x L y x →∧∃∀ 。
4．下列各式中哪个不成立（ A ）。
A 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀∨∀⇔∨∀ ；B 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∃∨∃⇔∨∃；C 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀∧∀⇔∧∀；D 、Q x xP Q x P x ∧∀⇔∧∀)())((。
5．用推理规则证明)()(a G a P ∧⌝是))()((,)(,))()((,)))()(()((x G x S x a S a R a Q x R x Q x P x ↔∀∧⌝∧→∀的有效结论。
谓词逻辑习题1. 将下列命题用谓词符号化。
（1）小王学过英语和法语。
（2）2大于3仅当2大于4。
（3）3不是偶数。
（4）2或3是质数。
（5）除非李键是东北人，否则他一定怕冷。
解：(1) 令)(x P ：x 学过英语，Q(x)：x 学过法语，c ：小王，命题符号化为)()(c Q c P ∧ (2) 令),(y x P ：x 大于y, 命题符号化为)3,2()4,2(P P → (3) 令)(x P ：x 是偶数，命题符号化为)3(P ⌝ (4) 令)(x P ：x 是质数，命题符号化为)3()2(P P ∨(5) 令)(x P ：x 是北方人；)(x Q ：x 怕冷；c ：李键；命题符号化为)()(x P c Q ⌝→ 2. 设个体域}{c b a D ，，=，消去下列各式的量词。
（1）))()((y Q x P y x ∧∃∀ （2）))()((y Q x P y x ∨∀∀（3）)()(y yQ x xP ∀→∀（4）))()((y yQ y x P x ∃→∀，解：(1) 中))()(()(y Q x P y x A ∧∃=，显然)(x A 对y 是自由的，故可使用UE 规则，得到 ))()(()(y Q y P y y A ∧∃=，因此))()(())()((y Q y P y y Q x P y x ∧∃∧∃∀ ，再用ES 规则， )()())()((z Q z P y Q y P y ∧∧∃ ，D z ∈，所以)()())()((z Q z P y Q x P y x ∧∧∃∀（2）中))()(()(y Q x P y x A ∨∀=，它对y 不是自由的，故不能用UI 规则，然而，对)(x A 中约束变元y 改名z ，得到))()((z Q x P z ∨∀，这时用UI 规则，可得：))()((y Q x P y x ∨∀∀ ))()((z Q x P z x ∨∀∀⇔ ))()((z Q x P z ∨∀ （3）略 （4）略3. 设谓词)(y x P ，表示“x 等于y ”，个体变元x 和y 的个体域都是}321{，，=D 。
命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目及参考答案说明：红色标注题目可以暂且不做命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目一、填空1、若P，Q，为二命题，QP→真值为0 当且仅当。
2、命题“对于任意给定的正实数，都存在比它大的实数”令F(x)：x为实数，:),(则命题的逻辑谓词公式yL>xxy为。
3、谓词合式公式)(xP∃∀的前束式x→)(xxQ为。
4、将量词辖域中出现的和指导变元交换为另一变元符号，公式其余的部分不变，这种方法称为换名规则。
5、设x是谓词合式公式A的一个客体变元，A的论域为D，A(x)关于y是自由的，则被称为存在量词消去规则，记为ES。
6．设P，Q 的真值为0，R，S的真值为1，则→∨QP⌝∨⌝的真值→∧⌝(S)))(R()PR(= 。
7．公式P∧)()(的主合取式为∨RSRP⌝∨∧。
8．若解释I的论域D仅包含一个元素，则)(xP∀→∃在I下真值为xP)(xx。
9. P：你努力，Q：你失败。
“除非你努力，否则你将失败”的翻译为；“虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为。
10. 论域D={1，2}，指定谓词P则公式),(x y∀真值x∃yP为。
11.P，Q真值为0 ；R，S真值为1。
则∧wff∧R∨→))∧的真值∨SP))P)((((QR(S为。
12. R⌝))((的主合取式∧RQ∨Pwff→为。
13.设 P（x）：x是素数， E(x)：x 是偶数，O(x)：x是奇数 N (x,y)：x可以整数y。
则谓词)))xyOPy∀的自然语言是→∃wff∧x()(N(,y((x)。
14.谓词)),,(xyzPxz∀的前束∀P∃∧→wff∃y),(,))y(z(uQx(u式为。
二、选择1、下列语句是命题的有（）。
A、明年中秋节的晚上是晴天；B、0>x；+yC、0>xy当且仅当x和y都大于0；D、我正在说谎。
2、下列各命题中真值为真的命题有（）。
A、2+2=4当且仅当3是奇数；B、2+2=4当且仅当3不是奇数；C、2+2≠4当且仅当3是奇数；D、2+2≠4当且仅当3不是奇数；3、下列符号串是合式公式的有（）A、QP⌝∨Q⌝；P∨∧P⇔；B、Q(QP⇒；C、)P∨)(D、)⌝。
命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目及参考答案说明：红色标注题目可以暂且不做命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目一、填空1、若P，Q，为二命题，QP→真值为0 当且仅当。
2、命题“对于任意给定的正实数，都存在比它大的实数”令F(x)：x为实数，y,(x:)L>yx 则命题的逻辑谓词公式为。
3、谓词合式公式)(xP∃∀的前束范式x→)(xxQ为。
4、将量词辖域中出现的和指导变元交换为另一变元符号，公式其余的部分不变，这种方法称为换名规则。
5、设x是谓词合式公式A的一个客体变元，A的论域为D，A(x)关于y是自由的，则被称为存在量词消去规则，记为ES。
6．设P，Q 的真值为0，R，S的真值为1，则→∨QP⌝∨⌝的真值→∧⌝(S)))(R()PR(= 。
7．公式P∧)()(的主合取范式为∨RSRP⌝∨∧。
8．若解释I的论域D仅包含一个元素，则)(→xP∀∃在I下真值为(x)xPx。
9. P：你努力，Q：你失败。
“除非你努力，否则你将失败”的翻译为；“虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为。
10. 论域D={1，2}，指定谓词P则公式),(x y∀真值yPx∃为。
11.P，Q真值为0 ；R，S真值为1。
则PSwff∧R∨∧的真值∨→∧P)())Q((R))(S(为。
12. R⌝))((的主合取范式R∧Q∨Pwff→为。
13.设P（x）：x是素数，E(x)：x 是偶数，O(x)：x是奇数N (x,y)：x可以整数y。
则谓词)))xPyOywff∧∀的自然语言是→∃x))(N(,y((x(。
14.谓词)),,(yxzPxz∀的前束∀P∃∧→wff∃(u),(,))y(zuQx(y范式为。
二、选择1、下列语句是命题的有（）。
A、明年中秋节的晚上是晴天；B、0>x；+yC、0>xy当且仅当x和y都大于0；D、我正在说谎。
2、下列各命题中真值为真的命题有（）。
A、2+2=4当且仅当3是奇数；B、2+2=4当且仅当3不是奇数；C、2+2≠4当且仅当3是奇数；D、2+2≠4当且仅当3不是奇数；3、 下列符号串是合式公式的有（ ）A 、Q P ⇔；B 、Q P P ∨⇒；C 、)()(Q P Q P ⌝∨∧∨⌝；D 、)(Q P ↔⌝。
谓词逻辑测试题及答案一、选择题1. 谓词逻辑中的基本单位是：A. 命题B. 谓词C. 变量D. 连接词2. 在谓词逻辑中，以下哪个是合法的谓词表达式？A. P(x)B. x = yC. ∀x P(x)D. P(x, y)3. 以下哪个是谓词逻辑中的量词？A. ∨B. ∧C. ∀D. →4. 以下哪个命题不是谓词逻辑中的命题？A. ∀x P(x)B. ∃x P(x)C. P(x)D. ¬P(x)5. 谓词逻辑中的“存在量词”用符号表示为：A. ∀B. ∃C. ¬D. →二、简答题6. 解释谓词逻辑中的“全称量词”和“存在量词”的区别。
7. 请用谓词逻辑表达“所有学生都通过了考试”。
8. 给出谓词逻辑中的一个推理例子，并解释其推理过程。
三、证明题9. 证明：如果∀x (P(x) → Q(x)) 且∃x P(x)，则∃x Q(x)。
10. 给出一个谓词逻辑的命题，并构造一个反例来证明它不是普遍有效的。
答案一、选择题1. B. 谓词2. D. P(x, y)3. C. ∀4. C. P(x)5. B. ∃二、简答题6. 在谓词逻辑中，“全称量词”（符号为∀）表示对于所有个体，某个命题都成立；而“存在量词”（符号为∃）表示至少存在一个个体使得某个命题成立。
7. 用谓词逻辑表达“所有学生都通过了考试”可以写作：∀x (Student(x) → Passed(x))，其中 Student(x) 表示 x 是学生，Passed(x) 表示 x 通过了考试。
8. 推理例子：假设有命题∀x (P(x) → Q(x)) 和 P(a)，其中 a 是某个特定的个体。
根据全称量词的定义，对于所有 x，如果 P(x) 成立，则 Q(x) 也成立。
由于 P(a) 成立，根据条件，Q(a) 也必须成立。
这是一个典型的全称量词和存在量词的推理过程。
三、证明题9. 证明：已知∀x (P(x) → Q(x))，即对于所有 x，如果 P(x) 成立，则 Q(x) 也成立。
习题二(参考答案)2.1 在谓词逻辑中将下面命题符号化，）高斯是数学家，但不是文学家。
（1）高斯是数学家，但不是文学家。
P(x):x是数学家. s(x):x是文学家. a:高斯高斯P(a) ÙØs(a) ）如果小张比小李高，小李比小赵高，则小张比小赵高。
（2）如果小张比小李高，小李比小赵高，则小张比小赵高。
P(x,y):x比y高. a:小张. b:小李. c:小赵小赵(p(a,b) Ùp(b,c)) ®p(a,c) ）鱼都会在水里游。
（3）鱼都会在水里游。
P(x)::x是鱼是鱼 R(x)x都会在水里游. "x (P(x) ® R(x)) ）情商比智商更重要。
（4）情商比智商更重要。
P(x,y):x比y更重要. a:情商. b:智商智商P(a,b) ）并不是所有的人都爱看电影。
（5）并不是所有的人都爱看电影。
P(x):x是人. G(x):爱看电影. Ø"x(p(x) ® G(x)) 或$x(p(x) ÙØ G(x)) ）有的人爱吃醋，并且没有不爱美的人。
（6）有的人爱吃醋，并且没有不爱美的人。
P(x):x是人. G(x):x爱吃醋. R(x):x爱美. $x(P(x) ÙG(x)) Ù"x (P(x) ® R(x)) 2.2 利用二元谓词将下面命题符号化。
利用二元谓词将下面命题符号化。
）每列火车都比某些汽车快。
（1）每列火车都比某些汽车快。
P(x,y):x比y快. M(x):x是火车. G(y):y是汽车是汽车"x(M(x) ®$y(G(y) ÙP(x,y)) ）某些汽车比所有火车慢。
（2）某些汽车比所有火车慢。
P(x,y):x比y慢. M(x):x是汽车. G(y):y是火车是火车$x(M(x) Ù"y(G(y) ®P(x,y))) 2.3 在谓词逻辑中将下面命题符号化，要求使用全称量词与存在量词两种方法。
