高考数学第一轮复习 6等差数列与等比数列单元试卷

单元质检六数列(A)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a6=15,S9=99,则等差数列{a n}的公差是()A. B.4 C.-4 D.-32.公比为的等比数列{a n}的各项都是正数,且a3a11=16,则log2a16=()A.4B.5C.6D.73.设等差数列{a n}的前n项和为S n,a1>0,且,当S n取最大值时,n的值为()A.9B.10C.11D.124.已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足:3a1-+3a15=0,且a8=b10,则b3b17=()A.9B.12C.16D.365.设S n是数列{a n}的前n项和,当n≥2时,点(a n-1,2a n)在直线y=2x+1上,且{a n}的首项a1是二次函数y=x2-2x+3的最小值,则S9的值为()A.6B.7C.36D.326.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=x(1-x).若数列{a n}满足a1=,且a n+1=,则f(a11)=()A.2B.-2C.6D.-6二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.(2017湖南长沙一模)若等比数列{a n}的公比为-,则ln(a2 017)2-ln(a2 016)2=.8.(2017辽宁沈阳一模)若等比数列{a n}的公比q>0,且a2=1,a n+2+a n+1=6a n,则{a n}的前4项和S4=.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且a2=5,S4=28.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=(-1)n a n,求数列{b n}的前2n项和T2n.10.(15分)数列{a n}满足a n=6-(n∈N+,n≥2).(1)求证:数列是等差数列;(2)若a1=6,求数列{lg a n}的前999项的和.11.(15分)(2017天津部分区一模)已知正项数列{a n}中,a1=1,a2=2,前n项和为S n,且满足-2(n≥2,n∈N+).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)记c n=,数列{c n}的前n项和为T n,求证:≤T n<.参考答案单元质检六数列(A)1.B解析∵{a n}是等差数列,a6=15,S9=99,∴a1+a9=22,∴2a5=22,a5=11.∴公差d=a6-a5=4.2.B解析由等比中项的性质得a3a11==16,又数列{a n}各项为正,所以a7=4.所以a16=a7q9=32.所以log2a16=5.3.B解析不妨设a6=9t,则a5=11t,故公差d=-2t,其中t>0.因此a10=t,a11=-t,即当n=10时,S n取最大值,故选B.4.D解析由3a1-+3a15=0得=3a1+3a15=3(a1+a15)=3×2a8,即-6a8=0,因为a8=b10≠0,所以a8=6,b10=6,所以b3b17==36.5.C解析由点(a n-1,2a n)在直线y=2x+1上,得2a n=2a n-1+1,a n-a n-1=,故数列{a n}是公差为的等差数列.由函数y=x2-2x+3的最小值为2,得a1=2,故S9=9×2+×9×8×=36.6.C解析设x>0,则-x<0.因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-[-x(1+x)]=x(1+x).由a1=,且a n+1=,得a2==2,a3==-1,a4=.……所以数列{a n}是以3为周期的周期数列,即a11=a3×3+2=a2=2.所以f(a11)=f(a2)=f(2)=2×(1+2)=6.7.ln 2解析ln(a2017)2-ln(a2016)2=ln=ln(-)2=ln2.8.解析∵{a n}是等比数列,∴a n+2+a n+1=6a n可化为a1q n+1+a1q n=6a1q n-1,∴q2+q-6=0.∵q>0,∴q=2.a2=a1q=1,∴a1=.∴S4=.9.解(1)由已知条件可知解得故a n=a1+(n-1)×d=4n-3.(2)由(1)可得b n=(-1)n a n=(-1)n(4n-3),则T2n=-1+5-9+13-17+…+(8n-3)=4×n=4n.10.(1)证明∵(n≥2),∴数列是等差数列.(2)解∵是等差数列,且,d=.∴(n-1)=.∴a n=.∴lg a n=lg(n+1)-lg n+lg3.设数列{lg a n}的前999项的和为S,则S=999lg3+(lg2-lg1+lg3-lg2+…+lg1000-lg999)=999lg3+lg1000=3+999lg3.11.(1)解由-2(n≥2,n∈N+),得+2S n+1S n-1+=4,即(S n+1+S n-1)2=(2S n)2,由数列{a n}的各项为正数,得S n+1+S n-1=2S n,所以数列{S n}为等差数列,由a1=1,a2=2,得S1=a1=1,S2=a1+a2=3,则数列{S n}的公差为d=S2-S1=2,所以S n=1+(n-1)×2=2n-1.当n≥2时,a n=S n-S n-1=(2n-1)-(2n-3)=2,而a1=1不适合上式,所以数列{a n}的通项公式为a n=(2)证明由(1)得c n=,则T n=c1+c2+c3+…+c n=+…+.另一方面,T n=是关于n的增函数,则T n≥T1=,因此,≤T n<.。

2019-2020年高三数学一轮复习 专项训练 等差、等比综合问题（含解析）1、 已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.解 (1)设{a n }的公差为d .由题意，得a 211＝a 1a 13，即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )．于是d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，所以d ＝－2或0(舍去)．故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n 2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n . 2、已知数列{a n }是公差为2的等差数列，它的前n 项和为S n ，且a 1＋1，a 3＋1，a 7＋1成等比数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和T n . 解 (1)由题意，得a 3＋1＝a 1＋5，a 7＋1＝a 1＋13，所以由(a 3＋1)2＝(a 1＋1)·(a 7＋1)得(a 1＋5)2＝(a 1＋1)·(a 1＋13)解得a 1＝3，所以a n ＝3＋2(n －1)，即a n ＝2n ＋1.(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，则S n ＝n (n ＋2)，1S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－2n ＋3n ＋n ＋.考点二：数列与函数、不等式的综合应用1、设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意n ∈N *，函数f (x )＝(a n －a n ＋1＋a n ＋2)x ＋a n ＋1cos x －a n ＋2sin x 满足f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)由题设可得，对任意n ∈N *，f ′(x )＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1sin x －a n ＋2cos x . f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1＝0， 即a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故{a n }为等差数列．由a 1＝2，a 2＋a 4＝8，解得数列{a n }的公差d ＝1，所以a n ＝2＋1·(n －1)＝n ＋1.(2)由b n ＝＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1＋12n ＋1＝2n ＋12n ＋2， 知S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2n ＋2·n n ＋2＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝n 2＋3n ＋1－12n . 2、已知正项数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和S n 满足a n ＝S n ＋S n －1(n ≥2)．(1)求证：{S n }为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为T n ，若对任意的n ∈N *，不等式4T n ＜a 2－a 恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)因为a n ＝S n ＋S n －1，所以S n －S n －1＝S n ＋S n －1， 即S n －S n －1＝1，所以数列{S n }是首项为1，公差为1的等差数列，得S n ＝n ，所以a n ＝S n ＋S n －1＝n ＋(n －1)＝2n －1(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝1也适合，所以a n ＝2n －1.(2)因为1a n a n ＋1＝1n －n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， 所以，T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15 ＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1.∴T n ＜12， 要使不等式4T n ＜a 2－a 恒成立，只需2≤a 2－a 恒成立，解得a ≤－1或a ≥2，故实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．考点：数列综合练习题1．公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且－3a 1，－a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4＝( )．A ．－20B ．0C ．7D ．40解析 记等比数列{a n }的公比为q (q ≠1)，依题意有－2a 2＝－3a 1＋a 3，－2a 1q ＝－3a 1＋a 1q 2，即q2＋2q －3＝0，(q ＋3)(q －1)＝0，又q ≠1，因此有q ＝－3，则S 4＝1×[1－－4]1＋3＝－20.答案 A2．若－9，a ，－1成等差数列，－9，m ，b ，n ，－1成等比数列，则ab ＝( )．A ．15B ．－15C ．±15D ．10解析 由已知得a ＝－9－12＝－5，b 2＝(－9)×(－1)＝9且b <0，∴b ＝－3，∴ab ＝(－5)×(－3)＝15.答案 A3．数列{a n }满足a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，则满足S n >1 025的最小n 值是( )．A ．9B ．10C ．11D ．12解析 因为a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)，所以a n ＋1＝2a n ，a n ＝2n －1，S n ＝2n－1，则满足S n >1 025的最小n 值是11.答案 C4．已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )． A ．35 B ．33 C ．31 D ．29解析 设数列{a n }的公比为q ，则由等比数列的性质知， a 2·a 3＝a 1·a 4＝2a 1，即a 4＝2.由a 4与2a 7的等差中项为54知，a 4＋2a 7＝2×54， ∴a 7＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2×54－a 4＝14.∴q 3＝a 7a 4＝18，即q ＝12. ∴a 4＝a 1q 3＝a 1×18＝2，∴a 1＝16，∴S 5＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝31. 答案 C5．设y ＝f (x )是一次函数，若f (0)＝1，且f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，则f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )等于( )．A ．n (2n ＋3)B ．n (n ＋4)C ．2n (2n ＋3)D ．2n (n ＋4)解析 由题意可设f (x )＝kx ＋1(k ≠0)，则(4k ＋1)2＝(k ＋1)×(13k ＋1)，解得k ＝2，f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2n ＋1)＝2n 2＋3n .答案 A6．已知实数a 1，a 2，a 3，a 4构成公差不为零的等差数列，且a 1，a 3，a 4构成等比数列，则此等比数列的公比等于________．解析 设公差为d ，公比为q .则a 23＝a 1·a 4，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，解得a 1＝－4d ，所以q ＝a 3a 1＝a 1＋2d a 1＝12.答案 127．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________．解析 每天植树棵数构成等比数列{a n }，其中a 1＝2，q ＝2.则S n ＝a 1－q n 1－q ＝2(2n －1)≥100，即2n ＋1≥102.∴n ≥6，∴最少天数n ＝6. 答案 6。

2020年高考数学（理）总复习：等差数列与等比数列题型一 等差、等比数列的基本运算 【题型要点】方程思想在等差(比)数列的基本运算中的运用等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含a 1、d (或q )、n 、a n 与S n 这五个量，如果已知其中的三个，就可以求其余的两个．其中a 1和d (或q )是两个基本量，所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量，然后根据通项公式，求和公式构建这两者的方程组，通过解方程组求其值，这也是方程思想在数列问题中的体现．【例1】等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2a 5＝2a 3，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5等于( )A ．29B ．31C ．33D ．36【例2】．{}a n 是公差不为0的等差数列，满足a 24＋a 25＝a 26＋a 27，则该数列的前10项和S 10等于( )A ．－10B ．－5C ．0D ．5【例3】．已知递增数列{a n }对任意n ∈N *均满足a n ∈N *，aa n ＝3n ，记b n ＝a 2·3n －1(n ∈N *)，则数列{b n }的前n 项和等于( )A ．2n ＋nB ．2n ＋1－1 C.3n ＋1－3n2D.3n ＋1－32题组训练一 等差、等比数列的基本运算1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 5＝4，S 15＝60则a 20等于( ) A ．4 B ．6 C ．10 D ．122．在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝36，则a 6等于( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．33．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 3＝30，S 4＝120，设b n ＝1＋log 3a n ，那么数列{b n }的前15项和为( )A ．152B ．135C ．80D ．16 题型二 等差、等比数列的性质及应用 【题型要点】(1)解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．(2)等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．【例4】已知数列{a n }，{b n }满足b n ＝log 2a n ，n ∈N *，其中{b n }是等差数列，且a 8·a 2 008＝14，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2 015等于( ) A ．log 22 015B ．2 015C ．－2 015D ．1 0082．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝10，S 12＝130，则S 8等于( ) A ．－30 B ．40 C ．40或－30D ．40或－503．等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，前n 项和为S n ，则当n ∈N *时，S n －1S n的最大值与最小值之和为( )A ．－23B ．－712C.14D.56题组训练二 等差、等比数列的性质及应用1．在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2－7x ＋12＝0的两根，则a 1a 17a 9的值为( )A ．2 3B ．4C ．±2 2D ．±4 2．设公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，－217<d <－19，则当S n 取最大值时n 的值为________．3．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 016＋a 2 017＞0，a 2 016·a 2 017＜0，则使前n 项和S n＞0成立的最大正整数n 是( )A ．2 016B ．2 017C ．4 032D ．4 033题型三 等差、等比数列的综合问题 【题型要点】关于等差、等比数列的综合问题多属于两者运算的综合题以及相互之间的转化，关键是求出两个数列的基本量：首项和公差(或公比)，灵活运用性质转化条件，简化运算，准确记忆相关的公式是解决此类问题的关键．【例3】已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6. (1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ恒成立，求实数λ的取值范围．题组训练三 等差、等比数列的综合问题已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝n⎪⎭⎫⎝⎛21，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ； (2)求T 2n .题型四 数列与其他知识的交汇 【题型要点】数列在中学教材中既有相对独立性，又有较强的综合性，很多数列问题一般转化，特殊数列求解，一些题目常与函数、向量、三角函数、解析几何等知识交汇结合，考查数列的基本运算与应用．【例4】 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 2 016OC →，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，则S 2 016等于( )A ．1 007B ．1 008C ．2 015D ．2 016题组训练四 数列与其他知识的交汇1．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为( )A.12B.32C ．1D ．－322．已知各项都为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，存在两项a m ，a n 使得 a m ·a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )A.32B.53C.256D.433．艾萨克·牛顿(1643年1月4日－1727年3月31日)英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f (x )的零点时给出一个数列{}x n 满足x n ＋1＝x n －f (x n )f ′(x n )，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)有两个零点1,2，数列{}x n 为牛顿数列，设a n ＝ln x n －2x n －1，已知a 1＝2，x n >2，则{}a n 的通项公式a n ＝________.【专题训练】 一、选择题1．等比数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝5，则数列{lg a n }的前10项和等于( ) A ．2 B ．lg 50 C ．10D ．52．在正项等比数列{a n }中，已知a 3a 5＝64，则a 1＋a 7的最小值为( ) A ．64B ．32C ．16D ．83．一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列的项数是( )A ．13B ．12C ．11D ．104．在数列{a n }中，若a 1＝2，且对任意正整数m ，k ，总有a m ＋k ＝a m ＋a k ，则{a n }的前n 项和S n 等于( )A ．n (3n －1)B.n (n ＋3)2C ．n (n ＋1)D.n (3n ＋1)25．记S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和，若S 12－S 6S 6－7·S 6－S 3S 3－8＝0，且正整数m ，n满足a 1a m a 2n ＝2a 35，则1m ＋8n的最小值是( ) A.157 B.95 C.53D.756．数列{}a n 是以a 为首项，b 为公比的等比数列，数列{}b n 满足b n ＝1＋a 1＋a 2＋…＋a n (n ＝1,2，…)，数列{}c n 满足c n ＝2＋b 1＋b 2＋…＋b n (n ＝1,2，…)，若{}c n 为等比数列，则a ＋b 等于( )A. 2 B ．3 C. 5 D ．6二、填空题7．数列{a n }的通项a n ＝n 2·⎪⎭⎫ ⎝⎛-3sin 3cos22ππn n ，其前n 项和为S n ，则S 30＝________. 8．已知数列{a n }满足a 1＝2，且a n ＝2na n －1a n －1＋n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a n ＝________.9．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？( )A ．8日B ．9日C ．12日D ．16日10．数列{log k a n }是首项为4，公差为2的等差数列，其中k >0，且k ≠1.设c n ＝a n lg a n ，若{c n }中的每一项恒小于它后面的项，则实数k 的取值范围为________．三、解答题11．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －3n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)是否存在常数λ，使得数列{a n ＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式a n ；若不存在，请说明理由．12.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n －1＝3(a n －1)，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足a n ＋1＝⎪⎭⎫⎝⎛23a n ·b n ，若b n ≤t 对于任意正整数n 都成立，求实数t 的取值范围．。

高中数学专题复习《数列等差等比数列综合》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1． 【汇编重庆高考理第2题】对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是( )[来源:]139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列2．1 ．（汇编年高考新课标1（理））设n n n A B C ∆的三边长分别为,,n n na b c ,n n nA B C ∆的面积为nS ,1,2,3,n =,若11111,2b c b c a >+=,111,,22n n nnn n n n c a b a a a b c +++++===,则( )A.{S n }为递减数列B.{S n }为递增数列C.{S 2n -1}为递增数列,{S 2n }为递减数列D.{S 2n -1}为递减数列,{S 2n }为递增数列3．是等差数列，S 10>0，S 11<0，则使<0的最小的n 值是（ ） A ．5 B ．6 C ．7D ．8（汇编）4．等差数列和的前n 项和分别为S n 和T n ，对一切自然数n 都有，则等于( )B ．C ．D ．（汇编）5．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有 A.a1＋a101＞0 B.a2＋a100＜0C.a3＋a99＝0D.a51＝516．设25sin1πn n a n =，n n a a a S +++= 21，在10021,,,S S S 中，正数的个数是（ ）A ．25B ．50C ．75D ．1007．数列{a n }是实数构成的等比数列,S n =a 1+a 2+…+a n ,则数列{S n }中A.任意一项都不为零B.必有一项为零C.至多有有限项为零D.可以有无数项为零8．已知数列{a n }的前n 项和S n =3a n -2,那么下面结论正确的是 A.此数列为等差数列 B.此数列为等比数列C.此数列从第二项起是等比数列D.此数列从第二项起是等差数列9．已知等比数列的公比为2，若前4项之和等于1，则前8项之和等于 A.15 B.17 C.19 D.2110．已知等差数列{a n }中的前三项依次为a-1，a ＋1，2a ＋3，则此数列的通项公式为 [ ]． A ．a n =2n-5 B ．a n =2n-3 C ．a n ＝2n-1 D ．a n =2n ＋111．等差数列{}n a 的前三项为1,1,23x x x -++，则这个数列的通项公式为_______12．在等差数列{an}中，若a3+a9+a15+a17=8,则a11等于 A.1 B.－1 C.2 D.－2第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题13．（5分）（汇编•山东）设函数f （x ）=（x ＞0），观察：f 1（x ）=f （x ）=，f 2（x ）=f （f 1（x ））=，f 3（x ）=f （f 2（x ））=，f 4（x ）=f （f 3（x ））=，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n （x ）=f （f n ﹣1（x ））=．14．在等比数列{n a }中，若232a a +=，12133a a +=，则2223a a +的值是 15．若等比数列的前三项依次为33,22,++x x x ，则227-是此数列的第_____项16．在各项均为正数的等比数列}{n a 中，若965=a a ，则1032313log log log a a a +++ 等于_____17．一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺瓦片21块，往下每一层多铺1块，斜面上铺了瓦片19层，共铺了______块瓦片。

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《数列等差等比数列综合》单元过关检测
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第I 卷（选择题）
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得分 一、选择题
1．公比为32等比数列{}n a 的各项都是正数,且31116a a =,则
（ ） A ．4
B ．5
C ．6
D ．7（汇编安徽理）
2．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2110m m m a a a -++-=，2138m S -=,则m =( ) A ．38
B ．20
C ．10
D ．9 （汇编宁夏
海南文）
3．在等比数列{}n a 中，201020078a a =，则公比q 的值为（ ）
（A ） 2
（B ） 3 （C ） 4 （D ） 8(汇编重庆理)
4．已知函数()f x 是定义在R 上不恒为0的函数，且对于任意的实数,a b 满足(2)2f =，。

高三数学第一轮复习单元测试（2）— 《数列》一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且103=++c b a ， 则a = （ ）A ．4B ．2C ．－2D ．－42．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 （ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 3．在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于 （ ）A ．40B ．42C ．43D ．454．在等差数列｛a n ｝中，若a a+a b =12，S N 是数列｛a n ｝的前n 项和，则S N 的值为 （ ） A ．48 B ．54 C ．60 D ．665．设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝ （ ）A ．310B ．13C ．18D ．196．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++=（ ）A ．120B ．105C ．90D ．757．已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若a a 2001+=，且A 、B 、C 三点共线 （该直线不过原点O ），则S 200＝ （ ）A ．100B ．101C ．200D ．2018．在等比数列{}n a 中，12a =，前n 项和为n S ，若数列{}1n a +也是等比数列，则n S 等于（ ）A ．122n +- B ．3n C ．2n D ．31n -9．设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈L ，则()f n 等于（ ）A ．2(81)7n- B ．12(81)7n +- C ．32(81)7n +- D ．42(81)7n +- 10．弹子跳棋共有60棵大小相同的球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体球垛，使剩下的弹子尽可能的少，那么剩下的弹子有 （ ） A ．3 B ．4 C ．8 D ．9 11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12nn S S S T n+++=L ，称n T 为数列1a ，2a ，……，n a 的“理想数”，已知数列1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为2004，那么数列2， 1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为 （ ）A ．2002B ．2004C ．2006D ．200812．已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于（ ）A ．165-B ．33-C ．30-D ．21-二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 13．数列｛a n ｝中，若a 1=1，a n +1=2a n +3 （n ≥1），则该数列的通项a n = .14．=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1110113112111,244)(f f f f x f xx Λ则设 . 15．在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正 三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层， 就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第 一层）分别按右图所示方式固定摆放.从第一 层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以)(n f 表示第n 堆的乒乓球总数，则=)3(f ；=)(n f （答案用n 表示）.16．已知整数对排列如下()()()()()()()()()()()()Λ,4,2,5,1,1,4,2,3,3,2,4,1,1,3,2,23,1,1,2,2,1,1,1， 则第60个整数对是_______________.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）数列{a n }的前n 项和记为S n ，()111,211n n a a S n +==+≥（1）求{a n }的通项公式;（2）等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求T n 18．（本小题满分12分） 设数列}{n a 、}{n b 、}{n c 满足：2+-=n n n a a b ，2132++++=n n n n a a a c （n =1，2，3，…），证明：}{n a 为等差数列的充分必要条件是}{n c 为等差数列且1+≤n n b b （n =1，2，3，…）19．（本小题满分12分）已知数列3021,,,a a a Λ，其中1021,,,a a a Λ是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a Λ是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a Λ是公差为2d 的等差数列（0≠d ）. （1）若4020=a ，求d ；（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a Λ是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？ 20．（本小题满分12分） 某市去年11份曾发生流感，据统计，11月1日该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数. 21．（本小题满分12分）等差数列{}n a 中，12a =，公差d 是自然数，等比数列{}n b 中，1122,b a b a ==．（Ⅰ）试找出一个d 的值，使{}n b 的所有项都是{}n a 中的项；再找出一个d 的值，使{}n b 的项不都是{}n a 中的项（不必证明）；（Ⅱ）判断4d =时，是否{}n b 所有的项都是{}n a 中的项， 并证明你的结论；（Ⅲ）探索当且仅当d 取怎样的自然数时，{}n b 的所有项都是{}n a 中的项，并说明理由． 22．（本小题满分14分）已知数列{n a }中，112--=n n a a （n ≥2，+∈N n ），（1）若531=a ，数列}{n b 满足11-=n n a b （+∈N n ），求证数列{n b }是等差数列； （2）若531=a ，求数列{n a }中的最大项与最小项，并说明理由； （3）（理做文不做）若211<<a ，试证明：211<<<+n n a a ．参考答案（2）1．D ．依题意有22,,310.a c b bc a a b c +=⎧⎪=⎨⎪++=⎩4,2,8.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩2．C ． 3302551520511=⇒⎩⎨⎧=+=+d d a d a ，故选C ． 3．B ． ∵等差数列{}n a 中12a =，2313a a += ∴公差3d =． ∴45613345a a a a d d d ++=+++＝1312a d +＝42． 4．B ． 因为461912a a a a +=+=，所以1999()2a a S +==54，故选B ． 5．A ． 由等差数列的求和公式可得31161331,26153S a d a d S a d +===+可得且0d ≠ 所以6112161527312669010S a d d S a d d +===+，故选A ． 6．B ．12322153155a a a a a ++=⇒=⇒=，()()1232228080a a a a d a a d =⇒-+=，将25a =代入，得3d =，从而()()11121312233103530105a a a a a d ++==+=⨯+=.选B ．7．A ． 依题意，a 1＋a 200＝1，故选A ．8．C ．因数列{}n a 为等比，则12n n a q -=，因数列{}1n a +也是等比数列，则22121122212(1)(1)(1)22(12)01n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a q q q +++++++++=++⇒+=++⇒+=⇒+-=⇒=即2n a =，所以2n S n =，故选择答案C ．9．D ． f （n ）=3(1)432[12]2(81)127n n ++-=--，选D ． 10．B ． 正四面体的特征和题设构造过程，第k 层为k 个连续自然数的和，化简通项再裂项用公式求和.依题设第k层正四面体为(),k k k k k 2213212+=+=++++Λ则前k 层共有()()()()6062121212121222≤++=+++++++k k k k k L ，k 最大为6，剩4，选B ．11．A ．认识信息，理解理想数的意义有，20025014984995002501,5004984995002004500321500321=+++++⨯∴++++=a a a a a a a a ΛΛ，选A ．12．C ．由已知4a ＝2a +2a ＝ -12，8a ＝4a +4a ＝－24,10a =8a +2a = -30，选C ．13．由112332(3)n n n n a a a a ++=+⇔+=+，即133n n a a +++=2，所以数列｛n a ＋3｝是以（1a +3）为首项，以2为公比的等比数列，故n a ＋3=（1a +3）12n -，n a =12n +－3. 14．由()()11=+-x f x f ，整体求和所求值为5．15．2)1()()(111211+==-++-+=⇒+=--+n n a a a a a a n a a n n n n n ΛΛ )(n f 的规律由)2(2)1()1()(≥+==--n n n a n f n f n ，所以22)1()(223)2()3(222)1()2(1)1(222+=--+=-+=-=n n f n f f f f f f Λ所以)]321()321[(21)(222n n n f +++++++++=ΛΛ 6)2)(1(]2)1(6)12)(1([21++=++++=n n n n n n n n 16．观察整数对的特点，整数对和为2的1个，和为3的2个，和为4的3个，和为5的4个，和n 为的 n －1个，于是，借助()21321+=++++n n n Λ估算，取n=10，则第55个整数对为()1,11，注意横坐标递增，纵坐标递减的特点，第60个整数对为()7,517．（1）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥ 又21213a S =+= ∴213a a = 故{a n }是首项为1，公比为3得等比数列 ∴13n n a -=. （2）设{b n }的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b =， 故可设135,5b d b d =-=+又1231,3,9a a a ===由题意可得()()()2515953d d -+++=+解得122,10d d == ∵等差数列{b n }的各项为正，∴0d >，∴2d = ∴()213222n n n T n n n-=+⨯=+18．ο1必要性：设数列}{n a 是公差为1d 的等差数列，则：--=-+++)(311n n n n a a b b )(2+-n n a a =--+)(1n n a a )(23++-n n a a =1d －1d =0，∴1+≤n n b b （n =1，2，3，…）成立； 又2)(11+-=-++n n n n a a c c )(12++-n n a a )(323++-+n n a a =61d （常数）（n =1，2，3，…） ∴数列}{n c 为等差数列.ο2充分性：设数列}{n c 是公差为2d 的等差数列，且1+≤n n b b （n =1，2，3，…）， ∵2132++++=n n n n a a a c ……① ∴432232++++++=n n n n a a a c ……②①－②得：)(22++-=-n n n n a a c c )(231++-+n n a a )(342++-+n n a a =2132++++n n n b b b ∵+-=-++)(12n n n n c c c c 2212)(d c c n n -=-++∴2132++++n n n b b b 22d -=……③ 从而有32132+++++n n n b b b 22d -=……④ ④－③得：0)(3)(2)(23121=-+-+-+++++n n n n n n b b b b b b ……⑤ ∵0)(1≥-+n n b b ，012≥-++n n b b ，023≥-++n n b b ， ∴由⑤得：01=-+n n b b （n =1，2，3，…），由此，不妨设3d b n =（n =1，2，3，…），则2+-n n a a 3d =（常数） 故312132432d a a a a a c n n n n n n -+=++=+++……⑥ 从而3211324d a a c n n n -+=+++31524d a a n n -+=+……⑦ ⑦－⑥得：3112)(2d a a c c n n n n --=-++，故311)(21d c c a a n n n n +-=-++3221d d +=（常数）（n =1，2，3，…）， ∴数列}{n a 为等差数列.综上所述：}{n a 为等差数列的充分必要条件是}{n c 为等差数列且1+≤n n b b （n =1，2，3，…）. 19．（1）3,401010.102010=∴=+==d d a a . （2）())0(11010222030≠++=+=d d d d a a ， ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=432110230d a ，当),0()0,(∞+∞-∈Y d 时，[)307.5,a ∈+∞.（3）所给数列可推广为无穷数列{}n a ，其中1021,,,a a a Λ是首项为1，公差为1的等差数列，当1≥n时，数列)1(1011010,,,++n n n a a a Λ是公差为n d 的等差数列.研究的问题可以是：试写出)1(10+n a 关于d 的关系式，并求)1(10+n a 的取值范围. 研究的结论可以是：由()323304011010d d d d a a +++=+=， 依次类推可得 ()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠--⨯=+++=++.1),1(10,1,11101101)1(10d n d d d d d a n nn Λ 当0>d 时，)1(10+n a 的取值范围为),10(∞+等.20．设第n 天新患者人数最多，则从n+1天起该市医疗部门采取措施，于是，前n 天流感病毒感染者总人数，构成一个首项为20，公差为50的等差数列的n 项和，()()N n ,n n n n n n S n∈≤≤-=⨯-+=3015255021202，而后30－n 天的流感病毒感染者总人数，构成一个首项为()60503050120-=-⨯-+n n ，公差为30，项数为30－n 的等差数列的和，()()()()(),n n n n n n Tn148502445653026050306050302-+-=-⨯--+--=依题设构建方程有，(),n n n n ,T S n n 867014850244565525867022=-+-+-∴=+化简，120588612=∴=+-n ,n n 或49=n （舍），第12天的新的患者人数为 20+（12－1）·50=570人.故11月12日，该市感染此病毒的新患者人数最多，新患者人数为570人.21．（1）0d =时，{}n a 的项都是{}n b 中的项；（任一非负偶数均可）; 1d =时，{}n a 的项不都是{}n b 中的项．（任一正奇数均可）; （2） 4d =时，422(21),n a n n =-=-123n n b -=⨯131 2(21)2n m a -+=⨯-=131(2n m -+=为正整数），{}n b 的项一定都是{}n a 中的项 （3）当且仅当d 取2(*)k k ∈N （即非负偶数）时，{}n b 的项都是{}n a 中的项． 理由是：①当2(*)d k k =∈N 时，2(1)22[1(1)],n a n k n k =+-⋅=+-⋅2n >时，11122112(1)2(C C 1)n n n n n n n b k k k k ------=⋅+=++⋅⋅⋅++，其中112211C C n n n n n k k k-----++⋅⋅⋅+ 是k 的非负整数倍，设为Ak （*A ∈N ），只要取1m A =+即（m 为正整数）即可得n m b a =， 即{}n b 的项都是{}n a 中的项；②当21,()d k k =+∈N 时，23(23)2k b +=不是整数，也不可能是{}n a 的项． 22．（1）1111111121n n n n n a b a a a ---===----，而1111-=--n n a b ，∴11111111=-=-=-----n n n n n a a a b b ．)(+∈N n∴{n b }是首项为251111-=-=a b ，公差为1的等差数列． （2）依题意有nn b a 11=-，而5.31)1(25-=-+-=⋅n n b n ，∴5.311-=-n a n .对于函数5.31-=x y ，在x ＞3.5时，y ＞0，0)5.3(12<--=x y'，在（3.5，∞+） 上为减函数. 故当n ＝4时，5.311-+=n a n 取最大值3. 而函数5.31-=x y 在x ＜3.5时，y ＜0， 0)5.3(12<--=x y'，在（∞-，3.5）上也为减函数．故当n ＝3时，取最小值，3a ＝－1. （3）先用数学归纳法证明21<<n a ，再证明n n a a <+1. ①当1=n 时，211<<a 成立； ②假设当k n =时命题成立，即21<<k a ，当1+=k n 时，1121<<ka )23,1(121∈-=⇒+kk a a ⇒211<<+k a 故当1+=k n 时也成立，综合①②有，命题对任意+∈N n 时成立，即21<<n a . （也可设x x f 12)(-=（1≤x ≤2），则01)(2'>=xx f ， 故=1)1(f 223)2()(1<=<=<+f a f a k k ）.下证： n n a a <+10122)1(21=⋅-<+-=-+kk k k n n a a a a a a ⇒n n a a <+1.。

等差数列、等比数列S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －2d(1)q ≠1，S n ＝a 1－q n 1－q ＝a 1－a n q1－q(2)q ＝1，S n ＝na 1二、经典例题领悟好[例1] (1)(2013·新课标全国Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ． 3B ．4C ．5D ．6(2)(2013·北京高考)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________.[解析] (1)∵{a n }是等差数列，S m －1＝－2，S m ＝0， ∴a m ＝S m －S m －1＝2.∵S m ＋1＝3，∴a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3， ∴d ＝a m ＋1－a m ＝1. 又S m ＝ma 1＋a m2＝m a 1＋2＝0，∴a 1＝－2，∴a m ＝－2＋(m －1)·1＝2，∴m ＝5. (2)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则：由a 2＋a 4＝20得a 1q (1＋q 2)＝20，①由a 3＋a 5＝40得a 1q 2(1＋q 2)＝40.② 由①②解得q ＝2，a 1＝2. 故S n ＝a 1－q n1－q＝－2n1－2＝2n ＋1－2.[答案] (1)C (2)2 2n ＋1－2关于等差等比数列的基本运算，一般通过其通项公式及前n 项和公式构造关于a 1和d 或q 的方程或方程组解决，如果在求解过程中能够灵活运用等差等比数列的性质，不仅可以快速获解，而且有助于加深对等差等比数列问题的认识.注意利用等比数列前n 项和公式求和时，不可忽视对公比q 是否为1的讨论. 三、预测押题不能少1．已知{a n }是递增的等差数列，a 1＝2，a 22＝a 4＋8. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)设等差数列的公差为d ，d >0.由题意得，(2＋d )2＝2＋3d ＋8，d 2＋d －6＝(d ＋3)(d －2)＝0， 得d ＝2.故a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝2＋(n －1)·2＝2n ，得a n ＝2n .(2)b n ＝a n ＋2a n ＝2n ＋22n. S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝(2＋22)＋(4＋24)＋…＋(2n ＋22n)＝(2＋4＋6＋...＋2n )＋(22＋24＋ (22)) ＝＋2n n2＋－4n1－4＝n 2＋n ＋4n ＋1－43.一、基础知识要记牢数列{a n }是等差或等比数列的证明方法：(1)证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法：①利用定义，证明a n ＋1－a n (n ∈N *)为一常数； ②利用中项性质，即证明2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)． (2)证明{a n }是等比数列的两种基本方法： ①利用定义，证明a n ＋1a n(n ∈N *)为一常数； ②利用等比中项，即证明a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2)． 二、经典例题领悟好[例2] 设{a n }是公比不为1的等比数列，其前n 项和为S n ，且a 5，a 3，a 4成等差数列． (1)求数列{a n }的公比；(2)证明：对任意k ∈N *，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列． [解] (1)设数列{a n }的公比为q (q ≠0，q ≠1)， 由a 5，a 3，a 4成等差数列，得2a 3＝a 5＋a 4，即2a 1q 2＝a 1q 4＋a 1q 3.由a 1≠0，q ≠0得q 2＋q －2＝0， 解得q 1＝－2，q 2＝1(舍去)， 所以q ＝－2.(2)证明：法一：对任意k ∈N *，S k ＋2＋S k ＋1－2S k ＝(S k ＋2－S k )＋(S k ＋1－S k ) ＝a k ＋1＋a k ＋2＋a k ＋1 ＝2a k ＋1＋a k ＋1·(－2) ＝0，所以，对任意k ∈N *，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列． 法二：对任意k ∈N *,2S k ＝2a 1－q k1－q，S k ＋2＋S k ＋1＝a 1－q k ＋21－q＋a 1－q k ＋11－q＝a 1－q k ＋2－q k ＋11－q.2S k －(S k ＋2＋S k ＋1)＝2a 1－q k1－q－a 1－q k ＋2－q k ＋11－q＝a 11－q[2(1－q k )－(2－qk ＋2－qk ＋1)]＝a 1q k 1－q(q 2＋q －2)＝0， 因此，对任意k ∈N *，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列．判断一个数列是等差等比数列，还有通项公式法及前n 项和公式法，但不作为证明方法；若要判断一个数列不是等差等比数列，只需判断存在连续三项不成等差等比数列即可；a 2n＝a n －1a n ＋1n ≥2，n ∈N *是{a n }为等比数列的必要而不充分条件，也就是要注意判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0. 三、预测押题不能少2．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝a (a ≠0)，a n ＋2＝p ·a 2n ＋1a n(其中p 为非零常数，n ∈N *)．(1)判断数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是不是等比数列； (2)求a n .解：(1)由a n ＋2＝p ·a 2n ＋1a n ，得a n ＋2a n ＋1＝p ·a n ＋1a n.令c n ＝a n ＋1a n，则c 1＝a ，c n ＋1＝pc n . ∵a ≠0，∴c 1≠0，c n ＋1c n＝p (非零常数)， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是等比数列． (2)∵数列{c n }是首项为a ，公比为p 的等比数列， ∴c n ＝c 1·pn －1＝a ·pn －1，即a n ＋1a n＝ap n －1. 当n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝(ap n －2)×(ap n －3)×…×(ap 0)×1＝a n －1p2322n n -+.∵a 1满足上式，∴a n ＝a n －1p2322n n -+，n ∈N *.一、基础知识要记牢二、经典例题领悟好[例3] (1)(2013·长春市调研)在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝( ) A ．11 B ．12 C ．14 D ．16(2)(2013·辽宁高考)下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题： p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( ) A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 1，p 4[解析] (1)设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12可得q 9＝3，a n －1a n a n＋1＝a 31q3n －3＝324，因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14. (2)因为d >0，所以a n ＋1>a n ，所以p 1是真命题．因为n ＋1>n ，但是a n 的符号不知道，所以p 2是假命题．同理p 3是假命题．由a n ＋1＋3(n ＋1)d －a n －3nd ＝4d >0，所以p 4是真命题． [答案] (1)C (2)D解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解；应牢固掌握等差、等比数列的性质，特别是等差数列中若“m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ”这一性质与求和公式S n ＝n a 1＋a n2的综合应用.三、预测押题不能少3．(1)设数列{a n }是公差d <0的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 6＝5a 1＋10d ，则S n 取最大值时，n ＝( ) A ．5 B ．6C ．5或6D ．6或7解析：选C 由题意得S 6＝6a 1＋15d ＝5a 1＋10d ，所以a 6＝0，故当n ＝5或6时，S n 最大． (2)已知等比数列{a n }中，a 4＋a 8＝－2，则a 6(a 2＋2a 6＋a 10)的值为( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．－9解析：选A ∵a 4＋a 8＝－2，∴a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝a 6a 2＋2a 26＋a 6a 10＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝(a 4＋a 8)2＝4.(3)设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40＝( ) A ．150 B ．－200C ．150或－200D ．400或－50解析：选A 依题意，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，故S 20＝－20或S 20＝30.又S 20>0，因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40，则S 40＝S 30＋S 30－S 202S 20－S 10＝70＋40220＝150.数列在中学教材中既有相对独立性，又有较强的综合性，很多数列问题一般转化为特殊数列求解，一些题目常与函数、向量、三角函数、解析几何等知识交汇结合，考查数列的基本运算与应用．一、经典例题领悟好[例1] (2013·湖南五市十校联合检测)已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且对任意的正数x ，y 都有f (x ·y )＝f (x )＋f (y )，若正数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足f (S n ＋2)－f (a n )＝f (3)(n ∈N *)，则a n 为( )A ．2n －1B ．nC ．2n －1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1[解析] 由题意知f (S n ＋2)＝f (a n )＋f (3)(n ∈N *)，∴S n ＋2＝3a n ，S n －1＋2＝3a n －1(n ≥2)，两式相减得，2a n ＝3a n －1(n ≥2)．又n ＝1时，S 1＋2＝3a 1＝a 1＋2，∴a 1＝1，∴数列{a n }是首项为1，公比为32的等比数列，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.[答案] D本题考查了抽象函数的一些性质，利用其性质把函数问题转化为数列问题，即S n ＋2＝3a n ，利用关系式判断{a n }为等比数列，问题得以解决. 二、预测押题不能少1．设数列{a n }满足a 1＋2a 2＝3，且对任意的n ∈N *，点列{P n (n ，a n )}恒满足P n P n ＋1,＝(1,2)，则数列{a n }的前n 项和S n 为( )A ．n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －43B ．n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －34C ．n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －23D ．n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12 解析：选A 设P n ＋1(n ＋1，a n ＋1)，则P n P n ＋1,＝(1，a n ＋1－a n )＝(1,2)，即a n ＋1－a n ＝2，所以数列{a n }是以2为公差的等差数列．又因为a 1＋2a 2＝3，所以a 1＝－13，所以S n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －43.探究“隐藏”函数后的数列问题．数列是一类特殊函数，可以利用函数性质定义一些新数列，推断这个新数列的一些性质或者判断一个数列是否属于这类数列的问题是近年来新兴起的一类问题．一、经典例题领悟好[例2] (2012·湖北高考)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”，现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f (x )＝x 2；②f (x )＝2x；③f (x )＝|x |；④f (x )＝ln|x |. 则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为( ) A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④学审题 保等比数列函数指：①定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数；②{a n }是等比数列，则{f (a n )}仍是等比数列．[解析] 法一：设{a n }的公比为q .①f (a n )＝a 2n ，∵a 2n ＋1a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n 2＝q 2， ∴{f (a n )}是等比数列．排除B 、D. ③f (a n )＝|a n |，∵|a n ＋1||a n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n ＋1a n ＝|q |， ∴{f (a n )}是等比数列．排除A.法二：不妨令a n ＝2n.①因为f (x )＝x 2，所以f (a n )＝4n .显然{f (2n)}是首项为4，公比为4的等比数列．②因为f (x )＝2x，所以f (a 1)＝f (2)＝22，f (a 2)＝f (4)＝24， f (a 3)＝f (8)＝28，所以f a 2f a 1＝2422＝4≠f a 3f a 2＝2824＝16，所以{f (a n )}不是等比数列．③因为f (x )＝|x |，所以f (a n )＝2n ＝(2)n. 显然{f (a n )}是首项为2，公比为2的等比数列．④因为f (x )＝ln|x |，所以f (a n )＝ln 2n＝n ln 2.显然{f (a n )}是首项为ln 2，公差为ln 2的等差数列． [答案] C本题没有直接指明判断等比数列的有关性质，而是通过新定义将指数函数、对数函数及幂函数、二次函数与数列有机结合，解答本题应迅速脱掉“新定义”的外衣，认清本题的实质是：已知数列{a n }为正项等比数列，判断数列{a 2n }，{2a n }，{|a n |}及{ln|a n |}是否为等比数列问题．二、预测押题不能少2．在本例条件下，其中(1)正比例函数，(2)二次函数，(3)幂函数，(4)指数函数是“保等比数列函数”的是________．解析：(1)若正比例函数f (x )＝kx (k ≠0)，则f a n ＋1f a n ＝ka n ＋1ka n ＝a n ＋1a n＝q ，故函数f (x )＝kx (k ≠0)是“保等比数列函数”．(2)若二次函数f (x )＝kx 2＋bx ＋c (k ≠0且b ，c 不全为0)，则f a n ＋1f a n ＝k a n ＋12＋ba n ＋1＋ck a n2＋ba n ＋c＝k a n 2q 2＋ba n q ＋c k a n 2＋ba n ＋c，不是常数，故函数f (x )＝kx 2＋bx ＋c (k ≠0且b ，c 不全为0)不是“保等比数列函数”．(3)若幂函数f (x )＝x m(m ≠0)，则f a n ＋1f a n ＝a n ＋1m a nm＝⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n m ＝q m ，故函数f (x )＝x m (m ≠0)是“保等比数列函数”．(4)若指数函数f (x )＝m x(m >0，且m ≠1)，则f a n ＋1f a n ＝ma n ＋1ma n＝ma n ＋1－a n ，不是常数，故函数f (x )＝m x(m >0，且m ≠1)不是“保等比数列函数”．答案：(1)(3)1．(2013·安徽高考)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( ) A ．－6 B ．－4 C ．－2 D ．2解析：选A 根据等差数列的定义和性质可得，S 8＝4(a 3＋a 6)，又S 8＝4a 3，所以a 6＝0.又a 7＝－2，所以a 8＝－4，a 9＝－6.2．(2013·新课标Ⅰ全国)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n 解析：选D 由等比数列前n 项和公式S n ＝a 1－a n q1－q，代入数据可得S n ＝3－2a n . 3．(2013·石家庄市质量检测)已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n >3)，S n ＝100，则n 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11解析：选C 由S n －S n －3＝51得，a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17.又a 2＝3，S n ＝n a 2＋a n －12＝100，解得n ＝10.4．已知函数y ＝a n x 2(a n ≠0，n ∈N *)的图像在x ＝1处的切线斜率为2a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，且当n ＝1时其图像过点(2,8)，则a 7的值为( ) A.12B ．7C ．5D ．6解析：选C 由题知y ′＝2a n x ，∴2a n ＝2a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，∴a n －a n －1＝12.又n ＝1时其图像过点(2,8)，∴a 1×22＝8，得a 1＝2，∴{a n }是首项为2，公差为12的等差数列，a n ＝n 2＋32，得a 7＝5. 5．(2013·山东莱芜模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝3，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，n ∈N *，若数列{c n }满足c n ＝ba n ，则c 2 013＝( )A ．92 012B ．272 012C ．92 013D ．272 013解析：选D 由已知条件知{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为3，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n ，b n ＝3n ，又c n ＝ba n ＝33n ，∴c 2 013＝33×2 013＝272 013.6．(2013·福建高考)已知等比数列{a n }的公比为q ，记b n ＝a m (n －1)＋1＋a m (n －1)＋2＋…＋a m (n －1)＋m ，c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2·…·a m (n －1)＋m (m ，n ∈N *)，则以下结论一定正确的是( )A ．数列{b n }为等差数列，公差为q mB ．数列{b n }为等比数列，公比为q 2mC ．数列{c n }为等比数列，公比为qm 2D ．数列{c n }为等比数列，公比为qm m解析：选C 等比数列{a n }的通项公式a n ＝a 1q n －1， 所以c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2·…·a m (n －1)＋m＝a 1q m (n －1)·a 1q m (n －1)＋1·…·a 1q m (n －1)＋m －1＝a m 1q m (n －1)＋m (n －1)＋1＋…＋m (n －1)＋m －1 ＝a m1q2111(1)+2m m m n ()(+)－－－＝a m1q21(1)+2m mm n ()－－.因为c n ＋1c n ＝221211121m mnm mm m n m ma q a q()+()()+－－－＝qm 2， 所以数列{c n }为等比数列，公比为qm 2. 7．已知等比数列{a n }的各项均为正数，若a 1＝3，前三项的和为21，则a 4＋a 5＋a 6＝________.解析：由已知a 4＋a 5＋a 6＝a 1q 3＋a 1q 4＋a 1q 5＝(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)q 3＝(a 1＋a 2＋a 3)·q 3，即a 4＋a 5＋a 6＝21q 3.由前三项的和为21，且a 1＝3解得q ＝2，故a 4＋a 5＋a 6＝21q 3＝21×8＝168. 答案：1688．(2013·银川模拟)已知数列{a n }满足a n a n ＋1a n ＋2·a n ＋3＝24，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 013＝________.解析：由a n a n ＋1a n ＋2a n ＋3＝24，可知a n ＋1a n ＋2a n ＋3a n ＋4＝24，得a n ＋4＝a n ，所以数列{a n }是周期为4的数列，再令n ＝1，求得a 4＝4，每四个一组可得(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋…＋(a 2 009＋a 2 010＋a 2 011＋a 2 012)＋a 2 013＝10×503＋1＝5 031. 答案：5 0319.(2013·荆州质量检查)如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2,3出现在第2行；数字6,5,4(从左至右)出现在第3行；数字7,8,9,10出现在第4行，依次类推，则(1)按网络运作顺序第n 行第1个数字(如第2行第1个数字为2，第3行第1个数字为4，…)是________；(2)第63行从左至右的第4个数字应是________． 解析：设第n 行的第1个数字构成数列{a n }，则a n ＋1－a n ＝n ，且a 1＝1，∴a n ＝n 2－n ＋22.而偶数行的顺序从左到右，奇数行的顺序从右到左，第63行的第1个数字为1 954，从左至右的第4个数字是从右至左的第60个数字，从而所求数字为1 954＋59＝2 013.答案：n 2－n ＋222 01310．(2013·全国新课标Ⅱ)已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.解：(1)设{a n }的公差为d .由题意，a 211＝a 1a 13，即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )， 于是d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，或d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而S n ＝n2(a 1＋a 3n －2)＝n2·(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *)． (1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式． 解：(1)证明：由S n ＝4a n －3可知， 当n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1.因为S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n ≥2)， 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1， 整理得a n ＝43a n －1，又a 1＝1≠0，所以{a n }是首项为1，公比为43的等比数列．(2)由(1)知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1，由b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，得b n ＋1－b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1.可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －11－43＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1(n ≥2，n ∈N *)．当n ＝1时上式也满足条件．所以数列{b n }的通项公式为b n ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1(n ∈N *)．12．(2013·广东深圳二模)各项均为正数的数列{a n }满足a 2n ＝4S n －2a n －1(n ∈N *)，其中S n 为{a n }的前n 项和． (1)求a 1，a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式； (3)是否存在正整数m 、n ，使得向量a ＝(2a n ＋2，m )与向量b ＝(－a n ＋5,3＋a n )垂直？说明理由．解：(1)当n＝1时，a21＝4S1－2a1－1＝2a2－1，即(a1－1)2＝0，解得a1＝1.当n＝2时，a22＝4S2－2a2－1＝4a1＋2a2－1＝3＋2a2，解得a2＝3或a2＝－1(舍去)．(2)a2n＝4S n－2a n－1，①a2n＋1＝4S n＋1－2a n＋1－1.②②－①得：a2n＋1－a2n＝4a n＋1－2a n＋1＋2a n＝2(a n＋1＋a n)，即(a n＋1－a n)(a n＋1＋a n)＝2(a n＋1＋a n)．∵数列{a n}各项均为正数，∴a n＋1＋a n>0，a n＋1－a n＝2，∴数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列．∴a n＝2n－1.(3)∵a n＝2n－1，∴a＝(2a n＋2，m)＝(2(2n＋3)，m)≠0，b＝(－a n＋5,3＋a n)＝(－(2n＋9)，2(n＋1))≠0，∴a⊥b⇔a·b＝0⇔m(n＋1)＝(2n＋3)(2n＋9)＝[2(n＋1)＋1][2(n＋1)＋7]⇔m(n＋1)＝4(n＋1)2＋16(n＋1)＋7⇔m＝4(n＋1)＋16＋7n＋1.∵m，n∈N*，∴n＋1＝7，m＝4×7＋16＋1，即n＝6，m＝45. ∴当n＝6，m＝45时，a⊥b.。

等比数列考试要求 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系．知识梳理1．等比数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，此时，G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q＝a 1－a n q1－q ，q ≠1.3．等比数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·qn －m(m ，n ∈N *)．(2)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .(3)若等比数列前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列(m 为偶数且q ＝－1除外)． (4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k. (5)若⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，0<q <1，则等比数列{a n }递增．若⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1，则等比数列{a n }递减．常用结论1．若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 也是等比数列． 2．等比数列{a n }的通项公式可以写成a n ＝cq n，这里c ≠0，q ≠0. 3．等比数列{a n }的前n 项和S n 可以写成S n ＝Aq n－A (A ≠0，q ≠1,0)． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)等比数列的公比q 是一个常数，它可以是任意实数．( × ) (2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( × )(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a 1－a n1－a.( × )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( × ) 教材改编题1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 4＝12，则公比q 等于( )A ．－12B ．－2C ．2D ．±12答案 D解析 设等比数列的公比为q ， ∵{a n }是等比数列，a 2＝2，a 4＝12，∴a 4＝a 2q 2，∴q 2＝a 4a 2＝14，∴q ＝±12.2．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 11＋2a 6a 8＋a 3a 13＝25，则a 6＋a 8＝______. 答案 5解析 ∵{a n }是等比数列， 且a 1a 11＋2a 6a 8＋a 3a 13＝25， ∴a 26＋2a 6a 8＋a 28＝(a 6＋a 8)2＝25. 又∵a n >0，∴a 6＋a 8＝5.3．已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________． 答案 1,3,9或9,3,1解析 设这三个数为a q，a ，aq ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋aq ＋aq ＝13，a ·aq ·aq ＝27，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，q ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，q ＝3，∴这三个数为1,3,9或9,3,1.题型一 等比数列基本量的运算例1 (1)(2020·全国Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S na n等于( ) A ．2n－1 B ．2－21－nC ．2－2n －1D ．21－n－1答案 B解析 方法一 设等比数列{a n }的公比为q ， 则q ＝a 6－a 4a 5－a 3＝2412＝2. 由a 5－a 3＝a 1q 4－a 1q 2＝12a 1＝12，得a 1＝1. 所以a n ＝a 1qn －1＝2n －1，S n ＝a 11－q n 1－q ＝2n－1，所以S n a n ＝2n －12n －1＝2－21－n.方法二 设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3q 2－a 3＝12，①a 4q 2－a 4＝24，②②①得a 4a 3＝q ＝2. 将q ＝2代入①，解得a 3＝4. 所以a 1＝a 3q2＝1，下同方法一．(2)(2019·全国Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝________.答案1213解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 因为a 24＝a 6，所以(a 1q 3)2＝a 1q 5， 所以a 1q ＝1，又a 1＝13，所以q ＝3，所以S 5＝a 11－q 51－q＝13×1－351－3＝1213. 教师备选1．已知数列{a n }为等比数列，a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，则a 4＝________. 答案 54或24解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1·q ＝6，6a 1＋a 1·q 2＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝3，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝3，a 4＝a 1·q 3＝2×33＝54或a 4＝3×23＝3×8＝24.2．已知数列{a n }为等比数列，其前n 项和为S n ，若a 2a 6＝－2a 7，S 3＝－6，则a 6等于( ) A ．－2或32 B ．－2或64 C ．2或－32 D ．2或－64答案 B解析 ∵数列{a n }为等比数列，a 2a 6＝－2a 7＝a 1a 7，解得a 1＝－2，设数列的公比为q ，S 3＝－6＝－2－2q －2q 2， 解得q ＝－2或q ＝1，当q ＝－2时，则a 6＝(－2)6＝64， 当q ＝1时，则a 6＝－2.思维升华 (1)等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．(2)等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q 1－q.跟踪训练1 (1)(2020·全国Ⅱ)数列{a n }中，a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，则k 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 C解析 a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ， 令m ＝1，则a n ＋1＝a 1a n ＝2a n ，∴{a n }是以a 1＝2为首项，q ＝2为公比的等比数列， ∴a n ＝2×2n －1＝2n.又∵a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25， ∴2k ＋11－2101－2＝215－25，即2k ＋1(210－1)＝25(210－1)，∴2k ＋1＝25，∴k ＋1＝5，∴k ＝4.(2)(2020·新高考全国Ⅱ)已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8. ①求{a n }的通项公式； ②求a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1.解 ①设{a n }的公比为q (q >1)．由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32(舍去)．所以{a n }的通项公式为a n ＝2n，n ∈N *. ②由于(－1)n －1a n a n ＋1＝(－1)n －1×2n ×2n ＋1＝(－1)n －122n ＋1，故a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n －1·22n ＋1＝23[1－－22n]1－－22＝85－(－1)n 22n ＋35. 题型二 等比数列的判定与证明例2 已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n ，设b n ＝a n n. (1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式． 解 (1)由条件可得a n ＋1＝2n ＋1na n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列， 由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn，即b n ＋1＝2b n ， 又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得a nn＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.教师备选已知各项都为正数的数列{a n }满足a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n . (1)证明：数列{a n ＋a n ＋1}为等比数列； (2)若a 1＝12，a 2＝32，求{a n }的通项公式．(1)证明 a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n ， 所以a n ＋2＋a n ＋1＝3(a n ＋1＋a n )， 因为{a n }中各项均为正数， 所以a n ＋1＋a n >0，所以a n ＋2＋a n ＋1a n ＋1＋a n＝3，所以数列{a n ＋a n ＋1}是公比为3的等比数列． (2)解 由题意知a n ＋a n ＋1＝(a 1＋a 2)3n －1＝2×3n －1，因为a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n ，所以a n ＋2－3a n ＋1＝－(a n ＋1－3a n )，a 2＝3a 1， 所以a 2－3a 1＝0，所以a n ＋1－3a n ＝0， 故a n ＋1＝3a n ， 所以4a n ＝2×3n －1，a n ＝12×3n －1.思维升华 等比数列的三种常用判定方法 (1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则{a n }是等比数列． (3)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n－k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．跟踪训练2 S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知a 4＝9a 2，S 3＝13，且公比q >0.(1)求a n 及S n ；(2)是否存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)易知q ≠1，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝9a 1q ，a 11－q31－q＝13，q >0，解得a 1＝1，q ＝3， ∴a n ＝3n －1，S n ＝1－3n 1－3＝3n－12.(2)假设存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列， ∵S 1＋λ＝λ＋1，S 2＋λ＝λ＋4，S 3＋λ＝λ＋13， ∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)， 解得λ＝12，此时S n ＋12＝12×3n，则S n ＋1＋12S n ＋12＝12×3n ＋112×3n＝3，故存在常数λ＝12，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是以32为首项，3为公比的等比数列．题型三 等比数列的性质例3 (1)若等比数列{a n }中的a 5，a 2019是方程x 2－4x ＋3＝0的两个根，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 2023等于( ) A.20243 B ．1011 C.20232D ．1012答案 C解析 由题意得a 5a 2019＝3， 根据等比数列性质知，a 1a 2023＝a 2a 2022＝…＝a 1011a 1013＝a 1012a 1012＝3，于是a 1012＝123，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 2023 ＝log 3(a 1a 2a 3…a 2023)11011232023=l 3·og 3.2⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12等于( )A ．40B ．60C ．32D ．50 答案 B解析 数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列， 即4,8，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列， ∴S 12＝4＋8＋16＋32＝60. 教师备选1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝__________. 答案 73解析 设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠－1，由等比数列前n 项和的性质可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，∴S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3， 又由已知得S 6＝3S 3， ∴S 9－S 6＝4S 3， ∴S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73. 2．已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________. 答案 2解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2. 思维升华 (1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．跟踪训练3 (1)(2022·安康模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝1，S 30＝7，则S 40等于( )A ．5B ．10C ．15D ．－20 答案 C解析 易知等比数列{a n }的前n 项和S n 满足S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30，…成等比数列．设{a n }的公比为q ，则S 20－S 10S 10＝q 10>0，故S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30，…均大于0. 故(S 20－S 10)2＝S 10·(S 30－S 20)，即(S 20－1)2＝1·(7－S 20)⇒S 220－S 20－6＝0. 因为S 20>0，所以S 20＝3.又(S 30－S 20)2＝(S 20－S 10)(S 40－S 30)， 所以(7－3)2＝(3－1)(S 40－7)，故S 40＝15.(2)在等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝4，a 1a 2·…·a 8＝16，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8的值为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16答案 A解析 ∵a 1a 2…a 8＝16， ∴a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝2，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1a 7＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3＋1a 6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 4＋1a 5＝12(a 1＋a 8)＋12(a 2＋a 7)＋12(a 3＋a 6)＋12(a 4＋a 5) ＝12(a 1＋a 2＋…＋a 8)＝2. 课时精练1．(2022·合肥市第六中学模拟)若等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝1，a 4＋a 5＝8，则a 7等于( ) A.643B ．－643C.323 D ．－323答案 A解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 则a 4＋a 5a 1＋a 2＝q 3＝8， 所以q ＝2，又a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝1， 所以a 1＝13，所以a 7＝a 1×q 6＝13×26＝643.2．已知等比数列{a n }满足a 1＝1，a 3·a 5＝4(a 4－1)，则a 7的值为( ) A ．2B ．4C.92D ．6答案 B解析 根据等比数列的性质得a 3a 5＝a 24， ∴a 24＝4(a 4－1)，即(a 4－2)2＝0，解得a 4＝2. 又∵a 1＝1，a 1a 7＝a 24＝4，∴a 7＝4.3．(2022·开封模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n －1＋r ，则r 的值为( )A.13B ．－13C.19D ．－19 答案 B解析 由等比数列前n 项和的性质知，S n ＝32n －1＋r ＝13×9n ＋r ，∴r ＝－13.4．(2022·天津北辰区模拟)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第四天走的路程为( ) A ．6里 B ．12里 C ．24里 D ．48里答案 C解析 由题意可知，该人所走路程形成等比数列{a n }，其中q ＝12，因为S 6＝a 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，所以a 4＝a 1·q 3＝192×18＝24.5．(多选)设等比数列{a n }的公比为q ，则下列结论正确的是( ) A ．数列{a n a n ＋1}是公比为q 2的等比数列 B ．数列{a n ＋a n ＋1}是公比为q 的等比数列 C ．数列{a n －a n ＋1}是公比为q 的等比数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q的等比数列答案 AD 解析 对于A ，由a n a n ＋1a n －1a n＝q 2(n ≥2)知数列{a n a n ＋1}是公比为q 2的等比数列； 对于B ，当q ＝－1时，数列{a n ＋a n ＋1}的项中有0，不是等比数列； 对于C ，当q ＝1时，数列{a n －a n ＋1}的项中有0，不是等比数列；对于D ，1a n ＋11a n＝a n a n ＋1＝1q， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列．6．(多选)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N *)，则有( ) A ．S n ＝3n －1B ．{S n }为等比数列C ．a n ＝2·3n －1D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －2，n ≥2答案 ABD解析 由题意，数列{a n }的前n 项和满足a n ＋1＝2S n (n ∈N *)， 当n ≥2时，a n ＝2S n －1，两式相减，可得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)＝2a n ， 可得a n ＋1＝3a n ，即a n ＋1a n＝3(n ≥2)， 又a 1＝1，则a 2＝2S 1＝2a 1＝2，所以a 2a 1＝2， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －2，n ≥2.当n ≥2时，S n ＝a n ＋12＝2·3n －12＝3n －1，又S 1＝a 1＝1，适合上式， 所以数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n －1，又S n ＋1S n ＝3n3n －1＝3， 所以数列{S n }为首项为1，公比为3的等比数列，综上可得选项ABD 是正确的．7．(2022·嘉兴联考)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则a 1＝________. 答案 1解析 由于S 3＝7，S 6＝63知公比q ≠1， 又S 6＝S 3＋q 3S 3， 得63＝7＋7q 3. ∴q 3＝8，q ＝2.由S 3＝a 11－q 31－q ＝a 11－81－2＝7，得a 1＝1.8．已知{a n }是等比数列，且a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 7＝________；若公比q ＝13，则a 4＝________.答案 3 81解析 由{a n }是等比数列， 得a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243， 故a 7＝3，a 4＝a 7q3＝81.9．(2022·徐州模拟)已知等差数列{a n }的公差为2，其前n 项和S n ＝pn 2＋2n ，n ∈N *. (1)求实数p 的值及数列{a n }的通项公式；(2)在等比数列{b n }中，b 3＝a 1，b 4＝a 2＋4，若{b n }的前n 项和为T n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n ＋16为等比数列． (1)解 S n ＝na 1＋n n －12d ＝na 1＋n (n －1)＝n 2＋(a 1－1)n ， 又S n ＝pn 2＋2n ，n ∈N *， 所以p ＝1，a 1－1＝2，即a 1＝3， 所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.(2)证明 因为b 3＝a 1＝3，b 4＝a 2＋4＝9， 所以q ＝3， 所以b n ＝b 3·q n －3＝3n －2，所以b 1＝13，所以T n ＝131－3n1－3＝3n－16，所以T n ＋16＝3n 6，又T 1＋16＝12，所以T n ＋16T n －1＋16＝3n 63n －16＝3(n ≥2)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n ＋16是以12为首项，3为公比的等比数列．10．(2022·威海模拟)记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋1.设b n ＝a n ＋1－2a n .(1)求证：数列{b n }为等比数列；(2)设c n ＝|b n －100|，T n 为数列{c n }的前n 项和．求T 10. (1)证明 由S n ＋1＝4a n ＋1， 得S n ＝4a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)， 两式相减得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)， 所以a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)， 所以b n b n －1＝a n ＋1－2a na n －2a n －1＝2a n －2a n －1a n －2a n －1＝2(n ≥2)，又a 1＝1，S 2＝4a 1＋1， 故a 2＝4，a 2－2a 1＝2＝b 1≠0，所以数列{b n }为首项与公比均为2的等比数列． (2)解 由(1)可得b n ＝2·2n －1＝2n，所以c n ＝|2n－100|＝⎩⎪⎨⎪⎧100－2n，n ≤6，2n－100，n >6，所以T 10＝600－(21＋22＋…＋26)＋27＋28＋29＋210－400 ＝200－21－261－2＋27＋28＋29＋210＝200＋2＋28＋29＋210＝1 994.11．(多选)(2022·滨州模拟)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2a n －2(n ≥3)，则下列结论正确的是( )A ．数列{a n ＋1＋a n }为等比数列B ．数列{a n ＋1－2a n }为等比数列C ．a n ＝2n ＋1＋－1n3D ．S 20＝23(410－1)答案 ABD解析 因为a n ＝a n －1＋2a n －2(n ≥3)， 所以a n ＋a n －1＝2a n －1＋2a n －2＝2(a n －1＋a n －2)， 又a 1＋a 2＝2≠0，所以{a n ＋a n ＋1}是等比数列，A 正确；同理a n －2a n －1＝a n －1＋2a n －2－2a n －1＝－a n －1＋2a n －2＝－(a n －1－2a n －2)，而a 2－2a 1＝－1， 所以{a n ＋1－2a n }是等比数列，B 正确； 若a n ＝2n ＋1＋－1n3，则a 2＝23＋－123＝3，但a 2＝1≠3，C 错误；由A 知{a n ＋a n －1}是等比数列，且公比为2，因此数列a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，…仍然是等比数列，公比为4， 所以S 20＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＝21－4101－4＝23(410－1)，D 正确． 12．(多选)(2022·黄冈模拟)设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1<0.则下列结论正确的是( ) A ．0<q <1B ．a 7·a 9>1C ．S n 的最大值为S 9D ．T n 的最大值为T 7答案 AD解析 ∵a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1<0， ∴a 7>1,0<a 8<1， ∴0<q <1，故A 正确；a 7a 9＝a 28<1，故B 错误；∵a 1>1,0<q <1，∴数列为各项为正的递减数列， ∴S n 无最大值，故C 错误； 又a 7>1,0<a 8<1，∴T 7是数列{T n }中的最大项，故D 正确．13．(2022·衡阳八中模拟)设T n 为正项等比数列{a n }(公比q ≠1)前n 项的积，若T 2015＝T 2021，则log 3a 2019log 3a 2021＝________.答案 15解析 由题意得，T 2015＝T 2021＝T 2015·a 2016a 2017a 2018a 2019a 2020a 2021， 所以a 2016a 2017a 2018a 2019a 2020a 2021＝1， 根据等比数列的性质，可得a 2016a 2021＝a 2017a 2020＝a 2018a 2019＝1， 设等比数列的公比为q ，所以a 2016a 2021＝a 20212q 5＝1⇒a 2021＝52,qa 2018a 2019＝a 20192q＝1⇒a 2019＝12,q所以log 3a 2019log 3a 2021＝123523log 1.5log q q14.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，……，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________．答案132解析 由题意，得正方形的边长构成以22为首项,22为公比的等比数列，现已知共含有1023个正方形，则有1＋2＋…＋2n －1＝1023，所以n ＝10，所以最小正方形的边长为⎝⎛⎭⎪⎫2210＝132.15．(多选)在数列{a n }中，n ∈N *，若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”，下列关于“等差比数列”的判断正确的是( ) A ．k 不可能为0B ．等差数列一定是“等差比数列”C ．等比数列一定是“等差比数列”D ．“等差比数列”中可以有无数项为0 答案 AD解析 对于A ，k 不可能为0，正确；对于B ，当a n ＝1时，{a n }为等差数列，但不是“等差比数列”，错误；对于C ，当等比数列的公比q ＝1时，a n ＋1－a n ＝0，分式无意义，所以{a n }不是“等差比数列”，错误；对于D ，数列0,1,0,1,0,1，…，0,1是“等差比数列”，且有无数项为0，正确． 16．已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，数列{a n b n }的前n 项和为2n －1·3n＋12.(1)分别求出数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，∀n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值．解 (1)因为a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列， 所以2a 2＝a 1＋a 3－8，即2a 1q ＝a 1＋a 1q 2－8，所以q 2－2q －3＝0， 所以q ＝3或q ＝－1，又q >1，所以q ＝3， 所以a n ＝2·3n －1(n ∈N *)．因为a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝2n －1·3n＋12，所以a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝2n －3·3n －1＋12(n ≥2)，两式相减，得a n b n ＝2n ·3n －1(n ≥2)，因为a n ＝2·3n －1，所以b n ＝n (n ≥2)，当n ＝1时，由a 1b 1＝2及a 1＝2，得b 1＝1(符合上式)，所以b n ＝n (n ∈N *)．(2)因为数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公比为13的等比数列，所以S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝34⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n <34.因为∀n ∈N *，S n ≤m 恒成立， 所以m ≥34，即实数m 的最小值为34.。

高考数学复习专题训练—等差数列、等比数列一、单项选择题1.(2021·江西景德镇模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且满足a1+a2=7,a m-1+a m=73(m≥3),S m=2 020,则m的值为()A.100B.101C.200D.2022.(2021·山东临沂检测)已知等比数列{a n}的前n项和为S n,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=()A.72B.81C.90D.993.(2021·广东汕头一模)在正项等比数列{a n}中,a2a4=16,a4+a5=24,则数列{a n}的通项公式为()A.a n=2n-1B.a n=2nC.a n=3nD.a n=3n-14.(2021·山东济宁一模)随着新冠疫情防控形势的逐渐好转,某企业开始复工复产.经统计,该企业2020年7月到12月的月产量(单位:吨)逐月增加,且各月的产量成等差数列,其中7月的产量为10吨,12月的产量为20吨,则8月到11月的产量之和为()A.48吨B.54吨C.60吨D.66吨5.(2021·广东深圳一模)在数列{a n}中,a1=3,a m+n=a m+a n(m,n∈N*),若a1+a2+a3+…+a k=135,则k=()A.10B.9C.8D.76.(2021·山东淄博一模)若等差数列{a n}的前n项和为S n,则“S2 020>0,S2 021<0”是“a1 010a1 011<0”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件二、多项选择题7.(2021·山东烟台模拟)已知等差数列{a n}是递增数列,其前n项和为S n,a7=3a5,则下列选项正确的是()A.公差d>0B.a1<0C.当n=5时,S n最小D.当S n>0时,n的最小值为88.(2021·山东临沂一模)已知数列{a n}的前n项和为S n,则下列说法正确的是()A.若S n=n2-1,则{a n}是等差数列B.若S n=2n-1,则{a n}是等比数列C.若{a n}是等差数列,则S99=99a50D.若{a n}是等比数列,且a1>0,q>0,则S2n-1·S2n+1>S2n2三、填空题9.(2021·辽宁沈阳一模)在正项等比数列{a n }中,a 52+2a 6a 8+a 92=100,则a 5+a 9= . 10.(2021·山东胜利一中月考)在等差数列{a n }中,a 1+a 7=12,当a 32+a 42+a 52取得最小值时,a 2020=.11.(2021·江苏南通金沙中学月考)已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,且Sn T n=3n+39n+3,则使得a nb n为整数的正整数n 的值为 .四、解答题12.(2021·福建龙岩模拟)已知数列{a n }是等差数列,且a 3=-6,a 6=0. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若等比数列{b n }满足b 1=a 2,b 2=a 1+a 2+a 3,求数列{b n }的前n 项和S n .13.(2021·全国甲,文18)记S n 为数列{a n }的前n 项和,已知a n >0,a 2=3a 1,且数列{√S n }是等差数列.证明:{a n }是等差数列.14.(2021·河北张家口一模)已知公比小于1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,a 2=14,S 3=78. (1)求a n ; (2)求证:12≤S n <1.15.(2021·山东潍坊一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 2=6,S n =12a n+1+1. (1)证明:数列{S n -1}为等比数列,并求出S n . (2)求数列{1a n}的前n 项和T n .16.(2021·山东烟台一模)在①a 3+a 5=14,②S 4=28,③a 8是a 5与a 13的等比中项这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并给出解答.问题:已知{a n }为公差不为零的等差数列,其前n 项和为S n ,{b n }为等比数列,其前n 项和T n =2n +λ,λ为常数,a 1=b 1, . (1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)令c n =[lg a n ],其中[x ]表示不超过x 的最大整数,求c 1+c 2+c 3+…+c 100的值.答案及解析1.B 解析 由已知得a 1+a 2+a m-1+a m =80.因为{a n }为等差数列,所以a 1+a m =a 2+a m-1,所以a 1+a m =40,所以S m =m (a 1+a m )2=20m=2 020,解得m=101.2.B 解析 由题意及等比数列的性质,可得S 3,S 6-S 3,S 9-S 6成等比数列,则(S 6-S 3)2=S 3(S 9-S 6),即(36-9)2=9(S 9-S 6),解得S 9-S 6=81,即a 7+a 8+a 9=81.3.A 解析 设等比数列{a n }的公比为q ,由题意,可知a n >0,q>0.因为{a n }为等比数列,所以a 2a 4=a 32=16,解得a 3=4. 所以a 4+a 5=a 3(q+q 2)=4(q+q 2)=24, 整理得q 2+q-6=0,解得q=2.所以a n =a 3q n-3=4×2n-3=2n-1.4.C 解析 设2020年7月到12月的月产量(单位:吨)分别为a 1,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6,由题意,可知a 1=10,a 6=20,a 1,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6成等差数列,则a 1+a 6=a 2+a 5=a 3+a 4=30,故a 2+a 3+a 4+a 5=60.故8月到11月的产量之和为60吨.5.B 解析 令m=1,由a m+n =a m +a n ,得a n+1=a 1+a n ,即a n+1-a n =a 1=3,所以{a n }是首项为3,公差为3的等差数列,所以a n =3+3(n-1)=3n.所以a 1+a 2+a 3+…+a k =k (a 1+a k )2=k (3+3k )2=135, 整理得k 2+k-90=0,解得k=9或k=-10(舍去). 6.B 解析 依题意,若S 2 020>0,S 2 021<0,则2 020(a 1+a 2 020)2=1 010(a 1 010+a 1 011)>0,即a 1 010+a 1 011>0,2 021(a 1+a 2 021)2=2 021a 1 011<0,即a 1 011<0,所以a 1 010>0,所以a 1 010a 1 011<0,充分性成立.当a 1 010<0,a 1 011>0时,满足a 1 010a 1 011<0,不能推出S 2 020>0,S 2 021<0,必要性不成立. 故“S 2 020>0,S 2 021<0”是“a 1 010a 1 011<0”的充分不必要条件.7.ABD 解析 因为a 7=3a 5,所以a 1+6d=3(a 1+4d ),解得a 1=-3d ,又等差数列{a n }是递增数列,所以d>0,所以a 1<0,故A,B 正确.因为S n =d 2n 2+(a 1-d 2)n=d 2n 2-7d 2n=d 2(n -72)2−49d8,所以当n=3或n=4时,S n 最小,故C错误.令S n =d2n 2-7d2n>0,解得n<0或n>7,又n ∈N *,所以当S n >0时,n 的最小值为8,故D 正确.8.BC 解析 对于A 选项,因为S n =n 2-1,所以当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2n-1,当n=1时,a 1=S 1=0,而a 1=0不满足a n =2n-1,故A 错误.对于B 选项,因为S n =2n -1,所以当n=1时,a 1=S 1=1,当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2n-1,又a 1=1满足a n =2n-1,所以a n =2n-1,所以an+1a n=2,所以{a n }是等比数列,故B 正确.对于C 选项,因为{a n }是等差数列,所以S 99=99(a 1+a 99)2=99a 50,故C 正确. 对于D 选项,由已知得当n=1时,S 1·S 3-S 22=a 12(1+q+q 2)-a 12(1+q )2=-a 12q<0,所以当n=1时,S 2n-1·S 2n+1<S 2n 2,故D 错误.9.10 解析 因为{a n }是正项等比数列,所以a 5a 9=a 6a 8,a 5+a 9>0.又a 52+2a 6a 8+a 92=100,所以a 52+2a 5a 9+a 92=100,即(a 5+a 9)2=100,所以a 5+a 9=10. 10.6 解析 设等差数列{a n }的公差为d.由等差中项的性质,得a 1+a 7=2a 4=12,解得a 4=6.所以a 32+a 42+a 52=(6-d )2+62+(6+d )2=2d 2+108.当d=0时,a 32+a 42+a 52取得最小值,此时a 2 020=a 4=6.11.2,4,14 解析 由已知得a n b n =S 2n -1T 2n -1=3(2n -1)+39(2n -1)+3=3n+18n+1=3+15n+1.因为an b n为整数,n ∈N *,所以n+1=3,5,15,即n=2,4,14.所以正整数n 的值为2,4,14.12.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d.因为a 3=-6,a 6=0,所以a 1+2d=-6,a 1+5d=0,解得a 1=-10,d=2.所以a n =-10+(n-1)·2=2n-12.(2)设等比数列{b n }的公比为q.因为b 2=a 1+a 2+a 3=3a 2,b 1=a 2=2×2-12=-8, 所以q=b 2b 1=3a 2a 2=3,所以S n =-8×(1-3n )1-3=4(1-3n). 13.证明 ∵{√S n }是等差数列,a 2=3a 1,∴√S 2−√S 1=√4a 1−√a 1=√a 1, 即数列{√S n }的公差为√a 1. ∴√S n =√S 1+(n-1)√a 1=n √a 1, 即S n =n 2a 1.当n ≥2时,S n-1=(n-1)2a 1, 则a n =S n -S n-1=n 2a 1-(n-1)2a 1=(2n-1)a 1. 当n=1时,a 1=(2×1-1)a 1,符合上式, ∴a n =(2n-1)a 1,n ∈N *.∴a n+1-a n =2a 1,∴{a n }是等差数列. 14.(1)解 设等比数列{a n }的公比为q (q<1).因为a 2=14,S 3=78,所以14q +14+14q=78,即2q 2-5q+2=0,解得q=12或q=2(舍去).所以a n =14×(12)n -2=12n. (2)证明 由(1)知a 1=12,q=12,所以S n =12[1-(12)n ]1-12=1-12n . 因为y=(12)x 在R 上为减函数,且y=(12)x>0恒成立,所以当n ∈N *时,0<12n≤12,所以12≤1-12n <1,即12≤S n <1. 15.解 (1)由已知得S n =12(S n+1-S n )+1,整理得S n+1=3S n -2,所以S n+1-1=3(S n -1). 令n=1,得S 1=12a 2+1=4,所以S 1-1=3,所以{S n -1}是以3为首项,3为公比的等比数列, 所以S n -1=3×3n-1=3n ,所以S n =3n +1. (2)由(1)知S n =3n +1.当n ≥2时,a n =S n -S n-1=3n +1-(3n-1+1)=2×3n-1, 当n=1时,a 1=S 1=4,所以a n ={4,n =1,2×3n -1,n ≥2,所以1a n={14,n =1,12×13n -1,n ≥2,所以当n=1时,T 1=1a 1=14,当n ≥2时,T n =1a 1+1a 2+…+1a n =14+16(1-13n -1)1-13=12−14×3n -1.又T 1=14符合上式,所以T n =12−14×3n -1.16.解 若选①.(1)设{b n }的公比为q.由已知得b 2=T 2-T 1=2,b 3=T 3-T 2=4,所以q=b3b 2=2,所以b n =2×2n-2=2n-1.所以a 1=b 1=1.设{a n }的公差为d ,由a 3+a 5=14,得1+2d+1+4d=14, 解得d=2,所以a n =2n-1.(2)由c n =[lg a n ],得c 1=c 2=c 3=c 4=c 5=0,c 6=c 7=…=c 50=1,c 51=c 52=…=c 100=2,所以c1+c2+c3+…+c100=1×45+2×50=145.若选②.=2,所以b n=2×2n-(1)设{b n}的公比为q.由已知得b2=T2-T1=2,b3=T3-T2=4,所以q=b3b22=2n-1.所以a1=b1=1.d=28,设{a n}的公差为d,由S4=28,得4×1+4×32解得d=4,所以a n=4n-3.(2)由c n=[lg a n],得c1=c2=c3=0,c4=c5=…=c25=1,c26=c27=…=c100=2,所以c1+c2+c3+…+c100=1×22+2×75=172.若选③.=2,所以b n=2×2n-(1)设{b n}的公比为q.由已知得b2=T2-T1=2,b3=T3-T2=4,所以q=b3b22=2n-1.所以a1=b1=1.设{a n}的公差为d,由a8是a5与a13的等比中项,得(1+7d)2=(1+4d)(1+12d),解得d=0或d=2.又d≠0,所以d=2,所以a n=2n-1.(2)由c n=[lg a n],得c1=c2=c3=c4=c5=0,c6=c7=…=c50=1,c51=c52=…=c100=2,所以c1+c2+c3+…+c100=1×45+2×50=145.。

高中数学专题复习《数列等差等比数列综合》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、选择题1．等差数列{a n}中，a1+a2+…+a50＝200，a51+a52+…+a100＝2700，则a1等于（）A．－1221 B．－21．5 C．－20．5D．－20（汇编）2．已知等比数列{a n}中,a n=2×3n-1,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和S n的值为A.3n-1B.3(3n-1)C.419-nD.4)19(3-n3．等比数列{a n}的各项都是正数,若a1=81,a5=16,则它的前5项的和是A.179 B.211 C.243 D.2754．在ABC∆中,tan A是以4-为第三项, 4为第七项的等差数列的公差,tan B是以13为第三项, 9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是（）A．钝角三角形 B．锐角三角形C．等腰直角三角形 D．以上都不对5．设等比数列的公比，前项和为，则A． B．C． D．6．已知等差数列、的公差分别为2、3，且，则数列是A．等差数列且公差为6 B．等差数列且公差为5C．等比数列且公比为8 D．等比数列且公比为97．已知数列{}n a的前n项和)(3为常数kkS nn+=，那么下述结论正确的是（）A．k为任意实数时，{}n a是等比数列B．k= －1时，{}n a 是等比数列C．k=0时，{}n a是等比数列D．{}n a不可能是等比数列8．已知,22,33x x x++是一个等比数列的前三项，则其第四项等于（）A．272-B．272C．27D．27-9．若x y≠，数列12x a a y，，，和123x b b b y，，，，各自都成等差数列，则2121a ab b--等于（）Ａ．23Ｂ．43Ｃ．32Ｄ．3410．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是A.－2B.－3C.－4D.－511．不能作为数列 ,0,2,0,2的通项公式的是（ ）.A ．1)1(1+-+=n n aB ． n n a )1(1--=C ． nn a )1(1-+= D ． )cos(1πn a n -=12．a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c 成等比数列，公比为q,则q+q 2+q 3=( ) A,1 B,2 C,3 D,4第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题13．已知数列{a n }满足a n ＝a n －1－a n －2(n ≥3，n ∈N*)，它的前n 项和为S n ．若S 9＝6，S 10＝5，则a 1的值为 ▲ ． 14．已知等差数列{}n a 和{}n b 满足237321321++=++++++++n n b b b b a a a a n n ，则55b a = ▲15．设{}n a 是正项数列，它的前n 项和n S 满足：()()314+⋅-=n n n a a S ，则=1005a ．16．已知等比数列{m a }中，各项都是正数，且1a ，321,22a a 成等差数列，则91078a a a a +=+( )A ．12+B ． 12-C ． 322+D 322-（汇编湖北文）17．根据下面数列的通项公式，写出它的前3项。