图形与证明(二)复习(1)练习2
- 格式:doc
- 大小:173.50 KB
- 文档页数:2
BC九年级数学 作业1、已知:菱形ABCD 中,对角线AC = 16 cm ,BE ⊥BC 于点E ,则BE 的长.为 。
2、直角梯形的一条对角线把梯形分成两个三角形, 其中一个是边长为4的等边三角形,那么梯形的中位线长为 。
3、如图,一张矩形纸片,要折叠出一个最大的正方形,小明把矩 形的一个角沿折痕AE 翻折上去,使AB 和AD 边上的AF 重合,则四边形ABEF 就是一个最大的正方形,他的判定方法是 。
4、下列图形:线段、正三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、直角梯形,其中既是中心对称图形,又是轴对称图形的共有 ( )(A )3个 (B )4个 (C )5个 (D ) 6个5、如图,△ABP 与△CDP 是两个全等的等边三角形,且PA ⊥PD.有下列四个结论:①∠PBC =15°;②AD ∥BC ;③直线PC 与AB 垂直;④四边形ABCD 是轴对称图形.其中正确的结论的个数为 ( )(A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个6、如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,对角线AC ⊥BD ,且AC=12,BD=9, 则该梯形两腰中点的连线EF 长是( ) A 、10 B 、221 C 、215 D 、127、如图,等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠DBC=45º。
翻折梯形ABCD ,使点B 重合于点D ,折痕分别交边AB 、BC 于点F 、E 。
若AD=2,BC=8, 求:(1)BE 的长。
(2)CD :DE 的值。
CFBEADCB ADPDBCAEF CDBA EF8、如图是规格为8×8的正方形网格,请在所给网格中......按下列要求操作:⑴请在网格中建立平面直角坐标系, 使A点坐标为(-2,4),B点坐标为(-4,2);⑵在第二象限内的格点上..........画一点C, 使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形, 且腰长是无理数, 则C点坐标是,△ABC的周长是(结果保留根号);⑶画出△ABC以点C为旋转中心、旋转180°后的△A′B′C, 连结AB′和A′B, 试说出四边形ABA′B′是何特殊四边形, 并说明理由.△与R t ABD△中,90=,,ABC BAD∠=∠= ,AD BC AC BD 相交于点G,过点A作AE D B∥交D A的∥交C B的延长线于点E,过点B作B F C A延长线于点F AE BF,,相交于点H.(1)图中有若干对三角形是全等的,请你任选一对进行证明;(不添加任何辅助线)(2)证明四边形A H B G是菱形;(3)若使四边形A H B G是正方形,还需在R t ABC△的边长之间再添加一个什么条件?请你写出这个条件.(不必证明)EF。
DCBAD九年级数学 作业1、如图,设M ,N 分别是直角梯形ABCD 两腰AD ,CB 的中点,DE 上AB 于点E ,将△ADE 沿DE 翻折,M 与N 恰好重合,则AE :BE 等于( ) A .2:1 B .1:2 C .3:2 D .2:32、小宇同学在一次手工制作活动中,先把一张矩形纸片按图1的方式进行折叠,使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm ;展开后按图2的方式再折叠一次,使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm ,再展开后,在纸上形成的两条折痕之间的距离是( )A .0.5cmB .1cmC .1.5cmD .2cm3、如图,若将四根木条钉成的矩形木框变为平行四边形ABCD 的形状,并使其面积为矩形面积的一半,则这个平行四边形的一个最小内角的值等于 。
4、矩形ABCD 中,22=AB ,将角D 与角C 分别沿过A 和B 的直线AE 、BF 向内折叠,使点D 、C 重合于点G ,且AGB EGF ∠=∠,则=AD .5、已知平行四边形A B C D ,AD a AB b ABC α===,,∠.点F 为线段B C 上一点(端点B C ,除外),连结A F A C ,,连结D F ,并延长D F 交A B 的延长线于点E ,连结C E .(1)当F 为B C 的中点时,求证E F C △与A B F △的面积相等;(2)当F 为B C 上任意一点时,E F C △与A B F △的面积还相等吗?说明理由.左右左右第二次折叠 第一次折叠图1图26、在一次数学实践探究活动中,小强用两条直线把平行四边形ABCD 分割成四个部分,使含有一组对顶角的两个图形全等; (1)根据小强的分割方法,你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有 组;(2)请在图中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线; (3)由上述实验操作过程,你发现所画的两条直线有什么规律?7、如图:把一个矩形如图折叠,使顶点B 和D 重合,折痕为EF 。
七年级数学苏科版下册第7章《平面图形的认识(二)》解答题专项提升练习(二)1.如图,点A、B、C、D在一条直线上,CE与BF交于点G,∠E=∠F,CE∥DF,求证:∠A =∠1.2.已知,点Q、A、D均在直线l1上,点B、C均在直线l2上,且l1∥l2,点E是BA延长上一点.(1)如图1,CD∥AB,CE与AD相交于点F,AC与BF相交于点O,∠1=∠2,求证∠3=∠4;(2)在(1)的条件下,若BF平分∠ABC,试直接写出∠CFB与∠ACF的数量关系为;(3)如图2,点N是∠QAB角平分线上一点,点M在射线BC上,若∠NMC与∠ABC满足2∠NMC﹣∠ABC=180°的数量关系,请判断直线MN与直线AN的位置关系,并说明理由.3.如图所示,直线AB ∥CD ,直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F 两点,∠BEF 、∠DFE 的平分线相交于点K .(1)求∠EKF 的度数;(2)如图(2)所示,作∠BEK 、∠DFK 的平分线相交于点K 1,问∠K 1与∠K 的度数是否存在某种特定的等量关系?写出结论并证明.(3)在图(2)中作∠BEK 1、∠DFK 1的平分线相交于点K 2,作∠BEK 2、∠DFK 2的平分线相交于点K 3,依此类推,……,请直接写出∠K 4的度数.4.如图,已知三角形ABC 中,AD 平分∠BAC ,∠1=∠2.求证:(1)AD ∥GE ;(2)∠3=∠G .5.如图,已知AB ∥CD ,E 是直线AB 上的一点,CE 平分∠ACD ,射线CF ⊥CE ,∠1=32°,(1)求∠ACE 的度数;(2)若∠2=58°,求证:CF ∥AG .6.已知:直线GH分别与直线AB,CD交于点E,F.EM平分∠BEF,FN平分∠CFE,并且EM ∥FN.(1)如图1,求证:AB∥CD;(2)如图2,∠AEF=2∠CFN,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四个角,使写出的每个角的度数都为135°.7.如图1,直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F,∠MEB与∠DFN互补.(1)若∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P,EP与CD交于点G,点H是MN上一点,且GH⊥EG,求证:PF∥GH;(2)如图2,在(1)的条件下,连接PH,K是GH上一点使∠PHK=∠HPK,作PQ平分∠EPK,问∠HPQ的大小是否发生变化?若不变,请求出其值;若变化,请说明理由.8.如图,AD⊥BE,BC⊥BE,∠A=∠C,点C,D,E在同一条直线上.求证:AB∥CD.9.综合与探究问题情境在综合实践课上,老师组织七年级(2)班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动,如图,已知射线AM∥BN,连接AB,点P是射线AM上的一个动点(与点A不重合),BC,BD分别平分∠ABP和∠PBN,分别交射线AM于点C,D.探索发现“快乐小组”经过探索后发现:(1)当∠A=60°时,∠CBD=∠A.请说明理由.(2)不断改变∠A的度数,∠CBD与∠A却始终存在某种数量关系,用含∠A的式子表示∠CBD为.操作探究(3)“智慧小组”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度数后,探究二者之间的数量关系.他们惊奇地发现,当点P在射线AM上运动时,无论点P在AM上的什么位置,∠APB与∠ADB 之间的数量关系都保持不变,请写出它们的关系,并说明理由.(4)点P继续在射线AM上运动,当运动到使∠ACB=∠ABD时,请直接写出2∠ABC+∠A的结果.10.如图,在△ABC中,点D、F在BC边上,点E在AB边上,点G在AC边上,EF与GD的延长线交于点H,∠CDG=∠B,∠1+∠FEA=180°.求证:(1)EH∥AD;(2)∠BAD=∠H.11.喜欢思考的小泽同学,设计了一种折叠纸条的游戏.如图1,纸条的一组对边PN∥QM(纸条的长度视为可延伸),在PN,QM上分别找一点A,B,使得∠ABM=α.如图2,将纸条作第一次折叠,使BM'与BA在同一条直线上,折痕记为BR.1解决下面的问题:(1)聪明的小白想计算当α=90°时,∠BR 1N '的度数,于是他将图2转化为下面的几何问题,请帮他补全问题并求解:如图3,PN ∥QM ,A ,B 分别在PN ,QM 上,且∠ABM =90°,由折叠:BR 1平分 ,BM '∥R 1N ',求∠BR 1N '的度数.(2)聪颖的小桐提出了一个问题:按图2折叠后,不展开纸条,再沿AR 1折叠纸条(如图4),是否有可能使AM ''⊥BR 1?如果能,请直接写出此时α的度数;如果不能,请说明理由.(3)笑笑看完此题后提出了一个问题:当0°<α≤90°时,将图2记为第一次折叠;将纸条展开,作第二次折叠,使BM '与BR 1在同一条直线上,折痕记为BR 2(如图5);将纸条展开,作第三次折叠,使BM '与BR 2在同一条直线上,折痕记为BR 3;…以此类推. ①第二次折叠时,∠BR 2N '= (用α的式子表示);②第n 次折叠时,∠BR n N '= (用α和n 的式子表示).12.如图,已知点D,E分别为AB,BC上的点,连接DE,∠BAC=70°,∠ADE=110°.(1)求证:∠C=∠BED;(2)画图:连接AE,过点D画DF∥AE,交BC于点F,若∠EAC=28°,∠C=62°,求∠DFC的度数.13.完成推理填空.填写推理理由:如图:EF∥AD,∠1=∠2,∠BAC=70°,把求∠AGD的过程填写完整.∵EF∥AD,∴∠2=,()又∵∠1=∠2,∴∠1=∠3,∴AB∥,()∴∠BAC+ =180°,()又∵∠BAC=70°,∴∠AGD=110°.14.如图,已知AB∥CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD.请判断△BEC的形状,并说明理由.15.如图,已知,AB∥CD,CE平分∠ACD交AB于点E.(1)若∠FCD=50°,求∠1的度数;(2)若有∠FAB的平分线AP交CE于点P,请你画出图形,并判断∠CAP与∠ACP是否为互余关系,说明理由.参考答案1.证明:∵CE∥DF,∴∠F=∠2,∵∠E=∠F,∴∠E=∠2,∴AE∥BF,∴∠A=∠1.2.解:(1)证明:∵∠1=∠2,∴∠1+∠ACF=∠2+∠ACF即:∠BCE=∠ACD,∵AB‖CD,∴∠ACD=∠4,∴∠BCE=∠4,∵l1∥l2∴∠3=∠BCE∴∠3=∠4;(2)如图,设∠ABF=∠5,∠ACF=∠6,∠CFB=∠7,∵BF平分∠ABC,∴∠ABC=2∠5,∠CBF=∠5,∵l1∥l2,∴∠AFB=∠CBF=∠5,∴∠AFC+∠BCF=180°,即∠1+∠6+∠5+∠7=180°①,∵AB‖CD,l1∥l2,∴∠ABC+∠BCD=180°,∠BCD+∠CDF=180°,∴∠CDF=2∠5,∴∠1+∠6+∠2+2∠5=180°,∵∠1=∠2,∴2∠1+∠6+2∠5=180°,∴∠1+∠6+∠5=90°②,∴①﹣②得:∠6+∠7=90°,∴∠CFB与∠ACF的数量关系为∠CFB+∠ACF=90°.故答案为:∠CFB+∠ACF=90°.(3)直线MN与直线AN的位置关系为:MN⊥AN.理由如下:过点N作NR∥l1,∵l1∥l2,NR∥l2,∴∠ABC=∠QAB,∠QAN=∠ANR,∠RNM=∠NMB,∵NA平分∠QAB,∴∠QAB=2∠QAN,不妨设∠QAN=x°,∠NAM=∠NMB=y°,∴∠ABC=∠QAB=2x°,∴y+∠NMC=180°①,∵2∠NMC﹣∠ABC=180°,∴2∠NMC﹣2x=180°,∠NMC﹣x=90°②,①﹣②得:x+y=90°,∴∠ANM=90°,3.解:(1)如图(1),过K 作KG ∥AB ,交EF 于G ,∵AB ∥CD ,∴KG ∥CD ,∴∠BEK =∠EKG ,∠GKF =∠KFD ,∵EK 、FK 分别为∠BEF 与∠EFD 的平分线,∴∠BEK =∠FEK ,∠EFK =∠DFK ,∵AB ∥CD ,∴∠BEK +∠FEK +∠EFK +∠DFK =180°,即2(∠BEK +∠DFK )=180°,∴∠BEK +∠DFK =90°,则∠EKF =∠EKG +∠GKF =90°;(2)∠K =2∠K 1,理由为:∵∠BEK 、∠DFK 的平分线相交于点K 1,∴∠BEK 1=∠KEK 1,∠KFK 1=∠DFK 1,∵∠BEK +∠FEK +∠EFK +∠DFK =180°,即2(∠BEK +∠KFD )=180°,∴∠BEK +∠KFD =90°,即∠BEK 1+∠DFK 1=45°,同理得∠K 1=∠BEK 1+∠DFK 1=45°,则∠K =2∠K 1;(3)如图(3),根据(2)中的规律可得:∠K 2=∠K 1=22.5°,∠K 3=∠K 2=11.25°,∠K 4=∠34.解:(1)∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠2,∵∠1=∠2,∠1=∠3,∴∠BAD=∠3,∴AD∥GE;(2)∵AD∥GE,∴∠2=∠G,∵∠1=∠2=∠3,∴∠3=∠G.5.解:(1)∵AB∥CD,∴∠1=∠DCE=32°,∵CE平分∠ACD,∴∠ACE=∠DCE=32°;(2)∵CF⊥CE,∴∠FCE=90°,∴∠FCH=90°﹣32°=58°,∵∠2=58°,∴∠FCH=∠2,∴CF∥AG.6.(1)证明:∵EM∥FN,∴∠EFN=∠FEM.∵EM平分∠BEF,FN平分∠CFE,∴∠CFE=2∠EFN,∠BEF=2∠FEM.∴∠CFE=∠BEF.∴AB∥CD.(2)∠AEM,∠GEM,∠DFN,∠HFN度数都为135°.理由如下:∵AB∥CD,∴∠AEF+∠CFE=180°,∵FN平分∠CFE,∴∠CFE=2∠CFN,∵∠AEF=2∠CFN,∴∠AEF=∠CFE=90°,∴∠CFN=∠EFN=45°,∴∠DFN=∠HFN=180°﹣45°=135°,同理:∠AEM=∠GEM=135°.∴∠AEM,∠GEM,∠DFN,∠HFN度数都为135°.7.解:(1)证明:∵∠MEB+∠BEF=180°,∠MEB与∠DFN互补∴∠BEF=∠DFN∴AB∥CD∴∠BEF+∠DFE=180°又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P∴∠FEP+∠EFP=(∠BEF+∠DFE)=90°∴∠EPF=90°即EG⊥PF∵GH⊥EG∴PF∥GH.(2)∠HPQ的大小不会发生变化,利用如下:∵∠PHK=∠HPK∴∠PKG=2∠HPK∵GH⊥EG∴∠KPG=90°﹣∠PKG=90°﹣2∠HPK∴∠EPK=180°﹣∠KPG=90°+2∠HPK∵PQ平分∠EPK∴∠QPK=∠EPK=45°+∠HPK∴∠HPQ=∠QPK﹣∠HPK=45°∴∠HPQ的大小不会发生变化,其值为45°.8.证明:∵AD⊥BE,BC⊥BE,∴AD∥BC,∴∠ADE=∠C,∵∠A=∠C,∴∠ADE=∠A,∴AB∥CD.9.解:(1)∵AM∥BN,∴∠A+∠ABN=180°,又∵∠A=60°,∴∠ABN=180°﹣∠A=120°.∵BC,BD分别平分∠ABP和∠PBN,∴∠CBP=∠ABP,∠DBP=∠PBN,∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=∠ABP+∠PBN=∠ABN=60°,∴∠CBD=∠A.(2)∵BC,BD分别平分∠ABP和∠PBN,∴∠CBP=∠ABP,∠DBP=∠PBN,∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=∠ABP+∠PBN=∠ABN,∵AM∥BN,∴∠A+∠ABN=180°,∴∠ABN=180°﹣∠A,∴∠CBD=.(3)∠APB=2∠ADB理由如下:∵BD分别平分∠PBN,∴∠PBN=2∠NBD,∵AM∥BN,∴∠PBN=∠APB,∠NBD=∠ADB,∴∠APB=2∠ADB.(4)∵AM∥BN,∴∠ACB=∠CBN,当∠ACB=∠ABD时,有∠CBN=∠ABD,∴∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN,∴∠ABC=∠DBN,∵BC,BD分别平分∠ABP和∠PBN,∴2∠ABC=∠ABN,∵AM∥BN,∴∠A+∠ABN=180°,∴2∠ABC+∠A=(∠A+∠ABN)=×180°=90°.10.证明:(1)∵∠CDG=∠B,∴DG∥AB,∴∠1=∠BAD,∵∠1+∠FEA=180°,∴∠BAD+∠FEA=180°,∴EH∥AD;(2)由(1)得:∠1=∠BAD,EH∥AD,∴∠1=∠H,∴∠BAD=∠H.11.解:(1)根据折叠的性质可得,∠MBR1=∠M′BR1,即,BR1平分∠ABM,故答案为:∠ABM,∵∠ABM=90°,∴∠MBR1=∠M′BR1=∠ABM=45°,在四边形M′BR1N′中,∠M′=∠N′=∠M=∠N=90°,∴∠BR1N′=360°﹣90°﹣90°﹣45°=135°;(2)α=60°;由折叠可得,∠PAB=α=60°,∠ABR1=30°,∠R1AM″=60°,∴∠BAM″=180°﹣60°﹣60°=60°,∴∠ABR1+∠BAM″=30°+60°=90°,∴AM''⊥BR1;(3)①由折叠可得∠R1BR2=×α=,在四边形M′BR2N′中,∠M′=∠N′=∠M=∠N=90°,∴∠BR2N′=360°﹣90°﹣90°﹣=180°﹣;故答案为:180°﹣;②折叠n次可得∠R n BR n+1=××…××α=,在四边形中有内角和可得,∠BR n N'=360°﹣90°﹣90°﹣=180°﹣,故答案为:180°﹣.12.解:(1)证明:∵∠BAC=70°,∠ADE=110°.∴∠BAC+∠ADE=180°.∴DE∥AC,∴∠C=∠BED;(2)如图所示,∵DF∥AE,∴∠AEC=∠DFC,△AEC中,∠EAC=28°,∠C=62°,∴∠DFC=∠AEC=180°﹣62°﹣28°=90°.13.解:∵EF∥AD(已知),∴∠2=∠3(两直线平行,同位角相等),∵∠1=∠2,∴∠1=∠3,∴AB∥DG(内错角相等,两直线平行),∴∠BAC+∠DGA=180°(两直线平行,同旁内角互补),∵∠BAC=70°,∴∠AGD=110°,故答案为:∠3;两直线平行,同位角相等;DG;内错角相等,两直线平行;∠DGA;两直线平行,同旁内角互补.14.解:△BEC是直角三角形.理由:∵AB∥CD(已知),∴∠ABC+∠DCB=180°(两直线平行,同旁内角互补).∵BE平分∠ABC,CE平分∠BCD(已知),∴∠CBE=∠ABC,∠BCE=∠BCD(角平分线的性质).∴∠CBE+∠ECB=(∠ABC+∠DCB)=90°.∵∠CBE+∠ECB+∠BEC=180°(三角形内角和180°),∴∠BEC=90°(等式性质),∴△BEC是直角三角形.15.解:(1)∵∠FCD=50°,∴∠ACD=180°﹣50°=130°,∵CE平分∠ACD,∴∠ECD=∠ECA=∠ACD=65°,∵AB∥CD,∴∠1=∠ECD=65°.(2)如图,∠CAP与∠ACP互余,理由:∵AP平分∠FAB,CE平分∠ACD,∴∠CAP=∠EAP=∠BAC,∠ACP=∠DCE=∠ACD,∵AB∥CD,∴∠BAC+∠ACD=180°,∴∠CAP+∠ACP=(∠BAC+∠ACD)=90°.。
慧学云教育九 年 级 数 学 试 题(图形与证明二)一.选择题1、顺次连接任意四边形各边中点所得到的四边形一定是( )A 平行四边形B 菱形C 矩形D 正方形2、 国家级历史文化名城——金华,风光秀丽,花木葱茏.某广场上一个形状是平行四边形的花坛(如图),分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花.如果有AB EF DC ∥∥,BC GH AD ∥∥,那么下列说法中正确的是( ) A .红花、绿花种植面积一定相等 B .绿花、黄花种植面积一定相等 C .红花、蓝花种植面积一定相等 D .蓝花、紫花种植面积一定相等3.如图,直线1l ∥2l ,若155,265∠=︒∠=︒,则3∠A 50︒B 55︒C 60︒D 65︒4、若等腰三角形的一个底角为50°,则顶角为( A .50° B .100° C .80° D .65°5、如图1,□ABCD 的周长是28㎝,△ABC 的周长是22㎝,则AC 的长为 ( )A .14㎝B .12㎝C .10㎝D .8㎝1 26、下列命题中,真命题是 ( )A.两条对角线相等的四边形是矩形 B.两条对角线互相垂直的四边形是菱形C.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形7、已知菱形的两条对角线长分别为6和8,则菱形的周长为( ) A .20 B .30 C .40 D .108、如图2,在菱形ABCD 中,不一定成立的是( ) A .四边形ABCD 是平行四边形 B .AC ⊥BDDCB AA F C DB E3C .△ABD 是等边三角形 D .∠CAB =∠CAD9、如图3,在ABC △中,点E D F ,,分别在边AB ,BC ,CA 上,且DE CA ∥,DF BA ∥.下列四个判断中,不正确...的是 ( ) A.四边形AEDF 是平行四边形B.如果90BAC ∠=o ,那么四边形AEDF 是矩形 C.如果AD 平分BAC ∠,那么四边形AEDF 是菱形D.如果AD BC ⊥且AB AC =,那么四边形AEDF 是正方形10.如图,正方形ABCD 的边长为2,点E 在AB 边上,四边形EFGB 也为正方形, 设△AFC 的面积为S ,则 ( ) A .S=2 B .S=4 C .S=2.4 D .S 与BE 长度有关二.填空题11.已知平行四边形ABCD 中,AB =14cm,BC =16cm,则此平行四边形的周长为 _____cm.12.矩形的两条对角线的夹角为600,较短的边长为12cm,则对角线长为 cm.13.如下图(1),在平行四边形ABCD 中,CE AB ⊥,E 为垂足.如果125A =o ∠,则BCE =∠14.在四边形ABCD 中,已知AB ∥CD ,请补充一个条件: ,使得四边形ABCD 是平行四边形。
第一章 图形与证明(二)单元测试1第一章【知识回顾】【基础训练】1.梯形的中位线长为3,高为2,则该梯形的面积为 。
2.若等腰三角形的一个外角为70°,则它的底角为 度。
3.某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ,则它的周长为A .9cmB .12cmC .15cmD .12cm 或15cm4.已知梯形的上底长为3cm ,中位线长为5cm ,则此梯形下底长为__________cm .2.直角三角形全等的判定:HL 4.等腰梯形的性质和判定 5.中位线 三角形的中位线 梯形的中位线注意:若等边三角形的边长为a ,则:其高为: ,面积为: 。
1.等腰三角形 等边三角形的性质和判定 等腰三角形的性质和判定 线段的垂直平分线的性质和判定 角的平分线的性质和判定3.平行四边形 平行四边形的性质和判定:4个判定定理 矩形的性质和判定:3个判定定理 菱形的性质和判定:3个判定定理 正方形的性质和判定:2个判定定理注注意:(1)中点四边形①顺次连接任意四边形各边中点,所得的新四边形是 ; ②顺次连接对角线相等的四边形各边中点,所得的新四边形是 ; ③顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点,所得的新四边形是 ; ④顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点,所得的新四边形是 。
(2)菱形的面积公式:ab S 21= (b a ,是两条对角线的长)注意:(1)解决梯形问题的基本思路:通过分割和拼接转化成三角形和平行四边形进行解决。
即需要掌握常作的辅助线。
(2)梯形的面积公式:()lh hb a S =+=21(l -中位线长)5.如图,点P 到∠AOB 两边的距离相等,若∠POB =30°,则 ∠AOB =_____度.6.如图,要测量A 、B 两点间距离,在O 点打桩,取OA 的中点 C ,OB 的中点D ,测得CD =30米,则AB =______米. 7.平行四边形ABCD 中,AC ,BD 是两条对角线,如果添加一个条件,即可推出平行四边形ABCD 是矩形,那么这个条件是( ) A .AB=BC B .AC=BD C .AC ⊥BD D .AB ⊥BD 8.(08,扬州)如图,已知四边形ABCD 是平行四边形,下列结论中不正确的是( )A 、当AB=BC 时,它是菱形B 、当AC ⊥BD 时,它是菱形 C 、当∠ABC=900时,它是矩形 D 、当AC=BD 时,它是正方形 9.下列条件中不能确定四边形ABCD 是平行四边形的是( )A.AB=CD ,AD ∥BCB.AB=CD ,AB ∥CDC.AB ∥CD ,AD ∥BCD.AB=CD ,AD=BC10.如图,下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为( )①A C B D ⊥ ②90BAD ∠=③A B B C = ④A C B D =A .①③B .②③C .③④D .①②③11.如图,在四边形ABCD 中,A D ∥BC,∠D=90°,若再添加一个条件,就能推出四边形ABCD 是矩形,你所添加的条件是( ).(写出一种情况即可) 12.)如图,菱形ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于点0,若再补充一个条件能使菱形ABCD 成为正方形,则这个条件是( )(只填一个条件即可).13.(08,临沂)如图,菱形ABCD 中,∠B =60°,AB =2,E 、F 分别是BC 、CD 的中点,连接AE 、EF 、AF ,则△AEF 的周长为A . 32B . 33C . 34D . 3 14.顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是A.菱形B.正方形C.矩形D.等腰梯形ABCD 第10题DBC第11题ADBO第12题第13题15.顺次连结四边形四条边的中点,所得的四边形是菱形,则原四边形一定是 A .平行四边形 B .对角线相等的四边形 C .矩形. D .对角线互相垂直的四边形 16.如图所示,有一张一个角为60拼成的四边形是 ()A .邻边不等的矩形B .等腰梯形C .有一个角是锐角的菱形D .正方形17.某花木场有一块如等腰梯形ABCD 的空地(如图),各边的中点分别是E 、F 、G 、H ,用篱笆围成的四边形EFGH 场地的周长为40cm ,则对角线AC= cm 18.如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB =CD ,AC ⊥BD ,AD =6,BC =8,则梯形的高为 。
1.1等腰三角形的性质和判定(1)九年级数学备课组【学习目标】1、进一步掌握证明的基本步骤和书写格式。
2、能用“基本事实”和“已经证明的定理”为依据,证明等腰三角形的性质定理和判定定理。
【重点、难点】1、等腰三角形的性质及其证明。
2、应用性质解题。
【预习指导】:在初中数学八(下)的第十一章中,我们学习了证明的相关知识,你还记得吗?不妨回忆一下。
1、用_______________的过程,叫做证明。
经过________________称为定理。
2、证明与图形有关的命题,一般步骤有哪些?(1)_________________________;(2)_________________________;(3)_________________________.3、推理和证明的依据有哪几类?_____________、___________、___________。
4、我们初中数学中,选用了哪些真命题作为基本事实:(1)______________________;(2)______________________;(3)______________________;(4)______________________;(5)______________________。
此外,还有_____________和____________也都看作是基本事实。
5、在八(下)的第十一章中,我们依据上述的基本事实,证明了哪些定理?你能一一列出来吗?(1)______________________;(2)______________________;(3)______________________;(4)______________________;(5)______________________;(6)______________________;(7)______________________;(8)______________________;(9)______________________;(10)______________________。
图形与证明(二)练习 姓名一、选择题:(每题2分,共26分)1.如图1所示, ABCD 中,两条对角线AC 、BD 相交于点O,AF ⊥BD 于F,CE ⊥BD 于E, 则图中全等三角形的对数共有( ) A.5对 B.6对 C.7对 D.8对CE BF A DOB 'CN BFADPM(2) (2) (3) 2.在 ABCD 中,AB ∥CD,AD ∥BC,则下列结论中正确的是( ) A.∠A=∠B B.AC=BD; C.AB=AD D.ABC ACD S S ∆∆=3.平行四边形的周长是25cm,对边的距离分别是2cm 、3cm,则这个平行四边形的面积为( ) A.15cm 2 B.25cm 2 C.30cm 2 D.50cm 24.一个菱形的两条对角线长分别是6cm,8cm,则这个菱形的面积S 等于( ) A.48cm 2B.24cm 2C.12cm 2D.18cm 25.直角三角形中,两条直角边长分别是12和5,则斜边上的中线长是( )A.26B.13C.8.5D.6.56.如图2所示,把菱形ABCD 沿着对角线AC 的方向移动到菱形A′B′C′D′的位置,它们的重叠部分(图中阴影部分)的面积是菱形ABCD 的面积的12,若AC=, 则菱形移动的距离AA′是( ) A.122C.1-17.在正方形ABCD 中,E 是AB 的中点,BF ⊥CE 于F,那么ABCD :S BFC S ∆正方形为( )A.1:3B.1:5C.1:4D.1:88.如图3所示,把矩形纸片ABCD 对折,设折痕为MN,再把B 点叠在折痕线上, 得到Rt △AB′E,沿着EB′线折叠所得到的△EAF 是( )A.等腰三角形B.等边三角形;C.等腰直角三角形D.直角三角形 9.等腰梯形的两条对角线互相垂直,中位线长为8cm,则它的高为( ) A.4cmcm C.8cm10.若一个梯形的中位线长为15,一条对角线把中位线分成两条线段, 这两条线段的比是3:2,则梯形的上、下底长分别是( )A.3,4.5B.6,9C.12,18D.2,311.如图4所示,在直角梯形ABCD 中,AB ⊥BC,AD=1,BC=3,CD=4,EF 为梯形的中位线,DH 为梯形的高且交EF 于G .下列结论:①G 为EF 的中点;②△EHF 为等边三角形;③四边形EHCF 为菱形;④12BEH C FH S S ∆∆=.其中正确的结论有( )A.1个B.2个C.3个D.4个CE B HG F A DCE B FADCEBFADP O CADO(4) (5) (6) (7)12.如图5所示,矩形ABCD 的边长AB=6,BC=8,将矩形沿EF 折叠,使C 点与A 点重合,则折痕EF 的长是( )A.7.5B.6C.10D.513.如图6所示,在矩形ABCD 中,AB=3,AD=4,P 是AD 上的动点,PE ⊥AC 于E,PF ⊥BD 于F,则PE+PF 的值为( ) A.125B.2C.52D.135二、填空题:(每题2分,共24分) 14.在四边形ABCD 中,∠B=80°,∠A 、∠C 、∠D 的度数比为2:3:5,则∠A= _____,∠C=_______,∠D=________.15.在 ABCD 中,若∠A:∠B=2:1,AD=20cm,AB=16cm, 则AD 与BC 两边间的距离是_____, ABCD 的面积是_______. 16.在四边形ABCD 中,∠A+∠C=180°,∠B:∠C:∠D=4:3:5,这个四边形中∠A=________,∠C=______,∠D=________.17.菱形的两条对角线长的比是1:2,其面积为12cm 2,则较长对角线是_______. 18.已知菱形的锐角是60°,边长是20cm,则较长的对角线是_____cm. 19.梯形ABCD 中,AB ∥CD,∠D=80°,∠C=50°,AB=4,CD=10,则AD 的长是______. 20.如图7所示, ABCD 中,AC ⊥AB,∠ABD=30°,AC 与BD 相交于点O, AO= 1, 则BC=_____.21. 如图8所示, 已知AD ∥BC, 要使四边形ABCD 为平行四边形, 需要增加条件_______.(只需填一个你认为正确的条件即可)22.如图9所示,已知矩形ABCD(AD>AB)中,AB=a,∠BDA=θ,试用a 与θ表示:AD=__________,BD=__________.23.如图10所示,是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图,由6个颜色不同的正方形组成.设中间最小的一个正方形边长为1,则这个矩形色块图的面积为________.CA DCBAD(8) (9) (10) (11)24.已知四边形ABCD 各边中点分别E 、F 、G 、H ,如果四边形ABCD 是________,那么四边形EFGH 是正方形.25.如图11所示,直角梯形ABCD 的中位线EF 的长为a,垂直于底的腰AB 的长为b,则图中阴影部分的面积等于________. 三、判断题:(正确的打“∨”,错误的打“×”,每题2分,共12分)26.n 边形的内角和为n ·180°-360°.( )27.四边形ABCD 中,∠A=∠B,∠C=∠D,则四边形ABCD 是平行四边形.( ) 28.矩形是平行四边形.( )29.菱形的两条对角线将菱形分成四个面积相等的直角三角形.( ) 30.一组邻边相等,一个角是直角的四边形是正方形.( ) 31.等腰梯形、直角梯形是特殊梯形.( )四、解答题:(第32、33题每题7分,其余每题8分,共38分)31.如图所示,以△ABC 的三边为边,分别作三个等边三角形. (1)求证四边形ADEF 是平行四边形.(2)△ABC 满足什么条件时,四边形ADEF 是菱形?是矩形? (3)这样的 ADEF 是否总是存在?32.已知:如图所示,BD 是△ABC 的角平分线,EF 是BD 的垂直平分线,且交AB 于E,交BC 于点F.求证:四边形BFDE 是菱形.E BFA D33.如图所示,在四边形ABCD 中,AD=BC,E 、F 、G 分别是AB 、CD 、AC 的中点. 求证:△EFG 是等腰三角形.CEFAD G34.如图所示,梯形ABCD 中,AD ∥BC,AB=DC.(1)P 、E 、F 分别是BC 、AC 、BD 的中点,求证:AB=PE+PF; (2)如果P 是BC 上的任意一点(中点除外),PE ∥AB,PF ∥DC,那么AB=PE+PF,这个结论还成立吗?如果成立,请证明;若不成立,请说明理由.E PBA D F CABEDF35. (多解题)如图所示,在梯形ABCD 中,AD ∥BC,AD<BC,F 、E 分别是对角线AC 、BD 的中点.求证:EF=12(BC-AD).E BADFC36. (多变题)已知:在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC,直线MN 是梯形的对称轴,P 是MN 上的一点, 直线BP 交直线DC 于点F,交CE 于点E,且CE ∥AB.(1)若点P 在梯形的内部,如图所示,求证:BP 2=PE ·PF;EPBAD F NCM(2)若点P 在梯形的外部,如图所示,那么(1)中的结论是否成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.。
FED CBABACDEO图形与证明(二)复习课~~有关计算班级_________ 姓名__________学习目标:1.理解特殊三角形的概念,以及它们之间的关系;特殊四边形的概念,以及它们之间的关系;2.探索并证明特殊三角形、四边形的性质、判定定理,并能解决有关的运用;3.学会分析与综合的思考方法,能有条理的思考与表达自己的想法;4.感受公理化思想,转化思想。
学习重点:能运用特殊图形多边形的性质与判定的解决问题,并能进行有关计算。
学习难点:合理的运用多边形的性质,解决多边形的计算。
【课前练习】:1.以等腰三角形、菱形为例整理它们的判定、性质,画出知识结构图。
等腰三角形:判定:(几何语言) 性质:(组成元素)_____________________________________________________ ____________________ ______________________________ _____________________ (图形整体)______________________ _____________________ ______________________________ ______________________________ 菱形:由菱形面积的推导可以看出多边形的问题通常的思想方法:____________________________.【小试牛刀】:1.等腰三角形的一个角为︒30,则顶角的度数是____________.2.在□ABCD 中,∠ABC 的平分线交AD 于E ,且AE =2,DE =1,则□ABCD 的周长等于 .3.如图,在△ABC 中,∠C=900,点D 在BC 上,DE 垂直平分AB ,且DE=DC ,则∠B =______.4.如图,矩形ABCD 的对角线AC =8cm ,∠AOD =120º,则AB 的长为_____________。
D
C
B
A
D
九年级数学 作业 姓名
1、如图,设M ,N 分别是直角梯形ABCD 两腰AD ,CB 的中点,DE 上AB 于点E ,将△ADE 沿DE 翻折,M 与N 恰好重合,则AE :BE 等于( ) A .2:1 B .1:2 C .3:2 D .2:3
2、小宇同学在一次手工制作活动中,先把一张矩形纸片按图1的方式进
行折叠,使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm ;展开后按图2的方式再折叠一次,使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm ,再展开后,在纸上形成的两条折痕之间的距离是( )
A .0.5cm
B .1cm
C .
1.5cm
D .2cm
3、如图,若将四根木条钉成的矩形木框变为平行四边形ABCD 的形状,并使其面积为矩形面
积的一半,则这个平行四边形的一个最小内角的值等于 。
4、矩形ABCD 中,22
=AB ,将角D 与角C 分别沿过A 和B 的直线
AE 、BF 向内折叠,使点D 、C 重合于点G ,且AGB EGF ∠=∠,则
=AD .
5、已知平行四边形A B C D ,AD a AB b ABC α===,,∠.点F 为线段B C 上一点(端点
B C ,除外),连结A F A C ,,连结D F ,并延长D F 交A B 的延长线于点E ,连结C E .
(1)当F 为B C 的中点时,求证E F C △与A B F △的面积相等;
(2)当F 为B C 上任意一点时,E F C △与A B F △的面积还相等吗?说明理由.
左
右
左
右
第二次折叠 第一次折叠
图1
图2
6、在一次数学实践探究活动中,小强用两条直线把平行四边形ABCD 分割成四个部分,使含有一组对顶角的两个图形全等; (1)
根据小强的分割方法,你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有 组;
(2)请在图中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线; (3)由上述实验操作过程,你发现所画的两条直线有什么规律?
7、如图:把一个矩形如图折叠,使顶点B 和D 重合,折痕为EF 。
(1)找出全等三角形;(2)△DEF 是什么三角形,并证明;(3)连接BE ,判断四边形BEDF 是什么特殊四边形,BD 与EF 有什么关系?并证明。
8、如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =12,BC =16,动点P 从点A 出发沿AC 边向点C 以每秒3个单位长的速度运动,动点Q 从点C 出发沿CB 边向点B 以每秒4个单位长的速度运动.P ,Q 分别从点A ,C 同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动.在运动过程中,△PCQ 关于直线PQ 对称的图形是△PDQ .设运动时间为t (秒).(1)设四边形PCQD 的面积为y ,求y 与t 的函数关系式;(2)t 为何值时,四边形PQBA 是梯形?(3)是否存在时刻t ,使得PD ∥AB ?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由;(4)通过观察、画图或折纸等方法,猜想是否存在时刻t ,使得PD ⊥AB ?若存在,请估计t 的值在括号中的哪个时间段内(0≤t ≤1;1<t ≤2;2<t ≤3;3<t ≤4);若不存在,请简要说明理由.
A
B
C
D
A
B
C
D
D
C
B
A
P
C
Q
B。