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数学九年级（上）第一章知识点归纳总结1.1 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）。
等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。
等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。
1.2 直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称“HL”）。
角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半。
1.3 平行四边形的性质与判定：定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
定理1：平行四边形的对边相等。
定理2：平行四边形的对角相等。
定理3：平行四边形的对角线互相平分。
判定——从边：1两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
3两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
从角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
矩形的性质与判定：定义：有一个角的直角的平行四边形是矩形。
定理1：矩形的4个角都是直角。
定理2：矩形的对角线相等。
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
判定：1有三个角是直角的四边形是矩形。
2对角线相等的平行四边形是矩形。
菱形的性质与判定：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
定理1：菱形的4边都相等。
定理2：菱形的对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
判定：1四条边都相等的四边形是菱形。
2对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
正方形的性质与判定：正方形的4个角都是直角，4条边都相等，对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
正方形即是特殊的矩形，又是特殊的菱形，它具有矩形和菱形的所有性质。
判定：1有一个角是直角的菱形是正方形。
九年级上册数学第一章图形与证明(二)单元试题以下是查字典数学网为您引荐的九年级上册数学第一章图形与证明(二)单元试题，希望本篇文章对您学习有所协助。
九年级上册数学第一章图形与证明(二)单元试题时间：100分钟总分值：150分一、选择题(3分8=24分)1.等腰三角形的一个内角为40，那么这个等腰三角形的顶角为【】A.40B.100C. 40或100D. 70或502.使两个直角三角形全等的条件【】A.一锐角对应相等B.两锐角对应相等C.一条边对应相等D.两条边对应相等3.下面判定四边形是平行四边形的方法中，错误的选项是【】A.一组对边平行，另一组对边也平行B.一组对角相等，另一组对角也相等C.一组对边平行，一组对角相等D.一组对边平行，另一组对边相等4.四边形ABCD是平行四边形，以下结论中不正确的选项是【】A.当AB=BC时，它是菱形B.当ACBD时，它是菱形C.当ABC=90时，它是矩形D.当AC=BD时，它是正方形5.如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，那么△BEC的周长为【】6.依次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，那么原四边形一定是【】A.平行四边形.B.对角线相等的四边形.C.矩形.D.对角线相互垂直的四边形.7.如图，在□ABCD中，E是BC的中点，且AEC=DCE，那么以下结论不正确的选项是A. B. DF=2BFC.四边形AECD是等腰梯形D.△ABE是等腰三角形8.将矩形纸片ABCD按如下图的方式折叠，失掉菱形AECF.假定AB=3，那么BC的长为二、填空题(3分8=24分)9.如图，在△ABC中，C=90，AD平分CAB，BC=8cm，BD=5cm，，那么D点到直线AB的距离是 cm.10.等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3cm，BC=5cm，C=60，那么梯形的腰长是 cm.11.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=2，BOC=120，那么AC的长是__________.12.如图，菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，AB=4.那么菱形ABCD的面积是，对角线BD的长是 .13.在梯形ABCD中，AD//BC，对角线ACBD，且AC=5cm，BD=12cm，那么梯形中位线的长等于______cm.14.如图，菱形ABCD的两条对角线区分长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N区分是边AB、BC的中点，那么PM+PN的最小值是_____________.15.如图，假定将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30到正方形ABCD，那么图中阴影局部的面积为 .16.如图，有一张面积为1的正方形纸片ABCD，M，N区分是AD，BC边的中点，将C点折叠至MN上，落在P点的位置，折痕为BQ，连结PQ，那么PQ= .三、解答题(共102分)17.(此题8分)在等腰△ABC中，AB=AC=8，BAC=100，AD是BAC的平分线，交BC于D，点E是AB的中点，衔接DE. 求：(1)求BAD的度数;(2)求B的度数;(3)求线段DE的长.18.(此题8分)如图，ACBC，BDAD，AC 与BD 交于O，AC =BD. 求证：(1)BC=AD; (2)△OAB是等腰三角形.19.(此题8分)我们把依次衔接恣意一个四边形各边中点失掉的四边形叫做中点四边形.如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H区分是AB，BC，CD，DA的中点，依次衔接各边中点失掉中点四边形EFGH.(1)这个中点四边形EFGH的外形是_________;(2)请证明你的结论.20.(此题10分)如图,菱形ABCD的对角线相交于点O,延伸AB至点E,使BE=AB,连结CE.(1)求证:BD=EC;(2)假定E=50 ,求BAO的大小.21.(此题10分)有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如以下图.电信部门要修建一座信号发射塔，依照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必需相等，到两条公路l1，l2的距离也必需相等，发射塔C应修建在什么位置?请用尺规作图找出一切契合条件的点，注明点C的位置.(保管作图痕迹，不要求写出画法)22.(此题10分)如图，在梯形ABCD中，AB∥DC， DB平分ADC，过点A作AE∥BD，交CD的延伸线于点E，且C=2E.(1)求证：梯形ABCD是等腰梯形;(2)假定BDC=30，AD=5，求CD的长.23.(此题10分)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E 是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延伸线于F，且AF=DC，衔接CF.(1)求证：D是BC的中点;(2)假设AB=AC，试猜想四边形ADCF的外形，并证明你的结论.24.(此题12分)如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是线段AD上的一个动点(E与A、D不重合)，G、F、H区分是BE、BC、CE的中点.(1)试探求四边形EGFH的外形，并说明理由;(2)当点E运动到什么位置时，四边形EGFH是菱形?并加以证明;(3)假定(2)中的菱形EGFH是正方形，请探求线段EF与线段BC的关系，并证明你的结论.25.(此题12分)我们给出如下定义：假定一个四边形的两条对角线相等，那么称这个四边形为等对角线四边形.请解答以下效果：(1)写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的称号;(2)探求：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60时，这对60角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并说明你的结论.26.(此题14分) 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P 在AB上从A向B运动，衔接DP交AC于点Q.(1)试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ ;(2)当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的 ;(3)假定点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动进程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形.查字典数学网。
图形与证明（二）练习 姓名一、选择题:(每题2分,共26分)1.如图1所示, ABCD 中,两条对角线AC 、BD 相交于点O,AF ⊥BD 于F,CE ⊥BD 于E, 则图中全等三角形的对数共有( ) A.5对 B.6对 C.7对 D.8对CE BF A DOB 'CN BFADPM(2) (2) (3) 2.在 ABCD 中,AB ∥CD,AD ∥BC,则下列结论中正确的是( ) A.∠A=∠B B.AC=BD; C.AB=AD D.ABC ACD S S ∆∆=3.平行四边形的周长是25cm,对边的距离分别是2cm 、3cm,则这个平行四边形的面积为( ) A.15cm 2 B.25cm 2 C.30cm 2 D.50cm 24.一个菱形的两条对角线长分别是6cm,8cm,则这个菱形的面积S 等于( ) A.48cm 2B.24cm 2C.12cm 2D.18cm 25.直角三角形中,两条直角边长分别是12和5,则斜边上的中线长是( )A.26B.13C.8.5D.6.56.如图2所示,把菱形ABCD 沿着对角线AC 的方向移动到菱形A′B′C′D′的位置,它们的重叠部分(图中阴影部分)的面积是菱形ABCD 的面积的12,若AC=, 则菱形移动的距离AA′是( ) A.122C.1-17.在正方形ABCD 中,E 是AB 的中点,BF ⊥CE 于F,那么ABCD :S BFC S ∆正方形为( )A.1:3B.1:5C.1:4D.1:88.如图3所示,把矩形纸片ABCD 对折,设折痕为MN,再把B 点叠在折痕线上, 得到Rt △AB′E,沿着EB′线折叠所得到的△EAF 是( )A.等腰三角形B.等边三角形;C.等腰直角三角形D.直角三角形 9.等腰梯形的两条对角线互相垂直,中位线长为8cm,则它的高为( ) A.4cmcm C.8cm10.若一个梯形的中位线长为15,一条对角线把中位线分成两条线段, 这两条线段的比是3:2,则梯形的上、下底长分别是( )A.3,4.5B.6,9C.12,18D.2,311.如图4所示,在直角梯形ABCD 中,AB ⊥BC,AD=1,BC=3,CD=4,EF 为梯形的中位线,DH 为梯形的高且交EF 于G .下列结论:①G 为EF 的中点;②△EHF 为等边三角形;③四边形EHCF 为菱形;④12BEH C FH S S ∆∆=.其中正确的结论有( )A.1个B.2个C.3个D.4个CE B HG F A DCE B FADCEBFADP O CADO(4) (5) (6) (7)12.如图5所示,矩形ABCD 的边长AB=6,BC=8,将矩形沿EF 折叠,使C 点与A 点重合,则折痕EF 的长是( )A.7.5B.6C.10D.513.如图6所示,在矩形ABCD 中,AB=3,AD=4,P 是AD 上的动点,PE ⊥AC 于E,PF ⊥BD 于F,则PE+PF 的值为( ) A.125B.2C.52D.135二、填空题:(每题2分,共24分) 14.在四边形ABCD 中,∠B=80°,∠A 、∠C 、∠D 的度数比为2:3:5,则∠A= _____,∠C=_______,∠D=________.15.在 ABCD 中,若∠A:∠B=2:1,AD=20cm,AB=16cm, 则AD 与BC 两边间的距离是_____, ABCD 的面积是_______. 16.在四边形ABCD 中,∠A+∠C=180°,∠B:∠C:∠D=4:3:5,这个四边形中∠A=________,∠C=______,∠D=________.17.菱形的两条对角线长的比是1:2,其面积为12cm 2,则较长对角线是_______. 18.已知菱形的锐角是60°,边长是20cm,则较长的对角线是_____cm. 19.梯形ABCD 中,AB ∥CD,∠D=80°,∠C=50°,AB=4,CD=10,则AD 的长是______. 20.如图7所示, ABCD 中,AC ⊥AB,∠ABD=30°,AC 与BD 相交于点O, AO= 1, 则BC=_____.21. 如图8所示, 已知AD ∥BC, 要使四边形ABCD 为平行四边形, 需要增加条件_______.(只需填一个你认为正确的条件即可)22.如图9所示,已知矩形ABCD(AD>AB)中,AB=a,∠BDA=θ,试用a 与θ表示:AD=__________,BD=__________.23.如图10所示,是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图,由6个颜色不同的正方形组成.设中间最小的一个正方形边长为1,则这个矩形色块图的面积为________.CA DCBAD(8) (9) (10) (11)24.已知四边形ABCD 各边中点分别E 、F 、G 、H ，如果四边形ABCD 是________,那么四边形EFGH 是正方形.25.如图11所示,直角梯形ABCD 的中位线EF 的长为a,垂直于底的腰AB 的长为b,则图中阴影部分的面积等于________. 三、判断题:(正确的打“∨”，错误的打“×”,每题2分,共12分)26.n 边形的内角和为n ·180°-360°.( )27.四边形ABCD 中,∠A=∠B,∠C=∠D,则四边形ABCD 是平行四边形.( ) 28.矩形是平行四边形.( )29.菱形的两条对角线将菱形分成四个面积相等的直角三角形.( ) 30.一组邻边相等,一个角是直角的四边形是正方形.( ) 31.等腰梯形、直角梯形是特殊梯形.( )四、解答题:(第32、33题每题7分,其余每题8分,共38分)31.如图所示,以△ABC 的三边为边,分别作三个等边三角形. (1)求证四边形ADEF 是平行四边形.(2)△ABC 满足什么条件时,四边形ADEF 是菱形?是矩形? (3)这样的 ADEF 是否总是存在?32.已知:如图所示,BD 是△ABC 的角平分线,EF 是BD 的垂直平分线,且交AB 于E,交BC 于点F.求证:四边形BFDE 是菱形.E BFA D33.如图所示,在四边形ABCD 中,AD=BC,E 、F 、G 分别是AB 、CD 、AC 的中点. 求证:△EFG 是等腰三角形.CEFAD G34.如图所示,梯形ABCD 中,AD ∥BC,AB=DC.(1)P 、E 、F 分别是BC 、AC 、BD 的中点,求证:AB=PE+PF; (2)如果P 是BC 上的任意一点(中点除外),PE ∥AB,PF ∥DC,那么AB=PE+PF,这个结论还成立吗?如果成立,请证明;若不成立,请说明理由.E PBA D F CABEDF35. (多解题)如图所示,在梯形ABCD 中,AD ∥BC,AD<BC,F 、E 分别是对角线AC 、BD 的中点.求证:EF=12(BC-AD).E BADFC36. (多变题)已知:在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC,直线MN 是梯形的对称轴,P 是MN 上的一点, 直线BP 交直线DC 于点F,交CE 于点E,且CE ∥AB.(1)若点P 在梯形的内部,如图所示,求证:BP 2=PE ·PF;EPBAD F NCM(2)若点P 在梯形的外部,如图所示,那么(1)中的结论是否成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.。
第一章图形与证明测试题（时刻 60分钟 满分150分）一、选择题与填空（9×5′＋9×6′＝99′） 一、若等腰三角形底角为72 0，则顶角为（ ）A 、1080B 、720C 、540D 、360二、如图，将矩形ABCD 沿AE 折叠，若∠BAD′＝30°，则∠AED′ 等于（ ）A 、30°B 、45°C 、60°D 、75°3、 正方形具有而菱形不必然具有的性质是（ ）A 、对角线相等B 、对角线相互垂直平分C 、对角线平分一组对角D 、四条边相等4、用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形（不包括菱形、矩形、正方形） ②矩形 ③正方形 ④等腰三角形，必然能够拼成的图形的是（ ） A 、①②③ B 、②③④ C 、①③④ D 、①②④五、已知菱形的边长为6cm ，一个内角为600，则菱形较短对角线长是（ ） A 、6cm B、cm C 、3cm D、六、将边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点A 1、A 2、A 3、A 4别离是正方形的中心，则前5个如此的正方形重叠部份的面积和为（ ）A 、14B 、12C 、1D 、27、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC ＝12，BD ＝9.，则梯形两腰中点的连线EF 长是（ ） A 、10 B 、212 C 、152D 、12 八、如图，正方形ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上两点，连接BE 、BF 、DE 、DF ，则添加下列哪个条件能够判定四边形BEDF 是菱形（ ）A 、∠1＝∠2B 、BE ＝DFC 、∠EDF ＝600D 、AB ＝AFED ′DCBA（第2题） FCEDB A 12（第8题图）AD CFBEMN (第9题图)（第11题图）九、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，中位线EF 与对角线 AC 、BD 交于M 、N 两点，若EF ＝18cm,MN=8cm,则AB 的长等于（ ）A 、10cmB 、13cmC 、20cmD 、26cm10、写出等腰梯形的两个性质 ， 。
苏科版初中数学九年级上册第一章《图形与证明(二)》教学案及课时练习1.1-1.2等腰三角形的性质和判定、直角三角形全等的判定学习目标：通过对本章知识的小结与梳理，进一步掌握等腰三角形的性质和判定、直角三角形全等的判定、角平分线的性质定理与判定定理、特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的定义、性质和判定；等腰梯形的性质和判定；中位线定理，并会灵活运用．学习难点：性质定理和判定定理的应用课前预习1．根据“等腰三角形，等腰梯形的性质定理与判定定理，直角三角形全等的判定定理，角平分线的性质定理与判定定理，三角形中位线定理等。
”填表：图形名称图形性质（符号语言）判定（符号语言）等腰三角形等腰梯形角平分线线段的垂直平分线三角形中位线梯形中位线平行四边形矩形菱形正方形直角三角形全等的判定方法有：。
知识梳理1、我们学习了四边形和一些特殊的四边形，右图表示了在某种条件下它们之间的关系。
如果①，②两个条件分别是：①两组对边分别平行；②有且只有一组对边平行。
那么请你对标上的其他6个数字序号写出相对应的条件。
例题分析3、如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF。
D图1A B C E （1） 求证：BD =CD ；⑵如果AB =AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论。
【课后作业】1．平行四边形ABCD 中，如果∠A=55°，那么∠C 的度数是(A)45° (B)55° (C)125° (D)145°2．如图1，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，BC=12，则DE 的长是(A)4 (B)5 (C)6 (D)73、已知:如图,在矩形ABCD 中,E 、F 分别是边BC 、AB 上的点,且EF=ED,EF ⊥ED.求证:AE 平分∠BAD.4、如图11，已知ABC ∆中，D 是AB 中点，E 是AC 上的点， 且ABE BAC ∠=∠，EF ∥AB ，DF ∥BE ，⑴猜想DF 与AE 有怎样的特殊关系？ ⑵证明你的猜想．5、如图，在□ABCD 中，∠DAB=60°，点E 、F 分别在CD 、AB 的延长线上，且AE=AD ，CF=CB ．（1）求证：四边形AFCE 是平行四边形；（2）若去掉已知条件的“∠DAB=60°，上述的结论还成立吗?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定1、根据平行四边形、矩形、菱形与正方形之间的关系，归纳出正方形的判定定理2、能运用正方形的判定定理进行简单的计算与证明3、能运用正方形的性质定理与判定定理进行比较简单的综合推理与证明1．正方形的定义是 2．正方形的性质有 .3如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成（ ） Ａ．22.5Ｂ．30 Ｃ．45Ｄ．601、菱形添加一个怎样的条件可以成为正方形？试证明。
九年级上册第一章图形与证明（二）单元试题（苏科版）第一章图形与证明（二）检测题【本检测题满分：100分，时间：90分钟】一、选择题（每小题3分，共30分）1.如图，在△ABC中，，点D在AC边上，且，则∠A的度数为（）A.30°B.36°C.45°D.70°2.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，如果5cm，4cm，那么△DBC的周长是（）A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm3.使两个直角三角形全等的条件有（）A.一锐角对应相等B.两锐角对应相等C.一条边对应相等D.两条边对应相等4.（2012年浙江台州中考）如图，点D,E,F分别为△ABC三边的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为（）A．5B．10C．20D．405.如图，在平行四边形中，对角线,相交于点O，若，的和为18cm，，△AOB的周长为13cm，那么BC的长是（）A.6cmB.9cmC.3cmD.12cm6.（2012年长沙中考）下列四边形中，对角线一定不相等的是（）A.正方形B.矩形C.等腰梯形D.直角梯形7.从菱形的钝角顶点向对角的两条边作垂线，垂足恰好是该边的中点，则菱形的内角中钝角的度数是（）A.150°B.135°C.120°D.100°8.顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形中满足条件的是（）①平行四边形;②菱形;③等腰梯形;④对角线互相垂直的四边形.A.①③B.②③C.③④D.②④9.已知一矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（）A.6cm和9cmB.5cm和10cmC.4cm和11cmD.7cm和8cm10.在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且，，则梯形两腰中点的连线EF的长是（）A.10B.C.D.12二、填空题（每小题3分，共30分）11.（2012年哈尔滨中考）一个等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为_________.12.如图，已知∠120°，，AC的垂直平分线交BC于D，则∠______.13.如图，在△中，∠90°，平分∠，20cm，则点M到AB的距离是_________.14.用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形（非菱形、矩形和正方形）;②矩形;③正方形;④等腰三角形.一定可以拼成的图形是_________.(把所有符合条件的图形的序号都写上)15.（2012年宁夏中考）已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形的较短对角线的长是_________.16．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，点E，F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需要添加的一个条件是_________．(只需写出一个符合题意的条件即可)17.如图，在梯形中，∥，中位线与对角线，分别交于，两点，若18cm，8cm，则AB的长等于_____．18.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E，F分别从点B，D同时以同样的速度沿边BC，DC向点C运动.给出以下四个结论：①;②∠∠;③当点E，F分别为BC，DC的中点时，△AEF是等边三角形；④当点E，F分别为边BC，DC的中点时，△AEF的面积最大.上述结论正确的序号有.19.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使，则∠BCE的度数是20.如图，矩形的两条对角线交于点，过点作的垂线，分别交，于点，，连接，已知△的周长为24cm，则矩形的周长是cm．三、解答题（共40分）21.（5分）如图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合），MD⊥BC，MD交∠BAC的平分线于点D，求证：.22.（5分）如图，在四边形ABCD中，，，BD平分∠ABC.求证：∠∠180°.23.（5分）用反证法证明：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么这两条边所对的角也不相等.24.（5分）辨析纠错.已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，DF∥AB.求证：四边形AEDF是菱形.对于这道题，小明是这样证明的.证明：∵平分∠，∴∠1＝∠2（角平分线的定义）.∵∥，∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）.∴∠1＝∠3（等量代换）.∴（等角对等边）.同理可证：.∴四边形是菱形（菱形定义）.老师说小明的证明过程有错误，你能看出来吗？(1)请你帮小明指出他错在哪里.(2)请你帮小明做出正确的解答.25.（6分）（2012年浙江温州中考）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD．求证：四边形ACFD是菱形．26.（7分）（2012年宁夏中考）正方形ABCD的边长为3，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF=45°．将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF=FM；（2）当AE=1时，求EF的长．27.（7分）已知在等腰梯形D中，∥.(1)若，，梯形的高是4，求梯形的周长；(2)若，，梯形的高是h，梯形的周长为c，请用表示c；(3)若，，.求证：⊥.第一章图形与证明（二）检测题参考答案一、选择题1.B解析：因为，所以∠=∠.因为，所以∠∠，∠∠C.又因为∠∠∠，所以∠∠∠∠∠2∠，所以∠2∠2∠180°，所以∠36°.2.D解析：因为垂直平分AB，所以.所以△的周长＝(cm).3.D解析：直角三角形的全等比一般三角形的全等更容易判断，它们本身已有一对角对应相等，只要再有两条边对应相等即可.4.C解析:根据中位线定理可得BC=2DF，AC=2DE，AB=2EF，继而结合△DEF 的周长为10，可得出△ABC的周长．∵D，E，F分别为△ABC三边的中点，∴DE，DF，EF都是△ABC的中位线，∴BC=2DF，AC=2DE，AB=2EF，故△ABC的周长=AB+BC+AC=2（FE+DF+DE）=20．故选C．5.A解析：因为，，18cm，所以9cm.因为△AOB的周长为13cm，所以（cm）.又因为，，，所以cm.6.D解析：正方形、矩形、等腰梯形的对角线一定相等，直角梯形的对角线一定不相等.7.C解析：如图，在菱形ABCD中，AE⊥CD，AF⊥BC，连接AC.因为，所以AE是CD的中垂线，所以，所以三角形ADC是等边三角形，所以∠60°，从而∠120°.8.D解析:因为顺次连接任意一个四边形的各边中点，得到的是平行四边形，而要得到矩形，根据矩形的判定（有一个角是直角的平行四边形是矩形），所以该四边形的对角线应互相垂直，只有②④符合. 9.B解析:如图，在矩形ABCD中，10cm，15cm，是∠的平分线，则∠∠C.由AE∥BC得∠∠AEB，所以∠∠AEB，即，所以10cm，(cm)，故选B.10.C解析:如图，作∥，则四边形为平行四边形，，.又⊥，，，所以⊥.根据勾股定理得，根据梯形中位线的定义，.二、填空题11.16或17解析：当等腰三角形的腰长为5时，其周长为5×2＋6=16;当等腰三角形的腰长为6时，其周长为6×2＋5=17.所以这个等腰三角形的周长为16或17.12.60°解析:由题意可知，所以∠∠.又∠∠30°，所以∠∠∠60°.13.20cm解析:根据角平分线上的点到这个角两边的距离相等可得.14.①②④解析：两全等的直角三角形对应的直角边叠合，当一个直角三角形的直角顶点对应另一个直角三角形的非直角顶点时，拼成平行四边形（非矩形、菱形、正方形）；当一个直角三角形的直角顶点对应另一个直角三角形的直角顶点时，拼成等腰三角形.两全等的直角三角形对应的斜边叠合，两互余角的顶点对应时，拼成矩形.15.6解析:较短的对角线将菱形分成两个全等的等边三角形，所以较短对角线的长为6.16.答案不唯一，只要正确即可，如或∠∠.17.26cm解析:由EF是梯形ABCD的中位线，则EF∥CD∥AB，且，，则所以EM是△ADC的中位线，所以DC.同理，DC.所以所以.又MF为△ABC的中位线，所以26cm.18.①②③解析：因为四边形ABCD为菱形，所以ABADCBCD，∠B=∠D，BE=DF，所以△≌△，所以AEAF，①正确.由CB=CD，BE=DF得CE=CF，所以∠CEF=∠CFE，②正确.当E，F分别为BC，CD的中点时，BE=DF=BC=DC.连接AC，BD，知△为等边三角形，所以⊥，⊥，所以∠AEF=，由①知AEAF，故△为等边三角形，③正确.设菱形的边长为1，当点E，F分别为边BC，DC的中点时，的面积为，而当点E，F分别与点B，D重合时，=.故④错.19.22.5°解析:由四边形是正方形，得∠∠又，所以，所以∠20.48解析:由矩形可知，又⊥，所以垂直平分，所以.已知△的周长为24cm，即所以矩形ABCD的周长为三、解答题21.证明：∵⊥，且∠90°，∴∥，∴∠∠D.又∵AD为∠的平分线，∴∠∠，∴∠∠，∴.22.分析：从条件BD平分∠ABC，可联想到角平分线定理的基本图形，故要作垂线段.证明：如图，过点D作DE⊥AB交BA的延长线于点E，过点D作于点F.因为BD平分∠，所以.在Rt△和Rt△中，，所以Rt△≌Rt△(HL).所以∠∠.因为∠∠180°，所以∠∠180°.23.解：已知：如图，在△ABC中，，求证：∠∠.证明：假设∠∠C，那么根据“等角对等边”可得，但已知条件是，矛盾，因此∠∠.24.解：能.⑴小明错用了菱形的定义.⑵改正：∵∥，∥，∴四边形是平行四边形.∵平分∠，∴∠∠2.∵∥，∴∠∠2，∴∠＝∠3.∴，∴平行四边形是菱形.25.分析：根据平移的性质可得CF=AD=10cm，DF=AC=10cm，就可以根据四条边都相等的四边形是菱形得到结论．证明：由平移变换的性质得CF=AD=10cm，DF=AC.∵∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，∴AC=10cm.∴AC=DF=AD=CF=10cm，∴四边形ACFD是菱形．26.（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，∴F，C，M三点共线，DE=DM，∠EDM=90°，∴∠EDF+∠FDM=90°.∵∠EDF=45°，∴∠FDM=∠EDF=45°.在△DEF和△DMF中，DE=DM，∠EDF=∠MDF，DF=DF，∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF=MF.（2）解：设EF=MF=x，∵AE=CM=1，且BC=3，∴BM=BC+CM=3+1=4，∴BF=BM－MF=BM－EF=4－x.∵EB=AB－AE=3－1=2，在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，即22+（4－x）2=x2，解得：x=，即EF=.27.(1)解:如图，作DE∥AB，DF⊥BC.因为AD∥BC，所以四边形ABED是平行四边形，所以AB=DE，AD=BE.因为AB=CD，所以DE=DC.又DF⊥BC，所以EF=FC.因为AD=5，BC=11，梯形的高是4，所以EC=BC－AD=6，EF=FC=3，DF=4，从而，梯形的周长为AB+BC+CD+AD=5+11+5+5=26.(2)解：若AD=a，BC=b，梯形的高是h，则DF=h，EF=FC=(b-a)，. 所以梯形的周长c=AB+BC+CD+AD=.(3)证明：如图，过点D作AC的平行线，交BC的延长线于点E. 由等腰梯形的性质得AC=BD.因为AD∥BC，ED∥AC，所以四边形ACED是平行四边形，所以AD=CE，AC=DE，从而BD=DE=.又BE=BC+CE=BC+AD=10，所以，所以DE⊥BD，即AC⊥BD.。
BCA第一章 图形与证明（二）九年级数学中午作业姓名1、（1）已知一斜坡的坡度为1：3 ，则斜坡的坡角为 。
（2）已知一斜坡的坡度为1：4，水平距离为20米，则该斜坡的垂直高度为 。
2、在坡度为1:3.5的山坡上上行500米，则垂直高度上升了 米.在这样的山坡上植树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是3米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离应是米 (精确到0.1米).3、 如图，某建筑物BC 直立于水平地面上，AC=9m 要建造阶梯AB ，使每阶高不超过20cm ，且阶梯AB 的坡比i=1______阶（最后一阶不是20cm 时，按一1.732）4、实验中学要修建一座图书楼，为改善安全性能，把楼梯的倾斜角由原来设计的42改为36 ．已知原来设计的楼梯长为4.5m ，在楼梯高度不变的情况下，调整后的楼梯多占地面_____________m ．（精确到0.01m ）5、如图，某人在山坡坡脚A 处测得电视塔尖点C 的仰角为60 ，沿山坡向上走到P 处再测得点C 的仰角为45 ，已知100OA =米，山坡坡度12i =:且O A B ，，在同一条直线上．求电视塔OC 的高度以及此人所在位置点P 的铅直高度．（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）第4题图COABP山坡水平地面6045 （第5题图）6、武当山风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由44 减至32 ，已知原台阶AB的长为5米（BC所在地面为水平面）．（1）改善后的台阶会加长多少？（精确到0.01米）（2）改善后的台阶多占多长一段地面？（精确到0.01米）7、如图，山顶建有一座铁塔，塔高80BC=米，测量人员在一个小山坡的P处测得塔的底部B点的仰角为45 ，塔顶C点的仰角为60 ．已测得小山坡的坡角为30 ，坡长40MP=米．求山的高度AB（精确到11.414≈1.732≈）BCA44ºCPBA M。
“图形与证明（二）”综合测试题1．如图1，菱形ABCD 中，AE 垂直平分BC ，垂足为E ，AB=4．则菱形ABCD 的面积是 ，对角线BD 的长是 ． 2．如图2，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠C AB ，BC=8cm ，BD=5cm ，，那么D 点到直线AB 的距离是 cm ．3．如图3，有一张面积为1的正方形纸片ABCD ，M ，N 分别是AD ，BC 边的中点，将C 点折叠至MN 上，落在P 点的位置，折痕为BQ ，连结PQ ，则PQ= ．4．如图4，若将边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30︒到正方形AB C D '''，则图中阴影部分的面积为 ．5．如图5，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是线段AD 上的一个动点(E 与A 、D 不重合)，G 、F 、H 分别是BE 、BC 、CE 的中点．（1）试探索四边形EGFH 的形状，并说明理由．（2）当点E 运动到什么位置时，四边形EGFH 是 菱形?并加以证明．（3）若（2）中的菱形EGFH四、创新题6．我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形．请解答下列问题：（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称．（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并说明你的结论．B图1 B 图2ＭＤ ＱＢ 图3 D 'C 图49．将n 个边长都为lcm 的正方形按如图所示的方法摆放，点A 1，A 2，……，A n 分别是正方形的中心，则n 个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为10．如图，O 为矩形ABCD 的中心，将直角三角板的直角顶点与O 点重合，转动三角板使两直角边始终与BC 、AB 相交，交点分别为M 、N ．如果AB =8，AD =12，O M =x ,ON=y 则 y 与x 的关系是11.如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、 N 分别是边AB 、BC 的中点，则PM +PN 的最小值是_____________.12． 如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点P 在AB 上从A 向B 运动，连接DP 交AC 于点Q . （1）试证明：无论点P 运动到AB 上何处时，都有△ADQ ≌△ABQ ；（2）若点P 从点A 运动到点B ，再继续在BC 上运动到点C ，在整个运动过程中，当点P 运动到什么位置时，△ADQ 恰为等腰三角形.NOABDCM第14题13.情境观察：将矩形ABCD 纸片沿对角线AC 剪开，得到△ABC 和△A′C ′D ，如图1所示.将△A′C ′D 的顶点A′与点A 重合，并绕点A 按逆时针方向旋转，使点D 、A (A′)、B 在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC 相等的线段是 ，∠CAC ′=问题探究如图3，△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，以A 为直角顶点，分别以AB 、AC 为直角边，向△ABC 外作等腰Rt △ABE 和等腰Rt △ACF ，过点E 、F 作射线GA 的垂线，垂足分别为P 、Q . 试探究EP 与FQ 之间的数量关系，并证明你的结论.拓展延伸如图4，△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，分别以AB 、AC 为一边向△ABC 外作矩形ABME 和矩形ACNF ，射线GA 交EF 于点H . 若AB =k AE ，AC =k AF ，试探究HE 与HF 之间的数量关系，并说明理由.图3ABCEFGP Q 图1 图2C'A'BADCABCDBCDA (A')C'图4M NGFECBAH14.如图①，将直角梯形OABC放在平面直角坐标系中，已知OA＝5，OC＝4，BC∥OA，BC＝3，点E在OA上，且OE＝1，连结OB、BE．(1)求证：∠OBC＝∠ABE;(2)如图②，过点B作BD⊥x轴于D，点P在直线BD上运动，连结PC、P、PA和CE．①当△PCE的周长最短时，求点P的坐标；②如果点P在x轴上方，且满足S△CEP：S△ABP＝2：1，求DP的长．15在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点.现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线y=x 上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线y=x 于点M ，BC 边交x 轴于点N （如图）. （1）求边OA 在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN 和AC 平行时，求正方形OABC 旋转的度数； （3）试证明在旋转过程中, △MNO 的边MN 上的高为定值；（4）设△MBN 的周长为p ，在旋转过程中，p 值是否发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求出p 的值。
yxy=x NMOCBA参考答案15.（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，∴OA旋转了45度．∴OA在旋转过程中所扫过的面积为0.5π ．（2）∵MN‖AC，∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45度．∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN．又∵BA=BC，∴AM=CN．又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，∴△OAM ≌△OCN．∴∠AOM=∠CON．∴∠AOM= 1/2（90°-45°）=22.5度．∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5度．（3）MN边上的高为2（4）证明：延长BA交y轴于E点，则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，∴∠AOE=∠CON．又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．∴△OAE ≌△OCN．∴OE=ON，AE=CN．又∵∠MOE=∠MON=45°，OM=OM，∴△OME ≌△OMN．∴MN=ME=AM+AE．∴MN=AM+CN，∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4．∴在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．16.探究与应用：在学习几何时，我们可以通过分离和构造基本图形，将几何“模块”化．例如在相似三角形中，K字形是非常重要的基本图形，可以建立如下的“模块”（如图①）：(1)请就图①证明上述“模块”的合理性；(2)请直接．．上述“模块”的结论解决下面两个问题：．．利用①如图②，已知点A(－2，1)，点B在直线y＝－2x＋3上运动，若∠AOB＝90°，求此时点B的坐标；②如图③，过点A(－2，1)作x轴与y轴的平行线，交直线y＝－2x＋3于点C、D，求点A关于直线CD的对称点E的坐标．17. （1）如图（1），正方形AEGH 的顶点E 、H 在正方形ABCD 的边上，直接写出HD ：GC ： EB 的结果（不必写计算过程）；（2）将图（1）中的正方形AEGH 绕点A 旋转一定角度，如图（2），求HD ：GC ：EB ；（3）把图（2）中的正方形都换成矩形，如图（3），且已知DA ：AB=HA ：AE=m ：n ，此 时HD ：GC ：EB 的值与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后 的结果（不必写计算过程）．18.如图，在△ABD 和ACE 中，,,AB AD AC AE BAD CAE ==∠=∠，连接,BC DE 相交于点F ，BC 与AD 相交于点G ．（1）试判断线段,BC DE 的数量关系，并说明理由； （2）如果ABC CBD ∠=∠，那么线段FD 是线段FG 和FB 的比例中项吗？并说明理由.A DHGC(3)B(1)E DH CAGBBDCA GEF(2) EDCHG BA19. 如图1，已知直线y ＝－2x ＋4与两坐标轴分别交于点A 、B ，点C 为线段OA 上一动点， 连结BC ，作BC 的中垂线分别交OB 、AB 交于点D 、E(l)当点C 与点O 重合时，DE ＝ ▲ ； (2)当CE ∥OB 时，证明此时四边形 BDCE 为菱形；(3)在点C 的运动过程中，直接写出OD 的 取值范围．20.如图，已知P 为AOB ∠的边OA 上的一点，且2OP =.以P 为顶点的MPN ∠ 的两边分别交射线OB 于M N ，两点，且60MPN AOB ∠=∠=︒．当M P N ∠以点P 为旋转中心，PM 边与PO 重合的位置开始，按逆时针方向旋转（MPN ∠保持不变）时，M N ，两点在射线OB 上同时以不同的速度向右平行移动．设,OM x ON y ==（0y x >>），△POM 的面积为S ．（1）判断：△OPN 与△PMN 是否相似，并说明理由； （2）写出y 与x 之间的关系式；（3）试写出S 随x 变化的函数关系式，并确定S 的取值范围．备用图图1MNBPAO21.知识迁移当0a >且0x >时，因为2≥0,所以a x x -≥0, 从而ax x+≥当x =). 记函数(0,0)ay x a x x=+>>,由上述结论可知：当x =,该函数有最小值为直接应用已知函数1(0)y x x =>与函数21(0)y x x=>, 则当x = ▲ 时,12y y +取得最小值为 ▲ . 变形应用已知函数11(1)y x x =+>-与函数22(1)4(1)y x x =++>-,求21y y 的最小值,并指出取得该最小值时相应的x 的值. 实际应用已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用,共360元；二是燃油费,每千米为1.6元；三是折旧费,它与路程的平方成正比,比例系数为0.001.设该汽车一次运输的路程为x 千米,求当x 为多少时,该汽车平均每千米的运输成本．．．．．．．．．．最低？最低是多少元？7．如图7，已知有四个动点P 、Q 、E 、F 分别从正方形ABCD 的顶点A 、B 、C 、D 同时出发，沿AB 、BC 、CD 、DA 以同样的速度匀速向B 、C 、D 、A 移动．（1）求证：四边形PQEF 是正方形． （2）PE 是否总过某一点，并说明理由．（3）四边形PQEF 的顶点在何处时哦，其面积有最小值和最大值，并求其最小值和最大值．参考答案：1．83，43 2．34．1 5．（1）四边形EGFH 是平行四边形．理由：因为点G 、F 、H 分别是BE 、BC 、CE 中点，所以GF ∥EH ，GF=EH ．所以四边形EGFH 是平行四边形．（2）点点E 是AD 中点时，四边形EGFH 是菱形． 理由：因为四边形ABCD 是等腰梯形，所以AB=CD ，∠A=∠D ．因为AE=DE ，所以△ABE ≌△DCE ．所以BE=CE ．因为点G 、H 分别是BE 、CE 中点，所以EG=EH ．又由（1）知四边形EGFH 是平行四边形，所以四边形EGFH 是菱形．（3）EF ⊥BC ，EF=21BC ． 理由：因为四边形EGFH 是正方形，所以EG=EH ，∠BEC=90º．因为点G 、H 分别是BE 、CE 中点，所以BE=EC ．即△BEC 为等腰直角三角形．因为点F 是BC 中点，所以EF ⊥BC ，EF=21BC ． 四、6．（1）等腰梯形，矩形等．（2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长．已知：四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AC ＝BD ，且∠AOD ＝60°试说明：BC ＋AD ≥AC ．理由：过点D 作DF ∥AC ，在DF 上截取DE ，使DE ＝AC ，连结CE 、BE ，故∠EDO ＝60°，四边形ACED 是平行四边形，所以△BDE 是等边三角形，CE ＝AD ，所以DE ＝BE ＝AC ． ①当BC 与CE 不在同一条直线上时（如下图）D图7A F PO EB Q C在△BCE 中，有BC ＋CE ＞BE ，所以BC ＋AD ＞AC ．②当BC 与CE 在同一条直线上时（如下图）则BC ＋CE ＝BE ，因此 BC ＋AD ＝AC ．综合①、②，得 BC ＋AD ≥AC ．即等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长．7．（1）证明：由题意，得AP=BQ=CE=DF ．因为四边形ABCD 是正方形，所以BP=CQ=DE=AF ，∠A=∠B=∠C=∠D=90º，所以△APF ≌△BQP ≌△CEQ ≌△DFE ，所以PF=PQ=QE=EF ，∠AFP=∠BPQ ．又因为∠AFP+∠APF=90º，所以∠BPQ+∠APF=90º，所以∠QPE=90º，所以四边形PQEF 是正方形．（2）连结AC 交PE 于点O ，因为正方形ABCD 中，AB ∥CD ，所以∠BAC=∠DCA ．又因为∠AOP=∠COE ，AP= CE ，所以△AOP ≌△COE ，所以AO=CO ，所以PE 总过AC 的中点．（3）因为正方形PQEF 的面积为PQ 2．又Rt △BPQ 中，PQ 2=PB 2+BQ 2=PB 2+AP 2=21[( PB+ AP)2+(BP-AP)2] =21[AB 2+(BP-AP)2]．所以当BP=AP 即P 、Q 、E 、F 是各边中点时，PQ 2取得最小值，最小值为21AB 2，即正方形PQEF 的面积的最小值为21AB 2． 当BP 或AP 有一个取0即点P 、Q 、E 、F 移到各顶点时，PQ 2取得最大值，即正方形PQEF 的面积的最大值为AB 2．22．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 在AB 边上，四边形EFGB 也为正方形， 设△AFC 的面积为S ，则A ．S=2B ．S=4C ．S=2.4D ．S 与BE 长度有关（ ）23. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8．动点P 从点A 开始沿折线AC-CB-BA 运动，点P 在AC ，CB ，BA 边上运动，速度分别为每秒3，4，5个单位．直线L 从与AC 重合的位置开始，以每秒43个单位的速度沿CB 方向平行移动，即移动过程中保持L ∥AC ，且分别与CB ，AB 边交于E ，F 两点，点P 与直线l 同时出发，设运动的时间为t 秒，当点P 第一次回到点A 时，点P 和直线l 同时停止运动．（1）当t=5秒时，点P 走过的路径长为 ▲ ；当t= ▲ 秒时，点P 与点E 重合；（2）当点P 在AC 边上运动时，将△PEF 绕点E 逆时针旋转，使得点P 的对应点M 落在EF 上，点F 的对应点记为点N ，当EN ⊥AB 时，求t 的值；（3）当点P 在折线AC-CB-BA 上运动时，作点P 关于直线EF 的对称点，记为点Q ．在点P 与直线l 运动的过程中，若形成的四边形PEQF 为菱形，请直接写出t 的值．A F N BPl E CM备用图。
