唐静静工程力学第七章梁

（3）空心圆截面（形心重合）
b
z y
d
z y
Iz
=
Iy
=
π 64
(D4
−
d4)
=
πD 4 64
(1 − α 4 )
α=d D
（4）型钢截面 可从型钢表中查得。
D d
z y
3、惯性矩的平行移轴公式
设图形对于形心轴的惯性矩
分别为 I yC 和 I zC ，图形对于平行 于形心轴的两轴y、z的惯性矩分
别为 I y 和 Iz 。
= 55.9MPa
σ Bs =
M B ⋅ ys Iz
=
3×103 ×35×10−3 290.6 ×10−8
= 36.1MPa
σ bmax = σ Cx = 55.9MPa
（3）计算最大压应力
因 M C < M B , y s < y x ，故最大压应力必定发生在 B截面的下边缘处.
σ bc max
= σ Bs
高度上线性分布。
1= M ρ E Iz
结论 2. 直梁发生纯弯曲变形，变形后梁的轴线的曲率与 弯矩成正比。
纯弯曲时的正应力：结论与讨论
讨论 1. 纯弯曲时横截面上正应力大小与梁的弹性 模量 E 有关系否？
σ = E y = My ρ Iz
1= M ρ E Iz 没有关系。
d
Pa
h d h
纯弯曲时的正应力：结论与讨论
A
A
I Z = I zC + Aa 2 ——惯性矩的平行
I y = I yC + Ab 2
移轴公式
I
II
Iz = ?
I z = I z,I + I z,II
zCI
I z,I
=
80× 203 12
×10−12
+ (80× 20)
zCII
× (35 − 20)2 ×10−12 = 105.3 ×10−8 m4
例3：图示为一T形截面的外伸梁及其横截面尺寸。已知 Iz = 290.6×10−8m4 ， 试求横截面上的最大拉应力和最大
压应力。
解：（1）作梁的弯矩图
（2）计算最大拉应力
危险截面与危险点
危险截面的应力分布
最大拉应力可能发生在C截面的下边缘处和B截 面的上边缘处.
σ Cx =
MC ⋅ yx Iz
=
2.5×103 ×65×10−3 290.6 ×10−8
∫ 图形对于 z 轴的静矩
Sz =
ydA
A
∫ 图形对于 y 轴的静矩
Sy =
zdA
A
∫ 图形对 y 轴的惯性矩
I yy =
z 22dA
AA
∫ 图形对 z 轴的惯性矩
I zz =
y 22dA
AA
∫ 图形对 y z 轴的惯性积 I yyzz =
yzdA
AA
∫ 图形对 O 点的极惯性矩
I PP =
r 22dA
AA
O
z
dA y
z
y
A
二、惯性矩
1.计算公式
∫ I z = y 2dA A
2.几种常见形状截面的惯性矩
（1）矩形截面
h
2
∫ ∫ I z = y 2 d A = y 2 b d y
A
−h
2
= bh 3
12
h h
b
z y
（1）矩形截面
Iz
=
bh 3 12
（2）实心圆截面
Iz
=
Iy
=
Ip 2
=
πd 4 64
（2）各横向线相对转过了一个角度,仍保持为直线。 （3）变形后的横向线仍与纵向弧线垂直。
纯弯曲时的正应力：概述
纯弯曲时的正应力：公式推导
1. 变形几何关系 M
M
☆ 纯弯曲时的基本假设
（1）平面假定( Plane Assumption )
(a) 变形前为平面的横截面变形后仍为平面
(b) 仍垂直于变形后梁的轴线
x
（2）计算最大正应力 M
因全梁横截面的弯矩均为负值，故最大弯曲正应力必 定在弯矩绝对值最大的横截面上，且最大拉应力在该截面 的上边缘处，最大压应力在该截面的下边缘处。
σ bmax
=
M max ⋅ ybmax Iz
=
3×103 ×35×10−3 290.6×10−8
= 36.1MPa
σ bc max
σ max
=
M W
=
30 × 10 3 7 .9 × 10 − 4
= 38 .2 × 10 6 Pa = 38 .2 MPa
纯弯曲时的正应力：例题
[例2] 在相同载荷下，将实心轴改成σmax 相等的空心轴， 空心轴内外径比为0.6。求空心轴和实心轴的重量比。
Ｄ1 解：（1）确定空心轴尺寸
Ｄ
ｄ1
由
σ max
下，采用空心轴节省材料。
纯弯曲时的正应力：例题
火车车轮轴
P a
CA
FFQS
C\ A P
\
CA
M
如何设计车轮轴的横截面?
中间段采用空心圆截面。
aP BD
P
⊕
B Dx
BD x
纯弯曲时的正应力：结论与讨论
四、结论与讨论
σ = My
M
Iz
z
O
x
σ max
=
M W
y
结论 1. 直梁发生纯弯曲变形，横截面上正应力沿横截面
P
P （如图中AC 段和BD 段 ）
a
a
CA
BD
FFQS
P
C\ A
⊕
B Dx
P
P
Pa
\
CA M
BD x
三、弯曲构件横截面上的应力
内力 剪力FQ 弯矩M
切应力 τ 正应力 σ
τ • 弯曲切应力
——横截面上切向分布内力的集度
σ • 弯曲正应力
——横截面上法向分布内力的集度
mM
m FQ mτ
m FQ m σM
三、弯曲截面模量
W = Iz ymax
矩形截面 W = I z = bh 3 12 = bh 2
h2 h2
6
实心圆截面
W
= Iz d2
= π d 4 64 d2
= πd 3 32
d
y
空心圆截面 W = π D 3 (1 − α 4 )
32
α=d D
型钢
可查型钢表或用组合法求
b
z y
z D d
z y
纯弯曲时的正应力：例题
横截面上无切应力
（2）纵向纤维间无正应力
纵向纤维无挤压
横截面上只有轴向正应力
z x
y
中性轴(Neutral Axis)
中性层(Neutral Surface)
纯弯曲时的正应力：公式推导
b1'b2' = (ρ + y)dθ
b1b2 = dx = O1O2 = O1'O2' = ρ dθ
ε = (ρ + y)dθ − ρ dθ = y
σdA = E
A
ρ
ydA = 0
A
∫ Sz = yd A = 0 ——横截面面积
A
对z轴的静矩
上式表明中性轴通过横截面形心。
将应力表达式代入第二式，得
∫ ∫ zσ dA = E yzdA = 0
A
ρ
A
纯弯曲时的正应力：公式推导
σ
=
E
y ρ
∫ M z = y σ d A = M (3 ) A
将应力表达式代入第三式，得
2
I z,II
=
20 × 803 12
×10−12
+ (20×80)
×(65− 80)2 ×10−12 = 185.3 ×10−8 m4
2
I z = 105.3×10−8 + 185.3×10−8
= 290.6 ×10−8 m4
h Pa
纯弯曲时的正应力：公式推导
σ max
=
Mymax Iz
=M W
纯弯曲时的正应力：公式推导
纯弯曲时横截面上任意一点的弯曲正应力
σ
=
E
y ρ
3. 静力平衡关系
横截面上内力系为垂直于 M 横截面的空间平行力系。
这一力系向坐标原点O简化，
zM
O
dA x σdA
y
得到三个内力分量。
∫ FN = σ d A = 0 A
∫ M y = z σ d A = 0 A
∫ M z = y σ d A = M A
=−
MB ⋅ Iz
ys
= −67.1MPa
=
−
3×103 ×65×10−3 290.6 ×10−8
§7-5 梁的正应力强度条件
一、正应力强度条件
[例1]如图所示的悬臂梁，其横截面为直径等于200mm 的实心圆，试计算轴内横截面上最大正应力。
30 kN·m Ｄ
L
⊕
M
30 kN·m
分析：纯弯曲
σ max
=
M W
解：（1）计算W
W = π D 3 = π × 200 3 × 10 −9 = 7 .9 × 10 −4 m 3
32
32
（2）计算σ max：
y = yC + a
∫ ∫ I z = y2dA = ( yC + a)2 dA
z = zC + b
A
A
∫ ∫ ∫ = yC 2dA + 2a yCdA + a2 dA = IzC + 2a⋅0+ a2A