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⇒| ab | =lcm(| a |,|b |) |a =| n1,| b=| lcm(n2,...,nt ) ⇒| ab=| lcm(n1,n2,...,nt ).
16
置换的性质
例4：决定S7中元素的阶：
记(n)为一个n-圈,则S7中元素的所有可能形式为:
(7)
(6)(1) (5)(2) (5)(1)(1) (4)(3) (4)(2)(1) (4)(1)(1)(1) (3)(3)(1)
... ...
α (nn) .
例3: 正方形的对称: 旋转, 反射
=ρ
= 12 23 34 14 ,φ
1 2
2 1
3 4
4 3 .
所有对称:= ρ iφ j : i 0= ,1, 2,3, j 0,1= D4 ρ,φ ≤ S4. 7
圈
二、圈(Cycle)
令
α
=
1 2
2 1
3 4
4 6
5 5
6 3 ,
24
(x1 –x2)(x1 –x3 ) (x2 –x3 )
置换的性质
例8:正四面体的旋转群A4
25
置换的性质
26
置换的性质
例9: 移动魔盘,能否变出下面图形？
两个基本变换：a=(13456), b=(132)
问题：用 a,b 表示出置换(13256).
GAP或MAGMA：| a,b |= 360. a,b 偶置换, a,b = A6. 同时可求: (13256)=？(a,b表示).
设σ
= 12 24 33 54 15 ,γ
1 5
2 4
3 1
4 2
5 3 ,
则：
注：本书复合运算定义次序，先右后左
5
概念与记号
例1: 对称群S3：集合{1,2,3}到自身的所有置换
组成的群,记为S3.则 |S3|=6,且S3为非交换群.
S3中6个元素分别为：
ε
= 11 22 33 ,α
12= 23 13 ,α 2
= (ab)l albl =e ⇒| ab |≤ l. e = (ab)|ab| = a b |ab| |ab| ⇒ a|ab| = b−|ab| ∈ a ∩ b ⇒ a|ab| =b|ab| =e ⇒ | a| | ab |, | b | | ab |⇒ l ≤| ab | .
15
置换的性质
定理5.3 n-圈阶为n,不交圈乘积的阶是所有圈长 的最小公倍数.
22
置换的性质
奇、偶置换 一个置换若能分解成偶数个对换乘积,则称其 为偶置换(even permutation), 否则,称为奇置换 (odd permutation). 定理5.6 Sn中所有偶置换组成一个子群,称其为级 数为n的交错群(Alternating group), 记为An.
证明见 Ex 17
例5: 决定S7中阶为3的元素个数： 根据定理5.3, 只需要计算形如(a1,a2,a3)(a4,a5,a6), (a1,a2,a3)的置换个数: (a1, a2, a3) : (7 ⋅ 6 ⋅ 5) / 3 =70;
(a1, a2, a3)(a4, a5, a6 ) : (7 ⋅ 6 ⋅ 5)(4 ⋅ 3⋅ 2) / (3⋅ 3⋅ 2) =280;
圈的乘积也是置换, 如果有一个1-圈则可以去掉 (单位元): (a1,a2,…,am)( ai)=(a1,a2,…,am). 单位元要保留一个1-圈：e=(a1)=(a2)= … 前面例子显示，置换可以表达成不交圈之积.
如何表达两个置换为不交圈之积？
10
圈
令α =(13)(27)(456)(8),β =(1237)(648)(5). 那么,αβ =?
置换的性质
定理5.5 置换表示成对换乘积时,其对换个数的
奇偶性不变,即若 α =β1β2...βr =γ1γ 2...γ s 为对换乘
积，则 r, s 奇偶性相同.
证：
ε
=γ
1γ
2
...γ
s
β
−1β
r
−1
r −1
...β
−1
1
=γ
1γ
2
...γ
s
β
r
β
r
−1
...β1
⇒ r + s为偶数 ⇒ r, s奇偶性相同.
证：每个置换可表示成不交圈乘积， 而每个圈可以表达成对换乘积： (a1a2...ak ) = (a1ak )(a1ak−1)...(a1a2 ).
例7: (12345)=(15)(14)(13)(12)=
这种表示不唯一,特 别的,对换的个数也 不是唯一确定的.
(51234)=(54)(53)(52)(51)=
(13256) = a3ba2ba3bababa2ba3ba3ba2b2
27
应用
四、魔方(Rubik’s Cube)
1974 Erro Rubik 发明魔方, 至2009卖出3.5亿个. 给定起始位置，任何位置变回至少多少次旋转？ 26个小立方 体组成 2010用35 CPU-years：不超过20次可变回起始位.
of length m or m-cycle).
9
圈
注: 1-圈固定所有元素,它是置换群中的单位元.
定义: 若两个圈, 比如m-圈(a1,a2,…,am)和n-圈 (b1,b2,…,bn),中的元素a1, a2, …, am, b1, b2, …, bn互 不相同, 称这两个圈是不交的(disjoint).
αβ =(13)(27)(456)(8)(1237)(648)(5)
1 (5)→1 (648)→1 (1237)→ 2 (8)→ 2 (456)→ 2 (27)→ 7 (13)→ 7 7 (5)→7 (648)→7 (1237)→1 (8)→1 (456)→1 (27)→1 (13)→3 类似：3 → 2,2 → 1,4 → 8,8 → 4,5 → 6,6 → 5.
3
概念与记号
置换的记法
通常不关心集合元素具体形式，用{1, 2, …, n}表示.
集合{1,2,3,4}上的一个置换 α 可以定义如下： = α (1) 2,= α (2) 3= ,α (3) 1,= α (4) 4.
为方便表达，用如下形式：
α
=
1 2
2 3
3 1
4 4
.
4
概念与记号
置换的复合运算
(3)(2)(2)
(3)(2)(1)(1) (3)(1)(1)(1)(1) (2)(2)(2)(1) (2)(2)(1)(1)(1) (2)(1)(1)(1)(1)(1) (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)
所以, S7中元素的阶为7, 6, 10, 5, 12, 4, 3, 2, 1.
17
置换的性质
=(54)(53)(21)(12)(52)(51)(34)(43)
20
置换的性质
引理 如果 ε =β1β2...βr , βi 为对换,则r为偶数.
证：归纳法.显然r≠1,当r=2时,结论成立.假设r>2且 <r时引理成立：
设βr = (ab),考虑 βr−1βr
进一步考虑 βr−2βr−1，...⇒ r − 2为偶数 ⇒ r为偶数.
∃i > j ≥ 0,= i − j m最小使得α i= (a1) α j (a1) ⇒
B {a1,a2 ,...,am}中元素互不相同⇒α与(a1,a2 ,...,am )
在B上作用相同 ⇒（a1,a2 ,...,am）−1α是A − B上置换.
(a1,a2 ,...,am )−1α = e定理成立,
{(αβ = )(ai ) α (β = (ai )) α= (ai ) a i+1
(βα= )(ai ) β (α= (ai )) β= (ai+1) ai+1 ⇒ (α= β )(ai ) (βα )(ai ),1 ≤ i ≤ m; 类似的, (α= β )(bj ) (βα )(bj ),1 ≤ j ≤ n;
证: 对圈的个数归纳：易证n-圈阶为n.
α = α1α2...αt为不交圈并,t ≥ 2,α1 = (a11a12...a1n1 ), α2 (= a21a22...a2n2 ),...,αt (at1at2...atnt ). 令a = α1,b = α2...αt ,则ab = ba, a ∩ b = e
则
简记置换 α 为(1,2)(3,4,6)(5).
8
圈
例如:
β
=
1 5
2 3
3 1
4 6
5 2
6 4
= (2,3,1,5)(6,4) 或 (4,6)(3,1,5,2).
γ
=
1 2
2 3
3 1
4 4
=(1,2,3)(4).
定义：(a1,a2,…,am)表示一个置换 a1 → a2 → … → am → a1，固定除a1,a2,…,am 外所有其它元素. 称该置换为一个长为 m 的圈 或 m-圈. (a cycle
(α= β )(cx ) (βα )(cx ),1 ≤ x ≤ k. 所以,αβ = βα.
14
置换的性质
置换表示成不交圈的乘积有许多优点，比如可以直 接看出置换的阶. 先看一个一般性质： 设 a, b 是群 G 中元素, ab=ba, 且 a ∩ b = e. 则 |ab|=lcm(|a|, |b|). 证：设|a|=s, |b|=t, lcm(s,t)=l.
0,1. 6
概念与记号
例2: 对称群Sn: 集合A={1,2,…,n}上所有置换构 成群, 称为级数n的对称群(symmetric group of
degree n),记为Sn . 特别,|Sn |=n!, Sn (n>2)非交
