循环群与置换群

再证明 ( G, ) ( T(G ),) 是一个满射 作映射 f : G →T(G), g →Tg 显然 f 是一个满射, 若Tg = Th，则 Tg( a) = Th ( a)，即 ga = ha ， ， 是单射。 由消去律得 g = h，故 f 是单射。 ， 而Tg h ( a) = (gh)a = TgTh( a) , 保持运算。 故 f ( g h) = Tg h = TgTh ，即 f 保持运算。 综上所述知： 综上所述知：( G, ) ( T(G ),)
[压缩或平移变换 压缩或平移变换] 压缩或平移变换
下面证明 ( T(G ),) 是群，其中 T(G ) ={ Tg| g ∈ G }： 是群， ： 是单射; 若Tg( a) = Tg( b), 则 ga = gb, 由消去律得 a = b, Tg是单射 是满射。 对c ∈ G, 有d= g-1c ∈ G，满足 Tg(d ) = c ，Tg 是满射。 ，
定义7.3.4 设 S为含 个元素的有限集合，σ是 S上 为含n个元素的有限集合 定义 为含 个元素的有限集合， 上 的一个双射， 元置换。 的一个双射，则称 σ是 S上的一个 n元置换。 上的一个 元置换 S上的若干个置换关于运算构成的群，称为 n元 上的若干个置换关于运算 上的若干个置换关于运算 构成的群， 元 置换群； 上的全体置换构成的群， 置换群；S 上的全体置换构成的群，称为 n次对称 次对称 记为S 群，记为 n n次对称群的阶是 n! 。 次对称群的阶是
次对称群S 个元素， 例. 3次对称群 3 中有 个元素，分别是 次对称群 中有6个元素
12 31 ,τ 2 = 312 , 12 3 12 3 12 3 τ3 = 13 2 ,τ 4 = 213 ,τ 5 = 3 21。
证. （1）注意到，在G ={ gk | k ∈ Z }中, ）注意到， 中 gs= gt s≡t (mod n)。 。 作映射 f : G → Zn , f ( gk )=[k]n ， 是双射。 则 f 是双射。 + 又 f (gsgt )= f (gs+t )=[s + t ]n =[s]n +n [t]n 是同构， 即 f 是同构，故( G,) (Zn, +n) 。 （2）作映射 f : G → Z , f ( gk )=k ， ） 是同构， 则 f 是同构，故 ( G,) (Z , + )。
7.3 循环群与置换群 一、循环群
定义7.3.1 设(G ,)是一个群，H G, 若G的元素均 是一个群， 定义 是一个群 的元素均 可由H中的若干元素经过有限次的二元运算 可由H中的若干元素经过有限次的二元运算而得 生成群(G, ， 到，则称子集 H生成群 )，并将生成群的子集 生成群 中最小的称为群(G, 的生成元集 的生成元集。 中最小的称为群 )的生成元集。 注意：生成元集不一定唯一！ 注意：生成元集不一定唯一！其最小性是相对于集 合的基数而言。 合的基数而言。
循环群是交换群。 循环群是交换群。 若( G,)为循环群， g为G的生成元，则G的结构 为循环群， 为 的生成元 的生成元， 为循环群 的结构 的阶所确定： 在同构的意义下完全由 g的阶所确定： 的阶所确定 （1）若 g的阶 n，则 ( G,) (Zn, +n)； 的阶= ， ） 的阶 ； 的阶=∞，则 ( G,) (Z , + )。 （2）若 g的阶 ） 的阶 ， 。 例如： 例如： (AF ,) (Z3, +3)
2 1 σ = σ (1) σ (2) i2 i1 σ = σ (i ) σ (i ) 2 1 n σ (n) in σ (in )
或
通常用第一种方式表示置换，等价于将置换看作 通常用第一种方式表示置换，等价于将置换看作: σ : i →j , ( i =1, 2, )
定理7.3.2 设T(S)为集合 S上所有的双射变换，则 上所有的双射变换， 定理 为 上所有的双射变换 (T(S),)是一个群。 是一个群。 是一个群 设 S上的若干个双射变换组成的集合 关于 构成 上的若干个双射变换组成的集合G关于 上的若干个双射变换组成的集合 关于 一个群， 上的一个变换群。 一个群，则称 G为 S上的一个变换群。 为 上的一个变换群 集合 S上双射变换的集合 关于 构成一个群的充 上双射变换的集合G关于 上双射变换的集合 关于 构成一个群的充 要条件是下面二个条件成立： 要条件是下面二个条件成立： 关于运算 （1）G关于运算是封闭的， ） 关于运算 是封闭的， 。 （2）对g ∈ G，必有 g-1 ∈ G。 ） ，
又TgTh(a) = Tg(Th(a)) = Tg(ha)= gha = Tgh(a)∈ T(G ) , 而TgTg-1(a) = gg-1a = a = g-1ga = Tg-1Tg(a), 即Tg-1=Tg-1 . 综合上述结论可知： 综合上述结论可知：( T(G ),) 是一个变换群。 是一个变换群。
σ(0,1) τ π (0,0) = (0,1) 而τ π σ(0,1) (0,0) = (1,0)
2 2
故平面上全体一一变换构成的变换群不是交换群。 故平面上全体一一变换构成的变换群不是交换群。
定理7.3.3 任意一个群都同构于一个变换群。 任意一个群都同构于一个变换群。 定理
是群， 证. 设( G, )是群，g ∈ G。 是群 。 定义变换 Tg: G →G, a→ ga 。
定义7.3.2 若群 G,)的生成元集为 g }，则称 为 若群( 的生成元集为 的生成元集为{ ，则称G为 定义 循环群， 称为 的生成元， 称为G的生成元 循环群， g称为 的生成元，并记 G = < g > 。 同半群时的讨论类似， G ={ gk | k ∈ Z} (其中可能 半群时的讨论类似， 其中可能 有相同的元素) 有相同的元素 循环群是可交换的。 循环群是可交换的。
而 1 2345 1 2345 12345
21 4 35 = 21 345 124 35 = (12) (34) = (34) (12)
都是平面上的变换群 例. (GF ,) 和 (AF ,)都是平面上的变换群。 都是平面上的变换群。 例7.3.4 在已建立平面直角坐标系的平面上， 在已建立平面直角坐标系的平面上， 表示平移：σ 用σp表示平移： p (Q)= Q +P； ； 表示绕坐标原点的旋转。 用τθ表示绕坐标原点的旋转。 一般地， 一般地， σpτθ ≠τθσp 。 比如取P 则有： 比如取 =(0,1)，θ =π ，则有： ，
例7.3.7 在 S3中，我们有
12345 12345 = (1) = (2) = (3) = (4) = (5) 1 2345 23145 = (123) = (231) = (312) 1 2345 425 31 = (1435) = (4351) = (3514) = (5143) 1 2345 23451 = (12345) = (23451) = (34512) = (45123) = (51234)
定理7.3.1 循环群 G,)的阶 G的生成元 g的阶。 循环群( 的阶 的阶= 的 的阶。 定理 的阶
的阶=m, G的生成元 g的阶 。分二种情形： 的阶=n。分二种情形： 证. 设群 G的阶 的阶 的 的阶 ① n<∞，在G ={ gk | k ∈ Z }中, gs = gt s≡t (mod n) . ， 中 ≡ ∵ 若 gs= gt，即 gs-t=e，则s-t=nq。 ， 。 + 反之， 反之，若s-t=nq，则 gs= gnq+t = gt。 ， , 因此 G ={ g0, g, g2, gn-1}，故m=n； ， ； 则有g ② n=∞，在G ={ gk | k ∈ Z }中，假若 gs= gt，则有 s-t=e因 ， 中 因 没有相同的元素， 此 G没有相同的元素，故 G的阶 m=∞ 。 没有相同的元素 的阶
不是交换群。 于是τ σ ≠σ τ，即 S3不是交换群。 实际上， 是最小的有限非交换群， 实际上， S3是最小的有限非交换群，以后可以 知道一个有限的非交换群至少要含有6个元素 个元素。 知道一个有限的非交换群至少要含有 个元素。
定义7.3.6 设 π ∈ Sn, π : i1 → i2 , i2 → i3, ik → i1 ， , 定义 并使其余的元素保持不变， 为一个k－ 并使其余的元素保持不变，则称 π 为一个 －循环 置换，记为(i1 i2 i3 ik ) 。 置换，记为 由于 1 i2 i3 ik ) = (i2 i3 ik i1 ) = = (ik i1 i2 ik-1 ), 由于(i 因此一个 一个k－ 种表示方式， 因此一个 －循环置换有 k种表示方式，且k－循 种表示方式 － 环置换的阶为k。 环置换的阶为 。 1－循环置换只有 1 种表示方式，即恒等置换； － 种表示方式，即恒等置换； 2－循环置换又称为对换。 －循环置换又称为对换。 注意，并非每一个置换都是循环置换！ 注意，并非每一个置换都是循环置换！
二、置换群 二、置换群
定义7.3.3 设 S为集合，称映射τ : S →S 为 S上的 为集合， 定义 为集合 上的 一个变换。变换即为集合S到S自身的一个映射。 一个变换。变换即为集合 到 自身的一个映射。 自身的一个映射 定理7.3.2 设 G为集合 S上全体变换的集合，则 上全体变换的集合， 定理 为集合 上全体变换的集合 (G ,)是一个含幺元 e的半群，其中运算 是复合 的半群， 是一个含幺元 的半群 运算， 上的恒等变换。 运算，e 为S上的恒等变换 上的恒等变换
设有限集合S 上的每一 例7.3.5 设有限集合 = {a1, a2, a3}，则 S上的每一 ， 上的 置换可以用六种不同的方式来表示。比如， 个置换可以用六种不同的方式来表示。比如， τ : a1 → a2 , a2 → a3, a3 → a1 , 可以表示为： 可以表示为：
1 23 132 213 231 31 2 321 τ = 231 = 213 = 321 = 312 = 123 = 132 1 23 通常还是用 τ = 231 来表示。 来表示。