人教版2022-2023学年第一学期九年级数学第三次月考测试题(附答案)

湖北省武汉市黄陂区木兰乡朝阳中学2022-2023学年第一学期九年级数学第三次月考测试题（附答案）一、选择题（共30分）1．在美术字中，有些汉字或字母是中心对称图形．下面的汉字或字母不是中心对称图形的是（）A．A B．B C．C D．D2．有两个事件，事件M：在汽步枪比赛中，某运动员打出10环；事件N：一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的6个小球（4个黑球，2个白球），从中随机摸出的3个球中有黑球．下列判断正确的是（）A．M，N都是随机事件B．M，N都是必然事件C．M是随机事件，N是必然事件D．M是必然事件，N是随机事件3．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（）A．x2﹣2x+1＝0B．x2﹣2x＝0C．x2﹣2x+2＝0D．x2+2＝04．在平面直角坐标系中，将抛物线C向上平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到抛物线y＝2x2，则抛物线C的解析式为（）A．y＝2（x+2）2+2B．y＝2（x+2）2﹣2C．y＝2（x﹣2）2+2D．y＝2（x﹣2）2﹣25．如图，两个同心圆的半径分别为3，5，直线l与大⊙O交于点A，B，若AB＝6，则直线l与小⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定6．从﹣1，﹣2，3三个数中随机取两个数求和作为a，则使抛物线y＝ax2的开口向下的概率是（）A．B．C．D．7．如图，P A，PB分别与⊙O相切于点A，B，，∠APB＝60°，则的长为（）A．B．C．D．8．已知二次函数y＝x2+（m﹣1）x+m﹣2，当x＞1时，y随x的增大而增大，则其图象与x 轴的交点坐标不可能是（）A．B．（3，0）C．D．（﹣1，0）9．如图是某圆弧形桥洞，它的跨度AB＝10，点C在圆弧上，CD⊥AB于点D，AD＝6，，则该圆弧所在圆的半径为（）A．B．6C．D．10．已知m，n是方程x2﹣x+1＝0的两个根．记S1＝，S2＝，…，S t＝（t为正整数）．若S1+S2+…S t＝t2﹣56，则t的值为（）A．7B．8C．9D．10二、填空题（共18分）11．在平面直角坐标系中，若点A（a，﹣1）与点B（b，1）关于原点对称，则a+b的值为．12．一个不透明的袋子里装有红球和白球共m个，它们除颜色外完全相同，每次搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，不断重复，统计汇总数据如下表：摸球次数3006009001500摸到白球的频数123247365606摸到白球的频率0.4100.4120.4060.404已知袋子里白球有10个，根据表格信息，可估计m的值为．13．某商城今年9月份的营业额为440万元，11月份的营业额达到了633.6万元，则该商城9月份到11月份营业额的月平均增长率是（用百分数表示）．14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE（点D与点B对应），连接BD．当点E落在直线AB上时，线段BD的长为．15．若抛物线y＝mx2﹣2mx+1（m＜0）经过点P（﹣2，t），则关于x的不等式m（x﹣1）2﹣2m（x﹣1）+1﹣t＜0的解集是．16．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC，定长线段EF的端点E，F分别是边AC，BC上的动点，O是EF的中点，连接OB．设AE＝x，CF2＝y，y与x之间的函数关系的部分图象如图2所示（最高点为（b，4）），当x＝a时，∠OBC最大，则a的值为．三、解答题（共72分）17．已知3，t是方程2x2+2mx﹣3m＝0的两个实数根，求m及t的值．18．如图，将△ABC绕点A顺时旋转得到△ADE，点B的对应点D在BC上，且AD＝CD．若∠E＝26°，求∠CDE的度数．19．在一个不透明的纸盒里装有红、白、黄三种颜色的乒乓球4个（除颜色外完全相同），其中白球2个，红球、黄球各1个．（1）从纸盒中随机摸出一个球，事件“摸到白球”的概率是；（2）若摸到红球得1分，摸到白球得2分，摸到黄球得3分．甲同学随机从纸盒中一次摸出两个球，请用画树状图法或列表法求甲同学至少得4分的概率．20．如图，在矩形ABCD中，G为AD的中点，△GBC的外接圆⊙O交CD于点F．（1）求证：AD与⊙O相切；（2）若DF＝1，CF＝3，求BC的长．21．如图，在平面直角坐标系网格中，A（1，6），B（5，2），C（8，5），仅用无刻度的直尺按下列步骤完成画图，并回答下列问题：（1）直接写出：AC的长为，△ABC的形状是；（2）△ABC的角平分线AD；（3）过点D作DE⊥AC，垂足为则E；（4）将线段AD绕点P顺时针旋转90°得到线段CH（点A与点C对应），直接写出点P的坐标，并画出线段CH．22．某社区决定把一块长50m，宽30m的矩形空地建成健身广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的矩形），空白区域为活动区，且广场四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于12m，不大于24m．设绿化区较长边为xm，活动区的面积为ym2．（1）直接写出：①每一个出口的宽度为m，绿化区较短边长为m（用含x的式子表示）；②y与x的函数关系式是，x的取值范围是；（2）当出口的宽为多少时，活动区所占面积最大？最大面积是多少？（3）预计活动区造价为50元/m2.若该社区用于建造活动区的经费不超过60000元，当x 为整数时，共有几种建造方案？23．问题背景：（1）如图1，D是等边△ABC外的一点，且∠BDC＝60°，过点A作AE⊥BD于点E，作AF⊥CD于点F．求证：DA平分∠BDF；尝试应用：（2）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，在其内部作∠ADB＝∠ADC＝135°，E是AB的中点，连接ED，设△ABD的面积为S．求证：S＝AD•DE；拓展创新：（3）如图3，∠POQ＝45°，点B，C分别在OP，OQ上，点A在∠POQ的内部，AE⊥OQ于点E．若△ABC是边长为a的等边三角形，AE＝4，OE＝3+7，则a的值为（直接写出结果）．24．如图，抛物线y＝﹣x2﹣（2t+1）x﹣t2﹣t+2与x轴交于A，B两点（点A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）当时，直接写出：点B的坐标为，点C的坐标为；（2）在（1）的条件下，P是x轴下方抛物线上的一点，且∠PBA＝2∠OCB，求点P到y轴的距离；（3）当﹣2＜t＜1时，若△ABC的外心在x轴上，求代数式的值．参考答案一、选择题（共30分）1．解：选项A不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项B、C、D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：A．2．解：事件M：在汽步枪比赛中，某运动员打出10环，是随机事件，事件N：一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的6个小球（4个黑球，2个白球），从中随机摸出的3个球中有黑球，是必然事件．故选：C．3．解：A、∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，∴方程有两个相等的实数根，不合题意；B、∵Δ＝22﹣4×1×0＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根，符合题意；C、∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，∴方程没有实数根，不合题意；D、∵Δ＝02﹣4×1×2＝﹣8＜0，∴方程没有实数根，不合题意．故选：B．4．解：∵将抛物线C向上平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到抛物线y ＝2x2，∴抛物线C的解析式为y＝2（x﹣2）2﹣2，故选：D．5．解：如图，连接OA，过O作OC⊥AB于C，∵OA＝5，AC＝AB＝3，∴OC＝＝4，∵小⊙O的半径为3＜4，∴直线l与小⊙O的位置关系是相离，6．解：画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中使抛物线y＝ax2的开口向下（a＜0）的结果有2种，∴使抛物线y＝ax2的开口向下的概率为＝，故选：C．7．解：如图，连接OA，OP，OB，∵P A、PB分别与相切⊙O于点A、B，∴P A＝PB，OA⊥AB，OB⊥PB，∵∠APB＝60°，∴∠AOB＝120°，∵P A＝，∴∠APO＝∠APB＝×60°＝30°，∴OA＝AP•tan30°＝×＝1．故⊙O的半径长为为1，则的长＝＝π．故选：B．8．解：二次函数y＝x2+（m﹣1）x+m﹣2的对称轴为直线x＝﹣，∴抛物线开口向上，∴当x＞﹣时，y随x的增大而增大，又∵当x＞1时，y随x的增大而增大，∴﹣≤1，解得m≥﹣1，令y＝0，则x2+（m﹣1）x+m﹣2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝﹣m+2，∵m≥﹣1，∴x2＝﹣m+2≤3，∵＞3，故选：A．9．解：如图，取圆心O，连接OA，OB，OC，BC，AC，∵∠ADC＝90°，AB＝10，AD＝6，CD＝2，∴BD＝10﹣6＝4，∴tan∠CAD＝＝＝，∴∠CAD＝30°，∴∠BOC＝2∠CAD＝60°，∴△BOC为等边三角形，在Rt△BCD中，根据勾股定理得，CD2+BD2＝BC2，即（2）2+42＝BC2，解得BC＝2，∴该圆弧所在圆的半径为2．10．解：∵m，n是方程x2﹣x+1＝0的两个根，∴m+n＝，mn＝1，∴S1＝＝＝＝＝1，S2＝＝＝＝＝1，…，∴S t＝＝1，∴S1+S2+…S t＝t2﹣56，1+1+…+1＝t2﹣56，t＝t2﹣56，t2﹣t﹣56＝0，（t﹣8）（t+7）＝0，解得：t＝8或t＝﹣7（舍去）．故选：B．二、填空题（共18分）11．解：∵点A（a，﹣1）与点B（b，1）关于原点对称，∴a＝﹣b，∴a+b＝0．故答案为：0．12．解：根据表格信息，摸到白球的频率将会接近0.4，故摸到白球的概率为0.4，所以可估计袋子中球的个数m＝10÷0.4＝25；故答案为：25．13．解：设该商城9月份到11月份营业额的月平均增长率是x，根据题意得：440（1+x）2＝633.6，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），∴该商城9月份到11月份营业额的月平均增长率是20%．故答案为：20%．14．解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5，由旋转得∠AED＝∠C＝90°，DE＝BC＝3，AE＝AC＝4，如图1，点E在边AB上，则∠DEB＝180°﹣∠＝90°，∵BE＝AB﹣AE＝5﹣4＝1，∴BD＝＝＝；如图2，点E在边BA的延长线上，∵∠DEB＝90°，BE＝AB+AE＝5+4＝9，∴BD＝＝＝3，综上所述，线段BD的长为或3，故答案为：或3．15．解：∵抛物线y＝mx2﹣2mx+1（m＜0）的对称轴为：x＝1，∴y＝m（x﹣1）2﹣2m（x﹣1）+1的对称轴为x＝2，且过点（﹣1，t），∴y＝m（x﹣1）2﹣2m（x﹣1）+1还过点（5，t），∵m＜0，∴m（x﹣1）2﹣2m（x﹣1）+1﹣t＜0的解集为：x＜﹣1或x＞5，故答案为：x＜﹣1或x＞5．16．解：∵CF≤EF，当点E与点C重合时等号成立，且EF为定长，∴CF的最大值即为EF的长，根据图象可知，CF2的最大值为4，即CF的最大值为2，∴EF＝2，∵当x＝1时，CF2＝3，∠ACB＝90°，∴CE＝＝1，∴AC＝AE+CE＝1+1＝2，∴BC＝2AC＝4，如图所示，连接OC，∵O是EF的中点，∠C＝90°，∴OC＝EF＝1，∴点O是在半径为1的⊙C上，如图所示，∴当OB与⊙C相切时，∠OBC最大，此时OC⊥OB，过点O作OG⊥BC于点G，此时OB＝，则sin∠OBC＝，即，∴OG＝，∵OG⊥BC，∴∠OGF＝∠C＝90°，∴OG∥AC，∴，即，∴CE＝，∴AE＝AC﹣CE＝2﹣，即a＝2﹣，故答案为：2﹣．三、解答题（共72分）17．解：∵3，t是方程2x2+2mx﹣3m＝0的两个实数根，∴，∴m＝﹣6，t＝3．18．解：将△ABC绕点A顺时旋转得到△ADE，∴∠E＝∠C，∠ADE＝∠B，AD＝AB，由AD＝AB可得∠B＝∠ADB，∴∠ADE＝∠ADB，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠C，∵∠E＝26°，∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝52°，∴∠ADE＝52°，∴∠CDE＝180°﹣（∠ADE+∠ADB）＝180°﹣（52°+52°）＝76°．19．解：（1）球，事件“摸到白球”的概率是＝，故答案为：；（2）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中甲同学至少得4分的结果有8种，∴甲同学至少得4分的概率为＝．20．（1）证明：连接GO并延长交BC于E，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，∵G为AD的中点，∴AG＝DG，∴Rt△ABD≌Rt△DCG（HL），∴BG＝CG，∴GE⊥BC，∵AD∥BC，∴OG⊥AD，∵OG是⊙O的半径，∴AD与⊙O相切；（2）解：连接GF，∵∠DFG+∠CFG＝∠CFG+∠CBG＝180°，∵∠DFG＝∠CBG，∵BG＝CG，∴∠GBC＝∠GCB，∵AD∥BC，∴∠DGC＝∠GCB，∴∠DGC＝∠DFG，∵∠D＝∠D，∴△GDF∽△CDG，∴＝，∴＝，∴DG＝2（负值舍去），∴BC＝AD＝2DG＝4．21．解：（1）∵AC＝，AB＝，BC＝，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，故答案为：5，直角三角形；（2）如图，AD为所作；（3）如图，DE为所作；（4）如图，CH为所作．22．解：（1）①由题意得：出口的宽度为：（50﹣2x）m，绿化区较短边长为[30﹣（50﹣2x）]÷2＝（x﹣10）m，故答案为：（50﹣2x），（x﹣10）；②根据题意得，y＝50×30﹣4x（x﹣10），即y与x的函数关系式及x的取值范围为：y＝﹣4x2+40x+1500（13≤x≤19）；故答案为：y＝﹣4x2+40x+1500，13≤x≤19；（2）y＝﹣4x2+40x+1500＝﹣4（x﹣5）2+1600，∵﹣4＜0，13≤x≤19，∴x＝13时，y取最大值，最大值为﹣4×（13﹣5）2+1600＝1344，∴50﹣2x＝50﹣2×13＝24，∴当出口的宽为24m时，活动区所占面积最大，最大面积是1344m2；（3）设费用为w元，由题意得，w＝50（﹣4x2+40x+1500）＝﹣200x2+2000x+75000，当w＝60000时，﹣200x2+2000x+75000＝60000，解得x＝15或x＝﹣5（舍去），由二次函数性质及13≤x≤19可得，x取15，16，17，18，19时，建造活动区的经费不超过60000元，∴一共有5种建造方案．23．（1）证明：如图1，AC与BD的交点记作点G，∴∠AGB＝∠CGD，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，在△ABG中，∠ABG+∠AGB＝180°﹣∠BAC＝120°，∴∠ABG+∠CGD＝120°，在△CDG中，∠BDC＝60°，∴∠ACF+∠CGD＝180°﹣∠CDG＝120°，∴∠ABG＝∠ACF，∵AE⊥BD，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFC＝90°，∴△ABE≌△ACF（AAS），∴AE＝AF，∵AE⊥BD，AF⊥CD，∴DA是∠BDF的平分线；（2）证明：如图2，过点E作ET⊥ED交BD于点T连接CE交BD于点K．∵点E是AB的中点，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC＝BC，∠ACB＝90°，∴CE⊥AB，AE＝EC＝EB，∴∠BEC＝90°，∴∠EBK+∠BKE＝90°，∵∠CKD＝∠BKE，∴∠EBK+∠CKD＝90°，在△CDK中，∠CDK＝360°﹣∠ADC﹣∠ADB＝90°，∴∠DCE+∠CKD＝90°，∴∠DCE＝∠EBK，∵∠DET＝∠CEB＝90°，∴∠DEC＝∠TEB，∴△CED≌△BET（ASA），∴ED＝ET，∴∠EDT＝∠ETD＝45°，∵∠ADB＝135°，∴∠BDE＝360°﹣135°﹣90°﹣45°＝90°，延长DE至H，使EH＝ED，∴∠AEH＝∠BED，∵AE＝BE，∴△AEH≌△BED（SAS），∴S△AEH＝S△BED，∴S＝S△ABD＝S△ADE+S△BDE＝S△ADE+S△AEH＝S△ADH＝AD•DH＝AD•2DE＝AD•DE；（3）解：在CE的延长线上取一点H，连接AH，使∠AEH＝60°，∵AE⊥OQ，∴∠AEC＝∠AEH＝90°，在Rt△AEH中，AE＝4，∴EH＝4，AH＝8，设CE＝x，则CH＝CE+EH＝x+4，在CO上取一点M使CM＝AH＝8，则OM＝OE﹣CM﹣CE＝3+7﹣8﹣x＝3﹣1﹣x，在△ACH中，∠ACH+∠CAH＝180°﹣∠AHC＝120°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠BCM+∠ACH＝120°，∴∠BCM＝∠CAH，∴△BCM≌△CAH（SAS），∴BM＝CH＝x+4，∠BMC＝∠CHA＝60°，∴∠OMB＝120°＝∠AHN，在OE的延长线上取一点N，使EN＝AE＝4，∴HN＝EN﹣EH＝4﹣4＝4（﹣1），∠N＝45°＝∠POQ，∴△BOM∽△ANH，∴，∴，∴x＝2，在Rt△ACE中，CE＝2，根据勾股定理a＝AC＝＝2，故答案为：2．24．解：（1）∵，∴y＝﹣x2﹣2x+，当y＝0时，﹣x2﹣2x+＝0，解得x＝或x＝﹣，∴B（，0），令x＝0，则y＝，∴C（0，），故答案为：（，0），（0，）；（2）作O点关于BC的对称点G，连接CG交x轴于点E，设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+，设G（m，n），∴n＝﹣m+，∵BO＝BG，∴＝，解得m＝，∴G（，），设直线CG的解析式为y＝k'x+b'，∴，解得，∴y＝﹣x+，∴E（，0），∴tan∠OCE＝，∵∠COE＝2∠OCB，∠PBA＝2∠OCB，∴∠PBA＝∠COE，过点P作PH⊥x轴交于点H，设P（x，﹣x2﹣2x+），∴＝，解得x＝（舍）或x＝﹣，∴点P到y轴的距离为；（3）∵△ABC的外心在x轴上，∴∠ACB＝90°，当y＝0时，﹣x2﹣（2t+1）x﹣t2﹣t+2＝0，解得x＝﹣t﹣2或x＝﹣t+1，∵﹣2＜t＜1，∴A（﹣t﹣2，0），B（﹣t+1，0），当x＝0时，y＝﹣t2﹣t+2，∴C（0，﹣t2﹣t+2），∴OC2＝OA•OB，∴（﹣t2﹣t+2）2＝（t+2）•（﹣t+1），∴t2+t﹣1＝0，∴＝﹣1．。

2022-2023学年九年级数学上册第三次月考测试题（附答案）一、选择题（共48分）1．下列各数中，比﹣2小的数是（）A．0B．C．﹣1.5D．﹣32．如图图案中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．下列事件中，是必然事件的为（）A．3天内会下雨B．打开电视机，正在播放广告C．367人中至少有2人公历生日相同D．某妇产医院里，下一个出生的婴儿是女孩4．估计运算结果应在（）A．7和8之间B．5和6之间C．4和5之间D．3和4之间5．在直角坐标系中，A（a+b，﹣2）关于原点对称的点A'（4，a﹣b），则a，b的值为（）A．a＝﹣1，b＝﹣3B．a＝1，b＝3C．a＝0，b＝2D．a＝2，b＝0 6．已知二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+2，则图象的顶点坐标是（）A．（4，2）B．（2，2）C．（2，﹣2）D．（﹣2，﹣2）7．如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC 的长为（）A．4B．2C．D．28．某地区2020年投入教育经费2500万元，预计到2022年三年共投入8600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则可以列方程（）A．2500x2＝8600B．2500（1+x%）2＝8600C．2500（1+x）2＝8600D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝86009．若二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）与x轴的一个交点为（1，0），则代数式a+b﹣1的值为（）A．﹣2B．﹣4C．﹣6D．﹣710．如图是用长度相等的火柴棒按一定规律构成的图形，依此规律第9个图形中火柴棒的根数是（）A．46B．47C．55D．5711．如果关于x的方程ax2+4x﹣2＝0有两个不相等的实数根，且关于x的分式方程﹣＝2有正数解，则符合条件的整数a的值是（）A．﹣1B．0C．1D．212．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①b2＞4ac；②abc＞0；③a﹣c＜0；④am2+bm≥a﹣b（m为任意实数）．其中正确的结论有（）个．A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题（共16分）13．计算：＝．14．不透明的袋子中装了2个白球，1个黄球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出1个球，则摸出1个白球1个黄球的概率为．15．如图，在矩形ABCD中，，AD＝2，以点A为圆心，AD的长为半径的圆交BC 边于点E，则图中阴影部分的面积为．16．甲、乙、丙三家花店准备采购多肉、茉莉花、绣球三种植物，多肉、茉莉花、绣球的单价分别为5元、15元、25元，乙购买的多肉数量是甲的10倍，茉莉花数量是甲的6倍，绣球数量是甲的8倍，丙购买的多肉数量是甲的3倍，茉莉花数量是甲的7倍，绣球数量和甲相同，三家花店采购共花费金额2510元，丙比甲多用420元，则三家花店购买多肉共花费元．三、解答题（共86分）．17．解下列方程：（1）（2x+1）2＝3（2x+1）；（2）x2﹣6x+4＝0．18．如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，BE平分∠ABD交AD于点E，（1）用尺规完成基本作图：作∠CDB的平分线DF交BC于点F（保留作图痕迹，不写作法）；（2）根据（1）中作图，若AB＝DB，求证：四边形DFBE是矩形．证明：（2）在平行四边形ABCD中∵AB∥CD，∴∠ABD＝∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB∴∠EBD＝∠ABD，∠FDB＝∴∠EBD＝∠FDB∴∵DE∥BF∴四边形EDFB为平行四边形∵AB＝BD，BE平分∠ABD，∴，即∠DEB＝90°∴平行四边形DFBE是矩形．19．学校开展校本知识竞赛活动，现从八年级和九年级参与竞赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析（单位：分，满分100分），将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：A：x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100．下面给出了部分信息：其中，八年级学生的竞赛成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96；九年级等级C的学生成绩为：81，82，83，86，87，88，89．两组数据的平均数、中位数、众数如表所示：学生平均数中位数众数八年级85.286b九年级85.2a91根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a＝，b＝，m＝；（2）以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；（3）若八年级有600名学生参赛，九年级有800名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？20．反比例函数y＝的图象如图所示，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y＝的图象交于A（m，4），B（﹣2，n）两点．（1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；（2）观察图象，直接写出不等式kx+b＜的解集；（3）一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点C，连接OA，求△OAC的面积．21．某快餐店有A、B两种招牌套餐，A套餐的成本为10元/份，B套餐成本为12元/份，一份B套餐的售价比一份A套餐的售价贵3元钱，买6份A套餐与买5份B套餐花费一样．（1）求快餐店A套餐和B套餐的单价分别为多少元；（2）商家统计发现，每天平均可售A套餐300份和B套餐200份，如果将A套餐的单价每提高0.1元，则每天将少售出A套餐5份；如果将B套餐的单价每提高0.2元，则每天将少售出B套餐7份；该快餐店决定将两种套餐都提高a元，在不考虑其他因素的条件下，当a为多少时，才能使该商家每天销售这两种套餐获取的利润共2055元．22．如图所示，在大楼AB的正前方有一斜坡CD（坡角∠DCE＝45°），现要测量大楼AB 的高度．在斜坡上的点D处利用热气球探测器测得楼顶点B处的仰角为60°；已知米，AC＝30米，其中点A、C、E在同一直线上．（1）求斜坡CD的高度DE；（2）求大楼AB的高度．23．若一个三位自然的各个数位上的数字均不相同，且后一位减去前一位的差都是一个固定的常数，则称这个三位自然数为“等差数”．并且这个固定的常数为这个“等差数”的公差，如：123，2﹣1＝3﹣2＝1，则123为“等差数”，这个数的公差为1；如：321，2﹣3＝1﹣2＝﹣1，则321也是等差数，这个等差数的公差为﹣1；125，2﹣1≠5﹣2，则125不是等差数．（1）判断248，246这两个数是否是“等差数”？（2）求能被9整除并且公差为正整数的所有三位“等差数”．24．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点B、C（点B在点C左侧），与y轴交于点A （0，4），已知点C坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AC下方抛物线上一点，过点P作直线AC的垂线，垂足为点H，过点P作PQ∥y轴交AC于点Q，求△PHQ周长的最大值及此时点P的坐标．25．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC边上一动点，连接AD，将AD绕着D点逆时针方向旋转90°得到DE，连接AE．（1）如图1，AH⊥BC，点D恰好为CH中点，AE与BC交于点G，若AB＝4，求AD 的长度；（2）如图2，DE与AB交于点F，连接BE，在BA延长线上有一点P，∠PCA＝∠EAB，求证：AB＝AP+BD．参考答案一、选择题（共48分）1．解：|﹣3|＞|﹣2|，∴﹣3＜﹣2，故选：D．2．解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项符合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意．故选：B．3．解：A、3天内会下雨为随机事件，所以A选项错误；B、打开电视机，正在播放广告，所以B选项错误；C、367人中至少有2人公历生日相同是必然事件，所以C选项正确；D、某妇产医院里，下一个出生的婴儿是女孩是随机事件，所以D选项错误．故选：C．4．解：，＝2+＝3＝，且5＜＜6，故选：B．5．解：∵A（a+b，﹣2）关于原点对称的点A'（4，a﹣b），∴，解得，故选：A．6．解：∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，∴抛物线顶点坐标为（2，﹣2），故选：C．7．解：∵OA⊥BC，∴CH＝BH，＝，∴∠AOB＝2∠CDA＝60°，∴BH＝OB•sin∠AOB＝，∴BC＝2BH＝2，故选：D．8．解：设增长率为x，根据题意得2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝8600，故选：D．9．解：将（1，0）代入y＝ax2+bx+1得a+b+1＝0，∴a+b＝﹣1，∴a+b﹣1＝﹣2，故选：A．10．解：分析可得：第1个图形中，有3根火柴．第2个图形中，有3+3＝6根火柴．第3个图形中，有3+3+4＝10根火柴．…；第9个图形中，共用火柴的根数是3+3+4+5+6+7+8+9+10＝55根．故选：C．11．解：∵方程ax2+4x﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴a≠0且Δ＝42﹣4•a•（﹣2）＞0，解得a＞﹣2且a≠0，去分母得﹣1﹣（1﹣ax）＝2（x﹣2），解得x＝﹣，∵分式方程﹣＝2有正数解，∴﹣＞0且﹣≠2，解得a＜2且a≠1，∴a的范围为﹣2＜a＜2且a≠0，a≠1，∴符合条件的整数a的值是﹣1．故选：A．12．解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，②正确；由图象可得x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＝﹣a+c＜0，∴a﹣c＞0，③错误；∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c为最小值，∴am2+bm+c≥a﹣b+c，即am2+bm≥a﹣b，④正确．故选：B．二、填空题（共16分）13．解：原式＝2+﹣1＝1+．故答案为：1+．14．解：根据题意画图如下：共有9种等可能的情况数，其中摸出1个白球1个黄球的有4种，则摸出1个白球1个黄球的概率为．故答案为：．15．解：∵AE＝AD＝2，而AB＝，∴cos∠BAE＝＝，∴∠BAE＝45°，∴BE＝AB＝，∠DAE＝45°，∴图中阴影部分的面积＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EAD＝2×﹣××﹣＝2﹣1﹣．故答案为：2﹣1﹣．16．解：设甲花店准备采购多肉、茉莉花、绣球三种植物分别是x株，y株，z株，则乙花店准备采购多肉、茉莉花、绣球三种植物分别是10x株，6y株，8z株，丙花店准备采购多肉、茉莉花、绣球三种植物分别是3x株，7y株，z株，由题意得：5（x+10x+3x）+15（y+6y+7y）+25（z+8z+z）＝2510，5×3x+15×7y+25z﹣（5x+15y+25z）＝420，∴，由②得x＝42﹣9y③，∵x，y都是整数，∴y的取值可能是1，2，3，4，把③代入①并整理得z＝，∵z是整数，∴y的取值只能是4，当y＝4时，x＝42﹣9y＝6，∴5（x+10x+3x）＝70x＝70×6＝420（元），∴三家花店购买多肉共花费420元．故答案为：420．三、解答题（共86分）．17．解：（1）移项得：（2x+1）2﹣3（2x+1）＝0，分解因式得：（2x+1）（2x+1﹣3）＝0，∴2x+1＝0，2x+1﹣3＝0，解得：x1＝﹣，x2＝1．（2）x2﹣6x+4＝0，移项得：x2﹣6x＝﹣4，配方得：x2﹣6x+9＝﹣4+9，即（x﹣3）2＝5，∴x﹣3＝±，∴x1＝3+，x2＝3﹣．18．（1）解：如图所示；（2）证明：在平行四边形ABCD中∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC，∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB∴∠EBD＝∠ABD，∠FDB＝BDC，∴∠EBD＝∠FDB∴BE∥DF，∵DE∥BF∴四边形EDFB为平行四边形∵AB＝BD，BE平分∠ABD，∴BE⊥AD，即∠DEB＝90°∴平行四边形DFBE是矩形．故答案为：∠BDC，BDC，BE∥DF，BE⊥AD．19．解：（1）九年级20名同学的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为87、88，故中位数a＝＝87.5；八年级20名同学的成绩出现次数最多的是88，故众数b＝88；由题意可得m%＝1﹣10%﹣15%﹣×100%＝40%，故m＝40，故答案为：87.5；88；40；（2）九年级的成绩更好，因为两个年级的平均数相同，而九年级的成绩的中位数和众数均大于八年级；（3）600×+800×40%＝180+320＝500（人），答：估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有500人．20．解：（1）∵（m，4），（﹣2，n）在反比例函数y＝的图象上，∴4m＝﹣2n＝4，解得m＝1，n＝﹣2，∴A（1，4），B（﹣2，﹣2），把（1，4），（﹣2，﹣2）代入y＝kx+b中得，解得，∴一次函数解析式为y＝2x+2．画出函数y＝2x+2图象如图；（2）由图象可得当0＜x＜1或x＜﹣2时，直线y＝2x+2在反比例函数y＝图象下方，∴kx+b＜的解集为x＜﹣2或0＜x＜1．（3）把y＝0代入y＝2x+2得0＝2x+2，解得x＝﹣1，∴点C坐标为（﹣1，0），∴S△AOC＝＝2．21．解：（1）设快餐店A套餐的单价为x元，B套餐的单价为y元，依题意得：，解得：．答：快餐店A套餐的单价为15元，B套餐的单价为18元．（2）依题意得：（15+a﹣10）（300﹣5×）+（18+a﹣12）（200﹣7×）＝2055，整理得：17a2﹣8a﹣129＝0，解得：a1＝3，a2＝﹣（不符合题意，舍去）．答：a的值为3．22．解：（1）在Rt△DEC中，∠DCE＝45°，则DE＝EC＝CD＝10（米），答：斜坡CD的高度DE为10米；（2）如图，过点D作DH⊥AB于H，则四边形DEAH为矩形，∴AH＝DE＝10米，DH＝EA，由（1）可知：EC＝10米，∴EA＝EC+CA＝10+30＝40（米），∴DH＝40米，在Rt△BHD中，∠BDH＝60°，DH＝40米，∵tan∠BDH＝，∴BH＝DH•tan∠BDH＝40（米），∴AB＝BH+AH＝（10+40）米，答：大楼AB的高度为（10+40）米．23．解：（1）∵4﹣2≠8﹣4，∴248不是“等差数”，∵4﹣2＝6﹣4，∴246是“等差数”，故答案为：不是，是；（2）设百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，等差数为，∵为等差数，∴b﹣a＝c﹣b，即a+c＝2b，∴表示为99a+12b，∵为能被9整除的三位等差数，公差为正整数，∴，c＞b，∴b只能为3或6，①当b＝3时，a+c＝6，∵为三位等差数，且公差为正整数，∴当b＝3时，，，此时等差数为135，234，②当b＝6时，a+c＝12，∵为三位等差数，且公差为正整数，∴当b＝6时，，，，此时等差数为369，468，567，综上，能被9整除并且公差为正整数的所有三位“等差数”有：135，234，369，468，567．24．解：（1）∵点A（0，4），点C（4，0）在抛物线y＝x2+bx+c上，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣5x+4；（2）设直线AC的解析式y＝kx+b，∵直线AC过点A（0，4），点C（4，0），∴，解得：，∴直线AC的解析式y＝﹣x+4，由题意可知，OA＝OC＝4，∴∠OAC＝45°，∵PQ∥y轴，∴∠PQH＝45°，∵PH⊥AC，∴PH＝QH＝PQ，∴，要求△PHQ周长的最大值，即求PQ的最大值，设P（t，t2﹣5t+4），则Q（t，﹣t+4），∴PQ＝﹣t+4﹣（t2﹣5t+4）＝﹣t2+4t，∵﹣1＜0，∴当时，PQ有最大值，最大值为：﹣22+4×2＝4，此时P（2，﹣2），△PHQ的周长为：，∴△PHQ周长的最大值为，此时点P的坐标为（2，﹣2）．25．（1）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∴BC＝4，∵AH⊥BC，AB＝AC，∴BH＝CH＝2＝AH，∵点D为CH中点，∴DH＝CD＝，∴AD＝＝＝；（2）证明：如图2，过点D作DH⊥BC交AB于点H，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝AC，∵DH⊥BC，∴∠BHD＝∠DBH＝45°，∠BDH＝90°，∴BD＝DH，∠AHD＝135°，∴BH＝BD，∵将AD绕着D点逆时针方向旋转90°得到DE，∴AD＝DE，∠ADE＝90°＝∠BDH，∴∠ADH＝∠EDB，∴△ADH≌△EDB（SAS），∴AH＝BE，∠DBE＝∠DHA＝135°，∴∠ABE＝90°＝∠CAP，又∵AB＝AC，∠BAE＝∠ACP，∴△BAE≌△ACP（ASA），∴AP＝BE，∴AP＝BE＝AH，∴AB＝AP+BD．。

2022-2023学年九年级数学上册第三次月考测试题（附答案）一、选择题（共30分）1．﹣2的相反数是（）A．2B．﹣2C．D．2．下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a5C．（a+b）2＝a2+b2D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b23．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．如图的几何体其左视图是（）A．B．C．D．5．如图，已知AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BOC＝60°，则∠C的度数为（）A．15°B．30°C．45°D．60°6．已知抛物线的解析式为，则该抛物线的顶点坐标是（）A．（2，1）B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（1，2）7．用150张铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身15个或盒底45个，1个盒身与2个盒底配成一套罐头盒，为使制成的盒身与盒底恰好配套，可设用x张铁皮制盒底，则可列方程为（）A．2×15x＝45（150﹣x）B．15x＝2×45（150﹣x）C．2×15（150﹣x）＝45x D．15（150﹣x）＝2×45x8．方程的解为（）A．x＝3B．x＝4C．x＝5D．x＝﹣59．已知反比例函数y＝（k≠0）经过点（2，5）和点（1，a），则a的值为（）A．2B．5C．10D．10．如图，AB∥CD，AE∥FD，AE、FD分别交BC于点G、H，则下列结论中错误的是（）A．B．C．D．二、填空题（共30分）11．将59800000用科学记数法表示为．12．函数y＝的自变量x的取值范围是．13．分解因式：x3﹣2x2y+xy2＝．14．不等式组的解集是．15．计算：＝．16．一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，则此扇形的面积是cm2．17．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝6，BC＝10，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A1BC1（点A的对应点是点A1，点C的对应点是点C1），A1落在边BC上，连接AC1，则AC1的长为．18．在△ABC中，AB＝AC，∠B的角平分线与AC边所夹锐角为60°，则∠A的度数为．19．在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD＝6，CD＝1，则BC的长为．20．如图，矩形ABCD中，E为BC边上一点，DE交AC于点F，若∠BAC＝2∠DEC，CE ＝15，BE＝9，则线段ED的长为．三、解答题（共60分）21．先化简，再求代数式的值，其中．22．如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB，点A，B均在小正方形的顶点上．（1）在图中画出一个以线段AB为一边的等腰△ABC，且△ABC为钝角三角形；（2）在图中画一个△BCD，点D在小正方形的顶点上，tan∠CBD＝，且△BCD的面积等于14；（3）连接AD，请直接写出AD的长．23．为了解学生线上学习的需求，某校随机对本校的部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果，绘制成如图两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：（1）求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图；（2）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；（3）该校共有学生2100人，请你估计该校对“在线阅读”最感兴趣的学生人数．24．已知，在平行四边形ABCD中，点E、F在分别边BC、AD上，且BE＝DF，EH⊥CF 于点H，FG⊥AE于点G．（1）求证：GE＝FH；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与∠AFG互余的所有角．25．某中学为了创建书香校园，去年购买了一批图书．其中故事书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购买的故事书与用800元购买的文学书数量相等．（1）求去年购买的文学书和故事书的单价各是多少元？（2）若今年文学书的单价比去年提高了25%，故事书的单价与去年相同，这所中学今年计划再购买文学书和故事书共200本，且购买文学书和故事书的总费用不超过2120元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？26．如图，AB为⊙O直径，弦CD交AB于点E，G为上一点，连接CG交AB于点F，交AD于点H，连接DG，且∠AFH﹣∠GDH＝∠BAD．（1）如图1，求证：AB⊥CD；（2）如图2，若∠ADE＝2∠ADG，求证：＝；（3）如图3，在（2）的条件下，若AF＝BF，AH＝10，求⊙O的半径．27．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）与x轴交于A、B两点（A左B右），与y轴交于点C，连接AC，tan∠CAO＝2．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第一象限抛物线上一点，射线BP交y轴正半轴于点N，设点P的横坐标为t，线段ON的长为d，求d与t的函数解析式；（3）在（2）的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，过点F作直线FD⊥BP于点D，过点A作AH⊥x轴交直线DF于点H，连接PH交x轴于点E，点G为线段AC上一点，连接PG、GE，PG交y轴于点K，点M为PG延长线上一点，连接MH，延长HM、EG 交于点R，若PF＝AH，MR＝MG，HR＝，求K点的坐标．参考答案一、选择题（共30分）1．解：﹣2的相反数是：﹣（﹣2）＝2，故选：A．2．解：A、原式＝a5，故A不符合题意．B、原式＝a6，故B不符合题意．C、原式＝a2+2ab+b2，故C不符合题意．D、原式＝a2﹣b2，故D符合题意．故选：D．3．解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误．故选：A．4．解：从左面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．故选：B．5．解：∠A＝∠BOC＝×60°＝30°，∵OA＝OC，∴∠C＝∠A＝30°．故选：B．6．解：由抛物线解析式可知，抛物线顶点坐标为（2，1），故选：A．7．解：设用x张铁皮制盒底，则把（150﹣x）张铁皮制盒身，根据题意得：2×15（150﹣x）＝45x．故选：C．8．解：，方程两边都乘（3x﹣2）（x+1），得2（x+1）＝3x﹣2，解得：x＝4，检验：当x＝4时，（3x﹣2）（x+1）≠0，所以x＝4是原方程的解，即原方程的解是x＝4，故选：B．9．解：∵反比例函数y＝（k≠0）经过点（2，5）和点（1，a），∴k＝2×5＝a，解得：a＝10．故选：C．10．解：A、∵AB∥CD，∴＝，故本选项不符合题目要求；B、∵AE∥DF，∴△CEG∞△CDH，∴＝，∴＝，∵AB∥CD，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝，故本选项不符合题目要求；∵AB∥CD，AE∥DF，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AF＝DE，∵AE∥DF，∴，∴＝，故本选项不符合题目要求；D、∵AE∥DF，∴△BFH∞△BAG，∴，故本选项符合题目要求；故选：D．二、填空题（共30分）11．解：59800000＝5.98×107．故答案为：5.98×107．12．解：由题意可知：x+2≠0，解得：x≠﹣2；所以，函数y＝的自变量x的取值范围是x≠﹣2．13．解：x3﹣2x2y+xy2，＝x（x2﹣2xy+y2），＝x（x﹣y）2．故答案为：x（x﹣y）2．14．解：解不等式≤1，得：x≥1，解不等式3x+2≥1，得：x≥﹣，∴不等式组的解集为x≥1．故答案为：x≥1．15．解：原式＝2×﹣2＝﹣2＝﹣．故答案为：﹣16．解：设扇形的半径为Rcm，∵扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，∴＝3π，解得：R＝4，所以此扇形的面积为＝6π（cm2），故答案为：6π．17．解：过C1作AB的垂线交AB延长线于C1，∵∠ABC＝60°，AB＝6，BC＝10，∵BD＝BC，由旋转性质得：BC＝BC1，∴BD＝5，AD＝BD+AB＝11，∴CD＝＝5，∴AC1＝＝14．故答案为：14．18．解：设∠B的角平分线交AC于点E，当∠BEC＝60°时，如图1，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A），∴∠ABE＝∠ABC＝（180°﹣∠A），∵∠ABE+∠A＝∠BEC，∴（180°﹣∠A）+∠A＝60°，∴∠A＝20°；当∠AEB＝60°时，如图2，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A），∴∠ABE＝∠ABC＝（180°﹣∠A），∵∠ABE+∠A+∠BEC＝180°，∴（180°﹣∠A）+∠A+60°＝180°，∴∠A＝100°，综上所述，∠A的度数为20°或100°．19．解：∵AD为BC边上的高，∴△ABD为Rt△ABD，在Rt△ABD中，∠ABC＝60°，AD＝6，∴BD＝＝＝6，如图1所示，当点D在BC上时，BC＝BD+CD＝6+1＝7，如图2所示，当点D在BC的延长线上时，BC＝BD﹣CD＝6﹣1＝5，故答案为：7或5．20．解：延长DC至G，DC＝CG，连接EG，作DH⊥EG，如图，，设AB＝a，则DC＝CG＝a，∵DC＝CG，CE⊥DG，∴∠GEC＝∠DEC，EG＝ED，∴∠BAC＝∠GED，∵S，EG＝ED，∴，在Rt△ECD中，DE＝，在Rt△ABC中，sin∠BAC＝，在Rt△EDH中，sin∠GED＝，∵∠BAC＝∠GED，∴sin∠BAC＝sin∠GED，∴，化简整理得：a4﹣800a2﹣90000＝0，解得：a＝10，在Rt△ECD中，DE＝＝5，故答案为5．三、解答题（共60分）21．解：＝＝﹣＝＝﹣，当＝2×﹣2×＝﹣2时，原式＝﹣＝﹣．22．解：（1）如图，△ABC即为所求．（2）如图，△BCD即为所求．（3）AD＝＝4．23．解：（1）18÷20%＝90（人），90﹣24﹣18﹣12＝36（人），答：调查的学生总人数是90人，补全条形统计图如图所示：（2）360°×＝48°，答：扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数为48°；（3）2100×＝560（人），答：该校2100名学生中对“在线阅读”最感兴趣的大约有560人．24．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵BE＝DF，∴AD：DF＝BC：BE，∴AF＝CE，AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形∴AE∥CF，∴∠AEH+∠FHE＝180°，∵EH⊥CF，FG⊥AE，∴∠FGE＝∠FHE＝∠GEG＝90°，∴四边形EHFG为矩形，∴GE＝FH；（2）∵GF⊥AE，∴∠GAF+∠AFG＝90°，∵AD∥BC，AE∥FC，∴∠AEB＝∠GAF，∠HCE＝∠CFD＝∠GAF，与∠AFG互余的角有：∠F AG、∠AEB、∠DFC、∠FCB．25．解：（1）设去年文学书单价为x元，则故事书单价为（x+4）元，根据题意得：，解得：x＝8，经检验x＝8是原方程的解，当x＝8时x+4＝12，答：去年文学书单价为8元，则故事书单价为12元．（2）设这所学校今年购买y本文学书，根据题意得．8×（1+25%）y+12（200﹣y）≤2120，y≥140，∴y最小值是140；答：这所中学今年至少要购买140本文学书．26．（1）证明：如图（1），连接AC、AG，∵∠AFH﹣∠GDH＝∠BAD，即∠AFH＝∠BAD+∠GDH，∴∠AFH+∠BAD＝2∠BAD+∠GDH，∵∠AFH+∠F AH＝∠HGD+∠GDH，∴∠HGD＝2∠BAD，∵∠HGD＝∠CAD，∴2∠BAD＝∠CAD，∴∠CAB＝∠DAB，∴，∴AB⊥CD．（2）证明：由（1）得：，∴，∴∠ADE＝∠ACD，∵∠ADE＝2∠ADG，∴∠ACD＝2∠ADG，∵∠ADG＝∠ACG，∠ACD＝∠ACG+∠GCD，∴∠ACD＝∠GCD，∴．（3）解：连接AC、BC、BG、BD、AG，作HN⊥AG于点N，∵，，∴∠GCD＝∠GBD＝∠ABG＝∠ADG，∠CGB＝∠CDB＝∠BAD＝∠BGD，∴∠ABD＝∠ACD＝∠ADC＝∠AGC，∵∠FCB＝∠GCD+∠BCD，∠F AG＝∠BAD+∠DAG，∠AFG＝∠CFB＝∠ABG+∠CGB，∴∠FCB＝∠F AG＝∠AFG＝∠CFB，∴BF＝BC，AG＝FG，∵AF＝BF，设AF＝4k，BF＝6k，则：AB＝10k，BC＝BF＝BD＝6k，∴AD＝，∴tan∠ABD＝，∴，∵BD＝6k，ED2+EB2＝DB2，∴ED＝EC＝，EB＝，∴EF＝，∴tan∠FCE＝，∴tan∠NAH＝，tan∠NGH＝，∵AH＝1，解直角三角形ANH和直角三角形GNH，得，AN＝4，HN＝2，NG＝，∴AG＝AN+NG＝，∵tan∠ABG＝tan∠FCE＝，∴BG＝11，∴AB2＝AG2+BG2＝（）2+（11）2＝，∴AB＝，∴⊙O的半径为．27．解：（1）在y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）中，令y＝0得x＝﹣1或x＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），∴OA＝1，在直角△AOC中，tan∠CAO＝＝2，∴OC＝2，由已知a＜0，∴C（0，2），代入y＝ax2﹣3ax﹣4a得：﹣4a＝2，∴a＝﹣，∴抛物线的解析式为；（2）∵点P的横坐标为t，∴P纵坐标为﹣t2+t+2，设直线BP的解析式为y＝mx+n，则，解得，∴直线BP的解析式为y＝﹣x+2t+2，令x＝0得y＝2t+2，∴N（0，2t+2），∵线段ON的长为d，N在y轴正半轴，∴d＝2t+2，（3）延长GE到G'，使EG'＝EG，连接HG'，如图：设P（m，﹣m2+m+2），则F（m，0），∴PF＝﹣m2+m+2，BF＝4﹣m，AF＝m+1，∵PF⊥x轴，FD⊥BP，AH⊥x轴，∴∠AFH＝∠DFB＝90°﹣∠PFD＝∠FPB，∴tan∠AFH＝tan∠FPB，∴＝，∴＝，∴AH＝2，H（﹣1，﹣2），∴PF＝AH＝2，即y P＝2，在中，令y＝2得x＝0（与C重合，舍去）或x＝3，∴P（3，2），∵∠AEH＝∠FEP，∠HAE＝∠PFE＝90°，AH＝PF，∴△AEH≌△FEP（AAS），∴PE＝HE，∵∠GEP＝∠G'EH，GE＝G'E，∴△GEP≌△G'EH（SAS），∴PG＝G'H，∠G'＝∠PGE，∵MR＝MG，∴∠R＝∠MGR，∴∠R＝∠MGR＝∠PGE＝∠G'，∴HR＝G'H，∴PG＝HR，∵HR＝，∴PG＝，由A（﹣1，0），C（0，2）可得直线AC解析式为y＝2x+2，设G（n，2n+2），而P（3，2），∴（n﹣3）2+（2n+2﹣2）2＝（）2，解得n＝﹣或n＝（G在二象限，舍去），∴G（﹣，1），由P（3，2），G（﹣，1）得直线PG的解析式为，∵点K是直线PG和y轴的交点，当x＝0时，y＝，∴点K坐标为．。

2022-2023学年第一学期九年级数学第三次月考测试题（附答案）一、单项选择题（共18分）1．下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）关于原点对称的点的坐标是（）A．（2，1）B．（﹣2，1）C．（﹣1，2）D．（﹣2，﹣1）3．⊙O的半径为3，点P在⊙O外，点P到圆心的距离为d，则d需要满足的条件（）A．d＞3B．d＝3C．0＜d＜3D．无法确定4．将一元二次方程x2+6x+3＝0化为（x+h）2＝k的形式，则k的值为（）A．3B．6C．9D．125．关于二次函数y＝﹣（x+1）2+3的图象，下列说法错误的是（）A．开口向下B．对称轴为直线x＝﹣1C．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大D．当x＝﹣1时，函数有最小值，最小值为y＝36．如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D，若∠A＝22.5°，⊙O的半径为2，则BD的长为（）A．1B．2C．2﹣2D．3﹣2二、填空题（共18分）7．已知x＝﹣1是方程x2﹣ax+1＝0的一个根，则a的值为．8．一个不透明的盒子里，装有除颜色外无其他差别的白珠子2颗和黑珠子若干颗，每次随机摸出一颗珠子，放回摇匀后再摸，通过多次试验发现摸到白珠子的频率稳定在0.2左右，则盒子中黑珠子可能有颗．9．一个圆锥的母线长为5，侧面展开图的面积是20π，则该圆锥的底面半径为．10．如图，紫荆花图案旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的角度至少为°．11．东汉时期的数学家赵爽在注解《周髀算经》时，给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图1，四个直角三角形是全等的，且直角三角形的长直角边与短直角边之比为2：1，现连接四条线段得到图2的新的图案．若随机向该图形内掷一枚针，则针尖落在图2中阴影区域的概率为．12．如图，已知点A从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着x轴的正方向运动，经过t（t≥1.5）秒后，以O，A为顶点作菱形OABC，使点B，C都在第一象限内，且∠AOC＝60°．若以点P（0，2）为圆心，PC为半径的圆恰好与菱形OABC某一条边所在的直线相切，则t的值为．三、解答题（共84分）13．（1）解方程：x2﹣4x+1＝0．（2）如图，E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A旋转一定角度后与△ABF重合．若四边形AECF的面积为16，求AD的长．14．如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A（﹣1，0），且对称轴为直线x＝1．求抛物线的解析式．15．已知AB是⊙O的直径，DE与⊙O相切于点D，且DE⊥BE，设BE交⊙O于点C，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中，作∠ABC的平分线．（2）在图2中，找出BC边上的中点G．16．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m＝0．（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根．（2）设方程的两根均为等腰△ABC的边长，且△ABC的周长为5，求m的值．17．如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连接BD．（1）若∠BAD＝20°，求∠ACB的度数．（2）若BC平分∠ABD，AD＝2，求AC的长．18．江西可谓物华天宝，山清水秀．寒假期间小尹打算去领略江西四大名山的风采，分别为A．明月山；B．武功山；C．庐山；D．三清山．由于时间原因，只能选择其中两个景点，于是小尹决定通过抽签的方式选择，将四张小纸条分别写上四个景点的名字，做出四个签（外表完全相同），然后从中随机抽出两张，每张签抽到的机会均等．（1）抽到“明月山”是事件，抽到“井冈山”是事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）．（2）请你用列表法或画树状图法表示出这次抽签所有可能的结果，并求“小尹抽到明月山和庐山”的概率．19．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣4，2），C（2，3）．（1）画出△ABC关于点O中心对称的△A1B1C1．（2）画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的△A2B2C，当点A旋转到A2时，求点A所经过的路径长．20．桑葚被称为“民间圣果”，其营养价值是苹果的5～6倍，是葡萄的4倍，具有降压降脂，健脾养胃等功效．今年某采摘园喜获丰收，经市场调研发现，当桑葚的售价为30元/千克时，每天可销售200千克，若单价每降价1元，销售量可增加50千克．已知该品种的桑葚成本价为15元/千克．（1）若该采摘园每天获利3500元，且尽量增加销售量，桑葚售价应降低多少元？（2）设桑葚售价降低a元，当a为何值时，该采摘园每天的利润最大．21．如图，以△ABC的边BC上一点O为圆心，OB为半径的圆，经过点A，且与边BC交于点E，D为⊙O上一点，连接AE，AD，其中∠CAE＝∠ABC．（1）求证：AC是⊙O的切线．（2）若∠ADB＝60°，⊙O的半径为3，求阴影部分的面积．（结果保留根号）22．函数图象在探究函数的性质时有非常重要的作用，某同学根据学习函数的经验，探究了函数y＝x2﹣2|x|+1的图形和性质．（1）如表给出了部分x，y的取值：x…﹣3﹣2﹣10123…y…m10n014…则m＝，n＝．（2）在如图所示的平面直角坐标系中画出函数y＝x2﹣2|x|+1的图象．（3）根据画出的函数图象，写出该函数的一条性质．（4）若点M（m，y1）在图象上，且y1≤1，若点N（m+k，y2）也在图象上，且满足y2≥4恒成立，请直接写出k的取值范围．23．【操作发现】如图1，在等边△ABC中，点B，C在直线MN上，E为BC边上的一点，连接AE，并把线段AE绕点E顺时针旋转60°得到线段EF，连接CF，则线段CF与BE 的数量关系是，线段CF与直线MN所夹锐角的度数是．【类比探究】如图2，在等边△ABC中，点B，C在直线MN上，若E为BC延长线上的一点，连接AE，并把线段AE绕点E顺时针旋转60°得到线段EF，连接CF，上述两个结论还成立吗？请说明理由．【拓展应用】如图3，在正方形ABCD中，点B，C在直线MN上，E为直线MN上的任意一点，连接AE，并把线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接CF．（1）试探究线段BE与CF的数量关系及线段CF与直线MN所夹锐角的度数，并说明理由．（2）若正方形的边长为2，连接DF，当DF＝时，求线段BE的长．参考答案一、单项选择题（共18分）1．解：A、不是中心对称图形，故此选项符合题意；B、是中心对称图形，故此选项不合题意；C、是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：A．2．解：点（2，﹣1）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，1），故选：B．3．解：∵点P在⊙O外，∴d＞3．故选：A．4．解：方程x2+6x+3＝0，移项得：x2+6x＝﹣3，配方得：x2+6x+9＝6，即（x+3）2＝6，则k＝6，故选：B．5．解：∵二次函数y＝﹣（x+1）2+3，∴a＝﹣1＜0，函数的图象开口向下，故选项A正确，不符合题意；对称轴是直线x＝﹣1，故选项B正确，不符合题意；当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，故选项C正确，不符合题意；当x＝﹣1时，函数有最大值y＝3，故选项D错误，符合题意；故选：D．6．解：连接OC，∵∠A＝22.5°，∴∠COD＝2∠A＝45°，∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，∴△OCD是等腰直角三角形，∵OC＝2，∴OD＝，∴BD＝OD﹣OB＝2﹣2，故选：C．二、填空题（共18分）7．解：由题意得：把x＝﹣1代入方程x2﹣ax+1＝0中，则（﹣1）2﹣a•（﹣1）+1＝0，∴1+a+1＝0，∴a＝﹣2，故答案为：﹣2．8．解：设有黑色珠子n颗，由题意可得，，解得n＝8．故估计盒子中黑珠子大约有8个．故答案为：8．9．解：设底面半径为R，则底面周长＝2πR，圆锥的侧面展开图的面积＝×2πR×5＝20π，∴R＝4．故答案为：4．10．解：紫荆花图案可以被中心发出的射线分成5个全等的部分，则旋转的角度至少为360÷5＝72度，故答案为：72．11．解：如图2，设直角三角形的长直角边与短直角边分别为2x和x，则AC＝x，BD＝x，AB＝CD，△ABD是直角三角形，则大正方形面积＝AC2＝5x2，△ADC面积＝•x•x＝x2，阴影部分的面积S＝5x2﹣4×x2＝3x2，∴针尖落在阴影区域的概率为＝．故答案为：．12．解：∵已知A点从（0，0）点出发，以每秒2个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，∴经过t秒后，∴OA＝2t，∵四边形OABC是菱形，∴OC＝2t，当⊙P与OA，即与x轴相切时，如图所示，则切点为O，此时PC＝OP，过P作PE⊥OC，∴OE＝CE＝OC，∴OE＝t，∵∠AOC＝60°，∴∠POC＝30°，∵A（0，2），∴PE＝，∴OE＝＝6，∴t＝6．故答案为：6．三、解答题（共84分）13．解：（1）∵x2﹣4x+1＝0，∴（x﹣2）2＝3，∴x﹣2＝±，∴x1＝+2，x2＝﹣+2；（2）∵把△ADE绕点A旋转一定角度后与△ABF重合，∴△ADE≌△ABF，∴S△ADE＝S△ABF，∴四边形AECF的面积等于正方形的面积，∴AD2＝16，∴AD＝4．14．解：由已知可得：，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+．15．解：（1）如图1，BD为所作；（2）如图2，点G为所作．16．（1）证明：∵a＝1，b＝﹣（m+1），c＝m，∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m+1）]2﹣4×1×m＝m2+2m+1﹣4m＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2≥0，∴无论m为何值，方程总有实数根；（2）解：∵x2﹣（m+1）x+m＝0，即（x﹣1）（x﹣m）＝0，解得：x1＝1，x2＝m．当关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m＝0有两个相等的实数根时，m＝1，∴△ABC的三条边长分别为1，1，3，∵1+1＝2＜3，∴1，1，3不能组成三角形，∴m＝1不符合题意，舍去；当关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m＝0有两个不相等的实数根时，m＝＝2，∴△ABC的三条边长分别为1，2，2，∵1+2＝3＞2，∴1，2，2能组成三角形．∴m的值为2．17．解：（1）∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∵∠BAD＝20°，∴∠D＝90°﹣20°＝70°，∴∠ACB＝∠D＝70°；（2）连接OC，∵BC平分∠ABD，∴∠ABC＝ABD＝45°，∴∠AOC＝2∠ABC＝90°，∵AD＝2，∴AO＝1，∴AC＝AO＝．18．解：（1）抽到“明月山”是随机事件，抽到“井冈山”是不可能事件，故答案为：随机，不可能；（2）画树状图如下：这次抽签所有等可能的结果共有12种，其中“小尹抽到明月山和庐山”的结果有2种，即AC、CA，∴“小尹抽到明月山和庐山”的概率为＝．19．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C即为所求，∵AC＝＝，∴弧长AA2＝＝．20．解：设桑葚售价应降低x元，则每天可售出（200+50x）千克，由题意得，（30﹣15﹣x）（200+50x）＝3500，解得x1＝1，x2＝10，∵采摘园尽量增加销售量，∴x＝10，答：桑葚售价应降低10元；（2）设采摘园每天的利润为w元，根据题意得：w＝（30﹣15﹣a）（200+50a）＝﹣50a2+550a+3000＝﹣50（a﹣）2+4512，∵﹣50＜0，∴当a＝时，w有最大值，最大值为4512.5，答：当a＝时，该采摘园每天的利润最大．21．（1）证明：如图，连接OA，∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE＝90°，∴∠OAB+∠OAE＝90°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB，∵∠CAE＝∠ABC，∴∠CAE＝∠OAB，∴∠CAE+∠OAE＝90°，∴OA⊥AC，∵OA是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵∠ADB＝60°，∴∠AEB＝∠ADB＝60°，∵OA＝OE，∴△OAE为等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴AC＝OA＝3，∴S阴影部分＝S△OAC﹣S扇形AOE＝×3×3﹣＝﹣π．22．解：（1）将x＝﹣3，x＝0分别代入函数y＝x2﹣2|x|+1，得m＝9﹣6+1＝4，n＝1，故答案为：4，1；（2）画出函数图象如图：（3）该函数的一条性质：函数图象关于y轴对称；（4）由图象得，若点M（m，y1）在图象上，且y1≤1，则﹣1≤m≤1，若点N（m+k，y2）也在图象上，且满足y2≥4恒成立，则m+k≤﹣3或m+k≥3，∴k≤﹣3﹣m或k≥3﹣m，∴k的取值范围为k≤﹣4或k≥4．23．解：【操作发现】如图1中，过点E作EK∥AC交AB于点K．∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝∠CAB＝∠ABC＝60°，AB＝BC，∵EK∥AC，∴∠BEK＝∠ACB＝60°，∠BKE＝∠CAB＝60°，∴△BEK是等边三角形，∴BK＝BE，∴AK＝EC，∵∠AEC＝∠AEF+∠FEC＝∠ABC+∠EAK，∠AEF＝∠ABC＝60°，∴∠EAK＝∠FEC，在△EAK和△FEC中，，∴△EAK≌△FEC（SAS），∴EK＝CF，∠AKE＝∠ECF＝120°，∵BE＝EK，∴CF＝BE，∠FCN＝60°，故答案为：CF＝BE，60°；【类比探究】如图2中，结论成立．理由：过点E作EK∥AC交BA的延长线于点K．∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝∠CAB＝∠ABC＝60°，AB＝BC，∵EK∥AC，∴∠BEK＝∠ACB＝60°，∠BKE＝∠CAB＝60°，∴△BEK是等边三角形，∴BK＝BE，∴AK＝EC，∵∠AEN＝∠AEF+∠FEN＝∠ABC+∠EAK，∠AEF＝∠ABC＝60°，∴∠EAB＝∠FEN，∴∠EAK＝∠FEC，在△EAK和△FEC中，，∴△EAK≌△FEC（SAS），∴EK＝CF，∠AKE＝∠FCE＝60°，∵BE＝EK，∴CF＝BE；【拓展应用】（1）结论：CF＝BE，线段CF与直线MN所夹锐角的度数为45°．理由：在BA上取一点K，使得BK＝BE．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∵BK＝BE，∴∠BKE＝∠BEK＝45°，∴∠AKE＝135°，∵∠AEN＝∠AEF+∠FEC＝∠ABC+∠EAK，∠AEF＝∠ABC＝90°，∴∠EAB＝∠FEN，在△EAK和△FEC中，，∴△EAK≌△FEC（SAS），∴EK＝CF，∠AKE＝∠FCE＝135°，∴∠FCN＝180°﹣135°＝45°；（2）如图4﹣1中，过点D作DH⊥CF于点H．当点F在点H上方时，∵△DCH是等腰直角三角形，CD＝2，∴CH＝DH＝，∵DF＝，∴FH＝＝＝2，∴CF＝BE＝3．如图4﹣2中，当点F在点H的下方时，同法可得FH＝2，∴CF＝BE＝FH﹣CH＝，综上所述，BE的长为或3．。

人教版2022-2023学年第一学期九年级数学第三次阶段性综合测试题（附答案）一、单项选择题（共18分）1．中秋节是中国的传统节日，有“团圆”、“丰收”的寓意．月饼是首选传统食品，不仅美味，而且设计多样．下列月饼图案中，为中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．方程x2+6x﹣5＝0的左边配成完全平方后所得方程为（）A．（x+3）2＝14B．（x﹣3）2＝14C．（x+3）2＝4D．（x﹣3）2＝4 3．若气象部门预报明天下雪的概率是85%，下列说法正确的是（）A．明天下雪的可能性比较大B．明天一定不会下雪C．明天一定会下雪D．明天下雪的可能性比较小4．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若∠ABD＝54°，则∠C的度数为（）A．34°B．36°C．46°D．54°5．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知方程ax2+bx+c＝0的根是（）A．x1＝﹣1，x2＝5B．x1＝﹣2，x2＝4C．x1＝﹣1，x2＝2D．x1＝﹣5，x2＝56．截止到2021年3月15日，返乡入乡创业就业规模扩大，全国当年各类返乡入乡创业创新人员由2018年的320万人增加到2020年的1010万人．设我国从2018年到2020年返乡入乡创业创新人员的平均增长率为x，则可列方程为（）A．320（1+2x）＝1010B．320×2（1+x）＝1010C．320（1+x）2＝1010D．320+320（1+x）+320（1+x）2＝1010二、填空题（共24分）7．一元二次方程x2＝﹣x的根是．8．在平面直角坐标系中，点M（﹣2，4）关于原点对称的点的坐标是．9．抛物线y＝（x+2）2﹣2的顶点是．10．已知抛物线y＝﹣（x+3）2﹣5，当x时，y随x的增大而增大．11．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AC＝5．以点A为中心，将矩形ABCD旋转得到矩形AB′C′D′，使得点B′落在边AD上，此时DB′的长为．12．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝68°，则∠ADC的度数是．13．如图，⊙O的内接正六边形ABCDEF边长为cm，则该正六边形的面积为cm2．14．如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为弧AB上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E．若∠CDE＝40°，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．三、解答题（共78分）15．解一元二次方程：x2﹣x﹣1＝0．16．已知关于x的方程x2+4x+3﹣a＝0有两个不相等的实数根，求a的取值范围．17．已知抛物线y＝x2﹣kx﹣3k与x轴的一个交点为（﹣2，0）（1）求k的值；（2）求抛物线与x轴的另一个交点坐标．18．红红和丁丁玩纸牌游戏，如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面洗匀后放在桌面上．（1）红红从4张牌中抽取一张，这张牌的数字为大于7的概率是．（2）红红先从中抽取一张，丁丁从剩余的3张牌中也抽出一张，比较两人抽取的牌面上的数字，数字大者获胜，请用树状图或列表法求出红红获胜的概率．19．如图，在7×8的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上．（1）将线段AB绕点C逆时针旋转90°得到线段DE（点A，B的对应点分别为点D，E），请画出线段DE．（2）以AD为对角线作▱AEDF，画出▱AEDF，并直接写出▱AEDF的面积．20．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE ⊥AB，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若DE＝，∠C＝30°，求的长．21．如图，在正方形ABCD中，AD＝2，将边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC．（1）判断△ABP的形状，并说明理由．（2）求CE的长．22．某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？23．小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为x 轴方向，1m为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的A点出手，运动路径可看作抛物线，在B点处达到最高位置，落在x轴上的点C处．小明某次试投时的数据如图所示．（1）在图中画出铅球运动路径的示意图；（2）根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；（3）若铅球投掷距离（铅球落地点C与出手点A的水平距离OC的长度）不小于10m，成绩为优秀．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀．24．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α（0＜α＜120°）得到△ADE，DE交BC于点F，连接AF，在旋转过程中，有下列对某些四边形状的判断．甲：四边形AFCE可能是矩形；乙：四边形ADCE可能是菱形；丙：四边形ABFE可能是菱形．解答下列问题：（1）上述判断正确的是．（2）请选择一个你认为正确的判断，画出相应的图形，求出此时旋转角a的度数，并给予证明．25．如图，△ABC中，AB＝AC＝8cm，∠BAC＝120°．动点P从点A出发，在AB边上以每秒1cm的速度向终点B匀速运动（点P不与点A，B重合），同时动点Q从点B出发，沿BC边以每秒cm的速度向终点C匀速运动，连接PQ．设运动时间为x（s），△BPQ 的面积为y（cm2）．（1）BP＝cm，点Q到AB的距离为cm．（用含x的代数式表示）（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．（3）当y＝S△ABC时，求x的值．（4）在点P，Q的运动过程中，以PQ为直径作⊙O，⊙O能与AB或BC相切吗？若能，请直接写出x的值；若不能，请说明理由．26．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C （0，3）．（1）若抛物线的对称轴是直线x＝﹣2．①求抛物线的解析式．②点P在对称轴上，若△PBC的面积是6，求点P的坐标．（2）当b≤0，﹣2≤x≤0时，函数y的最大值满足3≤y max≤16，求b的取值范围．参考答案一、单项选择题（共18分）1．解：选项A、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原图重合，所以不是中心对称图形；选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原图重合，所以是中心对称图形；故选：B．2．解：移项得：x2+6x＝5，配方可得：x2+6x+9＝5+9，即（x+3）2＝14，故选：A．3．解：若气象部门预报明天下雪的概率是85%，说明明天下雪的可能性比较大，故选：A．4．解：连接AD，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠ABD＝90°﹣54°＝36°，∴∠C＝∠A＝36°．故选：B．5．解：由图象可知对称轴x＝2，与x轴的一个交点横坐标是5，它到直线x＝2的距离是3个单位长度，所以另外一个交点横坐标是﹣1．所以x1＝﹣1，x2＝5．故选：A．6．解：依题意得：320（1+x）2＝1010．故选：C．二、填空题（共24分）7．解：∵x2＝﹣x，∴x2+x＝0，则x（x+1）＝0，∴x＝0或x+1＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．故答案为：x1＝0，x2＝﹣1．8．解：点（﹣2，4）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣4）．故答案为：（2，﹣4）．9．解：∵y＝（x+2）2﹣2是抛物线解析式的顶点式，∴根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣2，﹣2）．故答案为：（﹣2，﹣2）．10．解：∵抛物线y＝﹣（x+3）2﹣5，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣3；∵x＜﹣3时，y随x的增大而增大，故答案为：＜﹣3．11．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝90°，AD＝BC，∵AB＝3，AC＝5，∴BC＝＝＝4，∴AD＝4，由旋转的性质可知，AB＝AB′＝3，∴DB′＝AD﹣AB′＝4﹣3＝1，故答案为：1．12．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝68°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣68°＝112°，故答案为：112°．13．解：过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，∵⊙O的内接正六边形ABCDEF边长为cm，∴OA＝OB＝AB＝2cm，∴OH＝OA•cos30°＝2×＝3（cm），∴S正六边形ABCDEF＝6S△OAB＝6××＝18（cm）2．故答案为：18．14．解：如图，连接OC，∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，∴四边形CDOE是矩形，∴OD＝CE，DE＝OC，CD∥OE，∵∠CDE＝40°，∴∠DEO＝∠CDE＝40°，在△DOE和△CEO中，，∴△DOE≌△CEO（SSS），∴∠COB＝∠DEO＝40°，∴图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，∵S扇形OBC＝＝，故答案为：．三、解答题（共78分）15．解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，则x＝＝，∴x1＝，x2＝．16．解：∵方程x2+4x+3﹣a＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝42﹣4×1×（3﹣a）＝4+4a＞0，解得：a＞﹣1．17．解：（1）根据题意得，4+2k﹣3k＝0，所以k＝4；得抛物线的解析式为y＝x2﹣4x﹣12；（2）∵x2﹣4x﹣12＝0，解得x1＝﹣2，x2＝6，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标（6，0）．18．解：（1）从4张牌中抽取一张，这张牌的数字为大于7的概率是＝，故答案为：；（2）根据题意画树状图如下：共有12种等可能的结果数，其中红红获胜的结果有6个，∴红红获胜的概率为＝．19．解：（1）如图，线段DE即为所求；（2）如图，平行四边形AEDF即为所求．四边形AEDF的面积＝2×4＝8．20．（1）证明：连接OD；∵OD＝OC，∴∠C＝∠ODC，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠ODC，∴OD∥AB，∴∠ODE＝∠DEB；∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠ODE＝90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．（2）解：连接AD，∵AC是直径，∴∠ADC＝90°，∵AB＝AC，∠C＝30°，∴∠B＝∠C＝30°，BD＝CD，∴∠OAD＝60°，∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD＝60°，∵DE＝，∠B＝30°，∠BED＝90°，∴CD＝BD＝2DE＝2，∴OD＝AD＝tan30°•CD＝×2＝2，∴的长为：＝．21．解：（1）△ABP是等边三角形．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BAD＝∠D＝90°，∵把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，∴PB＝BC＝AB，∠PBC＝30°，∴∠ABP＝60°，∴△ABP是等边三角形；（2）∵△ABP是等边三角形，∴∠BAP＝60°，∴∠DAE＝30°，∵AD＝2，∴DE＝AD•tan30°＝2，∴CE＝2﹣2．22．解：（1）由题意，可设y＝kx+b（k≠0），把（5，30000），（6，20000）代入得：，解得：，所以y与x之间的关系式为：y＝﹣10000x+80000；（2）设利润为W元，则W＝（x﹣4）（﹣10000x+80000）＝﹣10000（x﹣4）（x﹣8）＝﹣10000（x2﹣12x+32）＝﹣10000[（x﹣6）2﹣4]＝﹣10000（x﹣6）2+40000所以当x＝6时，W取得最大值，最大值为40000元．答：当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元．23．解：（1）如图所示．（2）解：依题意，抛物线的顶点B的坐标为（4，3），点A的坐标为（0，2）．设该抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+3，由抛物线过点A，有16a+3＝2．解得，∴该抛物线的表达式为；（3）解：令y＝0，得．解得，（C在x轴正半轴，故舍去）．∴点C的坐标为（，0）．∴．由，可得．∴小明此次试投的成绩达到优秀．24．解：（1）甲不正确：理由是当AF⊥CF时，DE与BC重合，四边形不存在．乙，丙正确（理由见2中证明）．故答案为：乙，丙；（2）①四边形ADCE可能是菱形．当α＝60°时，四边形ADCE是菱形．理由：如图1中，∵∠BAC＝∠DAE＝120°，∠BAD＝60°，∴∠CAD＝∠CAE＝60°，∵AD＝AC＝AE，∴△ADC，△AEC都是等边三角形，∴AC＝EC＝CD，∴AE＝AD＝CD＝EC，∴四边形ADCE是菱形．②四边形ABFE可能是菱形．当α＝30°时，四边形ABFE是菱形．理由：如图2中，∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝120°，∴∠B＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED＝30°∵∠BAD＝∠ADE＝30°，∴AB∥DE，∵∠BAD＝∠CAE＝∠ACB＝30°，∴AE∥CB，∴四边形ABFE是平行四边形，∵AB＝AE，∴四边形ABFE是菱形．25．解：（1）由题意可得AP＝xm，BQ＝xcm，∵AB＝8cm，∴BP＝（8﹣x）cm，过Q点作QH⊥AB交于H，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝30°，在Rt△BQH中，HQ＝BQ＝xcm，故答案为：8﹣x，x；（2）过点A作AG⊥BC交于G，∵BA＝8cm，∠B＝30°，∴AG＝4cm，BG＝4cm，∴BC＝8cm，当Q点从B点运动到C点时，x＝8，当P点从A点运动到B点时，x＝8，∴P、Q点同时到达终点，∴0＜x＜8，由（1）知，BP＝（8﹣x）cm，HQ＝xcm，∴y＝×BP×HQ＝（8﹣x）×x＝﹣x2+2x，∴y＝﹣x2+2x（0≤x≤8）；（3）由（2）知，AG＝4cm，BC＝8cm，∴S△ABC＝×8×4＝16cm2，∵y＝S△ABC，∴﹣x2+2x＝×16，解得x＝4+2或x＝4﹣2；（4）⊙O能与AB或BC相切，理由如下：如图3，当⊙O与AB相切时，P为切点，此时PQ⊥AB，∴8﹣x＝×x，∴x＝；如图4，当⊙O与BC相切时，Q为切点，此时PQ⊥BC，∴x＝（8﹣x），解得x＝；综上所述：x＝或．26．解：（1）①抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝−＝−2，∴b＝4，又∵抛物线与y轴的交点为（0，3），∴c＝3，∴抛物线的解析式为y＝x2+4x+3；②∵抛物线的解析式为y＝x2+4x+3，令y＝0，则x2+4x+3＝0，解得x＝﹣1或﹣3，∴A（﹣3，0），B（﹣1，0），当点P在直线BC的上方时，∵点P在抛物线的对称轴上，∴设点P的坐标为（﹣2，m），则S△PBC＝S梯形PDOC﹣S△PDB﹣S△COB＝（m+3）×2﹣×1×m﹣×1×3＝6，解得m＝9，∴点P的坐标为（﹣2，9）；当点P在直线m的下方时，设直线BC的解析式为y＝mx+n，∵B（﹣1，0），C（0，3）．∴，解得，∴直线BC的解析式为y＝3x+3，∴直线BC与抛物线的对称轴的交点为（﹣2，﹣3），∴S△PBC＝S△PEC﹣S△PEB＝×2×（﹣3﹣m）﹣×1×（﹣3﹣m）＝6，解得m＝﹣15，∴点P的坐标为（﹣2，﹣15）．综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣2，9）或（﹣2，﹣15）；（2）∵b≤0时，∴−≥0，∴x＝−≥0，∵抛物线开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，∴当﹣2≤x≤0时，取x＝﹣2，y有最大值，即y＝4﹣2b+3＝﹣2b+7，∵C（0，3），∴当x＝0时，取x＝0，y有最小值3，∴3≤﹣2b+7≤16，解得：−≤b≤2，又∵b≤0，Δ＝b2﹣12＞0，∴＜﹣2．。

2022-2023学年九年级数学上册第三次月考测试题（附答案）一、选择题（共30分）1．下列成语所描述的事件为必然事件的是（）A．水中捞月B．瓮中捉鳖C．守株待兔D．拔苗助长2．若，则等于（）A．B．C．D．3．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，若以点D为圆心，8为半径作⊙D，则下列各点在⊙D外的是（）A．点A B．点B C．点C D．点D4．两个相似三角形的面积之比为1：4，较小的三角形的周长为4，则另一个三角形的周长为（）A．16B．8C．2D．15．如图，在小正方形组成的网格中，△ABC的顶点都是格点（网格线的交点），则tan∠ABC 等于（）A．B．C．D．6．如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC是⊙O的直径，若∠CAD＝25°，则∠ABD的度数为（）A．25°B．50°C．65°D．75°7．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°8．竖直向上发射的小球的高度h（m）关于运动时间t（s）的函数表达式为h＝at2+bt，其图象如图所示，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（）A．第3秒B．第3.5秒C．第4.2秒D．第6.5秒9．数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB＝c，一条直角边BC＝a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（）A．勾股定理B．直径所对的圆周角是直角C．勾股定理的逆定理D．90°的圆周角所对的弦是直径10．如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为边AB 上一动点，若△P AD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（共24分）11．计算：sin45°＝．12．已知P是线段AB的黄金分割点，P A＞PB，AB＝2cm，则P A＝．13．已知扇形的圆心角为120°，面积为12π，则扇形的半径是．14．如图，点A（2，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值是．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则此Rt△ABC的重心P与外心Q之间的距离为．16．如图，AC平分∠BAD，∠BAD＝∠BCD．（1）∠DBC＝．（2）若AD＝6，AB＝8，那么AC的长是．三、解答题（共66分）17．计算：sin30°•tan45°+sin260°﹣2cos60°．18．（1）解一元一次不等式组；（2）解方程：．19．如图，已知D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，∠AED＝∠C，AE＝5，AC＝9，DE＝6．（1）求证：△ABC∽△ADE．（2）求BC的长．20．面对新冠疫情，衢州教育人同心战“疫”因有不少师生居家健康监测，无法到校工作、学习，各校师生通过“云端”相连，停课不停教，停课不停学．某校在疫情期间的教学方式主要包括直播授课、录播投课、自主学习、在线答疑四种形式．为了了解学生的需求，该校随机对部分学生进行了“你对哪种教学方式最感兴趣”的调查（每人只选其中的一种），并根据调查结果绘制成如图所示的统计图．（1）本次调查的人数是人；（2）请补全条形统计图；（3）明明和强强参加了此次调查，均选择了其中一种教学方式，求明明和强强选择同一种教学方式的概率．21．一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图所示位置时，AB＝2m．已知木箱高度BE ＝1m，斜面坡角∠BAC为30°，求木箱端点E距地面AC的高度．22．利用网格图，仅用无刻度的直尺来完成几何作图．（注：以下点A、B、M、N均在格点上．）（1）如图1、2是由边长为1的小正方形构成的网格图．①在图1中，AM∥BN，连结MN交AB于点P，此时BP＝2AP，请说明理由．②在图2中的线段AB上，求作一点P，使得BP＝2AP．（不写作法，保留作图痕迹）（2）如图3、4是由边长为1的小正六边形构成的网格图．请在线段AB上求作点P．①在图3中，过格点M作线段MN与AB交于点P，使得AP＝BP．（作出图形）②在图4中，求作点P，使得AP＝BP（要求：方法与①有别，不写作法，但保留作图痕迹）23．根据以下素材，探索完成任务．如何确定隧道的限高？素材1从小清家到附近山区的一条双行线公路上有一个隧道，在隧道口有一个限高标志（如图1），表示禁止装载高度（车顶最高处到地面）超过3.5m的车辆通行．那么这个限高3.5m是如何确定的呢？素材2小清通过实地调查和查阅相关资料，获得以下信息：①隧道的横截面成轴对称，由一个矩形和一个弓形构成．②隧道内的总宽度为8m，双行车道宽度为6m，隧道圆拱内壁最高处距路面5m，矩形的高为2m，车道两侧的人行道宽1m．③为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道圆拱内壁在竖直方向上的高度差相差最少0.2m．问题解决任务1计算半径求图1中弓形所在圆的半径．任务2确定限高如图2，在安全的条件下，3.5m的限高是如何确定的？请通过计算说明理由．（参考数据：≈17.35，结果保留一位小数）任务3尝试设计如果要使高度不超过3.3m，宽为2.5m的货车能顺利通过这个隧道，且不改变隧道内的总宽度（8m）和矩形的高（2m），如何设计隧道的弓形部分（求弓形所在圆的半径至少为多少米？）（参考数据：≈9.44，结果保留一位小数）24．如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AC＝，AB＝，AE＝，AD＝1，将△DAE绕点A在平面内顺时针旋转α（0°≤α≤360°），连接CE，BD．（1）求证：△ADB∽△AEC；（2）请判断线段CE和BD的位置关系，并说明理由；（3）当点B、D、E在同一条直线上时，求线段CE的长；（4）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，过A点作AP∥BC，在射线AP 上取一点D，连接CD，使得tan∠ACD＝，请直接写出线段BD的最值．参考答案一、选择题（共30分）1．解：A、水中捞月是不可能事件，故本选项错误；B、翁中捉鳖是必然事件，故本选项正确；C、守株待兔是随机事件，故本选项错误；D、拔苗助长是不可能事件，故本选项错误．故选：B．2．解：∵，∴＝，故选：D．3．解：连接BD，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，∴CD＝AB＝6，∠A＝90°，∴BD＝＝10，∵CD＝6＜8，BD＝10＞8，AD＝8，∴点A在⊙D上，点B在⊙D外，点C在⊙D内．故选：B．4．解：设另一个三角形的周长为x，则4：x＝，解得：x＝8．故另一个三角形的周长为8，故选：B．5．解：如图：在Rt△ABD中，AD＝2，BD＝4，∴tan∠ABC＝＝＝，故选：D．6．解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠CAD＝90°﹣25°＝65°，∴∠ABD＝∠ACD＝65°．故选：C．7．解：由题意知△ABC≌△DEC，则∠ACB＝∠DCE＝30°，AC＝DC，∴∠DAC＝＝＝75°，故选：D．8．解：由题意可知：h（2）＝h（6），即4a+2b＝36a+6b，解得b＝﹣8a，函数h＝at2+bt的对称轴t＝﹣＝4，故在t＝4s时，小球的高度最高，题中给的四个数据只有C第4.2秒最接近4秒，故在第4.2秒时小球最高故选：C．9．解：由作图痕迹可以看出O为AB的中点，以O为圆心，AB为直径作圆，然后以B为圆心BC＝a为半径画弧与圆O交于一点C，故∠ACB是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断∠ACB是直角的依据是：直径所对的圆周角是直角．故选：B．10．解：∵AB⊥BC，∴∠B＝90°．∵AD∥BC，∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，∴∠P AD＝∠PBC＝90°．AB＝8，AD＝3，BC＝4，设AP的长为x，则BP长为8﹣x．若AB边上存在P点，使△P AD与△PBC相似，那么分两种情况：①若△APD∽△BPC，则AP：BP＝AD：BC，即x：（8﹣x）＝3：4，解得x＝；②若△APD∽△BCP，则AP：BC＝AD：BP，即x：4＝3：（8﹣x），解得x＝2或x＝6．∴满足条件的点P的个数是3个，故选：C．二、填空题（共24分）11．解：根据特殊角的三角函数值得：sin45°＝．12．解：∵P是线段AB的黄金分割点，P A＞PB，∴P A＝AB＝×2＝（﹣1）cm，故答案为：（﹣1）cm．13．解：根据扇形的面积公式，得R＝＝＝6，故答案为6．14．解：过点A作AB⊥x轴于B，∵点A（2，t）在第一象限，∴AB＝t，OB＝2，又∵tanα＝＝＝，∴t＝3．故答案为：3．15．解：根据题意可知，C、P、Q三点共线．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝＝＝13，∵Rt△ABC的外心为Q，∴Q为斜边AB的中点，∴CQ＝AB＝，∵Rt△ABC的重心为P，∴PQ＝CQ＝．故答案为：．16．解：（1）∵∠BAD＝∠BCD，∠BAD+∠BCD＝180°，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC＝45°，∴∠DBC＝∠BAC＝45°，故答案为：45°；（2）在Rt△ABD中，BD＝＝＝10，∵∠BCD＝90°，∠DBC＝45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴CD＝BD＝×10＝5，过D点作DH⊥AC于H点，如图，∵∠DAH＝45°，∴△ADH为等腰直角三角形，∴AH＝DH＝AD＝3，在Rt△CDH中，CH＝＝＝4，∴AC＝AH+CH＝3+4＝7．故答案为：7．三、解答题（共66分）17．解：原式＝×1+（）2﹣2×＝+﹣1＝．18．解：（1），解不等式①得：x＜2，解不等式②得：x＜1，∴原不等式组的解集为：x＜1；（2），x﹣3＝2x﹣1，解得：x＝﹣2，检验：当x＝﹣2时，2x﹣1≠0，∴x＝﹣2是原方程的根．19．（1）证明：∵∠AED＝∠C，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADE；（2）解：由（1）得：△ABC∽△ADE，∴＝，∵AE＝5，AC＝9，DE＝6，∴＝，∴BC＝．20．解：（1）本次调查的人数有20÷25%＝80（人），故答案为：80；（2）自主学习的人数有：80﹣35﹣20﹣15＝10（人），补全条形统计图如下：（3）把直播授课、录播授课、自主学习、在线答疑四种形式分别记为A、B、C、D，画树状图如下：共有16种等可能情况，其中明明和强强选择同一种教学方式的结果有4种，∴明明和强强选择同一种教学方式的概率为＝．21．解：如图，过点E作ED⊥AC于点D，交AB于点F，根据题意可知：EB⊥AB，∴∠EBF＝90°，∴∠ADF＝∠EBF＝90°，∵∠AFD＝∠EFB，∴∠F AD＝∠BEF＝30°，在Rt△EFB中，BF＝BE•tan30°＝1×tan30°＝，EF＝，在Rt△ADF中，AF＝AB﹣BF＝2﹣，∴DF＝AF•sin30°＝1﹣，∴ED＝EF+FD＝+1﹣＝（+1）（m）．答：木箱端点E距地面AC的高度约为（）m．22．解：（1）①∵AM∥BN，∴△AMP∽△BNP，∴＝＝，∴BP＝2AP；②如图：点P即为所求；（2）①如图：点P即为所求；②如图：点P即为所求．23．解：（1）如图所示：点O为弓形所在圆的圆心，OA、OC为半径，BC是弓形高，且BC＝5﹣2＝3（m）∴OC⊥AB，∴OA2＝AB2+OB2，即OA2＝42+（OA﹣3）2，解得OA＝（m）（2）根据车行道的宽度和弓形半径规定的，理由如下，如图所示：半径OE、OB为m（由①知），EF＝3mEF⊥OB，BF＝OB﹣OF，∴OF2＝OE2﹣EF2＝﹣32＝，∴OF＝≈2.89（m），BF＝﹣2.89≈1.3（m），AF＝5﹣1.3＝3.7m，为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道圆拱内壁在竖直方向上的高度差相差最少0.2m．故限高为：3.5m．（3）如图所示：为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道圆拱内壁在竖直方向上的高度差相差最少0.2m．要使高度不超过3.3m，宽为2.5m的货车能顺利通过这个隧道，故CD＝3.5m，设弓形的半径为R，OB＝x，CE＝2.5m，AB＝4m，BE＝3.5﹣2＝1.5（m），OE＝x+1.5，∵OE2+CE2＝OC2，OB2+AB2＝OA2，OA＝OC，∴（x+1.5）2+（2.5）2＝x2+42，x＝2.5（m），∴OA2＝（2.5）2+42＝，OA＝4.7m24．（1）证明：设直线AB交CE于点M，直线CE交BD于点N，∵，＝，∴，∵∠CAB＝∠EAD＝90°，∴∠CAE＝∠DAB，∴△ADB∽△AEC；（2）解：CE⊥BD，理由：∵△ADB∽△AEC，∴∠ECA＝∠ABD，∵∠BME＝∠CMA，∴∠BNM＝∠BAC＝90°，∴CE⊥BD；（3）解：在Rt△ADE中，AD＝1，AE＝，则DE＝2，∠EDA＝60°，由（1）知，△ADB∽△AEC，∴＝，则CE＝BD；①当B、E、D三点共线时，如图1，过点A作AH⊥BD于点H，在Rt△ADH中，AD＝1，∠D＝60°，则DH＝，AH＝，在Rt△AHB中，HB＝＝＝，则BD＝BH+DH＝＝3，则EC＝，BD＝3；②当B、D、E共线时，如图2，过点A作AH⊥BD交于点H，在Rt△AHE中，AE＝，∠E＝30°，则AH＝AE＝，EH＝，在Rt△ADE中，AD＝1，∠E＝30°，则ED＝2，在Rt△ABH中，BH＝＝＝，则BE＝BH+EH＝＝4，则BD＝BE﹣DE＝4﹣2＝2，∵CE＝BD，即CE＝2；综上，CE＝3或2；（4）解：过点A作AE⊥AB，使AE＝AB＝6，取AB的中点R，连接CR、CE、BE、ER，则CR＝AR＝AB＝3，∵∠DAC＝∠BAE＝90°，∴∠CAE＝∠DAB，∵tan∠ACD＝＝＝＝，∴△ADB∽△ACE，∴，∴BD＝CE，∴RE﹣CR≤CE≤RE+CR，在Rt△AER中，ER＝＝＝9，则6≤CE≤12，∴3≤BD≤6，即BD的最小值和最大值分别为：3和6．。

2022-2023学年第一学期九年级数学第三次月考测试题（附答案）一、单选题（共30分）1．点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，﹣2）B．（﹣2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（3，2）2．如图，A，B，C为⊙O上的三个点，∠AOB＝72°，则∠ACB的度数为（）A．36°B．24°C．48°D．144°3．用配方法解方程x2﹣6x﹣2＝0的过程中，应将此方程化为（）A．（x﹣3）2＝11B．（x﹣3）2＝7C．（x﹣6）2＝38D．（x﹣6）2＝34 4．如图，⊙O的半径为4，弦心距OC＝2，则弦AB的长为（）A．3B．C．6D．5．下列事件中是必然事件的是（）A．打开电视机，正在播放中央电视台的《开学第一课》B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯C．任意画一个三角形，其内角和是180°D．同位角相等6．新冠疫情牵动人心，若有一人感染了新冠，在每轮传染中平均一个人可以传染x个人，经过两轮传染后共有169人感染，若不加以控制，第三轮传染后感染人数为（）A．338B．256C．2197D．20287．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠BAC＝25°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．40°8．如图，抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x，当y1＜y2时，x的取值范围是（）A．0＜x＜2B．x＜0或x＞2C．x＜0或x＞4D．0＜x＜49．如图，在△ABC中，∠BAC＝135°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B 的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论不正确的是（）A．△ABC≌△DEC B．∠ADC＝45°C．AD＝AC D．AE＝AB+CD 10．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M在AD边上自A至D运动，点N在BA边上自B至A运动，M，N速度相同，当N运动至A时，运动停止，连接CN，BM交于点P，则AP的最小值为（）A．1B．2C．D．二、填空题（共18分）11．抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2+1，则抛物线的顶点坐标是．12．若关于x的一元二次方程x2+ax＝0有两个相等的实数根，则a的值为．13．如图，已知圆锥的底面半径为3，圆锥的母线与高的夹角θ为30°，则圆锥的侧面展开图的面积是．14．如图，两块相同的三角板完全重合在一起，∠A＝30°，AC＝10，把上面一块绕直角顶点B逆时针旋转到△A'BC'的位置，点C'在AC上，A'C'与AB相交于点D，则C'D＝．15．已知⊙O半径为1，AB是⊙O的一条弦，且AB＝，则弦AB所对的圆周角度数是．16．商店销售一种进价为20元/个的帽子，经调查发现，该种帽子每天的销售量w（个）与销售单价x（元）满足w＝﹣2x+80（20≤x≤40），设销售这种帽子每天的利润为y（元），则y与x之间的函数关系式为；当销售单价定为元时，每天的利润最大．三、解答题（共72分）17．解一元二次方程：x2﹣2x﹣8＝0．18．为了更好地宣传垃圾分类，某校九（1）班学生成立了一个“垃圾分类”宣传小组，其中男生2人，女生3人．（1）若从这5人中选1人进社区宣传，恰好选中女生的概率是；（2）若从这5人中选2人进社区宣传，请用树状图或列表法求恰好选中一男一女的概率．19．如图，AB为⊙O的一条弦．（1）用尺规作图：过点O作OC⊥AB，垂足为点C，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若（1）中的CD的长为2，AB的长为8，求⊙O的半径．20．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC 的三个顶点都在格点上．（1）在图中画出将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°后得到的△A1B1C1；（2）在（1）所画的图中，计算线段AC在旋转过程中扫过的图形面积（结果保留π）．21．如图1，斜坡与水平面夹角α＝30°．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，喷头A喷出的水柱在空中走过的曲线可以看成抛物线的一部分．如图2，当水柱与A水平距离为4米时，达到最高点D，D与水平线AC的距离为4米．（1）在图2中建立平面直角坐标系，求水柱所在的抛物线的解析式（不需要写出自变量取值的范围）；（2）若斜坡上有一棵高2.5米的树，它与喷头A的水平距离为2米，通过计算判断从A 喷出的水柱能否越过这棵树．22．点P是正方形ABCD所在平面内一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得线段CQ，连接BP，DQ．（1）如图①，当P在CD边上时，直接写出BP与DQ之间的关系是；（2）如图②，当P在正方形内部时，BP与DQ之间有怎样的关系？请说明理由；（3）射线BP交DQ于E，若四边形PCQE是正方形，BC＝2，CP＝1，直接写出BE＝．23．如图所示，以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O，与斜边交于点D，E为BC边上的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接OE，AE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形？24．如图，半径为1的⊙M经过直角坐标系的原点O，且分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B，∠OMA＝60°，过点B的切线交x轴负半轴于点C，抛物线过点A、B、C．（1）求点A、B的坐标；（2）求抛物线的函数关系式；（3）若点D为抛物线对称轴上的一个动点，问是否存在这样的点D，使得△BCD是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．25．已知：⊙O是△ABC的外接圆，且，∠ABC＝60°，D为⊙O上一动点．（1）如图1，若点D是的中点，求∠DBA的度数．（2）过点B作直线AD的垂线，垂足为点E．①如图2，若点D在上，求证：CD＝DE+AE．②若点D在上，当它从点A向点C运动且满足CD＝DE+AE时，求∠ABD的最大值．参考答案一、单选题（共30分）1．解：点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，3）．故选：C．2．解：∵∠AOB＝72°，∴∠ACB＝∠AOB＝36°，故选：A．3．解：x2﹣6x﹣2＝0，x2﹣6x＝2，x2﹣6x+9＝2+9，（x﹣3）2＝11，故选：A．4．解：连接OA，如图所示，∵OC⊥AB，OC＝2，OA＝4，∴AB＝2AC，∵AC＝＝＝2，∴AB＝2AC＝4．故选：D．5．解：A、打开电视机，正在播放中央电视台的《开学第一课》，是随机事件；B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件；C、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件；D、同位角相等，是随机事件；故选：C．6．解：设在每轮传染中平均一个人可以传染x个人，[x（x+1）+x+1]＝169，即（1+x）2＝169，解得x1＝12，x2＝﹣14（舍），∴每轮传染中平均一个人可以传染12个人，∴第三轮传染后感染人数为169+169×12＝2197，故选：C．7．解：连接OC，∵CD是⊙O的切线，点C是切点，∴∠OCD＝90°．∵∠BAC＝25°，∴∠COD＝50°，∴∠D＝180°﹣90°﹣50°＝40°．故选：D．8．解：联立，解得，，∴两函数图象交点坐标为（0，0），（2，4），由图可知，y1＜y2时x的取值范围是x＜0或x＞2．故选：B．9．解：由旋转的性质得出CD＝CA，∠EDC＝∠BAC＝135°，AB＝DE，∵点A，D，E在同一条直线上，∴∠ADC＝45°＝∠DAC，△ABC≌△DEC，AD＝AC，∴AE＝AD+DE＝CD+AB，故选项A，B，C正确，D错误，故选：D．10．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠ABC＝90°，∴∠BCN+∠BNC＝90°，又BN＝AM，∴△ABM≌△BCN（SAS），∴∠ABM＝∠BCN，∴∠ABM+∠BNC＝90°，∴∠BPC＝∠BPN＝90°，∴点P的运动轨迹为以BC为直径的一段弧，如图所示，连接AO1交弧于点P，此时，AP的值最小，在Rt△ABO1中，，由勾股定理得，，∴，故选：C．二、填空题（共18分）11．解：∵y＝（x﹣2）2+1∴抛物线的顶点坐标是（2，1）故答案为：（2，1）．12．解：根据题意得Δ＝a2﹣4×0＝0，解得a1＝a2＝0，即a的值为0．故答案为：013．解：∵圆锥的母线与高的夹角θ为30°，底面半径为3，∴圆锥的母线长为6，∴圆锥的侧面展开图的面积＝×2π×3×6＝18π．故答案为18π．14．解：∵∠A＝30°，∴BC＝AC＝×10＝5，∠C＝90°﹣30°＝60°，由旋转的性质，BC＝BC′＝5，∠C＝∠BC'A'＝60°，∴△BCC′是等边三角形，∴CC′＝BC，∠CBC′＝60°，∵∠CBC′＝∠A′C′B＝60°，∴A′C′∥BC，∴∠ADC'＝∠ABC＝90°，∴∠ABC'＝30°，∴C′D＝BC'＝×5＝2.5，故答案为：2.5．15．解：如图所示，∵OC⊥AB，∴C为AB的中点，即AC＝BC＝AB＝，在Rt△AOC中，OA＝1，AC＝，根据勾股定理得：OC＝＝＝，即OC＝AC，∴△AOC为等腰直角三角形，∴∠AOC＝45°，同理∠BOC＝45°，∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝90°，∵∠AOB与∠ADB都对，∴∠ADB＝∠AOB＝45°，∵大角∠AOB＝270°，∴∠AEB＝135°，∴弦AB所对的圆周角为45°或135°．故答案为：45°或135°．16．解：∵帽子的进价为20元/个，销售单价x（元），∴每件帽子的利润为（x﹣20）元；∴销售这种帽子每天的利润为：y＝（x﹣20）（﹣2x+80），（20≤x≤40），∴y＝﹣2x2+120x﹣1600（20≤x≤40）；配方，得：y＝﹣2（x﹣30）2+200，∵a＝﹣2＜0，∴当x＝30时，函数y有最大值200；故答案为：y＝﹣2x2+120x﹣1600（20≤x≤40）；30．三、解答题（共72分）17．解：x2﹣2x﹣8＝0，（x﹣4）（x+2）＝0，∴x﹣4＝0或x+2＝0，∴x1＝4，x2＝﹣2．18．解：（1）∵共有5人，其中男生2人，女生3人，∴从这5人中选1人进社区宣传，恰好选中女生的概率是；（2）设男生用A表示，女生用B表示，树状图如下所示：由上可得，一共有20种可能性，其中恰好选中一男一女的有12种，所以恰好选中一男一女的概率是＝．19．解：（1）图形如图所示．（2）∵OC⊥AB，∴∠DCB＝∠OCB＝90°，∴BC＝＝4，设OB＝OD＝r，则有r2＝（r﹣2）2+42，∴r＝5，∴⊙O的半径为5．20．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）∵AC＝＝，∴线段AC在旋转过程中扫过的图形面积＝＝．21．解：（1）以点A坐标原点，以AC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，依题，A（0，0），最高点即抛物线的顶点D（4，4），设此抛物线的解析式为：y＝a（x﹣4）2+4，将A（0，0）代入上式，得0＝16a+4，∴，抛物线的解析式为：；（2）∵斜坡上有一棵高2.5米的树，它与喷头A的水平距离为2米，如图，∴AE＝2，GF＝2.5，在Rt△AEF中，∠AEF＝90°，∠BAC＝α＝30°，设EF＝m，则AF＝2m，∴（2m）2＝m2+22，∴，∴，又当x＝2时，y＝﹣×（2﹣4）2+4＝3＜3.5，故从A喷出的水柱不能越过这棵树．22．解：（1）如图①，延长BP交DQ于点E，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCD＝90°，由旋转得CP＝CQ，∠PCQ＝90°，∵点P在CD边上，∴∠DCQ＝∠PCQ＝90°，∴∠BCD+∠DCQ＝180°，∴B、C、Q三点在同一条直线上，在△BCP和△DCQ中，，∴△BCP≌△DCQ（SAS），∴BP＝DQ，∠CBP＝∠CDQ，∴∠CBP+∠Q＝∠CDQ+∠Q＝90°，∴∠BEQ＝90°，∴BP⊥DQ，故答案为：BP＝DQ，BP⊥DQ．（2）BP＝DQ，BP⊥DQ，理由：如图②，点P在正方形ABCD内部，延长BP分别交DQ、DC于点E、点F，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCD＝90°，由旋转得CP＝CQ，∠PCQ＝90°，∴∠BCP＝∠DCQ＝90°﹣∠PCD，在△BCP和△DCQ中，，∴△BCP≌△DCQ（SAS），∴BP＝DQ，∠CBP＝∠CDQ，∵∠BFC＝∠DFE，∴∠CDQ+∠DFE＝∠CBP+∠BFC＝90°，∴∠DFE＝90°，∴BP⊥DQ.（3）如图③，四边形PCQE是正方形，且点P在正方形ABCD内部，∵BC＝2，EP＝CP＝1，∠CPE＝90°，∴∠BPC＝180°﹣∠CPE＝90°，∴BP＝＝＝，∴BE＝BP+EP＝+1；如图④，四边形PCQE是正方形，且点P在正方形ABCD外部，∵BC＝2，EP＝CP＝1，∠P＝90°，∴BP＝＝＝，∴BE＝BP﹣EP＝﹣1，综上所述，BE＝+1或BE＝﹣1，故答案为：+1或﹣1．23．（1）证明：连接OD，BD．∵D是圆上一点∴∠ADB＝90°，∠BDC＝90°则△BDC是Rt△，且已知E为BC中点，∴∠EDB＝∠EBD．又∵OD＝OB且∠EBD+∠DBO＝90°，∴∠EDB+∠ODB＝90°．∴DE是⊙O的切线．（2）解：连接OD，BD，AE，OE，∵∠EDO＝∠ABC＝90°，若要AOED是平行四边形，则DE∥AB，D为AC中点，又∵BD⊥AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，所以当∠CAB为45°时，四边形AOED是平行四边形．24．解：（1）∵MO＝MA＝1，∠OMA＝60°，∴∠ABO＝30°，∴OB＝，∴A（1，0），B（0，）；（2）∵BC是切线，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB＝30°，∴AC＝4，∴C（﹣3，0），设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，将点A、B、C代入得，，解得∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+；（3）设在对称轴上存在点D，使△BCD是等腰三角形，对称轴为直线x＝﹣1，设点D（﹣1，m），分3种情况讨论：①BC＝BD；＝2，解得m＝±+；②BC＝CD；＝2，解得m＝±2；③BD＝CD；＝，解得：m＝0，∴符合条件的点D的坐标为，（﹣1，+），（﹣1，﹣+），（﹣1，2），（﹣1，﹣2），（﹣1，0）．25．解：（1）如图1中，连接BD．∵＝，∴∠BCA＝∠BAC，∵∠ABC＝60°，∴∠BCA＝60°，∵D是的中点，∴∠DCA＝30°，∵，∴∠DBA＝∠DCA＝30°．（2）①过B作BH⊥CD于点H，则∠BHC＝∠BHD＝90°．又∵BE⊥AD于点E，∴∠BED＝90°，∴∠BED＝∠BHC＝∠BHD，又∵，∴∠BAE＝∠BCH，∵，∴BA＝BC，∴△BEA≌△BHC（AAS），∴EA＝CH，又∵四边形ACBD是⊙O的内接四边形，∴∠BDE＝∠BCA，又∵，∴∠BCA＝∠BDC，∴∠BDE＝∠BDC，又∠BED＝∠BHD＝90°，BD＝BD，∴Rt△BED≌Rt△BDH（HL），∴DE＝DH，∴DC＝DH+HC＝DE+AE．（2）②连接BO并延长⊙O交于点I，则点D在上．如图：过B作BH⊥CD于点H，则∠BHC＝90°，∠BHD＝90°，又∵BE⊥AD于点E，∴∠BED＝90°，∴∠BED＝∠BHC＝∠BHD，又∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAE＝∠BCD，又∵，∴BA＝BC，∴△BEA≌△BCH（AAS）∴EA＝EH，∵，∴∠BDA＝∠BDC，又BD＝BD．∠BED＝∠BHD＝90°，∴Rt△BED≌Rt△BHD（HL）∴ED＝HD，∴CD＝HD+HC＝DE+AE，∵BI是⊙O直径，，∴BI垂直平分AC，∴，∴2∠ABI＝∠ABC＝60°，∴当点D运动到点I时∠ABI取得最大值，此时∠ABD＝30°．。

2022-2023学年九年级数学上册第三次月考测试题（附答案）一、选择题（共16分）1．在下列四个图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．若方程x2+kx﹣6＝0的一个根是﹣3，则k的值是（）A．﹣1B．1C．2D．﹣23．抛物线y＝（x+3）2﹣1的顶点坐标是（）A．（3，﹣1）B．（3，1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）4．如图，将含有30°角的三角尺ABC（∠BAC＝30°），以点A为中心，顺时针方向旋转，使得点C，A，B′在同一直线上，则旋转角的大小是（）A．30°B．60°C．120°D．150°5．如图，在一块长30m，宽20m的矩形苗圃基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为xm，若种植花苗的面积为522m2，依题意列方程（）A．20x+30×2x＝600﹣522B．20x+30×2x﹣x2＝600﹣522C．（20﹣2x）（30﹣x）＝522D．（20﹣x）（30﹣2x）＝5226．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD＝24°，则∠ABD＝（）A．54°B．56°C．64°D．66°7．投掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，下列表达正确的是（）A．的值一定是B．的值一定不是C．m越大，的值越接近D．随着m的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性8．已知二次函数y＝ax2+bx+c中y与x的部分对应值如表：x…﹣2﹣1012…y…﹣1232﹣1…关于此函数的图象和性质有如下判断：①抛物线开口向下．②当x＞0时，函数图象从左到右上升．③方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣2与﹣1之间．其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题（共16分）9．一元二次方程x2﹣9＝0的根为．10．点A（﹣5，3）关于原点的对称点A'的坐标为．11．把抛物线y＝先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的函数表达式为．12．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线x＝1，则当y＜0时，x的取值范围是．13．有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开其中一把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁，任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的概率为．14．如图，P A、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD 的周长等于10cm，则P A＝cm．15．已知：如图，半圆O的直径AB＝12cm，点C，D是这个半圆的三等分点，则∠CAD的度数是，弦AC，AD和围成的图形（图中阴影部分）的面积S是．16．新年联欢，某公司为员工准备了A、B两种礼物，A礼物单价a元、重m千克，B礼物单价（a+1）元，重（m﹣1）千克，为了增加趣味性，公司把礼物随机组合装在盲盒里，每个盲盒里均放两样，随机发放，小林的盲盒比小李的盲盒重1千克，则两个盲盒的总价钱相差元，通过称重其他盲盒，大家发现：称重情况重量大于小林的盲盒的与小林的盲盒一样重重量介于小林和小李之间的与小李的盲盒一样重重量小于小李的盲盒的盲盒个数05094若这些礼物共花费2018元，则a＝元．三、解答题（满分68分）17．解方程．（1）x2﹣8x﹣2＝0；（2）2x2﹣x﹣3＝0．18．2021年6月17日，神舟十二号成功发射，标志着我国载人航天踏上新征程．某学校举办航天知识讲座，需要两名引导员，决定从A，B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两人．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．（1）“A志愿者被选中”是事件（填“随机”、“不可能”或“必然”）；（2）用画树状图或列表的方法求出A，B两名志愿者同时被选中的概率．19．下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程．已知：⊙O．求作：⊙O的内接等腰直角三角形ABC．作法：如图，①作直径AB；②分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于M点；③作直线MO交⊙O于点C，D；④连接AC，BC．所以△ABC就是所求的等腰直角三角形．根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题：（1）使用直尺和圆规、补全图形：（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接MA，MB．∵MA＝MB，OA＝OB，∴MO是AB的垂直平分线．∴AC＝∵AB是直径，∴∠ACB＝（）（填写推理依据）．∴△ABC是等腰直角三角形．20．已知关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，求此时方程的解．21．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）请在图中作出△ABC绕点A逆时针方向旋转90°后得到的图形△A1B1C1：（2）求点C运动到点C1所经过的路径的长（结果保留π）．22．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（2，0）两点．（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标．（2）直接写出当0＜x＜2时，求y的取值范围．23．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是的圆心，E为上一点，OE⊥CD，垂足为F．已知CD＝300m，EF＝50m，求这段弯路的半径．24．如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆经过点D，交BC于点E，交AB于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若CE＝2，CD＝4，求半径的长．25．某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉．安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面的高度为h米．d（米）0 1.0 3.0 5.07.0h（米） 3.2 4.2 5.0 4.2 1.8请解决以下问题：（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度；（3）求所画图象对应的函数表达式；（4）从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因素）26．已知抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4（a≠0）．（1）该抛物线的对称轴为；（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；（3）设点M（m，y1），N（2，y2）在该抛物线上，若y1＞y2，求m的取值范围．27．如图，在等边△ABC中点D在BA的延长线上，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B重合），将线段PD绕点P逆时针旋转60°得到线段PE，连接BE和DE．（1）依据题意补全图形；（2）比较∠BDE与∠BPE的大小，并证明；（3）用等式表示线段BE、BP与BD之间的数量关系，并证明．28．如图，在平面直角坐标系xOy中，C（0，2），⊙C的半径为1．如果将线段AB绕原点O逆时针旋转α（0°＜α＜180°）后的对应线段A'B'所在的直线与⊙C相切，且切点在线段A′B′上，那么线段AB就是⊙C的“关联线段”，其中满足题意的最小α就是线段AB与⊙C的“关联角”．（1）如图1，如果A（2，0），线段OA是⊙C的“关联线段”，那么它的“关联角”为°．（2）如图2，如果A1（﹣3，3）、B1（﹣2，3），A2（1，1）、B2（3，2），A3（3，0）、B3（3，﹣2）．那么⊙C的“关联线段”有（填序号，可多选）．①线段A1B1②线段A2B2③线段A3B3（3）如图3，如果B（1，0）、D（t，0），线段BD是⊙C的“关联线段”，那么t的取值范围是．（4）如图4，如果点M的横坐标为m，且存在以M为端点，长度为的线段是⊙C的“关联线段”，那么m的取值范围是．参考答案一、选择题（共16分）1．解：A、绕圆心旋转180°，不能与自身重合，不是中心对称图形，不合题意；B、绕圆心旋转180°，不能与自身重合，不是中心对称图形，不符合题意；C、绕圆心旋转180°，不能与自身重合，不是中心对称图形，不合题意；D、绕圆心旋转180°，能与自身重合，是中心对称图形，符合题意．故选：D．2．解：把x＝﹣3代入方程x2+kx﹣6＝0得：9﹣3k﹣6＝0，解得：k＝1，故选：B．3．解：∵抛物线y＝（x+3）2﹣1，∴该抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣1），故选：D．4．解：旋转角是∠BAB′，∠BAB′＝180°﹣30°＝150°．故选：D．5．解：设道路的宽为xm，则种植花苗的部分可合成长（30﹣x）m，宽（20﹣2x）m的矩形，依题意得：（30﹣x）（20﹣2x）＝522，故选：C．6．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠A＝∠BCD＝24°，∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣24°＝66°．故选：D．7．解：投掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，随着m的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性，故选：D．8．解：∵x＝﹣1和x＝1时的函数值相同，都是2，∴抛物线的对称轴为直线x＝＝0，∴抛物线的顶点为（0，3），∴y＝3是函数的最大值，∴抛物线的开口向下，当x＜0时，y随x的增大而增大，即当x＜0时，函数图象从左到右上升，所以①正确，②错误；∵x＝﹣2时，y＝﹣1；x＝﹣1时，y＝2，∴方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣2与﹣1之间，所以③正确．综上所述：其中正确的结论有①③．故选：B．二、填空题（共16分）9．解：x2﹣9＝0，x2＝9，∴x1＝3，x2＝﹣3，故答案为：x1＝3，x2＝﹣3．10．解：点A（﹣5，3）关于原点对称的点的坐标是A'（5，﹣3），故答案为：（5，﹣3）．11．解：将抛物线先向右平移6个单位长度，得：；再向上平移3个单位长度，得：．故答案为：．12．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线x ＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3．故答案为：﹣1＜x＜3．13．解：第一次打开锁的概率为．14．解：如图，设DC与⊙O的切点为E；∵P A、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B；∴P A＝PB；同理，可得：DE＝DA，CE＝CB；则△PCD的周长＝PD+DE+CE+PC＝PD+DA+PC+CB＝P A+PB＝10（cm）；∴P A＝PB＝5cm，故答案为：5．15．解：连接CO、OD，CD，∵C、D是这个半圆的三等分点，∴CD∥AB，∠COD＝60°，∴∠CAD的度数为：30°，∵OC＝OD，∴△OCD是等边三角形，CD＝OC＝AB＝6cm，∴△OCD与△CDA是等底等高的三角形，∴S阴影＝S扇形OCD＝π×62＝6πcm2．故答案为：30°，6πcm2．16．解：∵A礼物重m千克，B礼物重（m﹣1）千克，∴A礼物比B礼物重1千克，∵每个盲盒里均放两样，小林的盲盒比小李的盲盒重1千克，∴小李的盲盒中为1件A礼物和1件B礼物，小林的盲盒中为2件A礼物；或小李的盲盒中为2件B礼物，小林的盲盒中为1件A礼物和1件B礼物；∴不管以上哪种情况，两个盲盒的礼物总价格都相差a+1﹣a＝1（元），由表格中数据可知，重量小于小李的盲盒的有4盒可知小李的盲盒中为1件A礼物和1件B礼物，不可能为2件B礼物，∴小李的盲盒中为1件A礼物和1件B礼物，小林的盲盒中为2件A礼物，∴重量小于小李的盲盒为2件B礼物，∵与小林的盲盒一样重盲盒有5盒，与小李的盲盒一样重的盲盒有9盒，重量小于小李的盲盒有4盒，∴2件B礼物的有4盒，1件A礼物和1件B礼物有10盒，2件A礼物有6盒，∴2×4（a+1）+10×a+10（a+1）+2×6a＝2018，解得a＝50，故答案为：1，50．三、解答题（满分68分）17．解：（1）x2﹣8x﹣2＝0，x2﹣8x＝2，x2﹣8x+16＝2+16，即（x﹣4）2＝18，∴x﹣4＝，∴x1＝4+3，x2＝4﹣3；（2）2x2﹣x﹣3＝0，（2x﹣3）（x+1）＝0，∴2x﹣3＝0或x+1＝0，∴x1＝，x2＝﹣1．18．解：（1）“A志愿者被选中”是随机事件，故答案为：随机；（2）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中A，B两名志愿者同时被选中的结果有2种，∴A，B两名志愿者同时被选中的概率为＝．19．解：（1）如图所示：（2）证明：连接MA，MB．∵MA＝MB，OA＝OB，∴MO是AB的垂直平分线．又∵直线MO交⊙O于点C，∴AC＝BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°（直径所对的圆周角是直角），∴△ABC是等腰直角三角形．故答案为：BC、90°，直径所对的圆周角是直角．20．解：（1）∵x2﹣2x+2k﹣1＝0有两个实数根，∴Δ≥0，∴（﹣2）2﹣4×1•（2k﹣1）≥0，解得k≤1；（2）由（1）知k≤1，∵k为正整数，∴k＝1，∴原方程为：x2﹣2x+1＝0，∴（x﹣1）2＝0，∴x1＝x2＝1．21．解：（1）△A1B1C1如图所示；（2）∵，∴点C运动到点C1所经过的路径的长为：．22．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（2，0）两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2，∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，∴抛物线的顶点坐标为（，﹣）．（2）∵抛物线的顶点坐标为（，﹣）．∴函数有最小值y＝﹣，∵x＝2时，y＝0，∴当0＜x＜2时，y的取值范围﹣≤y＜0．23．解：连接OC．设这段弯路的半径为Rm，则OF＝OE﹣EF＝（R﹣50）m，∵OE⊥CD，∴CF＝CD＝×300＝150（m）．根据勾股定理，得OC2＝CF2+OF2，即R2＝1502+（R﹣50）2，解得R＝250，所以这段弯路的半径为250m．24．（1）证明：如图，连接OD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠OBD＝∠DBC，∴∠ODB＝∠DBC，∴OD∥BC，∴∠ODA＝∠C＝90°，∵AC经过⊙为的半径OD的端点D，且AC⊥OD，∴AC是⊙O的切线．（2）如图，设⊙O的半径为r，则OB＝OD＝r，作OG⊥BE于点G，则BG＝EG，∠OGB＝90°，∵∠ODC＝∠C＝∠OGC＝90°，∴四边形ODCG是矩形，∵CE＝2，CD＝4，∴OG＝CD＝4，CG＝OD＝r，∴BG＝EG＝r﹣2，∵OB2＝OG2+BG2，∴r2＝42+（r﹣2）2，解得r＝5，∴⊙O的半径长为5．25．解：（1）如图，（2）由（1，4.2）和（5，4.2）可知，抛物线的对称轴为d＝3，当d＝3时，h＝5，∴水柱最高点距离湖面的高度是5米；（3）由图象可得，顶点（3，5），设二次函数的关系式为h＝a（d﹣3）2+5，把（0，3.2）代入可得a＝﹣0.2，∴h＝﹣0.2（d﹣3）2+5；（4）当h＝0时，即﹣0.2（d﹣3）2+5＝0，解得d＝﹣2（舍去）或d＝8，∴正方形的边长为2×（8+1）＝18（米），∴至少需要准备栏杆4×18＝72（米），∴公园至少需要准备72米的护栏．26．解：（1）∵抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4．∴对称轴为直线x＝＝﹣1，故答案为：直线x＝﹣1；（2）y＝ax2+2ax+3a2﹣4＝a（x+1）2+3a2﹣a﹣4，∵抛物线顶点在x轴上，即当x＝﹣1时，y＝0，∴3a2﹣a﹣4＝0，解得．∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x﹣1或．（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴N（2，y2）关于直线x＝﹣1的对称点为N’（﹣4，y2）．（ⅰ）当a＞0时，若y1＞y2，则m＜﹣4或m＞2；（ⅱ）当a＜0时，若y1＞y2，则﹣4＜m＜2．27．解：（1）如图所示：（2）∠BDE＝∠BPE，理由如下：∵将线段PD绕点P逆时针旋转60°得到线段PE，∴PD＝PE，∠DPE＝60°，∴△PDE是等边三角形，∴∠DPE＝∠PDE＝60°，∴∠BPE+∠DPC＝120°，∴∠BPE＝120°﹣∠DPC，∵∠BDP＝∠DPC﹣60°，∴∠BDE＝60°﹣∠BDP＝60°﹣（∠DPC﹣60°）＝120°﹣∠DPC，∴∠BDE＝∠BPE；（3）BD＝BE+BP，理由如下：如图，在BD上截取DF＝BP，连接EF，由（2）可知：∠BDE＝∠BPE，在△DEF和△PEB中，，∴△DEF≌△PEB（SAS），∴EF＝BF，∠EBP＝∠EFD，∴∠EBF＝∠EFB，∵∠EFB+∠EFD＝2∠EBF+∠DBC＝180°，∴∠EBF＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴BE＝BF，∵BD＝BF+DF，∴BD＝BE+BP．28．解：（1）如图1，作OD与⊙C相切于点D，∴CD⊥OD，∵sin∠COD＝＝，∴∠COD＝30°，∴∠AOD＝60°，OD＝＜2，∴OA的“关联角”为60°，故答案为：60；（2）如图2，连接OB1，OA2，OB2，OB3，∵OB1＝3＞3，∴A1B1绕O旋转无法与⊙C相切，故A1B1不是⊙C的“关联线段”，∵OA2＝，OB2＝，＜3＜，∴A2B2是⊙C的“关联线段”，∵OA3＝3，∴A3B3是⊙C的“关联线段”，故答案为：②③；（3）如图3，∴B点旋转路线在半径为1的⊙O上，当OD与⊙C相切时，由（1）知，OD＝，∴当t≥时，线段BD是⊙C的“关联线段”，故答案为：t≥；（4）如图4，当m取最大值时，M点运动最小半径是O到过（m，0）的直线l的距离是m，∵CD＝1，M'D＝，∴M'C＝2，∴OM'＝4，∴m的最大值为4，如图5，当m取最小值时，开始时存在ME与⊙C相切，∵CE＝1，ME＝，∴MC＝2，∵0°＜α＜180°，∴m＞﹣2，综上，m的取值为﹣2＜m≤4，故答案为：﹣2＜m≤4．。