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种群增长特征模型
种群增长特征模型主要有两种：J型增长模型和S型增长模型。
J型增长模型：J型增长是在理想条件下，种群数量呈指数增长的模式，其数学模型为Nt=N0λt，其中Nt代表t年种群数量，N0是初始种群数量，λ是种群增长率，t是时间。
J型增长的种群数量每年以一定的倍数增长，不受种群密度制约，无环境容纳量（K 值）限制。
S型增长模型：S型增长是在自然条件下，由于资源和空间的限制，种群数量呈逻辑斯蒂增长的模式。
其数学模型为dN/dt=rN*(1-N/K)，其中r是种群增长率，K是环境容纳量，N是种群数量。
S型增长的种群数量在达到环境容纳量K值后将停止增长，有时在K值左右保持相对稳定。
环境阻力在S型增长模型中表现为抑制种群增长的因子，这些因子在生存斗争中被淘汰的个体数占个体总数的比例随种群密度的增大而增加。
种群竞争模型常微分方程
种群竞争模型的常微分方程可以表示为：
对于两个种群的竞争模型，假设种群1的数量为x，种群2的数量为y，则其常微分方程可以表示为：
dx/dt = r1 * x * (1 - (x + a*y)/K1)
dy/dt = r2 * y * (1 - (y + b*x)/K2)
其中，r1和r2分别为种群1和种群2的增长率；a和b分别表示种群1和种群2对彼此竞争的强度；K1和K2分别表示种群1和种群2的最大承载能力。
这个模型假设种群的增长率是由其自身数量和竞争对手的数量共同决定的。
当种群数量接近或超过最大承载能力时，增长率会减小，表现为饱和现象。
竞争对手的数量越多，增长率下降的越快。
这个模型可以用来研究不同种群之间的竞争关系，以及种群数量的变化趋势。
生物生长发育的数学模型随着科技的发展以及生物学研究的深入，人们对于生物生长发育的认识也越来越深入。
不仅我们了解了各种生物的发育过程，还尝试建立了不同的数学模型来描述这些过程。
在本文中，我们将探讨一些常见的生物生长发育数学模型，并且简单介绍这些模型的应用和意义。
1、S型生长模型S型生长模型是最为常见的生物生长模型之一，常用于描述生物种群的生长发展和各种发育序列的演变。
S型生长模型一般由以下公式表示：Nt=K/(1+a*exp(-rt))其中，Nt代表种群数量、K代表种群的最大容量、r代表增长速率、a代表一些常量。
S型生长模型的数学意义比较明确，它将生物种群的生长发展过程分为三个阶段：指数生长期、转折期和饱和期。
在指数生长期，种群数量增长非常迅速，直到达到一定数量之后，增长速率开始逐渐减缓，最后到达饱和状态。
S型生长模型在现实生活中的应用非常广泛，例如在农业和生态学领域中，人们可以利用该模型来预测不同农作物或生态系统的生长发展和变化趋势。
2、Gompertz模型Gompertz模型也是一种用于描述生物生长发育的数学模型，它是在S型生长模型的基础上进一步发展而来。
与S型生长模型相比，Gompertz模型更具有灵活性和复杂性，它可以描述更多不同类型生物种群在生长发展过程中的变化趋势。
Gompertz模型一般由以下公式描述：Nt=K*exp(-exp(rt-ln(K)/N0*(t-to)))其中，Nt代表种群数量、K代表种群的最大容量、r代表增长速率、N0代表起始种群数量、t-to代表增长周期。
Gompertz模型的数学意义比较复杂，它描述了一种生物种群在增长发展过程中受到各种环境和生态因素的影响，从而产生了不断变化的生长速率。
在实际应用中，Gompertz模型常用于生物群落生态学和生命科学领域，在研究某个生态系统或生物种群的生长发展规律时具有重要作用。
3、Logistic模型Logistic模型是另一种常见的用于描述生物生长发育的数学模型。
种群的指数增长模型
种群的指数增长模型是一种描述种群数量随时间变化的数学模型。
它假设种群的增长率与种群数量成正比，即种群数量每个单位时间增加的数量与当前种群数量成正比。
这种模型通常用于描述无限制生长的种群，即没有任何限制因素影响种群数量的增长。
在自然界中，很少有种群能够实现无限制生长。
通常，种群数量的增长会受到环境因素的限制，如食物、水源、栖息地等。
因此，种群的指数增长模型只能用于描述一段时间内的种群增长情况，而不能用于长期预测。
在实际应用中，种群的指数增长模型可以用于预测人口数量、动物数量等。
例如，假设某个城市的人口数量每年增长10%，那么可以使用指数增长模型来预测未来几年的人口数量。
假设当前城市的人口数量为100万，那么未来5年后，城市的人口数量将达到161万左右。
然而，种群的指数增长模型也存在一些局限性。
首先，它假设种群数量的增长率始终保持不变，而实际上种群数量的增长率会受到环境因素的影响而发生变化。
其次，它忽略了种群数量的极限，即种群数量无法无限制地增长。
最后，它也没有考虑到种群数量的波动，即种群数量会因为各种因素而发生周期性的波动。
因此，在使用种群的指数增长模型时，需要注意其局限性，并结合
实际情况进行分析和预测。
同时，也需要考虑到环境因素对种群数量的影响，以及种群数量的极限和波动等因素，以便更准确地预测种群数量的变化。
种群增长和竞争的数学模型摘 要：本文首先简要介绍Malthus 和Logistic 两种单种群增长模型，然后详细介绍双种群竞争的Volterra 模型，最后介绍了多种群的Gause-Lotka-Volterra 和三种群的RPS 博弈模型，对其做了比较和分析，得出了一些有益的启示。
为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。
本文首先简要介绍Malthus 和Logistic 两种单种群增长模型，然后详细介绍双种群竞争的V olterra 模型，最后介绍了三种群的Gause-Lotka-V olterra 和RPS 博弈模型。
一般生态系统的分析可以通过一些简单模型的复合来研究，根据生态系统的特征建立相应的模型。
种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量，由此引起的误差将是十分微小的。
1.1 马尔萨斯（Malthus ）模型马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现，人口净增长率r 基本上是一常数，（r =b -d , b 为出生率，d 为死亡率），既： 1dN r N dt = 或 dNrN dt= (1)其解为0()0()r t t N t N e -=(2)其中N 0=N (t 0)为初始时刻t 0时的种群数。
马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需的时间是固定的。
令种群数量翻一番所需的时间为T ，则有： 002rT N N e =(3)ln 2T r=(4)人口统计数据与Malthus 模型计算数据对比：表1 世界人口数量统计数据表2 中国人口数量统计数据比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如，1961年世界人口数为30.6亿（即3.06×1010），人口增长率约为2%，人口数大约每35年增加一倍。
查1700年至1961年共260年的人口实际数量，发现两者几乎完全一致，且按马氏模型计算，人口数量每34.6年增加一倍，两者也几乎相同。
楚雄师范学院2013年首届“雁峰杯”数学建模竞赛论文题目种群增长规律模型2013 年5月26日种群增长规律模型摘要：某个自然环境中只有一种生物的群体（生态学上称种群）生存时，人们常用Logistic模型来描述这个种群数量的演变过程。
而且一个种群就不存在相互竞争、相互依存或是弱肉强食的关系。
本文在Logistic模型基础上，根据种群数量的统计数据，建立种群指数增长模型，并利用Matlab这一数学软件对所统计的数据进行拟合，最后对模型进行分析和评价。
关键词：Logistic模型生物种群指数增长 Matlab软件一、问题重述在某个地区生长着一个种群（一类生物群落），主要依靠自然资源存活并繁殖，假设该种群单位时间的增长量与其数量成正比。
一个动物学家在2012年对的数量。
假设该地区最多只能容纳该种群2000只，请计算出该种群达到最大容量的大概时间。
二、问题分析种群的数量随时间变化而变化，根据统计数据绘出曲线图如图1。
图表 1种群数量的动态变化由图表1所绘曲线图可知种群的数量变化趋势大致成指数曲线增长，类似于其他生物种群数量的动态变化趋势。
对于生物种群的这种指数曲线的动态变化趋势，往往用Logistic模型来描述，并且根据种群的统计数据利用Matlab软件处理。
利用所得的模型对以往种群的数量进行推算预测，可检验模型的精确度，以便对模型进行改进。
三、模型假设1、假设环境环境条件允许生物种群数量有一个最大值，即环境容纳量N，当种群数量达到环境最大容纳量时，种群数量不再增长；2、种群数量的增长简单利用固有增长率r来描述；3、种群中每个个体处于同一水平，在种群增长的过程中隔天到差异如年龄结构等个不予考虑；4、在所研究地区只考虑区域内部的种群数量，不考虑种群在区域间的迁入与迁出；5、种群总数是随时间连续变化的。
四.符号说明t :时间；x：种群在t时的数量；)(tr :种群的固有增长率；N ：种群的最大数量；五.模型的建立与求解根据模型的假设，在最大容量为2000只，种群生长不受其他任何条件的限制，也就是说食物等能充分满足种群需求的情况下，种群就能充分发挥其增长能力，数量迅速增加，呈现指数增长规律，也称为“J”型增长，这种增长变化的曲线如图表2所示图表 2种群数量散点图种群在有限环境中的增长不是“J ”型，而是“S ”型，但因为在较大的空间容量，以及不考虑其它因素的情况下，种群在有限环境中的增长也可以看做是“J ”型增长，即符合“S ”型增长曲线的logistic 模型是同等的。
基于logistic数学模型的种群增长规律全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：种群增长是生物学中一个重要的研究课题，从古至今，人们一直致力于探索各种生物群体的增长规律。
logistic数学模型被广泛应用于种群增长的研究中。
logistic模型由数学家皮埃尔·弗朗索瓦·热涅提出，用来描述种群在资源有限的情况下的增长趋势。
通过logistic模型，我们可以更好地理解种群增长的规律，并预测未来的发展走势。
让我们来了解一下logistic模型的基本原理。
在logistic模型中，种群数量随着时间的推移呈现出S形曲线的增长趋势。
该模型的基本方程可以表示如下：dN/dt = rN(1 - N/K)dN/dt表示种群数量N随时间t的变化率，r是种群固有的增长速率，K是种群的环境容量。
在这个方程中，第一项rN表示种群的自然增长，第二项-rN^2/K表示种群数量受到环境资源限制的补偿性减少。
当种群数量接近环境容量K时，增长速率趋于零，种群数量稳定在一个平衡值。
通过logistic模型，我们可以得出一些关于种群增长的规律。
种群数量不会一直呈指数增长，而是会在某个阈值处趋于稳定。
这是因为种群在资源有限的情况下，无法无限地增长下去。
种群的增长速率取决于种群固有的增长速率r和环境容量K。
当种群数量接近环境容量时，增长速率会减缓，最终趋于零。
种群数量的波动会受到环境因素的影响，如自然灾害、疾病传播等，从而影响种群的增长走势。
在实际应用中，logistic模型可以帮助我们更好地管理和预测种群的增长情况。
通过对种群数量、环境容量和增长速率等参数的测算，我们可以预测未来种群数量的变化趋势，及时采取控制措施，保护种群的生存和发展。
logistic模型还可以用于研究不同因素对种群增长的影响，为生态环境保护和资源管理提供科学依据。
基于logistic数学模型的种群增长规律，为我们深入了解种群发展的机理提供了重要的理论支撑。
几类生物种群模型的定性研究
生物种群模型是研究生物种群数量动态变化的数学模型。
根据物种的
特点和研究的重点不同，生物种群模型可以分为多类。
1.多样性维持模型：
多样性维持模型关注的是物种之间的相互作用对物种多样性的影响。
其中，竞争-排除模型认为物种之间存在强烈的竞争关系，导致了物种数
量的稳定状态；互补-促进模型则认为物种之间存在互补关系，相互促进
物种的数量增加。
2.捕食者-猎物模型：
捕食者-猎物模型研究的是捕食者与猎物之间的相互作用对种群数量
的影响。
最经典的模型是Lotka-Volterra模型，它描述了捕食者和猎物
之间的动态关系，可以观察到周期性的数量变动。
3.分散子模型：
分散子模型主要研究的是物种的生殖与迁移对种群数量的影响。
例如，在孤立岛上的物种会受限于资源的有限性以及个体迁移的难度，因此种群
数量可能会下降。
4.生态位模型：
生态位模型主要研究的是一个物种在特定环境中的占据与竞争策略对
物种数量的影响。
生态位模型可以通过计算物种的竞争优势指数来推断物
种数量的变化。
总的来说，生物种群模型是研究生物种群数量动态变化的重要工具。
不同类型的模型从不同角度切入，揭示了生物种群数量变化的机制和规律，对于理解和保护生物多样性具有重要意义。
种群增长模型及其适用范围
种群增长模型是用来描述种群数量随时间变化的数学模型。
常见的种群增长模型包括指数增长模型、逻辑斯蒂增长模型和修正的逻辑斯蒂增长模型。
1. 指数增长模型：假设在理想条件下，种群数量以固定的增长率（r）呈指数增长。
该模型适用于种群初始数量较小、资源无限、无竞争和捕食者等限制因素的情况。
但在实际情况下，由于资源有限和环境容纳量的限制，指数增长模型通常不能长期适用。
2. 逻辑斯蒂增长模型：考虑了环境容纳量（K）对种群增长的限制。
该模型假设种群增长率随种群数量的增加而逐渐降低，当种群数量达到环境容纳量时，增长率降为零。
逻辑斯蒂增长模型适用于资源有限的情况，能够更好地描述种群数量的实际增长情况。
3. 修正的逻辑斯蒂增长模型：在逻辑斯蒂增长模型的基础上，考虑了种群的密度依存性和环境变化等因素。
该模型可以更好地适应实际情况下种群增长的复杂性。
这些模型的适用范围取决于具体情况，例如种群的特征、环境条件、资源限制等。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的模型，并结合实际数据进行验证和调整。
Lotka多种裙竞合模型是描述生态系统中多个物种相互作用的数学模型之一，它可以帮助我们理解不同物种在同一环境下的共生关系和竞争关系。
使用Matlab来实现Lotka多种裙竞合模型是一种常见的方法，下面我们将介绍如何使用Matlab代码来模拟Lotka多种裙竞合模型。
1. 概述Lotka多种裙竞合模型Lotka多种裙竞合模型是由意大利数学家Alfred J. Lotka在20世纪20年代提出的，它描述了生态系统中多个物种之间的相互作用。
该模型假设不同种裙之间存在竞争关系，即它们争夺同一资源，并且这种资源是有限的。
Lotka多种裙竞合模型可以用一组微分方程来描述，通过求解这组微分方程，我们可以得到不同种裙在时间上的演化规律。
2. Lotka多种裙竞合模型的基本形式假设存在n个种裙，用x1, x2, ..., xn来表示它们的种裙密度，Lotka多种裙竞合模型的基本形式可以用下面的方程组来表示：dx1/dt = x1*(a11 - b12*x2 - c13*x3 - ... - d1n*xn)dx2/dt = x2*(a22 - b21*x1 - c23*x3 - ... - d2n*xn)...dxn/dt = xn*(ann - b1n*x1 - b2n*x2 - ... - (n-1)n*x(n-1))其中本人i表示种裙i的自然增长率，bij表示种裙i和种裙j之间的竞争系数。
通过求解上述方程组，我们可以得到不同种裙在时间上的变化规律。
3. 使用Matlab实现Lotka多种裙竞合模型下面是使用Matlab来实现Lotka多种裙竞合模型的基本步骤：```matlab设定参数n = 3; 种裙数目a = [0.1, 0.2, 0.3]; 自然增长率b = [0.01, 0.02, 0.03; 0.02, 0.01, 0.04; 0.03, 0.02, 0.01]; 竞争系数定义微分方程function dxdt = lotkapetition(t, x)dxdt = zeros(n, 1);for i = 1:ndxdt(i) = x(i) * (a(i) - sum(b(i,:) * x));endend求解微分方程[t, x] = ode45(lotkapetition, [0, 10], ones(n, 1));可视化结果figure;plot(t, x);legend('种裙1', '种裙2', '种裙3');xlabel('时间');ylabel('种裙密度');```在上面的Matlab代码中，我们首先设定了模型的参数，然后定义了微分方程，并使用ode45函数来求解微分方程。
必修三生物知识点总结必修三生物知识点总结必修三的生物知识比较难，我们在学习的时候，要多思考，弄清知识之间的内在联系。
下面是店铺为大家整理的必修三生物知识点总结，希望对大家有用!必修三生物知识点总结1一、种群数量的变化：1、“J型增长”a、数学模型：(1) Nt=N0λ(2)曲线(略)(横坐标为时间，纵坐标为种群数量)b、条件：理想条件指食物和空间条件充裕、气候适宜、没有敌害等条件;c、举例：自然界中确有，如一个新物种到适应的新环境。
2、“S型增长”a、条件：自然资源和空间总是有限的;b、曲线中注意点：(1)K值为环境容纳量(在环境条件不受破坏的情况下，一定空间中所能维持的种群最大数量);(2)K/2处增长率最大。
3、大多数种群的数量总是在波动中，在不利的条件下，种群的数量会急剧下降甚至消失。
4、研究种群数量变化的意义：对于有害动物的防治、野生生物资源的保护和利用、以及濒临动物种群的拯救和恢复有重要意义。
二、群落的结构：1、群落的意义：同一时间内聚集在一定区域中各种生物种群的集合。
2、群落的物种组成：是区别不同群落的重要特征;群落中物种数目的多少称为丰富度，与纬度、环境污染有关。
3、群落中种间关系：捕食、竞争、寄生、互利共生4、群落的空间结构：a、定义：在群落中各个生物种群分别占据了不同的空间，使群落形成一定的空间结构。
b、包括：垂直结构：具有明显的分层现象。
意义：提高了群落利用阳光等环境资源能力;植物的垂直结构又为动物创造了多种多样的栖息空间和食物条件，所以动物也有分层现象;水平结构：由于地形的变化、土壤湿度和盐碱度的差异、光照强度的不同、生物自身生长特点的不同，它们呈镶嵌分布。
必修三生物知识点总结2激素的调节1、体液调节中，激素调节起主要作用。
协同作用：如甲状腺激素与生长激素拮抗作用：如胰岛素与胰高血糖素4、激素调节的实例：实例一、血糖平衡的调节，(甲状腺激素分泌的分级调节：课本P28)1)、血糖的含义：血浆中的葡萄糖2)、血糖的来源和去路：3)、调节血糖的激素：(1)胰岛素：(降血糖)分泌部位：胰岛B细胞作用机理：①促进血糖进入组织细胞，并在组织细胞内氧化分解、合成糖元、转变成脂肪酸等非糖物质。
种群数量的计算公式种群数量的计算公式因不同类型的种群及其发展模式而异。
以下是几种常见的种群数量计算公式及其相关参考内容。
1. 自然增长率法自然增长率法是指根据自然出生率和自然死亡率来计算种群数量变化的方法。
其公式如下：种群数量 = 原始种群数量 * (1 + 出生率 - 死亡率)参考内容：该方法常用于人口学领域的种群数量估算，利用国家统计数据可以获得出生率和死亡率的具体数值。
例如，根据2020年中国的人口统计数据，可以计算出中国人口的自然增长率为0.34%，从而估算出2021年的人口数量约为14.95亿。
2. 投放量法投放量法是指根据每次投放的数量以及繁殖率来计算种群数量的方法。
其公式如下：种群数量 = 初始投放数量 * (1 + 繁殖率)^次数参考内容：该方法常用于生态学领域对于控制有害种群的繁殖数量进行估算。
例如，研究人员在某一地区投放了100只昆虫以控制害虫数量，假设这种昆虫的繁殖率为1.2，经过5次繁殖周期后可以计算出此时的种群数量为248.84只。
3. 指数增长模型指数增长模型是一种基于种群自身增长速度不受限制的模型，其公式如下：种群数量 = 初始种群数量 * e^(增长率 * 时间)参考内容：该模型常用于生物学领域对于无限制生长的种群进行研究。
例如，在生态学中研究某一鱼类在一片湖泊中的种群增长情况，可以通过调查和数学模型计算出其初始种群数量、增长率以及时间，从而估算出未来种群的数量。
需要注意的是，以上公式和方法仅是一些常见的种群数量计算方式，实际应用中还需要考虑更多的因素，如迁移、竞争等。
而种群数量的计算也常常涉及模型的选择、数据的收集和处理，以及参数的校准和验证等工作。
因此，在具体应用中还需要结合具体情况进行分析和计算。
2013年06月05日 15:31:35在地中海中每平方米就有30至40只水母，种群增长和竞争的数学模型摘 要：本文首先简要介绍Malthus 和Logistic 两种单种群增长模型，然后详细介绍双种群竞争的Volterra 模型，最后介绍了多种群的Gause-Lotka-Volterra 和三种群的RPS 博弈模型，对其做了比较和分析，得出了一些有益的启示。
为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。
本文首先简要介绍Malthus 和Logistic 两种单种群增长模型，然后详细介绍双种群竞争的V olterra 模型，最后介绍了三种群的Gause-Lotka-V olterra 和RPS 博弈模型。
一般生态系统的分析可以通过一些简单模型的复合来研究，根据生态系统的特征建立相应的模型。
种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量，由此引起的误差将是十分微小的。
1.1 马尔萨斯（Malthus ）模型马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现，人口净增长率r 基本上是一常数，（r =b -d , b 为出生率，d 为死亡率），既： 1dN r N dt = 或 dNrN dt= (1)其解为0()0()r t t N t N e -=(2)其中N 0=N (t 0)为初始时刻t 0时的种群数。
马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需的时间是固定的。
令种群数量翻一番所需的时间为T ，则有： 002rT N N e =(3)ln 2T r=(4)人口统计数据与Malthus 模型计算数据对比：表1 世界人口数量统计数据表2 中国人口数量统计数据比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如，1961年世界人口数为30.6亿（即3.06×1010），人口增长率约为2%，人口数大约每35年增加一倍。
自然界的多种群模型分析摘要：在我们生活的大自然中，有着太多太多的秩序和规则。
种群之间的你争我斗，弱肉强食也是非常激烈。
种群，顾名思义就是指同一种生物的一个集合。
不同种群之间的关系大致分为四种：捕食与被捕食关系，互利共生关系，相互竞争关系和寄生与寄主关系。
我们这次的建模就是围绕着种群之间的关系来展开的，下面我将从这几个方面来进行分类讨论，由于寄生与寄主的关系不是很常见，关系也比较简单，在此便不再赘述。
捕食与被捕食关系：这种关系很简单，大家也能很容易地理解，通俗地解释，就是指一种生物以另一种生物为食，举个例子大家也许会更容易地理解。
比如说狼和羊的关系，狼是捕食者，羊是被捕食者，狼以羊为食，是羊的天敌。
互利共生关系：指两种生物共同生活在一个区域有助于提高另一种生物的种群密度，假如其中一种生物的数量减少，也会影响另一种生物的数量，使其数量减少。
比如草地和森林优势植物的根多与真菌共生形成菌根，多数有花植物依赖昆虫传粉，大部分动物的消化道也包含着微生物群落，最典型的就是大豆与根瘤菌。
大豆给根瘤菌提供养分，根瘤菌给大豆提供氮元素。
相互竞争关系：有种内和种间两种竞争方式。
这里是指两种共居一起，为争夺有限的营养、空间和其他共同需要而发生斗争的种间关系。
竞争的结果，或对竞争双方都有抑制作用，大多数的情况是对一方有利，另一方被淘汰，一方替代另一方。
举个例子，牛和羊生活在共同的一片草地上，因为这两种生物都以草为食，它们之间不存在其他关系，所以它们之间是竞争关系。
以上就是三种种群之间的关系，下面我们就从这三个方面对物种种群密度的变化进行分析。
在以下的讨论中我们将建立微分方程的数学模型，对生物多种群之间各种关系进行关键词：生物种群，数量，关系，互相作用，竞争问题重述：生物学的研究对维持地球生态平衡有着不可替代的作用，是可持续发展的重要组成部分！地球上的物种一直只在减少，现在也有很多物种濒临灭绝，因此对生物学的研究是十分迫切的，也是意义重大的！我们可以通过建立数学模型来来研究生物种群的数量变化规律!多种群模型研究在同一环境中两种或两种以上的生物种群数量的变化规律。
在自然界中，各种生物根据其生理特点、食物来源等分成了不同的层次，各层次之间及同一层次上的种群有着各种各样的联系。
而且在同一自然环境中，经常有多种生物共存，对相互影响非常大的生物种群，我们无法割裂开来单独讨论，，故必须弄清楚它们之间的相互关系，一起进行研究，这就导出了多种群的模型！在多种群模型中两种群是比较简单但也十分重要的！本论文将通过建立数学模型来研究两物种之间的竞争、互利共生、捕食这三种关系！从而来解释为什么在战争期间捕鱼的总数减少而掠肉鱼的比例却会上升这一现象！最后将推广到三种群的模型，研究更复杂的问题！符号说明：t:时间 x:甲物种种群数量 y：乙物种种群数量1()f x：甲种群的发展规律所导出的自身的相对增长率2()g y：乙种群的发展规律所导出的自身的相对增长率1()g y：表示乙种群对甲种群的影响2()f x：表示甲种群对乙种群的影响1a：甲种群的内禀增长率2a：乙种群的内禀增长率1c：乙种群对甲种群的影响2c：甲种群对乙种群的影响基本假设：1因为种群的基数很大，所以一个种群的数量变化可以视为时间t的连续变换，而非离散的；2其中一个任一种群，在单独，不受其他种群影响的条件下是满足logistic模型的；3外界环境是很美好的，各研究对象除受彼此影响外，是不受自然环境约束的；4假设种群关于种内和种间关系的函数是线性的，这是伏特拉模型的基础；5在竞争关系中，甲种群消耗同种自然资源会对乙种群有阻滞作用；6在捕食关系中，捕食者只以被捕食者为食，被捕食者灭绝后，捕食者将无法单独存活；问题分析：在自然界中，种群之间的竞争是必不可少的，那么种群之间的关系是怎样的呢？现在就来分析一下。
对于捕食与被捕食关系，当然是捕食者会不停地捕食被捕食者，直到将被捕食者全部捕食完。
但是，被捕食者一旦灭绝，捕食者也会因为没有食物来源而灭绝。
对于竞争关系，因为这两个种群的食物来源是相同的，它们会竞争同一种食物或是生存条件。
当然，弱的一方也就会因为失去生存的条件而灭绝，而生存下来的一方不但不会因为一方的灭绝而灭绝，其种群数量还会越来越多。
对于互利共生关系，两种群生活在一起，可以互相为之提供必需的生存资源，所以其二者的种群数量会一直保持在一个稳定的状态，不会迅猛的增长，也不会突然地灭绝。
模型建立：多种群模型是研究在同一环境中两种或两种以上的生物种群数量的变化规律的模型。
在同一自然环境中，多种生物之间是有密切的关系的。
大致可分为这几种关系：捕食与被捕食关系，互利共生关系，相互竞争关系，当然我们在摘要中也曾提到过。
我们小组首先两种群模型进行建模，再以此为基础对多种群模型进行更加深入的探讨。
设t 时刻，甲乙两种群的数量为x(t)，y(t)。
甲乙两种群相对于自身的增长率为1dx x dt和1dy y dt由于之前已经假设单个种群的增长只与另一个种群有关，不存在任何的客观环境条件来阻碍该种群的数量增长。
下面我们给出甲乙两种群的增长模型：11221()()1()()dx f x g y x dt dy f x g y y dt=+=+其中1()f x 和2()g y 分别表示甲乙两种群各自的发展规律所导出的自身的相对增长率；1()g y 和2()f x 分别表示另一种群对这一种群的影响，这四个函数需要根据具体对象和环境确定。
假设：1()f x =1a 1()g y =1c y 2()f x =2a x 2()g y =2a1122()()dx a c y xdt dy a c x ydt=+=+这是根据假设建立的两种群关系的微分方程模型，其中1a ，2a 是甲乙种群的内禀增长率，由食物来源决定；1c ，2c 反映的是两种群的相互作用。
下面我们将根据所建立的模型讨论捕食关系的两种群。
捕食关系的两种群：设：甲种群为兔子()x t ，乙种群为狼()y t 。
根据假设，狼只以兔子为食，兔子灭绝后，狼将无法生存。
所以有： 10a > 因为狼对兔子的增长有抑制作用：10c < 20a < 兔子对狼的增长有促进作用：20c > 我们令：12121,0.5,0.1,0.02a a c c ==-=-=所以模型变为：(10.1)dx x y dt =-(0.50.02)dy y x dt=-+下面我们编写程序，检验模型的正确性。
子程序：function dx=shier(t,x) dx=zeros(2,1);dx(1)=x(1)*(1-0.1*x(2)); dx(2)=x(2)*(-0.6+0.01*x(1))主程序：ts=0:0.1:20; x0=[25,2];[t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,x],plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'),结果显示：结果分析：由显示的图形结果可知：兔子和狼的数量是周期性的震荡模型，一方面，兔子数量的增长促进了下一时间狼的数量的增长，而狼的增长反过来又使得下一时间段的兔子数量减少。
呈现出周期的震荡，这与捕食关系的特点是大致符合的。
但是现实生活中，兔子和狼的数量并不会一直是震荡的，它们最后都将趋于一个稳定的状态所以这个模型有待改进！模型的改进：在上述的模型中，我们只讨论了自禀增长和种群间的影响。
却忽略了种群自身竞争关系的影响。
现实生活中，一个种群的发展也是会受到自身数量的影响的，主要表现为种内竞争。
以兔子为例，兔子的数量越多，内部竞争往往更激烈，然后会对兔子的数量增长起反作用。
综合以上讨论，我们在前面的模型中加入了 12,b x b y--项。
模型变换为：111()dxx a b x c y dt=-+ 222()dyy a b y c x dt=-+然后对改进的模型进行检验： 我们令12121,0.5,0.1,0.017a a c c ==-=-=120.03,0.02b b ==子程序function xdot=sh(t,x)r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.017;t=0.03;h=0.02;xdot=[(r-t*x(1)-a*x(2)).*x(1);(-d-h*x(2)+b*x(1).*x(2));]主程序： ts=0:0.1:50; x0=[25,2];[t,x]=ode45('sh',ts,x0);[t,x],plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'), pause,plot(x(:,1),x(:,2)),grid结果显示如下:改进后的模型结果显示：兔子和狼的增长先是大幅的震荡，但是随着时间的推移，两种群最终将趋于小幅度的平缓震荡，这与实际是吻合比改进前的模型要好，更加贴近于实际。
由两种群的捕食模型，我们知道，捕食关系的两个种群是平缓的震荡的关系。
竞争关系模型：我们假设，甲种群是老鼠()x t ，乙种群是兔子()y t根据先前的假设:老鼠和兔子是竞争关系的两种群，其中一种群的增长必定会阻碍另一种群数量的增长。
所以有：10a > 兔子对老鼠的增长有抑制作用，所以10c < 20a > 老鼠对兔子的生长有抑制作用，所以20c < 10b < 20b < 竞争关系的模型是：111()dxx a b x c y dt=-- 222()dyy a b y c x dt=--令1212121,0.9,0.1,0.2,0.03,0.01a a c cb b ======编写程序：子程序：function xdot=s(t,x)r=1;d=0.9;a=0.1;b=0.2;t=0.03;h=0.01xdot=[(r-t*x(1)-a*x(2)).*x(1);(d-h*x(2)-b*x(1).*x(2));] 主程序ts=0:0.1:15; x0=[25,30];[t,x]=ode45('s',ts,x0);[t,x],plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'), pause,plot(x(:,1),x(:,2)),grid演示结果：结果分析：模型结果显示，具有竞争关系的两物种（如老鼠和兔子），在资源有限的条件下，一种物种（老鼠）的兴盛，必定会使得与其竞争的另一物种（兔子）的衰弱，时间较长后，竞争力弱的种群必定走向灭亡,如图示的一条曲线最后趋于0。
这与实际也是很吻合的，所以该模型也很好的解释了竞争关系的两种群关系。
